北师大八年级证明2

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，,AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ；∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE ，∵∠ACB=∠DEB =90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BE BF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ，∴CF=EF ；∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵精品文档用心整理∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．资料来源于网络仅供免费交流使用。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题 (2)

1.1等腰三角形一、选择题1.已知等腰三角形的一边长为3cm，且它的周长为12cm，则它的底边长为（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 3cm或6cm2.下列能判定△ABC为等腰三角形的是（）A. ∠A=50°，∠B=40°B. ∠A=70°，∠B=40°C. AB=AC=4，BC=8D. AB=3，BC=8，周长为163.若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A. 50°B. 80°C. 65°或50°D. 50°或80°4.在平面直角坐标中，已知点A（2，1），O为坐标原点，在y轴上确定点P，使得△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 65.把16个边长为a的正方形拼在一起，如图，连接BC，CD，则△BCD是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 任意三角形6.如图，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD=20°，则∠CDE=（）A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°7.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠D=64°，AC=BC，则∠E的度数是（）A. 45°B. 26°C. 36°D. 64°8.等腰三角形的两个内角的比是1：2，则这个等腰三角形的顶角的度数是（）A. 72°B. 36°或90°C. 36°D. 45°9.若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（）A. 20或22B. 20C. 22D. 无法确定10.等腰三角形中有一内角等于80°，那么这个三角形的最小内角的度数为（）A. 50B. 20C. 40或50D. 20或5011.如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A. 45°B. 55°C. 60°D. 75°二、填空题12.已知等腰三角形的一边长等于4cm，另一边长等于9cm，则此三角形的周长为 ________cm．13.一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为：________．14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，P是△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC=________15.△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BC=6，则角平分线BD=________．16.在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为________．17.若△ABC为等腰三角形，顶角∠B=100°，则底角∠A=________．18.如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是________．19.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=84°，AB=AD=DC，则∠CAD=________三、解答题20.在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．21.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BD=BC，AD=DE=BE．求∠A的度数．22.如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．23.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O（1）求证：OB=OC；（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．参考答案1.A2.B3.D4.B5.B6.A7.B8.B9.A 10.D 11.C 12.22 13.50°或130°14.115°15.6 16.1或3 17.40°18.6个19.24°20.解：设三角形的腰AB=AC=x若AB+AD=24cm，∴x=16三角形的周长为24+30=54（cm）所以三边长分别为16cm，16cm，22cm；若AB+AD=30cm，∴x=20∵三角形的周长为24+30=54（cm）∴三边长分别为20cm，20cm，14cm；因此，三角形的三边长为16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．21.解：设∠A=x°，∵AD=DE=BE，∴∠ABD=∠BDE，∠A=∠AED，由三角形的外角性质得，∠AED=∠ABD+∠BDE=2∠ABD，∵BD=BC，∴C=∠BDC，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，在△ABC中，由三角形内角和定理得，x+解得x=45，所以，∠A=45°．22.证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．∵BD、CE分别是高，∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．∴∠CEB=∠BDC=90°．∴∠ECB=90°-∠ABC，∠DBC=90°-∠ACB．∴∠ECB=∠DBC （等量代换）． ∴FB=FC （等角对等边），在△ABF 和△ACF 中，∴△ABF ≌△ACF （SSS ），∴∠BAF=∠CAF （全等三角形对应角相等）， ∴AF 平分∠BAC ．23.（1）证明：∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB ，∵BD 、CE 是△ABC 的两条高线， ∴∠BEC=∠BDC=90° ∴△BEC ≌△CDB ∴∠DBC=∠ECB ， ∴OB=OC ；（2）∵∠ABC=50°，AB=AC ， ∴∠A=180°-2×50°=80°， ∴∠ABD=90°-80°=10°， ∴∠OBC=50°-10°=40°，∴∠BOC=180°-40°-40°=100°.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是A.这个方程是一元二次方程B.方2C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.5B.4C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..则菱形ABCD的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P，再随机摸出一张卡片，其数字记为q，则关于的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下:由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12 18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转 (1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元? (2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由. 20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明直角三角形(第2课时)

