数学建模 排队论共24页
数学建模排队论模型
可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为μλ的负指数分布。
(2)顾客在系统中的平均逗留时间
1
则顾客在系统中的平均等待时间
q1 1()
Little公式
L与, Lq 是衡,量q 排队系统质量的很重要的效率度量
上式称为LittleL 公 式。 L qq
表明系统中的顾客数，等于一个顾客在系
统时间L内来到的新的顾客数；
（三）Poisson流与指数分布
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流 (事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台 的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间 内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表 示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
p N ( t ) p N 1 ( t ) p N ( t )
即 满Pn (足t) 微分方程
pn (t)pn 1(t)( )pn(t)pn 1(t) p 0 (t) p 0(t)p 1(t) pN (t)pN 1(t)pN (t)
n1 ,2 , ,N 1
在稳态情况下， pn ，pn(t) ，pn则(t)0
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
最简单流应 x(t):t具0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0 t1 t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
数学建模--排队论
B表示顾客源的数目；C表示服务规则；
课件
13
M /M /1/ / /FCFS
表示了一个顾客的到达时间间隔服从相同的负指数分布， 服务时间为负指数分布、单个服务台、 系统容量为无限、 顾客量无限、排队规则为先来先服务的排队模型。
课件
14
四、排队系统的主要数量指标和记号
1、队长和排队长 2、等待时间和逗留时间 3、忙期和闲期
排队论（Queueing Theory）
现实生活中的实例：
进餐馆就餐 到图书馆借书 去售票处购票 在车站等车等等
课件
2
一、排队系统的特征及排队论：
顾客为了得到某中服务而到达系统，若不能获得服 务而允许排队等待，则加入等待队伍，待获得服务后离 开系统。
课件
3
排队的形式：
顾客到达
队列
服务台
服务完成后离去
记
,
并设
1,
n 则：Cn
n1,2,
pnnp0
n1,2,
课件
22
其中：
p0
1
1
n
1
n
n0
1
n1
因此： p n(1)n
n0 ,1 ,
课件
23
②几个主要数量指标
平均队长：
Ln 0nnp n 0n (1)n1
平均排队长：
Lq (n1)pn L(1p0)L n1
2 2 1 ()
课件
24
关于顾客在系统中的逗留时间T，说明服从参数
的负指数分布，P T t e ( ) t
t 0
因此，平均逗留时间W为：
WE(T) 1
顾客在系统中逗留时间为等待时间和接受服务时间之和：
数学建模排队论
数学建模排队论
排队论是一种数学理论，它研究的是人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
在排队论中，数学建模被广泛应用于分析和优化这些系统的性能和效率。
排队系统的基本构成包括到达过程、服务过程和队列规则。
到达过程指的是顾客或流量进入系统的过程，它可以用概率分布来描述。
服务过程指的是系统为每个顾客提供服务的时间，同样也可以用概率分布来描述。
队列规则则规定了顾客在等待队列中的顺序以及他们被服务的顺序。
在排队系统中，我们通常关注两个主要的性能指标：平均等待时间和平均队列长度。
平均等待时间指的是顾客在进入系统后需要等待多长时间才能接受服务的时间平均值，而平均队列长度则指的是在某个时间点等待服务的顾客数量的平均值。
为了分析和优化排队系统的性能，我们可以使用数学模型进行建模。
其中最常用的模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等。
这些模型分别描述了不同的到达过程、服务过程和队列规则，并且可以计算出各种性能指标。
例如，M/M/1模型表示到达过程和服务过程都是泊松分布，并且只有一个服务窗口。
在这种情况下，我们可以使用该模型计算出平均等待时间和平均队列长度，并比较不同服务率下的性能指标。
M/M/c模型则表示到达过程和服务过程都是泊松分布，但是有c个服
务窗口。
在这种情况下，我们可以研究如何合理分配服务窗口的数量以优化系统的性能。
数学建模排队论是一种非常有用的工具，它可以用来分析和优化人们排队等待服务或交通等系统的行为模式。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解这些系统的性能和效率，从而为实际应用提供指导。
【数学建模】排队论讲义
设 T X1 X 2 ，则TX的k 密度函数为
bk (t)
k (kt)k 1
(k 1)!
