2017-2018年黑龙江省哈师大附中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)

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【精品】2018年黑龙江省哈师大附中高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科)

2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．32．（5分）抛物线x2=20y的焦点坐标为（）A．（﹣5，0）B．（5，0） C．（0，5） D．（0，﹣5）3．（5分）双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程为（）A． B．y=±2x C． D．4．（5分）已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知P是椭圆上一点，F1，F2是其左、右焦点，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．6．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．7．（5分）已知抛物线C：x2=2y，过点M（0，2）的直线交抛物线C于A，B，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣28．（5分）如果x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣5 B．C．D．59．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直干实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF 1Q=，则双曲线的离心率e等于（）A．﹣1 B．C．+2 D．+110．（5分）过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．B．C．3 D．212．（5分）已知抛物线C：y2=10x，点P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D：x2+y2﹣12x+35=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为（）A．B． C．D．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线的实轴长为．14．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．15．（5分）已知双曲线：，若直线l交该双曲线于P，Q两点，且线段PQ的中点为点A（1，1），则直线l的斜率为．16．（5分）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则|PN|+|QN|=．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（10分）抛物线C：y2=4x，直线l过C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点为M．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为60°，求点M的坐标；（Ⅱ）若，求直线l的方程．18．（12分）已知圆C经过点且圆心C在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线l截圆C所得弦长为，求直线l的方程．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求异面直线DC与BC1所成角的余弦值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=1，求证：EF⊥平面PCD．21．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点P（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数λ的取值范围．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：为定值．2017-2018学年黑龙江省哈师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为3，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣3=7．故选：B．2．（5分）抛物线x2=20y的焦点坐标为（）A．（﹣5，0）B．（5，0） C．（0，5） D．（0，﹣5）【解答】解：抛物线x2=20y的焦点坐标为（0，5）．故选：C．3．（5分）双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程为（）A． B．y=±2x C． D．【解答】解：双曲线x2﹣4y2=4的渐近线方程为：y=．故选：A．4．（5分）已知双曲线（a＞0）的离心率为，则a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线，可得c=1，双曲线的离心率为：，∴，解得a=．故选：B．5．（5分）已知P是椭圆上一点，F1，F2是其左、右焦点，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵椭圆，∴a=2，b=2，c=2．又∵P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°，F1、F2为左右焦点，∴|F1P|+|PF2|=2a=4，|F1F2|=4，∴|F1F2|2=（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|cos60°=32﹣3|F1P|•|PF2|=16，∴|F1P|•|PF2|=．∴=|F 1P|•|PF2|sin60°=××=．故选：C．6．（5分）设直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是（）A．±1 B．C．D．【解答】解：∵直线l过点（﹣2，0），且与圆x2+y2=1相切由圆得：圆心为（0，0），半径为1∴构成的三角形的三边为：，解得直线与x轴夹角为30°的角∴x的倾斜角为30°或150°∴k=故选：C．7．（5分）已知抛物线C：x2=2y，过点M（0，2）的直线交抛物线C于A，B，若O为坐标原点，则直线OA，OB的斜率之积为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2【解答】解：∵抛物线C：x2=2y，过点M（0，2）的直线交抛物线C于A，B，∴利用特殊值法，取直线AB为y=2，联立，解得A（2，2），B（﹣2，2），∵O为坐标原点，∴O（0，0），直线OA，OB的斜率之积为：k OA•k OB==﹣1．故选：A．8．（5分）如果x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值是（）A．﹣5 B．C．D．5【解答】解：作出约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（，）．