复变函数复习资料
复变函数总结完整版
复变函数总结完整版第一章 复数12i =-11-=i 欧拉公式z=x+iy实部Re z 虚部Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix yix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y iy x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z zz+-+++=-+-+==⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iyx z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π5极坐标： θcos r x =， θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程zn=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 nz=ω ()nk i re z ωπθ==+2即nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0limz z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限 ☆当()0z f =A 时，连续例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2()Cz f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim 0=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z 所以()0'=C例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当0→ω时，不存在，所以不可导。
复变函数总复习资料
性质: (1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 ,
(2) Ln z1 z2
（3）Lnzn
Lnz1 nLnz
Lnz2 Ln n
, z
1
Lnz
n
(4) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内, 主值支和其它各分支
处处连续, 处处可导, 且 (ln z) 1 , (Lnz) 1 .
z
z 15
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b
bLna
b[ln a i(arga2k )]
b(ln a iarga)2kbi
ez的性质：
1. f (z) ez 0
2. ez ez 处处解析
3. 满足加法定理：ez1ez2 ez1z2
4. 周期性：周期为 2k i
14
2.对数函数：Ln z ln z iArg z ln z i arg z i2k
多值！
主值： ln z ln z i arg z arg z 分支： Ln z ln z 2k i k 1, 2
3、 复数运算
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
加法、减法： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
乘法: 除法:
z1z2 (x1 i y1)(x2 i y2ห้องสมุดไป่ตู้)
(x1x2 y1y2 ) i(x1y2 x2 y1)
z
各分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的: (zb ) bzb1.
复变函数_期末基础知识复习_和_模拟试题
第一、二章
一、 复数的表示方法 （代数、三角、指数表示法） 及其运算公式。
二、函数可导和解析的充分必要条件，函数可导和
解析的充分条件。C-R方程。
三、初等函数（指数函数、三角函数、对数函数、
幂函数）的定义与性质。
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虚轴
复数的模：
z x2 y 2 r
C C
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x x(t ) 1 :光滑曲线C 的实参数方程为 ,t : , y y(t )
f ( z )dz
C
{u[ x(t ), y(t )] iv[ x(t ), y(t )]} {x(t ) iy(t )}dt
注：过z1与z2两点的直线的参数方程为: z z1 ( z2 z1 )t， t .
连接z1 x1 iy1与z2 x2 iy2的直线段的参数方程为:
z z1 t ( z2 z1 ),0 t 1
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通过两点( x1 , y1 )与( x2 , y2 )的直线方程为
留数定理
C
k 1 华侨大学厦门工学院 09电子3班
f ( z )dz 2 i Re s[ f ( z ), zk ].
n
第八、九章 一、傅氏变换、拉氏变换及它们的逆变换的定义。 二、记住 函数的几个重要性质。 三、记住几个重要函数的积分变换。 四、记住积分变换的性质（线性、位移、相似、 微分、积分性质）。 五、会用二、三、四中的结论求某些函数的积分 变换或逆变换。 六、会求解简单的微分方程。
f ( z ) Cn ( z z0 )n ,
《复变函数》复习资料
《复变函数》 复习资料1一、判断题1. 把角形域映射为角形域用指数函数映射（ ）2.3.4.5.6.7. 分式线性映射在复平面上具有共形性、保圆性、保对称性。
（ ）8.9.10.二、解答题1.设)1()(2z z e z f z +=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项）.2.利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数).3.利用留数定理计算实积分θθθπd ⎰-20cos 452cos 4.三、解答与证明题1.如果在1z <内，函数()f z 解析，且1()1f z z≤-，求()(0)n f 的最优估计值. 2．（1）函数211x +当x 为实数时，都有确定的值且在全实轴上有任意阶导数，但它的泰勒展开式： -+-=+422111x x x却只当1<x 时成立，试说明其原因； （2）利用惟一性定理证明：210(1)sin ,(21)!n n n z z n ++∞=-=+∑1z <. 3.设)(z ϕ在:1C z =内解析且连续到C,在C 上()1z ϕ<试证 在C内部2()3z z z ϕ=+只有一个根0z .4. 设D 为单连通区域，()f z 在D 内解析，C 在D 内一条周线，0D 为C 的内部.若对于任意的0z D ∈都有1()Re 12C f d i z ξξπξ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭⎰，则在D 内恒有()f z 1ic =+，其中c 为实常数.答案一、1-5 FFTTF 6-10 TFFTF二、解答题1、设)1()(2z z e z f z+=，求()f z 在1||0<<z 的洛朗展式（只写出含1z 到2z 各项） 解：)1()(2z z e z f z+=211z e z z=+ =21(1)2!3!z z z ++++（2421(1)n n z z z -+-+-+）=215126z z z +--+（1||0<<z ）.2、利用留数定理计算复积分I =21az z e dz =⎰+1()()n n z dzz a z b =--⎰ (01,01a b <<<<且,a b n ≠为自然数)解：因为 ||1a <，||1b <且a b ≠ 所以1||1()()n n z dzI z a z a ==--⎰=2i π[Re ()z a s f z =+Re ()z bs f z =] =12121(1)...(22)112(1)()0(1)!()()n n n n n n i n b a a b π---⎡⎤---+=⎢⎥---⎣⎦设2I =21az z e dz =⎰，因为在单位圆周1z =内2az e 只有一个本质奇点0z =，在该点的去心领域内有洛朗展式：2az e =22412!a az z+++所以2Re 0az z s e ==，故20I =，因此原积分值为零。
复变函数复习
1 知识要点
1.1 复平面上的复变函数
• 必备知识：复数的定义，实部、虚部。共轭复数，复平面，复数对应的向量及其模，复数的 四则运算。 • 欧拉公式 eiθ = cos θ + i sin θ 由此可得 cos θ = 以及 ei2kπ ≡ 1, • 复数的三角（指数）表示以及复数的几何意义 z = x + iy = r (cos θ + i sin θ) = reiθ θ = Argz = arg z + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . y . y . r . θ . . O . x . x . z . k 为整数 eiθ + e−iθ , 2 eiθ − e−iθ 2i
z →z0
• 留数计算法则3
设 f (z ) = φ(z ) ψ (z )
其中φ(z )及ψ (z )都在z0 点解析，z0 为ψ (z )的一级零点，则 Res(f, z0 ) = φ(z0 ) ψ ′ (z0 )
5
