2015届高二下学期期末考试理数试题
2015年高二理科数学第二学期考试卷
2015年度高二数学理科考试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题（题型注释）1．已知复数满足：i zi +=2（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．i 2- B ．i 2 C ．2 D ．2-2．在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成已知甲组数据的众数为15，乙组数据的中位数为17，则x 、y 的值分别为（ ） A ．2，5 B ．5，5 C ．5，7 D ．8，7 3．命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是（ ） A ．12sin ,≤∈∀x R x B ．12sin ,>∉∀x R x C ．12sin ,0≤∈∃x R x D ．12sin ,0>∉∃x R x4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A ．18 B ．36 C ．54 D ．725．若变量,x y 满足约束条件 0,4,0,x y x y y k -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩且 3z x y =+的最小值为8-，则k =（ ）A.3B.3-C.2D.2-6．已知曲线23ln 1x y x =-+的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．127．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数7，那么从高三学生中抽取的人数应为 （ ） A.7 B.8 C.9 D.108．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．ˆ0.4 2.3yx =+ B ．ˆ2 2.4y x =- C ．ˆ29.5y x =-+D ．ˆ0.3 4.4yx =-+ 9．设随机变量ξ服从正态分布2N 1σ（，）,若P 2)0.8ξ<=（,则(01)P ξ<<的值为（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6 10．5)11)(2(22-+xx的展开式的常数项是（ ）． A ．2 B ．3 C ．-2 D ．-311．点(,0)F c 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆2224b x y +=相切于点Q ，且1=2PQ P F ，则双曲线的离心率等于（ ）A D ．212．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ）A.a b c <<B.b c a <<C.a c b <<D.c a b <<13．已知y x ,取值如表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.8014．已知,x y 的取值如下表所示，若y 与x 线性相关，且ˆ0.95y x a =+，则a =（ ）A ．2.2B ．2.6C ．2.8D ．2.9 15．若随机变量X 服从两点分布，其中()310==X P ，则()23+X E 和()23+X D 的值分别是（ ）A ．4和4B ．4和2C ．2和4D ．2和2 16．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )． A.18 B.14 C.25 D .12第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）17．从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有种.18．设212axdx=⎰，则61axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项为．19．由两条曲线y＝x2，y＝14x2与直线y＝1围成平面区域的面积是________．20．已知双曲线12222=-byax（0a b>>）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线)(22>=ppyx的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为c2，且cPA=，则双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题（题型注释）21．（本小题满分14分）如图所示,棱柱111ABC A B C-为正三棱柱,且1AC C C=,其中点,F D分别为11,AC B B的中点.CD1C（1）求证://DF平面ABC;（2）求证:DF⊥平面1ACC;（3）求平面1DC A与平面ABC所成的锐二面角的余弦值且侧面PAD ⊥底面ABCD ,E 为侧棱PD 的中点（1）求证：PB //平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ；（3）若直线AC 与平面PCD 所成的角为30︒,求CDAD的值 23．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率； （2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．．中任意选取3位学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望()ξE .24．（本小题12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 0.0750.0400.060服务时间/小时O现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望.25．已知椭圆2222:1(0)x yG a ba b+=>>过点，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P-.（1）求椭圆G的方程；（2）求△PAB的面积．26．（本小题满分14分）设函数2()(2)lnf x x x=+，2()2,g x x ax a R=+∈（1）证明：()f x是(0,)+∞上的增函数；（2）设()()()F x f x g x=-，当[)1,x∈+∞时，()0F x≥恒成立，求a的取值范围．27．（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD为正方形，⊥EA平面ABCD，CF ∥EA，且222===CFABEA（1）求证：⊥EC平面BDF；（2）求二面角E BD F--的余弦值.28．本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A BC D-中，12AA AD AB===，160A AD DAB∠=∠=︒,O是AD的中点．1A（1）证明：AD⊥面1AOB;（2）若1A B AB=，求直线1AC与平面11BB D D所成角的正弦值．参考答案1．D 【解析】试题分析：由2=+zi i 得，22121i z i i i+==+=-+，所以虚部为2-.选D. 考点：复数的基本运算.2．C 【解析】试题分析：从茎叶图可知，甲组成绩为9、15、10+x 、21、27，由于甲组数据的众数为15，故x=5.乙组的成绩为9、13、10+y 、18、27，由于乙组数据的中位数是17，故y=7.所以选C.考点：统计. 3．C【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12s i n ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ”【命题意图】本题考查全称命题的否定 4．D 【解析】试题分析：由等差数列的前n 项和公式得()()7242854818=+=+=a a a a S ，故答案为D.考点：等差数列的前n 项和公式. 5．C 【解析】试题分析：根据题意，画出约束条件所对应的可行域，可知，2k -<，结合目标函数的特点，可知函数在点(,)k k --处取得最小值，则有38k k --=-，解得2k =，故选C. 考点：线性规划. 6．A 【解析】 试题分析：设切点为),(00y x ，则切线的斜率132132)(00000-==⇒=-='=x x x x x f k 或，又00>x 则30=x ；考点：1．导数的几何意义； 7．D 【解析】试题分析：因为分层抽样的抽样比相等，所以所抽高一学生，高二学生，高三学生的比为210比270比300即7比9比10；从高一学生中抽取的人数7那么从高三学生中抽取的人数应为 10考点：分层抽样. 8．A 【解析】试题分析：∵变量x 与y 正相关，∴可以排除D ，C ；样本平均数3x =， 3.5y =代入A 符合，B 不符合 故选：A ．考点：线性回归方程 9．B 【解析】试题分析：随机变量ξ服从正态分布()2,1σN ，因此()()5.011=<=>ξξP P ，()=<<21ξP ()()12<-<ξξP P 3.05.08.0=-=，()()3.02110=<<=<<ξξP P ，故答案为B.考点：正态分布的应用. 10．B 【解析】试题分析：二项式5211）（-x 的第1+r 项为1025525)1()1()1(---⋅=-⋅⋅r r r r r rx C xC ，5)11)(2(22-+xx 的展开式的常数项为82510252)1()1(.--⋅-⋅=-⋅r r rr r r x C x C x ，10251025)1(2)1(.2--⋅-⋅⋅=-⋅r r r r r r x C x C ，即常数项为3)1(2)1(555445=-⋅⋅+-⋅C C ．考点：二项式的展开式． 11．C【解析】设左焦点1(,0)F c -，由1=2PQ PF ，所以Q 是线段PF 的中点,连接1PF ，OQ ，则OQ PF ⊥，且11//2OQ PF ，则1PF PF ⊥，在1PFF ∆中，1PF b =，2PF a b =+，12FF c =，由勾股定理得2224(2)c b a b =++,所以2224244ab c b a =++，2b a =，两边平方得2224c a a -=，解得25e =，e =【命题意图】本题考查双曲线方程、圆的方程、双曲线的简单几何性质、切线等基础知识，意在考查数形结合思想和综合分析问题解决问题的能力． 12．C 【解析】试题分析：构造函数()()h x xf x =，∴()()()h x f x x f x ''=+⋅，∵()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，∴()h x 是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，()()()0h x f x x f x ''=+⋅>，∴此时函数()h x 单调递增． ∵111()()222a f h ==，2(2)2(2)(2)b f f h =--==，111(ln )(ln )(ln )(ln 2)(ln 2)222c f h h h ===-=，又1ln 222<<，.a c b ∴<<．故选C ．考点：比较大小.13．B 【解析】 试题分析：通过图表可知25.563.94.71.66.58.13.1,46865410=+++++==+++++=y x ，将（4,5.25）代入，即,495.025.5a +⨯=解得.45.1=a 故选B. 考点：回归直线经过样本点的中心.14．B 【解析】试题分析：回归直线方程一定过样本点的中心),(y x ，由已知5.4,2==y x ，代入回归直线得6.2=a考点：统计、回归直线 15．B 【解析】试题分析：由于服从两点分布，()321==X P ，因此()32321310=⨯+⨯=X E ，()92323213132022=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X D ，()()42323=+=+X E X E ，()()2923=⋅=+X D X D .考点：随机变量的期望和方差.16．B 【解析】试题分析：从5个数中任取2个不同的数的所有情况为2510C =，取到2个数之各为偶数的有4种，那么()42105P A ==，取到的2个数均为偶数有1种，那么()110P B =，由条件概率公式()()()1110|245P AB P B A P B ===.故选B.考点：条件概率.17．100 【解析】试题分析：A 活动可从5人中任选1人参加，然后再从剩下的5人选两人参加B 、C 活动即可，故共有1002515=A C考点：排列组合 18．540- 【解析】 试题分析：⎰=-===21212314|2x xdx a ，()()r r rr rr r r x a C x ax C T 266666111---+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴，令026=-r ，得3=r ，因此展开式中常数项为()540133336-=-C .考点：1、定积分的计算；2、二项式定理的应用. 19．43【解析】试题分析：由题意，两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域如下图中阴影部分，则其面积为12222313201011131111542[()(1)]2[|()|]2()4443434123x x dx x dx x x x -+-=⋅+-⋅=+=⎰⎰考点：定积分的应用． 20．y x =±【解析】由已知||,||OA a AF c ==，所以，||,,2p OF p b ==把2py b =-=代入双曲线方程22221x y a b-=得，222,x a =所以，直线2p y =-被双曲线截得的线段长为，从而2,c c ==，所以，2222,a b a a b +=∴=，所求渐近线方程为y x =±.考点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系..21．（1）见解析；（2）见解析；（3 【解析】（1）证明:作AC 的中点O ,连结BO .在1ACC ∆中,//=FO 112C C ,又据题意知，//=BD 112C C ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形. 2分 ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 平面ABC ． 4分 （2）证明:棱柱111ABC A B C -为正三棱柱1C C ∴⊥平面ABC又BO ⊆平面ABC1BO C C ∴⊥ 5分ABC ∆是正三角形且AO OC = ∴BO AC ⊥ 6分综上1BO C C ⊥,BO AC ⊥且1AC CC C =,1,AC C C ⊆平面1ACC∴BO ⊥平面1ACC 7分又//FD BO∴DF ⊥平面1ACC 8分CD1C A（3）∵//FO 1C C ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF为,,z x y 轴，建系如图． 9分 则(1,0,0)A ，1(1,0,2)C -，D ．∴1(2,0,2)AC =-，(=-AD ． 10分 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则11100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2200-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ．∴平面1ADC 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 12分 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ． 13分 ∴121212,⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 14分CC【命题意图】本题考查线线,线面关系和二面角的求解,考查学生空间思维能力和综合分析能力等． 22．（1）见解答过程 （2）见解得过程 （3）CDAD=【解析】 试题分析：（1）要证明PB //平面EAC ,可在平面EAC 内找一条直线与PB 平行,连接连结BD 交AC 于O,连结EO,则EO//PB,由此可证PB //平面EAC .（2）要证明AE ⊥平面PCD ,可先证,AE CD AE PD ⊥⊥,注意线线垂直、线面垂直的相互转化.