2018北京市海淀区高三(上)期末数学(文)

2018北京市海淀区高三（上）期末数学（文科） 2018.1本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回。

第一部分（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1） 已知i 是虚数单位,若i(i)1i a +=-+，则实数a 的值为 (A) 1 （B ） 0 （C ） −1（D ） −2（2） 已知,a b ∈R ，若a b <，则(A) 2a b <（B ） 2ab b <（C ）1122a b < （D ）33a b <（3） 执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（A ）4 （B ） 5 (C) 6 （D ）7（4） 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :（A ） 0，0（B ） 0，5（C ） 5，0 （D ）5，5（5）已知直线0-+=x y m 与圆22:1+=O x y 相交于,A B 两点，且∆OAB 为正三角形，则实数m 的值为（A ）23 （B （C ）23或23- （D ）26或26- （6） 设a ∈R ,则“1a =”是 “直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（7） 在∆ABC 中，1==AB AC ，D 是AC 边的中点，则⋅BD CD 的取值范围是(A) 31(,)44-(B) 1(,)4-∞ （C ）3(,+)4-∞ （D ）13()44，（8）已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，,M N 分别是棱11、BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上. 若5=PM ，则PQ 长度的最小值为(A) 21- （B ）2 （C ）3515- （D ）355第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为x y =，则实数a 的值为 .（10）若变量,x y 满足约束条件0,10,220,≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩y x y x y 则=+z x y 的最大值是 . （11）在∆ABC 中，1a =，7b =，且∆ABC 的面积为32，则c = . （12） 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的值是 .（13）函数2,0,()(2),0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x x 的最大值为 ；若函数()f x 的图象与直线(1)=-y k x 有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在A ，B ，C 三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 1 2 3 4 5 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 BCCBB2则甲同学答错的题目的题号是 ；此正确的选项是 .1222222主视图左视图俯视图三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15） （本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52=a ，73a S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n an b 2=，求数列{}n n b a +的前n 项和．（16） （本小题13分）已知函数()cos 2tan()4π=⋅-f x x x .（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的值域.据中国日报网报道，2017年11月13日，TOP500发布了最新一期全球超级计算机500强榜单，中国超算在前五名中占据两席. 其中，超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器. 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小．．．．，速度．．越快．．，单位是MIPS ）设i a 、i b 分别表示第i 次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记=-i i i X a b （1,2,...,12i =） （Ⅰ）求数据12312,,,...X X X X 的众数；（Ⅱ）从满足4i X =的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果的概率； （Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件.请你根据表中数，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.如图，三棱柱111C B A ABC -中， 侧面⊥11A ABB 底面ABC ，AB AC ⊥，21===AA AB AC ，06011=∠B AA ，F E ,分别为棱BC B A ,11的中点.（Ⅰ）求证：AE AC ⊥；（Ⅱ）求三棱柱111C B A ABC -的体积；（Ⅲ）在直线1AA 上是否存在一点P ，使得//CP 平面AEF . 若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由.已知椭圆22:13+=x y C m m，直线:20+-=l x y 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，与x 轴交于点B ，点,P Q 与点B 不重合.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）当2∆=OPQ S 时，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）过原点O 作直线l 的垂线，垂足为.N 若λ=PN BQ ，求λ的值.已知函数2()(1)e xf x x ax =-+.（Ⅰ）求曲线()=y f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：“0a <”是“函数()f x 有且只有一个零点”的充分不必要条件.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)9. 1 10. 2 11. 2或 （答对一个给3分）12.213. 1 [0,)+∞ 14. 5 A 三、解答题: 本大题共6小题，共80分. 15．（本题共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .⎩⎨⎧+=+=+d a d a d a 6335111，解得31=a ，2=d ------------------------3分 由d n a a n )(11-+=，则12+=n a n ------------------------5分 因此，通项公式为12+=n a n .