九年级数学下册(北师大版)2.4.1《二次函数的应用》课件

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2.4 二次函数的应用第1课时课件(共14张PPT) 初中数学北师版九年级下册

问题4.当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
不正确.
问题5.如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值. 当x=18时，S有最大值是378.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
归纳总结：二次函数解决几何面积最值问题的方法
1. 建：分析题目，建立二次函数模型，求出函数解析式； 2. 求：求出自变量的取值范围； 3. 最：配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 4. 检：检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自
设垂直于墙的边长为x m,则另一边为（60-2x） m
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题3.面积S的函数关系式是什么？
x
x
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
60-2x
问题4.如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5.如何求最值？
最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
学习目标
自主学习
合作探究
当堂检测
课堂总结
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
合作探究
当堂检测
课堂总结
问题解决：
s
解:根据题意得 S=l(30-l),
即 S=-l 2+30l (0<l<30).

北师大版九年级数学下册二次函数的应用(课件)

随堂练习
5.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元 /kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%, 运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为 6元才不会亏本; (2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为 9元时,每天获得的利润w最大.
∵-5000＜0 ∴抛物线有最高点，函数有最大值．当销售单价为 12 元时,可以获得最大利润,最大利润是 20000 元.
探究新知
例2.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
销售额可表示为: x(70000-5000x)=70000x-5000x2 元;
(70000x-5000x2)-10(70000-5000x)
所获利润可表示为: ＝-5000x2+120000x-700000
元;
探究新知
y＝-5000x2+120000x-700000 =-5000(x- 12)2+20000.
随堂练习
4.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时每天能卖出20件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1件，为了获得最大利润，决定降价x元，则单件的利润为 _(_3_0_-x_)_元，每日的销售量为__(2_0_+__x)_件，则每日的利润y(元)关于 x(元)的函数关系式是y=_-_x_2+__1_0_x+__6_0_0 (不要求写自变量的取值范围)，所以每件降价_5__元时，每日获得的最大利润为_6_2_5_元．

九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.4《二次函数的应用(第三课时)》课件

知2－讲
导引：由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x，即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

北师大版九年级下册第二章《二次函数》2.4二次函数的应用(共19张PPT)

A
B
40m
在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不
M C
H
30m
变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎么知道的？
DG P┐
A
B
N
40m
30m 30m
M
D
C
┐
A
40Bm
MC
H
D
B
N P┐ G A
N
40m
AB 20cm, AD 15cm ymax 300cm2
AD 25cm, AB 12cm ymax 300cm2
1、建立二次函数模型； 2、求出自变量的取值范围； 3、求解顶点坐标； 4、检验作答。
如图,在一个直角三角形的内部作
一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在 M
两直角边上.
(1) 设矩形的一边AB=xm,那么AD D
C
30m
边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值 ┐
N
时,y的值最大?最大值是多少?
方法 ,通过基本技术学习知和道裁,一判实个践人,长使得学丑生陋具,备组织一般性比赛的能被人们嘲笑时,
xx
y
“二次函数应用” 的思路
解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.运用数学知识求解; 5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.北师大版九年级下册第二章《 Nhomakorabea次函数》
学习目标
❖ 1、经历探索实际问题中最大面积等问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，感受数学的应用价值。

2.4.1北师大版九年级数学下册课件第二章第四节二次函数的应用第一课时最大面积

+300
(或用公式：当 x=
-
b 2a=25
时，y
最大值=300)
∵- 2152<0 ∴ 当 x = 25m 时，y 的值最大，最大面积为 300m2
如果设AB=xm,BC如何表示，最大面积是多少？（随堂练习）
第11页，共26页。
变式练习4：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、 G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?
((12))求当Sx取与何x的值函时数所关围系成式的及花自圃变面量积的最取大值，范最围大；值是多S少=-？4x2+24x (3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .
24-4x≤8 (3)由题知24-4x>0 解得 4≤x<6
A
D
x>0
∵-4<0 且对称轴是直线 x=3
B
C
∴当 4≤x<6 时，y 随 x 增大而减少
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式，t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63
即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
D
C
Q
2t cm
A t cm
解:(1)S=x(80-2x)= -2x2+80x
A
D
80-2x≤50
xm
xm
由题知80-2x≥40 解得 15≤x<40