e k t
,
t 0
1
1
E(T ) ,
D(T ) k 2
如k个服务台串联（k个服务阶段）， 一个顾客接受k个服务共需的服务时间T， T 爱尔朗分布。
‹# ›
1.2 随机过程的有关概念
随机过程(Random process)的定义
1.2 随机过程的有关概念
随机过程的基本类型
二阶矩过本程节内容结束
平稳过程 平稳独立增量过程 常见随机过程 马尔可夫过程？ Poisson过程？ 生灭过程？
马尔可夫过程 离散
马尔可夫链
• 定义对：任意{非X负(整n数),若n 满足0,如1,下2,性...质，}：只要
就有
t1 t2
{X“(n将)} 来”的情况与“过去”无关，
只是通过“现在”与“过去”发生联系，若 “现在”已知，“将来”与“过去”无关。
‹# ›
时齐的马氏链：马氏链{X (n),n 0,1,2,...}
若满足P：{X nm j X n i} Pij (m)
则称{X (n),n 0,1,2,...}
为时齐马尔
排队论
一.概率论及随机过程回顾 二.排队论的基本知识 三.单服务台负指数分布排队系统分析 四.多服务台负指数分布排队系统分析 五.一般服务时间M/G/1模型分析 六.经济分析___排队系统的最优化
一、概率论及随机过程回顾
1.1、随机变量与概率分布
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 概率分布和概率分布图 • 数学期望和方差 • 常见离散型随机变量的概率分布 • 二点分布? • 二项式分布? • Poisson分布?
数学建模.排队论讲解
P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
数模排队理论最全PPT资料
排队系统的运行指标
– 队长L系，即系统内顾客数的数学期望。 – 排队长L队，系统内排队顾客数的数学期望。 – 逗留时间W系，顾客在系统内逗留时间的数学期望。 – 排队时间W队，系统内顾客排队等待效劳时间的数学期望。这里
• 排队论的应用： • 广泛用于解决 局的通信线路的占线问题； • 车站、码头、机场等交通的枢纽的堵塞和疏导； • 故障机器的停机待修； • 水库的储存调节等有形无形的排队现象的问题。 • 本章内容 • 排队论的根本知识； • 常见的排队模型； • 讨论排队论系统的经济分析与最优化问题。
排队论的根本概念
数模排队理论
排队论的根本概念
• 在现实世界中，经常会发生为了获得某种效劳而 排队的现象
• 顾客到商店去买东西 • 病人到医院去看病 • 汽车去加油站加油 • 旅客到车站购票 • 当要求效劳的对象的数量超过效劳机构的容量就
会出现排队现象。 • 出现排队现象的原因：顾客到达人数和效劳时间
队模型算法
• 多通道损失制系统
• 模型：设系统内有n个效劳员，顾客来到效劳系统 时如果效劳员正在忙，顾客不能立即得到效劳， 那么顾客离去，另求效劳。
• 多通道损失制系统的各项效率指标：
• 损失概率P损，其中ρ＝λ/μ, λ为单位时间来的顾客
数即顾客流强度，μ为单位时间内一个效劳台效劳
的顾客数即效劳台能力．
• 问题的解决： • 增加效劳设施能减少排队现象，但这样势
必增加投资且可能出现因供大于求而使得 设施经常闲置、导致浪费，这通常不是一 个最经济的解决问题的方法。 • 作为管理人员来说，研究排队问题就是把 排对的时间控制在一定的限度内，在效劳 质量的提高和本钱的降低之间取得平衡， 找到最适当的解。
核酸检测排队问题数学建模
核酸检测排队问题数学建模核酸检测排队问题是一个典型的排队论问题。
排队论是数学的一个分支，主要研究排队等待和系统服务的问题。
以下是一个简单的数学模型来描述这个问题：1. 模型假设：假设核酸检测点只有一个，即只有一个服务台。
到达过程服从泊松分布，即每单位时间到达的人数是一个随机变量，且这个随机变量服从泊松分布。
服务时间服从指数分布，即每个人接受核酸检测所需的时间是一个随机变量，且这个随机变量服从指数分布。
2. 排队系统的表示：M/M/1表示：到达过程是泊松分布（M表示"Markovian"，即到达是相互独立的），服务时间也是指数分布（第二个M表示"Markovian"），并且只有一个服务台（1）。