A
A'
证明:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,
B C B' C '
∴AC2=AB2-BC2(______________). 勾股定理
同理,A′C′2=A′B′2-B′C′2(_____________).
∵AB=A′B′,BC=B′C′,∴AC勾=股A′定C′理.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(_____).
课堂检测
拓广探索题
如图,有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC 的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和 △APQ全等？
解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm；
探究新知
例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=4,则下列
各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是 (
)
A
巩固练习
变式训练
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画
“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） AAS
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（）
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°. 再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB, 把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
探究新知
画图思路
N A
B
C

北师大版八年级上册7.1为什么要证明教案

五、教学反思
在上完这节课后，我有一些想法想和大家分享。首先，我发现同学们在理解证明的概念和意义方面存在一定难度。这让我意识到，在接下来的教学中，我需要更加注重引导学生从实际例子中感受证明的重要性，帮助他们建立起证明的直观认识。
其次，关于逻辑推理这个难点，我觉得通过分组讨论和实验操作的方式，同学们有了更深刻的体会。但在讲解过程中，我发现部分同学还是难以跟上节奏，可能是我讲解得不够细致，或者是举例不够贴近他们的生活实际。因此，我计划在下一节课中，尝试使用更多生动有趣的例子，让学生在轻松愉快的氛围中掌握逻辑推理的方法。
北师大版八年级上册7.1为什么要证明教案
一、教学内容
北师大版八年级上册7.1为什么要证明：本节课主要围绕证明的概念、意义和必要性展开，使学生理解证明在数学学习中的重要作用。内容包括：
1.证明的概念：通过实例让学生了解证明是什么，以及证明的基本结构。
2.证明的意义：讨论证明在数学中的价值，如确保结论的正确性、培养逻辑思维能力等。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与证明相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示证明过程的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“证明在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-证明的结构：介绍证明的基本结构，包括已知、求证、证明过程等，强调证明过程的逻辑性和条理性。
-证明方法：举例讲解教材中涉及的证明方法，如直接证明、反证法、归纳法等，并强调各种方法的应用场景。