• 留数计算法则4
若z0 是f (z )的m级极点，则 Res(f, z0 ) = 1 dm−1 m lim [(z − z0 ) f (z )] (m − 1)! z→z0 dz m−1
• 若R(cos θ, sin θ)是cos θ和sin θ的有理函数，在0 ≤ θ ≤ 2π 上连续，则定积分 ∫ 2π I= R(cos θ, sin θ)dθ
0
可在作积分变换z = eiθ 后，化为围道积分。 ∫ 2π ∮ I= R(cos θ, sin θ)dθ =
0 |z |=1
f (z )dz = 2πi
C C C C
0 ≤ θ ≤ 2π
计算办法：先求出积分曲线的参数方程，设为z = z (t)，α ≤ t ≤ β ，则 ∫ ∫ β f [z (t)]z ′ (t)dt f (z )dz =
复变函数总复习
❖ 复积分的性质
１、 f (z)dz f (z)dz
c
c
２、 c kf (z)dz kc f (z)dz
３、 c[ f (z) g(z)]dz c f (z)dz c g(z)dz
故除非x0 y0 0,否则f (z)的导数不存在.
19
例4 函数 f (z) ( x2 y2 x) i(2xy y2 ) 在何处 可导，何处解析.
解 u( x, y) x2 y2 x, ux 2x 1, uy 2 y;
v( x, y) 2xy y2, vx 2 y ,vy 2x 2 y;
f (z)的辐角改变量为
arg f (z) 1 [ arg z arg(1 z)] 2 ;
3
3
当z单独绕包含z 1的简单闭曲线一周时，
f (z)的辐角改变量为
arg f (z) 1 [ arg z arg(1 z)] 2 ;
3
3
当z绕包含原点和z 1的简单闭曲线一周时，
3
i( 5 )
i 1 i e 12
6
5
2e12 .
第三章：复变函数的积分
n
❖
❖
复积分的定义 f (z)dz c
复积分存在的条件
lim
0
k 1
f
(k )zk
设函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域Ｄ内连
续，曲线Ｃ光滑，则复积分存在，且
c f (z)dz c udx vdy ic vdx udy
当且仅当 y 1时， 2
ux vy ,
uy vx .
故 f (z) 仅在直线 y 1 上可导.
由解析函数的定义知,
2 f (z)
在直线
复变函数复习资料
(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。
②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。
③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。
2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。
（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。
（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。
(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
复变函数复习重点
第一章复数与复变函数
1. 复数的四则运算，欧拉公式，复数的n次方根
2. 复平面上的曲线方程，参数方程和直角坐标方程以及与复数之间的互化。
3. 映射的概念
4. 复变函数的连续与极限
第二章解析函数
1. 掌握复变函数的导数与微分，解析函数的概念
2. 掌握函数解析的判断（大题）
3. 初等函数，掌握指数函数、对数函数、幂函数、三角函数；了解双曲函数（定义）、反三角函数与反双曲函数的定义。
（大题）
第三章复变函数的积分
1. 了解复变函数积分的概念和性质
2. 掌握柯西积分定理及其应用：柯西积分定理，原函数，复合闭路定理（大题）
3. 掌握柯西积分公式，解析函数的高阶导数（大题）
4. 掌握解析函数与调和函数的关系。
（大题）
第四章复级数
1. 掌握复数项级数的审敛法
2. 掌握幂级数的敛散性判断及收敛半径
3. 掌握泰勒级数与洛朗级数的展开（大题）
第五章留数及其应用
1. 函数的零点与极点及其判断
2. 留数及留数定理(大题)
3. 留数在定积分计算中的应用，掌握教材中的1, 2, 3三种类型。
(大题)
第六章拉普拉斯变换
1. 拉普拉斯变换的概念
2. 拉普拉斯变换的性质
3. 卷积，拉普拉斯逆变换
4. 拉普拉斯变换的应用（大题，求解微分方程）
第七章矢量分析
1. 矢量的微分与积分
2. 矢量的标量积、矢量积以及混和积
第八章场论
1. 方向导数与梯度（大题）
2. 通量与散度（散度定理）（大题）
3. 环量与旋度（斯托克斯定理）（大题）
4. 有势场与调和场。
复变函数总复习资料
总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应 用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断 函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等 。这些应用在物理学、工程学、经济学等领 域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方 程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有 着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有 着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中， 解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
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总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计 算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问 题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等 性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函 数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、 可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、 微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺 序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。
复变函数 复习资料
《复变函数》试卷一、单项选择题1． 以下命题正确的是[ A ]A ．1z iz i =B ．零的辐角为零C ．3i i <D ．对任意复数z 有sin 1z ≤2．若1(3)153x i y i i++-=++，则[ D ] A ．1,11x y =-=- B ．1,11x y =-=C ．1,11x y ==-D ．1,11x y ==3．设()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，则[ B ]A ．()u v f z i x y ∂∂'=+∂∂B ．()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ C ．()u v f z i y y ∂∂'=+∂∂ D ．()u v f z i y x ∂∂'=+∂∂ 4．下列说法正确的是[ C ]A ．如果0()f z '存在，则()f z 在0z 处解析B ．如果(,)u x y 和(,)v x y 在区域D 内可微，则()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析C ．如果()f z 在区域D 内处处可导，则()f z 在区域D 内解析D ．如果()f z 在区域D 内解析，则()f z 在区域D 内一定不解析5．下列等式中不正确的是[ B ]A ．(1)(21)Ln k i π-=+ （k 为整数）B ．2Lnz Lnz Lnz +=C ．2z k i z e e π+= （k 为整数）D ．22sin cos 1i i +=6．设2222()(2)f z x axy y i bx xy y =+-+++在复平面内处处解析（其中,a b 为常数），则[ C ]A ．2,1a b ==B ．1,2a b ==C ．2,1a b ==-D ．1,2a b =-=7．设Γ为单位圆周1z =，则积分Im zdz Γ⎰的值为[ D ]A ．i πB ．i π-C ．πD ．π-8．级数1!nn n n z n ∞=∑的收敛圆为[ A ] A ．1z e<B ．z e <C ．1z <D ．2e z <9．0z =是函数2()(1)z f z z e =-的[ C ] A ．一级零点 B ．二级零点C ．三级零点D ．四级零点10．设51()sin ,f z z z=则[]Re (),0s f z =[ D ] A ．1 B ．15!C ．1-D ．011.函数2)(z z f =在复平面上 ( C )A.处处不连续B.处处连续，处处不可导C.处处连续，仅在点0=z 处可导D.处处连续，仅在点0=z 处解析12.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则ba b a --1的值 ( B ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大13、设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( B )A.i 1+B.iC.1-D.014、设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=⎰dz z z C n ，则整数n 等于 ( D )A.1-B.0C.1D.215、0=z 是21)(ze zf z -=的 ( A ) A.1阶极点 B.2阶极点 C.可去奇点 D.本性奇点二、填空题（每空4分，共20分）11．Arg = 223k ππ-+ 12．若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_____整函数_____。
