体积和容积的意义
长方体和正方体体积和容积应用题
长方体和正方体是我们在生活中经常会遇到的几何体，它们的体积和容积概念也是我们学习数学时经常接触到的内容。
在本文中，我将会从不同角度出发，探讨长方体和正方体体积和容积的应用题，让我们一起深入了解这一概念。
1. 长方体和正方体的基本概念让我们回顾一下长方体和正方体的基本概念。
长方体是一个有六个矩形面的立体，它的对边相等且平行，相邻面垂直，是一个常见的几何体。
而正方体则是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形，边长相等。
在日常生活中，我们可以看到很多长方体和正方体的例子，比如书本、箱子等等。
2. 长方体和正方体的体积和容积公式接下来，让我们来看一下长方体和正方体的体积和容积的公式。
对于长方体，它的体积公式是长×宽×高，容积公式也是一样。
而对于正方体，体积公式则是边长的立方，容积公式也是一样。
这些公式是我们计算长方体和正方体体积和容积时的重要依据。
3. 长方体和正方体体积和容积的应用题现在，让我们来看一些具体的应用题，来更好地理解长方体和正方体体积和容积的概念。
应用题1：某个长方体的长为10cm，宽为5cm，高为3cm，求它的体积和容积。
解答：根据长方体的体积和容积公式，可以直接代入长方体的长、宽、高，计算出它的体积和容积。
体积=10×5×3=150cm³，容积也是一样。
应用题2：一个正方体的边长为4cm，求它的表面积和容积。
解答：正方体的表面积公式为6a²，其中a为边长。
根据这个公式，可以计算出正方体的表面积为6×4²=96cm²。
而容积则是边长的立方，所以这个正方体的容积为4³=64cm³。
4. 总结回顾通过以上的应用题，我们可以更好地理解长方体和正方体体积和容积的概念。
在实际生活中，我们可以通过这些公式来解决各种问题，比如购买物品时需要计算容积，搬运货物时需要计算体积等等。
长方体和正方体作为常见的几何体，它们的体积和容积概念对我们生活中的各种实际问题都有着重要的应用价值。
体积的意义和容积的意义
5．提问：你能举例比比两个物体体积的大小吗？
学生自由说，让学生体会到：一个物体越大，它所占的空间越大，体积就越大；反之，体积就越小。
二、容积
（一）容积的概念
出示一个盒子，提问：这个盒子的体积是指什么？（盒子所占空间的大小叫做盒子的体积）
提问：同学们先预测一下，如果把左边杯子里的水倒入右边的杯子，结果会怎样？
学生猜测后师倒水操作。
提问：结果和同学们预测的一样，那为什么会剩下一些水呢？
引导学生说出：桃子占有杯子的一部分空间。使学生体会到物体占有一定的空间。
（板书：桃子占有杯子的一部分空间）
追问：杯子里剩下的水所占空间就是什么？
3．小结：通过刚才的实验，我们发现物体是占有空间的。（板书:物体占空间）
六上第1单元课题体积的意义、容积的意义
第1教时总第5个教案
课型：新授内容：例6、例7、练一练以及练习三1-4题
教学
目标
1、使学生经历猜测、验证等活动，体会到物体是占有空间的，而且占有的空间是有大小的，物体所占空间的大小叫做物体的体积，容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。
2、使学生在活动的过程中，体会到数学活动充满探索与创造，提高学好数学的积极性。
比较：同一个物体的体积与它的容积比谁大？
在交流中使学生明确：容积是指里面的空间，四周的厚度应排除在外。而体积是指整个盒子所占的空间，四周的厚度也包括在内。
结论：同一个物体的体积一般比容积大。（追问：为什么说是一般？）
2．“试一试”
出示两个大小差不多的杯子，提问：哪个杯子的容积大一些？你有什么办法做出比较？
让学生体会到，物体的体积与它的形状没有关系，只与它们占有空间的大小有关。
体积和容积的意义
一种物体体积一定大于它的容积。
练一练:
1.一团橡皮泥，小明第一次把它捏成长 方体，第二次把它捏成球，捏成的两个 物体哪一个体积大？为什么？
同样大 形状改变，体积未变
课堂检测题:
1. 求一个无盖木箱占的空间有多 大，是求木箱的（ ）。 表面积 体积 容积
左边盒子的容积大一些。
容器所能容纳物 体的体积,叫做这个 容器的容积。
玻璃杯的容积指什么?
试一试
下面哪个玻璃杯的容积大一些， 你能想办法比一比吗？
练一练
2、
哪个盒子的容积 大？为什么？
体积和容积的意义：
物体所占空间的大小叫做 物体的体积。 容器所能容纳物体的体积, 叫做这个容器的容积。
体积与容积的区别:
（2）求一个长方体木块占空间的大小，是求长方体的 （ ）。 ）。
（3）求一个油桶最多能装多少油，是求油桶的（
（4）求一个长方体木块占地多少，是求长方体的（
）。
六年级数学
1
2
3Hale Waihona Puke 物体所占空间的大小叫 做物体的体积。
你能举例比比两个物体 体积的大小吗？
练一练
1、把大、小石子分别放入装满 水的两个同样大的杯里，哪杯 溢出的水多？为什么？
溢出的水的体积分别相 当于哪个物体的体积？
例7
你能看出哪个盒子里书的 体积大一些吗?
例7
你能看出哪个盒子里 书的体积大一些吗?
2. 火眼金睛！
冰箱的容积就是冰箱的体积。（ ） 2. 游泳池注入半池水,水的体积就是游泳 池的容积。（ ） 3. 两个体积一样大的盒子,它们的容积一 样大.( )
1.