二次函数的应用ppt课件

∴Q的坐标为(4,0);∠GCF=90°不存在,
综上所述,点Q的坐标为(4,0)或(9,0).
2.4
二次函数的应用(2)
北师大版九年级数学下册
目
录
00 名师导学
01 基础巩固
02 能力提升
C O N TA N T S
数学
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◆ 名师导学 ◆
知识点最大利润问题
(一)这类问题反映的是销售额与单价、销售量以及利润与每
(3)存在.∵y= x +2x+1= (x+3) -2,∴P(-3,-2),
3
3
∴PF=yF-yP=3,CF=xF-xC=3,
∴PF=CF,∴∠PCF=45°.
同理,可得∠EAF=45°,∴∠PCF=∠EAF,
∴在直线AC上存在满足条件的点Q.
设Q(t,1)且AB=9 2,AC=6,CP=3 2.
∵以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似,
数学
返回目录
①当△CPQ∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=-4,∴Q(-4,1);

6
9 2
②当△CQP∽△ABC时,
+6 3 2
∴ = ,∴ = ,∴t=3,∴Q(3,1).
9 2
6
综上所述,在直线AC上存在点Q,使得以C,P,Q为顶点的三角形
数学
返回目录
◆ 基础巩固◆
一、选择题
1.在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为 x(0<x<1)的小
正方形,如果设剩余部分的面积为y,那么y关于x的函数表达式
B
为
(
)
2
2

北师大版九年级下册数学2.4二次函数在几何方面的应用(共17张PPT)

y 22x4
已知3点，关系式一般设为： ∴B（2,0），C（0,4），OC=4,OB=2
2x 设P 下面我们一一来解决这些问题。 X, 22x4则OD=X,BD=2-X
如图，直线
PD= 2x2x4 与x轴、y轴分别交于点A、B，经过A、B的2抛物线与x轴的另一个交点为C（1,0）
1 1 （3）在线段AB上是否存在点Q，使以A、C、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。
此题三个小题，每一小题都可单独成题。那么，解决每一小题都需要哪些知识点？解决思路是什么？下面我们一一来解决这些问题。
求抛物线的关系式，每组选派代表讲解
1.已知二次函数 yax2bxc 与x轴交于
（1，0），（3,0），与y轴交于（0,3），
求抛物线关系式。
解：把（1，0），（3,0），（0,3）代入
∴ Sss PDOCOD BDPD 1 2
2 2 二次函数中直角三角形、等腰三角形
x 相似三角形存在问题解题思路 2 24x4,(0x2)
s 顶点对式，列称二元方轴程组x；=1满足0<x<2,∴当x=1时， max 6
此时，P（1,4）此题三个小题，每一小题都可单独成题。
二次函数中求面积、线段最值问题的思路
如图,点P为第一象限内抛物线 y2x22x4
上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的
最大值 .
1.自行自考：
P
（1）解决此题你有几种方法？
（2）你的解题步骤是什么？
2. 小组讨论：二次函数中求面积、
线段最值问题的思路。
D
已知二次函数
解与x轴：交于过点P作PD⊥x轴交x轴于点D，

九年级下册数学(北师大)课件：2.4 二次函数的应用(1)

(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
解：(1)由 AE＝2BE，设 BE＝a，则 AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝－14x＋10，2a＝－12x＋20，∴y＝(－12x＋20)·x＋(－14x＋10)·x＝－34x2 ＋30x，∵a＝－14x＋10>0，∴x<40，∴y＝－34x2＋30x(0<x<40)
A. 3 cm2
3 B.2
3
cm2
C.92 3 cm2 D.227 3 cm2
9．(2015·温州)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为__75__m2.
4．某村计划修一条水渠，横断面是等腰梯形，即：AD∥BC，AB ＝CD，∠B＝∠C＝120°，两腰与底 BC 的和为 4 m，则梯形的最大面积是( D )
A．4 3 m2 B．9 m2 C．3 m2 D.4 33 m2 5．用长为 8 m 的铝合金制作如图所示的矩形窗户，若要使窗户的透光面积最大(不计中间横档的宽)，那么这个窗户的最大透光面积是 ____83_m__2 _____．
(2)设总费用为 W，易得菱形 ABCD 面积为 8 3米 2，W＝20(－ 3
x2＋4 3x)＋40[8 3－(－ 3x2＋4 3x)]＝20 3x2－80 3x＋320 3＝
20 3(x－2)2＋240 3，∵0<x<4，∴x＝2 时，W 最小＝240 3
11．如图，已知△ABC是一个等腰三角形铁板余料，其中AB＝
AC＝20 cm，BC＝24 cm，若在△ABC上截出一个矩形零件DEFG，

最新北师大版九年级下册数学精品课件-2.4 二次函数的应用第1课时二次函数的应用(1)

