9.2 多边形的内角和与外角和
七年级数学下册 第9章 多边形 9.2 多边形的内角和与外角和 多边形的内角和课件(新版)华东师大版
合作探究
四边形的内角和
。 360
D
A
2 4
B
C
即∠A+∠B+∠C+∠D=360o
合作探究
五边形的内角和
。 540
B C
A D
E
合作探究
3180 4180 5180
三角形 四边形 五边形
六边形
七边形
请你认真地想一想，你能通过怎样的方法把多边形转化为三角形？
345 540 °720 °900 °
n-2
例3 已知多边形的每一内角为150°，
求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得
（n－2）×180°=150 °n 解得n= 12
答：这个多边形的边数为12.
练习运用
1.如果一个多边形的内角和等于900°, 那么这个多边形是 七 边形.
2.十边形的内角和等于1440°度.
3.正十五边形的每一个内角等于 156°度.
拓展提高
B C
B C
A
A
D
D
E
E
拓展提高
B
.
A
p
E
C
A D
B C
.D
p
E
拓展提高
B
.
A
p
E
C
A D
B C
.D
p
E
小小结结
本节课我们通过把多边形划分成
若干个三角形，用三角形内角和去 求多边形的内角和，从而得到多边 形的内角和公式为(n-2)·180°.这种 化未知为已知的转化方法，必须在 学习中逐步掌握.
例1
求八边形的内角和。
解：八边形的内角和为 （n－2）×180°=（8－2）×180°=10 80°
9.2.1多边形的内角和与外角和作业(1)
9.2多边形的内角和与外角和(1)作业 2014/8/20§9.2多边形的内角和与外角和(1)一 选择题1．下列哪个不可能是小明计算的多边形内角和（ ）A 1800°B 1080°C 180°D 450°2．四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（ ） A ．80° B ．90° C ．170° D ．20°3．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．64.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1＋∠2等于( )A ．315°B ．270°C ．180°D ．135°5、如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来那个多边形的边数是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8二 填空题6．六边形共有_______个对角线，它的内角和等于_______度．7. 若一个多边形的内角和为1260°，则这个多边形的边数是_______.对角线个数为______。
8．四边形的四个内角之比是1∶2∶3∶4，那么，这四个角分别是_________________。
9.多边形的边数增加n ，其内角增加_______。
10.如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为__________________（5题） （11题）11. 若n 边形的内角与m 边形的内角和的差为540°，则n-m=___________12. 一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，则除去的这个内角的度数为________. 三解答题14.求下列图形中的x 。
（1） （2））15.已知两个多边形的内角和为1800°，且两多边形的边数比为2：5，求这个多边形的边数。
9.2 多边形的内角和与外角和
9.2 多边形的内角和与外角和教材分析本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，特别是教材中设计了现实情境，“想一想”，“议一议”等内容，体现了课改的精神．强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。
学情分析学生已经知道了三角形的内角和和一些特殊四边形的内角和，同时具有一定的观察、归纳和探索能力。
而且个性活泼，对事物充满好奇，学习积极性高；但不足的是抽象概括能力、解决问题能力偏弱，不易总结出规律，并且程度参差不齐。
教学目标1、理解掌握多边形的有关概念。
2、理解掌握多边形的内角和和外角和及其推导方法。
3、能运用多边形的内角和和外角和解决有关问题。
教学重点多边形的内角和和外角和及其应用教学难点多边形的内角和和外角和的推导方法教学过程一、提纲导学1、回顾旧知三角形的内角和是____度，外角和是_____度。
2、创设情境，导入新课我们已经知道了三角形的内角和是180°，外交和是360°，那么任意的多边形的内角和是多少度呢？外角和是多少度呢？这就是本节要学习的内容，导入新课。
3、出示导纲（1）、什么叫做多边形？正多边形？（2）、多边形的对角线是如何定义的？（3）、多边形的内角和是多少度？如何推导？有几种推导方法？（4）、多边形的外角和是多少度？如何推导？（5）、八边形的内角和是_____度。
（6）、一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是_____变形。
4、自学设疑 结合提纲导学中的几个问题，自学课本83页--87页内容，并把自己疑问的地方列出来.二 合作互动1、小组交流学生进行充分自学后，提出疑问，师归纳疑问，然后进行小组交流.2、展示评价小组交流快结束时，师出示展示评价分工表， 题目展示小组 评价小组 书面展示要求: 书写迅速,字迹工整,答题规范. 评价要求: 1、声音洪亮，条理清晰，突出重点，语言简练. 2、点评解题方法及思路，重点点评优缺点及总结方法规. 3、非点评同学认真听讲，有疑问或见解及时提出来，补充或阐述不同观点.4、点评同学对展示内容从规范性、正确性及方法总结的合理性上对展示同学打分，满分10分.1×组××(板书) ×组×× 2×组××(板书) ×组×× 3×组××(板书) ×组×× 4×组××(板书) ×组×× 5×组××(板书) ×组×× 6 ×组××(板书) ×组××学生展示时，师适当补充点拨。
七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和9.2.1多边形和多边形的对角线作业设计华东师大版
9.2.1多边形和多边形的对角线一．选择题（共8小题）1．如图，4×4的方格中每个小正方形的边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF的大小关系是（）A．S四边形ABDC=S四边形ECDF B．S四边形ABDC＜S四边形ECDFC．S四边形ABDC=S四边形ECDF+1 D． S四边形ABDC=S四边形ECDF+22.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形3．下列图形中具有稳定性的有（）A．正方形B．长方形C．梯形D．直角三角形4．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．A． 6 B．5 C．8 D．75．若从多边形的某一顶点出发只能画五条对角线，则它是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形6．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）A．n B．（n﹣1）C．（n﹣2）D．（n﹣3）7．下列图形中，多边形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边（）A． 6 B．7 C 8 D．9二．填空题（共7小题）9．一个多边形的内角和为720°，从这个多边形同一个顶点可画的对角线有_________ 条．10．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是_________ ．11．