体积和容积的意义
（1）
（2）
新课讲解
体积和容积的认识
你看到了什么现象？倒入几号杯的 水多一些？为什么？
两个杯子都满了， 但是倒入的水量不 一样。
有荔枝的杯子中倒 入的水多一些
荔枝占的空间小一 些，倒入的水就多 一些。
物体占有的空间有大有小即 物体的体积有大有小
新课讲解
体积和容积的认识
活动3：将下面的水果分别放入大小相同的杯子中， 再向杯子倒水，哪一个杯中的需要水的体积大？
如何测量容积？
新课讲解
总结一下体积和容积有什么不同？
体积
容积
定义
物体所占空间的大小 容器所能容纳物体的体积
测量方法 从物体外部测量
从容器内部测量
大小
物体的体积一定大于容积，当容器壁很薄时， 容器的体积近似于容积。
新课讲解
想 想 做 做
1.下面哪个盒子的容积大？为什么？
容积大
因为装同样的杯子，右边盒子装满后装的数量多一些。
课后作业
教材第14页 练习三第2题。
谢谢观看
新课讲解
想 2.小芳和小军各买了1瓶同样的饮料。小芳正好倒满3 想 杯，小军倒满2杯。谁用的杯子容积大一些？为什么？ 做 做
小芳
小军
小军用的杯子容积大； 1瓶同样的饮料说明体积一样，倒入杯中，用的杯子多说明杯 子容积小，用的杯子少说明杯子容积大。
新课讲解
想 3.学习爱自然实验室来两箱仪器，从外面看两个箱 想 子同样大。两个箱子的体积相等吗？容积呢？ 做 做
1.3 体积和容积 的认识
新课讲解
体积和容积的认识
活动1：两个同样大的玻璃杯，左边放满水， 右边的放入一个桃。
新课讲解
体积和容积的认识
知识总结：体积与容积的对比
体积与容积的对比1、体积和容积意义上的辨析（1）体积：物体所占空间的大小（2）容积：容器所能容纳物体的体积（3）长方体木箱的体积与容积比较（）①一样大②体积大③容积大④无法比较大小分析与解：像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。
一个物体的体积要比一个物体的容积大，因为体积还包括自身材料的体积。
2、体积（容积）单位上的辨析（1）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。
（2）用合适的单位来表示下列题中的数量。
①一种卡车水箱的体积约是120（）。
②三年级语文课本的体积是297（）。
③一个蓄水池的体积是4.2（）。
分析与解：卡车上水箱可容纳100多个粉笔盒的大小，因为一个粉笔盒约是1立方分米，而1立方分米=1升。
所以题①就不难解决了。
题②用手指比划一下不难得出该填什么体积单位。
题③是蓄水池的体积，它肯定超过1立方米。
点评：根据自己的生活经验选择合适的单位名称。
首先要确定选择哪种量的单位名称，再次是根据实际情况选择合适的单位名称。
3、解决问题中的比较问题一：（1）一个长方体长10厘米，宽8厘米，高5厘米，求它的体积是多少立方厘米？（2）一个正方体的棱长是4厘米，它的体积是多少立方厘米？（3）一个长方体的底面积是56立方厘米，高是8厘米，求它的体积是多少立方厘米？分析与解：因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的，它的体积=长×宽×高。
正方体是特殊的长方体，长=宽=高，因而它的体积是由棱长决定的，体积=棱长×棱长×棱长。
因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积=长×宽；正方体的底面积=棱长×棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的，它们的体积=底面积×高。
（1）长方体的体积=长×宽×高10×8×5 = 400（立方厘米）（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长4×4×4 = 64（立方厘米）（3）长方体的体积=底面积×高56×8=448（立方厘米）问题二：一种油箱，从里面量，底面正方形的面积是16平方分米，高是5分米，按每升汽油重0.68千克计算，现有50千克这种汽油，这个油箱能装得下吗？分析与解：先用底面积乘高求出这个油箱的容积，再求出这个油箱能装多少千克汽油，最后再把结果和50千克比较。
03 体积、容积和它们的单位(解析版)
03 体积、容积和它们的单位1.认识体积与容积体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积容积：容积所能容纳物体的体积叫做容器的容积2.如何比较两个物体体积的大小？如何比较两个容器的容积大小？比较体积：把大小两块石子分别放入两个装满水的同样大的杯里，看哪杯溢出的水多。
比较容积：把相同的水倒满不同的杯子，看哪个杯子溢出。
3.体积单位与容积单位4.请想办法测量一个不规则土豆的体积。
写出你的测量方案。
测量的办法：把一个量杯装满水，把土豆放入盛满水的量杯中，水会溢出，把溢出的水倒入空量杯中，通过读取量杯的数据即可得到水的体积，水的体积也就是土豆的体积。
【例1】求一个电视机所占空间的大小，就是求这个电视机的（）。
A．面积B．体积C．容积【答案】B【分析】一个长方体所占空间的大小是它的体积，它所能容纳物体的体积就是它的容积，它所有面的总面积是它的表面积，据此解答。
【详解】求一个电视机所占空间的大小，就是求这个电视机的（体积）。
故答案为：B【点睛】本题主要考查体积、容积的认识，要特别注意体积、容积的区别。
【例2】一个长方体水箱装满水可以装5L，这个水箱的（）是L。
A．容积B．体积C．重量【答案】A【分析】容积就是指容器所能容纳物体的体积，据此即可做出正确选择。
【详解】因为容积就是指容器所能容纳物体的体积，所以一个水箱装满水可以装5L，我们说这个水箱的容积是5L。
