4.1.2利用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解(高中数学)
[解] 因为 f(－1)>0，f(－2)<0，且函数 f(x)＝x3－3x2－9x＋1 的图象 是连续的曲线，根据函数零点的存在性定理可知，它在区间[－2，－1]内 有零点，用二分法逐步计算，列表如下：
22
端点(中点)
________．
11
合作探究 提素养
12
二分法的概念 【例 1】 已知函数 f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用 二分法求解的个数分别为( )
A．4,4
B．3,4
C．5,4
D．4,3
D [图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号
的零点有 3 个，所以用二分法求解的个数为 3，故选 D.]
内的唯一零点时，精确度为 0.001， 长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束
则结束计算的条件是( )
计算．]
A．|a－b|<0.1
B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001
D．|a－b|＝0.001
3．已知函数 y ＝f(x)的图象如图所 示，则不能利用二分 法求解的零点是 ________．
由于|1.75－1.687 5|＝0.062 5<0.1，所以函数的正数
零点的近似值可取为1.687 5.
26
利用二分法求方程近似解的过程图示
27
1．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度， 用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
2．并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足： (1)在区间[a，b]上连续不断； (2)f(a)·f(b)<0， 上述两条的函数方可采用二分法求得零点的近似值．
4.1.2 利用二分法求方程的近似解
4.1.2 利用二分法求方程的近似解教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难．本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用．用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算．在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步．三维目标1．让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法．2．了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想．3．回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣．重点难点用二分法求方程的近似解．课时安排1课时教学过程导入新课师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价．生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价．如果低了，每隔50元上升报价；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法．譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障(相距大约3 500米)．电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测，还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测．师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法)．新知探究提出问题①解方程2x－16＝0.②解方程x2－x－2＝0.③解方程x3－2x2－x＋2＝0.④解方程x2－x2－3x＋＝0.⑤我们知道，函数f x＝ln x＋2x－6在区间，内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间？⑦什么叫二分法？⑧试求函数f x＝ln x＋2x－6在区间，内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：①x＝8.②x＝－1，x＝2.③x＝－1，x＝1，x＝2.④x＝－2，x＝2，x＝1，x＝2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．〔“取中点”，一般地，我们把x ＝a ＋b2称为区间(a ，b )的中点〕 ⑥比如取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f (2.5)＜0，因为f (2.5)·f (3)＜0，所以零点在区间(2.5,3)内．⑦对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．⑧因为函数f (x )＝ln x ＋2x －6，用计算器或计算机作出函数f (x )＝ln x ＋2x －6的对x 0，取区间(2,3)的中点x 1＝2.5，用计算器算得f (2.5)≈－0.084，因为f (2.5)·f (3)＜0，所以x 0∈(2.5,3)．由于述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表)．这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．例如，当精确度为0.01时，由于|2.539 062 5－2.531 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x ＝2.531 25作为函数f (x )＝ln x ＋2x －6零点的近似值．⑨给定精度ε，用二分法求函数f (x )的零点近似值的步骤如下：图11°确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )＜0，给定精度ε. 2°求区间(a ，b )的中点c . 3°计算f (c )：a ．若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；b ．若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c 〔此时零点x 0∈(a ，c )〕； c ．若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c 〔此时零点x 0∈(c ，b )〕． 4°判断是否达到精度ε，即若|a －b |＜ε，则得到零点值a (或b )；否则重复步骤2°～4°.⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．应用示例例1 求方程2x 3＋3x －3＝0的一个实数解，精确到0.01.解：考察函数f (x )＝2x 3＋3x －3，从一个两端函数值反号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程实数解所在区间．经试算，f (0)＝－3＜0，f (2)＝19＞0，所以函数f (x )＝2x 3＋3x －3在[0,2]内存在零点，即方程2x 3＋3x －3＝0在[0,2]内有解．取[0,2]的中点1，经计算，f (1)＝2＞0，又f (0)＜0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在[0,1]内有解．30.01，都是0.74.所以0.74是方程2x 3＋3x －3＝0精确到0.01的实数解．点评：利用二分法求方程近似解的步骤：①确定函数f (x )的零点所在区间(a ，b )，通常令b －a ＝1； ②利用二分法求近似解. 变式训练利用计算器，求方程x 2－2x －1＝0的一个近似解．(精确到0.1) 活动：教师帮助学生分析：画出函数f (x )＝x 2－2x －1的图像，如图2所示．从图像上可以发现，方程x 2－2x －1＝0的一个根x 1在区间(2,3)内，另一个根x 2在区间(－1,0)内．根据图像，我们发现f (2)＝－1＜0，f (3)＝2＞0，这表明此函数图像在区间(2,3)上穿过x 轴一次，即方程f (x )＝0在区间(2,3)上有唯一解．图2计算得f ⎝⎛⎭⎪⎫2＋32＝14＞0，发现x 1∈(2,2.5)(如图2)，这样可以进一步缩小x 1所在的区间．解：设f (x )＝x 2－2x －1，先画出函数图像的简图，如图2. 因为f (2)＝－1＜0，f (3)＝2＞0，所以在区间(2,3)内，方程x 2－2x －1＝0有一解，记为x 1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x1＜2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5＜0，所以2.25＜x1＜2.5.如此继续下去，得f(2)＜0，f(3)＞0⇒x1∈(2,3)，f(2)＜0，f(2.5)＞0⇒x1∈(2,2.5)，f(2.25)＜0，f(2.5)＞0⇒x1∈(2.25,2.5)，f(2.375)＜0，f(2.5)＞0⇒x1∈(2.375,2.5)，f(2.375)＜0，f(2.437 5)＞0⇒x1∈(2.375,2.437 5)．