过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形的一个顶点的对角线，分别把它们分成个三角形；过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成_________ 个（用含n的代数式表示）三角形．12．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是_________ ．13．一个凸多边形的内角中，最多有_________ 个锐角．14．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出_________ 个三角形．15．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_________ ．三．解答题（共5小题）16．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．17．从四边形的一个顶点出发可画_________ 条对角线，从五边形的一个顶点出发可画_________ 条对角线，从六边形的一个顶点出发可画_________ 条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有_________ 条对角线，从n边形的一个顶点出发有_________ 条对角线，从而推导出n边形共有_________ 条对角线．18．请你分别在下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把10边形分成_________个三角形．19．实践与探索！①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成_________ 个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成_________ 个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外_________ 个顶点连线可以把n边形分成_________ 个三角形（用含n的代数式表示）．④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．20．已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．A．2．A．3．D．4．B．5．C．6．C．7．B．8．A．二．填空题（共7小题）9．3．10．10．11．（n﹣2）12．n2+2n．13．314．（n﹣1）15．5，6，7．三．解答题（共5小题）16．解：四个．如图所示：17．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，从而推导出n边形共有条对角线，故答案为：1；2；3；4；（n﹣3）；．18．解：∵四边形可分割成4﹣2=2个三角形；五边形可分割成5﹣2=3个三角形；六边形可分割成6﹣2=4个三角形；七边形可分割成7﹣2=5个三角形∴10边形可分割成10﹣2=8个三角形．19．解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1=3个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1=4个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成（n ﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°=（n﹣2）•180°．故答案为：3；4；n﹣2，n﹣1．20．解：设多边形为n边形，由题意，得n﹣2=，整理得：n2﹣5n+4=0，即（n﹣1）（n﹣4）=0，解得：n1=4，n2=1（不合题意舍去），所以内角和为（4﹣2）×180°=360°．。
第9章《多边形》常考题集(12)：9.2-多边形的内角和与外角和
第9章《多边形》常考题集〔12〕：9.2多边形的内角和与外角和第9章《多边形》常考题集〔12〕：9.2 多边形的内角和与外角和选择题31．若一个多边形的边数增加2倍,它的外角和〔〕A．扩大2倍B．缩小2倍C．保持不变D．无法确定32．〔2001•##〕如果正多边形的一个内角是144°,则这个多边形是〔〕A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形33．下面说法正确的是〔〕A．一个三角形中,至多只能有一个锐角B．一个四边形中,至少有一个锐角C．一个四边形中,四个内角可能全是锐角D．一个四边形中,不能全是钝角34．一个多边形的每一个内角都是135°,则这个多边形是〔〕A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形35．多边形的每一个内角都等于150°,则此多边形从一个顶点出发的对角线共有〔〕条．A．7B．8C．9D．1036．一个多边形除了一个内角外,其余内角之和为257°,则这一内角等于〔〕A．90°B．105°C．103°D．120°37．若一个n边形n个内角与某一个外角的总和为1350°,则n等于〔〕A．6B．7C．8D．938．一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数是〔〕A．17 B．16 C．15 D．16或15或17填空题39．〔2003•##〕如图,∠1+∠2+∠3+∠4=_________度．40．〔2008•##〕如图所示,①中多边形〔边数为12〕是由正三角形"扩展〞而来的,②中多边形是由正方形"扩展〞而来的,…,依此类推,则由正n边形"扩展〞而来的多边形的边数为_________．41．从七边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把七边形分成_________个三角形．43．〔2010•##〕如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍,那么这个多边形的边数n=_________．44．〔2009•##〕一个n边形的内角和等于720°,那么这个多边形的边数n=_________．45．〔2009•##〕八边形的内角和等于_________度．46．〔2008•永春县〕四边形的内角和等于_________度．47．〔2008•宿迁〕若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是_________．48．〔2008•##〕一个凸多边形的内角和与外角和相等,它是_________边形．49．〔2008•##〕六边形的内角和等于_________度．50．〔2007•##〕若一个正多边形的每一个外角都是30°,则这个正多边形的内角和等于_________度．51．〔2007•##〕如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了_________m．52．〔2006•##〕若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是_________．53．〔2006•临安市〕用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图〔1〕所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图〔2〕所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC= _________ 度． 54．〔2006•##〕把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角α= _________ 度． 55．〔2006•##〕如图,小亮从A 点出发,沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米,又向左转30°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A 点时,一共走了 _________ 米． 56．