此时z的最大值为z=2×+=故选：C．9．（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直干实轴的弦PQ，F1是另一焦点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（）A．﹣1 B．C．+2 D．+1【解答】解：由题意可知通径|PQ|=，|F1F2|=2c，|QF1|=，∵∠PF2Q=90°，∴b4=4a2c2，∵c2=a2+b2，∴c4﹣6a2c2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0，∴e2=3+2或e2=3﹣2（舍去），∵e＞1，∴e=1+．故选：D．10．（5分）过抛物线y2=4x（p＞0）的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则=（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：抛物线y2=4x，可知2p=4，设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为﹣θ，过焦点的弦，|AB|=，|CD|==∴=+==，故选：D．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，∵=3，∴=，又|MF|=p=4，∴|NQ|=，∵|NQ|=|QF|，∴|QF|=．故选：A．12．（5分）已知抛物线C：y2=10x，点P为抛物线C上任意一点，过点P向圆D：x2+y2﹣12x+35=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为（）A．B． C．D．【解答】解：圆D：x2+y2﹣12x+35=0的标准方程（x﹣6）2+y2=1，则圆心．为D （6，0），半径为r=丨DA丨=1，P（，y），丨PD丨==，丨PD丨min=，丨PA丨min==，四边形PADB面积的最小值2×丨PA丨min×r=，故四边形PADB面积的最小值，故选B．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）双曲线的实轴长为4．【解答】解：双曲线的焦点zx轴上，实轴长为2a=2×2=4．故答案为：4．14．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．【解答】解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=．故答案为：．15．（5分）已知双曲线：，若直线l交该双曲线于P，Q两点，且线段PQ的中点为点A（1，1），则直线l的斜率为．【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），代入双曲线：，，可得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0，线段PQ的中点为点A（1，1），k==．故答案为：．16．（5分）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则|PN|+|QN|=16．【解答】解：设椭圆C的长轴长为2a，则由，得a=4，又设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，K为线段MN的中点，如右图所示，由已知条件，易得F1，F2分别是线段MB，MA的中点，则在△NBM和△NAM中，有|NB|=2|KF1|，|NA|=2|KF2|，又由椭圆定义，得|KF1|+|KF2|=2a=8，故|AN|+|BN|=2（|KF1|+|KF2|）=16．故答案为：16．三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（10分）抛物线C：y2=4x，直线l过C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的中点为M．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为60°，求点M的坐标；（Ⅱ）若，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C：y2=4x，直线l过C的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，∴F（1，0），k=tan60°=，∴直线l：y=（x﹣1），联立，得3x2﹣10x+3=0，△=100﹣4×3×3=64＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，y 1+y2==，∵弦AB的中点为M，∴点M的坐标（）．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时A（1，﹣2），B（1，2），AB=4，=2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），联立，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，△=（2k2+4）2﹣4k4=16（k2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=1，|AB|=，原点O到直线y=k（x﹣1）的距离d==，∵，∴==2，解得k=±1，∴直线l的方程为y=±（x﹣1），即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0．18．（12分）已知圆C经过点且圆心C在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点的直线l截圆C所得弦长为，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）AB的中点坐标（，﹣），AB的斜率为，可得AB垂直平分线为2x+6y=0，与x﹣y=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（Ⅱ）直线的斜率存在时，设直线l的斜率为k，又直线l过（1，），∴直线l的方程为y﹣=k（x﹣1），即y=kx+﹣k，则圆心（0，0）到直线的距离d=，又圆的半径r=2，截得的弦长为2，则有+（）2=4，解得：k=﹣，则直线l的方程为y=﹣x+，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y=﹣x+．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，AC=BC=，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）求异面直线DC与BC1所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC．解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AC=BC==1，则D（1，0，1），C（0，0，0），B（0，1，0），C1（0，0，2），=（﹣1，0，﹣1），=（0，﹣1，2），设异面直线DC与BC1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线DC与BC1所成角的余弦值为．