2020年四川省遂宁市高考数学零诊试卷(理科)(含解析)

2020年四川省遂宁市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|x2−5x+6≤0}，B＝{x∈Z|1<x<5}，则A∩B＝（）A.[2, 3]B.(1, 5)C.{2, 3}D.{2, 3, 4}2.若复数z满足z(1−i)2＝i（i是虚数单位），则|z|为（）A.13B.12C.14D.153.已知a是第二象限角，sinα=1213，则cosα＝（）A.−513B.−1213C.513D.12134.在等差数列{a n}中，a2＝0，a4＝8，S n是其前n项和，则S5＝（）A.10B.12C.16D.205.函数f(x)={xlnxx2+1,x>0xln(−x)x+1,x<0的图象大致为（）A. B.C. D.6.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶）、李（冶）、杨（辉）、朱（世杰）四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n ＝（ ）A.2B.3C.4D.57.已知等比数列{a n }中，公比为q ，a 2＝3，且−1，q ，7成等差数列，又b n ＝log 3a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 9() A.36 B.28 C.45 D.328.设函数f(x)=alnx +bx 2(a >0, b >0)，若函数f(x)的图象在x =1处的切线与直线x −y −2e =0平行，则1a +1b 的最小值为（ ） A.1 B.12C.3−2√2D.3+2√29.如图所示，函数f(x)＝sin(2x +φ)(|φ|<π)的图象过点(π6,0)，若将f(x)的图象上所有点向右平移π6个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，则g(0)＝（ ）A.1+√32B.1−√32C.1+√32或1−√32D.√3210.若函数f(x)=2x −m 2+1+tanx +x 是定义在[−1, 1]上的奇函数，则满足f(2x −1)<f(x −m +1)的实数x 的取值范围是（ ） A.[0, 1) B.(−1, 0] C.[1, 2) D.(0, 1]11.如图，在△ABC 中，AD →=58AC →，BP →=25PD →，若AP →=λAB →+μAC →，则μλ的值为（ ）A.1112 B.34C.14D.7912.定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足x 2f′(x)+1>0（f′(x)为函数f(x)的导函数），f(3)=43，则关于x 的不等式f(log 2x)−1>log x 2的解集为（ ） A.(1, 8) B.(2, +∞) C.(4, +∞) D.(8, +∞)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知e 1→，e 2→是互相垂直的单位向量，向量a→=2e 1→−e 2→，b→=e 1→+2e 2→，则a →⋅b →=________．14.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f(x)＝3xf ′(2)+lnx ，则f ′(1)的值等于________．15.△ABC 外接圆半径为√3，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A =60∘，b =2，则c 的值为________．16.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x 0满足f(−x 0)＝−f(x 0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)={log 2(x 2−2mx +1),x ≥2−3,x <2 (m ∈R ，且m ≠0)为其定义域上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________． 三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知函数f(x)=√x+1+log 2(6−x −x 2)．（1）求f(1)的值（2）①求函数f(x)的定义域M ；②若(a −1)∈M ，且(a +1)∈M ，求实数a 的取值范围．18.