（3）直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE ,再通过解三角形确定CDAD= 试题解析：（1）连结BD 交AC 于O,连结EO,因为O 、E 分别为BD 、PD 的中点, 所以EO//PB,EO EAC PB EAC ⊂⊄平面平面,所以PB//平面EAC （4分） （2）法一：AE ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD CD AE PAD ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥,又PD CD D =,所以,AE⊥平面PCD （10分）法二：ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫⇒⊥⎫⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭矩形面面面＝面面面面面CO ABCD ⊂面正三角形PAD 中,E 为PD 的中点,所以,AE PD ⊥, 又PDCPAD PD =面面,AE PAD ⊂面,所以,AE⊥平面PCD （10分）（3）由（2）AE⊥平面PCD,直线AC 与平面PCD 所成的角为∠ACE30,2Rt ACE ACE AC AE ∴∠=︒=中，,又PAD AE AD ∆=正中，,AC ∴=,又矩形ABCD AC 中，,=解得CDCD AD=∴=， （14分） 考点：1空间中的线面位置关系；2直线与平面所成的角. 23．（1）52=P ；（2）()56=ξE 【解析】试题分析：（1）解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、组距频率，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（3）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（4）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算. 试题解析：解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为ξ～2(3,)5B ，所以26355E np ξ==⨯=. 考点：1、频率分布直方图的应用；2、离散型随机变量的分布列和数学期望.24．（1）72人；（2）ξ的分布列为：期望2535251=⨯+⨯+⨯=ξE . 【解析】试题分析：（1）先由抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，由已知条件求出x ，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用分层抽样的概念就能求出应在“无所谓”态度抽取的人数；（2）由条件知第一组在校学生人数1=ξ，2，3，分别求出)1(=ξP ，)2(=ξP ，)3(=ξP ，由此能求出ξ的分布列和数学期望.试题解析：（1）∵抽到持“应该保留”态度的人的概率为05.0，∴05.03600120=+x，解得60=x ，∴持“无所谓”态度的人数共有7206060012021003600=----，∴应在“无所谓”态度抽取723600360720=⨯人； （2）由（1）知持“应该保留”态度的一共有180人，∴在所抽取的6人中，在校学生为46180120=⨯人，社会人士为2618060=⨯人，于是第一组在校学生人数1=ξ，2，3，51)1(362214===C C C P ξ， 51)1(362214===C C C P ξ，53)2(361224===C C C P ξ，51)3(360234===C C C P ξ，即ξ的分布列为：∴2535251=⨯+⨯+⨯=ξE .考点：1.分层抽样；2.离散型随机变量的期望与方差.25．（1）221124x y +=；（2）92.【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，就是要求得,a b ，因此我们要寻找关于,,a b c 的两个等式，本题中有离心率c e a ==，是一个等式，另一个是椭圆过点)，即22331a b+=，再结合222a b c =+可解得2a b ==，得到标准方程；（2）要求△PAB 的面积，应该先确定,A B 位置，也即确定直线l ，我们可以设l 的方程为y x m =+，条件PAB ∆是以AB 为底边的等腰三角形怎么应用？这个条件用得较多的是其性质，三线合一，即取AB 的中点E ，则有PE AB ⊥，我们就用这个来求出参数m 的值，方法是设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)E x y ，把直线方程代入椭圆方程，可得12x x +，从而求出1202x x x +=用m 表示，再由PE AB ⊥可很快求得m ，以后就可得到点A B 、的坐标，求出面积.试题解析：（1）由已知得22331,3c a b a +== . 1分解得a =又2224b a c =-=，所以椭圆G 的方程为221124x y +=. 4分 （2）设直线l 的方程为y x m =+.由221124y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22463120x mx m ++-=. ① 6分设A 、B 的坐标分别为112212(,),(,),()x y x y x x <AB 中点为E 00(,)x y ，则120003,244x x m mx y x m +==-=+= . 8分 因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB .所以PE 的斜率24134m k -==--+，解得m =2. 10分 此时方程①为24120x x +=，解得123,0x x =-= ， 所以121,2y y =-= ，所以|AB|=此时，点P （－3，2）到直线AB ：20x y -+=的距离2d ==， 所以△PAB 的面积S =19||22AB d =. 12分 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交综合问题(相交弦长，点到直线距离，三角形面积等).26．（1）见解析；（2）2a ≤- 【解析】试题分析：第一步证明函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，只需证明）()0f x '≥成立，若x x x x x f ++='2ln 2)(0≥，我们只需0)12ln 2(2≥++xx x ，由于0>x ,令12ln 2)(2++=x x x g ，因为3234242)(xx x x x g -=-='，所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(,2ln 2)(>=++='x h x x xx x x f 则，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）第二步求a 的取值范围，可分离常数a ，，由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，只需求出xx x x x h 222ln )2()(-+=的最小值即可．试题解析：（1）若证明)(x f 是),0(+∞上的增函数，只需证明0)(≥'x f 在),0(+∞恒成立， 即：02ln 2)(≥++='x x x x x f 0)12ln 2(2≥++⇔x x x 012ln 22≥++⇔xx设),0(,12ln 2)(2+∞∈++=x x x x h ，3234242)(xx x x x h -=-=' 所以：)(x h 在)2,0(上递减，),2(+∞上递增，)(x h 最小值022ln )2(>+=h 故：0)(2ln 2)(>=++='x xh x xx x x f ，所以：)(x f 是),0(+∞上的增函数． （2）由02ln )2()()()(22≥--+=-=ax x x x x g x f x F 得：x x x x a 222ln )2(-+≤在[)+∞∈,1x 上恒成立，设x x x x x G 222ln )2()(-+=,则22)1)(ln 2()(x x x x G --='，所以)(x g 在)2,1(递增，),2(e 递减，),(+∞e 递增,所以)(x G 的最小值为)(),1(e G G 中较小的，022)1()(>+-=-e eG e G ， 所以：)1()(G e G >，即：)(x G 在[)+∞∈,1x 的最小值为2)1(-=G ，只需2-≤a考点：1．导数与函数的单调性；2．研究一个函数的单调性与极值，3．极端原理的使用；27．（1）详见解析；（2）二面角E BD F -- 【解析】 试题分析：（1） 因为EA ∥CF ，所以ACFE 是一个平面图形，在这个平面图形中，AC ＝AE ＝2，所以ΔACE 是等腰直角三角形.连接AC 交BD 于点O ，连接FO.易得OC ＝FC ，所以ΔOCF 也是等腰直角三角形.由此可证得EC ⊥OF.又由三垂线定理可证得BD EC ⊥，从而可得⊥EC 平面BDF .法二，以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，利用向量也可证得EC ⊥面BDF .（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量，再用向量方法求出平面EBD 的法向量即可求出二面角E BD F --的余弦值. 试题解析：（1）（法一）连接AC 交BD 于点O ，连接FO.过点O 作OH ∥AE 交EC 于点H ，连接HF ，因为O 是AC 的中点，所以H 是EC 的中点，所以112OH EA ==，因为EA ∥CF ，且EA=2CF ，所以OH ∥CF 且OH=CF ，又因为112OC AC == 所以四边形OCFH 为菱形，而EA 垂直于平面ABCD ， 所以EA AC ⊥从而OH OC ⊥，从而四边形OCFH 为正方形进而OF CH OF CE ⊥⇒⊥又因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥; 又 EA BD ⊥且EA AC A =从而BD ⊥面EAC ， 则BD EC ⊥又,BD BDF OF BDF ⊂⊂且BD OF O =所以⊥EC 平面BDF . (6)分（法二）以点A 为坐标原点，AD 所在的直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AE 所在直线为z 轴建立直角坐标系，则(0,0,0);((();E(0,0,2)A B D C F ，所以(2,2,0);(2,0,1);(2,2)BD BF EC =--=-=-- 从而有EC ·BD =0，EC ·BF =0 所以,EC BD EC BF ⊥⊥ 又因为,BDBF B =从而EC ⊥面BDF（2）由（1）知向量EC 为平面BDF 的法向量 设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z =则00n BD n ED⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即020z⎧=⎪⎨-=⎪⎩；令1z =得x y ==故 cos ,210n EC n EC n EC⋅<>===⋅ 所以二面角E BD F --考点：1、空间线面间的位置关系；2、二面角. 28．（1）证明见解析；（2）5. 【解析】 试题分析：（1）本题证明线面垂直，根据纯平面垂直的判定定理，只要证明直线AD 与平面1AOB 内的两条相交直线垂直即可，而从已知条件可看出只要在1AAO ∆和ABO ∆中利用正弦定理及勾股定理就能证得1AO AO ⊥，AO BO ⊥；（2）本小题是求直线与平面所成的角，由（1）已经知道1AO AO ⊥，AO BO ⊥，再在1AOB ∆中应用勾股定理又可证明1AO BO ⊥，于是我们可以分别以1,,OA OB OA 为,,x y z 轴建立窨直角坐标系，用向量法求解线面角.试题解析：（1）证明:由AD 的中点O ， 由11160AA ADAO AD A AD =⎫⇒⊥⎬∠=︒⎭同理BO AD ⊥ AO ⇒⊥平面1A BO ．（2）1122AO A A AB ==,2BO AB =11A B ∴= 1A BO ∴∆为直角三角形，1AO BO ⊥ 以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立坐标系，不妨设12A B A A A D ===，则(1,0,0)A，B，1A ，(1,0,0)D -由11(DD AA D =⇒-(BC AD C =⇒-，1(AC ∴=- 设(,,)n x y z =为平面11BB D D 的法向量可求得(3,1,1)n =- 11sin cos 5AC n AC n θα⋅===⋅x1考点：1.线面垂直；2.直线与平面所成的角.。
学期高二期末考试数学(理)试题(扫描版)(附答案)
天津市五区县2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学（理）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．e 12．12 13．1.5 14．0.91 15．25三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 23a =，34a =，45a = ………………2分（Ⅱ）猜想1n a n =+ ……………………5分证明：(1)当1n =时，显然成立． ………………………6分(2)假设n k =时，猜想成立，即：1k a k =+．………………7分那么，211k k k a a ka +=-+2(1)(1)1k k k =+-++ ………………9分 22(21)()1k k k k =++-++2k =+(1)1k =++．所以，当1n k =+时猜想也成立． ……………………………11分由(1)(2)，可知猜想对任何*n N ∈都成立． …………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把3本不同的数学书“捆绑”在一起看成一本书，4本不同的物理书“捆绑”在一起看成一本书，2本不同的化学书“捆绑”在一起看成一本书，看作3个元素共有33A 种排法 ……………2分3本不同的数学书有33A 种排法，4本不同的物理书有44A 种排法，2本不同的化学书有22A 种排法；再根据分步计数原理，共有334233421728A A A A =种不同的排法．………………4分（Ⅱ）①抽取2本数学书有23C 种方法，抽取2本物理书有24C 种方法，抽取1本化学书有12C 种方法， ………………………6分再根据分步计数原理，共有23C 24C 12C 36=种不同的取法 ……………8分 ②间接法，共有5596120C C -=（种）取法 ……………………………12分18．（本小题满分12分）解:（Ⅰ）当6n =时26162()()r r r r T C x x-+= =12262r r r r C x x --=12362r r r C x- ………………………………………………………2分 令1230r -=则4r =， ………………………………………………4分∴展开式中的常数项为：444162240T C +=⋅=， …………………………………………………6分（Ⅱ）已知展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，∴26268n n C C n =⇔=+=， ……………………………………………8分 ∴所以822x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中共有9项，中间项为第5项， ……………10分 ∴444441821120T C x x +=⋅⋅=，∴展开式中中间项的系数为1120． …………………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）一次取2个球共有2936C =种可能情况，……………………………………1分2个球颜色相同共有22234210C C C ++=种可能情况，……………………………………3分∴取出的2个球颜色相同的概率1053618P == ．…………………………………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，则……………………………………5分()043649155012642C C P X C ==== ()1336496010112621C C P X C ==== ()223649455212614C C P X C ==== ()31364961312621C C P X C ==== …………………………………………9分 所以X 的分布列为…………………10分01516024536()41263E X ⨯+⨯+⨯+⨯== ……………………………………12分 20．（本小题满分12分）解： (Ⅰ) ()f x '=232x ax b ++ ……………………………………………………1分又∵函数()f x 在0x =处取得极值∴(0)0f b '== …………………………2分 (Ⅱ) 当3a =-时，32()34f x x x =-+∴()f x '=236x x -令()0f x '=得10x =或22x = …………………………3分 当x 变化时，()x f '，)(x f 的变化情况如表由表可知，当2x =-时，()f x 取得最小值 (2)16f -=- ………5分 [2,2],x ∀∈-不等式2()10f x c c ≥-恒成立2min ()10f x c c ⇔≥-∴21610c c -≥-解得28c ≤≤ ……………………………………7分 （Ⅲ）因为()()(32)x x f x g x e e x a x'=⋅=+， 所以()()323,[0,1]x g x x a e x '=++∈ …………………………8分①当3a ≤-时，2313a +-≥， 所以当[]01x ∈，时，()0g x '≤，∴()g x 的单调递减区间为[]01， ………………… …9分 ②当332a -<<-时，23013a +<-< 当230,3a x +⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<，∴()g x 的单调递减区间为230,3a +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当23,13a x +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，∴()g x 的单调递增区间23,13a +⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………………………11分 ③当32a ≥-时，2303a +-≤ 所以当[]01x ∈，时，()0g x '≥，所以()g x 的单调递增区间为[]01，， ……………………………12分。