北师大版初中数学八年级(上)备课资料7-1 为什么要证明

第七章平行线的证明1为什么要证明典型例题题型一实验验证结论例1观察，再验证.(1)图1①中黑色的边是直的还是弯曲的？(2)图1②中两条线段a与b，哪一条更长？①②图1分析：先观察得出结论，再实验验证.解：对于(1)题，直接观察图1①可能得出结论：黑色的边是弯曲的.但实际上，黑色的边是直的.对于(2)题，直接观察图1②可能得出结论：线段b比线段a短.但实际上，这两条线段同样长.点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证.例2在学习中，小明发现：当n＝1，2，3时，n2-6n的值都是负数.于是小明猜想：当n 为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由.分析：因为n2-6n＝n(n-6)，所以只要n≥6，该式子的值都表示非负数，所以猜想不正确.解：(方法1：利用反例证明)不正确.理由：例如当n＝7时，n2-6n＝7>0.(方法2)不正确.理由：n2-6n＝n(n-6)，当n≥6时，n2-6n≥0.特别提示：通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面，而要全面考虑问题.题型二推理的应用1.图形中的推理例3如图2所示，一根细长的绳子，沿中间对折，再沿对折后的中间对折，这样连续沿中间对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间将绳子全部剪断，此时细绳被剪成段.图2点拨：从简单、特殊的情况入手，运用比较、归纳的方法，探究内在的规律.2.数学式子中的推理例4观察下列关于自然数的等式：①1×7+2×9＝52；②2×8+2×10＝62；③3×9+2×11＝72；…根据上述规律解决下列问题：(1)完成第4个等式；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.解题关键：观察等式左右两边的数字变化情况，找出每个式子与序号之间的关系.解：(1)根据题意得，第4个等式为4×10+2×12＝82.(2)猜想的第n个等式为n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.验证：左边＝n(n+6)+2(n+8)＝n2+6n+2n+16＝n2+8n+42＝(n+4)2＝右边，所以n(n+6)+2(n+8)＝(n+4)2.3.假设论证例5甲、乙、丙、丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色.在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色的.”乙说：“丙的车是红色的.”丙说：“丁的车不是蓝色的.”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是()A.甲的车是白色的，乙的车是银色的B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的D.丁的车是银色的，甲的车是红色的解析：∵丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，假设乙的车是红色的，∴乙说的是实话，∴丙的车也是红色的，和只有一个人的车是红色的矛盾.假设丙的车是红色的，∴丙说的是实话，而乙说“丙的车是红色的”，∴乙说的是实话，∴有两人说的是实话，与只有一个人说的是实话矛盾，∴只有甲的车是红色的.∴甲说的是实话，丙说的不是实话.∵丙说：“丁的车不是蓝色的”，∴丁的车是蓝色的，∴乙和丙的车一个是白色的，一个是银色的.∵甲说：“乙的车不是白色”，且甲说的是实话，∴丙的车是白色的，乙的车是银色的.综上，甲的车是红色的，乙的车是银色的，丙的车是白色的，丁的车是蓝色的.答案：C4.推理论证例6某球赛小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛(每两队赛一场)，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是()A.甲B.甲与丁C.丙D.丙与丁解析：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分为5分，1胜2平，丙得分为3分，1胜0平，丁得分为1分，0胜1平.∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平.∵丙得3分，1胜0平，乙得5分，1胜2平，∴与乙打平的球队是甲与丁.答案：B拓展资源哥德巴赫猜想两百多年前，彼得堡科学院院士哥德巴赫曾研究过“将一个数表示成几个素数的和”的问题，他取了很多数做试验，想把它们分解成几个素数的和，结果得到一个断语：“总可将任何一个数分解成不超过三个素数之和.”但是哥德巴赫不能证明这个问题，甚至连如何证明的方法也没有，于是他写信给另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉，他在1742年6月7日的信中写道：“我想冒险发表下列假定‘大于5的任何数都是三个素数的和’.”这就是后来举世闻名的哥德巴赫猜想.同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说：“我认为‘每一个偶数都是两个素数之和’，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的.”这两个数学家的通信内容传播出来之后，人们就称这个猜想为哥德巴赫猜想或者哥德巴赫-欧拉猜想.完整地说，哥德巴赫猜想是：大于1的任何数都是三个素数的和.后来，人们把它归纳为：命题A：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题B：每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和.人们在研究命题A的过程中，开始引进了“殆素数”的概念.所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的和不同的)的个数不超过某一固定常数的自然数.我们知道，除1以外，任何一个正整数，一定能表示成若干素数的乘积，其中每一个素数，都叫做这个正整数的素因子.相同的素因子要重复计算，它有多少素因子是一个确定的数.例如，从25~30这六个数中，25＝5×5有2个素因子，26＝2×13有2个素因子，27＝3×3×3有3个素因子，28＝2×2×7有3个素因子，29是素数有1个素因子，30＝2×3×5有3个素因子.于是可说25，26，29是素因子不超过2的殆素数，27，28，30是素因子不超过3的殆素数.用殆素数的新概念，可以提出命题D来接近命题A.命题D：每一个充分大的偶数，都是素因子的个数不超过m与n的两个殆素数之和.这个命题简化为“m+n”.这样，哥德巴赫猜想的最后证明的方向就更明朗化了：如果能证明，凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个素数加上两个素数相乘，或者表示成一个素数加上一个素数，就算证明了“1+2”.当然如果能证明“1+1”就基本上证明了命题A，也就基本解决了哥德巴赫猜想了.1920年，挪威数学家布朗证明了“9+9”.1924年，德国数学家拉代马哈证明了“7+7”.1932年，英国数学家埃斯特曼证明了“6+6”.1938年，苏联数学家布赫雪托布证明了“5+5”.1938年，中国数学家华罗庚证明了几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即几乎所有偶数“1+1”成立.1940年，苏联数学家布赫雪托布证明了“4+4”.1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一个很大的自然数.1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，稍后证明了“3+3”和“2+3”.1956年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“3+3”.1957年，中国数学家王元又证明了“2+3”.1962年，中国年轻数学家潘承桐证明了“1+5”，这是证明了相加的两个数中，有一个肯定是素数的成果，而另一个殆素数的因子小到不超过5.1962年，苏联数学家巴尔巴恩也证明了”1+5”.1963年，中国数学家王元、潘承桐及苏联数学家巴尔巴恩分别证明了“1+4”.1965年，维诺格拉多夫、布赫雪托布证明了“1+3”.1965年，意大利数学家朋比尼也证明了“1+3”.1966年，中国数学家陈景润宣布证明了“1+2”.。