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝2a 2−2，a 3＝a 4−2a 2． （1）求等比数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }为递增数列，数列{b n }是等差数列，且b 2＝2，b 4＝4；数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ．19.设函数ℎ(x)=x 3−ax 2+bx +c(a, b, c ∈R)，且ℎ(0)=1，ℎ(1)=−1，ℎ(2)=3．（1）求函数ℎ(x)的极大值和极小值；（2）若函数f(x)=ℎ(x)−1，且过点M(1, m)(m ≠−2)可作曲线y =f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围．20.已知向量a →=(sinωx,√3+√6sinωx)，向量b →=(2cosωx,√2sinωx −1)，0<ω<1，函数f(x)=a →⋅b →，直线x =5π6是函数f(x)图象的一条对称轴．（1）求函数f(x)的解析式及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=√3，sinB＝2sinA，又已知tanα=√2−1 (0<α<π2 )，锐角C满足f(2α+C)=√2，求a+b的值．21.已知函数f(x)＝alnx−ax+1（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+12x2−1有两个极值点x1，x2(x1≠x2)．且不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求实数λ的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosαy=sinα（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，直线l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．（1）求：①曲线C1的普通方程；②曲线C2与直线l交点的直角坐标；)，点N是曲线C1上的点，求△MON面积的最大（2）设点M的极坐标为(6,π3值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)＝|x−2|．（1）解不等式：f(x)<4−f(x+1)（2）若函数g(x)=√x−3(x≥4)与函数y＝m−f(x)−2f(x−2)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．2020年四川省遂宁市高考数学零诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x|x 2−5x +6≤0}，B ＝{x ∈Z|1<x <5}，则A ∩B ＝（ ） A.[2, 3] B.(1, 5) C.{2, 3} D.{2, 3, 4}【解答】A ＝{x|2≤x ≤3}，B ＝{2, 3, 4}； ∴A ∩B ＝{2, 3}．2.若复数z 满足z(1−i)2＝i （i 是虚数单位），则|z|为（ ） A.13 B.12C.14D.15【解答】由z(1−i)2＝i ，得z =i(1−i)2=i−2i =−12， ∴|z|=12．3.已知a 是第二象限角，sinα=1213，则cosα＝（ ） A.−513 B.−1213C.513D.1213【解答】∵α是第二象限角，且sinα=1213，∴cosα=−√1−sin 2α=−√1−(1213)2=−513．4.在等差数列{a n }中，a 2＝0，a 4＝8，S n 是其前n 项和，则S 5＝（ ） A.10 B.12 C.16 D.20【解答】∵在等差数列{a n }中，a 2＝0，a 4＝8， ∴{a 2=a 1+d =0a 4=a 1+3d =8，解得a 1＝−4，d ＝4， ∴S 5=5a 1+5×42d =5×(−4)+10×4＝20． 5.函数f(x)={xlnxx 2+1,x >0xln(−x)x 2+1,x <0的图象大致为（ ）A. B.C. D.【解答】解：若x>0，则−x<0，=−f(x)，则f(−x)=−xlnxx2+1若x<0，则−x>0，=−f(x)，则f(−x)=−xln(−x)x+1综上f(−x)=−f(x).即f(x)是奇函数，图象关于圆的对称，排除C，D，当x>0，且x→0时，f(x)<0，排除B.故选A.6.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶）、李（冶）、杨（辉）、朱（世杰）四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a，b分别为3，1，则输出的n＝（）A.2B.3C.4D.5【解答】模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1，n＝1a=92，b＝2不满足条件a<b，执行循环体，n＝2，a=274，b＝4，不满足条件a<b，执行循环体，n＝3，a=818，b＝8，不满足条件a<b，执行循环体，n＝4，a=24316，b＝16，满足条件a<b，退出循环，输出n的值为4．