(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
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解：(1)y＝30－2x(6≤x＜15) (2)设面积为 S，则 S＝x(30－2x)＝－ 2x2＋30x，当 x＝－2ba＝7.5(米)时，S 最大＝112.5(平方米) (3)6≤x≤11
(1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)
(2)当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大？最大面积是多少？解：(1)S＝－12x2＋20x (2)当 x＝20 时，S 最大＝200(cm2)
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9．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是( B) A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
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知识点 2：二次函数的几何应用
3．.如图，用长 8 m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积
最大，那么这个窗户的最大透光面积是( C )
64 A.25
m2
4 B.3
m2
C.83 m2 D．4 m2 4．二次函数y＝x2－8x＋15的图象与x轴相交于L，M两点，N点在该函数的图象上运动，能使△LMN的面积等于2的点N共有(C ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
A．16490米
B.147米 C．16470米 D.145米

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15 7 x x 4
7 2 (x 15 14
2
)
x 2
.
2

x
2
15 2
x
)
225 56
或用公式 : 当x
b 2a

15 14
1.07时, s 最大值
4a b 4a
2

225 56
4.02.
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.
8 x m
.
即
y
8x x m
.
⑵当m=8时，y
8x x 8 1
8
2
,
2
化成顶点式:y x 4
12 m
2.
∴当x=4时，y的值最大，最大值是2. ⑶由 y
2
，及 y
8x x m
2
得关于x的方程:
，得 x1 2，x2 6. ∵△DEF中∠FED是直角， ∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时,Rt△BFE≌Rt△CED，
下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑
线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光
线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多
少?
解析：
由 4 y 7 x x 15. 得 y
窗户面积 S 2 xy
7 2
15 7 x x 4 .
x 2
2
2 x(
1．用6米长的木料做成“目”字形的框架，设框架ห้องสมุดไป่ตู้宽为x米，
框架的面积为S平方米，当x = 平方米．米时，S最大？S最大=
2．如图，矩形ABCD中，AB = 3，BC = 1，点E、F、G、H
分别在AB、BC、CD、DA上，设EB = BF = GD = DH = x，则四边形EFGH的最大面积为
D
H A E G
.
C F B
2．如图，△ABC中，BC = 4 cm，AC = 2cm，∠C = 60°．在 BC边上有一动点P，过P作PD∥AB交AC于点D，问：点P在何处时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
A
D
B
P
C
“最大面积” 问题解决的基本思路: 1.阅读题目，理解问题. 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系. 3.用数量的关系式表示出它们之间的关系. 4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
（3）若 y
，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
【解析】 ⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°， ∴在Rt△BFE中， ∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠BFE， ∴Rt△BFE∽Rt△CED， ∴
BF CE BE CD
， ∴
2
y x

第二章
二次函数
第4节二次函数的应用(1)
1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学
模型思想和数学知识的应用价值． 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函
数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大
(小)值． 3. 积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．
二次函数的最值求法
二次函数 y ax bx （ c a 0)
2
①当a>0时, y有最小值＝ ②当a<0时, y有最大值＝
4 ac b 4a
2
.
2
4 ac b 4a
.
【引例】
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其
中AB和AD分别在两直角边上. M (1)设矩形的一边AB=xm, 那么AD边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为ym2,当 x取何值时,y的值最大？最大值
5.检验结果的合理性.
当堂达标
E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE， EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
12 m
1．如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，
【规律方法】先将实际问题转化为数学问题，再将
所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑
其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
布置作业
课本 P47 习题第2题.
失败是坚韧的最后考验. ——俾斯麦
【解析】（1）依题意得：y=(40-2x)x． ∴y=-2x2+40x．
x的取值范围是0< x <20．
（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．
即x2-20x+105=0．
∵ a=1，b=-20，c=105， ∴ ( 20) 2 4 1 105 0, ∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．
2a
300 .
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩ABCD，
其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上．（1）设矩形的一边BC=xm，
那么AB边的长度如何表示？
M B
30 A m
C
（2）设矩形的面积为y m2，
当x取何值，y的最大值是多少?
O D 40m
N
【例题讲解】
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,
30m
D ┐ A
C
40m
B
N
是多少?
解析：
1 设 bm, 易得b
3 4 x 30.
2 y xb x(
3 4
3 4
x 30)
2
3 4
x 30 x
2
x 20
b
300 .
20时 , y 最大值 4 ac b 4a
2
或用公式 :当x
x 8 x 12 0
∴当EC=2时， m=CD=BE=6; 当EC=6时, m=CD=BE=2. 即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.
2.如图，阴平中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆
围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其
余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围. （2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．