通信原理第3章随机过程

1 T2 R(τ ) = lim ∫−T A cos(ω c t + θ ) ⋅ A cos[ω c (t + τ ) + θ ]dt T →∞ T 2
T A2 T 2 = lim {∫−T cos ωcτdt + ∫−T2 cos(2ωc t + ωcτ + 2θ )dt} T → ∞ 2T 2 2
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第3章 随机过程 章
3.2.2 各态历经性
问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、 相关函数）是对随机过程的所有样本函数的统计平均， 但在实际中常常很难测得大量的样本，这样，我们自 然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一 个样本函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一 个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性 各态历经性” 各态历经性 （又称“遍历性 遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数 遍历性 字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一 实现的时间平均值来代替。 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R (τ ) = R ( −τ )
— τ的偶函数 — R(τ)的上界
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第3章 随机过程 章
3.1.1随机过程的分布函数
设ξ (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值ξ (t1) 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。 随机过程ξ (t)的一维分布函数：
F1 ( x1 , t1 ) = P[ξ (t1 ) ≤ x1 ]
随机过程ξ (t)的一维概率密度函数：
2π 2π A = [cos ωc t ∫ cos θdθ − sin ωc t ∫ sin θdθ ] = 0 0 0 2π
2π
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自相关函数
R(t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t 2 )] = E[ A cos(ω c t1 + θ ) ⋅ A cos(ω c t 2 + θ )] A2 = E{cos ω c (t 2 − t1 ) + cos[ω c (t 2 + t1 ) + 2θ ]} 2 A2 A 2 2π 1 = cos ω c (t 2 − t1 ) + cos[ω c (t 2 + t1 ) + 2θ ] dθ 2 2 ∫0 2θ 2 A = cos ω c (t 2 − t1 ) + 0 2
令t2 – t1 = τ，得到
A2 R(t1 , t 2 ) = cos ω cτ = R(τ ) 2
可见， ξ(t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关， 只与时间间隔τ 有关，所以ξ(t)是广义平稳过程。
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(2) 求ξ(t)的时间平均值
1 T2 a = lim ∫−T A cos(ω c t + θ )dt = 0 T →∞ T 2
方差常记为σ 2( t )。这里也把任意时刻t1直接写成了t 。
D [ξ (t )] = E ξ 2 (t ) − 2 a (t )ξ (t ) + a 2 (t ) = E [ ξ 2 ( t )] − a 2 ( t )
{
}
因为
= E [ ξ 2 ( t )] − 2 a (t )E [ξ (t )] + a 2 ( t )
第3间的关系
B(t1 , t2 ) = R(t1 , t2 ) − a(t1 ) a(t2 ) 若a(t1) 与 a(t2)有一为0，则B(t1, t2) = R(t1, t2)
互相关函数
R ξη ( t 1 , t 2 ) = E [ξ ( t 1 )η ( t 2 )]
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[例3-1] 设一个随机相位的正弦波为 例 ξ (t ) = A cos(ω c t + θ ) 其中，A和ωc均为常数；θ是在(0, 2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论ξ(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求ξ(t)的统计平均值： 数学期望
1 a (t ) = E[ξ (t )] = ∫ A cos(ω c t + θ ) dθ 0 2π A 2π = ∫0 (cos ωct cos θ − sin ωct sin θ )dθ 2π
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数字特征：
E[ξ (t )] = ∫ x1 f1 ( x1 )dx1 = a
∞
R(t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t1 + τ )] =∫
∞ −∞ −∞
−∞
∫
∞
x1 x 2 f 2 ( x1 , x 2 ;τ )dx1 dx 2 = R(τ )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔τ 有关。 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随 广义平稳随 机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反 机过程 之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为 平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的 实际意义。
通信原理
第3章 随机过程 章
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第3章 随机过程 章
3.1 随机过程的基本概念
什么是随机过程？
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能 用确切的时间函数描述。可从两种不同角度看： 角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。
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【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输 出噪声波形 样本函数ξi (t)：随机过程的一次实现，是确定的时
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各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程ξ(t)的任意一次实现（样本）， 则其时间均值和时间相关函数分别定义为：
1 a = x(t ) = lim T →∞ T
∫
T /2
−T / 2
x(t )dt
1 R (τ ) = x (t ) x(t + τ ) = lim T →∞ T
∞
[
]
= ∫ x 2 f1 ( x, t )dx − [a(t )]2
−∞
均方值
均值平方
所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随 机过程在时刻 t 对于均值a ( t )的偏离程度。
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相关函数
R (t1 , t 2 ) = E[ξ (t1 )ξ (t 2 )] =
∫ ∫
∞
∞
A2 cos ωcτ = 2 比较统计平均与时间平均，有
a = a , R (τ ) = R (τ )
因此，随机相位余弦波是各态历经的。
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3.2.3 平稳过程的自相关函数
平稳过程自相关函数的定义：同前 平稳过程自相关函数的性质
平均功率 R(0) = E[ξ 2 (t )] — ξ(t)的平均功率
∫
T /2
−T / 2
x(t ) x (t + τ )dt
如果平稳过程使下式成立
a=a R (τ ) = R (τ )
即平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间 平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间 平均值，则称该平稳过程具有各态历经性。 平均值
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“各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经 历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计 平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考 察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值 代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的 问题大为简化。 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定 成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均 能满足各态历经条件。
E [ξ (t1 ) ] =
∫
∞
−∞
x1 f 1 ( x1 , t1 ) dx1
式中 f (x1, t1) － ξ (t1)的概率密度函数 由于t1是任取的，所以可以把 t1 直接写为t， x1改为x， 这样上式就变为
E [ξ ( t ) ] =
∫
∞
−∞
xf 1 ( x , t ) dx
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间函数。 随机过程：ξ (t) ={ξ1 (t), ξ2 (t), …, ξn (t)} 是全部样本函数的集合。
ξ (t )
ξ1 (t ) ξ 2 (t )
M ξ n (t )
0
t
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角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在任一给定时刻t1上，每一个样本函数ξi (t)都是一个确定的 数值ξi (t1)，但是每个ξi (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻t1上，不同样本的取值{ξi (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为ξ (t1)。 换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同 时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
∫ ∫
∞
∞
式中 a ( t1 ) a ( t2 ) － 在t1和t2时刻得到的ξ (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) － ξ (t)的二维概率密度函数。
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−∞ −∞
[ x1 − a (t1 )][ x 2 − a (t 2 )] f 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) dx1 dx 2
−∞ −∞
x1 x 2 f 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) dx1 dx 2
式中， ξ (t1)和ξ (t2)分别是在t1和t2时刻观测得到的随机变 量。可以看出，R(t1, t2)是两个变量t1和t2的确定函数。 协方差函数