河南省郑州市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．03．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．904．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．405．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．637．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．28．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．189．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×2201412．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= ．14．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是．15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时， =（最后结果用m，n表示）三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接移向变形得答案．【解答】解：由z+3i﹣3=6﹣3i，得z=6﹣3i+3﹣3i=9﹣6i．故选：D．2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求出在区间（1，2）上的增量△y=f（2）﹣f（1），再利用平均变化率的公式，求出平均变化率．【解答】解：函数f（x）在区间（1，2）上的增量为：△y=f（2）﹣f（1）=2×2+1﹣3=2，所以f（x）在区间（1，2）上的平均变化率为：==2．故选：B．3．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【考点】计数原理的应用．【分析】本题属于排列问题，全排即可．【解答】解：5本不同的数学用书，全排列，故有A55=120种，故选：C4．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40【考点】线性回归方程．【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=y﹣bx，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值，题目中给出公式，只要代入求解即可得到结果．【解答】解： ==10，==8，∵y=﹣3.2x+a，∴a=3.2x+y=3.2×10+8=40．故选D．5．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．63【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6，把x=﹣1，x=0代入已知式子计数可得结果．【解答】解：∵（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=﹣1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=（2+1）6=729，x=0时，a0=26=64．∴|a1|+|a2|+…+|a6|=665．故选：A．7．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知：求导，f′（2）=0，求得m的值，再分别利用函数极值的判断，求得m的值．【解答】解：f（x）=x（x﹣m）2=x3﹣2mx2+m2x，则f′（x）=3x2﹣4mx+m2，x=2是函数f（x）的极大值点，f′（2）=0，12﹣8m+m2=0，解得m=2或6，当m=2时，f（x）=x（x﹣2）2，f′（x）=3x2﹣8x+4，f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜，f′（x）＜0，解得：＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，），（2，+∞），单调递减区间为：（，2），∴x=是f（x）的极大值，x=2是f（x）的极小值；当m=6时，f（x）=x（x﹣6）2，f′（x）=3x2﹣24x+36，f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，2），（6，+∞），单调递减区间为：（2，6），∴x=2是f（x）的极大值，x=6是f（x）的极小值；所以m=6，故答案选：B．8．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．18【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先求出曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：由解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）选择y为积分变量∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S=（y+4﹣y2）=（y2+4y﹣y3）|﹣24=18，故选：D．9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】因为第一次抽出正品，所以剩下的9件中有5件正品，所以第二次也摸到正品的概率是，据此解答即可．【解答】解：设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则事件A和事件B相互独立，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：P（B|A）===．故选：D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由不等式，通过分类讨论可以得出f（x）的单调性，即可得出f（a），f（b），f （1）的大小关系．【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0可以得知，若（x﹣1）f′（x）＞0，则有以下两种情况：①当x＞1时，有f′（x）＞0；②当x＜1时，有f′（x）＜0，∴可以得知当x＞1时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减，∵a＞b＞1，∴f（a）＞f（b）＞f（1）∴f（a）+f（b）＞2f（1），而当（x﹣1）f′（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），∴f（a）+f（b）=2f（1），综上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），故选：C．11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【考点】归纳推理．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014故选：B．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= 0.8413 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.841314．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．【解答】解：函数f（x）=+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36 种．【考点】排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时， = n2﹣m2（最后结果用m，n表示）【考点】归纳推理．【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知， =n2﹣m2．故答案为：n2﹣m2三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）由题意知=45，求得 n=10，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得k的值，可得含x3的项．（2）本题即求二项式系数最大的项，利用通项公式求得结果．【解答】解：（1）由题意知=45，∴n=10，T k+1=•，令=5，得k=2．所以含x3的项为 T3=•x3=45x3．（2）系数最大的项，即二项式系数最大的项，即T6=•=252•．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【考点】数列递推式；数学归纳法．【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测a n的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，a k+1=2﹣，当n=k+1时，命题成立．故a n=2﹣都成立．【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3∴a1=当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5∴a2=，同样令n=3，则可求出a3=∴a1=，a2=，a3=猜测a n=2﹣（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，即a k+1=2﹣，即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，a n=2﹣都成立．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（Ⅰ）先求导数：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b等式解之，从而问题解决．（Ⅱ）根据题中条件：“函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，”等价于“导函数f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（﹣1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；【解答】解析：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）又，解得b=0，a=﹣3或a=1（Ⅱ）函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，等价于导函数f′（x）[是二次函数]，在（﹣1，1有实数根但无重根．∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，令f′（x）=0得两根分别为x=a与x=若a=即a=﹣时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a≠﹣时有a∈（﹣1，1）或者∈（﹣1，1）解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣综上得参数a的取值范围是（﹣5，﹣）∪（﹣，1）21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得列联表补充如下患心肺疾病不患心肺疾病合计男20 5 25女10 15 25合计30 20 50（2）因为 K2=，即K2==，所以 K2≈8.333又 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，则ξ的分布列：ξ0 1 2 3P则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.4922．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f （1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．。
河南省滑县2015年夏高二下学期期末考试数学(理)试题 扫描版含答案
2014——2015学年第二学期高二年级期末测试试题数 学 试 题（理科）参考答案一、选择题 BACDA ABBCA CB二填空题：13. 10 14. 15.y=－x 16. 三、解答题17.解 （Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得：a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C,整理得2sin Acos B=sin Bcos C+sin Ccos B,4分即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,在△ABC 中，sin A>0,2cos B=1,∵∠B 是三角形的内角，∴B=60°. 6分（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得2b =2a +2c －2ac ·cos B=2)(c a +－2ac －2ac ·cos B, 8分将b= ,a+c=4代入整理，得ac=3. 10分12分18．（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连结BN 、NM ，在△PAD 中，MN//AD ，且112MN AD ==； 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,217.43360sin 23sin 21=︒==∆B ac S ABC 故又BC//AD ，且112BC AD ==， 所以MN//BC ，MN=BC,即四边形BCMN 为平行四边形，CM//BN. 又CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，故CM//平面PAB . ……5分 （Ⅱ）以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，2，0），P （0，0，λ）. ……6分设平面PBC 的法向量为111(,,)a x y z =.∵(1,0,),(1,1,),PB PC λλ=-=-1111100PB a x z PC a x y z λλ⎧=-=⎪⎨=+-=⎪⎩不妨取11z =，则11,0x y λ==，∴(,0,1).a λ=又设平面PCD 的法向量为222(,,)b x y z =.∵(1,1,),(0,2,),PC PD λλ=-=- ∴22222020PC b x y z PD b y z λλ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩不妨取22z =-，则22,,y x λλ=-=- ∴(,,2)b λλ=---. ……9分由,a b的方向可知22cos1502||||a b a b λ︒===-，解得1λ=． ……11分所以四棱锥P —ABCD —体积为111(12)11522V =+⨯⨯=． ……12分19.：（Ⅰ）61)0(252===+n n C C p ξ ， ……………………………3分 4)(1,0432=-==--∴n n n n 或舍去解得即袋中有4个黑球。
2015西城区高二(下)期末数学(理科)
的盒内装有标着 1，2，3，4，5 号码的 5 个小球，从中任取 1 球，若号码大于 3 就奖励 10 元，否则
无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖 2 次恰中 20 元的概率为 ；若某人消费
200 元，则他中奖金额的期望是
元．
16．（ 5 分）设函数 y=f（x）图象上在不同两点 A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是 kA，kB，
5．（4 分）计算定积分
（1+ ）dx=（ ）
A．e﹣1 B．e C．e+1 D． 1+
6．（4 分）在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以