〔2006•##〕正五边形的一个内角的度数是 _________ 度． 57．〔2005•##〕有一个多边形的内角和是它外角和的5倍,则这个多边形是 _________ 边形． 58．〔2005•##〕一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数是 _________ ． 59．〔2004•##〕正n 边形的内角和等于1080°,那么这个正n 边形的边数n= _________ ． 60．一个多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形是 _________ 边形．第9章《多边形》常考题集〔12〕：9.2 多边形的内角和与外角和参考答案与试题解析选择题31．若一个多边形的边数增加2倍,它的外角和〔 〕 A ． 扩大2倍 B ．缩小2倍 C ． 保持不变 D ．无法确定考点：多边形内角与外角． 分析：所有凸多边形的外角和是360度,这个数值与边数的大小无关． 解答： 解：若一个多边形的边数增加2倍,它的外角和是360°,保持不变． 故选C ．点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理,对这个定理的正确理解是关键． 32．〔2001•##〕如果正多边形的一个内角是144°,则这个多边形是〔 〕 A ． 正十边形 B ．正九边形 C ． 正八边形 D ．正七边形考点：多边形内角与外角． 分析： 正多边形的每个角都相等,同样每个外角也相等,一个内角是144°,则外角是180﹣144=36°．又已知多边形的外角和是360度,由此即可求出答案．解答： 解：360÷〔180﹣144〕=10,则这个多边形是正十边形． 故选A ．点评：本题主要利用了多边形的外角和是360°这一定理． 33．下面说法正确的是〔 〕A ． 一个三角形中,至多只能有一个锐角B ． 一个四边形中,至少有一个锐角C ． 一个四边形中,四个内角可能全是锐角D ． 一个四边形中,不能全是钝角考点： 多边形内角与外角；三角形内角和定理．专题： 计算题．分析： 根据多边形的内角和定理分别可以判定那个正确． 解答： 解：A 、不对,例如：90,45,45；B 、不对,例如：90,90,90,90；C 、不对,四个角都是锐角那么不能满足内角和360°；D 、正确． 故本题选D ．点评： 此题考查了三角形,四边形内角与外角的性质．34．一个多边形的每一个内角都是135°,则这个多边形是〔 〕 A ． 七边形 B ．八边形 C ． 九边形 D ．十边形考点：多边形内角与外角． 分析： 已知每一个内角都等于135°,就可以知道每个外角是45度,根据多边形的外角和是360度就可以求出多边形的边数．解答： 解：多边形的边数是：n=360°÷〔180°﹣135°〕=8． 故选B ．点评：通过本题要理解已知内角或外角求边数的方法． 35．多边形的每一个内角都等于150°,则此多边形从一个顶点出发的对角线共有〔 〕条． A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10 考点：多边形内角与外角；多边形的对角线． 专题：计算题． 分析： 多边形的每一个内角都等于150°,多边形的内角与外角互为邻补角,则每个外角是30度,而任何多边形的外角是360°,则求得多边形的边数；再根据不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线,则此多边形从一个顶点出发的对角线共有n ﹣3条,即可求得对角线的条数． 解答： 解：∵多边形的每一个内角都等于150°, ∴每个外角是30°,∴多边形边数是360°÷30°=12,则此多边形从一个顶点出发的对角线共有12﹣3=9条． 故选C ．点评： 本题主要考查了多边形的外角和定理,已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．多边形从一个顶点出发的对角线共有n ﹣3条．36．一个多边形除了一个内角外,其余内角之和为257°,则这一内角等于〔 〕A ． 90°B ． 105°C ． 103°D ．120° 考点：多边形内角与外角． 分析： 设这个多边形是n 边形,则内角和是〔n ﹣2〕•180°,这个度数与257°的差一定小于180°并且大于0,则可以解方程：〔n ﹣2〕•180°=257°,多边形的边数n 一定是大于x 的最小的整数,这样就可以求出多边形的边数,从而求出内角和,得到这一内角的度数． 解答： 解：根据题意,得 〔n ﹣2〕•180°=257,得n=,则多边形的边数是4,因为四边形的内角和是360度,所以这一内角等于360°﹣257°=103°．故选C ．点评：本题解决的关键是正确求出多边形的边数． 37．若一个n 边形n 个内角与某一个外角的总和为1350°,则n 等于〔 〕 A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 考点： 多边形内角与外角． 分析：根据n 边形的内角和定理可知：n 边形内角和为〔n ﹣2〕×180．设这个外角度数为x 度,利用方程即可求出答案． 解答：解：设这个外角度数为x °,根据题意,得 〔n ﹣2〕×180+x=1350, 180n ﹣360+x=1350,x=1350+360﹣180n,即x=1710﹣180n, 由于0＜x ＜180,即0＜1710﹣180n ＜180,可变为：解得8.5＜n ＜9.5, 所以n=9． 故选D ． 点评：主要考查了多边形的内角和定理． n 边形的内角和为：180°•〔n ﹣2〕．38．一个多边形截去一个角后,形成另一个多边形的内角和为2520°,则原多边形的边数是〔 〕 A ． 17 B ． 16 C ． 15 D ． 16或15或17考点：多边形内角与外角． 分析： 因为一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,根据多边形的内角和即可解决问题．解答： 解：多边形的内角和可以表示成〔n ﹣2〕•180°〔n ≥3且n 是整数〕,一个多边形截去一个角后,多边形的边数可能增加了一条,也可能不变或减少了一条,根据〔n ﹣2〕•180°=2520°解得：n=16, 则多边形的边数是15,16,17． 故选D ．点评： 本题主要考查多边形的内角和定理的计算方法． 填空题 39．〔2003•##〕如图,∠1+∠2+∠3+∠4= 280 度． 考点： 三角形内角和定理；多边形内角与外角． 分析： 运用了三角形的内角和定理计算．解答： 解：∵∠1+∠2=180°﹣40°=140°,∠3+∠4=180°﹣40°=140°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°． 故答案为：280°．点评： 此题主要是运用了三角形的内角和定理． 40．〔2008•##〕如图所示,①中多边形〔边数为12〕是由正三角形"扩展〞而来的,②中多边形是由正方形"扩展〞而来的,…,依此类推,则由正n 边形"扩展〞而来的多边形的边数为 n 〔n+1〕 ． 考点： 多边形．专题：规律型．分析：①边数是12=3×4,②边数是20=4×5,依此类推,则由正n边形"扩展〞而来的多边形的边数为n〔n+1〕．解答：解：∵①正三边形"扩展〞而来的多边形的边数是12=3×4,②正四边形"扩展〞而来的多边形的边数是20=4×5,③正五边形"扩展〞而来的多边形的边数为30=5×6,④正六边形"扩展〞而来的多边形的边数为42=6×7,∴正n边形"扩展〞而来的多边形的边数为n〔n+1〕．点评：首先要正确数出这几个图形的边数,从中找到规律,进一步推广．正n边形"扩展〞而来的多边形的边数为n 〔n+1〕．41．从七边形的某个顶点出发,分别连接这个顶点与其余各顶点,可以把七边形分成5个三角形．考点：多边形的对角线．分析：根据七边形的概念和特性即可解．从简单图形说起：从四边形的一个顶点出发,连接这个点与其余各顶点,可以把一个四边形分割成〔4﹣2〕=2个三角形．解答：解：根据以上规律,从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成〔7﹣2〕=5个三角形．故答案为5．点评：本题考查的知识点为：过n边形一个顶点作对角线,最多可把n边形分成〔n﹣2〕个三角形．43．