复变函数
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
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06
复变函数的积分方程与 微分方程
积分方程的概念与解法
概念
复变函数积分方程是描述函数在某个路 径上的积分值的等式。
VS
解法
通过适当的变换和代数运算，将积分方程 转化为更易于解决的形式，如转化为微分 方程或代数方程。
微分方程的概念与解法
要点一
概念
复变函数微分方程是描述函数及其导数之间关系的等式。
解析函数的积分表
示
解析函数在复平面上的积分可以 用实部和虚部来表示，也可以用 极坐标形式表示。
柯西积分公式
01
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可 以用来计算复变函数沿着曲线的积分。
02
柯西积分公式由三个部分组成：被积函数、被积函 数的导数和被积函数的二阶导数。
03
柯西积分公式的应用范围很广，可以用于解决很多 复变函数的问题。
三角形式
复数可以表示为三角形式 r(cosθ + i sinθ)，其中 r 是模长，θ 是辐角。
三角函数的定义
cosθ = x/r, sinθ = y/r，其中 x 和 y 是复数的实部和虚部。
复变函数的概念
定义域
函数自变量 x 的取值范围。
可微性
函数在定义域内每一点都可微分。
值域
函数因变量 y 的取值范围。
要点二
解法
通过求解微分方程，可以得到函数的表达式或找到函数的 特定性质。
解析函数的应用
解析函数的定义
如果一个复变函数在某个区域内的导数存在 且连续，则称该函数在该区域内解析。
应用
解析函数在复变函数理论中具有重要地位， 它们具有许多良好的性质，如柯西定理、泰 勒级数展开等。这些性质在解决各种数学问 题中具有广泛的应用，如求解积分方程、微 分方程等。
复变函数复习资料
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 当x=0 arg=+-二分之拍4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y+-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z eθθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数复习资料
复变函数论（A ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1173，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of convergence of∑∞=++13)123(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(22+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (3z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（ ）3. A bounded entire function must be a constant.（ ）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable at ),(00y x .（ ）5. If f is continuous on the plane and =+⎰Cdz z f z ))((cos 0 for every simpleclosed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(5z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+228122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=345)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin 1)(2+-+=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f k ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order k <.2. Show that 012797lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unite disk复变函数论（B ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1162，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function )1(sin )(2+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2cos . 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then 0z is a zero of order m off /1.（ ）3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be aconstant.（ ）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the CauchyRiemann conditions hold there.（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z z f sin )( is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that the function iy x e e z z f ---=)2()(2is an entire function.2. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of orderm <.3. Show that 0651lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .复变函数论（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3131，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(sin 0=-⎰Cn dz z z z, where n is an integer. 3. The radius of convergence of the power series∑∞=-12)63(n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(244-+=z z z z z f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛m z z , where m is a positive integer.6. The main argument and the modulus of the number iie 45π are . 7. The integral of the function )(sin )(2ti t t t w += on ]1,1[- is . 8. The definition of z sin is . 9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 013=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，thenit is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is a function ϕ that isanalytic at 0z with 0)(0≠z ϕ such that mz z z z f )()()(0-=ϕ on somedeleted neighborhood of 0z .（ ）3. An entire function which is identically zero on a line segment must beidentically zero.