7.已知等比数列{a n}中，公比为q，a2＝3，且−1，q，7成等差数列，又b n ＝log3a n，数列{b n}的前n项和为T n，则T9()A.36B.28C.45D.32【解答】等比数列{a n}中，公比为q，a2＝3，且−1，q，7成等差数列，可得2q＝−1+7＝6，即q＝3，a1q＝3，则a1＝1，a n＝3n−1，b n＝log3a n＝log33n−1＝n−1，T n=12n(n−1)，则T9=12×9×8＝36．8.设函数f(x)=alnx+bx2(a>0, b>0)，若函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x−y−2e=0平行，则1a +1b的最小值为（）A.1B.12C.3−2√2D.3+2√2【解答】由f(x)＝alnx+bx2(a>0, b>0)，得f′(x)=ax+2bx(a>0, b>0)，由题意，f′(1)＝a+2b＝1．∴1a +1b=(1a+1b)(a+2b)＝1+ab+2+2ba=3+ab+2ba≥3+2√2．当且仅当ab =2ba，即a=√2−1，b＝1−√22时取“＝”．故选：D．9.如图所示，函数f(x)＝sin(2x+φ)(|φ|<π)的图象过点(π6,0)，若将f(x)的图象上所有点向右平移π6个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，则g(0)＝（ ）A.1+√32B.1−√32C.1+√32或1−√32D.√32【解答】∵函数f(x)＝sin(2x +φ)(|φ|<π)的图象过点(π6,0)， 由图象利用五点法作图可得，2×π6+φ＝π，∴φ=2π3，f(x)＝sin(2x +2π3)．若将f(x)的图象上所有点向右平移π6个单位长度，可得y ＝sin(2x −π3+2π3)＝sin(2x +π3)的图象，然后再向上平移1个单位长度，可得y ＝sin(2x +π3)+1的图象． 故所得图象对应的函数为g(x)＝sin(2x +π3)+1， 则g(0)＝sin(0+π3)+1＝1+√32， 10.若函数f(x)=2x −m 2x +1+tanx +x 是定义在[−1, 1]上的奇函数，则满足f(2x −1)<f(x −m +1)的实数x 的取值范围是（ ） A.[0, 1) B.(−1, 0] C.[1, 2) D.(0, 1]【解答】解：函数f(x)为奇函数， 则f(0)=0， 即f(0)=1−m 1+1+0=0，得1−m =0，得m =1，即f(x)=2x −12x +1+tanx +x =1−22x +1+tanx +x 为[−1, 1]上的增函数， 则不等式f(2x −1)<f(x −m +1)等价为f(2x −1)<f(x)， 即{−1≤2x −1≤1,−1≤x ≤1,2x −1<x,得{0≤x ≤1,−1≤x ≤1,x <1,∴0≤x <1，即实数x 的取值范围是[0, 1). 故选A .11.如图，在△ABC 中，AD →=58AC →，BP →=25PD →，若AP →=λAB →+μAC →，则μλ的值为（ ）A.1112 B.34C.14D.79【解答】 由BP →=25PD →可知BP →=27BD →． AP →=AB →+BP →=AB →+27BD=AB →+27(AD →−AB →)=AB →+27(58AC →−AB →)=5AB →+5AC → ∴λ=57，μ=528 λ=1 12.定义在(1, +∞)上的函数f(x)满足x 2f′(x)+1>0（f′(x)为函数f(x)的导函数），f(3)=43，则关于x 的不等式f(log 2x)−1>log x 2的解集为（ ） A.(1, 8) B.(2, +∞) C.(4, +∞) D.(8, +∞)【解答】构造函数F(x)＝f(x)−1x ，x ∈(1, +∞)， ∴F ′(x)＝f ′(x)+1x 2=f ′(x)x 2+1x 2，∵函数f(x)在(1, +∞)上满足x 2f′(x)+1>0， ∴F ′(x)>0在(1, +∞)上恒成立， ∴函数F(x)在(1, +∞)上单调递增，∵不等式f(log 2x)−1>log x 2，∴f(log 2x)−log x 2>1，即f(log 2x)−1log 2x>1，又∵F(3)＝f(3)−13=43−13=1， ∴不等式可转化为F(log 2x)>F(3)， 又∵函数F(x)在(1, +∞)上单调递增， ∴log 2x >3，解得：x >8，二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．