北师大版八年级上册数学第27讲《命题、证明及平行线的判定定理》知识点梳理

北师大版八年级上册数学第 27 讲《命题、证明及平行线的判定定理》知识点梳理【学习目标】1.了解定义、命题的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；2.体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理；4.了解公理和定理的定义，并能正确的写出已知和求证，掌握证明的基本步骤和书写格式；5.掌握平行线的判定方法，并能简单应用这些结论.【要点梳理】要点一、定义与命题1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.要点诠释：（1）定义实际上就是一种规定.（2）定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题.真命题：正确的命题叫做真命题.假命题：不正确的命题叫做假命题.要点诠释：（1）命题的结构：命题通常由条件（或题设）和结论两部分组成.条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般地，命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论.（2）命题的真假：对于真命题来说，当条件成立时，结论一定成立；对于假命题来说，当条件成立时，不能保证结论正确，即结论不成立.要点二、证明的必要性要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理. 推理的过程叫做证明.要点三、公理与定理1.公理：通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理.要点诠释：欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理.2.定理：通过推理得到证实的真命题叫做定理.要点诠释：证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结论（求证）的过程.要点四、平行公理及平行线的判定定理1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.2．平行线的判定定理判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.【典型例题】类型一、定义与命题1.请说出下列名词的定义：（1）无理数（2）直角三角形【答案与解析】解：（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数.（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.【总结升华】对学过的定义要准确地牢记.举一反三：【变式】指出下列句子哪些是定义.(1)两直线平行,内错角相等；(2)两腰相等的梯形叫等腰梯形；(3)有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；(4)等腰三角形的两底角相等；(5)平行四边形的对角线互相平分；(6)连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.【答案】（2），（3），（6）是定义.2.说出下列命题的条件和结论，并判断它是真命题还是假命题：（1）如果a >b, b >c ，那么a >c ；（2）如果两个角相等, 那么它们是对顶角.【答案与解析】解：（1）条件：a >b, b >c ；结论：a >c .它是真命题.（2）条件：两个角相等；结论：这两个角是对顶角.它是假命题.反例，你书的左下角和右下角两个角都是直角，相等，但不是对顶角.【总结升华】要判断一个命题是假命题,只要能够举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.a 2 举一反三：【变式】（2013•贵港）下列四个命题中，属于真命题的是（）.A ．若 = m ，则a = mB ．若 a ＞b ，则 am ＞bmC ．两个等腰三角形必定相似D ．位似图形一定是相似图形【答案】D类型二、公理、定理及证明 3. 证明：等角的余角相等．【思路点拨】如果题目中没有明确指出“条件”和“结论”，应先写出已知、求证、证明，如果需要的话并画出图形，再证明.【答案与解析】已知：∠1＝∠2，∠1+∠3＝90°，∠2+∠4=90°.求证：∠3＝∠4.证明：∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，（已知）∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2.（等式的性质）∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等量代换）.【总结升华】“等角的余角相等”与“等角的补角相等”可以作为今后证明的依据．此外，在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替，简称为“等量代换”.举一反三：【变式】“垂线段最短”是（）.A ．定义B ．定理C ．公理D ．不是命题【答案】B类型三、平行线的判定定理4. （2016•淄博）如图，一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．【思路点拨】根据同位角相等，两直线平行证明OB∥AC，根据同旁内角互补，两直线平行证明OA∥BC．【答案与解析】解：OA∥BC，OB∥AC．∵∠1=50°，∠2=50°，∴∠1=∠2，∴OB∥AC，∵∠2=50°，∠3=130°，∴∠2+∠3=180°，∴OA∥BC．【总结升华】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•宁城）如图，下列能判定AB∥CD 的条件有（）个．（1）∠B+∠BCD=180°；（2）∠1=∠2；（3）∠3=∠4；（4）∠B=∠5．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】解：（1）利用同旁内角互补判定两直线平行，故（1）正确；（2）利用内错角相等判定两直线平行，∵∠1=∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；（3）利用内错角相等判定两直线平行，故（3）正确；（4）利用同位角相等判定两直线平行，故（4）正确．∴正确的为（1）、（3）、（4），共3 个；故选：C．5.（2015•日照期末）如图，AB∥CD，AE 平分∠BAD，CD 与AE 相交于F，∠CFE=∠E．求证：AD∥BC．【答案与解析】证明：∵AE 平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∠CFE=∠E，∴∠1=∠CFE=∠E，∴∠2=∠E，∴AD∥BC．【总结升华】主要考查角平分线的性质以及平行线的判定定理．举一反三：【变式】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB 与CD 平行吗？请说明理由．【答案】解：AB∥CD．理由如下：如图：∵EF⊥EG，GM⊥EG (已知)，∴∠FEQ＝∠MGE＝90°(垂直的定义)．又∵∠1＝∠2(已知)，∴∠FEQ -∠1＝∠MGE -∠2 (等式性质)，即∠3＝∠4．∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行)．。