正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为 0.5 和 0.7，则线路能够正常工作的概率是（
）
A．0.35 B．0.65 C． 0.85 D．
7．（4 分）从 0，1，2，
）
A．30 个 B．27 个 C．36 个 D．60 个
8．（4 分）函数 f（x）=x+2cosx在 [ 0，π] 上的极小值点为（
）
A．0 B． C．
D． π
9．（4 分）甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌
2015 西城区高二（下）期末数学（理科）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的．
1．（4 分） i 是虚数单位，若复数 z 满足 iz=3+4i，则 z 等于（ ）
A．4+3i B．4﹣3i C．﹣ 3+4i D．﹣ 3﹣4i
13．（ 5 分）在 3 名男生和 4 名女生中任选 4 人参加一项活动，其中至少有 1 名男生的选法种数
高二2015理科参考答案doc
2015年下学期高二理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．１．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a =-=，则公比q = A A ．12- B ．－2 C ．2 D ．12 ２. 曲线34y x x =-在点(1,3)--处的切线方程是 DA ．74y x =+B ．4y x =-C ．72y x =+D ．2y x =-3. 由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形的面积为A A ．112B 。
14C 。
13D 。
7124. 设两个实数变量,x y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩错误!未找到引用源。
则目标函数5z x y =+的最大值为 DA. 2 错误!未找到引用源。
B. 3 C. 4 D. 55. 已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两个焦点，过点2F 的直线交椭圆于点 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，若 错误!未找到引用源。
，则 错误!未找到引用源。
的值为 CA. 9B. 10C. 11D. 166. 已知3()f x x ax =-在[)1,+∞上不是单调函数，则a 的取值范围是 CA ．]3,(-∞B ．(,3)-∞C ．(3,)+∞D ．),3[+∞7. 已知,,,a b c d 是实数，且a b >，则“c d >” 是“a c b d +>+” BA ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．非充分非必要条件8. 已知 错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，,,,x a b y 成等差数列，错误!未找到引用源。
成等比数列，则2()a b cd+ 的最小值是 D A. 0 B. 1C. 2D. 4 9. 已知0a >，函数2()f x ax bx c =++。
0x 满足方程20ax b +=，则下列选项的命题中为假命题的是 CA. 0,()(x )x R f x f ∃∈≤ B 。
2015～2016学年度第二学期高二年级期末考试数学理科试卷
4．某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试，若这 4 人中必须既 有男生又有女生，则不同的选法共有 ( A．14
5．某四面体的三视图如图所示．该四面 体的六条棱的长度中，最大的是（ A. 2 5 B. 2 6 C. 2 7 ）
9 1 , 2] (0, ] 4 2 9 2 C. ( , 2] (0, ] 4 3
A. (
11 1 , 2] (0, ] 4 2 11 2 D. ( , 2] (0, ] 4 3
B. (
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9 位评委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为 91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清，若 记分员计算无误，则数字 x 应该是__________． 12．花园小区内有一块三边长分别是 5 m，5 m，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其 内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距 离均超过 2 m 的概率是________． 13．某班级有一个 7 人小组，现任选其中 3 人相互调整座位，其余 4 人座位不变，则不同的 调整方案的种数为________． 14．已知 a b ，且 ab 1 ，则
19． （本小题满分 12 分） 某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究，对于高二年级 800 名学生上学期期末数学和物理成绩，按优秀和不优秀分类得结果：数学和物理都优秀的 有 60 人， 数学成绩优秀但物理不优秀的有 140 人， 物理成绩优秀但数学不优秀的有 100 人． （1）能否在犯错概率不超过 0.001 的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关系？ （2）将上述调查所得到的频率视为概率，从全体高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取 3 名学生的成绩，记抽取的 3 个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为 X，
中学2015年高二数学(理)下学期期末考试试题(含答案)
2015—2016学年度下学期期末考试高二数学(理科)试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1） 答题前，考生先将自己的姓名、班级填写清楚，考条粘贴到指定位置。
（2） 选择题用2B 铅笔作答。
（3） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
（4） 保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 A ． 2 B ．-2 C ．21- D ．212．已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤( ) A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.843．已知变量y x ,呈线性相关关系，回归方程为x y 25.0^-=，则变量y x ,是( ) A ．线性正相关关系 B ． 线性负相关关系 C ． 由回归方程无法判断其正负相关 D ．不存在线性相关关系4．下面几种推理是类比推理的是（ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180=∠+∠B AB ．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质C ．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 D ．一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除5．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为 ( )A6. 在2012年12月30日那天，佳木斯市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：a x y +-=2.3，则a ＝( )A ．24B ．35.6C ．40.5D ．407．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（ ）A.111222OM OB OB OC =++B.OC OB OA OM ++=C.1133OM OA OB OC =-+D.OC OB OA OM --=28、直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于（ ）A ． 30°B ． 45°C ．60°D ．90°9．由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.5210．随机变量，若，则的值为A.B.C.D.11．将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为 ( )A ．6B ．7C ．8D ．1212．在)2()1(5x x --的展开式中，含3x 项的系数为 （ ）A ．30B ．-20C ．-15D ．30-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13．若二项式22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式共7项，则该展开式中的常数项为 .14．五名高二学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15．不等式|x ＋1|－2>0的解集是 . 16．在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分） 已知函数()|1||22|.f x x x =-++ （1）解不等式()5;f x >（2）若不等式()()f x a a R <∈的解集为空集，求a 的取值范围。
高二下期末数学试题(理)答案
（2）设是的中点，连结,因为为的中点，所以是的中位线，,因为平面，所以平面，连结,则是在平面内的射影，所以是直线和平面所成的角，因为，是在平面内的射影，所以,又,所以,所以,又,由已知，所以.所以，即直线和平面所成角的大小为.（12分）
20.解：（1）由，
解得；（2分）
因为，所以中位数应在内，设中位数为，由，解得.（4分）
长春市十一高中2015-2016学年度高二下学期期末考试
数学（理科）参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
B
A
A
BBDຫໍສະໝຸດ AACC
D
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．8014．13515．16．
三、解答题（第17小题10分，第18、19、20、21、22小题各12分，共70分）
（2）月均用电量在内的户数为，在内的户数为，在内的户数为，在内的户数为，从中抽取11户，抽取比例为，所以月均用电量在内应抽取的户数为.（7分）
用表示这2户居民中用电量在内的户数，所以服从超几何分布，
可能取的值为0，1，2.相应的概率为,（9分）
分布列为：
0
1
2
（11分）
.（12分）
21.解：（1）由已知，解得，所以，所以椭圆的标准方程为.（4分）
②当时，有
当时，，则在上为增函数．所以，当时，，即.综上所述，所求的取值范围为.（12分）
17.解：（1）因为，，，所以，所以，所以；
（2分）
因为，，解得，所以，即．（5分）
（2）因为，所以，所以
2015西城区高二(下)期末数学(理科)
2015西城区高二（下）期末数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（4分）i是虚数单位，若复数z满足iz=3+4i，则z等于（）A．4+3i B．4﹣3i C．﹣3+4i D．﹣3﹣4i2．（4分）在（1+x）n的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．73．（4分）若A=4C，则n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．44．（4分）已知f（x）=，则f′（1）=（）A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣25．（4分）计算定积分（1+）dx=（）A．e﹣1 B．e C．e+1 D．1+6．（4分）在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作．设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（）A．0.35 B．0.65 C．0.85 D．7．（4分）从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（）A．30个B．27个C．36个D．60个8．（4分）函数f（x）=x+2cosx在[0，π]上的极小值点为（）A．0 B．C．D．π9．（4分）甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（）A．30 B．24 C．12 D．610．（4分）已知函数f（x）=，给出下列结论：①（1，+∞）是f（x）的单调递减区间；②当k∈（﹣∞，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点；③函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点．其中正确结论的序号是（）A．①②③B．①③C．①②D．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．（5分）函数f（x）=x3的图象在点（1，f（1））处切线的斜率是．12．（5分）设（1+2x）5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5，则a0=；a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=．13．（5分）在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是．（用数字作答）14．（5分）若函数f（x）=ax3+x在实数域上有极值，则实数a的取值范围是．15．（5分）某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次．抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是元．16．（5分）设函数y=f（x）图象上在不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线斜率分别是k A，k B，规定φ（A，B）=（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”．若函数y=x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则φ（A，B）=；设A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，若m•φ（A，B）＜1恒成立，则实数m 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（13分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=+2（n∈N*）．（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；（Ⅱ）根据计算结果猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．18．（13分）在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为，在B，C处击中目标的概率均为．该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中：（Ⅰ）该同学得4分的概率；（Ⅱ）该同学得分少于5分的概率．19．（13分）已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4．（Ⅰ）若a=2，求f（x）在[﹣1，1]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）在区间[0，+∞）上的最大值大于零，求a的取值范围．20．（13分）盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的．（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望．21．（14分）已知函数f（x）=e x+2ax．