因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的一个近似解为2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.例2 利用计算器，求方程lg x＝3－x的近似解．(精确到0.1)活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．分别画出y＝lg x和y＝3－x的图像，如图3所示．在两个函数图像的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程lg x＝3－x的解．由函数y＝lg x与y＝3－x的图像可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内．图3解：设f(x)＝lg x＋x－3，设x1为函数的零点即方程lg x＝3－x的解．用计算器计算，得f(2)＜0，f(3)＞0⇒x1∈(2,3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0⇒x1∈(2.5,3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0⇒x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0，f(2.625)＞0⇒x1∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0⇒x1∈(2.562 5,2.625)．因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为2.6.例3 求方程ln x－2x＋3＝0在区间[1,2]内的根．(精确到0.1)解：设f(x)＝ln x－2x＋3，则原方程的根为函数f(x)的零点．设x1为函数的零点即方程ln x－2x＋3＝0的解．因为f(1)＝1，f(2)＝－0.306 852 819，所以f(1)f(2)＜0，即函数f(x)在[1,2]内有一个零点．根据二分法，用计算器得出以下表格：图4因为f(1.75)＝0.059 615 787＞0，f(1.812 5)＝－0.030 292 892＜0，所以区间[1.75,1.812 5]内的所有值若精确到0.1，都是1.8.所以1.8是方程ln x－2x＋3＝0精确到0.1的实数解．点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图像，初步确定解所在的区间，再用二分法求方程近似解．②二分法，即逐渐逼近的方法．③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易．知能训练x．A．(分析：设f(x)＝e x－x－2，f(1)＜0，f(2)＞0，即f(1)f(2)＜0，∴x∈(1,2)．答案：C课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结．①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用．②思想方法：函数方程思想、数形结合思想．课后作业：P119习题4—1 A组1,3.。
北师大版必修一数学4.1.2利用二分法求方程的近似解
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 第11周集体备课一、课题： 4.1.2利用二分法求方程的近似解二、学习目标1.解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；2．让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；3．培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。
三、落实目标【自主预习】问题1：函数)(x f y =的零点的概念。
问题2：求下列函数的零点（1）2132)(2+-=x x x f （2）x x x f 9)(3-=问题3：判断下列函数或方程在给定的区间是否存在零点（1）函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）上；（2）方程在区间09342=-+x x [0，2]上。
问题4：有一条2km 长的电话线路（大约41根电线杆），某一天线路发生了故障．想一想，维修线路的工人师傅如何尽快查出故障所在？问题5：求函数62ln )(-+=x x x f 在区间(2，3)内零点的近似值（精确到0.01）？ 附：有关函数62ln )(-+=x x x f 的一些自变量与对应函数值表区间 端点的符号 中点的值 中点函数值的符号（2，3）f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0 (2.5,3) f(2.5)<0, f(3)>0 2.75f(2.75)>0(2.5,2.75)f(2.5)<0, f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0 (2.5,2.625)f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)>0 (2.5,2.5625)f(2.5)<0, f( 2.5625)>0 2.53125 f(2.53125)<0 (2.53125, 2.5625)f(2.53125)<0, f( 2.5625)>0 2.546875 f(2.546875)>0 (2.53125,2.546875)f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 2.5390625f(2.5390625)>0 (2.53125,2.5390625) f(2.53125)<0, f(2.5390625)>02.53515625 f(2.53515625)>0 函数62ln )(-+=x x x f 的零点大约是：问题6：什么是二分法，它的步骤是什么？【合作探究】例1、求方程0332)(3=-+=x x x f 的一个近似解（精确到0.01）。
用二分法求方程的近似解课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
4.1.2利用二分法求方程的近似解
-8-
1.2 利用二分法求方程的近似解
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
题型一
题型二
【变式训练 1】 下列函数求函数零点不宜用二分法的是
(
)
A.f(x)=x3-8 B.f(x)=ln x+3 C.f(x)=x2+2 2x+2 D.f(x)=-x2+4x+1 解析:因为函数的零点即为方程的根,对于方程 x2+2 2x+2=0,判别式 Δ=0,方程只有一个根,且在这个根两边函数值符号相同,所以函数 f(x)=x2+2 2x+2 的零点不宜用二分法求解. 答案:C
)
-14-
1.2 利用二分法求方程的近似解
M 目标导航 Z 知识梳理 Z 重难聚焦
UBIAODAOHANG HISHI SHULI
HONGNAN JVJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
3 已知定义在 R 上的函数 f(x)的图像是连续不断的,且有如下对应值表:
1.2
利用二分法求方程的近似解
-1-
1.2 利用二分法求方程的近似解
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D典例透析 S随堂演练
IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
用二分法求方程的近似解(21)
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可 作为方程的一个正实数近似解．
[题后感悟] (1)二分法解题流程：
2021/4/22
必修1 第三章 函数的应用
栏目21导引
2.利用计算器求方程 lg x＝3－x 的 近似解(精确度 0.1)．
2021/4/22
必修1 第三章 函数的应用
栏目22导引
解析： 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发 现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x0，并且 解在区间(2,3)内． 设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得f(2)<0 ，f(3)>0， ∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
2021/4/22
必修1 第三章 函数的应用
栏目2导引
1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函 数，则b的取值范围为_b_≥_0__. 2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为_－__1_,_1_,3_. 3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为_1_.