北师大版数学八年级下册《定义与命题》证明

相等;
1、每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.
2、一般地,命题可以写成“如果……,那么……”的形式, 其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.
下列句子都是命题吗？
(1)熊猫没有翅膀；如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀。 (2)对顶角相等；如果两个角是对顶角，那么它们就相等。
1.下列命题的条件是什么?结论是什么?
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角; (2)如果a>b,b>c,那么a=c;
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;
(4)菱形的四条边都相等;
(5)全等三角形的面积相等.
2.上述的命题中,哪些是正确的?哪些是不正确的?你怎么知道它们是不正确的?与同伴交流.
边形； 3、相似多边形对应边的比叫做相似比； 4、如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经
过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形； 5、只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1的不等式,
叫做一元一次不等式； 6、求不等式解集的过程叫做解不等式；
7、分母中含有未知数的方程叫做分式方程；
4、 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形” 是“平行四边形”的定义; 5、“从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本”是“样本”
的定义；
你还能举出曾学过的“定义”吗?
1、把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这
个多项式分解因式； 2、各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
哦……那可怎么办
这些方法往往并不

北师大版八年级(下)数学知识点归纳总结

第一章三角形的证明第1节等腰三角形一、全等三角形的性质与判定1、全等三角形的性质定理1 全等三角形的对应边相等。

定理2 全等三角形的对应角相等。

推论1 全等三角形的面积相等。

推论2 全等三角形的周长相等。

2、全等三角形的判定公理1 两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）公理2 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）公理3 三边对应相等的两个三角形全等（SSS ）定理1 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS ）定理2 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

（HL ）二、等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）推论1 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合。

（三线合一）推论2 等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高、两个底角的平分线都相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等。

【说明】①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°。

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角或直角，但顶角可为钝角或直角。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，周长为C ，则2b ＜a ＜2C ④等腰三角形的三角关系：设顶角为∠C ，底角为∠A 、∠B ，则∠C ＝180°—2∠A＝180°—2∠B ，∠A ＝∠B ＝2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）三、等边三角形的性质与判定1、等边三角形的性质定理1 等边三角形的三条边都相等。

定理2 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。

推论：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对直角边等于斜边一半。

2、等边三角形的判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。

北师大版八年级上册数学探索勾股定理(第2课时)教学设计

第一章勾股定理1. 探索勾股定理（第2课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题是本节课的重点.三、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）复习设疑，激趣引入；（二）小组活动，拼图验证；（三）延伸拓展，能力提升（四）例题讲解，初步应用；（五）追溯历史，激发情感；；（六）回顾反思，提炼升华；（七）布置作业，课堂延伸. 第一环节：复习设疑，激趣引入内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：小组活动，拼图验证.内容：活动1：教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图1图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ：自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点. 第三环节延伸拓展，能力提升1.议一议:观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 22.一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长。