故答案为：A【点睛】此题主要考查容积的定义。
【例3】在括号里填上合适的单位名称。
橡皮的体积约是6________西瓜的体积约是4________水桶的容积约是12________集装箱的体积约是40________【答案】立方厘米立方分米升立方米【分析】常用体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米，常用容积单位有：升和毫升；根据物体的特征和单位前数字的大小填写即可。
【详解】橡皮的体积约是6立方厘米；西瓜的体积约是4立方分米；水桶的容积约是12升；集装箱的体积约是40立方米；【点睛】填写合适的单位名称时要注意：一要看具体是什么物体；二要看单位前数字的大小【例4】有一个正方体牛奶盒，标注“净含量500毫升”，量得外包装棱长是8厘米，根据以上数据，你认为它的“净含量”的标注是（）。
小升初立体图形训练长方体正方体的体积 无答案
长方体、正方体的体积第一部分知识梳理1.体积与容积的意义（1）物体所占空间的大小，叫作物体的体积。
（2）容器所能容纳物体的体积，叫作容器的容积。
2.认识常用的体积单位、容积单位。
（1）常用体积单位：立方厘米、立方分米、立方米，分别用字母cm3,dm3,m3表示。
（2）常用容积单位：毫升和升，分别用字母mL，L表示。
3.容积单位与体积单位之间的换算1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1L=1dm31mL=1cm34.体积、容积单位之间的进率及换算相邻体积、容积单位之间的进率为1000.把高级单位化低级单位乘进率，把低级单位化高级单位除以进率。
5.长方体体积的计算方法长方体的体积=长×宽×高。
字母表示为：V=abh6.正方体的体积的计算方法正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
字母公式为：V=a37.长方体、正方体的体积通用公式长方体（正方体）的体积=底面积×高，字母表示为：V=sh。
8.用排水法测量不规则物体的体积在测量不规则物体的体积时，水面升高的体积（或满杯时溢出的水的体积）相当于石块的体积。
第二部分例题精讲考点1长方体的体积例1.一根长方体木料，长4米，横截面的面积是0.08平方米，这根木料的体积是多少？变式练习1.一根长方体的木料，长6米，它的横截面的面积是1.6平方分米，10根这样的木料体积一共是多少？2.一根长方体钢材长3米，横截面是边长5厘米的正方形，每立方米钢材重7.8千克，这根钢材重多少？考点2 先求棱长再求体积或先求体积再求其它例2.一个底面是正方形的长方体水箱，如果把它的侧面打开得到一个边长是120厘米的正方形，这个水箱的容积是多少升？变式练习1.一个长方体钢材，长2.5米，宽8分米，厚3厘米，如果每立方厘米钢材重0.2千克，这块方钢重多少千克？2.在一个长为20厘米，宽和高都是4厘米长方体上截下一个最大的正方体，剩下部分的体积是多少？考点3 求放进物体的体积例3.一个长方容器，底面长2dm，宽1.5dm，放入一个铁块后水面升高了2cm，这个铁块的体积是多少？变式练习1.一只长方体的玻璃缸，长8dm，宽6dm，高4dm，水深28cm.如果投入一块棱长4dm的正方体铁块，鱼缸里的水溢出多少？2.一个长方体玻璃容器棱长2分米，向容器中倒入5升水，把一块石头放入容器中，这时显示容器内的水深为15厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？3.一个正方体形状的鱼缸棱长为40厘米，若里面放进38.4升的水，水面离上口有多少厘米？考点4.考虑到容器壁厚的问题例4.一个长方体养鱼缸，从外面量长6分米，宽4分米，深3分米，鱼缸壁厚1分米，这个鱼缸能装水多少升？变式练习1.一列运煤火车，挂有12节车厢，每节车厢从里面量长14米，宽2.5米，煤高1.6米，如果每立方米煤重1.4吨，这列火车共运了多少吨？2.有一块长30厘米，宽25厘米的长方形铁皮，在四个角上分别剪去面积相等的正方形，正好可以做成一个深5厘米的无盖铁盒。
体积和容积的意义
体积和容积的意义第一局部：教材分析：《容积和容积单位》属于第二学段“空间和图形”这个领域里的内容。
依据课程标准，本课的具体目标是：“通过实例，理解容积的意义及度量单位，会实行单位之间的换算，感受1升和1毫升的实际意义。
《容积和容积单位》是这个单元第三节内容——长方体和正方体的体积中的第六课时，它是在学生掌握了长方体和正方体的表面积、体积的含义和计算以及体积单位的理解的基础上实行教学的。
是一节数学概念课。
教材把这个内容安排在“体积和体积单位”的后面，意图就是让学生使用体积的概念、单位和计算的学习方法来学习容积的概念、单位和计算方法。
教材首先用描绘和定义的形式说明了什么是物体的容积，计量物体的容积，就用体积单位。
接着教材出示了生活中常见的药水瓶、饮料瓶上的容积单位，介绍了计量液体的体积常用容积单位升和毫升，以及它们与体积单位之间的关系，并设计了一个小组活动，让学生利用瓶装矿泉水和量杯来感知升和毫升的实际大小，最后让学生说说生活中哪些物品上标有升和毫升。
这个意图不但是让学生深刻地感知容积单位的实际意义，也能体会出数学知识与生活的密切联系，培养学生细心观察的良好习惯。
学生们第一次接触容积和容积单位，对学生来说怎么样更好的理解容积的意义是重点，也是下一步学习容积的单位和计算方法的基础，还能更好的协助学生进一步理解体积，所以根据这点我们制定了以下几点教学目标：1、经历容积概念的理解过程，体会容积和体积的联系与区别。
2、掌握升与毫升间的进率以及它们和体积单位的关系，并通过实践活动感知1升和1毫升的实际意义。