已知e 1→，e 2→是互相垂直的单位向量，向量a →=2e 1→−e 2→，b→=e 1→+2e 2→，则a →⋅b →=________． 【解答】因为e 1→，e 2→是互相垂直的单位向量，向量a→=2e 1→−e 2→，b→=e 1→+2e 2→，∴|e 1→|＝|e 2→|＝1，e 1→⋅e 2→=0． 所以：a →⋅b →=(2e 1→−e 2→)⋅(e 1→+2e 2→)＝2e 1→2+3e 1→⋅e 2→−2e 2→2=2×12−0−2×12＝0， 即：a →⋅b →=0．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f(x)＝3xf ′(2)+lnx ，则f ′(1)的值等于________． 【解答】根据题意，f(x)＝3xf ′(2)+lnx ， 则其导数f′(x)＝3f ′(2)+1x ，当x ＝2时，有f′(2)＝3f ′(2)+12，解可得f′(2)=−14， 则f′(x)=−34+1x ， 则f′(1)=−34+1=14， 故答案为：14△ABC外接圆半径为√3，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A= 60∘，b=2，则c的值为________．【解答】解：∵△ABC外接圆半径为√3，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60∘，b=2，∴由正弦定理可得：asin60=2sinB=csinC=2√3，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，可得：9=4+c2−2c，即c2−2c−5=0，∴解得：c=1+√6或1−√6（舍去）．故答案为：√6+1．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(−x0)＝−f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)={log2(x 2−2mx+1),x≥2−3,x<2(m∈R，且m≠0)为其定义域上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是________−34，0）∪（0，54）．【解答】由x2−2mx+1>0对x≥2恒成立，得m<54，因为若f(x)={log2(x2−2mx+1),x≥2−3,x<2(m∈R, m≠0)，为定义域上的“倒戈函数”，所以在定义域内存在实数x0满足f(−x0)＝−f(x0)，①当x0≥2时，−x0≤−2，所以−3＝−log2(x02−2mx0+1)，∴x02−2mx0+1＝8，∴x02−2mx0−7＝0，∴m=x02−72x0，∴m=12x0−72⋅1x0，∵y=12x−72⋅1x(x≥2)是增函数，∴y≥−34，∴−34≤m <54且m ≠0， ②当x 0<2时，−x 0>2，所以log 2(x 02+2mx 0+1)＝−(−3)． ∴x 02+2mx 0−7＝0，∴m =−12x 0+72⋅1x 0(x 0<2)是减函数，∴m >−34，∴−34<m <54且m ≠0，综上所述实数m 的取值范围是[−34, 0)∪(0, 54)．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 已知函数f(x)=√x+1+log 2(6−x −x 2)． （1）求f(1)的值（2）①求函数f(x)的定义域M ；②若(a −1)∈M ，且(a +1)∈M ，求实数a 的取值范围． 【解答】 因为f(x)=x+1+log 2(6−x −x 2)， 所以f(1)=√1+1log 24=√22+2，即f(1)的值为2+√22． ①由题意有{x +1>06−x −x 2>0 ，可得{x >−1−3<x <2 ，所以−1<x <2，所以M ＝(−1, 2)，②由①可有{−1<a −1<2−1<a +1<2 ，可得{0<a <3−2<a <1 ，可得0<a <1，即a 的取值范围是(0, 1)．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝2a 2−2，a 3＝a 4−2a 2． （1）求等比数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }为递增数列，数列{b n }是等差数列，且b 2＝2，b 4＝4；数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ． 