〔2010•##〕如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍,那么这个多边形的边数n=6．考点：多边形内角与外角．分析：任何多边形的外角和是360度,内角和等于外角和的2倍则内角和是720度．n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,如果已知多边形的内角和,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：根据题意,得〔n﹣2〕•180=720,解得：n=6．点评：已知多边形的内角和求边数,可以转化为方程的问题来解决．44．〔2009•##〕一个n边形的内角和等于720°,那么这个多边形的边数n=6．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：n边形的内角和可以表示成〔n﹣2〕•180°,设这个多边形的边数是n,就得到方程,从而求出边数．解答：解：由题意可得：〔n﹣2〕•180°=720°,解得：n=6．所以,多边形的边数为6．点评：此题比较简单,只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系,构建方程求解．45．〔2009•##〕八边形的内角和等于1080度．考点：多边形内角与外角．分析：n边形的内角和可以表示成〔n﹣2〕•180°,代入公式就可以求出内角和．解答：解：〔8﹣2〕•180°=1080°．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式,是需要熟记的内容．46．〔2008•永春县〕四边形的内角和等于360度．考点：多边形内角与外角．分析：n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,代入公式就可以求出内角和．解答：解：〔4﹣2〕•180°=360°．点评：本题主要考查了多边形的内角和公式,是需要识记的内容．47．〔2008•宿迁〕若一个多边形的内角和是其外角和的3倍,则这个多边形的边数是8．考点：多边形内角与外角．分析：任何多边形的外角和是360°,即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,如果已知多边形的边数,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：设多边形的边数为n,根据题意,得〔n﹣2〕•180=3×360,解得n=8．则这个多边形的边数是8．点评：已知多边形的内角和求边数,可以转化为方程的问题来解决．48．〔2008•##〕一个凸多边形的内角和与外角和相等,它是四边形．考点：多边形内角与外角．分析：任何多边形的外角和是360度,因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,如果已知多边形的内角和,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：根据题意,得〔n﹣2〕•180=360,解得n=4,则它是四边形．点评：已知多边形的内角和求边数,可以转化为方程的问题来解决．49．〔2008•##〕六边形的内角和等于720度．考点：多边形内角与外角．分析：n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,把多边形的边数代入公式,就得到多边形的内角和．解答：解：〔6﹣2〕•180=720度,则六边形的内角和等于720度．点评：解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式,是需要熟记的内容．50．〔2007•##〕若一个正多边形的每一个外角都是30°,则这个正多边形的内角和等于1800度．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：根据任何多边形的外角和都是360°,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数．n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,把多边形的边数代入公式,就得到多边形的内角和．解答：解：多边形的边数：360°÷30°=12,正多边形的内角和：〔12﹣2〕•180°=1800°．点评：根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数,是常见的题目,需要熟练掌握．51．〔2007•##〕如图,小亮从A点出发前10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了240m．考点：多边形内角与外角．专题：应用题．分析：根据多边形的外角和定理即可求出答案．解答：解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形,∴根据外角和定理可知正多边形的边数为360÷15=24,则一共走了24×10=240米．故答案为：240．点评：本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°,用外角和求正多边形的边数可直接让360度除以一个外角度数即可．52．〔2006•##〕若一个多边形的每一个外角都等于40°,则这个多边形的边数是9．考点：多边形内角与外角．分析：根据任何多边形的外角和都是360度,利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数,即多边形的边数．解答：解：360÷40=9,即这个多边形的边数是9．点评：根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数,是常见的题目,需要熟练掌握．53．〔2006•临安市〕用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图〔1〕所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图〔2〕所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC=36度．考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．解答：解：∵∠ABC==108°,△ABC是等腰三角形,∴∠BAC=∠BCA=36度．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n边形的内角和为：180°〔n﹣2〕．54．〔2006•##〕把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角α=165度．考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或者根据四边形的内角和等于360°得出．解答：解：本题有多种解法．解法一：∠α为下边小三角形外角,∠α=30°+135°=165°；解法二：利用四边形内角和,∠α等于它的对顶角,故∠α=360°﹣90°﹣60°﹣45°=165°．点评：本题通过三角板拼装来求角的度数,考查学生灵活运用知识能力．55．〔2006•##〕如图,小亮从A点出发,沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米,又向左转30°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了120米．考点：多边形内角与外角．专题：应用题．分析：根据多边形的外角和即可求出答案．解答：解：∵360÷30=12,∴他需要走12次才会回到原来的起点,即一共走了12×10=120米．点评：本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．56．〔2006•##〕正五边形的一个内角的度数是108度．考点：多边形内角与外角．