5.4 第2课时 列一元一次方程解决相遇问题、工程问题
5.4 一元一次方程与实际问题(二)(课件)青岛版(2024)数学七年级上册
感悟新知
知5－练
解题秘方：本题主要考查了一元一次方程的实际 应用，根据工作总量＝ 工作时间× 工作效率, 列 出方程求解即可.
感悟新知
知5－练
解：设还需要增加x名文物修复师才能按时完成修复工作.
依题意，得107×2016＋(30－1702)0(16＋x)＝1， 解得x＝12． 所以，还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作.
感悟新知
知4－练
(1)若两车相向而行， 慢车先开40 min， 快车开出几小时
后两车相遇？
解题秘方：等量关系：慢车行驶的路程＋ 快车行驶的
路程＝1 500 km. 解：设快车开出 x h后两车相遇 .
由题意，得120×(x＋4600)＋150x＝1 700 . 解得x＝6 . 所以，快车开出6 h后两车相遇.
感悟新知
知5－练
解：设甲工程队每天掘进 x m，则乙工程队每天掘进(x－2) m. 由题意，得 2x＋(x＋x－2)＝26，解得 x＝7， 所以乙工程队每天掘进 7－2＝5(m)． 所以1476＋－526＝10(天)． 所以，甲、乙两个工程队还需要联合工作 10 天．
感悟新知
解：设小明的速度为x
m/s，则他的哥哥的速度为32x
知4－练
m/s.
2 min 40 s＝160 s. 本例也可设他们两人的速度分别为2x m/s
和3x m/s.
由题意，得160×32x－160 x＝400，解得x＝5 .
则小明的哥哥的速度为5×32＝7.5(m/s). 设两人同时同地反向出发，经过y s他们第一次相遇.
知4－练
感悟新知
方法点拨：火车过桥问题的图形表示:
知4－练
(1)“火车完全通过桥”是指从火车车头上桥到火车车尾离
冀教版七年级数学上册教学设计 5.4.2 相遇、工程问题
冀教版七年级数学上册教学设计 5.4.2相遇、工程问题一. 教材分析本节课的主题是相遇、工程问题，是冀教版七年级数学上册第五章第四节的一部分。
这部分内容主要让学生掌握相遇问题的解法，以及如何应用相遇问题解决实际生活中的工程问题。
教材通过具体的案例引导学生理解相遇问题的本质，并通过练习题让学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了基本的代数知识和一元一次方程的解法。
但是，对于相遇问题，他们可能还不太熟悉，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。
此外，学生可能对于实际生活中的工程问题感到陌生，需要通过实例和练习来培养解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生理解相遇问题的本质，学会用数学语言描述相遇问题。
2.让学生学会用一元一次方程解决相遇问题。
3.让学生能够将相遇问题应用于实际生活中的工程问题，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：相遇问题的解法，以及如何应用相遇问题解决实际生活中的工程问题。
2.难点：对于实际生活中的工程问题，如何将其转化为数学问题，并用一元一次方程解决。
五. 教学方法1.采用案例教学法，通过具体的案例让学生理解相遇问题的本质。
2.采用练习法，通过大量的练习让学生巩固所学知识。
3.采用情景教学法，通过模拟实际生活中的工程问题，让学生学会将实际问题转化为数学问题。
六. 教学准备1.准备相关的案例和练习题，用于引导学生学习和巩固知识。