2021/4/22
精 品 教 学 设 计4.1.2利用二分法求方程的近似解
精 品 教 学 设 计1.2利用二分法求方程的近似解一、教学目标1、理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器自己验证求方程近似值的过程；2、体会二分法的思想和方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生能够了解近似逼近思想，培养学生能够探究问题的能力和创新能力，以及严谨的科学态度；3、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法；感受正面解决问题困难时，通过迂回的方法得到解决的快乐。
二、教学重点与难点1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．三、教学过程设计（一）温故知新 问题1：对于函数1()f x x=，显然有(1)10,(1)0f f -=-<>，能否说方程()0f x =在[]1,1-内有实数解？为什么？问题2：如图是函数()f x 的图像，由图可知(1)10,(5)0,f f -=-><，能否说方程()0f x =在[]1,5-内有实数解？问题3：如何求出()0f x =的实数解呢？（二）分析理解如何求出()0f x =的实数解呢？ ①取[]1,5-的中点2，因为(5)0,(2)0f f <> 所以方程()0f x =在[]2,5内有解。
②于是再取[]2,5的中点3.5，因为(3.5)0,f f <所以方程()0f x =在[]2,3.5内有解。
③然后又取[]2,3.5的中点2.75，如此继续下去…如果取到某个区间的中点0x ，恰使0()0f x =，则0x 就是所求的一个解；如果区间中点的函数值总不等于零，那么，不断地重复上述操作，可得到一个满足要求的近似解。
④定义形成象这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较；按需要留下其中一个小区间的方法，称为二分法。
高中数学《用二分法求方程的近似解》教学设计
用二分法求方程的近似解一、内容与内容解析1.内容利用二分法求方程的近似解.2.内容解析对于区间[a,b]上的连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法.二分法是求方程近似解的常用方法，这种方法由“区间”端点对应的数，研究“点”对应的具体的数：通过不断缩小“区间”，由“区间”左端点对应的单调递增数列，以及右端点对应的单调递减数列，不断逼近这一系列“区间”组成的区间套中的具体点对应的数.二分法的本质仍然是通过数的运算研究问题.二分法通过不断缩小函数零点所在区间求方程的近似解，体现出用函数观点处理数学问题的思想和逐渐逼近的极限思想.从高中数学角度，二分法体现出函数在数学内部的应用.从高等数学角度，二分法所采用的使实数区间向某一个点收敛的方法，是证明有关连续性结论的基本思路.从函数零点与方程的解的关系，到函数零点存在定理，再到利用二分法求方程的近似解，学生经历了一个完整的利用函数研究问题和解决问题的过程.从中不但能体会到函数的工具性，还获得了从个别问题的解决过程提炼出一类问题的解决方法的经验，这对提高学生分析问题和解决问题能力，培养学生理性精神有一定的帮助.通过求具体方程的近似解了解二分法并总结其实施步骤，体现了由具体到一般的认知过程；在求方程的近似解的过程中，需要重复计算区间中点，以及中点的函数值，涉及到的较复杂的数据.因此本节课主要发展学生的数学抽象和数据处理核心素养.教学重点：用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.二、目标与目标解析1.目标（1）通过求具体方程的近似解了解二分法，体会函数在解方程方面的应用，渗透极限思想.（2）通过总结二分法的实施步骤，使学生经历由具体到一般的认知过程，发展数学抽象核心素养，提高分析问题和解决问题的能力.（3）根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解，发展数据处理核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志：（1）能够根据函数零点存在定理想到通过一分为二的逐渐缩小零点所在区间的办法，来求方程lnx+2x-6=0的近似解，知道二分法是求方程近似解的常用方法.（2）能够根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点的近似值的一般步骤.（3）能够借助信息技术，用二分法求具体方程的近似解.三、教学问题诊断分析（1）学生已经学习了零点存在定理，容易想到通过逐渐缩小函数零点所在区间的办法来求方程的近似解，对二分法的理解不存在困难.（2）学生还没有算法的基本思想，对于求近似值的问题也接触较少，因此在总结用二分法求函数零点近似值的一般步骤时，得出步骤3中的“令b=c”、“令a=c”和步骤4中的“若|a-b|<ε，则得到零点的近似值为a或b”可能会有些困难.因此本节课的教学难点为：根据求方程lnx+2x-6=0的近似解的过程，提炼出利用二分法求函数f(x)的零点x0的近似值的一般步骤.破解这个难点的关键是，让学生用自己的语言准确描述求方程lnx+2x-6=0近似解的每一步，理解精确度的含义，搞清楚其中循环的部分，明确循环结束的条件.（3）在利用二分法求方程近似解的过程中，数值计算较为复杂，这对获得给定精确度的近似值增加了困难.因此，本节课的另一个教学难点为：利用二分法求方程在给定精确度下的近似解.要破解这个难点，需要恰当的使用信息工具.四、教学支持条件分析本节课的教学，需要利用GGB软件绘制函数图象，并进行函数值的计算.五、教学过程设计（一）引入问题、探讨方法引言：通过前一节课的学习，我们根据函数零点存在定理和函数单调性可以确定方程实数解的个数，今天进一步研究利用函数求方程的近似解.问题1：我们已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2,3）内存在一个零点，如何求出这个零点？追问1：你能求出函数f(x)=lnx+2x-6零点的精确值吗？为什么？师生活动：学生根据经验给出判断，教师补充.预设的答案：学生的回答是否定的，原因是方程lnx+2x-6=0没有求根公式.教师补充：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解.（“精确度为ε”的含义是：“近似值与精确值之差（即误差）不大于ε”）追问2：当精确度为0.5时，你能得到一个符合要求的零点的近似值吗？师生活动：学生思考和回答，教师启发学生说明理由,给出区间的中点的定义.预设的答案：零点在区间（2,3）内，数轴上2和3之间的距离为1，它们的中点与零点的距离一定小于0.5，因此精确度为0.5时，可以取2.5作为一个零点的近似值.教师指出：一般地，称为区间(a,b)的中点.追问3：当精确度为0.5时，3可以看做零点的一个近似值吗？为什么？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：由计算工具算得f(2.5)=-0.084，由f(2.5)f(3)<0可知,零点在区间（2.5，3）内，由数轴上2.5和3之间的距离为0.5可知,零点和3之间的距离小于0.5，因此，3可以看做零点的一个近似值.追问4：根据追问2和3的回答，当精确度缩小到0.01时，为了得到函数零点的近似解，我们至少需要将零点所在区间缩小到什么程度？你将采取怎样的办法来逐步缩小零点所在区间？师生活动：学生思考和回答，教师引导和补充.预设的答案：当精确度为0.01时，长度小于0.01的零点所在区间内的任意实数都可以是零点的近似值，为此至少需要将存在零点的区间长度缩小到小于0.01.根据追问2和3的回答，可以通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半，达到缩小零点所在区间的目的.教师总结：通过以上问题的思考和回答可知，如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值.为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.具体地，就是通过重复计算区间中点和区间端点函数值乘积的符号，将零点所在区间逐次减半地缩小到长度小于精确度的范围。