【解答】等比数列{a n }中有a 3＝a 4−2a 2，则q 2−q −2＝0，所以q ＝2或−1， 因为S 2＝2a 2−2，所以a 1+a 2＝2a 2−2，所以a 1＝a 1q −2，当q＝2时，a1＝2，此时a n=2n；当q＝−1时，a1＝−1，此时a n=(−1)n；因为数列{a n}为递增数列，所以a n=2n，数列{b n}是等差数列，且b2＝2，b4＝4，公差设为d，则有b4−b2＝2d＝4−2＝2，所以d＝1，所以b n＝b2+(n−2)d＝2+(n−2)×1＝n，即b n＝n，所以a n b n=n⋅2n，所以T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n×2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+n×2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1，−T n=2−2n+11−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，即T n=(n−1)⋅2n+1+2．设函数ℎ(x)=x3−ax2+bx+c(a, b, c∈R)，且ℎ(0)=1，ℎ(1)=−1，ℎ(2)=3．（1）求函数ℎ(x)的极大值和极小值；（2）若函数f(x)=ℎ(x)−1，且过点M(1, m)(m≠−2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．【解答】因为ℎ(0)＝1 ℎ(1)＝−1，ℎ(2)＝3，所以{c=11−a+b+c=−18−4a+2b+c=3⇒a＝0，b＝−3，c＝1；故ℎ(x)＝x3−3x+1，则ℎ′(x)＝3(x−1)(x+1)，令ℎ′(x)＝0⇒x＝−1或1；由ℎ′(x)>0⇒x<−1或x>1；由ℎ′(x)<0⇒−1<x<1，所以ℎ(x)的单调递增区间为(−∞, −1)，(1, +∞)；单调递减区间为(−1, 1)；函数的极大值点为−1，所以函数的极大值为ℎ(−1)＝3，函数的极小值点为1，所以函数的极小值为ℎ(1)＝−1；过点M(1, m)向曲线y＝f(x)作切线，设切点为(x0, y0)，则由（1）知f(x)＝x3−3x，故y0=x03−3x0，f′(x)＝3x2−3，所以在x＝x0处的切线斜率k＝3x02−3，则切线方程为y−(x03−3x0)=(3x02−3)(x−x0)，把点M(1, m)代入整理得2x03−3x02+m+3=0(∗)，因为过点M(1, m)(m≠−2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，所以方程(∗)有三个不同的实数根．设g(x)＝2x 3−3x 2+m +3，g ′(x)＝6x 2−6x ＝6x(x −1)；令g ′(x)＝0，x ＝0或x ＝1．则x ，g ′(x)，g(x)的变化情况如上表知，当x ＝0，g(x)有极大值m +3；x ＝1，g(x)有极小值m +2， 由g(x)的简图知，当且仅当{g(0)=m +3>0g(1)=m +2<0⇒−3<m <−2，函数g(x)有三个不同零点，过点M 可作三条不同切线．所以若过点M(1, m)可作曲线y ＝f(x)的三条不同切线，则m 的取值范围是(−3, −2)．已知向量a →=(sinωx,√3+√6sinωx)，向量b →=(2cosωx,√2sinωx −1)，0<ω<1，函数f(x)=a →⋅b →，直线x =5π6是函数f(x)图象的一条对称轴．（1）求函数f(x)的解析式及单调递增区间；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =√3，sinB ＝2sinA ，又已知tanα=√2−1 (0<α<π2 )，锐角C 满足f(2α+C)=√2，求a +b 的值． 【解答】f(x)=a →⋅b →=sin2ωx −√3cos2ωx =2sin(2ωx −π3)∵直线x =5π6是函数f(x)图象的一条对称轴，∴2×5π6ω−π3=kπ+π2，k ∈Z ， ∴ω=3k 5+12，k ∈Z ，∵ω∈(0, 1)，∴k =0,ω=12，∴f(x)=2sin(x −π3)，由2kπ−π2≤x −π3≤2kπ+π2，得2kπ−π6≤x ≤2kπ+5π6，k ∈Z ，∴单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+5π6]，k ∈Z ．由tanα=√2−1(0<α<π2)，得tan2α=2tanα1−tan 2α=√2−1)1−(2−1)2=1，0<2α<π，所以2α=π4，α=π8，又f(2α+C)=√2，所以2sin(π4+C −π3)=√2，即sin(C −π12)=√22，因为C为锐角，所以−π12<C−π12<5π12，所以C−π12=π4，即C=π3，又sinB＝2sinA，所以由正弦定理得ba=2，①由余弦定理，得c2=a2+b2−2abcosπ3，即a2+b2−ab＝3，②由①②解得a＝1，b＝2，所以a+b＝3．．