（ ）4. A function f is differentiable on open set D if and only if whose real andimaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed path C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=++1||)23)(13(9z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+-222142)1(sin z z z dzz dz z zz . 3. Let )2)(1(3)(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C ⎰-++=543)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'.5. Find ⎪⎪⎭⎫⎛+i z z ,)1(4Res 222. Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that 0233lim 242=+++⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is analytic and ||f is a constant on a domain a domainD , prove that a z f =)( for some constant a and all D z ∈.3. Show that the equation z z z z -=+-127234 has just three roots in the unite disk.《复变函数论》试题（D ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1153，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰C n dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=++13)12(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(2+=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (5z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is analytic at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（ ）3. A bounded entire function must be a constant.（ ）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable and the Cauchy Riemann conditions hold in a neighborhood of ),(00y x .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z e z f z sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order m <.2. Show that 012783lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unitedisk.《复变函数论》试题（E ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n i n n z ⎪⎭⎫⎝⎛++-=211，thenlim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z and n is an integer ，then)(1210=-⎰C n dz z z i π. 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function 1cos )(2+=z zz f are . 5. 0 ,sin s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2sin . 7. The main argument and the modulus of the number i +1 are . 8. The square roots of )0(>A Ai are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )22(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（ ）2. If a point 0z is a zero of order n of f ，then 0z is a pole of order n off /1.（ ）3. There is a non-constant entire function which maps the plane into the disk1000||<z .（ ）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the Cauchy Riemann conditions hold there.（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then it is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find the integral ⎰+C zdz z e 12, where C is the circle 7||=z .2. Find the value of ⎰⎰==+-+235121)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1(1)(--=z z z f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=765)(2，where {}4|:|==z z C ，find )1(i f +'.5. Given )0(2:,2)(πθθ≤≤=+=i e z C zz z f ，find dz z f C⎰)(.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 020914lim 242=++-⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is an entire function and there is a constant M and apositive integer m such that )(|||)(|C ∈∀≤z z M z f m . Prove thatm m z a z a z a z f +++= 221)(for some constants 1a , m a a ,,2 and all z in the plane.3·Show that the equation 01438=-+-z z z has just three roots in the unite disk2005－2006学年第一学期期末考试2003级数学与应用数学专业《复变函数论》试题（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(10=-⎰Cn dz z z , where n is an integer. 3. The radius of the power series∑∞=123n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(24-=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛nz z , where n is a positive integer. 6. The main argument and the modulus of the number iie 42π are . 7. The integral of the function )(sin )(4i t t t w += on ]1,1[- is .8. The definition of z cos is .9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 012=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（ ）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is analytic function ϕat 0z with 0)(0≠z ϕ such that m z z z z f )()()(0-=ϕ on some deleted neighborhood of 0z .（ ）3. An entire function which is identically zero on the real axis must be zero.