用二分法求方程的近似解
探
索
发
现
探
索
议一议：你能说出二分法的意义及用二分法求函数 零点近似值的步骤吗？
发 在区间(2.5，点 2.75，用计算器算得 中点的方
(2.75)≈0.512. 因为 (2.5)· (2.75)＜0，所以零
点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以 零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么 零点所在的范围会越来越小(见下表和图)
信息技术应用
Authorware7.02 课件展示
探
次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式） 兴趣，提高学习的积 ．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题， 极性和主动性. 在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》， 南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪， 已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一 般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结 果．1824 年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，18021829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828 年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙 而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们 认识到高于 4 次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次 多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解
教学设计理念 1.构建共同基础，提供发展平台； 2.提供多样解法，适应个性选择； 3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式； 4.注重提高学生的数学思维能力； 5.发展学生的数学应用意识； 6.与时俱进地认识“双基”； 7.强调本质，注意适度形式化； 8.体现数学的文化价值； 9.注重信息技术与数学课程的整合； 10.建立合理、科学的评价体系.
4.1.2利用二分法求方程的近似解
x f x
1 13
2 15.02
3 -2
4 9.6
5 -40
则该函数 f x 的零点个数为 A． 2 B．3 C． 4
（
D ）
D．至少 3 个
2.已知图像连续不断的函数 y f ( x ) 在区间（0,0.1）上有唯一零 点，如果用二分法求这个零点（精度为 0.01）的近似值，则应 将区间（0,0.01）等分的次数至少为 次.
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于： 查找线路电线、水管、气管等管道线路故障 实验设计、资料查询； 是方程求根的常用方法！
零点存在定理
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续 曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即
零点的近似值，否则重 复2 4 4.判断是否达到精确度 ，即区间的长度 , 则得
(1)若f c 0, 则c就是函数的零点
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 抽象概括 利用二分法求方程实数解的过程
选定初始区间
1.初始区间是一个两端 函数值符号相反的区间
2.“M”的意思是 取新区间，其中 是 一个端点是原区 间端点，另一个 端点是原区间的中点 3.“N”的意思是方程 的解满足要求的精确度。
f(a)·f(b)<0，则
在区间（a,b）内，函数y=f(x)至少有一个零点，即
相应的方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数
解.
实例体验：
在下图中，函数y=f(x)在[-1,5]上的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，试用二分法 求方程f(x)=0的一个解。
用二分法求方程的近似解的案例分析
“用二分法求方程的近似解”的案例分析随着新课程的深入，对新课程的研究也一逐步在加深，由我组织了几位老师共同探讨了“用二分法求方程的近似解”的教学，进行三次教学实践，记述如下：一、案例要研究的问题在对《课程标准》和与之相配套的新教材的学习中，我们感到，“二分法”这一内容是新增的，因此也就包含了有许多值得研究的焦点问题，这些焦点问题实际上涉及了本次高中课改的一些核心问题，例如：●“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究．●“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究．●苏教版内容组织的主要形式是“问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式．●《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式．二、案例研究的实施过程本案例的研究采用了“以课例为载体的行动教育”模式，整个研究过程的要素是：以课例为载体，通过同伴互助，专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，可简述为“一个课例，两次反思，三次设计”．我们的具体实施过程如下：（1）第一次设计：对“二分法”这一课题独立设计了第一轮教案，请两位教师分别在两个平行班级开设公开课．两位老师同题开课的意图是希望通过对比，形成教学理念、教学设计、教学实施上的差异和冲撞，进而产生更多值得研究的焦点问题．（2）第一次反思：同行对两位老师的课进行比较、评议，提出一些值得研究的焦点问题，然后通过讨论、反思，提出改进意见．（3）第二次设计：本人根据第一轮反思的意见进行改进，形成第二轮教案．（4）第二次反思：同行对第二次课进行集中评议，从更深层次反思教学设计与学生实际收获之间的差距，形成新的改进调整意见．