3. 系统状态：系统状态可以用一个非负整数n 来表示，表示当前排队等待的人数。
4. 系统平衡方程：系统的平衡方程组为：P(0) = ρP(1) + (1 - ρ)P(0)其中 P(n) 表示系统中有 n 个人在等待的概率，ρ 是平均到达率与平均服务率之比。
5. 求解平衡方程：求解平衡方程可以得到 P(0), P(1), P(2), ... 等。
6. 性能指标：系统通常关注的性能指标包括：平均排队长度、平均等待时间、平均忙期等。
这些都可以通过求解平衡方程得到。
7. 扩展模型：如果考虑多个核酸检测点（服务台），则模型变为 M/M/c，其中 c 是服务台的数量。
如果考虑到达率和服务率随时间变化的情况，则模型会更复杂。
8. 实际应用：根据这个模型，可以预测在某个时间段内需要多少个核酸检测点来满足需求，或者预测某个时间段内的平均排队长度等。
这个模型提供了一个基本的框架来描述核酸检测排队问题，但实际情况可能更复杂，需要考虑更多的因素。
数学建模排队论模型
数学建模排队论模型排队论模型是一种数学建模方法，用于研究排队系统中的等待时间、服务效率和资源利用率等问题。
排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
本文将介绍排队论模型的基本概念和应用。
一、排队论模型的基本概念排队论模型的基本概念包括：顾客到达率、服务率、队列长度、等待时间、系统利用率等。
顾客到达率是指单位时间内到达系统的顾客数量，通常用λ表示。
服务率是指单位时间内一个服务员能够完成服务的顾客数量，通常用μ表示。
队列长度是指系统中正在等待服务的顾客数量。
等待时间是指顾客在队列中等待服务的时间。
系统利用率是指系统中所有服务员的利用率之和。
排队论模型可以分为单队列模型和多队列模型。
单队列模型是指系统中只有一个队列，多个服务员依次为顾客提供服务。
多队列模型是指系统中有多个队列，每个队列对应一个服务员，顾客可以选择任意一个队列等待服务。
二、排队论模型的应用排队论模型可以应用于各种领域，如交通运输、医疗服务、银行业务等。
下面以银行业务为例，介绍排队论模型的应用。
在银行业务中，顾客到达率和服务率是两个重要的参数。
顾客到达率受到银行营业时间、银行位置、顾客数量等因素的影响。
服务率受到银行服务员数量、服务质量、服务时间等因素的影响。
为了提高银行的服务效率和资源利用率，可以采用排队论模型进行优化。
首先需要确定银行的顾客到达率和服务率，然后根据排队论模型计算出等待时间、队列长度、系统利用率等指标。
根据这些指标，可以制定相应的服务策略，如增加服务员数量、优化服务流程、提高服务质量等。
例如，如果银行的顾客到达率较高，服务员数量较少，导致顾客等待时间较长，可以考虑增加服务员数量或优化服务流程，以缩短顾客等待时间。
如果银行的服务率较低，导致服务员利用率较低，可以考虑提高服务质量或增加服务时间，以提高服务员利用率。
三、排队论模型的局限性排队论模型虽然可以应用于各种领域，但也存在一些局限性。
首先，排队论模型假设顾客到达率和服务率是稳定的，但实际情况中这些参数可能会发生变化。
排队论模型PPT课件
0 0 0
顾客离去
10%
(
调试 0 检验
)
90
%
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(5)匹配排队模型
煤矿 火车 煤仓
汽车(或火车)
港口
轮船
另外还有
(6)优先权的排队系统 (7)成批排队模型 (8)有限源排队模型
我们讨论(1)(2)两种
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（三）、建立排队模型步骤 1.确定表达排队问题各个变量并建立它们之间的相互
时解，一般这种瞬时解是难以求得的
第14页/共40页
3.统计平衡下的极限解
实际应用中，关心的是t 时，方程的解称
为
生
灭
lim t
过程微
pn(t) pn
分由p差n' (t)分 0方
程
组
的
极
限
解
。
令