分析：因为n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,因而代入公式就可以求出内角和,再用内角和除以内角的个数就是一个内角的度数．解答：解：〔5﹣2〕•180=540°,540÷5=108°,所以正五边形的一个内角的度数是108度．点评：本题考查正多边形的基本性质,解题时应先算出正n边形的内角和再除以n即可得到答案．57．〔2005•##〕有一个多边形的内角和是它外角和的5倍,则这个多边形是12边形．考点：多边形内角与外角．分析：一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍,任何多边形的外角和是360度,因而这个正多边形的内角和为5×360度．n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,代入就得到一个关于n的方程,就可以解得边数n．解答：解：根据题意,得〔n﹣2〕•180=5×360,解得：n=12．所以此多边形的边数为12．点评：已知多边形的内角和求边数,可以转化为解方程的问题解决．58．〔2005•##〕一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数是8．考点：多边形内角与外角．分析：n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,如果已知多边形的边数,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：根据题意,得〔n﹣2〕•180=1080,解得n=8．所以这个多边形的边数是8．点评：已知多边形的内角和求边数,可以转化为方程的问题来解决．59．〔2004•##〕正n边形的内角和等于1080°,那么这个正n边形的边数n=8．考点：多边形内角与外角．分析：n边形的内角和是〔n﹣2〕•180°,如果已知多边形的内角和,就可以得到一个关于边数的方程,解方程就可以求出多边形的边数．解答：解：设这个多边形是n边形,由题意知,〔n﹣2〕×180°=1080°,∴n=8．故该多边形的边数为8．点评：已知多边形的内角和求边数,可以转化为方程的问题来解决．60．一个多边形的每个内角都等于150°,则这个多边形是12边形．考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：根据多边形的内角和定理：180°•〔n﹣2〕求解即可．解答：解：由题意可得：180°•〔n﹣2〕=150°•n,解得n=12．故多边形是12边形．点评：主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°•〔n﹣2〕．此类题型直接根据内角和公式计算可得．参与本试卷答题和审题的老师有：hnaylzhyk；zhjh；feng；lanchong；开心；心若在；zzz；蓝月梦；HJJ；kuaile；HLing；CJX〔排名不分先后〕菁优网20##6月1日。
多边形的内角和与外角和
多边形的内角和与外角和多边形是一种有多个直角或不是直角的边的几何图形。
它由一系列线段组成，这些线段的端点称为顶点。
在一个多边形中，内角和与外角和是两个重要的概念。
一、内角和内角是多边形内部两条边所形成的角，可以通过计算多边形的内角和来了解多边形的性质。
多边形的内角和可以通过以下公式来计算：内角和 = (n - 2) × 180°其中，n表示多边形的边数。
可以看出，内角和与多边形的边数呈线性关系，边数越多，内角和也会增加。
例如，对于三角形（三边形），它有3个内角，内角和为180°。
对于四边形（四边形），它有4个内角，内角和为360°。
同理，五边形（五边形）的内角和为540°，六边形（六边形）的内角和为720°。
二、外角和外角是多边形内部一条边与其相邻边的延长线之间所形成的角。
多边形的外角和可以通过以下公式来计算：外角和 = 360°不论多边形的边数是多少，其外角和总是等于360°。
这是因为多边形的各个外角之间构成了一个完整的圆周角。
三、内角和与外角和的关系多边形的内角和与外角和之间存在一定的关系。
根据数学原理，多边形内角和与外角和相差180°。
证明如下：设多边形的边数为n，每个内角为a°，每个外角为b°。
多边形的内角和为 (n - 2) × 180°，外角和为360°。
根据角度的差值关系，可以得到：(n - 2) × 180° = n × a° - n × b°化简得到：360° = n × (a° - b°)因此，a° - b° = 180°，即内角和与外角和相差180°。
这个关系在解决一些几何问题时非常有用。
通过计算内角和和外角和，我们可以推导出多边形的各种性质和特点。
9.2.2多边形的内角和与外角和
9.2多边形的内角和与外角和(1)学习目标:理解多边形及正多边形的定义. 掌握多边形的内角和公式.课堂研讨：（一）认识多边形1、多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①不在同一条直线上；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形，不过我们探讨的一般都是凸多边形.2、认识多边形的边、内角、顶点、对角线；如图（3）。
对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
想一想：（1）五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？n边形呢？答：（2）四边形从一个顶点可引出几条对角线？共有几条对角线？五边形呢？答：（3）n边形从一个顶点可引出几条对角线？共有几条对角线？答：（二）正多边形定义：在平面内，各内角都、各边也都的多边形叫做正多边形。
议一议：（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？结论：、两者缺一不可。
（三）探索多边形的内角和活动1：从多边形的一个顶点引对角线来探索多边形的内角和总结：多边形的内角和公式（n≥3）活动2：还有哪些划分方式？如果有能得到相同的结论吗？和你的小伙伴们交流一下，并分享你们的结论。
巩固练习1、求一个八边形的内角和？2、已知一个多边形的内角和为1800°，那么这是个几边形？那么对于正多边形来说,每个内角又为多少呢？因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.即正n边形的每一个内角是（四）随堂练习1、n边形的内角和等于___________________，九边形的内角和等于__________.2、如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是边形。
9.2多边形的内角和和外角和
4.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数 与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这 8 个多边形的边数为________.
5.若一个十边形的每个外角都相等，则它的 36度 ，每个内角的度数 每个外角的度数为________ 144度 为________. 6.若一个凸多边形的内角和等于它的外角和， 4 则它的边数是_________. 7.如果一个多边形的每一个外角都相等，并且 它的内角和为2880°，那么它的内角为 _________. 160度
解：设这个多边形为n边形。 （n-2）×180° =1440° n-2=1440°÷180° n-2=8 n=10 答：这个多边形为十边形。
典型例题
例、如果一个四边形的一组对角互补， 那么另一组对角有什么关系？ C 解：如图四边形ABCD中， D
A C 180
因为：
0
A
0 0
B
A B C D (4 2) 180 360
三角形的内角和是多少？
1
2
3
180° ∠1+ ∠2+ ∠3= ？
什么叫三角形的外角？什么叫外角和？ 三角形的外角和是多少？
外角
4 1
外角和 ∠4+ ∠5+ ∠6= 360 ？°
3 6
2 5
多边形的内角和公式
图形 边数 过一个顶点的对 分成的三角形个 角线条数 数 内角和
3
4 5 6
n边形
0 1 2 3 n-3
例.已知多边形的内角和与某一个外角的度 数总和为1350°，求多边形的边数.