（ ）4. A function f is differentiable on a domain D if and only if whose realand imaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（ ）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰C dz z f )(0 for everysimple closed contour C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find ⎰=++1||)23)(13(z z z zdz .2. Find the value of ⎰⎰==-+-22216)1(sin z z z dz z dz z z z . 3. Let )2)(1()(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus {}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C⎰-++=143)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'. 5. Evaluate ),)1((Res 222i z z +.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 02316lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is differentiable and ||f is a constant on a domain D , prove that A z f =)( for some constant A and all D z ∈.3. Show that the equation 0127234=-++-z z z z has just three roots in the unite disk.复变函数考试试题（G ）1. 求通过1z 和2z 的线段的参数方程（用复数形式表示）。
复变函数复习资料
复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。
在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。
一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。
二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。
根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。
解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。
三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。
泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。
而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。
四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。
复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。
复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。
五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。
复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。
总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。
复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。
复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。
复变函数考试复习资料
一、单选题1.设f(z)=sin z，则下列命题中，不正确的是( )。
A、f(z)在复平面上处处解析B、f(z)以2T为周期C、D、丨f(z)丨是无界的答案： C2.A、iB、-iC、1D、-1答案： B3.下列命题中，不正确的是（）。
A、B、C、若在区域D内有f '(z)=g(z)，则在D内g'(z)存在且解析D、答案： D4.设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0，f(z0)( )A、等于0B、等于1C、等于2D、不能确定答案： C5.下列函数中，为解析函数的是（）。
A、x²-y²-2xyB、x²+xyiC、2(x-1)y+i(y²-x²+2x)D、x³+iy³答案： C6.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为( ).A、B、C、D、答案： B7.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B8.A、2B、2iC、1+iD、2+2i答案： A9.A、不存在的B、唯一的C、纯虚数D、实数答案： D10.A、有界区域B、无界区域C、有界闭区域D、无界闭区域答案： D11.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共辄调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是（）。
A、v(x,y)+iu(x,y)B、v(x,y)-iu(x, y)二、 判断题C 、u(x,y)-iv(x,y)D 、答案： B12.下列数中，为实数的是（ ）。
A 、B 、cos iC 、In iD 、答案： B1.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件.A 、正确B 、错误答案： 正确2.若a 是f(z)和g(z)的一个奇点,则a 也是f(z)+g(z)的奇点。
复变函数复习资料
复变函数复习资料一、填空题1.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.2.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i)21______________. 3.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数. 4. zz sin 的孤立奇点为________ .5.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z6． i 3＝ 7． 0z ＝0是函数51cos )(z z z f -=的 （说出类型，如果是极点，则要说明阶数） 8. i y xy yi x x z f 322333)(--+=,则()f z '＝ 9. =]0,sin 1[Re z z s10. 函数sin w z =在4z π=处的转动角为 11.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz __________.（n 为自然数）12.=+z z 22cos sin _________. 13.函数z sin 的周期为___________.14.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 15.幂级数0n n nz∞=∑的收敛半径为__________.16. 幂级数∑∞=0)(cos n n zin 的收敛半径为R =____________17. =⎰dz z z 10sin18．设C 为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则=⎰dz z e C z21 19．函数()14-=z z z f 在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________ 20． =++⎰=23||22)4)(1(z z z dz1. 整函数；2. ξ；3.1(1)!n -； 4. 0； 5. ∞. 6.3ln 2i k e+-π ；7. 三级极点 ；8. 23z ； 9. 0 ；10. 011. 2101i n n π=⎧⎨≠⎩； 12. 1； 13. 2k π，()k z ∈； 1 4. z i =±； 15. 1 16. e1 ；17. 1cos 1sin - ；18. 0 ；19. 0 ； 20. 0。
复变函数复习
不考内容《复变函数》第一章：§复球面§区域§5 第二部分：映射的概念§6 复变函数的极限与连续性第四章§1 复数项级数第五章§3 留数在定积分上的应用、《积分变换》第一章：傅立叶变换第二章：§4 卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。