2.准备一些实际生活中的工程问题，用于让学生进行实践和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际生活中的工程问题引入本节课的主题，让学生思考如何解决这个问题。
例如，修一条公路，甲队和乙队同时开始修，甲队每天修3米，乙队每天修4米，问两队合作需要多少天才能修完这条公路？2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现教材中的案例，让学生理解相遇问题的本质。
解释相遇问题中的相遇点、相遇时间、速度等概念，并引导学生用数学语言描述相遇问题。
北京版七年级数学上册《列一元一次方程解应用题—相遇问题》教案及教学反思
北京版七年级数学上册《列一元一次方程解应用题—相遇问题》教案及教学反思一、教学目标1.能够运用列一元一次方程的方法解决“相遇问题”，提高学生对一元一次方程解应用题的掌握程度；2.培养学生独立思考和解决问题的能力；3.提高学生的数学思维和实际应用能力。
二、教学内容1. 知识点1.一元一次方程的基本概念；2.运用一元一次方程的解法解决“相遇问题”。
2. 教学方法1.课前检查；2.控制课堂教学进度；3.虚实结合，多种形式展示，例题导学；4.自学让学生学员思考；5.练习加深学生的理解。
3. 具体内容与步骤第一步：导入通过检查上节课的知识点巩固学生的基本知识，引出本节课的主题——“列一元一次方程解应用题—相遇问题”。
第二步：讲授1.通过例题的讲解，引出“相遇问题”的一元一次方程解法，并帮助学生理解和记忆。
2.通过多种形式的讲解，加深学生对于一元一次方程的理解。
3.在讲解过程中，注意让学生自己动手解题。
第三步：练习1.在讲解过后，让学生自主完成练习题。
2.审题，思路清晰，仔细读题，明确要求。
3.在学生自主完成练习之后，讲解正确答案，并解释错误答案的原因和错误思路。
第四步：课堂反思1.提出部分学生在学习中的表现，如何提高学生的学习热情和学习效率。
2.思考本节课的教学方法和内容有哪些可以改进的地方，进行教学反思。
三、教学反思本节课是针对《列一元一次方程解应用题—相遇问题》这一知识点而进行的教学，在教学过程中，我主要采用了控制课堂进度、虚实结合、自学让学生思考、例题导学等多种教学方法。
在教学的过程中，我发现学生还是不能很好地理解和掌握一元一次方程的解题思路，因此接下来我将会对于本节课的教学进行一些反思。
首先，我认为本节课的例题不能够涵盖到所有的类型，甚至其中出现了部分比较困难的类型，导致有些学生在讲解过程中会有些无从下手。
因此，在接下来的教学中，我会对于例题的选择更加注重，选择更加贴合学生实际学习水平的例题。
其次，我认为在课程的主要内容讲解之后，我没有很好地安排练习环节，导致学生在上课后效果不是很理想。
一元一次方程应用题,相遇及追击问题
追者路程＝被追者路程＋相隔距离
甲的路程＋乙的路程＝总路程
全效学习 P90、91
作业：
家
学 校
追 及 地
400米
80x米
180x米
例2、小明每天早上要在7:50之前赶到距离家1000米的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他。 （1）爸爸追上小明用了多少时间？ （2）追上小明时，距离学校还有多远？
精讲 例题
分 析
线段图分析：
甲
乙
A
B
80千米
第二种情况： A车路程＋B车路程-相距80千米= 相距路程
路程角度：甲的路程 ＋ 乙的路程 =AB之间的距离
问题二：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，相遇时，甲行走的路程是多少？
数学在生活、经济、科技中的应用
(1)学会借助线段图分析等量关系; (2)在探索解决实际问题时,应从多角度思考问题.