分析：根据n边形的内角和定理可知：n边形内角和为 （n-2）×180°．设这个外角度数为x度， 而任何多边形的一个外角必定是大于0，且小于180度 即:0<x<180 利用方程即可求出答案． 解：设这个外角度数为x，根据题意，得 （n-2）×180°+x=1350°， 解得：x=1350°-180°n+360° x =1710°-180°n， 由于 0＜x＜180°， 即： 0＜1710°-180°n＜180°， 解得：8.5＜n＜9.5， 所以 n=9． 故 多边形的边数是9．
七年级数学下册第9章多边形9.2多边形的内角和与外角和教案华东师大版
9.2.2 多边形的外角和一、教学目标【知识与技能】1、多边形外角的概念。
2、多边形外角和的推导及应用。
【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法。
【情感态度】让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造。
【教学重点】多边形外角和定理的探索和应用。
【教学难点】多边形的外角和的推导。
二、学习过程（一）知识回顾1、三角形的外角概念？三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。
2、三角形的外角和？三角形的外角和等于360°3、多边形的概念？由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。
（n≥3的自然数）4、多边形的内角和？n边形的内角和为(n-2)·180°（二）获取新知1、概念：①多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫多边形的外角。
②在每一个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
n边形有n个外角。
2、探究①四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数。
②五边形ABCDE，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5分别是五个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数。
通过上面推导多边形的外角和的过程，我们充分利用了多边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为，可以求得多边形的外角和.据此，请将数据填入下表中.归纳结论：任意多边形的外角和为（三）典例讲解例1：一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？例2：一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？例3：若正n边形的一个内角是144°，这个多边形是几边形？（四）课堂练习1、一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是几边形？2、一个多边形的内角都等于140°，这个多边形是几边形？3、若n边形的内角和与外角和的比为7∶2，这个多边形是几边形？4、如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是2∶1，那么这个多边形是几边形？（五）课堂小结：任意多边形的外角和等于360°三、课后作业练习册：9.2四、课后反思。
华师大版数学七年级下册9.2《多边形的内角和与外角和》教学设计
华师大版数学七年级下册9.2《多边形的内角和与外角和》教学设计一. 教材分析《多边形的内角和与外角和》是华师大版数学七年级下册第9.2节的内容。
本节主要让学生理解多边形的内角和定理，掌握多边形的外角和性质。
教材通过生活中的实例，引导学生探究多边形的内角和与外角和，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
二. 学情分析七年级的学生已经学习了图形的性质，对图形的认知有一定的基础。
但学生在理解多边形的内角和与外角和方面可能存在困难，因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，让学生通过观察、操作、推理等方法，理解并掌握多边形的内角和与外角和的性质。
三. 教学目标1.让学生理解多边形的内角和定理，掌握多边形的外角和性质。
2.培养学生观察、操作、推理的能力。
3.培养学生合作学习的意识。
四. 教学重难点1.教学重点：多边形的内角和定理，多边形的外角和性质。
2.教学难点：理解并证明多边形的内角和定理，理解多边形的外角和性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引发学生的兴趣，引导学生探究多边形的内角和与外角和。
2.操作教学法：让学生通过实际操作，观察多边形的内角和与外角和的变化，从而理解其性质。
3.推理教学法：引导学生运用已学的知识，推理出多边形的内角和定理，培养学生的推理能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作多媒体课件，展示多边形的内角和与外角和的实例。
2.教学素材：准备一些多边形的图形，用于学生观察和操作。
3.教学工具：准备直尺、量角器等工具，方便学生测量和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的多边形实例，如足球、篮球场地的线条，让学生观察多边形的内角和与外角和的特点。
引导学生思考：多边形的内角和与外角和有什么规律？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，呈现多边形的内角和定理和外角和性质。
利用课件和实物，讲解多边形的内角和定理，让学生理解并掌握多边形的内角和与外角和的性质。
初中数学多边形的内角和与外角和
第3节多边形的内角和与外角和一，多边形（1）定义：平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形（2）分类：多边形可以分为凸多边形和凹多边形，我们研究的是凸多边形（3）其中内角相等，边也相等的多边形叫正多边形（4）多边形的内角和与外角和性质1：多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°.推导：2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.3.正n边形：正n边形的内角的度数为（n－2）·180°n，外角的度数为n360.【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为()A．1620°B．1800°C．1980°D．以上答案都有可能【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x ，则有1125°＜x ＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x ＜180°×7＋45°，探究点二：多边形的外角和定理【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A ．八边形B ．九边形C ．十边形D ．十一边形【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A ．五边形B ．四边形C ．三角形D ．不能确定4.多边形对角线的条数N 边形对角线的条数公式 21N(N-3) 例1：一个凸多边形的每个内角都是140°，求这个多边形对角线的条数例2：一个多边形的内角和比它外角和的3倍少180°，求它对角线的条数。
9.2多边形的内角和与外角和5
多边形的内角和与外角和作业一、选择题1.一个多边形的内角和是720°,则这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,这个多边形的边数是( ) A.5 B.6 C.7 D.83.若正n 边形的一个外角为60°,则n 的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.84.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( ) A.600° B.720° C.900° D.1080°5.若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°,则此多边形是( ) A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形6．下列说法：① 多边形的外角和小于内角和,② 三角形的内角和等于外角和,③ 多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和,④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 二、填空题7. 已知一个多边形的内角和与外角和之比为9:2,则它的边数是______. 8.五边形的内角和等于______度，共有________条对角线9．在四边形ABCD 中，∠A=90°，∠C=60°，则∠B+∠D=_______度． 10．正五边形内角和为______度，每个内角为______，每个外角为_____ 11．一个多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数为______12.一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，则个多边形是__边形 三、解答题13、如图，四边形ABCD 中，∠A =50，∠ABC =105，∠BCD =90，∠1、∠2、∠3、 ∠4中哪个角是四边形ABCD 的外角？求出它的度数．14. 已知两个多边形的内角和为1800。
，且两多边形的边数之比为2:5，求这两个多边形的边数.15. 一个多边形,除一个内角外,其余各内角之和等于1000°,求这个内角及多边形的边数.强化提高题16. 如图1、图2、图3中，点E 、D 分别是正ABC ∆、正四边形ABCM 、正五边形ABCMN中以C 点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且ABE ∆与BCD ∆能互相重合，BD 延长线交AE 于点F . （1）求图1中，AFB ∠的度数；（2）图2中，AFB ∠的度数为_______，图3中，AFB ∠的度数为_______；图1图2图3。
9.2多边形的内角和与外角和
800
练习：一个n边形，除一个内角外，其余n－1个内角的 和是16600，你能求出未知内角的度数和边数n吗？
…
四边形 五边形 六边形 n边形
注意：三角形没有对角线。
一个n边形，从同一顶点可画（n－3）条对角线。
2.将多边形分割成三角形
每一个多边形从同一个顶点可以分割成几个三角形？
…
四边形 五边形 六边形 n边形
从同一顶点用对角线分割n边形，可得（n－2）个三角形。
3.n边形的内角和
…
三角形
多边形的边数 分成的三角形的个数 多边形的内角和
边数n是12。
1.多边形的有关概念 ⑴多边形的定义 ⑸多边形的对角线 2.将多边形分割成三角形 3.n边形的内角和 4.n边形的外角和 ⑵凸多边形和凹多边形 ⑶多边形的内角和外角 ⑷正多边形
2013.5.14
在n边形的一条边上任取一点，连接这一点和它不 相邻的顶点，可将n边形分割成（n－1）个三角形。
…
四边形 （3个） 五边形 （4个） 六边形 （5个） n边形 （n－1个）
n边形的内角和为：
(n－1)· 0－1800 =(n－1－1)· 0 =(n－2)· 0 180 180 180
例1、例2（课本P85）
华东师大版七年级下册《数学》
（第1课时）
制作：遂宁一中HDL
1.多边形的有关概念
⑴定义：由不在同一直线上的线段首尾相连围成 的封闭的平面图形叫做多边形.