复变函数复习第一章 复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +==复数的辐角Argz=θ, ()xyArgz tg = , 复数的辐角的主值argzArgz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π当0=z 时,|z|=0,辐角没有意义.当∞=z 时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角. argz(0≠z )与反正切xy Arctg 的主值x y arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx y arctg 的关系：第一、四象限 xy arctg z =arg x ﹥0第二象限 π+=xyarctg z arg x ﹤0,y ﹥0第三象限 π-=xy arctg z arg x ﹤0,y ﹤0 正虚轴 2arg π=z x=0,y ﹥0 负虚轴 2arg π-=z x=0,y ﹤0负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 = x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=(1)相等 z 1= z 2 ⇔ x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i(4)除法222121z z z z z z ⋅⋅==22222121y x y y x x +++i 22222112y x y x y x +-()2121θθ-=i e r r )]sin()[cos(212121θθθθ-+-=i r r (z 2≠0)(5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==特别 |z|=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公式) (6)方根,2sin 2cos1⎪⎭⎫⎝⎛+++=n k i n k r z n nπθπθ ()1,,2,1,0-=n k (7)共轭 z = x-iy=re -i θ , 21z z ±=1z 2z ±, 121z z z =2z , 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ;z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:2121z z z z ⋅= ,()2121Argz Argz z z Arg +=2121z z z z = , Arg ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21z z =21Argz Argz - (z 2≠0) 3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章 解析函数1. 复变函数的导数(1)定义 函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数()()()()()000000000limlim lim z z z f z f z z f z z f z wdzdwz f z z z z z z --=∆-∆+=∆∆=='→→∆→∆= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导连续(3)求导法则 若f(z),g(z)在点z 可导,则()1-='b bbzz(b 为复数);()()[]()()z g z f z g z f '±'='±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'=';()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,()0≠z g .()[]{}()()z g w f zg f ''=',其中 ()z g w = . ()()w z f ϕ'='1,其中()z f w =与()w z ϕ=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ϕ. 2.解析函数(1)定义 如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D 内每一点解析,那末称f(z)在D 内解析,或称f(z)是D 内的一个解析函数.(2)性质 两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析 有理分式函数)()(z Q z P 在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R 方程)函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域D 内(解析)一点iy x z +=可导⇔u(x,y)与v(x,y)在(D 内)点(x,y)可微,并且满足C-R 方程 yv x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂.推论 若f (z)在z 处可导, 则 ()yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=' . 3.初等函数 定义 定义区域 单值多值性 解析区域 (1) 对数函数Lnz=lnz+2 kπi 整个复平面 多值 整个复平面iArgz z Lnz +=ln (z0) (除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…) 主值分支z i z z arg ln ln +=(2)乘幂 a b = e bL n a =e blna+2bki多值(k=0,±1,±2,…) 主值分支e b l n ab 为正整数n 单值 整个复平面nb 1= n 个分支 (除原点和负实轴)定义 定义区域 解析区域 单值多值性 基本周期 奇偶性(3)指数函数 e z(4)双曲函数2zz e e chz -+=2i 偶2zz e e shz --=整个复平面 单值 奇(5)三角函数2cos iziz e e z -+=2偶ie e z iziz 2sin --= 奇第三章 复变函数的积分1.积分的计算 ()()[]()t d t z t z f z d z f C '=⎰⎰βα光滑曲线C 参数方程: ()()()βα≥≤+==t t iy t x t z z ,, 正向t 增加()⎰+-Cn z z dz10⎩⎨⎧≠==0002n n i πC 是包围z 0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1) ()()dz z f dz z f C C ⎰⎰-=- ; (2) ()()dz z f k dz z kf C C ⎰⎰=;(k 为常数) (3) ()[()]()()dz z g dz z f dz z g z f C C C ⎰⎰⎰±=±(4)设曲线C 的长度为L,函数f(z)在C 上满足()M z f ≤,那末()()ML ds z f dz z f C C ≤≤⎰⎰.3.柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连域B 内处处解析，那末函数f(z)沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ()0=⎰dz z f C.推广:(1)闭路变形原理 在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理 设C 为多连域D 内的一条简单闭曲线，C 1，C 2，…，C n 是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C ，C 1，C 2，…，C n 为边界的区域全含于D.如果f(z)在D 内解析,那末1) ()()dz z f dz z f nk C CK∑⎰⎰==1 ,其中C 及C k 均取正向.2) 0)(=⎰Γdz z f ,这里г为由C 及C k ―（k=1，2，…，n ）所组成的复合闭路,其方向是:C 逆时针，C k ―顺时针. 推论:(1) ()()dz z f dz z f Z Z C ⎰⎰=10,Ｃ是连结z 0与z 1的任一曲线.(2)函数()()ςςd f z F ZZ ⎰=0必为B 内的—个解析函数,并且()()z f z F ='.5.原函数 如果在区域B 内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B 内的原函数不定积分 ()()c z dz z f +=⎰ϕ ,其中ｃ为任意复常数.()()()0110z z dz z f Z Z ϕϕ-=⎰,其中z 0 ,z 1是B 内任意两点6.柯西积分公式 如果f(z)在区域D 内处处解析,C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z 0为C 内的任一点,那末()()dz z z z f i z f C ⎰-=0021π 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z 0求n 阶导数得到高阶导数公式 ()()()()dz z z z f i n z fC n n ⎰+-=1002!π . 7.