问题一：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他俩几小时可以相遇？ 解：设他俩 小时后相遇， 由题意得 答：他们 小时后相遇。
问题二：甲、乙两人分别从相距50km的A、B两地同时出发，相向而行，甲每小时走3km，乙每小时走2km，相遇时，甲行走的路程是多少？
A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。 （1）若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后与A车相遇？
Байду номын сангаас
分 析
路程角度： 乙先行路程 ＋ 乙后行路程 =甲的路程
冀教版七年级数学上册教学设计 5.4.2 相遇、工程问题
冀教版七年级数学上册教学设计 5.4.2相遇、工程问题一. 教材分析教材内容：冀教版七年级数学上册5.4.2节“相遇、工程问题”，主要讲述了相遇问题的解法和应用。
相遇问题是行程问题的一种，主要研究两个或多个物体在同一时间从不同地点出发，相向而行，最终在某一点相遇的问题。
相遇问题的解法主要包括图解法和方程法。
本节课通过实例让学生掌握相遇问题的解法，并能应用于实际生活中。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的算术运算和方程解法，但对于相遇问题的理解和应用还较为陌生。
此外，学生可能对实际生活中的工程问题感到困惑，不知道如何将数学知识运用到实际问题中。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解相遇问题的本质，并通过实际例子让学生体验到数学在生活中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握相遇问题的解法，能够运用方程法解决实际生活中的相遇问题。
2.过程与方法目标：通过实例分析，让学生学会将实际问题转化为数学问题，培养学生的数学建模能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受到数学在生活中的实际应用，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：相遇问题的解法，方程法的应用。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，相遇问题在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入相遇问题，让学生在实际情境中感受和理解相遇问题的本质。
2.引导发现法：引导学生发现相遇问题的解法，培养学生自主学习的能力。
3.合作学习法：分组讨论实际问题，让学生在合作中交流思想，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实例和练习题的PPT，方便教学展示。
2.实际问题素材：收集一些生活中的相遇问题，作为教学实例。
3.练习题：准备一些有关相遇问题的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个生活中的相遇问题：甲乙两地相距100公里，甲乙两人同时从两地出发，相向而行，甲的速度为5公里/小时，乙的速度为7公里/小时。
浅析应用题教学中相遇问题和工程问题
浅析应用题教学中相遇问题和工程问题摘要：应用题教学是小学数学教学中的重要内容之一，调查发现，现在的小学应用题教学当中存在着很多的问题，影响学生数学的学习，也给数学老师造成了很大的困扰。
本文通过对复合应用题中相遇问题、工程问题的浅析，希望对小学数学应用题教学有所帮助，使小学数学教学取得更好的成绩。
关键词：小学数学应用题相遇问题工程问题浅析数学应用题是来源于日常生活和生产实际中具有一定数量关系，用文字或语言（包括图画或表格）表述出实际问题。
它包括着某项问题和解决问题的已知条件两部分。
只有已知条件充分，才能得出一个确定的答案。
如果已知条件不足，就不能得出一个确定的答案。
小学应用题教学是小学数学教学中重要的组成部分，是小学数学考试的重点之一，也是小学数学教学中的一大难点。
从老师到学生都认为应用题教学是一个比较棘手的问题。
因此，解决好应用题教学是搞好小学数学教学的一个关键。
下面就学生在学习当中出现问题比较多的相遇问题、工程问题复合应用题，在教学过程中所发现的一些问题进行总结探讨。
通过小学数学应用题教学把学生课堂上学到的知识与具体生活实践联系起来，用课本上学到的知识解决实际问题。
小学应用题按结构可分为：简单应用题就是经过一步计算就能得到答案的应用题。
复合应用题就是两步或者两步以上计算才能得到答案的应用题。
简单应用题一般可以分为以下几种：求总数、求比一个数多几的数、求剩余、求两数相差多少、求一个数的几倍是多少、把一个数平均分成若干份，求每份是多少、求一个数量是另一个数量的几倍等等。
简单应用题求解比较容易，学生基本上都能解答的很好，存在的问题也不多。
而复合应用题解题比较复杂，教学中存在的问题也比较多。
复合应用题一般包括行程问题、工程问题、流水问题、归总问题、盈亏问题、还原问题、年龄问题等等。
复合应用题学生出现问题比较多，在这里我们仅对复合应用题中比较具有代表性的行程问题中的相遇问题、工程问题在教学中常出现的问题进行探讨。
一元一次方程行程问题知识点
一元一次方程行程问题知识点一、知识概述《一元一次方程行程问题知识点》①基本定义：一元一次方程行程问题呢，简单说就是根据路程、速度、时间这三个家伙之间的关系列出一元一次方程来解决出行方面的数学题。