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）若PA=1，求证：EF⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PD中点M，连接MF、MA，在△PCD中，F为PC的中点，∴MF DC，正方形ABCD中E为AB中点，∴AE DC，∴AE MF，故四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，又∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知四边形EFMA为平行四边形，∴EF∥AM，若PA=1，则PA=AD=1，即三角形PAD是等腰直角三角形，∵M是中点，∴AM⊥MD，∵CD⊥平面PAD，∴CD⊥AM，∵CD∩MD=D，∴AM⊥平面PCD，∵EF∥AM，∴EF⊥平面PCD．21．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点P（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）双曲线的焦点（0，±），则b=，椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程方程为：；（Ⅱ）∵直线l过点P（1，0），①当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程是x=1，此时，λ=1；②当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y=k（x﹣1），由，得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，下对参数的取值范围进行讨论：当k=0时，A（2，0），B（﹣2，0），P（1，0），或B（2，0），A（﹣2，0），P （1，0），当A（2，0），B（﹣2，0），P（1，0）时，=（﹣1，0），=（﹣3，0），λmin==；当B（2，0），A（﹣2，0），P（1，0）时，=（3，0），=（1，0），λmax==3．∴实数λ的取值范围是[，3]．故实数λ的取值范围是[，3]．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若C，D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．求证：为定值．【解答】解：（1）∵左右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形，∴a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2，∴椭圆方程为．（4分）（2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1），则．直线CM：y﹣0=（x+2），即．（6分）代入椭圆x2+2y2=4，得，故次方程的两个根分别为﹣2和x1，（8分）由韦达定理可得x1﹣2=，∴，∴．∴，（10分）∴+==4 （定值）．（12分）赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

黑龙江哈师大附中18-19学度高二上年中考试--数学(文)

黑龙江哈师大附中18-19学度高二上年中考试--数学（文）哈师大附中2018-2018学年高二上学期期中考试数学〔文〕试题【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、假如直线220ax y ++=与320x y --=互相垂直，那么系数a =〔〕A 、3-B 、6-C 、32-D 、232.双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为〔〕A 、23B 、2C 、3D 、13、圆2220x y x +-=和2240x y y ++=的位置关系为〔〕A 、相离B 、外切C 、相交D 、内切4、平面上定点A 、B 距离为4，动点C 满足||||3CA CB -=，那么CA 的最小值是〔〕A 、21B 、23C 、27D 、5 ５.集合{}(,)24M x y x y =+≤，{}(,)1P x y x y =-≥-，{}(,)22S x y x y =-≤,假设集合T M P S =，点T y x E ∈),(，那么z x y =+的最小值是〔〕 A 、2B 、3C 、7-D 、15６、双曲线1222=-y a x (a ＞0)的焦点与椭圆2214x y +=的焦点重合，那么双曲线的离心率为〔〕AB 、3CD 、27、1F 、2F 分别为椭圆2212516x y +=的左、右焦点,点P 为椭圆上在一象限内的点，假设12PF F 的面积为P 到左焦点1F 的距离为〔〕 A 、5512B 、14512C 、114D 、294８.2+=kx y 与双曲线194922=-y x 右支交于不同的两点,那么实数k 的取值范围是〔〕A 、21-<k B.2165-<<-k C.65-<k D.5162k k <->-或 9、1F 、2F 分别为椭圆13622=+y x 的左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点1F ,那么∆2ABF 的面积为()A 、B 、34C 、3D 、410、过椭圆2222by a x +=1(0)a b >>右焦点(2,0)F 作倾斜角为60的直线，与椭圆交于A 、B 两点，假设2BF AF =，那么椭圆的离心率为〔〕A 、34B 、23C 、12D 、1311、A 点在椭圆2222by a x +=1(0)a b >>上运动，点P 与A 关于直线1y x =-对称，那么P点的轨迹方程是〔〕A.2222by a x +=1B.2222(1)(1)y x a b +++=1 C.2222)1()1(by a x -+-=1D.2222(1)(1)1y x a b +-+= 12、设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的离心率为2e =，右焦点为F (c ，0)，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，那么点P (x 1，x 2)满足〔〕A 、必在圆x 2＋y 2＝2内B 、必在圆x 2＋y 2＝2上C 、必在圆x 2＋y 2＝2外D 、以上三种情形都有可能【二】填写题〔本大题共4小题，每题5分，共20分。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

