2014高三文科数学模拟试题05

2014高考数学文科模拟训练（05）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合}{10A x ax =+=，且1A ∈，则实数a 的值为A ．1-B ． 0C ．1D ．2 2．已知i 为虚数单位, 若复数11z =-i ，22z =+i ，则12z z =A ．3-i B. 22-iC. 1+i D．22+i 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为 A B.C.5 D ．134.已知椭圆()222109x y a a+=>与双曲线22143x y -=有相同的焦点, 则a 的值为 A B.C. 4D ．105. 各项都为正数的等比数列{}n a 中，161232,a a a a a == A B.C. 2 6. 函数()(xxf x e e e -=+为自然对数的底数)在()0,+∞上A ．有极大值 B. 有极小值 C. 是增函数 D 7. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 A ．2B ．3C ．4D ．58. 已知l 、m 是不同的两条直线，α、β 则下列命题中为真命题的是A ．若,⊥⊥l ααβ，则//l βB ．若//,⊥l ααβ图2(度150140110100 C ．若,//,⊥⊂l m m αββ，则⊥l α D ．若,//,⊥⊂l m ααββ，则⊥l m 9. 向等腰直角三角形()ABC AC BC =其中内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为AB ．1 C ． 8π D ．4π10. 某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师人数最多是A ．6B ．8C ．10D ．12 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11.为了了解某地居民每户月均用电的基本情况,抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图2所示, 若月均用电量在 区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,140上的居民共有 户.12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的 长分别为a 、b 、c ，已知3,,3c C π==2a b =,则b 的值为 .13. 已知函数()f x 满足()12,f = 且对任意,x y ∈R 都有()()()f x f x y f y -=， 记121nin i aa a a ==∏，则()1016i f i =-∏= .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题) 如图3, CD 是圆O 的切线, 切点为C , 点A 、B 在圆O 上，1,30BC BCD ︒=∠=， 则圆O 的面积为 .D12乙图42443115207981011甲DC 1A 1B 1CBA15. (坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中，若过点()1,0且与极轴垂直的直线交曲线4cos ρθ=于A 、B 两点， 则AB = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.16. （本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 求()f x 的最小正周期和最大值； (2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值. 17. （本小题满分12分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重 量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图4.(1) 根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；(2) 若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率.图518. 如图5,在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,12A A AB ==,3BC =. （1）求证：1//AB 平面1BC D ； (2) 求四棱锥11-B AAC D 的体积. 19．（本小题满分14分）动点P 与点(1,0)F 的距离和它到直线:l 1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为曲线1C ．圆2C 的圆心T 是曲线1C 上的动点, 圆2C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求曲线1C 的方程；（2）设点(),0(A a a >2),若点A 到点T 的最短距离为1a -,试判断直线l 与圆2C 的位置关系,并说明理由. 20. （本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知数列是首项为1,公差为1的等差数列.(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）令n b =，若不等式1ni i b =∑≥n ∈N *都成立，求实数L 的取值范围. 21. （本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．π15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 2分22x x ⎫=⎪⎪⎭…… 3分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 4分∴()f x 的最小正周期为22ππ=,…… 6分 (2) 解:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 7分 ∴1cos 23θ=. …… 8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 10分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 12分17．（本小题满分12分）(本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，A 1A以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解： ()11071111111131141221136x =+++++=甲, …… 1分 ()11081091101121151241136x =+++++=乙, …… 2分()()()()()()222222211071131111131111131131131141131221136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦甲 =21, …… 3分()()()()()()222222211081131091131101131121131151131241136S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-⎣⎦乙 883=, …… 4分∵x =甲x 乙, 22S S <甲乙, …… 5分∴甲车间的产品的重量相对较稳定. …… 6分 (2) 解: 从乙车间6件样品中随机抽取两件,共有15种不同的取法:()()1089108110，10，，，()()108112108115，，，，()()108124109110，，，，()()109112109115，，，，()()109124110112，，，，()()110115110124，，，，()()112115112124，，，,()115124，. …… 8分 设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”,则A 的基本事件有4种: ()()1089108110，10，，,()109110，，()110112，. …… 10分 故所求概率为()415P A =. …… 12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明:连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点，EODC 1A 1B 1CBA∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 3分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 6分 (2)解法1: ∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC CAC =. 作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， …… 8分 ∵12AB BB ==，3BC =， 在Rt △ABC中，AC ===AB BC BE AC ==…… 10分 ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+ …… 12分126=3=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3. …… 14分解法2: ∵1⊥AA 平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,∴1⊥AA AB . ∵11//BB AA , ∴1BB ⊥AB .∵1,AB BC BCBB B ⊥=,∴AB ⊥平面11BB C C . …… 8分 取BC 的中点E ,连接DE ,则1//,2DE AB DE AB =,∴DE ⊥平面11BB C C .三棱柱111-ABC A B C 的体积为1162V AB BC AA ==, …… 10分则11111326D BCC V BC CC DE V -=⨯=1=,111111111112323A BBC V B C BB A B V -=⨯==. …… 12分 而V =1D BCC V -+111A BB C V -+11B AA C D V -,∴6=12+11B AAC DV -+. ∴113B AA C D V -=. ∴四棱锥11-B AAC D 的体积为3. …… 14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法1: 设动点P 的坐标为(),x y ,依题意,得1PF x =+,1x =+, …… 2分化简得:24y x =,∴曲线1C 的方程为24y x =. …… 4分 解法2:由于动点P 与点(1,0)F 的距离和它到直线:l 1x =-的距离相等，根据抛物线的定义可知, 动点P 的轨迹是以点(1,0)F 为焦点,直线l 为准线的抛物线. …… 2分 ∴曲线1C 的方程为24y x =. …… 4分（2）解: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆2C 的半径为r ，∵ 点T 是抛物线21:4C y x =上的动点,∴2004y x =(00x ≥).∴AT =…… 6分==∵2a >,∴20a ->,则当02x a =-时,AT 取得最小值为, …… 8分依题意得 1a =-, 两边平方得2650a a -+=,解得5a =或1a =(不合题意,舍去). …… 10分∴023x a =-=,200412y x ==,即0y =±∴圆2C 的圆心T 的坐标为(3,±. ∵ 圆2C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴ ||4MN ==.∴r ==. …… 12分∵点T 到直线l 的距离014d x =+=> ∴直线l 与圆2C 相离. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)（1）解：∵数列是首项为1,公差为1的等差数列，()11n n =+-=.∴2n S n =. …… 2分 当1n =时，111a S ==；当n ≥2时，1n n n a S S -=-()221n n =--21n =-.又11a =适合上式.∴21n a n =-. …… 4分（2）解：n b ====12=. …… 6分 ∴1nii b=∑12n b bb =+++11112222⎛=+++⎝⎝ 112⎛=⎝=. …… 8分故要使不等式1ni i b =∑≥对任意n ∈N *都成立，≥对任意n ∈N *都成立，得11L-≤=对任意n ∈N *都成立. (10)分令n c =111n n n c c ++==>.∴1n n c c +>. ∴113n n c c c ->>>=…… 12分 ∴L ≤. ∴实数L 的取值范围为⎛-∞ ⎝⎦. …… 14分[另法]:1n n c c +-=1n +=0=>. ∴1n n c c +>. ∴11n n cc c ->>>=…… 12分∴L ≤. ∴实数L 的取值范围为⎛-∞ ⎝⎦. …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立，∴0a >,且∆()210b =-≤．∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分 (2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分 ① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分 若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减． …… 7分② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<， 则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减 …… 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分 当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分 (3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤， 且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥， 此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分（ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点．…… 14分。