路程就是走了多远，速度就是走得有多快（像每小时走多少千米这样），时间就是走了多久。
②重要程度：在数学这门学科里，行程问题可重要了。
它是一元一次方程应用里的典型题目，既能考验我们对一元一次方程的掌握，又和生活里的出行特别贴近。
懂了这个，在很多现实场景里就能算出时间、速度或者路程啥的。
③前置知识：要学一元一次方程行程问题，得先把一元一次方程的解法搞得明明白白，像方程的移项、合并同类项这些基本操作得会。
而且对速度、路程、时间的基本概念要清楚，得知道在速度不变的情况下，路程和时间成正比这种关系。
④应用价值：生活里到处都是它的影子啊。
比如说开车出去玩，知道两地的距离和车速，就能算出路上需要多久。
或者跑步锻炼的时候，知道跑的距离和花的时间，就能算出自己跑步的速度。
这对计划出行、安排时间超有用的。
二、知识体系①知识图谱：在一元一次方程这个大板块里，行程问题是应用题的一部分。
它是联系方程理论和实际生活的重要桥梁。
②关联知识：和方程的解法、有理数的运算、数与式等知识点都有联系。
解行程问题的时候，方程相加或者相减，就用到有理数的运算；列出方程里的路程、速度或者时间表达式的时候，会用到数与式相关知识。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话有点费脑子。
主要是要根据实际情况准确地把路程、速度、时间用代数式表示出来，这中间变化多。
像相向而行和同向而行的路程算法就不一样。
- 关键点：抓住路程、速度、时间之间的关系。
而且要分清楚是相遇问题、追及问题还是环形跑道之类的特别情况。
④考点分析：- 在考试里很重要。
一般分值占比挺大的。
- 考查方式有直接给条件列方程求解路程或者时间的，还有像给了一点提示后让先确定是相遇还是追及然后再列方程求解的那种弯弯绕绕的题目。
浙教版七年级上册数学教案5.4 一元一次方程的应用
5.4 一元一次方程的应用（第1课时）一、教学目标：知识目标：会列一元一次方程解决实际问题．能力目标：会将实际问题转化成数学问题,学习分析实际问题的方法，提高分析能力。
情感目标：通过学习，增强用数学的意识，激发学习数学的热情．二、教学重难点：重点：掌握列方程解应用题的一般步骤难点：准确理解题意，找出相等关系，列出一元一次方程．三、教学过程：（一）导入新课：2010年广州亚运会上，我国获得奖牌416枚，其中银牌119枚，金牌数是铜牌数的2倍还多3枚。
请你算一算，其中金牌有多少枚？请讨论和解答下面的问题：（1） 能直接列出算式求2010年亚运会我国获得的金牌数吗？（2） 如果用列方程的方法求解，设哪个未知数为x ？（3） 根据怎样的相等来列方程？方程的解是多少？经过分析可知用算术方法解决此问题比较繁琐。
用列方程的方法：设获得x 枚金牌，根据题意，得31194162x x -++=. 解这个方程，得x =199.当数量关系比较复杂时，列方程解应用题要比直接列算式解容易.适当地运用一元一次方程的知识，可以解决许多现实生活中遇到的有关实际问题.（二）探究新知：1.知识讲解通过上面的讨论，可知用列方程方法解比较方便.列出综合算式直接求未知量.列方程的方法是通过用字母表示未知量，并把这个未知量当作已知量,找出与题中的其他已知量形成的相等关系列出方程求解。
师生共同总结出运用方程解决实际问题的一般过程：（1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。
（2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x ）.（3）列方程：根据相等关系列出方程。
（4）解方程：求出未知数的值。
（5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案。
2.例题讲解例1 某文艺团体为“希望工程”募捐义演，全价票为每张18元，学生享受半价。
某场演出共售出966张票，收入15480元，问这场演出共售出学生票多少张？分析:题中涉及的数量有票数、票价、总价等,它们之间的相等关系有:票数×票价=总票价;学生的票价=1/2×全价票的票价;全价票张数+学生票张数=966;全价票的总票价+学生票的总票价=15480.x=15480.解这个方程,得x=212.检验:x=212满足方程,且符合题意.答:这场演出共售出学生票212张.从上面的例子我们可以看到，运用方程解决实际问题的一般过程是：1.审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；2.设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如x）；3.列方程：根据相等关系列出方程；4.解方程：求出未知数的值；5.检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案.（三）课内小结：教师指导学生共同归纳本节的知识。
工程问题一元一次方程
工程问题一元一次方程
教学目标：
1. 理解工程问题的基本概念和特点。
2. 掌握一元一次方程在工程问题中的应用。
3. 培养学生解决实际问题的能力。
4. 培养学生的数学思维和合作精神。
教学内容：
1. 工程问题的概念和特点。
2. 一元一次方程的解法。
3. 工程问题中的一元一次方程应用。
教学重点：
1. 理解工程问题的概念和特点。
2. 掌握一元一次方程在工程问题中的应用。
教学难点：
1. 找出工程问题中的等量关系。
2. 正确设未知数并列出方程。
3. 解决实际问题。