2017-2018学年哈师大附中高二上学期期中考试文科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线24x y =的焦点坐标是 A.(0,1)B.(1,0)C.1(0,)16D.1(,0)162. 若直线210x y ++=与直线20ax y +-=互相垂直，那么a 的值等于 A ．1B ．13-C ．2-D ．23- 3. 圆221:20O x y x +-=和圆222:40O x y y +-=的位置关系是 A. 相离 B. 相交 C. 外切D. 内切4．焦点在x 轴上的椭圆2221(0)x y a a+=>的焦距为A.3B.6C.D.25. 一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是A ．4B ．5C ．1D ．6. 方程22141x y t t +=--表示椭圆，则t 的取值范围是 A.14t <<B.1t <或4t >C.4t >D. 512t <<或542t << 7. 过P (4,1)-的直线l 与双曲线2214x y -=仅有一个公共点，则这样的直线l 有（）条 A.1 B.2C.3D.48. 直线y x m =+与椭圆2212x y +=相切，则m 的值为A.B.C.1±D.3±9．已知斜率为1的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 相交于B A 、两点，且AB 的中点为)3,1(M ，则双曲线的渐近线方程为A ．x y 3±=B ．x y 3±=C ．x y 31±=D ．x y 33±= 10．倾斜角为4π的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，与抛物线相交于,A B 两点，则弦AB 的长为 A.2B. 4C. 6D. 811. 直线1y kx =-与双曲线221x y -=的左支有两个公共点，则k 的取值范围是 A．(B. (C. (1)-D. (1]-12. 在直角坐标系中，O 为坐标原点，i 为x 轴正方向上的单位向量，动点P 满足2243OP i OP i -++=||OP 的最大值为A.2B. 4C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=P 的轨迹方程．14. 已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.15．若,x y 满足约束条件：1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则3x y +的最大值为___ ____.16．设21F F ，分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆上存在一点P ，使得12123||||2,||||,2PF PF b PF PF ab -=⋅=则椭圆的离心率为三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)直线过点(3,1)P -，且与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点. (Ⅰ)若点P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程；(Ⅱ)若2AP PB =，求直线l 的方程.18．(本题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中, 曲线265y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上。

黑龙江高二高中数学期中考试带答案解析

黑龙江高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、解答题1.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．2.求下列函数的导数：（1）（2）3.设复数，试求取何实数值时，（1）是实数；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面的第四象限．4.设命题p：实数x满足x2－4Ax＋3A2<0，其中A.>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.(1)若A＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数A的取值范围．5.设函数．（1）求函数的单调区间；（2）设是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当时．证明：．二、选择题1.设集合，则= ()A．B．C．D．2.化简后的结果为（）A．B．C．D．3.若函数，则（）A．B．C．D．4.若在处可导，则（）A ．B ．C ．D ．不一定存在5.若曲线y ＝在点P 处的切线斜率为－4，则点P 的坐标是( ) A ．或B ．C ．D ．6.下列函数中,在上为增函数的是（）A ．B ．C ．D ．7.已知是定义在内的可导函数，则“”是“在上为增函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.过点(0,1)且与曲线y ＝在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x －y -4＝09.若函数的图象与直线相切，则（） A ．B ．C ．D ．10.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．11.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．三、填空题1.函数在点处的切线斜率为________．2.设函数f (x )＝6x 3＋3(A.＋2)x 2＋2A.x .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数A.的值为________．3.已知不等式，照此规律，总结出第-1个不等式为________．4.直线＝分别与曲线＝2(＋1)，＝＋ln 交于A ，B ，则|AB|的最小值为________．黑龙江高二高中数学期中考试答案及解析一、解答题1.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．【解析】（1）第一步，先求函数的导数，第二步，再求，根据导数的几何意义，，最后代入直线方程，就是所求的切线方程；（2）设切点，首先求在切点处的切线方程，即求和，然后因为切线过点，所以将原点代入切线方程，转化为关于的方程，求出切点，最后再整理切线方程.试题解析：（1）在点处的切线的斜率，切线的方程为；（2）设切点为，则直线的斜率为，直线的方程为：．又直线过点，，整理，得，，，的斜率，直线的方程为，切点坐标为．【考点】本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。

黑龙江省齐齐哈尔市2017-2018学年高二数学上学期期中试题文

2017—2018学年度高二上学期期中考试数学试题（文科）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 35后，曲线C 变为曲线1422='+'y x ，则曲线C 的方程为（） A.1362522=+y xB.1100922=+y xC.1241022=+y xD.19825222=+y x 2.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值为（）A.4B.14 C.2 D.123.在极坐标系中，过点（2，π）且与极轴的倾斜角为4π的直线的极坐标方程是（） A ．2)4cos(=-πθρ B. 2)4cos(-=-πθρC ．2)4cos(=+πθρD ．2)4cos(-=+πθρ4.设点()()0,5,0,5M N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为（）A.()2210169144x y y +=≠B.()2210169144y x x +=≠C.()221016925x y y +=≠D.()221016925y x x +=≠ 5.已知双曲线2219x y m-=的一条渐近线方程为23y x =，则双曲线的焦距为（）B.106.