3、在观察和比较中，培养学生应用数学的意识及细心观察的良好习惯，发展学生的空间观点。
教学重点是理解容积的概念，感知容积单位的实际大小。
教学难点是理解容积和体积概念的联系与区别。
第二局部：教法、学法说明。
概念的理解是概念教学的中心环节。
所以，在本节课的教学中，我首先让学生复习体积的相关知识，并计算牛奶盒的体积，为容积的学习做好铺垫。
数学体积与容积的关系
数学体积与容积的关系体积和容积是数学中常用的概念，用于描述三维物体所占据的空间大小。
尽管两者经常被混淆使用，但它们在数学上有着不同的定义和应用。
本文将详细介绍数学体积与容积的概念，并探讨它们之间的关系。
一、体积的定义和应用体积是指物体所占据的三维空间大小，通常用单位立方米（m³）或立方厘米（cm³）来表示。
体积可以用于描述各种形状的物体，例如立方体、长方体、圆柱体等。
对于简单形状的物体，计算体积相对较容易。
下面以几个常见的几何体为例，介绍如何计算它们的体积。
1. 立方体的体积计算公式为边长的立方。
假设立方体的边长为a，则其体积V等于a³。
2. 长方体的体积计算公式为底面积乘以高度。
假设长方体的底面积为A，高度为h，则其体积V等于A * h。
3. 圆柱体的体积计算公式为底面积乘以高度。
假设底面积为A，高度为h，则其体积V等于A * h。
除了简单的几何体，对于复杂形状的物体，可以通过将其分解为简单形状的组合来计算体积。
例如，通过将一个立方体分解为多个长方体或立方体的组合，可以计算出其体积。
二、容积的定义和应用容积是指物体所能容纳的物质或液体的量，通常用单位升（L）或毫升（mL）来表示。
容积一般用于描述容器或器皿的大小，例如一个水杯的容积为500毫升。
在数学中，容积也可以用于描述固体物体的容纳能力，例如一个圆柱形油桶的容积为100升。
计算容积的方法因物体类型而异。
对于常见的容器如圆柱体、长方体等，可以直接使用相应的计算公式来求解。
1. 圆柱体的容积计算公式为底面积乘以高度。
假设底面积为A，高度为h，则其容积V等于A * h。
2. 长方体的容积计算公式为底面积乘以高度。
假设底面积为A，高度为h，则其容积V等于A * h。
除了这些简单的形状，对于复杂的容器，如圆锥体、球体或不规则形状的容器，则需要使用更复杂的数学方法来计算其容积。
三、体积与容积的关系体积和容积的关系可以通过一个简单的例子来说明。
1体积和容积的意义教案2023-2024学年数学六年级上册(苏教版)
1 体积和容积的意义教案20232024学年数学六年级上册（苏教版）今天我们要学习的数学知识点是体积和容积的意义，这是六年级上册《数学》苏教版教材中的一个重要部分。
在这个教案中，我将引导学生们理解体积和容积的概念，掌握它们的计算方法，并能够应用到实际问题中。
一、教学内容我们今天要学习的是《数学》六年级上册第三单元的体积和容积的内容。
这部分教材主要包括体积和容积的定义，计算体积和容积的方法，以及如何利用体积和容积的概念解决实际问题。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生们能够理解体积和容积的概念，掌握计算体积和容积的方法，并且能够运用这些知识解决一些实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是体积和容积的计算方法，以及如何应用这些方法解决实际问题。
难点是理解体积和容积的概念，以及如何将它们应用到实际问题中。
四、教具与学具准备为了更好地进行教学，我准备了一些实物，如不同形状的容器和物体，以及一些测量工具，如尺子和量筒。
学生们也需要准备好他们的笔记本和笔。
五、教学过程我会通过引入一些日常生活中的实例，如装水的杯子、装米的袋子等，引导学生思考体积和容积的概念。
接着，我会讲解体积和容积的定义，并通过实物演示和图示来帮助学生更好地理解。
然后，我会教授计算体积和容积的方法，并通过一些例题来让学生们进行实践操作。
我会布置一些随堂练习，让学生们能够即时巩固所学知识。
六、板书设计在讲解的过程中，我会利用板书来辅助教学。
板书上会写有体积和容积的定义、计算方法，以及一些关键的点。
七、作业设计随堂练习题：1. 一个长方体的长是8厘米，宽是6厘米，高是4厘米，求它的体积和容积。
答案：体积为192立方厘米，容积为144立方厘米。
2. 一个圆柱的底面半径是5厘米，高是10厘米，求它的体积和容积。
答案：体积为785.4立方厘米，容积为628.3立方厘米。
八、课后反思及拓展延伸通过本节课的学习，学生们对体积和容积的概念有了更深入的理解，并能运用计算方法解决一些实际问题。
什么是容积容积与体积的区别
什么是容积容积与体积的区别 容积是指容器所能容纳物体的体积。
那么你对容积了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是容积的内容，希望⼤家喜欢! 容积的介绍 物体所占的空间的⼤⼩叫做体积。
箱⼦、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量。
很明显，容积和体积是有着密切的联系，它们的计算⽅法是⼀样的。
但是体积和容积是两个不同的概念，它们的区别是： 1、意义不同。
体积是指物体所占空间的⼤⼩。
容积是指容器(箱⼦、仓库、油桶等)的内部体积。
2、测量⽅法。
计算物体的体积要从物体外⾯去测量。
例如求⽊箱的体积就要从外⾯量出它的长、宽、⾼的长度。
计算容积或容量，由于容器有⼀定的厚度，要从容器⾥⾯去测量，例如求⽊箱的容积或容量，要从内部测量出长、宽、⾼的长度。
3、计算单位不同。
计算物体的体积，⼀定要⽤体积单位，常⽤的体积单位有：⽴⽅⽶、⽴⽅分⽶、⽴⽅厘⽶等。
计算容积⼀般⽤容积单位，如升和毫升，但有时候还与体积单位通⽤。