（5）第三次设计：我再次改进完善教学设计，形成第三轮教案．按照“行动教育”的基本模式，上述过程可多次往复，形成螺旋式上升．三、教学片段●片段1 提出问题第一次设计：1．能否求解方程lg x=3-x?2．能否求出这个方程的近似解？3．你了解一元二次方程ax2+bx+c=0根的哪些知识？第二次设计：1．能否求解下列方程：(1)lg x=3-x；(2)x2-2x-1=0；(3)x3-3x-1=0．2．能否求出上述方程的近似解？（精确到0.1）第三次设计实录：师：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x 2-2x -1=0；（2）lg x =3-x ；（3）x 3-3x -1=0．（三个方程逐个出示）课堂反响：对于第一个方程，采用配方法或求根公式法即可求解．而对于第二个方程，较多学生提议用图象法，但观察图象得不出准确解；而第三个方程则无法求解．师：既然解方程（2）、（3）有困难，那么能否求出这些方程的近似解呢？（精确到0.1） 课堂反响：对于方程（2），将学生画的图用实物投影仪展示（见图2），由于学生画的图象普遍不够精确，因此很难从图中得出近似值究竟是2.4，2.5还是2.6．对于方程（3）学生还是束手无策．师：实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，从方程（2）的研究我们可以看到，仅仅依靠图象，求方程的近似解仍然有困难，因此本节课我们就来研究如何求一元方程的近似解．片段2 探究方法（第三次教学实录）下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法．（板书：不解方程，求方程x 2-2x -1=0的一个正的近似解（精确到0.1））课堂反响：问题一出，学生们马上投入研究，但是进展似乎很不顺利．于是建议学生来相互交流自己研究的进展．生：我画出了f (x )= x 2-2x -1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内．师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？生（思考片刻）：因为f (2)＜0，f (3)＞0，所以在区间（2，3）内必有一根．师：×同学把方程的根与函数图象与x 轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好．现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢？课堂反响：学生们建议要进一步缩小区间．“如何缩小呢？”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿．一番认真探索之后，有学生想表达他的观点．生：先找区间的中点，把区间一分为二．师：为什么？生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内．而由于f (2)＜0，f (2.5)＞0，所以根必在区间（2，2.5）内．师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）．目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？课堂反响：受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推．于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推．当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1的情形下，2.375和2.4375的近似值即为2.4．至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区图3间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图4）． 师：同学们能否简述上述求方程近似解的过程． 生：第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间：根据f (a ) f (b )＜0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解． 师：归纳总结得很好．同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称． 生：对分法． 师：取得很好，很直观．习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法．本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解．（随即，教师在黑板上板书课题：用二分法求方程的近似解）．● 片段3 变式探究（第三次教学实录）师：能否用二分法求方程lg x =3-x 的近似解（精确到0.1）课堂反响：有了上述探究的方法，学生们个个跃跃欲试．但是高涨的热情马上又被困难扼制了．为了能找出症结，教师建议大家一起来探讨．生1：我先画了y =lg x 和y =3-x 的图象，观察图象交点，得出根属于区间（2，3），二分了区间，但我无法判断根在（2，2.5）还是（2.5，3）内．师：有没有同学能帮他解决这个困难．生2：可先把方程转化为lg x +x -3=0，再设f (x )=lg x +x -3，由f (2.5)＜0，f (3)＞0，可判断根在区间（2.5，3）内．师：很好，这个方程的形式为g (x )=h (x )，而第二位同学则把它转化为g (x )-h (x )=0，并设f (x )=g (x )-h (x )，从而使问题得以有效解决．解决了困难，顺利进入了不断二分区间的环节，教师建议可用表格形来完成求x 1≈2.6 .● 片段4 总结归纳（第三次教学实录）师：解决了求两种形式方程的近似解的问题，下面请同学们再来完整地归纳用二分法求方程近似解的基本步骤．课堂反响：一番讨论之后，学生们较一致地认为应分三个步骤，第一个步骤为：利用图象法找出解所在的区间：即若方程形式为f (x )=0，则画出y =f (x )图象后，观察图象与x 轴的交点所在的区间；若方程形式为g (x )=h (x )，则画出y = g (x )与y =h (x )的图象，观察它们的交点所在的区间，即为根所在的区间．师：图象法用得很好，但请同学们考虑一下，要得出根所在的区间，是否一定- +2 3- + 2 2.5 - +2 2.25 2.5 3- + 2 2.375 2.5 3- +2 2.375 2.4753 图4要画图？课堂反响：结合前面问题的研究，有学生发现第二个函数 f (x )=lg x +x - 3，f(3)=lg3>0，而利用函数的单调性，很快又可找到函数值小于零的点，如f (1)= -2<0，因此根必属于区间（1，3）．师：非常正确．也就是说我们还可利用函数的性质来判断根所属的区间． 课堂反响：对于解题步骤二和三，学生们归纳得出了以下结论：步骤二：不断二分区间，不妨设)(a f <0，)(b f >0，则),(0b a x ∈， 若)2(b a f +>0，则)2,(0b a a x +∈；若)2(b a f +<0，则),2(0b b a x +∈； 若)2(b a f +=0，则20b a x +=；再依次类推． 步骤三：根据精确度得出近似解．