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12+=n a n ，则122+=n n b ------------------------6分422121121==++++n n n n b b )( 因为3128b ==， 所以{}n b 是首项为8，公比为4=q 的等比数列. ------------------------7分 记{}n n b a +的前n 项和为n T ，则)()()(n n n b a b a b a T ++⋅⋅⋅++++=2211)()(n n b b b a a a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=2121q q b a a n n n --++=11211)()( ------------------------11分 314822)(-++=n n n ---------------------13分16（本题共13分） 解：（Ⅰ）π+π≠π-k x ，Z k ∈ ------------------------2分解得：43π+π≠k x ，Z k ∈ 所以，函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≠Z k k x x ,|43 ------------------------4分注：不写Z k ∈扣1分，只扣一次；（Ⅰ）（Ⅱ）结果有一个写了集合符号，不扣分，都没写集合符号，统一扣1分.（Ⅱ）)tan(cos )(42π-⋅=x x x fxx x x tan tan )sin (cos +-⋅-=1122 ------------------------8分xx xx x x x x sin cos cos sin )sin )(cos sin (cos +-⋅+-= ------------------------9分2)sin (cos x x --=12-=x x cos sin ------------------------10分12-=x sin ------------------------11分因为3,4x k k Z ππ≠+∈，所以32,2x k k Z ππ≠+∈，所以sin 21x ≠-，所以，函数()f x 的值域为],(02-. - -----------------------13分 注：结果写成[2,0]-扣两分. 17. （本题共13分）所以i X 等于1有2次， i X =2有3次，i X =4有4次，i X =6有2次，i X =7有1次， 则数据12312,,...X X X X 的众数为4 ------------------------5分 （Ⅱ）设事件D =“品牌A 的测试结果恰有一次大于品牌B 的测试结果”.--------------6分满足4i X =的测试共有4次，其中品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M ，N 表示.品牌A 的测试结果小于品牌B 的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P ，Q 表示. 从中随机抽取两次，共有MN ,MP ,MQ ,NP ,NQ ,PQ 六种情况，其中事件D 发生，指的是MP ,MQ ,NP ,NQ 四种情况.故42()63P D ==. ------------------------10分 （Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准2：会用测试结果的平均数进行阐述------------------------13分标准1: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后6次测试品牌A、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准2: 会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B 前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B）标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B）标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件速度的波动小于B）标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A 小于品牌B的有2次，占1/3. 后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3. 故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于B）述（这12次测试结果中，品牌A 小于品牌B 的有6次，占1/2. 故品牌A 和品牌B 打开文件的速度相当）参考数据 期望 前6次 后6次 12次 品牌A 5.50 9.83 7.67 品牌B 4.33 11.83 8.08 品牌A 与品牌B 4.9210.83方差 前6次 后6次 12次 品牌A 12.30 27.37 23.15 品牌B 5.07 31.77 32.08 品牌A 与品牌B 8.2727.9718. （本题共14分）（Ⅰ）证明：三棱柱111C B A ABC -中， 侧面⊥11A ABB 底面ABC ，AB AC ⊥， 又因为侧面11ABB A 底面AB ABC =，⊂AC 底面ABC ，所以⊥AC 平面11A ABB ， -----------------------3分 又因为⊂AE 平面11A ABB ，所以AE AC ⊥； ------------------------4分 （Ⅱ）解：连接1AB ,因为三棱柱111C B A ABC -中，所以AB B A =11. 因为12AB AA ==，所以1112A B AA ==.又因为06011=∠B AA ，所以△11B AA 是边长为2的正三角形.因为E 是棱11B A 的中点，所以11B A AE ⊥，3AE =. 又因为AC AE ⊥，AC C A //11，所以11C A AE ⊥. 因为11111AC A B A =，⊂1111,B A C A 底面111C B A ，所以⊥AE 底面111C B A . ------------------------6分所以三棱柱111C B A ABC -的体积为1111111112222A B C V S AE A B AC AE ∆=⋅=••=⨯⨯=； …………………………8分 注：证明高得1得1分，面积值为2得1分，体积值为1分 （Ⅲ）在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF . ------------------------9分 证明如下：连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P .连接CP . 