2020届江苏省淮安市高三下学期5月调研测试数学试题(解析版)

2020届江苏省淮安市高三下学期5月调研测试数学试题
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 中的元素个数为________.
【答案】4
【解析】由集合的并运算可得解.
【详解】
由已知可得：
则 中的元素个数为4.
故答案为：4
【点睛】
本题考查了集合的并运算，属于基础题.
2．复数 （ 为虚数单位）的实部为________.
【答案】
【解析】利用复数的除法运算化简 ，再求得 的实部.
【详解】
整理得： ，所以复数 实部为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了复数的运算，考查实部的概念，属于基础题.
3．若一组数据3， ，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是________.
【答案】2
【解析】通过平均数求出x，再利用方差公式求出方差得解.
【答案】
【解析】由已知得 ，由 得 ，解得 ，最后由等差数列求和公式得解.
【详解】
， ， 成等比数列，
，
等差数列 首项 ，
，解得 或 .
因为等差数列的公差不为0,所以 .
由等差数列求和公式得 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式基本量的计算和求和公式，考查了等比中项公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
【答案】2
【解析】
设棱长为a，根据正四面体的对称性，求出正四面体的底面积和高，即可得解.
【详解】
设四面体 中CD边中点为E，F为正三角形BCD的中心，
则AF为四面体 的高，设正四面体的棱长为a，
则 ， ，
，
，
，
解得 ，
则该正四面体的棱长为2.
故答案为：2
【点睛】
本题考查了求棱锥的体积，考查了计算能力，属于中档题.
由 得 ，
则 ，
令 ， ，
，令 得 （ 舍去），
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
∴ ,
∴ ，即 ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查导数与极值点的关系，考查证明极值点有关的不等式．证明与极值点有关的不等式，可根据极值点的定义把函数式的参数用极值点表示出来代入要证不等式，这样要证的不等式只含有极值点，问题可转化为求新函数的最值问题，这又可用导数实现．本题对学生的运算求解能力，逻辑推理能力要求较高，属于难题．
13．已知 ， ，则 的值为________.
【答案】
【解析】由 可得 ，再由 和 可得 的值，问题得解.
【详解】
由已知得：
则
整理得：
，
解得 或 ，
当 时 ，则 ，
当 时 ，舍
故答案为：
【点睛】
本题考查了三角函数的平方和关系和商数关系，考查了计算能力，较简单.
14．在平面直角坐标系 ，已知点 在圆 内，动直线 过点 且交圆 于 两点，若 的面积等于 的直线 恰有3条，则正实数 的值为________.
，又 平面 ， 平面 ，
平面 .
（2）平面 平面 ，且平面 平面 ，
又 平面 ，且 ，
平面 ，
， ，
由勾股定理知： ，
，又O是BD中点，
，又 且 ，
平面 .
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.
17．某校为整治校园环境，设计如图所示的平行四边形绿地 ，在绿地中种植两块相同的扇形花卉景观，两扇形的边都落在平行四边形 的边上，圆弧都与 相切，其中扇形的圆心角为 ，扇形的半径为8米.
5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是________.
【答案】8
【解析】循环进行赋值运算，直到退出循环，输出结果.
【详解】
当 时，进入循环： ；
当 时，进入循环： ；
当 时，退出循环，输出 .
故答案为：8
【点睛】
本题考查了利用循环结构计算变量的值，属于基础题.
6．若 ，则方程 有实根的概率为________.
②假设 （ ）时不等式成立，即 ，
则 时， ，不等式也成立，
由①②得 时，不等式 成立，
∴ 时，不等式成立，
由（i）（ii），原不等式对一切正整数 都成立．
综上，原不等式得证．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式，考查证明与数列有关的不等式．掌握等比数列的定义是解题基础．在遇到递推式 时，常常用凑配法（由已知等式求出 中的 ），构造新数列（ ）为等比数列，从而求得通项公式 ，与数列有关的不等式常常是证明与正整数有关的不等式，因此有时可用数学归纳法证明，掌握数学归纳法是解题关键．
19．已知函数 .
（1）若曲线 在 处的切线与直线 平行，求实数 的值；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 .