由于容积单位最⼤的是“升”，所以计算较⼤物体的容积时，通⽤的体积单位还是要⽤“⽴⽅⽶”。
升和毫升是计算物体的体积不能⽤的，它只限于计算液体，如药⽔、汽油、墨⽔等。
所以，计算容积⼀般⽤容积单位，只有在特殊情况下体积和容积的单位才通⽤，⽐如在计算较⼤物体的容积时，就可以⽤体积单位“⽴⽅⽶”。
容积和体积是不同的 1、含义不同。
如⼀只铁桶的体积是指它所占空间部分的⼤⼩，⽽这只铁桶的容积却是指它容纳物体的多少。
⼀种物体有体积，可不⼀定有容积。
2、测量⽅法不同。
在计算物体的体积或容积前⼀般要先测量长、宽、⾼，求物体的体积是从该物体的外部来测量，⽽求容积却是从物体的内部来测量。
⼀种既有体积⼜有容积的封闭物体，它的体积⼀定⼤于它的容积。
3、单位名称不完全相同。
体积单位⼀般⽤：⽴⽅⽶、⽴⽅分⽶、⽴⽅厘⽶;固体的容积单位与体积单位相同，⽽液体和⽓体的体积与容积单位⼀般都⽤升、毫升。
4、公式:V长⽅体=abc(长× 宽× ⾼) v正⽅体=a^3(棱长× 棱长× 棱长) v圆柱=Sh v圆锥=1/3sh 5、计量液体的体积，如⽔、油等，常⽤容积单位升和毫升，也可以写成L和mL。
体积容积研究报告范文
体积容积研究报告范文摘要：本报告基于对体积容积概念的深入研究，以及对测量方法、应用场景等方面的调查研究，总结了体积容积的意义、测量方法和应用价值。
通过对实验数据的分析，我们发现体积容积在科学研究、工程设计、制造业等领域具有重要的应用价值，同时也存在一些挑战和改进的空间。
通过本报告的介绍和分析，相信能够对体积容积的研究和应用有一定的启示和促进作用。
一、引言体积容积是物体所占空间的量度，在科学研究和技术应用中具有广泛的应用和研究价值。
在工程设计中，正确测量物体的体积容积是保证设计准确性的重要环节。
在制造业中，对产品的体积容积进行精确测量和控制，能够提高生产效率和产品质量。
本报告旨在系统介绍体积容积的研究成果，探讨相关测量方法和应用。
二、体积容积概念体积容积是指物体所占空间的大小。
对于规则形状的物体，体积容积可通过直接计算而得；对于不规则形状的物体，可以采用测量方法如剖析法、投射法、水浸法等来间接测量其体积容积。
三、测量方法1. 剖析法：通过将不规则形状的物体分解为规则形状的部分，再计算各个部分的体积，最后加总得到整体的体积容积。
该方法适用于多边形、球体等复杂形状的物体。
2. 投射法：将不规则形状的物体放置在平面上并且垂直于平面，然后将射线投射到物体上方的平面上，通过测量投射面积与投射高度的比值，可以计算出物体的体积。
该方法适用于较为规则的形状，如圆柱体、圆锥体等。
3. 水浸法：将不规则形状的物体完全浸入水中，通过测量溢出的水的体积来计算物体的体积。
该方法适用于密度小于水的物体，如木材、塑料等。
四、应用价值1. 在科学研究中，体积容积是理解物质特性和变化过程的重要参数。
通过测量物体的体积容积，科学家可以推断物质的密度、质量、分子结构等信息。
2. 在工程设计中，正确测量物体的体积容积对于设计准确性至关重要。
例如，在建筑设计中，准确计算土方工程的体积容积能够有效控制土石方的开挖和填方，从而确保工程的安全和经济。
体积与容积
体积和容积的概念在许多领域都有广泛的应用，例如在工程、建筑、医学、地理等领域都有重要的应用价值。
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06
体积与容积的进一步研究
体积与容积的公式推导
体积的公式推导
体积的公式是底面积乘以高度，其中 底面积可以是圆形、正方形、长方形 等。这个公式可以用来计算三维物体 的体积。
容积的公式推导
容积的公式是内尺寸的乘积，通常是 指长、宽、高的乘积，这个公式可以 用来计算容器的容积。
体积与容积的实验研究
体积实验
在数学定义上，体积通常是指三维空间中一个物体的体积，而容积是 指一个封闭空间（如立方体、球体等）的内部空间大小。
体积与容积的实例应用
01
生活中的例子
我们经常遇到需要计算物体体积和容积的情况。例如，要计算一个包装
箱的体积，我们会量取其长、宽和高，然后计算其体积。如果要计算一
个水桶的容积，也是同样的方法。
容积
圆柱体的容积等于其体积，因为圆柱体也是三维空间中封闭的图形，所以它的内 部空间大小就是其体积。
计算圆锥体的体积和容积
体积
圆锥体的体积可以通过将圆的面积乘以高度的三分之一来计算。圆的面积可以 通过π乘以半径的平方来得到。例如，一个底面半径为3cm、高为4cm的圆锥 体体积为12πcm³。
容积
圆锥体的容积等于其体积的三分之一，因为圆锥体是三维空间中开放的图形， 所以它的内部空间大小是其体积的三分之一。
02
工业制造
在制造业中，体积和容积的计算是非常重要的。例如，要制造一个金属
零件，首先需要计算出其体积和容积，以确定所需的材料数量和制造工
艺。
03
医学应用
在医学领域，体积和容积的计算也具有重要意义。例如，要确定一个病
苏教版六年级《 体积和容积的意义》教学设计
哪一个占的空间大？
什么是体积和容积？ 谁的体积大？
体积和容积有什么联系和区别？
【设计意图：结合生活实例，进一步体会影响体积大小的关键。】
学生举例比比两个物体体积的大小。
得出：物体所占空间的大小叫做物体的体积。物体的体积和轻重无关，和占用的空间有关。
第11页例7
问题5：左边哪个盒子里的书体积大一些？
学生交流后，指出：书盒能容纳书的体积就是书盒的容积。也就是说容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。
教学过程
教学环节
学习素材
问题设计和意图
学生活动
1.
复习铺垫
乌鸦喝水的故事
学生说明当石头放进瓶中后，水面上升原因。（学生解释）揭示课题。
2.