初中数学北师大版八年级上册第七章平行线的证明2 定义与命题-章节测试习题

章节测试题1.【答题】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线B.两条直线互相平行C.两条直线互相垂直D.两条直线垂直于同一条直线【答案】D【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的部分，结论是由条件得出的推论.【解答】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是“两条直线垂直于同一条直线”，结论是“两条直线互相平行”．选D.2.【答题】下列命题的逆命题是真命题的是（）A.直角都相等B.钝角都小于180°C.如果x2+y2=0，那么x=y=0D.对顶角相等【答案】C【分析】根据逆命题是否为真命题逐一进行判断即可.【解答】相等的角不都是直角，故A选项不符合题意，小于180°的角不都是钝角，故B选项不符合题意，如果x=y=0，那么x2+y2=0，正确，是真命题，符合题意，相等的角不一定都是对顶角，故D选项不符合题意，选C.3.【答题】把命题”对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式是______.【答案】如果两个角是对顶角,那么这两个角相等【分析】对顶角相等的条件是两个角是对顶角，结论是两角相等，据此即可改写成“如果…，那么…”的形式．【解答】∵原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，∴命题“对顶角相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是对顶角，那么两个角相等．4.【答题】命题“两个锐角的和是直角”是______命题（填“真”或“假”）.【答案】假【分析】根据真、假命题的定义判断即可。

【解答】两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是直角是假命题.5.【题文】判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．(1)如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．(2)两个负数的差一定是负数．【答案】（1）假命题（2）假命题【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，假命题举出反例即可．【解答】解：(1)假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．(2)假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.6.【题文】把命题改写成“如果……那么……”的形式．(1)对顶角相等．(2)两直线平行，同位角相等．(3)等角的余角相等．【答案】见解答【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．由此可得结论.【解答】解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．(2)如果两条直线平行，那么同位角相等．(3)如果两个角同为等角的余角，那么这两个角相等．7.【题文】指出下列命题的条件和结论．(1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．(2)如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3.(3)锐角小于它的余角．【答案】见解析【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项,命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，而那么后面接结论．由此可得结论.【解答】解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；结论：这两条直线平行．(2)条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3；结论：∠1＝∠3.(3)条件：一个角是锐角；结论：这个角小于它的余角．8.【答题】下列句子中，不是命题的是（）A. 两点之间，线段最短B. 对顶角相等C. 同位角相等D. 连结A.B两点【答案】D【分析】判断一件事情的语句叫做命题．【解答】解：A、B、C都符合命题的概念，故正确；D、没有作出判断，故错误．选D.9.【答题】下列语句不是命题的（）A. 鲸鱼是哺乳动物B. 植物都需要水C. 你必须完成作业D. 实数包括零【答案】C【分析】可以判定真假的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A，是，因为可以判定这是个真命题；B，是，因为可以判定其是真命题；C，不是，因为这是一个陈述句，无法判断其真假；D，是，可以判定其是真命题；选C.10.【答题】“两条直线相交只有一个交点”的题设是（）A. 两条直线B. 相交C. 只有一个交点D. 两条直线相交【答案】D【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项．【解答】解：“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交．选D.11.