华师版八年级下册数学第9章 多边形 多边形的角
1.利用多边形内角和公式与外角和定理可以求出任何一个
多边形的内角和与外角和
2.已知多边形的内角和，可用多边形的内角和公式
(n－2)×180°求多边形的边数
1.必做:完成教材P88练习T1-T2， 完成教材P88习题9.2T2-T3， 完成教材P94-P96复习题T5-T10 2.补充:
知识点 3 多边形内角和与外角和的关系
知3－讲
例4 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多 边形是几边形？
解：设多边形的边数为n，根据题意，得 (n–2) ·180°=5×360°. 解得 n=12. 因此，这个多边形是十二边形.
（来自《教材》）
总结
知3－讲
本题综合考查了多边形的内角和与外角和. 本例 的解法是先列出以边数为未知量的内角和的表达式， 再通过内、外角和的关系列方程，求°，求这个 多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得 (n－2)·180°=2160°. 解得 n=14. 即这个多边形的边数为14.
（来自《教材》）
总结
知1－讲
(1)已知多边形的内角和求边数的方法：根据多边形 内角和公式列方程：(n－2)·180°＝内角和，解方 程求出n即得多边形的边数； (2)已知正多边形每个内角的度数k求边数的方法：根 据多边形内角和公式列方程：(n－2)·180°＝kn， 解方程求出n即得多边形的边数.
（来自《教材》）
根据n边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为 补角，可以求得n边形的外角和.据此，请将数据填入 表格中.
多边形的边数
3
4 5 6 7 …n
多边形的内角和 3×180° 与外角和的总和 = 540°
…
多边形的内角和 180°
华师大版七年级下册数学同步备课教案-9.2 多边形的内角和与外角和
9．2 多边形的内角和与外角和第1课时多边形的内角和教学目标一、基本目标1．了解多边形的有关概念．2．理解并掌握多边形的内角和公式．二、重难点目标【教学重点】多边形内角和公式．【教学难点】探索多边形内角和公式的推导过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P83～P86的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．三角形的内角和为180°.2．如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.3．探究四边形的内角和是多少？(1)展示1：分成2个三角形180°×2＝360°；(2)展示2：分割成3个三角形180°×3－180°＝360°.(3)展示3：分割成4个三角形180°×4－360°＝360°；4．将下表填写完整：多边形34567…n 的边数从一个顶点出发画01234…n－3 对角线的条数分成三角12345…n－2 形的个数多边形的180°360°540°720°900°…(n－2)×180°内角和环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例题】已知n边形的内角和等于900°，试求出n边形的边数．【互动探索】(引发学生思考)多边形的内角和公式→建立等式→求得多边形的边数．【解答】由题意，得(n－2)·180°＝900°，解得n＝7.即n边形的边数是7.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．活动2巩固练习(学生独学)1．一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(C)A．4B．5C．6D．72．正十二边形的每一个内角的度数为(C)A．120°B．135°C．150°D．1080°3．八边形内角和的度数是1080°.4．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数为540°.环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)多边形的内角和：n边形的内角和为(n－2)×180°.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时多边形的外角和教学目标一、基本目标多边形的外角和是360°及其简单运用．二、重难点目标【教学重点】多边形的外角和．【教学难点】探索多边形外角和推导过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P86～P87的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，n边形的内角和为(n－2)×180°.2．任意多边形的外角和为360°.3．正十边形的每一个内角的度数为(D)A．120°B．135°C．140°D．144°4．一个正n边形的每一个外角都是36°，则n＝(D)A．7B．8C．9D．10环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数和内角和．【互动探索】(引发学生思考)多边形的内角和公式→建立等式→求得多边形的边数→得出多边形的内角和．【解答】设这个多边形的边数为n.根据题意，得(n－2)×180°＝3×360°－180°，解得n＝7.所以这个多边形的内角和为(7－2)×180°＝900°.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．活动2巩固练习(学生独学)1．若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为(C)A．360°B．540°C．720°D．900°2．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是11.3．正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是18.4．内角和与外角和相等的多边形是四边形．5．将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝220°，则∠5＝40°.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走了多少米？【互动探索】确定小亮走过的是什么图形(正多边形)→利用正多边形的外角和是360°求得边数→确定小亮走的路程．【解答】∵小亮每次都是沿直线前进10米后向左转30度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷30°＝12，∴他第一次回到出发点A时，一共走了12×10＝120(米)．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了正多边形的边数的求法和多边形的外角和，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)多边形的外角和：任意多边形的外角和为360°.练习设计请完成本课时对应练习！。
多边形的内角和与外角和
拓展练习：1、小明在进行多边形的内角和计算 时，求得内角和为1125°，当发现错了以后， 重新检查，发现是少加了一个内角，问这个 内角是多少度？他求的是几边形的内角和？
2、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生 怎样变化？请画图说明。
9.2 多边形的内角和
制作：夏集乡一初中 刘仁德
复习： 1.什么叫做三角形？ 三角形是由三条不在同一直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形。 2.三角形的内角和定理是什么？外角和定理 呢？ 三角形的内角和是180 三角形的外角和是360
多边形的有关概念
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾 顺次连结组成的平面图形。 记作
A D C E
B
F
n
n 180
… (n 2) 180 …
360
任意多边形的外角和都为： 360
多边形的外角和与边数无关。
说理: n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°
∵多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，
∴n边形的外角和加内角和等于n· 180°，
∵内角和为(n－2)· 180°,
∴外角和为：n· 180°－(n－2)· 180°= 360°.