若动点(),x y 在曲线2214x y +=上运动，则2x y +的最大值为（）A.2 D.47.在极坐标系中，若点3,,3,36A B ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AOB ∆(O 为极点)的面积为（）3 C.94 D.98.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为（）A.2214536x y +=B.2213627x y +=C.2212718x y +=D.221189x y += 9.已知12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，若2ABF ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.(1B.()1+∞C.(1,1D.)110.已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()220y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（） A.1 B.1或3 C.2 D.2或611.已知P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，12,F F 分别是椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是（） A.1 B.2a C.2b D.2c12.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以,A B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）11二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13.在极坐标系中，以点1,22π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆的极坐标方程是 14.函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10，则=a ，=b 15.已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:151C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是16.若等轴双曲线C 的左、右顶点,A B 分别为椭圆()222101x y a a +=>+的左、右焦点，点P是双曲线上异于,A B 的点，直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k ⋅= 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，,M N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点.（Ⅰ）写出C 的直角坐标方程，并求,M N 的极坐标；（Ⅱ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 18. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是22x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 相交于,A B 两点，点P 的坐标为()2,0，试求11PA PB+的值. 19.（本小题满分12分）设函数)0(13)(23≥+-=k x kx x f ．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 的极小值大于0，求k 的取值范围． 20.（本小题满分12分）已知)(x f 是二次函数，)(x f '是它的导函数，且对任意的2)1()(,x x f x f R x ++='∈恒成立．（Ⅰ）求)(x f 的解析表达式；（Ⅱ）设0>t ，曲线C ：)(x f y =在点))(,(t f t P 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为)(t S ．求)(t S 的最小值． 21.（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F -，短轴的两个端点分别为12,B B . （Ⅰ）若112F B B ∆为等边三角形，求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程. 22.（本小题满分12分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y +=相切.A 、B 是椭圆的左、右顶点，直线l 过B 点且与x 轴垂直. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设G 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，作GH x ⊥轴于点H ，延长HG 到点Q 使得HG GQ =，连接AQ 并延长交直线l 于点M ，N 为线段MB 的中点，判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系，并证明你的结论.数学试题评分标准（文）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.） 13. sin ρθ= 14. 11,4- 15. 5 16. 1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）解析：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为20x -= ……3分当0θ=时，2ρ=，所以()2,0M ……4分当2πθ=时，ρ=32N π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭……5分（Ⅱ）点,M N 的直角坐标分别为()2,0,M N ⎛ ⎝⎭∴点P 的直角坐标为⎛⎝⎭ 则P 点的极坐标为6π⎫⎪⎪⎝⎭∴直线OP 的极坐标方程为()6R πθρ=∈ ……10分18.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）圆C 的方程可化为4cos 4sin ρθθ=-，即24cos 4sin ρρθρθ=-∴圆C 的直角坐标方程为22440x y x y +-+= ……4分（Ⅱ）把直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程联立，可得：240t +-= ……6分设点A 、B 对应的参数分别为12,t t ，则12124t t t t +=-=- ……8分1212121111t t PA PB t t t t -∴+=+===……12分19.（本小题满分12分）解析：（I）当k=0时，f（x）=﹣3x2+1∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，单调减区间[0，+∞）．……2分当k＞0时，f'（x）=3kx2﹣6x=3kx（x﹣）∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]，[，+∞），单调减区间为[0，]．