新授学习
第10页例6，实验一
问题1：两个杯子同样大，左杯中的水倒入右杯，为什么还剩下一些水？
【设计意图：初步感知体积的意义】
学生交流后，明确：桃占去了杯中的一部分空间。
3.使学生进一步体会形体知识与实际生活的联系，感受数学学习的学习价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
教学重难点
【教学重点】：通过观察和操作活动，理解体积（容积）的意义。
【教学难点】：经历观察与操作、抽象与概括、归纳与类比等数学活动，积累活动经验。
教学前思
本节课主要教学体积和容积的意义。学生在四年级上册已经初步认识了升和毫升这两个容积单位，这是理解体积和容积的意义的重要基础。体积容积意义的理解对后序学习有重要影响。
第5课时 体积和容积的意义
教学内容
教材第10～11页的里6、例7及相应的“试一试”，“练一练”和练习三第1～4题。
教学时间
数学容积的概念
数学容积的概念在数学中，容积是描述一个物体所占据的空间大小的概念。
它是三维空间中的一个重要概念，常被应用于几何学、物理学和工程学等领域。
容积的计算方法和应用十分广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
一、容积的定义和计算方法容积是指一个物体所占据的空间大小。
在数学中，我们通常用单位体积来衡量容积的大小，比如立方米、立方厘米等。
对于规则的几何体，比如长方体、正方体、圆柱体等，容积可以通过简单的公式来计算。
例如，长方体的容积公式为长度乘以宽度乘以高度，即V = l * w * h。
又如，正方体的容积公式为边长的立方，即V = a^3。
圆柱体的容积则为底面积乘以高度，即V = π * r^2 * h。
对于不规则的几何体，容积的计算就需要将其分解成规则的几何体或利用积分等方法进行近似计算。
例如，球体的容积可以通过将其分成无穷多个薄片，并利用积分求和的方法来计算。
二、容积的应用容积的概念在日常生活中有着广泛的应用。
以建筑工程为例，设计师需要计算房屋的容积来确定建筑物的大小和空间分配；建筑材料商需要计算容积来确定材料的采购数量和存储空间；而房地产开发商需要计算建筑容积率来规划和评估房地产项目的可行性。
在物理学中，容积也是一个重要的概念。
例如，用容积来描述液体或气体的体积，通过计算容积可以得出密度、压强等物理量。
在热力学中，容积也与温度和压强等参数密切相关。
几何学中的立体几何研究也是容积的重要应用领域。
通过计算几何体的容积，可以判断体积大小的相等或不相等关系，以及形体和结构上的相似性，对于理解几何体的形状和特性提供了有力的工具。
三、容积的局限性和拓展容积的计算方法和应用是多样的，但也有其局限性。
对于复杂、不规则的物体，计算容积可能较为复杂，甚至无法使用精确的公式求解。
此时，可以利用近似计算和数值模拟等方法来估算容积。
随着科学技术的发展，人们对容积概念的研究也在不断拓展。
例如，在计算机图形学和虚拟现实领域，容积概念被应用于三维建模和仿真技术，在游戏开发、电影制作和工程设计等方面发挥着重要作用。
01体积单位和体积计算
诗文教育1对1——01体积单位及体积计算知识点：1.理解体积和容积的意义，并从直观上比较两个物体体积或者容积的大小。
体积：物体所占空间的大小。
容积：容器所能容纳物体的体积。
2.掌握常用的体积和容积单位，1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升。
3.知道体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，容积的单位有升、毫升，以及各单位之间的换算。
一.填上合适的单位：新华字典体积约是1（）；橡皮的体积约是10（）；牙膏盒体积约是120（）电视机体积约是0.6（）；手指头的体积约是1（）；一个粉笔盒的体积约是1（）集装箱的体积大约是40（）；水桶的容积大约是12（）；一瓶眼药水约是8（）一台冰箱的体积约是240（）；摩托车的邮箱约盛汽油12（）。
一个文具盒长20（），上面的面积是120（），这个文具盒的体积是360（），里面能放320（）的物品。
二.单位换算1立方米=（）立方分米；1立方分米=（）立方厘米；1升=（）毫升；1立方厘米=（）毫升；1.8立方米=（）立方分米=（）立方厘米；14200立方厘米=（）立方分米=（）立方米；25毫升=（）立方厘米；5.8立方分米=（）升（）毫升；1.56升=（）立方分米=（）立方厘米。
三.填空题1.长方体和正方体的底面积相等，长方体的高是正方体高的3倍，长方体的体积是正方体的（）倍。
2.一个长方体，底面积是12立方分米，如果它的高增加5分米，那么它的体积增加了（）立方分米。
3.一个玻璃鱼缸，装满水后水有50升，这个鱼缸的（）是50升。
4.正方体的棱长扩大3倍，体积就扩大（）倍。
5.一个长方体的底面积是90平方厘米，高是2分米，这个长方体的体积是（）立方厘米。
6.一个正方体的底面积是49平方分米，这个正方体的体积是（）立方分米。
7.一个底面是正方形的长方体，高是20厘米，侧面展开后，刚好是一个正方形，这个长方体的体积是（）立方厘米。
四、判断题1.把一个正方体放在桌面上，露在外面的有5个面。
六年级上册数学课件-1.4 体积和容积的意义丨苏教版 (共17张ppt)
实验一
物体是占有空间的
请同学们预测一下， 如果把右杯里的水倒进左 石子所占的空间
实验二
物体占有的空间有大有小
往这两个杯子里倒水，倒进哪个杯里的水会多一些？
两个杯子能装的水同样多， 猕猴桃占的空间大，因而相应杯中的水就少； 葡萄占的空间 小，因而相应杯中的水就多。
下面哪个盒子的容积大，为什么？
商家把同样的盒装饼干摆成3堆，这3堆饼干的体积相等吗？ 为什么？