教具和多媒体资源：
1. 黑板。
2. 投影仪。
3. 教学软件：Microsoft Excel。
教学方法：
1. 激活学生的前知：回顾工程问题的概念和特点。
2. 教学策略：讲解、示范、小组讨论、案例分析。
3. 学生活动：小组讨论、案例分析。
教学过程：
1. 导入（5分钟）：提问导入，回顾工程问题的概念和特点。
2. 讲授新课（30分钟）：讲解一元一次方程的解法，并通过例题演示一元一次方程在工程问题中的应用。
3. 巩固练习（20分钟）：提供几道工程问题，让学生尝试设未知数、列方程并求解。
4. 归纳小结（5分钟）：总结本节课的重点和难点，并进行简要回顾。
5. 布置作业（5分钟）：布置相关练习题，要求学生回家后完成。
6. 教学评价（10分钟）：通过小组讨论或案例分析的方式，检验学生对一元一次方程在工程问题中的应用掌握情况。
列一元一次方程步骤
•列一元一次方程解应用题的一般步骤：列方程〔组〕解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：⑴审题：理解题意。
弄清问题中量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元〔未知数〕：找出等量关系：找出能够表示此题含义的相等关系；①直接未知数：设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程；②间接未知数〔往往二者兼用〕。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系〔有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出〕，列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答题。
综上所述，列方程〔组〕解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题〔设元、列方程〕，在由数学问题的解决而导致实际问题的解决〔列方程、写出答案〕。
在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键。
•一元一次方程应用题型及技巧：列方程解应用题的几种常见类型及解题技巧：〔1〕和差倍分问题：①倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……〞来表达。
②多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、缺乏、剩余……〞来表达。
③根本数量关系：增长量＝原有量×增长率，现在量＝原有量＋增长量。
〔2〕行程问题：根本数量关系：路程＝速度×时间，时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间，路程=速度×时间。
①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距；②追及问题：快行距－慢行距＝原距；③航行问题：顺水〔风〕速度＝静水〔风〕速度＋水流〔风〕速度，逆水〔风〕速度＝静水〔风〕速度－水流〔风〕速度例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？(此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
一元一次方程解决相遇问题
用一元一次方程解决行程问题中的相遇问题鹿泉区实验初中 谢志芳 设计理念： 本教学设计力求体现以下特点:充分体现学生的主体地位,重视挖掘学生的认知潜力。
在教师适时启发点拔下,通过学生自己积极思维,以及小组合作的学习模式，探索和发现相遇问题的解答方法，充分体现生本课堂。
学习目标: 能根据相遇问题的题意用线段图分析数量关系,并利用路程、时间和速度三个量之间的关系，列出相遇问题的一元一次方程。
能力目标：在培养学生逻辑思维能力的同时注重培养学生的自我探究和创新能力。
情感态度与价值观目标：培养学生的合作能力，体会合作学习的快乐。
学习重、难点：使学生学会同时出发相向而行和不同时出发相向而行的相遇问题，列出一元一次方程并正确的解答。
教学程序设计：（自主导学学习模式）:一、学前准备 ★知识储备：1、列方程解应用题的一般步骤是什么？（设计意图：回顾解方程的一般步骤，使学生能规范的解应用题）2、计算下列各题（1）甲每小时行4公里，行走了x 小时，一共走了多少公里？（2）乙每小时行6公里，行走了y 小时，一共走了多少公里？甲的路程＝__________________ 乙的路程=__________________像这样有关速度、时间和路程的应用题，通常叫做"行程问题”。
（设计意图：用简单的题目让学生明白什么是行程问题）我的收获1：明确行程问题中三个量速度、时间和路程的关系是________________（设计意图：让学生明白行程问题中的基本量之间的关系。
）★ 自主探究：列方程解应用题：甲乙两站的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶60千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶90千米。
试探究：（1）两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？（2）快车先开30分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？（设计意图：给学生设置有梯度的问题，创设充分自主探究的空间。