在n边形内任取一点P，连结点P与多边形 的每一个顶点，可得几个三角形？
D
P
B
C E
D
E F C A B
D C
P
A
P
B
A
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角 形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个 以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 °，因 此n边形的内角和为 n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
9.2多边形的内角和与外角和
你能说出三角 形的定义吗？
三角形是由三条不在同一条直线上的线段 首尾顺次连结组成的平面图形
既然我们已经知道什么叫三角形，你能根据三角形 的定义，说出什么叫四边形吗？
四边形是由四条不在同一直线上 的线段首尾顺次连结组成的平面 图形，记为四边形ABCD
图 8.3.2
那么五边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
五边形有5个内角，5条边，10个外角 那么六边形有几个内角？几条边？几个外角呢？
六边形有6个内角，6条边，12个外 角 那么n边形有几个内角？几条边？几个外角呢？ n边形有n个内角，n条边，2n个外角
请大家细心地填一填，多边形的内角，边，外角三者的关 系表，你能发现什么规律？
三、多角形的外角和
图形 边数
内角和与外角和 总值
内角和
外角和
3
3×180°
2× 180° 1×180° 2×180° =360° 2× 180° =360° 2× 180° =360°
4 5
4×180°
5×180°
3×180°
n边形
n
n×180°
2× 180° (n-2)×180° =360°
任意多角形的外角和都为360°
例13.一个正多边形的一个内角和是外角和的2倍,则这 个多边形为( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D. 六边形
例14.一个正多边形的一个内角和与外角和的比是7:2, 则这个多边形的边数为( )
今天你学到了什么知识？你能用 自己的话说说吗？
五边形，它是由五条不在同一直 线上的线段首尾顺次连结组成的 平面图形，记为五边形ABCDE
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7．下列说法不正确的是(A ) A．各边都相等的多边形是正多边形 B．正多边形的各边都相等 C．正三角形就是等边三角形 D．各内角都相等的多边形不一定是正多边形
MING XIAO KE TANG
8．下列属于正多边形的特征的有(B ) ①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各条对角线
都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将正n边形分成面积相等的(n－2)
个三角形．
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
MING XIAO KE TANG
知识点3 多边形的内角和与外角和
9．(2019·梧州)正九边形的一个内角的度数是( D)
A．108°
B．120°
C．135°
D．140°
10．(2019·湘西)已知一个多边形的内角和是1 080°，则这个多边
形是(D )
A．五边形
B．2种
C．3种
D．4种
MING XIAO KE TANG
2．对于多边形的外角，最准确的表述是( D)
A．内角的对顶角
B．内角的邻角
C．与内角有公共顶点的角
D．内角的邻补角
3．六边形从一个顶点出发可以引____条对角线( A )
A．3
B．4
C．6
D．9
MING XIAO KE TANG
4．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连结这个顶点与其余各
MING XIAO KE TANG
MING XIAO KE TANG
解：(1)∵∠3，∠4，∠5，∠6是四边形的四个内角， ∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)． ∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°， ∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)． ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4.
(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和．
13．(2019·洛阳洛宁县期中)在各个内角都相等的多边形中，一个
外角等于一个内角的
1 3
，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边
数．解：∵多边形一个外角等于一个内角的13，
∴多边形的一个外角为180°×14＝45°，一个内角为180°－45°＝135°.
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为34650°°＝8.
顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是( C )
A．6
B．7
C．8
D．9
5．在下列多边形中，图①是 三角形 ；图②是 四边形 ；图③
是五边形；图④是 六边形
MING XIAO KE TANG
知识点2 正多边形 6．(2019·河北)下列图形为正多边形的是( D)
AB
C
D
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B．六边形
C．七边形
D．八边形
MING XIAO KE TANG
11．(2019·福建)已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的
边数为( B)
A．12
B．10
C．8
D．6
12．(2019·益阳)若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则
该多边形的边数是 5 .
MING XIAO KE TANG
MING XIAO KE TANG
易错点 需要进行分类讨论
14．(2018·聊城)如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边
形，那么这个多边形的内角和是 540°或360°或180°
．
MING XIAO KE TANG
02 中档题
15．如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图 形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( B )
MING XIAO KE TANG
(3)∵∠B＋∠C＝240°， ∴∠MDA＋∠NAD＝240°. ∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线， ∴∠ADE＝12∠MDA，∠DAE＝12∠NAD. ∴∠ADE＋∠DAE＝12(∠MDA＋∠NAD)＝120°. ∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝60°.
MING XIAO KE TANG
18．【整体思想】(2018·济宁)如图，在五边形ABCDE中，∠A＋
∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数
是( C )
A．50°
B．55°
C．60°
D．65°
MING XIAO KE TANG
19．(2019·南阳唐河县期末)如图所示，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E＋∠F＝ 360° .
MING XIAO KE TANG
20．如图，小明从点O出发，前进5 m后向右转15°，再前进5 m后 又向右转15°，…，这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止， 他所走的路径构成了一个多边形．
(1)小明一共走了多少米？ (2)这个多边形的内角和是多少度？
MING XIAO KE TANG
解：(1)∵所经过的路线正好构成一个外角是15°的正多边形， ∴360÷15＝24，24×5＝120(m)． 答：小明一共走了120 m. (2)(24－2)×180°＝3 960°. 答：这个多边形的内角和是3 960°.
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03 综合题
21．(1)如图1，2，试研究其中∠1，∠2与∠3，∠4之间的数量关 系；
(2)如果我们把∠1，∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述 上述的关系式；
MING XIAO KE TANG
(3)用你发现的结论解决下列问题： 如图3，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的 平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
A．①② C．②④
①
②
③
④
B．①③ D．③④
MING XIAO KE TANG
16．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1 510°，则这个多
边形对角线的条数是(C )
A．27
B．35
C．44
D．54
17．在多边形的每个顶点处取一个外角，其中钝角的个数不能多
于( B)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
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MING XIAO KE TANG
数学 第9章 多边形
9.2 多边形的内角和与外角和
MING XIAO KE TANG
01 基础题
知识点1 多边形及其有关概念
1．如图，下面四边形的表示方法：①四边形ABCD；②四边形
ACBD；③四边形ABDC；④四边形ADCB.其中正确的有(B ) A．1种