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为0，求a的值；（Ⅲ）若对于任意x≥0，f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣x2，g（x）=x2+x，m∈R，令F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若关于x的不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，求整数m的最小值；（Ⅲ）若m=﹣1，且正实数x1，x2满足F（x1）=﹣F（x2），求证：x1+x2﹣1．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．【解答】由iz=3+4i，得．故选：B．2．【解答】在（1+x）n的展开式中，只有第4项的系数最大，故n=6，故选：C．3．【解答】∵A=4C，∴n（n﹣1）=4×，n=4；∴n的值为4．故选：D．4．【解答】f′（x）=﹣，则f′（1）=﹣1，故选：C．5．【解答】∵（x+lnx）′=1+，∴定积分（1+）dx==（e+lne）﹣（1+ln1）=e．故选：B．6．【解答】由题意可得，线路不能够正常工作的概率是（1﹣0.5）（1﹣0.7）=0.15，故线路能够正常工作的概率是1﹣0.15=0.85，故选：C．7．【解答】由题意，0在末位时，组成三位数，其中偶数有=12个；0不在末位时，组成三位数，其中偶数有=18个，∴偶数有12+18=30个，故选：A．8．【解答】y′=1﹣2sinx=0，得x=或x=，故y=x+2cosx在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，在[，π]是增函数．∴x=是函数的极小值点，故选：C．9．【解答】根据题意，分2步进行分析：①、甲乙在四种不同品牌的商品中选择一种，有C41=4种，②、在剩下的三种品牌中，任取2种，再分配给甲乙2人，有A32=6种情况，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是4×6=24种；故选：B．10．【解答】①f′（x）=，令f′（x）＜0，解得：x＞1，∴函数f（x）在（1，+∞）递减，故①正确；②∵f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）max=f（1）=，x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→0，画出函数f（x）的图象，如图示：，∴当k∈（﹣∞，0）时，直线y=k与y=f（x）的图象有1个不同交点，当k∈（0，）时，直线y=k与y=f（x）的图象有两个不同交点，故②错误；③函数f（x）≤，而y=x2+1≥1，∴函数y=f（x）的图象与y=x2+1的图象没有公共点，故③正确；故选：①③．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上．11．【解答】由题意得，f′（x）=3x2，所以在点（1，f（1））处切线的斜率k=f′（1）=3，故答案为：3．12．【解答】∵（1+2x）5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5，∴令x=0，得（1+2×0）5=a0=1；令x=﹣1，得[1+2×（﹣1）]5=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣1．故答案为：1，﹣1．13．【解答】根据题意，首先在3名男生和4名女生共7名学生中任取4人，有C74=35种，其中“没有1名男生”即“全部是女生”的情况有C44=1种，则“至少有1名男生”的选法有35﹣1=34种；故答案为：34．14．【解答】f（x）=ax3+x的导数为f′（x）=3ax2+1，若函数f（x）有极值，则f′（x）=0有解，即3ax2+1=0有解，∴a＜0若a＜0，则△＞0，即0﹣12a＞0，则3ax2+1=0有两个不同解，即f′（x）=0有两个不同解，∴函数f（x）有极值．∴函数f（x）=ax3+x有极值的充要条件是a＜0故答案为：a＜015．【解答】①由题意可得一次抽奖中奖10元的概率P=，则某人抽奖2次恰中20元的概率==．②某人消费200元，他中奖金额X可能为0，10，20，30，40．则P（X=k）=，（k=0，1，2，3，4）．∴P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，P（X=4）=．X的期望是某人消费200元，则他中奖金额的期望EX==16．故答案为：，16．16．【解答】（1）由题意得，y=x2，则y′（x）=2x，且A（0，0），B（1，1），∴k A=2×0=0，k B=2×1=2，且|k A﹣k B|=2，又|AB|==，∴φ（A，B）===；（2）由y=e x得y′（x）=e x，∵A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，∴φ（A，B）===，∵m•φ（A，B）＜1恒成立，∴m||＜，则m＜=，∵＞1，∴m≤1，则实数m的取值范围是（﹣∞，1]，故答案为：；（﹣∞，1]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】（Ⅰ）由a1=3，a n+1=+2（n∈N*）可得a2=2+，a3=2+，a4=2+=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想：a n=2+，n∈N*．以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时，左边a1=3，右边2+1=3，符合结论；（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时结论成立，即a k=2+，那么，当n=k+1时，a k==+2=+2=+2，+1所以，当n=k+1时猜想也成立；根据（1）和（2），可知猜想对于任意n∈N*都成立．18．【解答】（Ⅰ）设该同学在A处击中目标为事件A，在B处击中目标为事件B，在C处击中目标为事件C，事件A，B，C相互独立．依题意P（A）=，P（B）=P（C）=．则该同学得（4分）的概率为P（BC）=P（）P（B）P（C）=（1﹣）×=（Ⅱ）该同学得0分的概率为P（）=；（8分）得（2分）的概率为P（+）=；（10分）得（3分）的概率为P（）=；（11分）得（4分）的概率为P（BC）=；则该同学得分少于（5分）的概率为P（）+P（+）+P（）+P（BC）=．19．【解答】（Ⅰ）a=2时，f（x）=﹣x3+2x2﹣4，则f′（x）=﹣3x2+4x，令f′（x）=0，得：x=0或x=．列表：f（x）在区间（﹣1，0）上单调递减，在区间（0，1）上单调递增．所以，当x∈[﹣1，1]时，f（x）最小值为f（0）=﹣4．（Ⅱ）由已知f′（x）=﹣3x（x﹣），当a=0时，f′（x）=﹣3x2，函数f（x）为减函数，f（x）在区间[0，+∞）上的最大值为f（0）=﹣4，不符合题意；当a＜0时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为减函数，最大值为f（0）=﹣4，不符合题意；当a＞0时，函数f（x）在区间（0，）上为增函数，在区间（，+∞）上为减函数，所以：f（x）在区间[0，+∞）上的最大值为：f（）=﹣4，依题意，令﹣4＞0，解得a＞3，符合题意，综上，a的取值范围是（3，+∞）．20．【解答】（Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A．则P（A）==．所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率P==．（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X=3，4，5．P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==．随机变量X的分布列为：∴E（X）==．21．【解答】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e x+2x，则f′（x）=e x+2，（2分）∴在点（0，1）处的切线斜率为f′（0）=3，（3分）所以在点（0，1）处的切线方程为：y﹣1=3x，即3x﹣y+1=0；（4分）（Ⅱ）当a≥0时，函数f（x）=e x+2ax＞0，不符合题意．（5分）当a＜0时，f′（x）=e x+2a，令e x+2a=0，得x=ln（﹣2a），（6分）所以，当x∈（﹣∞，ln（﹣2a））时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（ln（﹣2a），+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．（7分）①当ln（﹣2a）≤1，即≤a＜0时，f（x）最小值为f（1）=2a+e．解2a+e=0，得a=，符合题意．（8分）②当ln（﹣2a）＞1，即a＜时，f（x）最小值为f[ln（﹣2a）]=﹣2a+2aln（﹣2a）．解﹣2a+2aln（﹣2a）=0，得a=，不符合题意．（9分）综上，a=．（Ⅲ）由题意设g（x）=e x+2ax﹣e﹣x，则g′（x）=e x+e﹣x+2a．（10分）①当2a≥﹣2，即a≥﹣1时，因为e x+e﹣x≥2，所以g′（x）≥0，（且a=﹣1时，仅当x=0时g′（x）=0）所以g（x）在R上单调递增．又g（0）=0，所以，当a≥﹣1时，对于任意x≥0都有g（x）≥0．（12分）②当a＜﹣1时，由g′（x）=e x+e﹣x+2a＜0，得（e x）2+2ae x+1＜0，得，其中且，所以，且，，所以g（x）在（0，）上单调递减．又g（0）=0，所以存在x0∈（0，），使g（x0）＜0，不符合题意．综上可得，a的取值范围为[﹣1，+∞）．（14分）22．【解答】（Ⅰ）f（x）的定义域为：{x|x＞0}，f′（x）=﹣x=，（x＞0），由f′（x）＞0，得：0＜x＜1，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）．（Ⅱ）F（x）=f（x）+g（x）=lnx﹣mx2+x，x＞0，令G（x）=F（x）﹣（mx﹣1）=lnx﹣mx2+（1﹣m）x+1，则不等式F（x）≤mx﹣1恒成立，即G（x）≤0恒成立．G′（x）=﹣mx+（1﹣m）=，①当m≤0时，因为x＞0，所以G′（x）＞0所以G（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，又因为G（1）=ln1﹣m×12+（1﹣m）+1=﹣m+2＞0，所以关于x的不等式G（x）≤0不能恒成立，②当m＞0时，G′（x）=﹣，令G′（x）=0，因为x＞0，得x=，所以当x∈（0，）时，G′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，G′（x）＜0，因此函数G（x）在x∈（0，）是增函数，在x∈（，+∞）是减函数，故函数G（x）的最大值为：G（）=ln﹣m×+（1﹣m）×+1=﹣lnm，令h（m）=﹣lnm，因为h（m）在m∈（0，+∞）上是减函数，又因为h（1）=＞0，h（2）=﹣ln2＜0，所以当m≥2时，h（m）＜0，所以整数m的最小值为2．（Ⅲ）m=﹣1时，F（x）=lnx+x2+x，x＞0，由F（x1）=﹣F（x2），得F（x1）+F（x2）=0，即lnx1++x1+lnx2++x2=0，整理得：+（x1+x2）=x1 x2﹣ln（x1 x2），令t=x1•x2＞0，则由φ（t）=t﹣lnt，得：φ′（t）=，可知φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，所以φ（t）≥φ（1）=1，所以+（x1+x2）≥1，解得：x1+x2≤﹣﹣1，或x1+x2≥﹣1，因为x1，x2为正整数，所以：x1+x2≥﹣1成立．第11页共11 页。
最新人教版2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题带答案
2015—2016学年度高二下学期期末考试数学（理）试题本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若(z a ai =+为纯虚数，其中7,1+∈+a i a R ai则=（ ）A ．iB ．1C ．i -D ．－12．与极坐标2,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭不表示同一点的极坐标是（ ） A ．72,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．72,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．112,6π⎛⎫--⎪⎝⎭ D ．132,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ 3．如图，ABC ∆是圆的内接三角形，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F . 在上述条件下，给出下列四个结论： ①BD 平分CBF ∠；②2;FB FD FA =③;AE CE BE DE =④AF BD AB BF = .则所有正确结论的序号是（ ） A ．○1○2B ．○3○4C ．○1○2○3D ．○1○2○44．已知命题:p “存在[)01,,x ∈+∞使得()02log 31x≥”，则下列说法正确的是（ ）A ．p 是假命题；:p ⌝“任意[)1,x ∈+∞，都有()2log 31x<”B ．p 是真命题；:p ⌝“不存在[)01,,x ∈+∞使得()02log 31x<”C ．p 是真命题；:p ⌝“任意[)1,,x ∈+∞都有()2log 31x<” D ．p 是假命题；:p ⌝“任意(),1,x ∈-∞都有()2log 31x<”5．设()f x 是定义在正整数集上的函数，且()f x 满足：“当()2f k k ≥成立时，总可推出()()211f k k +≥+成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）.A ．若()39f ≥成立，则当1k ≥时，均有()2f k k ≥成立 B ．若()525f ≥成立，则当5k ≤时，均有()2f k k ≥成立. C ．若()749f <成立，则当8k ≥时，均有()2f k k <成立. D ．若()425f =成立，则当4k ≥时，均有()2f k k ≥成立.6．已知下列四个命题：1:p 若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2:p 若()22,xxf x -=-则()(),x R f x f x ∀∈-=-；3:p 若()1,1f x x x =++则()()000,,1x f x ∃∈+∞=； 4:p 在ABC ∆中，若A B >，则sin sin A B >.其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．在平面直角坐标系xOy 中，满足221,0,0x y x y +≤≥≥的点(),P x y 的集合对应的平面图形的面积为4π；类似地，在空间直角坐标系O xyz -中，满足2221,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的点(),,P x y z 的集合对应的空间几何体的体积为（ ） A ．8πB ．6π C ．4π D ．3π 8．在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为正方形1111A B C D 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．一物体在力()2325F x x x =-+（力单位：N ，位移单位：m ）的作用下，沿与力()F x 相同的方向由5x m =直线运动到10x m =处做的功是（ ） A ．925J B ．850JC ．825JD ．800J10．在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与()2322y a x ax x a a R =-++∈的图象不可能．．．的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知“整数对”按如下规律排成一列：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），……，则第60个数对是（ ） A ．（5,7）B ．（7,5）C ．（2,10）D ．（10,1）12．已知定义在R 上的奇函数()f x 的图象为一条连续不断的曲线，()()()11,1f x f x f a +=-=，且当01x <<时，()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '<，则()f x 在[]2015,2016上的最大值为（ ）A ．aB ．0C ．a -D ．2016二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答案卡中的横线上）13．如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4,AB =连接OD ，过点D作OD 的垂线交O 与点C ，则CD 的最大值为____________. 14．若不等式2112222x x a a -++≥++对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围为____________.15．