已知函数f(x)＝alnx−ax+1（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数g(x)=f(x)+12x2−1有两个极值点x1，x2(x1≠x2)．且不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】因为f(x)＝alnx−ax+1，所以f/(x)=ax −a=a(1−x)x(x>0)，则①当a＝0时，f(x)＝1(x>0)是常数函数，不具备单调性；②当a>0时，由f′(x)>0⇒0<x<1；由f′(x)<0⇒x>1．故此时f(x)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，③当a<0时，由f′(x)>0⇒x>1；由f′(x)<0⇒0<x<1．故此时f(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增．因为g(x)=f(x)+12x2−1=a(lnx−x)+12x2所以g/(x)=x2−ax+ax(x>0)，由题意g′(x)＝0有两个不同的正根，即x2−ax+a＝0有两个不同的正根，则{△=a2−4a>0x1+x2=a>0x1x2=a>0，可得a>4，不等式g(x1)+g(x2)<λ(x1+x2)恒成立等价于λ>g(x1)+g(x2)x1+x2=g(x1)+g(x2)a恒成立，又g(x1)+g(x2)=a(lnx1−x1)+12x12+a(lnx2−x2)+12x22=a(lnx1+lnx2)−a(x1+x2)+12(x12+x22)=alnx1x2−a(x1+x2)+1[(x1+x2)2−2x1x2]=alna−a2+12(a2−2a)=alna−12a2−a，所以g(x1)+g(x2)x1+x2=lna−12a−1，令y=lna−12a−1(a>4)，则y/=1a−12<0，所以y=lna−12a−1在(4, +∞)上单调递减，所以y<2ln2−3，所以λ≥2ln2−3．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosαy=sinα（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝1，直线l的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．（1）求：①曲线C1的普通方程；②曲线C2与直线l交点的直角坐标；（2）设点M的极坐标为(6,π3)，点N是曲线C1上的点，求△MON面积的最大值．【解答】①因为{x=1+cosαy=sinα，又sin2α+cos2α＝1，所以(x−1)2+y2＝1，即曲线C1的的普通方程为(x−1)2+y2＝1；②由ρ2＝x2+y2得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝1，又直线l的直角坐标方程为x−y＝0，所以{x2+y2=1x−y=0⇒{x1=√22y1=√22或{x2=−√22y2=−√22，所以曲线C2与直线l的交点的直角坐标为(√22,√22)和(−√22,−√22)．设N(ρ, θ)，又由曲线C1的普通方程为(x−1)2+y2＝1得其极坐标方程ρ＝2cosθ．∴△MON的面积S=12|OM|⋅|ON|⋅sin∠MON=12|6ρsin(π3−θ)|=|6cosθsin(π3−θ)|=|3sin(π3−2θ)+3√32|=|3cos(2θ+π6)+3√32|．所以当θ=23π12或θ=11π12时，(S△MON)max=3+3√32．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x −2|．（1）解不等式：f(x)<4−f(x +1)（2）若函数g(x)=√x −3(x ≥4)与函数y ＝m −f(x)−2f(x −2)的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围． 【解答】由f(x)<4−f(x +1)得|x −2|<4−|x −1|， 即{2x −3<4x >2 或{1<41≤x ≤2 或{3−2x <4x <1．解得2<x <72或1≤x ≤2或−12<x <1，即−12<x <72， 所以原不等式的解集为{x|−12<x <72}．因为函数g(x)=√x −3(x ≥4)在[4, +∞)单调递增， 所以g(x)min ＝g(4)＝1，因为y ＝m −f(x)−2f(x −2)={3x +m −10,x <2x +m −6,2≤x ≤4−3x +m +10,x >4 ，在x ＝4处取得最大值m −2，要使函数g(x)=√x −3(x ≥4)与函数y ＝m −f(x)−2f(x −2)的图象恒有公共点，则须m −2≥1，即m ≥3，故实数m 的取值范围是[3, +∞)．。