矩阵的秩的应用

矩阵表达形式 Amn X 0
（1）当r(rA) n n时时，，齐齐次次方方程程组组仅仅有有零零解解..
（2）当 r(A)n时n 时，，齐齐次次方方程程组组有有非非零零解解. .
线性代数
非齐次方程组解的情况的讨论
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
矩阵表达形式
Amn X 0
向量表达形式
Amn 1,2 ,L ,n
1 x1 2 x2 L n xn 0
（1）当r(A) n 时，齐次方程组仅有零解. （2）当 r(A) n 时，齐次方程组有非零解.
列向量组1 ,2 ,L ,n线性无关. 列向量组1 ,2 ,L ,n线性相关.
线性代数
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第四章 向量间的线性关系
4.6.2 矩 阵 的 秩 应 用
回顾
定理 初等行变换和初等列变换均不改变矩阵的行秩和列秩. 定理 矩阵的行秩和列秩相等. 定义 统称矩阵A 的行秩和列秩为此矩阵的秩，记为 r(A).
线性代数
齐次方程组解的情况的讨论
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
a' rr 1
L
0 0L
0 0L
MM
0 0L
a1' n a2' n
dddd1212
M MM
ar' n
ddrr
0
d0r
1
0 00
M MM
0 00
线性代数
非齐次方程组解的情况的讨论
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
当 r(1,2,L ,n, ) r(1,2,L ,n ) r 时， 可以由 1,2,L ,n 线性表示；
r n 线性表示方式唯一. r n 有无穷多种表示方式.
线性代数
向量组的线性相关性
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn 0 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn 0 am1 x1 am2 x2 L amn xn 0
向量表达形式
a11 a12
a1n b1
a21
M
x1
a22 M
x2
L
a2n M
xn
b2
M
am1 am2
amn bm
1 x1 2 x2 L n xn
当 r(1,2,L ,n, ) r(1,2,L ,n ) 时， 不能由1,2,L ,n 线性表示；
矩阵表达形式 Amn X
当 r(AM ) r(A ) 时，方程组无解. 当 r(AM ) r(A ) r 时，方程组有解
r n 方程组有唯一解. r n 方程组有无穷多解.
线性代数
非齐次方程组解的情况的讨论
a11 x1 a12 x 2 L a1n xn b1 La21Lx1 a22 x2 L a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
a11 a12 L
(
AM
)
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n a2n
b1
b2
L
a1' 1 0
M
0
a1' 2 a2' 2 M
0
L L
L
M M
0 0 L
amn
bm
0
Байду номын сангаас
0L
M M
0 0 L
矩阵表达形式 Amn X
a1' r
a' 1r 1
L
a2' r
a' 2 r 1
L
MM
ar' r