在正四棱锥P ABCD -中，,M N 分别为,PA PB 的中点，且侧面与底面所成二面角DM 与AN 所成角的余弦值为__________. 16．设函数()()21l n 12a fx x a x x a -=+->. 若对任意的()3,4a ∈和任意的[]12,1,2x x ∈，恒有()()2121ln 22a m f x f x -+>-成立，则实数m 的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，BC 交圆O 于点E . （1）若D 为AC 的中点，求证：DE 是圆O 的切线； （2）若,OA =求ACB ∠的大小.18．已知函数()3f x x x a =---. （1）当2a =时，解不等式()1;2f x ≤-（2）若存在实数a ，使得不等式()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围.19．已知直线l的参数方程为1,12x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的直角坐标方程； （2）若(),P x y 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭的公共点，y +的取值范围.20．如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD ∆为正三角形，120BCD ∠=︒，1,CB CD CE ===AB AD AE ===且EC BD ⊥.（1）求证：平面BED ⊥平面AEC ；（2）若M 是棱AE 的中点，求证：DM 平面EBC ； （3）求二面角D BM C --的平面角的余弦值.21．设命题:p 关于x 的方程2220a x ax +-=在[]1,1-上有解，命题:q 关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负实根. 若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a的取值范围.22．已知函数()1ln f x a x x=--，其中a 为常数. （1）若()0f x =恰有一个解，求a 的值. （2）○1若函数()()()21ln x p g x a f x p x x p-=----+，其中p 为常数，试判断函数()g x 的单调性；○2若()f x 恰有两个零点12,,x x 且12x x <， 求证：1123 1.a x x e-+<-（e 为自然对数的底数）2015—2016学年度高二下学期期末考试高二数学（理）参考答案一、选择题(共60分，每小题5分)二、填空题（共20分）13．2 14．1[,0]2-15．1616．115m≥三、解答题（共70分）17．（10分）（1）证明：连接,AE OE.由已知，得,AE BC AC AB⊥⊥.在Rt AEC∆中，由已知得DE DC=，DEC DCE∴∠=∠.,90OBE OEB ACB ABC∠=∠∠+∠=，90DEC OEB∴∠+∠= ,90,OED DE∴∠=∴是圆O的切线.（2）解：设1,CE AE x==，由已知得AB BE==由射影定理可得：2AE CE BE= .2x∴=解得60x ACB=∴∠= .18．（12分）解：（1）当2a=时，1,2,()|3||2|52,23,1,3,xf x x x x xx≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎩1()2f x∴≤-等价于2,112x≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩或23,1522xx<<⎧⎪⎨-≤-⎪⎩或3,11,2x≥⎧⎪⎨-≤-⎪⎩解得1134x≤<或3x≥,∴原不等式的解集为114x x⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭（2）由绝对值三角不等式可知()|3||||(3)()||3|f x x x a x x a a =---≤---=-. 若存在实数a ，使得不等式()f a a ≥成立，则|3|a a -≥，解得32a ≤， ∴实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.19．（12分）解（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭,所以214sin 4cos 62πρρθρθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222x y x +=-， 所以圆C的直角坐标方程为2220x y x ++-=. （2）设z y +.因为圆C的方程2220x y x ++-=可化为22(1)(4x y ++=， 所以圆C的圆心是(1-，半径是2.将112x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入z y =+，得z t =-. 又直线l过(1C -，圆C 的半径是2，所以22t -≤≤，y +的取值范围是[2,2]-.20．（12分）（1）证明：连接AC ，交BD 于点O . ABD ∆ 为正三角形，120,1BCD CB CD CE ∠==== ，.AC BD ∴⊥又,EC BD EC AC C ⊥= ,BD ∴⊥平面ACE ，又BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AEC .（2）解：取AB 中点N ，连接,MN ND .M 是AE 的中点，MN ∴∥EB .MN 不在平面EBC 内，MN ∴∥平面EBC .,,DN AB BC AB DN ⊥⊥∴ ∥BC . DN 不在平面EBC 内，DN ∴∥平面EBC .又MN DN N = ,∴平面DMN ∥平面,EBC DM ∴∥平面EBC . （3）解：由（1）知AC BD ⊥，且13,22CO AO ==,连接,EO CM . 1,2CO CE EO AC CE AC ==∴⊥. 由（1）知BD ⊥平面,AEC EO BD ∴⊥. 如图建立空间直角坐标系，则3,0,0,2A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,10,,,0,02D C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3,4E M ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭. 315,,,,,0,4242244DM DB CB CM ⎛⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 设平面DBM 的一个法向量11(,,1)x y =m ,则由0,0,DB DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ m m得3⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭m . 同理，平面CBM的法向量1,155⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n .故二面角D BM C --的平面角的余弦值cos ||||θ==m n m n . 21．（12分）解：若P 正确，则由题意，0a ≠，则222(2)(1)0a x ax ax ax +-=+-=的解为1x a =或2x a=-. 原方程在[1,1]-上有解，只需111a -≤≤或211a-≤-≤. 解得：(][),11,a ∈-∞-+∞ 或(][),22,a ∈-∞-+∞ 综上P 真时，(][),11,a ∈-∞-+∞若q 正确，当0a =时，210x +=有一个负实根. 当0a ≠时，原方程有实根的充要条件为：440,1a a ∆=-≥∴≤.设两根为12,x x ，则121221,x x x x a a+=-= 当只有一个负实根时，1010a a a ≤⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩当有两个负实根时,1200110a a a a⎧⎪≤⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪⎪>⎪⎩.综上，q 真时，1a ≤.由p q ∨为真，p q ∧为假知，,p q 一真一假. 当p 真q 假时，111a a a ≤-≥⎧⎨>⎩或 1a ∴>.当p 假q 真时，111a a -<<⎧⎨≤⎩11a ∴-<<.a ∴的取值范围为1a >或11a -<<.22．（12分）（1）解：由题意，得函数()f x 的定义域为21(0,),()xf x x-'+∞=，令()0f x '=，得1x =.当01x <<时，()0,()f x f x '>在(0,1)上单调递增； 当1x >时，()0,()f x f x '<在(1,)+∞上单调递减， 故max ()(1)1f x f a ==-.因为()0f x =恰有一个解，所以max ()10f x a =-=,即1a =.（2）①解：由12()()()ln x p g x a f x p x x p-=----+得， 2()()ln ln x p g x x p x p-=--+. 函数()g x 的定义域为(0,)+∞，且0p >. 因为22212()2()()()0()()x p x p x p g x x x p x x p +---'=-=≥++， 所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增.②证明：因为()0()1ln 0f x h x ax x x =⇔=--=, 故12,x x 也是()h x 的两个零点.由()1ln 0h x a x '=--=，得1a x e -=，不妨令1a p e -=. x p =是()h x 的唯一最大值点，故有12()0,.h p x p x >⎧⎨<<⎩ 由①得，2()()ln ln x p g x x p x p-=--+单调递增. 故当x p >时，()()0g x g p >=，当0x p <<时，()0g x <.由11111112()1ln ln x x p ax x x x p x p--=<++, 整理得211(2ln )(2ln 1)0p a x p ap p p x p +--+--+>，即21111(31)0a a x e x e ----+>；同理得：21122(31)0a a x e x e ----+<.故2112112211(31)(31)a a a a x e x e x e x e ------+<--+, 1122121()()(31)()a x x x x e x x -+-<--，于是1123 1.a x x e -+<- 综上，11231a x x e -+<-.。
高二数学2015-2016第二学期期末试卷理科
2015-2016学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数(32),(z i i i =-是虚数单位），则z =（ ）A ．23i -B ．32i +C ．23i +D ．32i -2．有一段演绎推理是这样的：“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数”．那么，这个演绎推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误3．从5名学生中选派3名学生到3个不同社区服务，不同的选派方法共有（ ）A ．6种B ．24种C ．60种D ．120种 4．若函数()f x =，则其导函数()f x ' =（ ） AB． C． D ．22x-5．设~(10,0.8)X B ，则(21)D X +=( ) A ．1.6 B ．3.2 C ．6.4 D ．12.86．输出下列四个命题：①回归直线恒过样本点的中心（,x y ）；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线； ③残差平方和越小的模型，模型拟合的效果越好；④在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数r 就越接近于1．其中真命题的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.784B ．0.648C ．0.343D ．0.4418．高二年级1000名学生考试成绩近似服从正态分布2(480,50)N ，则成绩在580分以上的学生人数均为（ ）（附：P （μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%；P （μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44% ）A ．3B ．23C ．46D ．208 9．(示范高中)已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为（ ）A ．1B ．±1C ．2D ．±2 （普通高中）已知关于x的二项式6(x 展开式的常数项为15，则a =（ ）A ．1B ．±1C ．2D ．±210．设复数(1)(,)z x yi x y R =-+∈，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A ．3142π+B ．1142π-C ．112π-D ．112π+11．设02x π<<，记sin ,,lnsin a x b x c x ===，试比较,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a12．定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '；当(0,)x ∈+∞时，都有12()()f x xf x x'+<，则不等式2()2x f x f x -<-的解集为（ ）A ．)+∞B ．(-∞C．(D ． 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分13．函数()ln(21)xf x =-+的定义域为 ．14．若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．15．由曲线22y x x =-+与1y =所围成的图形的面积为 ．16．已知函数32()331f x x ax x =+++，当[2,),()0x fx ∈+∞≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分。
5学年下学期高二期末考试数学(理)(附答案)
临川一中2014—2015学年度下学期期末考试高二理科数学试卷卷面满分：150 分 考试时间： 120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 为虚数单位，若)i z i =，则||z =（ ）A ． 1BCD ．22.已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=的定义域为M ，则=M C U （ ）A ．]0,(-∞B ．),0(+∞C ．)0,(-∞D ．),0[+∞ 3．下列判断错误．．的是( ) A . 若随机变量ξ服从正态分布(),,12σN (),79.04=≤ξP 则()21.02=-≤ξPB . 若n 组数据()()n n y x y x ,,11⋅⋅⋅的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=rC .若随机变量ξ服从二项分布: )51,5(~B ξ,则1=ξED .“22am bm <”是“a b <”的必要不充分条件4. 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h =( )C. D. 5.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ）种． A ．240B. 180C. 150D.5406. 已知等差数列满足61020a a +=，则下列选项错误的是( ) A ．15150S = B.810a = C. 1620a = D. 41220a a +=7.执行如图程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ） A ．105 B ．115 C ．120 D ．7208. 设1)20151()20151(20151<<<ab ，那么 ( ) A ．abab a a << B ．baaa b a << C ．aabb a a << D ．aaba b a << 9. 在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的C =( ) A ． B ． C ．D ． 10，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 ( ) A B C D 11. 抛物线22y x =的内接∆ABC 的三条边所在直线与抛物线22x y =均相切，设A ，B 两点的纵坐标分别是,a b ，则C 点的纵坐标为（ ）A ．a b +B ．22a b +C ．a b --D ．22a b --12.已知函数，e x ex a x f ≤≤-=1(,)(2e 为自然对数的底数)与x x g ln 2)(=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21[1,2]e + B ．221[2,2]e e+- C ．2[1,2]e - D ．2[2,)e -+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.设=a 0(sin cos )x x dx π-⎰，若8822108)1(x a x a x a a ax +⋅⋅⋅+++=-，则8210a a a a +⋅⋅⋅+++= .3π2π6π56π14. 已知0>a ，实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=a .15.函数]4,0[,)4sin()3sin()(πππ∈++=x x x x f 的最大值为 . 16. 若函数2)(mx e x f x -=定义域为),0(+∞，值域为),0[+∞，则m 的值为 . 三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，每题12分，（22）、（23）、（24）题为选考题，分值为10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