当x 0∈（m ，n ），在给定精确度下，若m 、n 的近似值相同均为P ，则方程的近似解即为P ．片段5 拓展探究（第三次教学实录）师：同学们，你们认为用二分法求方程的近似解最大的困难是什么？生：最大的困难是第一步，即如何确定根所在的区间．师：那好，我们就以方程x 3-3x -1=0为例，再来探讨如何确定根所在的区间． 课堂反响：有了前面研究的基础，学生们很快提出了两种方法，即画出y =x 3和y =3x +1的图象，再观察它们交点所在的范围．或研究函数f （x ）=x 3-3x -1，由f （1）= -3＜0，f （2）=1＞0，得出根在区间（1，2）内．师：有没有同学通过作出函数f （x ）= x 3-3x -1的图象来判断根所在的区间？课堂反响：学生们面面相觑，问及原因，是因为不会作图．师：难道这个函数图象真的不能作？大家回忆一下，作一个函数图象最基本的方法是什么？生：列表、描点、连线．师：对，那么我们今天就利用这个方法并借助电脑来实施这一过程．教师当场示范如何利用Excel 来作图．先对x 限定在（0，4）上取值，取步长为0.1，得到四十个自变量的值，再计算出相应的y 值，点击工具栏中的“图表”，随即生成图形（见图5）．课堂反响：学生们在惊讶的同时，观察图形马上得出了根所属的区间．师：学生们，只要你能给出函数解析式，我们就能利用Excel 作出它的图象，可见计算机是我们解决数学问题的有力武器．实际上，如果我们将步长取得足够小，从Excel 表的列B 中，我们可以直接得出近似解，当然，这种方法的背后是电脑要进行大量的计算．四、案例所触及的几个焦点问题图51．关于教学目标二十世纪五十年代，英国哲学家波兰尼(M.Polanyi)提出:“我们所知道的多于我们言传的.”据此，他提出人类大脑中的知识分为两类：明确知识(explicit knowledge)和黙会知识(tacit knowledge)．前者可以言传，后者却不能言传，不能系统表达．明确知识存在于书本之中，它可编码(逻辑性)、可传递(共享性)、可反思(批判性)．它告诉我们“是什么”和“为什么”，主要是事实和原理；而黙会知识存在于个人经验之中(个体性)，镶嵌于实践活动之中(情境性)，它告诉我们“怎么想”和“怎么做”，常常是不可言传的，其本质是理解力和领悟.如果把知识比作一座冰山，那么明确知识就是冰山浮在水面的部分，而黙会知识则是其水下部分．张奠宙先生曾经说过：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”，这里所说的数学本质，既包含数学概念、定理、方法等明确知识，其实更重要的往往是“不可言传”的黙会知识．教学中，基于明确知识的教学目标往往是显性的，教师比较重视也易于把握，教学的成效也易于达成；而基于黙会知识的教学目标往往是隐性的，教师容易忽视并难以把握，教学的成效往往也是隐性和难以达成的．在本节课中，基于明确知识的显性教学目标是向学生介绍一种求方程近似解的方法，衡量这个教学目标达成度的标准是看学生对“二分法”解题方法掌握的程度．如果教师把本节课的教学目标仅仅定位于这个基于明确知识的显性教学目标，则容易导致片面采用例题讲解和练习巩固的教学方式．在几次案例研究的过程中，我们觉得《课程标准》增加“二分法”这节内容并非仅仅为了这样一个显性目标，苏教版新教材的编者在编写这节内容时已经很好地将新课程的理念、算法的思想、现代教育技术的使用等隐性教学目标揉合在“二分法”一起，我们的教学要努力使更多的隐性目标能够在这堂课中进行渗透并达成，因此，最终我们把本节课的隐性目标定位于使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者能够同步发展．从第三次教学的实录片断中，可以看到，本节课以问题解决为基本策略将明确知识精心组织成了一个有序的教学流程，这是一条组织教学的明线，在问题解决的过程中，采用了先破后立的方式，使黙会知识镶嵌于教学流程的背后构成了一条暗线（见下图6）．在教学过程中，暗线所串联起的隐性教学目标是在先破后立的价值取向中逐步实现的．例如，第二个环节“简单方程入手，寻找一般规律”，在第一次教学过程中，暗线：方法建构、技术运用、算法渗透先破图6用《几何画板》作出了函数图象，由于《几何画板》作的函数图象比较精确，学生直接观察图象就可以得到近似解，这就为后续的教学带来了干扰．在后二次的教学中，要求学生用纸笔作图，使学生能打破采用观察图象求解的思维定势，进而发现计算区间端点函数值的方法．在这样连续先破后立的过程中，达到了“方法建构、技术运用、算法渗透”的教学目的．2．新教材为什么要在高一讲“二分法”？“二分法”有什么优点和缺点？ 本节课的引发我们思考的第二个焦点问题是新教材为什么要在高一函数中增加“二分法”？首先，“二分法”简便而又应用广泛，它对函数没有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具．其次，它体现现代而又根植传统，算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学，“二分法”是数学必修3教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”．再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体→局部”、“定性→定量”、“精确→近似”、“计算→技术”、“技法→算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值．利用二分法求方程的近似解时，首先需要有初始搜索区间，即一个存在解的区间（要用到此区间的两端点），为此，有时需要初步了解函数的性质或形态；其次需要有迭代，即循环运算的过程，具体表现在不断“二分”搜索区间；最后需要有一个运算结束的标志，即当最终搜索区间的两端点的精确度均满足预设的要求时（两端点的近似值相同），运算终止． “二分法”的优点在于思想方法简单，所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，收敛速度比较快（得到符合条件的近似解的速度快），误差比较小，是同类算法中效率最高的．其缺点在于：无法用其求出方程偶次重根的近似解．因此，类似于图7的图象所对应的函数就无法通过“二分法”来求零点．3．“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想本节课的引发我们思考的第三个焦点问题是在“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想的精髓？在“二分法”教学中，“方法建构、技术运用、算法渗透”的同步发展是本节课的隐性教学目标，其中“方法建构、技术运用”都是为“算法渗透”服务的．例如，在“方法建构”的过程中，多次进行了数形转化，第一阶段是“数→形”，这是为了更好地说明“二分法”的理论依据，第二阶段是“形→数”，其中的形包括“图图7图8象→数轴→表格”，这个过程中“形”的特征不断淡化，最后抽象成了以“数”为特征的算法流程（见图8）．在这样一个数形转化和逐步抽象的过程中，学生加深了对算法思想的理解和掌握，因而能够比较顺利地自主归纳出用二分法求方程近似解的基本步骤（见片断5）．4．教学中如何恰当把握接受式学习和发现式学习的关系本节课的引发我们思考的第四个焦点问题是“二分法”教学中应该如何处理教师传授和学生自主发现的关系？西南师范大学张大均教授在《教学心理学》中指出：在课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生；学生是发展性主体，其对象性活动指向自身发展，教学是在这种师生双主体的关系下开展的主体性活动．