因为11//BB AA ，故1111EA A P EPEB BB EB==由于E 为棱11A B 的中点，所以11EA EB =， 故有PE EB = 又F 为棱BC 的中点，连接EF ，故EF 为BCP ∆的中位线，所以//EF CP . ------------------------11分 又EF ⊂平面AEF ，CP ⊄平面AEF ，所以//CP 平面AEF . ------------------------13分 故在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF .此时112A P BB ==，124AP AA ==. -------------------------14分注：证明线线平行2分，证明线面平行2分，下结论说明点P 的存在1分，AP 的长度1分19. （本题共14分）解：（Ⅰ）m a 32=，m b =2，m c 22=， ------------------------2分32222==a c e ，故36=e . ------------------------4分（Ⅱ）设()11,y x P ，()22,y x Q1CC⎩⎨⎧=-+=+023322y x my x ，得到03122=-+m x x 12-4， 依题意，由2(12)44(123)0m ∆=--⨯⨯->得1m >.且有121231234x x m x x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， ------------------------6分12|PQ x x =-== ------------------------7分原点到直线l 的距离2=d ------------------------8分所以11||222OPQ S PQ d ∆=⋅== ------------------------9分解得 73m =>1，故椭圆方程为223177x y +=. ------------------------10分 （Ⅲ）直线l 的垂线为:ON y x =， ------------------------11分由20y xx y =⎧⎨+-=⎩解得交点)1,1(N ， ------------------------12分因为PN BQ λ=，又123x x +=所以BQPN =λ=122212221=--=--x x x x ，故λ的值为1. ------------------------14分20. （本题共13分）解：（Ⅰ）依题意，()2,x f x xe ax x R '=+∈ -----------------------------1分 所以切线的斜率()00k f '==又因为()01f =-， -----------------------------2分 所以切线方程为 y =−1. -----------------------------3分（Ⅱ）先证不必要性. 当0a =时，()()1x f x x e =-，令()0f x =，解得1x =. -----------------------------4分 此时，()f x 有且只有一个零点，故“()f x 有且只有一个零点则0a <”不成立.-----------------------------5分 再证充分性. 方法一：当0a <时，()()2xf x x e a '=+.令()0f x '=，解得()120,ln 2x x a ==-. -----------------------------6分（i ）当()ln 20a -=，即12a =-时，()()10xf x x e '=-≥，所以()f x 在R 上单调增. 又()()2010,220f f e =-<=->，所以()f x 有且只有一个零点. -----------------------------7分（ii ）当()ln 20a -<，即102a -<<时，()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:当0x ≤时，()1e 0x x -<，20ax ≤，所以()0f x < -----------------------------9分 又()222e 4e 20f a =+>->所以()f x 有且只有一个零点. -----------------------------10分 （说明：如果学生直接写出x →+∞时()0f x >，要扣1分）（iii ）当()ln 20a ->，即1a <-时，()f x ，()f x '随x 的变化情况如下:分 因为()010f =-<，所以(,ln(2)]x a ∈-∞-时，()0f x < -----------------------------12分令01x a =-，则01x >. 下面证明当1x >时，2e x x >.设2()(1)e x x g x x =>，则(2)'()exx x g x -=. 当(1,2)x ∈时，'()0,()g x g x >在1,2（）上单调递增； 当(2,+)x ∈∞时，'()0,()g x g x <在2,+∞（）上单调递减. 所以当=2x 时，()g x 取得极大值24(2)1eg =<. 所以当1x >时，()1g x <, 即2e x x <. 所以0022000()e (e )0x x f x a ax a x =-+=->.由零点存在定理，()f x 有且只有一个零点.综上，0a <是函数()f x 有且只有一个零点的充分不必要条件. -----------------------------13分（说明：如果学生写出下面过程，()010f =-<，x →+∞时()0f x >，()f x ∴有且只有一个零点.要扣1分）方法二：当0a <时，注意到0x ≤时，()10x x e -<，20ax ≤，()0f x ∴<，因此只需要考察()0,+∞上的函数零点. -----------------------------7分（i ）当()ln 20a -≤，即102a -≤<时，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴单调递增. -----------------------------8分 又()2210,(2)e 4e 20f a f a =<=+≥->()f x ∴有且只有一个零点. -----------------------------10分 （ii ）当()ln 20a ->，即12a <-时，以下同方法一.方法三：令()0f x =，显然0不是该方程的根，所以2(1)x x e a x --=.设2(1)()(0)x x e h x x x -=≠,则24(22)'()x xe x x h x x-+=. 当0x <时，'()0,h x <()h x 在(,0)-∞上单调减；当0x >时，'()0,h x >()h x 在(0,)+∞上单调递增.又1,0x x <≠时，()0,h x <1x >时，()0.h x >令01x a =-，则01x >. 下面证明当1x >时，2e x x >.设2()(1)e x x g x x =>，则(2)'()e xx x g x -=.当(1,2)x ∈时，'()0,()g x g x >在1,2（）上单调递增； 当(2,+)x ∈∞时，'()0,()g x g x <在2,+∞（）上单调递减. 所以当=2x 时，()g x 取得极大值24(2)1e g =<. 所以当1x >时，()1g x <, 即2e x x <.所以002()x ae h x a x -=>-. 所以当0a <时，直线y a =-与函数()y h x =的图象有且只有一个交点， 即当0a <时，函数()f x 有且只有一个零点.。