调和函数 如果二元实变函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yxϕϕ,那末称φ(x,y)为区域D 内的调和函数任何在区域D 内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D 内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数. 8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法 如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 x u y v ∂∂=∂∂,将x 当成常数,对y 积分得 ()()x g dy xuy x v +∂∂=⎰,,再利用 x v y u ∂∂-=∂∂ 确定g(x). 也可以利用 yux v ∂∂-=∂∂ ,将y 当成常数，对x 积分得()()y h dx yu y x v +∂∂-=⎰, ,再利用 y v x u ∂∂=∂∂ 确定h(y).(2)不定积分法 由于 ()xvi x u z f ∂∂+∂∂=', 利用柯西一黎曼方程得到 ()()z U yui x u z f =∂∂-∂∂=' ,则 ()()c dz z U z f +=⎰ .或 ()()z V xv i y v z f =∂∂+∂∂=' ,则 ()()c dz z V z f +=⎰ . 第四章 级数1.幂级数 形为()()()() +-++-+-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c a z c c a z c 22100或 +++++=∑∞=n n n n n z c z c z c c z c 22100的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理 如果级数∑∞=0n n n z c 在()00≠=z z 收敛,那末对满足0z z <的z,级数必绝对收敛. 如果在0z z =级数发散,那末对满足0z z >的z,级数必发散.(2)对于幂级数()nn n a z c -∑∞=0或 ∑∞=0n n n z c ,存在以a 或0为中心,R 为半径的圆周C R .在C R 的内部,级数绝对收敛;在C R 的外部，级数发散.圆周C R 称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R 称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=∞,级数在复平面内处处收敛(3)对于幂级数∑∞=0n nn z c ,如果λ=+∞→nn n c c 1lim或λ=∞→n n n c lim 那末收敛半径 λ1=R .(包括R=0或R=)(4)在收敛圆内幂级数()n n n a z c -∑∞=0的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆R a z <-内,式()()nn n a z c z f -=∑∞=0,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算.2.泰勒级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心,z 0到f(z)的最近的一个奇点的距离为半径R=-z 0的解析圆域z-z 0<R 内展开为泰勒级数.()()()()n n n z z n z f z f 000!-=∑∞= 泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为+++++=-nz z z z2111 , 1<z . ++++++=!!3!2132n z z z z e n z 3.洛朗级数 函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心的解析的圆环域 R 1<z-z 0<R 2内展开为洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=,其中 ()()() ,2,1,0.2110±±=-=⎰+n d z f i c C n n ςςςπ 这里C 为在圆环域内绕z 0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式.第五章 留数1.孤立奇点的概念和分类(1)定义 如果函数f(z)虽在z 0不解析，但在z 0的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析，则将z 0称为f(z)的孤立奇点.(2)孤立奇点的分类和判定z 0为f(z)的 ()z f z z 0lim → f(z)在z 0的去心邻域内的洛朗级数 可去奇点 存在且有限 没有负幂项 极点 ∞有限多个负幂项本性奇点不存在且不为∞ 无穷多个负幂项z 0是f(z)的m 级极点()()()z g z z z f m01-=⇔ ,其中g(z)是在δ<-0z z 内解析的函数，且 ()00≠z g .(3)函数的零点及其与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 ()()()z z z z f m ϕ0-= 其中()z ϕ在z 0解析并且()00≠z ϕ,m 为某一正整数,那末z 0称为f(z)的m 级零点.如果f(z)在z 0解析，那末z 0为f(z)的m 级零点 ⇔ ()()()()()0,1,,2,1,0,000≠-==z f m n z f m nz 0是f(z)的m 级极点⇔z 0是()z f 1的m 级零点.如果()()()z h z g z f =,而z 0是g(z)的m 级零点,h(z)的n 级零点,那末z 0为()z f 1的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点.(4)函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点∞=z 的去心邻域+∞<<z R 内解析，那末称点∞为f(z)的孤立奇点.f(z)在+∞<<z R 内的洛朗展开式 ()n n n nn n z c c zc z f ∑∑∞=-∞=-++=101其中 ()() ,2,1,0,211±±==⎰+n d f ic C n n ςςςπ,C 为+∞<<z R 内绕原点的任一正向简单闭曲线.洛朗级数 z=∞是f(z)的 ()z f z ∞→lim没有正幂项 → 可去奇点 ← 存在且有限 有限正幂项(最高m 次) → 极点(m 级) ← ∞ 无限正幂项 → 本性奇点 ← 不存在且不为∞ 2.留数与留数的计算(1)留数定义 如果z 0为f(z)的一个孤立奇点,C 是z 0的去心邻域R z z <-<00 内包围z 0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内展开成洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=, 则f(z)在z 0处的留数 ()[]()dz z f ic z z f s C⎰==-π21,Re 10 (2)留数定理 设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末()()[]∑⎰==nk k Cz z f s i dz z f 1,Re 2π(3)留数的计算1)可用洛朗级数计算 ()[]10,Re -=c z z f s当z 0为可去奇点时, ()[]0,Re 0=z z f s ;当z 0为本性奇点时,只能用此法, 2)当z 0为一级极点时, ()[])]()[(lim ,Re 000z f z z z z f s z z -=→若()()()z Q z P z f =，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果()(),0,000=≠z Q z P()00≠'z Q ，那末z 0为f(z)的一级极点，而 ()[]()()000,Re z Q z P z z f s '=. 3)如果z 0为f(z)的m 级极点,那末()[]()()(){}z f z z dzd m z z f s mm m z z 01100lim !11,Re --=--→4.无穷远点处的留数函数f(z)在圆环域+∞<<z R 内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， f(z)在∞点的留数 ()[]()dz z f i z f s C ⎰-=∞π21,Re . 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re ,Re 2z z f s z f s ])。
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复变函数期末复习一 知识点1第一章主要掌握复数的四则运算，复数的代数形式、三角形式、指数形式及其运算。
2 第二章主要掌握函数的解析性，会判断函数是否是解析函数，会求解析函数的导数。
3 第三章掌握复变函数积分的计算，掌握柯西积分公式，掌握解析函数与调和级数的关系。
4 第四章掌握复数项级数的有关性质，会把一个函数展开成泰勒级数。
5 第五章掌握将函数展开为洛朗级数，掌握孤立奇点的分类及判断。
6 第六章掌握留数的计算，掌握用留数计算积分，掌握利用留数计算三类实积分。
二 例题选讲1求i3的值。
知识点：利用定义bLna be a=。
解i 3=3iLn e=)23(ln πk i i e+=3ln 2i k e+-π=)3ln sin 3ln (cos 2i e k +-π。
2设1||=z ，试证：1_____=++baz a z b 。
知识点：复数，复数的模，共轭复数之间的关系。