【答题】命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是______，结论是A. 同位角相等；两直线平行B. 同位角不相等；两直线平行C. 同位角不相等；两直线不平行D. 同位角相等；两直线不平行【答案】A【分析】由命题的题设和结论的定义进行解答．【解答】解：命题中，已知的事项是“同位角相等”，由已知事项推出的事项是“两直线平行”，所以“同位角相等”是命题的题设部分，“两直线平行”是命题的结论部分．故空中填：同位角相等；两直线平行，选A.12.【答题】如果两条直线相交，那么它们只有一个交点．这个命题的条件是______，结论是______．A. 两条直线不相交；它们不只有一个交点B. 两条直线不相交；它们只有一个交点C. 两条直线相交；它们只有一个交点D. 两条直线相交；它们不只有一个交点【答案】C【分析】命题分为题设和结论两部分，题设是如果后面的部分，结论是那么后面的部分．【解答】解：这个命题的条件是两条直线相交，结论是它们只有一个交点，选C.13.【答题】命题：“内错角相等，两直线平行”的题设是______，结论是______．A. 内错角相等；两直线平行B. 内错角相等；两直线不平行C. 内错角不相等；两直线平行D. 内错角不相等；两直线不平行【答案】A【分析】根据题设与结论的定义即可判断．【解答】解：内错角相等，两直线平行”的题设是：内错角相等，结论是：两直线平行．故答案是： A.14.【答题】命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是______，结论是______．A. 两个锐角互余，则这两个锐角不在一个直角三角形中B. 一个直角三角形中的两个锐角；这两个锐角互余C. 一个直角三角形中的两个锐角；这两个锐角互补D. 两个锐角互补，则这两个锐角在一个直角三角形中【答案】B【分析】命题有条件和结论两部分组成，条件是已知的，结论是结果．【解答】解：“直角三角形两个锐角互余”的条件是一个直角三角形中的两个锐角，结论是这两个锐角互余，选B.15.【答题】把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是（______ ）A. 如果两个角相等，那么它们是等角的补角B. 如果两个角是补角，那么它们相等C. 如果两个角是等角的补角，那么它们相等D. 如果两个角相等，那么它们是等角的余角【答案】C【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．【解答】解：题设为：两个角是等角的补角，结论为：相等，故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么它们相等．故答案为： C.16.【答题】命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式（______）A. 如果两个角的补角相等，那么这两个角相等B. 如果两个角的余角相等，那么这两个角相等C. 如果两个角相等，那么这两个角的余角相等D. 如果两个角相等，那么这两个角的补角相等【答案】C【分析】任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式如果后面是题设，那么后面是结论．【解答】解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”．故命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等，选C.17.【答题】下列语句中不是命题的是（）A. 两点之间线段最短B. 连接A，B两点C. 两条直线相交有且只有一个交点D. 对顶角不相等【答案】B【分析】找到不是判断一件事情的语句的选项即可．【解答】解：A、判断出两点之间，线段最短，是命题，不符合题意；B、没有做出任何判断，不是命题，符合题意；C、由两条直线相交可得只有一个交点，是命题，不符合题意；D、判断是对顶角不相等，是命题，不符合题意；选B.18.【答题】下列四个命题：①对顶角相等；②同位角相等；③等角的余角相等；④凡直角都相等．其中真命题的个数的是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：①对顶角相等，是真命题，②只有在两直线平行时，同位角才相等，假命题，③等角的余角相等，是真命题，④直角都等于90°，是真命题，真命题有3个，选C.19.【答题】对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（）A. ∠1=50°，∠2=40°B. ∠1=50°，∠2=50°C. ∠1=∠2=45°D. ∠1=40°，∠2=40°【答案】C【分析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【解答】解：A，满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故错误；B、不满足条件，故错误；C、满足条件，不满足结论，故正确；D、不满足条件，也不满足结论．选C.20.【答题】a、b是实数，下列命题是真命题的是（）A. a≠b，则a2≠b2B. 若a2＞b2，则a＞bC. 若|a|＞|b|，则a＞bD. 若|a|＞|b|，则a2＞b2【答案】D【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、假命题，反例：2≠-2，但2 2 =（-2）2；B、假命题，反例：-3 2＞0 2，但-3＜0；C、假命题，反例：|-9|＞|0|，则-9＜0；D、真命题，|a|＞|b|，则a 2＞b 2．选D.。