及(9.1)(9.2)式得当S
为有n1限pn状1 态(n集 时n )，pn (9.n11)p式n1 变 0为
2.几种重要的排队模型 (1)单服务台系统
顾客到达
排队
00…00
服务台
(2)多服务台的平衡系统
顾客离去
顾客到达 排队 服务台
00…00
顾客离去
顾客离去 服务台
服务机构
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(3)串联排队系统
顾客到达 排队 00…00
0
0
顾客离去
M1
M2
…
Mn
0
(4)排队网络模型
顾客到达 排队 00…00
第2页/共40页
输入过程一样，服务时间都是随机的，且我们假设，设
n表示服务员为n个顾客提供服务所需的时间，则服务
数学建模-排队论及其应用)
ρ ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均 服务时间，—般有ρ =λ ／(sμ )，这是衡量排队 系统繁忙程度的重要尺度，当ρ 趋近于0时，表 明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说 是很大的。这时，等待时间一定很短，服务台 有大量的空闲时间；如服务强度ρ 趋近于1，那 么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。 我们一般都假定平均服务率μ 大于平均到达率 λ ，即λ /μ <1,否则排队的人数会越来越多， 以后总是保持这个假设而不再声明。
Wq W 1 0.75h 0.75h 45min
（4）为使病人平均逗留时间不超过半 小时，那么平均服务时间应减少多少？ 由于
1 1 W 2
代入λ =3，解得μ ≥5，平均服务时间 为：
1
1
5
h 12 min
15－12＝3min 即平均服务时间至少应减少3min
例1 某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊
故服务强度为：
60 3人 / h, 人 / h 4人 / h 15
3 0.75 4
（2）计算稳态概率：
P0 1 1 0.75 0.25
这就是急诊室空闲的概率，也是病人不 必等待立即就能就诊的概率。 而病人需要等待的概率则为：
(5)若医院希望候诊的病人90% 以上都能有 座位,则候诊室至少应安置多少座位? 设应该安置χ 个座位,加上急诊室的一 个座位,共有χ +1个。要使90% 以上的候诊 病人有座位，相当于使“来诊的病人数不 多于χ +1个”的概率不少于90%，即
P( N x 1) 1 P( N x 1) 0.9
(3)混合制
3．服务台
数学建模中的排队论问题
数学建模中的排队论问题数学建模是运用数学方法来解决实际问题的一种学科，而排队论则是数学建模中的一个重要问题。
排队论是研究人们在排队等待时所产生的等待时间、服务时间、队列长度等问题的数学理论。
在各个领域中，排队论都有广泛的应用，例如交通运输、生产调度、服务管理等。
排队论的基本概念包括顾客、服务台、队列、到达率、服务率等。
顾客是指等待服务的个体，可以是人、机器或其他物体。
服务台是为顾客提供服务的地方，可以是柜台、服务窗口或机器设备。
队列是顾客排队等待的区域。
到达率是指单位时间内到达队列的顾客数量。
服务率则是指单位时间内服务台完成服务的顾客数量。
排队论的目标是通过数学模型来分析和优化排队系统，以提高效率和服务质量。
常用的排队论模型有M/M/1, M/M/c, M/M/∞等，其中M表示到达率和服务率满足泊松分布，1表示一个服务台，c表示多个服务台，∞表示无穷多个服务台。
在现实生活中，排队论的应用非常广泛。
以交通运输为例，交通流量大的道路上常常出现拥堵现象。
排队论可以用来研究交通信号灯的时序控制，从而减少交通阻塞和等待时间。
排队论还可以应用于生产调度问题，如工厂的生产线、餐馆的点餐队列等，通过优化排队系统可以提高生产效率和顾客满意度。
除了基本的排队论模型，还有许多扩展模型用于解决更复杂的实际问题。
例如，考虑到顾客的不满意程度，可以引入优先级排队模型。