河南省周口市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2015-2016学年河南省周口市高二(下）期末数学试卷(理科)一、选择题（每题5分)1．如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2)i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣22．给出如下四个命题：①若“p∨q"为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b,则2a≤2b﹣1"；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0"是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④3．对两个变量y和x进行回归分析,得到一组样本数据：（x1，y1），（x2，y2），…,（x n,y n），则下列说法中不正确的是（)A．由样本数据得到的回归方程=x+必过样本中心（，）B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数为r=﹣0。
9362，则变量y和x之间具有线性相关关系4．下面几种推理中是演绎推理的是(）A．由金、银、铜、铁可导电，猜想:金属都可以导电B．猜想数列5，7，9，11，…的通项公式为a n=2n+3C．由正三角形的性质得出正四面体的性质D．半径为r的圆的面积S=π•r2，则单位圆的面积S=π5．因为a，b∈R+，a+b≥2，…大前提x+≥2，…小前提所以x+≥2,…结论以上推理过程中的错误为(）A．小前提B．大前提C．结论 D．无错误6．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2),则函数f(x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为(）A．B．C．D．7．设S n是等差数列{a n｝的前n项和，S5=3（a2+a8），则的值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中,B=，c=150，b=50，则△ABC为（）A．直角三角形B．等腰三角形或直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形9．将数字1,2，3，4填入标号为1，2,3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有(）A．6种B．9种C．11种D．23种10．函数f（x）=sinx+2x，若对于区间［﹣π，π]上的任意x1，x2，都有|f(x1）﹣f(x2）|≤t，则实数t的最小值是（)A．4πB．2πC．πD．011．设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C,且|AB｜=｜BC｜=,则直线l的方程为()A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+112．已知函数f（x）=,若对任意的x1，x2∈[e2,+∞)，有｜|＞，则实数k的取值范围为（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，1）C．［2，+∞）D．（2，+∞)二、填空题(每题5分）13．在(x﹣）5的二次展开式中，x2的系数为________（用数字作答）．14．以模型y=ce kx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=________．15．现有16个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各4个，从中任取3个，要求这3个小球不能是同一颜色,且红色小球至多1个,不同的取法为________．16．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)=9x++7．若f(x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为________．三、解答题17．数列｛a n｝的前n项和为S n=2n+1﹣2，数列{b n｝是首项为a1,公差为d（d≠0)的等差数列,且b1，b3，b11成等比数列．（1）求数列{a n}与｛b n}的通项公式;(2）设，求数列{c n}的前n项和T n．18．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元)与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据，如表：x 2 5 8 9 11y 12 10 8 8 7（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+;(Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3。
陕西省延川县中学2015-2016学年高二下学期期末考试理数试题 含解析
第Ⅰ卷(共40分) 一． 选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1.抛物线：2x y =的焦点坐标是（ ）A.)21,0( B.)41,0( C.)0,21( D 。
)0,41( 【答案】B 。
【解析】试题分析：由题意可知,焦点在y 轴上，且21=p ，则焦点坐标是1(0,)4，故选B. 考点：抛物线性质.2。
双曲线:1422=-y x 的渐近线方程和离心率分别是（ ) A.5;2=±=e x y B. 5;21=±=e x y C.3;21=±=e x y 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意可知，双曲线2214y x -=的渐近线方程和离心率分别是2;5y x e =±=，故选A 。
考点：双曲线的性质。
3。
函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A 。
)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 【答案】C 。
【解析】试题分析：由题意可知,切线方程的斜率为e ，则可求出在点))1(,1(f 处的切线方程,故选C. 考点:1。
导数的几何意义;2.切线方程。
221*2231"1....(1,),11,,1n n a a a a a n N n aD a a a ++-++++=≠∈=-+++4,用数学归纳法证明在验证时，等式左边是（）A,1，B,1+a,C,1+a+a 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意，根据数学归纳法的步骤可知，当1=n 时，等式的左边应为21a a ++，故选C.考点：数学归纳法。
5.函数3()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是（ ）A ．12B ． —1C ．0D ．1 【答案】D 。
【解析】试题分析：由题意，对函数)(x f 进行求导，可得到导函数的零点，从而可得到最值，故选D. 考点：利用导数求最值。
B卷2015年高二下学期下学期期末考理科数学试题
仙游一中2014-2015学年度下学期期末考高二理科数学试题 （试卷类型：B 卷）（命题人：杨超拔，满分：150分，答卷时间: 120分钟）一：选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选项填在答题卷上。
1.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）A ．22i --B ．22i -+C ．i 2-2D ．i 2+22.已知全集R U =，函数x x x f 52)(-=的定义域为M ，则=M C U （ ）A ．]0,(-∞B ．),0(+∞C ．)0,(-∞D ．),0[+∞3. 如果随机变量ξ～N （0，σ2），且P （－2＜ξ≤0）=0.4 ，则P （ξ>2）等于（ ）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4 4.42xe dx -⎰的值等于 （ ）42()A e e -- (B) 42e e + (C) 422e e +- (D) 422e e -+- 5．已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．86．曲线2,3x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）上的点与A （-2，3）的距离为2，则该点坐标是（ ）A ．（-4，5）B ．（-3，4）或（-1，2）C ．（-3，4）D ．（-4，5）或（0，1）7．()nx 1+的展开式中，只有第6项的系数最大，则4x 的系数为（ ）A.45B.50C.55D.608．下列说法： ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过（,x y ）； 其中错误．．的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．39.编号为A 、B 、C 、D 、E 的五个小球放在如右图所示的五个盒子中，要求每个盒子只能放一个小球，且A 不能放1，2号，B 必需放在与A 相邻的盒子中，则不同的放法有（ ）种A ．42B ．36C ．30D ．2810．将一颗骰子抛掷两次，所得向上点数分别为n m ,，则函数1323+-=nx mx y 在[)∞+,1上为增函数的概率是 （ ） A ．21 B ．65 C ．43 D ．32 11．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (x ) 12. 抛物线22y x =的内接∆ABC 的三条边所在直线与抛物线22x y =均相切，设A ，B 两点的纵坐标分别是,a b ，则C 点的纵坐标为（ ）A ．a b +B ．22a b +C ．a b --D ．22a b --二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上。
2015朝阳区高二(下)期末数学(理科
2015朝阳区高二（下）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）设i是虚数单位，在复平面内，复数z=2i（1+i）所对应的点落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知函数f（x）=cosx﹣sinx，f′（x）为函数f（x）的导函数，那么等于（）A．B．C．D．3．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心4．（5分）某人射击一次击中目标的概率为0.6，此人射击3次恰有两次击中目标的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）观察下列各式：照此规律，当n∈N*时，C2n﹣10+C2n﹣11+C2n﹣12+…+C2n﹣1n﹣1=（）A．4n+1B．4n C．4n﹣1 D．4n﹣26．（5分）从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A．36 B．48 C．52 D．547．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）8．（5分）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f′（x）﹣g（x）（f′（x）为函数f（x）的导函数）在[a，b]上有且只有两个不同的零点，则称f（x）是g（x）在[a，b]上的“关联函数”．若f（x）=+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“关联函数”，则实数m的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．（﹣∞，﹣2]D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应位置上.9．（5分）=．10．（5分）已知随机变量X的分布列为则实数a等于．11．（5分）（1+x）6的展开式中含x3项的系数为；该展开式的二项式系数和是．（用数字作答）12．（5分）若过点P（0，2），Q（1，3）的直线的参数方程为为参数，a，b为常数），则a=；b=．13．（5分）若函数g（x）=ax3+ax2+x在R上单调递增，则实数a的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=e x﹣alnx的定义域是（0，+∞），关于函数f（x）给出下列命题：①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值；②对于任意a∈（﹣∞，0），函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；③存在a∈（﹣∞，0），使得对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0成立；④存在a∈（0，+∞），使得函数f（x）有两个零点．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（12分）设数列{a n}满足a1=2，a n+1+na n=a n2+1，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．16．（13分）某市A，B两所中学的学生组队参加信息联赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）设X表示A中学参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77，a（a∈N*），81，若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a的取值范围（不要求过程）．17．（13分）已知函数f（x）=x+，g（x）=x﹣lnx，其中a∈R且a≠0．（Ⅰ）求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；（II）当a=1时，求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调区间；（III）设函数u（x）=若u（x）=f（x）对任意x∈[1，e]均成立，求a的取值范围．18．（12分）已知M是由所有满足下述条件的函数f（x）构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②设函数f（x）的导函数f′（x），且对f（x）定义域内任意的x，都有f′（x）＞1．（Ⅰ）判断函数f（x）=2x+sinx是否是集合M中的元素，并说明理由；（Ⅱ）若函数g（x）=lnx+ax是集合M中的元素，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】z=2i（1+i）=2i+2i2=﹣2+2i，对应的坐标为（﹣2，2）位于第二象限，故选：B．2．【解答】f′（x）=﹣sinx﹣cosx，∴f′（）=﹣sin﹣cos=﹣，故选：C．3．【解答】直线ρcosθ=1即x=1．圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1．其圆心为（1，0）．可知：直线x=1经过圆心（1，0）．∴直线ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ的位置关系是相交且过圆心．