……6分（II）当k=0时，函数f（x）不存在最小值．……7分当k＞0时，依题意f（）=﹣+1＞0，……9分即k2＞4，……11分由条件k＞0，所以k的取值范围为（2，+∞）……12分20.（本小题满分12分）解析：（I）设f（x）=ax2+bx+c（其中a≠0），则f'（x）=2ax+b，f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+a+b+c．由已知，得2ax+b=（a+1）x2+（2a+b）x+a+b+c，∴，解之，得a=﹣1，b=0，c=1，∴f（x）=﹣x2+1．……4分（II）由（I）得，P（t，1﹣t2），切线l的斜率k=f'（t）=﹣2t，∴切线l的方程为y﹣（1﹣t2）=﹣2t（x﹣t），即y=﹣2tx+t2+1．……6分从而l与x轴的交点为，l与y轴的交点为B（0，t2+1），∴（其中t＞0）．……8分∴．……10分当时，S'（t）＜0，S（t）是减函数；当时，S'（t）＞0，S（t）是增函数．∴． ……12分21.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>由题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩解得2241,33a b == 故椭圆C 的方程为2214133x y += ……4分（II ）由题意知椭圆C 的方程为2212x y +=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意； ……5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-由()22112y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-= ……7分设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+==++ ()()1111221,,1,F P x y FQ x y ∴=+=+ 11110F P FQ F P FQ ⊥∴⋅= 即()()()()()22221212121227111111021k x x y y k x x k x x k k -+++=+--+++==+ 解得：217k =，即7k =± ……11分故直线l的方程为10x -=或10x -= ……12分22.（本小题满分12分）解析：（Ⅰ）由题意：O到直线0x y +=的距离为b ，则1b =242e a == ∴椭圆C 的标准方程为2214x y += ……4分（Ⅱ）设()00,G x y ，则()00,2Q x y()2,0A - ∴直线AQ 的方程为()00222y y x x =++ ……6分与2x =联立得：0082,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭ 0042,2y N x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭则直线QN 的方程为()0000042222y y x y y x x x -+-=-- ……8分即()200002480x y x x y y ---=220014x y += ∴方程可化为00240x x y y +-= ……10分 ()0,0∴到直线QN2=故直线QN 与以AB 为直径的圆O 相切. ……12分。

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017-2018学年高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案

哈师大附中2017-2018学年高三上学期期中考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）3．已知函数()f x 是奇函数，且0x >时，2()f x x x=+，则(1)f -=（） A. 2- B.0 C. 1 D. 2 4．在区间[]0,π上随机取一个数x ，使cos x <<的概率为（） A. 13 B.23 C. 38D. 585. 若||2||||a b a b a =-=+，则向量b a +与b 的夹角为（） A.3π B.32π C.65π D.6π 6．等比数列 {}n a 中，12451,8a a a a +=+=-，则7856a a a a +=+( )A. 8-B.4-C.2D. 47．如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．例如[3.27]=3，[-0.6]=-1．那么“[x ]=[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．若实数,x y 满足102402x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩时，z x y =+的最小值为（）A ．4B ．3C ．2D ．无法确定9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴为（） A. 2x π=-B.4x π=-C. 8x π=D.4x π=10．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m 的值为（） A ．0 B ．3 C ．6 D ．1211. 若(,)4παπ∈，且3cos 24sin()4παα=-，则sin 2α的值为（） A ．7B ．﹣7C ．1 D ．﹣19A ．2016B ．2015C ．2014D ．2013二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》,全面提高我市中学生的体质健康水平,普及足球知识和技能,市教体局决定举行秋季校园足球联赛,为迎接此次联赛,甲中学选拔了20名学生组成集训队,现统计了这20名学生的身高, 得到茎叶图如下：这20名学生的身高中位数、众数分别为________.14函数()cos()sin()23f x x x ππ=-++的单调递增区间为________. 15.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：及y 关于t 的线性回归方程ˆ0.850.25yt =-，则实验数据中m 的值为________. 16. 已知R y x ∈,，满足64222=++y xy x ，则224y x z +=的最小值是________.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，向量(,)a a c =(12cos ,2cos 1)b A C =--且//a b .（Ⅰ）若5b =，求a c +值；（Ⅱ）若1tan 22B =，且A 为ABC 的最大内角，求A 的大小.18. （本小题满分12分）已知各项为正数的数列{}n a 的前{}n S ,22n a += （Ⅰ）求证：{}n a 为等差数列，并求n a ；（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和为nT .19. （本小题满分12分）11月11日在某购物网站消费不超过10000元的2000名网购者中有女士1100名，男士900名.