体现学生的主体地位，体现生本理念下的课堂模式。
七用方程解决问题《相遇问题》教案
5.练习相关典型题目，巩固所学知识，提高解题技巧。
二、核心素养目标
《相遇问题》教学旨在培养学生以下核心素养：
1.数学抽象：通过分析实际问题，抽象出相遇问题的数学模型，提高学生的数学抽象能力。
2.逻辑推理：学会运用逻辑推理方法，将相遇问题转化为方程求解问题，增强学生逻辑思维。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直线型相遇和环形相遇这两个重点。对于难点部分，如列出等量关系式和解一元一次方程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相遇问题相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相遇问题的基本原理。
（3）解一元一次方程，特别是涉及分数和带有括号的方程。
-难点举例：在解方程过程中，如何正确地移项、合并同类项以及消去分数和括号。
（4）将求解结果与实际问题相结合，解释其物理意义。
-难点举例：如何将求解得到的数值代入原问题，解释相遇时间、相遇点等实际意义。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，设计生动有趣的实例，采用直观的教具和多媒体辅助教学，帮助学生形象地理解抽象的数学概念。同时，通过小组讨论、个别辅导等教学方法，引导学生积极思考，逐步突破教学难点，确保学生能够透彻理解和掌握核心知识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解相遇问题的基本概念，包括直线型相遇和环形相遇两种情况。
-通过实例讲解，使学生明确直线型相遇和环形相遇的特点及区别。
（2）掌握列方程解决相遇问题的方法，包括列出等量关系式、设置未知数、解方程等步骤。
一元一次方程相遇问题
相遇问题的分类
01
02
03
直线相遇
两个物体在同一直线上运 动，直到相遇。
曲线相遇
两个物体在平面上沿着不 同的路径运动，直到相遇。
立体相遇
两个或多个物体在三维空 间中运动，直到相遇。
相遇问题的应用场景
交通问题
如两辆车在同一条路上相向而行，直 到相遇。
运动问题
天文学问题
如两个行星在太空中相向而行，直到 相遇。
成本与收益分析
在制定商业策略时，企业经常需要考虑成本和收益的关系。这可以通过一元一次方程的相遇问题来描述，例如找 到使利润最大的成本和收入关系。
生活中的其他相遇问题
时间规划
在日常生活中，我们经常需要规划时间以完成各种任务。例如，我们需要找到一个时间点，使得我们 能够按时完成所有任务。这也可以通过一元一次方程的相遇问题来描述。
详细描述
设前车的速度为v1，后车的速度为v2， 相遇时间为t，则后车的总行程等于两车 初始距离，即(v2 - v1)t = d。
两车环形跑道问题
总结词
两车在同一起点出发，在环形跑道上行驶，直到相遇。
详细描述
设两车的速度分别为v1和v2，相遇时间为t，则两车的总行程等于跑道长度，即(v1 - v2)t = L。
资源分配
当我们需要将有限的资源分配给不同的任务或项目时，我们可以通过一元一次方程的相遇问题来找到 最佳的分配方案。
06 练习题及解析
基础练习题
总结词
考察基础概念和解题方法
题目1
甲、乙两人在长400米的环形跑道上跑步，他们同时从同一地点出发朝相反方向跑，从第 一次相遇到第二次相遇间隔40秒，甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米？
题目2
相遇问题一元一次方程应用题
相遇问题一元一次方程应用题
当涉及到物体以不同的速度移动，并在某一时刻相遇的问题时，可以使用一元一次方程来求解。
例如，假设两个人从不同的地点同时开始以不同的速度往某个目的地移动。
我们可以设其中一个人的速度为v1（m/s），另一个人的速度为v2（m/s）。
他们之间的距离为d（m）。
如果我们知道起始的时间t0（s），我们可以用一元一次方程来解决他们相遇的时间t（s）。
根据速度等于距离除以时间的公式，我们可以得到以下方程：
v1 * t + d = v2 * t
将方程变形，得到一元一次方程：
(v1 - v2) * t = -d
然后，我们可以解这个方程，计算出相遇的时间t。
冀教版七年级数学上册教学设计 5.4.2 相遇、工程问题
冀教版七年级数学上册教学设计 5.4.2相遇、工程问题一. 教材分析本节课的主题是相遇、工程问题，这是冀教版七年级数学上册第五章第四节的内容。
相遇问题是初中的一个重要内容，也是实际生活中经常遇到的问题。
在教学过程中，我们需要让学生通过观察、分析、归纳等方法，理解相遇问题的实质，掌握解决相遇问题的基本方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于图形的认识和简单的几何计算已经较为熟练。
但是，对于相遇问题这种实际应用性问题，他们可能还不太熟悉，解决起来可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，我们需要注意引导他们从实际问题中抽象出数学模型，帮助他们理解和掌握相遇问题的解决方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解相遇问题的实质，掌握解决相遇问题的基本方法，并能够灵活运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生体验从实际问题中抽象出数学模型的过程，培养他们的抽象思维能力。