双主体的师生关系，从教学过程角度表现出来是预设与生成的关系，从学生学习方式的角度表现出来是接受式学习和发现式学习的关系．在教学过程中，师生双方主体作用的发挥应该各有侧重，其中有意义的接受式学习体现了教师的主导趋向，有意义的发现式学习则体现了学生自主发展的趋向．在本节课的教学中，如何将有意义的发现式学习与有意义的接受式学习有机地结合起来是需要研究和努力追求的一个方向．本节课采用了“整体预设，局部生成”的方式来协调师生双主体的关系以及两种学习方式的关系．精心确定教学重点，构思教学流程，分解教学目标，控制教学方向和节奏，这些都充分体现了教师的主导作用，当教学流程以教师“预设”的明线或暗线的方式展开时（见图6、图8），学生的学习体现了认知、思维、情感、身心等的和谐统一，是一种有意义的接受式学习．同时，教师在教学流程的局部放手让学生进行积极主动的思维和自主的探究，例如，本节课教师鼓励学生自行尝试解决问题，大量运用实物投影仪展示学生的研究成果（见片段3）；学生自己概括提炼出“二分法”的基本步骤（见片段4）；教师在Excel中现场操作，即时生成函数图象（见片段5）等．这种自主“生成”的学习是一种有意义的发现式学习，在这样的学习过程中，学生充分体验到了解题遇阻时的困惑以及解决问题后的快乐，感受到了数学学习的乐趣．在第一次同题开课的过程中，两位老师对课题名称出现的时机采用了不同的处理，一位采用了“开门见山”式的“课题先行”的方式，在教学的起始阶段就点明了本节课要学习的课题是“用二分法求方程的近似解”，使学生产生了一种“且听分解”的欲望．本节采用了“曲径通幽”式的“问题先行”的方式，课题名称是在学生自主概括“二分法”名称之后生成的，不是预知的．比较两种处理的教学效果，我们认为，学生自主概括“二分法”名称的过程中是对“二分法”本质概括的过程，是一种有效的数学思维的训练．而在本节课教学中，课题先行会对学生带来暗示，不利于学生的创造性思维，不利于学生参与方法建构的完整过程．五、案例研究的价值从本次“二分法”案例的研究过程中，我们充分感受到了案例研究的巨大价值，它既是教师研究新课程的一个重要载体，也是深化课堂教学改革的一个突破口，也是教师专业化成长的一个极好的平台．我们认为，在新课程推进的过程中，课堂教学改革是新课程改革的落脚点和支撑点，教师的课堂教学行为不改变，课改成功就是一句空话．我们希望案例研究能成为基层学校教学研究的一种主要方式，教师迫切需要这种能依托新教材并直接切入到课堂教学的新课程培训，需要这种聚焦课堂的教学研修和专业引领．。
用二分法求方程的近似解
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● 想 一 想 ： 函 数 f(x) ＝ lnx ＋ 2x － 6 在 区 间 (2,3) 内 有 零 点 ， 且 f(2)<0，f(3)>0.用二分法求函数的零点，下一步应找的区间是哪个区 间？ 提示：取区间(2,3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)＝－0.084<0. 因为f(2.5)·f(3)<0，所以零点在区间(2.5,3)内．
3 在？ 如果沿线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一 次电线杆子，10 km，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线 路的工人师傅怎样工作最合理？ 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电
话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所
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4．已知函数g(x)的图象是连续不断的，x，g(x)的对应值表如 下： x … 0 1 2 3 4 5 …
g(x) … －6 －2 3 10 21 40 … 函数g(x)在哪个区间内有零点？为什么？ g(x) 解：∵g(1)＝－2<0，g(2)＝3>0，∴g(1)·g(2)<0，∴g(x)在区间 (1,2)内有零点．
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类型二 【例2】 用二分法求零点的近似解 利用计算器求方程lgx＝3－x的近似解(精确度0.1)．
思路分析：首先确定lgx＝3－x的根的大致区间，由于y＝lgx，y ＝3－x的图象可以作出，由图象确定根的大致区间再用二分法求解．
用二分法求方程的近似解
§3.1.2用二分法求方程的近似解
1．二分法的定义
2．用二分法求函数的零点近似值的步骤
3．用二分法求方程的近似解
1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
三、学习者特征分析（学生对预备知识的掌握了解情况，学生在新课的学习方法的掌握情况，如何设计预习）
引导学生分析理解求区间 的中点的方法 ．
合作探究：（学生2人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中的两组比较缩小零点所在范围的结果．）
步骤一：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得 .
由 ＞0，得知 ，所以零点在区间(2.5，3)内。
步骤二：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得 .因为 ，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于(2，3) ，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值．
引导学生利用计算器边操作边认识，通过小组合作探究，得出教科书上的表3—2，让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢．
想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
以ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的角度解决问题．
4.1.2用二分法求方程的近似解
1.下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求 交点横坐标的是( B )
x1 x2 x3
x1
A
B
O C
x1 x2 D
2.方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( 5 7 7 5 A. -2,1 B. , 4 C. 1, D. , 2 4 4 2 3.函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( B )
情景一：猜商品的价格
CCTV-2 幸运52 李咏
小米1S（M1S） 产品类别：手机 品牌：小米 参考价格： ￥1499
情景二：找假币
16枚金币中有一 枚略轻,是假币， 如何找出？
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哦，找到 了啊！
§1.2
利用二分法求 方程的近似解
一、温故知新
1.什么叫函数的零点？ 2.零点的等价性是什么？ 3.如何利用函数性质判定方程解的存在?