2__2__||||z z z z ==证明：由1||=z 得，1__=z z ，baz zz a z b b az a z b ++=++____________=baz zz a b ++)(_______=1)()(_______________=++=++baz zaz b b az z z a b3求2sin Arc 的值。
知识点：初等函数的定义，函数值的计算，)1(sin 2z iz iLn z Arc -+-=，)1(cos 2z i z iLn z Arc -+-=解：)32(2s i n i i i L n A r c ±-= =iiLn )32(±-=i k i i ππ22)32[ln(++±-=)32ln(22±--i k ππ，,...2,1,0±±=k4 证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
证明)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
知识点：复数模的计算，复数模共轭复数的关系__2||z z z =。
证明：))(())((||||________2121________2121221221z z z z z z z z z z z z --+++=-++=__212__12__21__11__22__12__21__11z z z z z z z z z z z z z z z z +--++++ =)|||(|22221z z +。
5 设321,,z z z 三点适合条件1||||||,0321321====++z z z z z z ，试证明321,,z z z 三点是一个内接于单位圆周1||=z 的正三角形的顶点。
知识点：利用平行四边形公式)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++。
解：由0321=++z z z 得321z z z -=+，2212221212||)|||(|2||z z z z z z +-+=-=31)11(2=-+所以3||12=-z z ，同理3||13=-z z ，3||23=-z z ，所以321,,z z z 三点是一个内接于单位圆周1||=z 的正三角形的顶点。
6 求极限zz z z z z sin cos lim--→。
知识点：这是00型，用洛必达法则。
解z z z z z z sin cos lim--→=)sin ()cos (lim 0'-'-→z z z z z z =z z z z z cos 1sin cos 1lim 0-+-→=)cos 1()sin cos 1(lim 0'-'+-→z z z z z =z z z z z sin cos sin 2lim0+→=3。
7 试证明y x i y x z f sinh sin cosh cos )(-=在z 平面上解析，并求导其导数。
知识点：利用柯西—黎曼条件，利用双曲函数的定义。
2sinh ,2cosh yy y y e e y e e y ---=+=解：y x y x v y x y x u sinh sin ),(,cosh cos ),(-==，y x x u cosh sin -=∂∂，y x yusinh cos =∂∂ y x xvsinh cos -=∂∂，y x yvcosh sin -=∂∂，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，y x i y x z f sinh sin cosh cos )(-=在z 平面上解析，其导数为 )sinh cos cosh sin )(y x i y x yvi x u z f --=∂∂+∂∂='。
8验证233),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，使得i f =)0(。
知识点：调和函数的定义，调和函数和解析函数的关系。
解 由233),(xy x y x u -=得2233y x x u -=∂∂，xy y u 6-=∂∂， x x u 622=∂∂，x yu 622-=∂∂ 所以02222=∂∂+∂∂y u x u ，所以233),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数.由柯西—黎曼条件x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,得dx yudx x v y x v ⎰⎰∂∂-=∂∂=),(=⎰+=)(362y y x xydx φ，)(32y x yvφ'+=∂∂所以23)(y y -='φ，C y y +-=3)(φ，从而)(z f 233xy x -=)3(32C y y x i +-+，由i f =)0(得1=C ，所以)(z f 233xy x -=)13(32+-+y y x i 。
9 设函数)(z f 在区域D 内解析，试证：222222|)(|4|)(|)(z f z f yx '=∂∂+∂∂知识点：解析函数的导数的计算。
解：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则),(),(|)(|222y x v y x u z f +=，xv y x v x u y x u z f x ∂∂+∂∂=∂∂),(2),(2|)(|2， yvy x v y u y x u z f y ∂∂+∂∂=∂∂),(2),(2|)(|2， 222222222)(22)(22|)(|x v x v v x u x u u z f x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂22222222)(22)(22|)(|y v yv v y u y u u z f y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 而解析函数的实部与虚部是调和函数，02222=∂∂+∂∂y ux u ，02222=∂∂+∂∂y vx v 所以有222222|)(|4|)(|)(z f z f yx '=∂∂+∂∂。
11试证)sin (cos )(y i y e z f x +=在复平面上解析，并求其导数。
知识点：利用柯西—黎曼条件判断函数的可导性与解析性。
证明：ye y x v y e y x u x x s i n ),(,c o s ),(==，y e xux cos =∂∂，y e yux sin -=∂∂，y e xvx sin =∂∂，y e yvx cos =∂∂，以上四个偏导数在复平面上连续，且满足柯西—黎曼条件xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，所以)s i n (c o s )(y i y e z f x +=在复平面上解析，其导数为)sin (cos )(y i y e yvi x u z f x +=∂∂+∂∂='。
12验证xyy x v arctan),(=在右半平面内是调和函数，其中0>x 。
知识点：调和函数的定义，解析函数和调和函数的关系。
解：222221y x y xy x y x v +-=+-=∂∂，222211y x x xy x y v +=+=∂∂，2222222222)(2,)(2y x xy y v y x xy x v +-=∂∂+=∂∂，于是2222=∂∂+∂∂y vx v ，因此x y y x v arctan ),(=在右半平面内是调和函数。
13 设函数)(z f 在0z 解析,并且它不恒为常数.证明：若0z 为)(z f 的m 阶零点的充要条件是0z 为)(1z f 的m 阶极点. 知识点；极点和零点的关系。
证明：若0z 为)(z f 的m 阶零点，则()z g z z z f m )()(0-=，其中)(z g 在点0z 的某个邻域内解析且0)(0≠z g ，所以)(1)(1)(10z g z z z f m -=， )(1z g 在点0z 的某个邻域内解析且0)(10≠z g ，所以0z 为)(1z f 的m 阶极点. 14将2)1)(2()(--=z z zz f 在1|1|0<-<z 内展开成罗朗级数。
知识点：利用1||,1112<+++++=-z z z z zn ，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。
解 设2)1)(2()(--=z z zz f =)221()1(12)1(122-+-=--z z z z z=))1(121()1(12----z z =∑+∞=-+-02)1(21()1(1n nz z 15 将521)(2+-=z z z f 按1-z 的幂展开成幂级数。
知识点：把函数展开成泰勒级数和洛朗级数。
解：521)(2+-=z z z f =2)1(41-+z =∑+∞=--=-+0224)1()1(414)1(1141n nnn z z ，2|1|<-z16将)1()2()(2--=z z zz f 在1||0<<z 内展开成幂级数知识点：利用1||,1112<+++++=-z z z z zn ，以及逐项求导，将分式写成部分分式的和。
解 设)1()2()(2--=z z z z f =2)2(21-+-+-z Cz B z A ，去分母得 )1()1)(2()2(2-+--+-=z C z z B z A z ， 取1=z ，得1=A取2=z ，得2=C ， 取=z ，得1-=B ，所以)1()2()(2--=z z z z f =2)2(22111-----z z z =∑∑∑∞=∞=-∞=-+-0110)2(21)2(21n n n n n nz n z z 17dz z e z zi⎰=+2||21 知识点：利用留数定理或柯西积分公式。