小芳和小军各买了1瓶同样的饮料。小芳正好倒满3杯， 小军只倒了2杯多。谁用的杯子容积大一些？为什么？
学校自然实验室买来两箱仪器，从外面看，两个箱子同样大， 两个箱子的体积相等吗？容积呢？
你还有什么收获？
试一试
哪一个占的空间大？ 把它们放在同样大的杯中， 再倒满水，哪个杯里水占的空间大？
通过这三次活动，你有什么感受？ 物体是占有空间的 物体占有的空间有大有小
实验三
形状改变，体积未变
将橡皮泥捏成一个你喜欢的形状；
再将它捏成长方体；
想想两者哪个体积较大，为什么？
小组内讨论
你能举例比比两个物体体积的大小吗？
你能看出哪个盒子里的书体积大一些吗？ 一个容器所容纳的体积越大， 它的容积就越大，反之就越小
哪个的容积大，为什么？
一个物体能够容纳的体积越大， 它的容积就越大，反之就越小。
下面哪个杯子的容积大？你能想办法比比吗？
把大、小两块石子分别放入两个装满水的同样大小的杯子里， 哪杯溢出的水多？为什么？
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第二单元《体积和容积的意义》教案一、教学内容：教科书第19、20页例6、例7以及相应的试一试、练一练和练习五第1—4题。
二、教材简析：学生在学习这部分内容之前，已经对长方体和正方体的基本特征及其展开图有了一定的认识和理解，并掌握了长方体和正方体的表面积的计算方法，学习解决了一些相关的实际问题。
例6通过三个层次的操作活动引导学生初步认识体积的意义。
通过三个活动，学生不仅能体会到物体总是占有一定的空间，而且能够体会到物体所占的空间是有大小的，物体所占空间的大小是可以比较的。
再让学生寻找生活中的一些物体，比一比它们体积的大小，进一步加深对体积这一抽象概念的认识。
例7通过让学生比较两个大小不同的书盒中所装书的体积，形象而直观地提示了容积的概念。
再通过练习，让学生在操作中进一步体会物体所能容纳的物体的体积，就是这个容器的容积。
三、教学目标：1、通过操作活动引导学生初步认识体积和容积的意义，能借助实物或直观图比较物体的体积（或容积）的大小。
2、引导学生在解决实际问题的过程中，进一步体会图形学习与实际生活的联系，感受图形学习的价值，增强数学应用意识，进一步培养自主探索、合作学习的意识。
四、教学重难点：了解体积和容积的意义五、教具准备：两个纸杯、教学课件、长方体和正方体容器、小石块、圣女果、荔枝、桃子等水果、粉笔盒若干六、教学过程：（一）情境导入：师：同学们，你们听过乌鸦喝水的故事吗？（请一位同学叙述这个故事）提问：水为什么会上升？（学生初步感知：石块占据了一定的空间）追问：如果老师把手中的这个的桃子放在这一满杯水中，会出现什么情况？为什么？（设计意图：让学生初步感知：像石块、桃子等物体占据了一定的空间）师：同学们，今天我们所学的内容，在生活中经常能看到，只是平时大家没有思考“为什么”，我相信经过这节课的动手、动脑学习，大家一定能获得好多的知识。
板书课题：体积与容积的意义。
（二）教学新课：1、教学例6。
（1）实践操作，初步感知体积的意义。
出示两个纸杯。
师：同学们，这两个纸杯同样大，如果两个杯都装满水，装的水同样多吗（演示一个杯子装满水，然后倒入02号杯子，让学生看到装得水同样多）小结：两个杯子同样大，都装满水，装的水同样多。
（设计意图：让学生初步感知物体占据一定的空间）（2）教师将空杯中放入一个小石块。
问：如果将满杯水往这个空杯中倒，会出现什么情况？生猜测后看老师演示。
师；为什么杯中会剩下一些水？（停顿）学生讨论后回答：因为小石块占据了一定的空间。
师追问：这个小石块所占的空间与剩下的水所占的空间有什么关系吗？（一样大）（3）操作比较感知体积的大小。
课件演示：杯中装有桃子和荔枝，提问：倒进几号杯里的水多一些？为什么？先让学生猜测，然后演示并小结。
小结：桃子占的空间大，杯中装的水就少；荔枝占的空间小，杯中装的水就多。
（设计意图：通过实验让学生感知物体所占的空间是有大有小的。
）（4）出示圣女果、荔枝、桃子和三个同样大的杯子，标上数字1、2、3。
师：同学们，圣女果、荔枝、桃子这三个水果，哪一个占的空间大？把它们放在同样大的杯中，再倒满水，哪个杯里水占的空间大？为什么？（停顿）师：圣女果占的空间最小，因而相应杯中的水就最多。
通过这些活动，我们发现，物体会占据一定的空间，而且不同大小的物体所占的空间有大有小，物体所占空间的大小就叫做物体的体积。
板书：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（5）学生举例比较物体的体积。
（要求比较时说清楚哪个物体和哪个物体比较，哪个物体的体积大）（设计意图：通过对比生活中的物体大小，进一步加深学生对体积的认识。
）2、教学例7（容积的意义）（1）观察比较：感知容积的意义。
取出装了不同粉笔盒的纸盒。
（从外看不出装了几个）师问：你知道哪个盒子里装的粉笔多吗？学生猜测，教师引导学生进行验证。
师指出：哪个盒子装的粉笔的体积大，我们就说这个盒子的容积大。
装粉笔的这个盒子就叫做容器。
（2）课件演示例7，并揭示容积的意义：容器所能容纳的物体的体积，就叫做这个容器的容积。
（板书）（设计意图：通过比较两个大小不同的盒子所装的粉笔的体积，形象而直观地提示了容积的概念。
）（3）教学试一试：师问：什么是玻璃杯的容积？你准备怎么比较它们的容积呢？学生在小组内说说自己的想法，并组织全班同学交流。
3、课堂练习：（1）教学“练一练”第1题：学生先独立完成，并组织学生汇报。
（重点引导学生明白：石子的体积越大，溢出的水就越多）第2题：要求学生在观察的基础上说说哪个盒子的容积大，为什么？（设计意图：使学生进一步理解容积的意义）（2）完成“练习五”第1题学生独立完成，指名回答，并请学生说说思考的过程。
师小结：这三堆饼干都是由同样大小的8盒饼干堆成，它们所占的空间大小也就一样，所以它们的体积相等。