该网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分析得到下表（消费金额：元）女士消费情况：男士消费情况：（Ⅰ）计算,x y 的值，在抽出的200名且消费金额在[]8000,10000（单位：元）的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（Ⅱ）若消费金额不低于6000元的网购者为“网购达人”，低于6000元的网购者为“非网购达人”，根据以上数据填写下面22⨯列连表，并回答能否在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关” ？附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++20. （本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax bx =++，其中,,a b c R ∈.（Ⅰ）若1a b ==，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0a =，且当1x ≥时，()1f x ≥总成立，求实数b 的取值范围 .21. （本小题满分12分）已知函数()2sin f x x x =- （Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π的最值；（Ⅱ）若存在(0,)2x π∈，不等式()f x ax <成立，求实数a 的取值范围.选作题：考生在（22）（23）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. （本小题满分10分）已知函数()2f x x a =--.（Ⅰ）若1a =，求不等式()230f x x +->的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()3f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围 . 23. （本小题满分10分）（Ⅰ）已知221x y +=，求23x y +的取值范围；（Ⅱ）已知2222220a b c a b c ++---=，求证：2a b c --≤哈师大附中2014级高三上学期期中考试文科数学答案一、DAABD DACAC DB二、13. 177,178 14. 2(2,2)33k k k Z ππππ-+∈ 15. 3 16. 4 三、17、（1）由(,)a a c = (12cos ,2cos 1)b A C =--且//a b得(2cos 1)(12cos )a C c A -=-由正弦定理得sin (2cos 1)sin (12cos )A C C A -=- 化简为2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C +=+，即2sin()sin sin A C A C +=+ABC 中A B C π++=，所以2sin sin sin B A C =+由正弦定理得2b a c =+，由5b =，得10a c +=；（2）1tan22B =得4tan 3B =，ABC 中43sin ,cos 55B B ==，所以43sin(),cos()55A C A C +=+=- 又2sin sin sin B A C=+，[]843sin sin ()sin cos sin 555A A C A A A A =++-=++ 化简为22sin cos A A =+，所以2cos sin 2A A -=，带入22sin cos 1A A +=得cos 0A =或4cos 5A =又A 为ABC 的最大内角，所以cos cos A B <，所以cos 0A =，所以2A π=.18、（122n a +=，得2844,n n n S a a =++ 所以2n ≥时，11()(4)0n n n n a a a a --+--=数列{}n a 各项为正数，所以140n n a a ---=，又1n =时218448n n n S a a a =++=，所以12a =，所以通项公式为42n a n =-. （2） 1111111()(42)(42)4(21)(21)82121n n n b a a n n n n n n +====--+-+-+ 11111111(1)(1)83352121821n T n n n =-+-+-=--++ 19、（1））5,17x y == 328P = （2）2200(28001400) 4.714 3.841110906040k -=≈>⨯⨯⨯可以在犯错误率不超过0.05的前提下，认为“是否为网购达人与性别有关”.20、（1）222(1)(),()1(1)x x e e x x f x f x x x x x -'==++++ ()00f x x '>⇒<或1x >； ()001f x x '<⇒<<函数()f x 在(,0),(1,)-∞+∞单调递增，在(0,1)单调递减. （2）当1x ≥时，()1f x ≥总成立，即当1x ≥时11xe bx ≥+恒成立，因为0xe >，所以10bx +>在1x ≥恒成立，所以0b ≥所以只需1x ≥时1xe bx ≥+恒成立，需1x e b x-≤在1x ≥时恒成立，设1(),x e g x x -=则2(1)1()x e x g x x -+'=， 1x ≥时，2(1)1()0x e x g x x -+'=>，所以1()x e g x x -=在[)1,+∞单调递增，1x ≥时，()(1)1g x g e ≥=-，所以1b e ≤-，综上01b e ≤≤-21、（1）()1cos 2,f x x '=-[]0,π时()03f x x ππ'>⇒<≤； ()003f x x π'<⇒≤<函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减增. []0,π时，min ()()33f x f ππ==-(0)0,(),f f ππ==max ()()f x f ππ==（2）存在(0,)2x π∈，不等式()f x ax <成立存在(0,)2x π∈，2sin x x ax -<成立设()()2sin ,(0)0()12cos g x f x ax x x ax g g x a x '=-=--==--则且.(0,)2x π∈时，12cos (1,1)x -∈-所以()()12cos 1,1g x a x a a '=--∈--- 若10,a --<即1a >-时，(0)10g a '=--<因为()12cos g x a x '=--在(0,)2π单调递增，所以存在区间()0,(0,)2t π⊂，使()0,x t ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,t 单调递减，()0,x t ∈时()0g x <即()f x ax <所以1a >-22、（1）若1a =，()230+232f x x x a x +->-->即解集为2-+3⎛⎫∞∞ ⎪⎝⎭，（2，）；（2）恒成立()3f x x <-，即32x a x ---<恒成立，3()(3)3x a x x a x a ---≤---=-，所以只需32a -<，需15a <<23、（1）由柯西公式222()(49)(23)x y x y ++≥+，则 2323x y x y +≤≤+≤所以（2）由2222220a b c a b c ++---=，得222-11-1-3a b c ++=（）（）（），有柯西公式[]2222-11-1-(411)2(1)(1)(1)a b c a b c ⎡⎤++++≥++-+-⎣⎦（）（）（）得求证：218(2)a b c ≥--，所以 2a b c --≤.。

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。