3.情感态度价值观：让学生感受数学与生活的紧密联系，增强他们对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：相遇问题的实质，解决相遇问题的基本方法。
2.难点：从实际问题中抽象出数学模型，灵活运用解决方法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际情境，让学生感受相遇问题的实际意义，激发他们的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生从实际问题中抽象出数学模型，发现解决相遇问题的方法。
3.讨论交流法：在课堂上学生进行小组讨论，促进他们之间的交流与合作，提高他们的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.教学素材：实际生活中的相遇问题案例，相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际生活中的相遇问题，如两个人同时从两个不同地点出发，相向而行，问他们何时相遇？让学生感受相遇问题的实际意义，激发他们的学习兴趣。
5.4 第2课时 列一元一次方程解决相遇问题、工程问题
12 6
1 6
1 9
x
总工作量
解：设两人合做x小时才能完成．依题意，得
1621691x1.
解得
x 12 . 5
12 答：两人合做 5 小时才能完成这项工作．
试一试
生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40 h 完成.
现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，
完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排
解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2.
答：应先安排 2人做4 小时.
要点归纳
解决工程问题的思路：
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
工
A．30千米 B．40千米 C．50千米 D．45千米
2．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同 时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒， 则他们首次相遇时，两人都跑了( ) A
A．40秒 B．50秒 C．60秒 D．70秒
3.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如
依题意，得： 90×1+90x+140x=480.
解方程，得： 39
x 39 . 23
答：快车开出 2 3 小时后两车相遇．
二 工程问题
典例精析
例2 一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做 需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需 几小时才能完成 ？ 分析：如果设还需两人合做xh才能完成，那么有下面分析图. 小李单独做2h完成的工作量 小王、小李合做xh完成的工作量
一元一次方程相遇问题
一元一次方程相遇问题
用一元一次方程解决相遇问题，关键是要熟记相遇问题的等量关系式，设两个速度量分别为速度甲，速度乙，两者的路程为路程甲，路程乙，则有以下等量关系式：
①（速度甲+速度乙）×相遇时间=总路程；
②速度甲×相遇时间+速度乙×相遇时间=总路程；
③路程甲+路程乙=总路程；
④路程甲÷速度甲=路程乙÷速度乙；
解题时，先读题，审题清楚后，确定用哪个等量关系列方程，再设未知数，然后把等量关系的各个量用含有未知数字母的代数式表达出来，最后代入等量关系式，即可完成列方程，最后的计算就简单了，但是一定记着要进行验算。
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小明走的路程
小红走的路程
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得 13x + 12x = 20 . 解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少 小时才能与小明相遇？
小明先走的路程 小红出发后小明走的路程 小红走的路程
当堂练习
1．甲、乙两人骑摩托车同时从相距170千米的A，B两
地相向而行，2小时相遇，如果甲比乙每小时多行5千米， 则乙每小时行( A．30千米 ) B B．40千米 C．50千米 D．45千米
2．甲、乙两人在400米的环形跑道上练习长跑，他们同
时同地反向而跑，甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒，
千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．慢车先开出1
小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车 相遇？ 解：设快车开出x小时后两车相遇．
依题意，得： 解方程，得：
90×1+90x+140x=480.