1.零点概念：我们把函数y=f(x)的图像与横轴的
交点的横坐标称为这个函数的零点。. 2.方程f(x)有实数根↔函数y=f(x)的图像与x轴有交 点↔函数y=f(x)有零点 3.零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的 图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么， 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得 f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
谢谢大家， 再见！
就是每次都取区间的中点,将区间一分为 二,再经比较,按需要留下其中一个小区间 的方法,其实质是不断把函数零点所在的 区间逐步缩小,使区间两个端点逐步逼近 -1 O 零点,进而得到函数零点近似值.
用二分法求方程的近似解(很实用)
二分法概念
y
a
0
b
x
对于在区间a,b上连续不断且 f a• f b 0的函
数 y f x ,通过不断地把函数 f x的零点所在的区
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.
第二十页，共30页。
二分法的实质:就是将函数零点所在的区 间不断地一分为二，使新得到的区间不断 变小，两个端点逐步逼近零点．
区间
中点的值
中点函数 近似值
区间长度
（2，3） （2.5，3）
（2.5，2.75）
（2.5，2.625） （2.5，2.5625）
（2.53125，2.5625）
（2.53125，2.546875）
（2.53125，2.5390625）
2.5 2.75
2.625 2.5625
2.53125 2.546875 2.5390625
区间长度
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
第第十十五五页页，共共3300页页。。
思考:
通过这种方法,是否可以得到任意精
确度的近似值? （如精确度为0.01）
精确度为0.01,即零点值与近似值 的差的绝对值要小于或等于0.01
第十六页，共30页。
求函数f x ln x 2x 6在区间2，3 零点的近似值. (精确度为0.01)
取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87，因为 f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5）
同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈(1.375，
1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1
用二分法求解方程的近似解
中点的值
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625
中点函数近 似值
-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 9 0.010 0.001
二分法
对于在区间[a,b]上连续不断、且f(a)*f(b)<0的函数 y=f(x)，通过不断把函数f(x)的零点所在区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值 的方法叫二分法。
数
对应值表与图象（如下):
x
01234 5 6 7
f(x)=2x+3x-7 -6 -2 3 10 21 40 75 142
4 3 2 1
f x 2 x = + x -3 7
-2
01 2
-1
-2
-3
-4
-5
-6
4
6
8
10
区间
(1,2) (1,1.5) (1.25,1.5) (1.375,1.5) (1.375,1.4375)
即存在c∈(a,b)，使得 f(c)=0，这个c也就是方程 f(x)=0的根.
2
连续函数在某个区间上存在零 点的判别方法：
一元二次方程可以用公式求根,但没有公式来求Inx+2x-6=0 的根.联系函数的零点与相应方程根的关系,能否利用函数的 有关知识来求它的根呢？
思考
例如 求解方程lnx+2x-6=0.
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b)；否则得复2～4
为什么由|a-b|< ε,便可判 断零点的的似值为a(或b)?
探究
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程
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a , c c , b
, 则得
4 .判断是否达到精确度 零点的近似值，否则重
，即区间的长度
复24
练习
(1) (4) 1.下列函数中能用二分法求零点的是____.
1.用二分法求方程x2-2x-5=0在区间[2,4]内 的实数根时，取中点为x0=3，那么接下来 要取的区间是 2.用二分法逐步计算函数f(x)=x3+x2-2x-2的 一个正零点附近的函数值，参考数据如表
x
二分法的步骤：
1 .确定区间 a , b , 验证 f a f b 0 , 给定精确度
2 .求区间 a , b 的中点 c
3 . 计算 f c
( 1 ) 若 f c 0 , 则 c 就是函数的零点 （2）若 f a f c 0 , 则零点所在区间为 （3）若 f b f c 0 , 则零点所在区间为
f(1)=-2 f(1.25)=-0.98438 f(1.4375)=0.161865 f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.25977 f(1.4065)=-0.05405
由表求方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解 （精确度0.1）
动手实践
求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到0. 1.
设计方案
总结
进一步体会
探求2x-x2=0的近似解
小结
智力游戏
12只球中有一只假球，假球比真球略轻.现有一 座无砝码的天平，如何用最少的次数称出这只假 球？
小结
1.二分法是求函数零点近似 解的一种计算方法.
2.用二分法求函数零点的一 般步骤. 3.二分法渗透了极限和算法 的思想.
实例体验： 假设，在区间[-1,5]上，f(x)的图像是一条连续 的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0，我们 依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。 取[-1,5]的一个中点2，因为f(2)>0,f(5)<0,即 f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解， 于是再取[2,5]的中点3.5，……y 如果取到某个区间的中点x0, f(x) 恰好使f(x0)=0, 则x0就是 所求的一个解；如果区间 -1 O 1 2 3 4 5 中点的函数总不为0，那么， 不断重复上述操作，
函数的零点是怎样定义的 一般地,如果函数y=f(x)在实数x处的值 等于零,即f(x)=0
则x叫做这个函数的零点.
结论: 零点就是方程f(x)=0的实数根.
也就是函数图象与x轴交点的横坐标.
温故知新
判断零点存在的方法
若函数f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线， 并且 在闭区间[a,b]端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)<0,则f(x)在（a,b）上至少有一个零点， 即方程f(x)=0在(a,b)上至少有一个实数解。
利用二分法求方程的近似解
问题1 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房
到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一 条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？
算一算： 要把故障可能发生的范围缩小到
50～100m左右，即一两根电线杆附近， 要检查多少次？ 7次 定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较， 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法， 也叫对分法，常用于： 查找线路电线、水管、气管等管道线路故障 是方程求根的常用方法！ 实验设计、资料查询；