（设计意图：通过练习，使学生进一步理解体积的意义）（3）完成“练习五”第2题。
学生独立思考后指名回答。
（4）完成“练习五”第4题学生独立思考后指名回答。
师问：体积和容积分别指什么？体积和容积有什么不同？为什么这两个箱子体积相等，容积不一样呢？（设计意图：进一步加深学生对体积、容积的联系与区别）（5）完成“练习五”第3题。
第（1）小题：学生在小组内摆一摆，并指名汇报。
生：我们先用8个小正方体摆一个较大的正方体，再用剩下的4个小正方体摆成一个长方体。
（教师结合学生的回答演示课件。
）提问：同学们，至少需要几个小正方体才能摆一个较大的正方体？（8个）学生独立完成第3题（2）（3）小题。
师：请大家先用小正方体摆一摆，在小组中交流摆法。
学生汇报摆法，课件出示各种摆法的小正方体的个数。
完成“练习五”第3题（3）课件出示第（3）题。
师：请大家先用小正方体摆一摆，在小组中交流摆法。
小结：同学们摆出了形状不同的物体。
这些物体都是由4个同样大的正方体摆成，所以它们的体积同样大。
四、课堂总结师：同学们，这节课，我们学习了关于体积和容积的知识。
谁来说说它们的含义，它们之间有什么不同？师：物体所占空间的大小叫做物体物体的体积；容器所能容纳物体的体积，叫做这个容器的容积。
一般来说，同一个容器，它本身的体积要比它的容积大。
板书设计体积和容积的意义物体所占空间的大小叫做物体的体积。
容器所能容纳物体的体积叫做这个容器的容积。
课后反思：本课进行教学时要用到大量的实物教具，课前做了比较充分的准备，因而课堂进行的比较顺利。
教学例6和例7用的时间不长，练习部分，同学们分小组对12个同样大的正方体按要求摆出不同的长方体和正方体时，同学们学习的积极性很高，课堂气氛比较活跃，用时比较多。
这种操作活动是必须的，老师要重视这一环节的教学，学生通过动手操作，发展了空间观念，对后续的学习很有帮助。
补充练习：1、盛满果汁的杯子，（）的体积就是（）的容积。
2、装满贷物的车厢，货物的（）就是车厢的（）。
3、容器所能容纳物体的（），叫做这个容器的容积。
教学建议：本课的教学一定要注重老师演示和学生的动手操作，演示和操作的物体可以有很多，以方便教学和符合实际为原则。
没有条件用电脑演示课件和光盘的学校，上述的教学预案不一定合适。
特别指出的是练习五的第3题一定要让学生动手操作，在小组合作和交流中进一步发展空间观念和动手操作能力。
老师演示时最好的教具就是粉笔盒。
学生可以自做一些小正方体进行操作。
体积单位教学内容：教科书第21、22页例8以及相应的练一练，练习五第5-8题及课后思考题。
教学目标：1.使学生通过观察、操作等活动认识体积单位，初步具有1立方米、1立方分米、1立方厘米的实际大小的观念。
2.让学生在具体的问题情境中，经历观察、思考、探究等学习活动过程，增强空间观念，发展数学思考。
3.引导学生积极主动与他人交流，倾听他人的观点，增强学习自信心。
教学重点：帮助学生建立体积单位1立方米、1立方分米、1立方厘米的大小表象，能正确运用体积单位估算常见物体的体积。
教学难点：能联系已有知识正确区分长度单位、面积单位、体积单位，清楚各自含义。
课前准备：教师：正方体（1立方厘米、1立方分米）模型、3把米尺学生：学具盒（1立方厘米正方体数个）、1平方厘米的硬纸板小正方形若干个教学预案：一、谈话导入1.师：升入六年级，我发现好多同学都长高了，有的同学都比老师高了，找个同学来和老师比比看吧！师：我高出一点，到底高出多少呢？可以用数学知识来解决吗？测量身高要用什么单位呢？常用的长度单位有哪些？生回答，教师板书：厘米、分米、米2.我们身高不一样，踩出的脚印大小也不一样吧？要测量脚印的大小需要用什么单位？（面积单位）常用的面积单位有哪些？学生回答教师板书：平方米、平方分米、平方厘米3.我们俩所占空间的大小也不一样吧，谁的体积更大些？光盘出示教材上例题8中的长正方体：这个长方体与正方体的体积，哪个更大些？你有什么好方法来比较呢？学生想办法，体会到分割成同样大小的小正方体，教师光盘上演示。
4.教师说明：统一度量衡是人类文化发展的一个标志。
测量体积也需要一个统一的单位。
为了准确测量或计量体积的大小，要用同样大的正方体作为体积单位，猜猜看，常用的体积单位有哪几个？学生猜，教师板书：立方厘米、立方分米、立方米师：你们的想法与数学家想的一样，确实如此，今天我们就来学习体积单位（板书课题）二、学习体积单位（一）立方厘米1.出示1立方厘米的模型：让学生感知它的大小，建立表象。
规定：棱长1厘米的正方体的体积是1立方厘米。
2.举起学具盒中的1立方厘米，看一看，1立方厘米有多大？闭上眼睛摸一摸，想象一下1立方厘米有多大。
3.生活中那样物体的大小比较接近1立方厘米？学生举例。
4.把学具中10个1立方厘米的小正方体任取几个，任意堆起来，看看几立方厘米有多大。
5.（教师拿出苹果）大家估计一下这个苹果有多少立方厘米？如学生估计误差比较大，教师可用小正方体与学生校对，缩小误差。
（二）立方分米1. 出示1立方分米的模型：让学生感知它的大小，建立表象。
规定：棱长1分米的正方体的体积是1立方分米2.生活中哪些物体的体积比较接近1立方分米？学生举例。
最常见的就是粉笔盒。
把粉笔盒和1立方分米的教具比一比，让学生感知粉笔盒比1立方分米要小一些。
（三）立方米1.让学生猜，1立方米会是怎样规定的呢？它有多大呢？生：（齐）棱长1米的正方体的体积是1立方米。
师：说得很好，1立方米就比较大了，我没法给你们准备教具了，就想了一个办法，我们靠墙角搭一个架子，看看1立方米的空间有多大。
（老师协助学生共同搭）2.师：看，1立方米就是这么大，我们试试看，里面能进去几个我们这样的小学生。
请一些学生蹲到1立方米内，学生体会到立方米是用来计量比较大的物体的体积单位的。
师：今天我们认识了3个体积单位，为了国际交流方便，他们还可以有字母来表示，介绍m3等的写法。