x 39 . 23
39 答：快车开出 23 小时后两车相遇．
二 工程问题
典例精析
1 1 1 2 x 1. 6 6 9
解得
12 x . 5
12 答：两人合做 5 小时才能完成这项工作．
试一试
生产的这批螺钉、螺母要打包，由一个人做要40 h 完成. 现计划由一部分人先做4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h， 完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应该安排 多少人工作？ 列表分析： 工作量之和等于 总工作量1 工作量 4x 40 8( x 2) 40
5.4 一元一次方程的应用
第2课时 列一元一次方程解决相遇问题、工程问题
学习目标
1.掌握相遇问题、工程问题中的基本等量关系；（重点）
2.学会利用线段图分析相遇问题及工程问题，分清有关数量
关系，找出主要等量关系，准确列出方程；(难点） 3.进一步掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.(重 点)
导入新课
例2 一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做
需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需
几小时才能完成 ？ 分析：如果设还需两人合做xh才能完成，那么有下面分析图.
小李单独做2h完成的工作量
1 2 6
小王、小李合做xh完成的工作量
1 1 x 6 9
总工作量
解：设两人合做x小时才能完成．依题意，得
前一部 分工作 后一部 分工作
人均效率 人数 时间 1 × x × 4 ＝ 40 1 x＋2 × 8 ＝ × 40
解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系： 前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 可列方程
解方程，得
4 x 8( x＋2) ＋ ＝1 40 40
4x＋8(x＋2)＝40，
则他们首次相遇时，两人都跑了( A．40秒 B．50秒 ) A D．70秒
C．60秒
3.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如 果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成， 8 8 x 1 那么所列方程为____________. 18 24 18
课堂小结
列一元一次 方程解决相 遇问题、工 程问题
例1 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行
车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去 接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度 是12 km/h. （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析：由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以
相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离.即 小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离(20km).
{
相遇问题
{
路程＝速度×时间 甲走的路程+乙走的路 程=甲、乙之间的距离 工作总量=工作效率×工作时间
工程问题
{
各时间段的工作量之和=完成的 工作量 甲的工作量+乙的工作量=完成的 工作量
课后作业
见《学练优》本课时练习
4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做4 小时.
要点归纳
解决工程问题的思路： 1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间，
它们之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间.
1 若把工作量看作1，则工作效率= . 工作时间 2.相等关系：
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和=完成的工作量. (2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量 +乙的工作量=完成的工作量.
情境引入
你知道它蕴含的是我们数学中的什么问题吗？
讲授新课
一 相遇问题
合作探究
甲、乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车 分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平
均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们
出发后多少小时在途中相遇？ 问题1：找出本题中的等量关系. 轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲乙两地间的路程.
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇， 则根据等量关系，得 13(0.5 + t )+12t = 20 . 解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.
总结归纳
相43;乙走的路 程=甲、乙之间的距离
注意相向而行的始发时间和地点
练一练
甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90
问题2：设两车出发后xh相遇，请解释下图的含义. 90x km 甲 60x km 乙
375 km
轿车行驶方向 相遇地点 公共汽车行驶方向
90x+60x=375. 问题3：列出的方程是_________________________ 解得x=2.5. 即轿车与公共汽车出发后2.5h在途中相遇.
典例精析