故选：D．4．【解答】此人射击3次恰有两次击中目标的概率为×0.62×0.4=，故选：A．5．【解答】根据所给的式子可得：等式的右边都是以4为底数的幂的形式，且指数是等式左边最后一个组合数的上标，∴当n∈N*时，C2n﹣10+C2n﹣11+C2n﹣12+…+C2n﹣1n﹣1=4n﹣1，故选：C．6．【解答】第一类从2，4中任取一个数，有C21种取法，同时从1，3，5中取两个数字，有C32各取法，再把三个数全排列．有A33种排法．故有C21C32A33=36种取法．第二类从0，2，4中取出0，有C11种取法，从1，3，5三个数字中取出两个数字，有C32种取法，然后把两个非0的数字中的一个先安排在首位，有A21种排法，剩下的两个数字全排列，有A22种排法．共有C11C32A21A22=12种方法．共有36+12=48种排法．故选B．7．【解答】由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选B．8．【解答】f′（x）=x2﹣3x+4，∵f（x）与g（x）在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f′（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 9．【解答】=（x2﹣x）|=（4﹣2）﹣（1﹣1）=2，故答案为：2．10．【解答】根据概率和为1，得0.2+（0.4﹣a）+（0.5﹣a）+a=1，解得a=0.1．故答案为：0.1．11．【解答】（1+x）6的展开式的通项为，所以它的展开式中含x3项的系数=20；该展开式的二项式系数和是：26=64；故答案为：20；64．12．【解答】由题意得，直线的参数方程为为参数，a，b为常数），∴消去参数t可得，，∵直线过点P（0，2），Q（1，3），∴，解得a=﹣1、b=2，故答案为：﹣1；2．13．【解答】函数的导数为g′（x）=3ax2+2ax+1，若函数数g（x）=ax3+ax2+1在R上单调递增，则等价为g′（x）≥0恒成立，若a=0，则g′（x）=1≥0，满足条件，若a≠0，要使g′（x）≥0恒成立，则，即，解得0＜a≤3，综上0≤a≤3，故答案为：[0，3]．14．【解答】由对数函数知：函数的定义域为：（0，+∞），f′（x）=e x﹣，①∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=e x﹣=0，可以判断函数有最小值，①正确，②∵a∈（﹣∞，0）∴f′（x）=e x﹣≥0，是增函数．所以②错误，③画出函数y=e x，y=﹣alnx的图象，如图：显然不正确．④令函数y=e x是增函数，y=alnx是减函数，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=e x﹣alnx=0有两个根，正确．故答案为：①④．三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．【解答】（1）由a1=2，得a2=a12﹣a1+1=3由a2=3，得a3=a22﹣2a2+1=4由a3=4，得a4=a32﹣3a3+1=5（2）故猜想a n=n+1；用数学归纳法证明：①当n=1时，a1=2=1+1，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即a k=k+1，那么a k=a k（a k﹣k）+1=（k+1）（k+1﹣k）+1=k+2．+1=（k+1）+1也就是说，当n=k+1时，a k+1据①和②，对于所有n≥1，有a n=n+1．16．【解答】（Ⅰ）由题意，参加集训的男、女学生共有6人，参赛学生全从B中抽出（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为：=，因此A中学至少有1名学生入选代表队的概率为：1﹣=；（Ⅱ）X表示A中学参赛的男生人数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．X的分布列为：X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=；（Ⅲ）根据3名男生的比赛成绩为76，80，84，3名女生的比赛成绩为77，a（a∈N*），81，且3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出a的取值范围是73＜a＜85，且a∈N*．17．【解答】（Ⅰ）g（x）=x﹣lnx的导数为g′（x）=1﹣，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为k=g′（1）=0，切点为（1，1），则曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=1；（II）当a=1时，函数h（x）=f（x）+g（x）=2x﹣lnx+，导数h′（x）=2﹣﹣=，由h′（x）＞0可得x＞1；由h′（x）＜0可得0＜x＜1．则h（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；（III）由题意可得f（x）≥g（x）对任意x∈[1，e]均成立，即为x+≥x﹣lnx，即有a≥﹣xlnx，令y=﹣xlnx，x∈[1，e]，则y′=﹣（1+lnx）＜0，即有y=﹣xlnx在[1，e]递减，则y=﹣xlnx的最大值为0，则a≥0，由a∈R且a≠0．即有a＞0．则a的取值范围是（0，+∞）．18．【解答】（Ⅰ）∵f′（x）=2+cosx，当cosx=﹣1时，f′（x）=1，不符合条件②，∴函数f（x）不是集合M中的元素；（Ⅱ）∵g（x）是集合M中的元素，∴g′（x）=+a＞1对于任意x＞0均成立，即a＞1﹣（x＞0）恒成立，即a≥1，令G（x）=g（x）﹣x=lnx+（a﹣1）x，依题意g（x）是集合M中的元素，必满足a≥1，当a≥1时，G′（x）=+a﹣1＞0对任意x＞0恒成立，∴G（x）在（0，+∞）递增，又G（e﹣a）=lne﹣a+a•e﹣a﹣e﹣a=a（e﹣a﹣1）﹣e﹣a＜0，G（e）=1+（a﹣1）e＞0，∴方程G（x）=g（x）﹣x=0有实根，也符合条件①，当a＜1时，在x＞＞0时，g′（x）=+a＜1与条件②矛盾，综上，a≥1．。
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第I 卷一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求）． 1．若复数z 满足i iz 42+=，则z 等于（ ）A ．i 42+B ．i 42-C ．i 24-D ．i 24+2．设全集U 是实数集R ，}432{x x x M ≥-=，}0)2(log {31≥+=x x N ，则M N ⋂=( )A. {}1x x ≤- B. 312⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭x x C. 32x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ D. 322x x ⎧⎫-<≤-⎨⎬⎩⎭3.设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以 下结论中正确的是 （ ） A ．x 和y 呈正相关关系B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点(,)x y4．已知,,a b c 满足c b a <<，且a c <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A. 0)(>-c a ac B. cb a ()-<0C.c b a b 22< D. a b a c > 5．已知随机变量X 服从正态分布N(3，1)，且P(2 ≤X ≤4)=0.6826，则P （X<4）=（ ）A.0.8413B.0.8414C.0.1586D. 0.1587 6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．乌拉特前旗一中高二下学期期末考试理 科 数 学2014-7-12A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 7．某几何体的三视图如题图所示，其侧视图是一个边长 为1的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成， 这个几何体的体积是（ ） A ．1 B ．12 C ．14 D ．188. 设a R ∈，则“2a =-”是“直线1:210l ax y +-=与直线2:(1)40+++=l x a y 平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.将甲、乙、丙、丁4名教师分配到高中三个年级，每个年级至少1人，要求甲必须在高一年级，则不同的安排种数为 （ ）A ．24B ．15C ．12D ．810.△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若c ＜ b cos A ，则△ABC 为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形11. 节日里某家前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是（ ）A ．14B ．12C ．34D ．71612.已知椭圆2221(0)x a b a b>>2y +＝的左顶点为E ，过原点O 的直线交椭圆于,A B 两点，若2AB BE ==，3cos 4ABE ∠=，则椭圆方程为（ ） A ．212x 2+y ＝ B ．21214x 213y +＝ C ．21214x 215y +＝ D ．21257x 228y +＝第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）． 13．已知向量a ，满足1=23=-，a 与的夹角为60°，则 14．已知13,0,0=+>>y x y x ，则yx 311+的最小值是 15. 在一次数学考试中，共有12道选择题，每题5分，某同学做对每道题的概率都是0.8，随机变量X表示这位同学的选择题总分，则X 的方差D(X)等于 16. 给出下列命题： ①函数)2732cos(π+=x y 是奇函数；②存在实数x ，使得23cos sin =+x x ； ③函数)523sin(xy -=π的最小正周期为5π； ④若βα,为第一象限角，且βα>，则βαt an t an >； ⑤函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，得到)42sin(π+=x y 的图象．其中正确命题的序号是 _____(把你认为正确的序号都填上)． 三、解答题:（解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）。
17.（本小题12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，3645,222==+a S a . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22nn na b -=，数列{}n b 的前n 项和为T n 。
是否存在整数m ，使n T m <对n N *∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由。
18．（本小题满分13分）我市农科所研究出一种新的小麦品种，为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取了10株小麦苗，量出它们的株高如下（单位：厘米）：（1）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中小麦的株高进行比较，写出两个统计结论；（2）从甲、乙两块试验田小麦苗株高在[30,40]中抽4株，记在乙试验田中取得的小麦苗株数为ξ，求ξ的分布列和数学期望ξE .（结果保留分数）19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=.（1）求证：BD PC ⊥；（2）求二面角A PC B --的余弦值．20． 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且过点)22,2(-P ，F 为抛物线C 的焦点. (1)求抛物线C 的方程与准线方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有?0<∙若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21.已知函数)(x f ＝x x ln（1）求曲线)(x f y =在e x =处的切线方程；（2） 若函数)()(x f e x g =，求函数)(x g y =的单调区间； （3） 设0>x ，求证：12)1(->+x e x g 。
22. 已知11)(-++=x x x f ，不等式4)(<x f 的解集为M . （1）求集合M ；（2）当a ，b ∈M 时，证明不等式 2|a ＋b|<|4＋ab |.数学（理科）试卷参考答案13.214. 4 15.48 16. ①③ 17.解：（1）因为3645,222==+a S a .所以11,2==a d ，所以21=-n a n … …. 4F （2）……….6F 两式相减，得：……………………………………………………8F………………………………………………10F，是递减数列，由题意，只需，又故，存在整数符合题意，其最小值为0 ……………………………….12F18.解：（Ⅰ）画出的茎叶图如右所示． 根据茎叶图可得统计结论如下：结论一：甲试验小麦苗的平均珠高度小于乙试验田小麦苗的平均珠高．结论二：甲试验田小麦苗比乙试验田小麦苗长得整齐． ………………………………6F（Ⅱ）ξ的取值为0，1．44451(0)5C P C ξ===，1314454(1)5C C P C ξ===，∴ ξ的分布列：………………………………………………………11F14401555E ξ=⨯+⨯=. ………………………………………………………………………………12F19.证明：(I) 因为ABC ∆是正三角形，M 是AC 中点， 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥又因为PA ABCD ⊥平面，BD ⊂平面ABCD ，PA BD ⊥又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC又PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥ 4F （Ⅱ）因为90BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，所以AB AD ⊥，分别以,AB AD AP , 为x 轴, y 轴, z 轴建立如图的空间直角坐标系，所以(4,0,0),(0,0,4)B C D P …………… 6F可知，(4,DB =为平面PAC 的法向量 ……………8F 4)PC =-，(4,0,4)PB =-设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =,则0n PC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即240440x z x z ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，令3,z =则平面PBC 的一个法向量为(3,3,3)n = ……………10F 设二面角A PC B --的大小为θ， 则7cos n DB n DBθ⋅==⋅ ……………12F 20.解 (1)设抛物线C 的方程为y=2px （p>0）代人点P)22,2(-得p=2所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．……3F 准线方程为x=1...............................................4F (2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，………6F 于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .① 又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)， FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.②………………8F又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1<0，yx⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④……………………………10F对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．………………………………………….12F21.解(1) 由 f ′(x )＝ ln x ＋1，得f ′(e )=2，又f (e ) = e ，所以所求切线方程是)(2e x e y -=-即02=--e y x 。