考虑到服务台设备可能发生故障，可以引入可靠性排队模型。
排队论也可以与优化算法相结合，寻找最佳的服务策略和资源配置。
在数学建模中，解决排队论问题通常需要进行数学推导、建立数学模型、进行仿真实验以及进行实际数据的拟合和验证。
通过数学建模的方法，可以对排队系统的性能进行全面评估，从而提出改进方案和决策策略。
综上所述，数学建模中的排队论问题在实际应用中具有重要的意义。
通过研究排队论，可以优化排队系统，提高效率和服务质量。
随着科技的进步和数据的丰富，排队论的研究将在各个领域中得到更广泛的应用和发展。
数学建模排队论
数学建模排队论
排队论是数学中的一个分支，主要研究排队系统的性质与特征。
排队系统是指存在一个或多个顾客到达某个服务设施，并等待服务的过程。
排队论的目标是通过数学方法研究这些系统的行为和性能，并提供优化方案。
排队论的主要研究内容包括：排队模型的建立、排队系统的性能度量、排队系统的稳定性与稳定条件、排队系统的解析解和数值解等。
排队模型通常包括顾客到达过程、服务设施的服务过程和排队规则等要素，用以描述各种不同类型的排队系统。
排队论的应用广泛，包括但不限于以下领域：
1. 交通流量分析：排队论可用于研究交通流量的稳定性和优化信号控制。
2. 队列管理：排队论可以应用于零售业、餐馆等地方的队列管理，用以提高服务效率和顾客满意度。
3. 通信网络：排队论可以用于分析数据包的排队和延迟问题，优化网络资源利用率。
4. 生产与制造：排队论可以用于分析生产线上的工人排队和设备故障等因素，优化生产效率。
5. 医疗系统：排队论可以应用于研究医院门诊和急诊的排队问题，优化资源分配和患者等待时间。
总之，排队论是一门重要的数学理论，通过研究排队系统的性能与优化方法，可以提高各种系统的效率和质量，对于实际问题的解决有着重要的应用价值。
数学建模 排队
（二）银行排队问题分析 银行排队问题作为排队系统， 其基本结构有四部分:输入过程 （顾客流量）、服务时间
（业务办理时间）、服务机构（服务窗口设置）和排队规则。 1. 顾客流量分析: 顾客流量是指单位时间内到银行办理业务的顾客数。顾客到达的方式通常是不 连续的，当然也有成批到达的，但总是有一定的规律。根据概率理论，顾客的到达 规律可以用概率来描述，即顾客的到达时间间隔符合一定的概率分布，通常假设为 相互独立且遵从同一概率分布的随机变量。在数学建模中常用的分布规律有：泊松 分布、爱尔朗分布、 等长分布。在排队系统中，泊松分布是应用最为广泛的，因为 服从泊松分布过程的到达被认为是随机到达，此时顾客在各个时刻到达的可能性相 同并与其它顾客的到达无关。 服从泊松分布要求满足 4 个条件为:平稳性、无后效性、普 通性、有限性。即： ①平稳性：在某一时间间隔内到达的顾客数概率只与这段时间的长度和顾客数有关； ②无后效性：不相交的时间区间内到达的顾客数是相互独立的； ③普通性：在同时间点上最多到达 1 个顾客，不存在同时到达 2 个以上顾客的情况； ④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限位顾客，不可能有无限个顾客到达。 可见，在银行的排队问题中，顾客流量基本满足泊松分布条件的，因此,在建立 这个模型时,我们假设顾客到达服从泊松分布。 实践也证明了这种假设的有效性; 泊 松分布函数为：
业的主体，已成为我们现代生活关系最密切的服务系统，银行业运作的效率越来越 成为我 们百姓关注的焦点。但是，目前去银行办事，大家最头疼的是排队问题。而各家银行为减少 排队等候时间也是八仙过海、招数频出，甚至将顾客等候时间列入银行相关管理人员的责任 考核指标。尽管这样，银行的排队问题依然没有很好解决。实际上，银行的排队问题绝不是 看上去的那么简单,它蕴涵了丰富的数学、运筹学、行为学、管理学等学科的知识理论。通 常情况下，银行的排队问题的决定因素有顾客数量，服务水平和服务窗口数量等，服务水平 可通过银行内部管理实现，顾客多，要增加服务窗口以减少排队等候时间就，就要增加投入， 而增加窗口有可能出现空闲，又浪费资源。因此，解决银行排队问题就是要尽可能地找到一 个平衡点，使三者达到最佳的平衡状态。