高三数学基础突破复习检测6

1.
如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )
A ．①②
B ．③④
C ．①②③
D ．①②④ 答案 D
解析 由弦切角定理知∠FBD ＝∠BAD ， ∵AD 平分∠BAC ，∠CBD ＝∠CAD ， ∴∠BAD ＝∠DBC .
∴∠FBD ＝∠CBD ，即BD 平分∠CBF ， ∴①正确；
由切割线定理知，②正确； 由相交弦定理知，AE ·ED ＝BE ·EC ， ∴③不正确；
∵△ABF ∽△BDF ，∴AB BD ＝AF
BF ， ∴AF ·BD ＝AB ·BF ，∴④正确．故选D.
2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积
＝________.
答案9
解析∵EB＝2AE，∴AB＝3AE，又△DFC∽△EF A，
∴S△CDF
S△AEF
＝
DC2
AE2＝
AB2
AE2＝9.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE 交BC于点D.
求证：△ABD∽△AEB.
证明因为AB＝AC，所以∠ABD＝∠C.
又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，
又∠BAE为公共角，可知△ABD∽△AEB.
4．如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．
(1)证明：EF∥BC；
(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF 的面积．
解(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．
又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.
从而EF∥BC.
(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．
连接OE，OM，则OE⊥AE.
由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．
因为AE＝23，所以AO＝4，OE＝2.
因为OM＝OE＝2，DM＝1
2MN＝3，所以OD＝1.
于是AD ＝5，AB ＝103
3.
所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2
×32＝1633.
5.
如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于E ，AD 垂直CD 于D ，BC 垂直CD 于C ，EF 垂直AB 于F ，连接AE ，BE .证明：
(1)∠FEB ＝∠CEB ； (2)EF 2＝AD ·BC .
证明 (1)由直线CD 与⊙O 相切，得∠CEB ＝∠EAB . 由AB 为⊙O 的直径，得AE ⊥EB ， 从而∠EAB ＋∠EBF ＝π
2.
又EF ⊥AB ，得∠FEB ＋∠EBF ＝π
2， 从而∠FEB ＝∠EAB .故∠FEB ＝∠CEB .
(2)由BC ⊥CE ，EF ⊥AB ，∠FEB ＝∠CEB ，BE 是公共边，得Rt △BCE ≌Rt △BFE ，所以BC ＝BF .
类似可证：Rt △ADE ≌Rt △AFE ，得AD ＝AF . 又在Rt △AEB 中，EF ⊥AB ， 故EF 2＝AF ·BF ，所以EF 2＝AD ·BC .。