①求实数 的取值范围；
②求证： .（参考数据： ）
【答案】（1） ；（2）① ；②见详解
【解析】
（1）求出导数，利用 可求得 ；
（2）①求得 ，问题转化为方程 ，有两个不等的正实根，由二次方程的分布知识可得解．
11．已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ，若 有三个零点，则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】将问题转化为 与 有三个交点，由已知画出图象观察即可得解.
【详解】
方程 有三个零点，可转化为 与 有三个交点，
函数 是定义域为 的奇函数，所以图象关于原点对称，
再由当 时， ，可画出下图：
∴ ，
时， ，不等式左边 ，右边 ，不等式成立；
时， ，
不等式 即为 ，
下面用数学归纳法证明：
（i） 时，左边 ，右边 ，左边 右边，不等式成立，
（ii）假设 时，不等式成立，即 ，
∵ ，∴
则 时，左边＝ ，
由归纳假设左边 ，
下面只要证 ，即证 ，
再用数学归纳法证明 ：
① 时，不等式左边 ，右边 ，不等式成立，
（3）设 ，得 ，由点差法可得 ，从而得 ，则可得 点坐标，然后计算 可得 ．
【详解】
（1）由已知可得： ，
解得：
椭圆 的标准方程为： .
（2）由 可知：
即 ，可得： ，
设 ，直线AB的方程为 ，
联立 ，得： ，
为线段 的中点，则 ，
即 ，解得： ，
所以直线 的方程为 .
（3）设 ， ， ， ， ， ，
9．已知非零向量 满足 ,则 与 夹角的余弦值为________．
【答案】
【解析】首先由 可得 ，再由向量的数量积可求得夹角的余弦值.
【详解】
,
又
，
故答案为：
【点睛】
本题考查了向量的模长、向量数量积的运算，考查了向量最基本的化简，属于中档题.
10．已知一个正四面体的体积为 ，则该正四面体的棱长为_________.
【详解】
（1）由 ，
得 ，
即 ，
所以， ， ， ，
，
解得 .
（2）由 ，
得 ，
，
所以， 的值为 .
【点睛】
本题考查了两角和的正弦展开式和诱导公式，关键是利用正弦定理将边化为角，属于基础题.
16．如图，矩形 所在平面与菱形 所在平面互相垂直，交线为 ， ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若点 在线段 上，且 ，求证： 平面 .
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【解析】
（1）证出四边形 是平行四边形，进而得到 ，利用线面平行的判定定理，即可得证；
（2）证出 ，又O是BD中点，可得 ，又已知 ，借助线面垂直的判定定理，即可得证.
【详解】
（1）连接 ， ，如图，
是菱形，
O是AC的中点，
又 是矩形 的边 的中点，
且 ，
四边形 是平行四边形，
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）是否存在实数 ，使得 恒成立？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在，且 .
【解析】
（1）根据准线的定义得 ，又由 ，结合 可求得 ，得椭圆标准方程；
（2）由 可求得 点横坐标，设直线 方程为 ，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得 ，由 可得 ，得直线方程；
【详解】
由已知可得： ，解得 .
则该组数据的方差是 .
故答案为：2
【点睛】
本题考查了平均数和方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．函数 的最小正周期为________.
【答案】
【解析】由辅助角公式可得 ，问题得解.
【详解】
因为
所以函数的最小正周期为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了辅助角公式和三角函数的周期公式，属于基础题.
（2）已知两等式相加可得数列 是等比数列， 就是 的前 项和，分类求得这个和，在 且 时用数学归纳法证明不等式成立．
【详解】
（1）若 ， ，则有
由 ，得：
所以 是公比为4的等比数列，首项 ，
所以 ；
由 ，得：
则
所以 是公比为2的等比数列，首项 ，
所以 ，则 ；
（2）由 ，得 ，
∵ ， ，∴数列 是等比数列，
由图可知：
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性及二次函数函数作图，考查了数形结合思想，属于中档题.
12．已知 ， ，且 ，则 的最小值是________.
【答案】
【解析】由题得 ，再利用基本不等式可得解.
【详解】
,
，
又 ， ，
，当且仅当 时等号成立，
则 的最小值是 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，关键是利用两式相乘创造积为定值的条件，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.