北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》三角形的证明PPT课件(第2课时)

实践探究，交流新知
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如图所示． (2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个． (3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．
北师大版八年级下册第一章三角形的证明
线段的垂直平分线（第2课时）
前言
学习目标
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题． 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养尺规作图的技能．
学习重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
(1)教材第26页随堂练习． (2)教材第26页习题1.8第1，2题.
同学们，下课！
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？（1）三角形三条边的垂直平分线的性质（2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
学习难点
三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
创设情境，导入新课
1.问题提出：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么？ 2.问题探究： ①三角形三边的垂直平分线交于一点； ②这一点到三角形三个顶点的距离相等．
创设情境，导入新课
3.问题解决：如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，上述结论是否成立？ 4.问题思考：以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗？我们还需运用已学过的公理和定理进行推理证明，这样，此发现才更有意义．

北师大版数学八年级下册第2课时等边三角形的性质课件

∴△ABD ≌△ACE（SAS）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
议一议
如图，在△ABC 中， AB = AC，点 D，E 分别在边 AC 和 AB 上.
A
E
D
B
C
（1）如果∠ABD = 1∠ABC，
∠ACE =
1∠ACB，那么
3
BD
=
CE
吗？
A
3
如果∠ABD =
∠AB1C，∠ACE =
定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
已知：如图，在△ABC 中，AB = BC = AC.
求证：∠A =∠B =∠C = 60°.
证明：∵AB = AC，
A
∴∠B =∠C（等边对等角）.
同理：∠C =∠A，
∴∠A =∠B =∠C（等量代换）.
又∵∠A +∠B +∠C = 180°
►如果我们不曾相遇，你的梦里就不会有我的出现，我们都在不断地和陌生人擦肩;如果人生不曾相遇，我的生命里就不会有你的片段，我们都在细数着自己的日子。 ►当离别的脚步声越来越清晰，我们注定分散两地，继续彼此未完的人生，如果我说放不下，短短一个月的光景，你是否愿意相信，我的真诚，我的执着，只源于内心深处那一份沉沉的不舍。
证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.
已知如图，在△ABC 中， AB = AC，BD、
CE 是△ABC 的中线.
A
求证：BD = CE.
E
D
B
C
证明： ∵BD、CE 是△ABC 的中线.
∵AE = 1AB，AD = A1C，
2
2
∴AE = AD.
在△ABD 和△ACE 中，

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步测试2(附答案)

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步测试2（附答案）1．在△ABC中，D、E是边BC上的两点，DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，则∠BAC 的度数是．2．已知△ABC中，∠ACB＝90°．点I为△ABC各内角平分线的交点，过I点作AB的垂线，垂足为H．若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则IH＝．3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为．4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD＝3AE，CF＝6，则AC的长为．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝66°，D，E分别为AB，BC上一点，AF∥DE，若∠BDE＝30°，则∠F AC的度数为．6．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有个．7．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，则最长边上的中线长为．8．如图，在正方形ABCD中，CE＝MN，∠BCE＝32°，则∠ANM等于．9．如图，AB、CD相交于点E，AD＝DE，BC＝BE，F、G、H分别为AE、CE、BD的中点，∠A＝α．则∠FHG＝．（用含α的代数式表示）10．如图，点A为∠MON的平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B，C两点，P为BC中点，过P作BC的垂线交于点D，∠BDC＝50°，则∠MON＝．11．如图，AB＝AC＝AD，如果∠BAC＝28°，AD∥BC，那么∠D＝．12．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示，若DE＝1，则DF＝．13．如图，BD垂直平分AG于D，CE垂直平分AF于E，若BF＝1，FG＝3，GC＝2，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为△ABC外一点，连接BD、AD、CD，∠ADC＝60°，BD＝5，DC＝4，则AD＝．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列三个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC ＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；其中正确的结论有（填序号）16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC 于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②AE+BF＝EF；③当∠C＝90°时，E、F分别是AC、BC的中点；④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab，其中正确的是．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝°．18．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB 角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝度．19．如图，点O是△ABC的内一点，OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，M、N是AC上一点，且CM＝CB，AN＝AB，若∠B＝100°，则∠MON＝．20．如图，在△ABC中，已知∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，△ABC内一点P到各边的距离相等，则这个距离是．21．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．22．如图所示，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB于点E，则下列结论：①∠A＝∠BCF；②CD＝CG；③AD＝BD；④BC＝BE．正确结论的序号．23．在三角形内部到三边距离相等的点有个，而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有个．24．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．25．如图，△ABC中，AE＝BE，∠AED＝∠ABC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若AB＝CB，∠AED＝4∠EAD，求∠C的度数．26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．27．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO．（1）求证：AC＝BC；（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，求BC+EC 的长．28．综合与实践：问题情境：已知在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，点D为直线BC上的动点（不与点B，C重合），点E在直线AC上，且AE＝AD，设∠DAC＝n．（1）如图1，若点D在BC边上，当n＝36°时，求∠BAD和∠CDE的度数；拓广探索：（2）如图2，当点D运动到点B的左侧时，其他条件不变，试猜想∠BAD和∠CDE的数量关系，并说明理由；（3）当点D运动点C的右侧时，其他条件不变，请直接写出∠BAD和∠CDE的数量关系．29．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连结OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数°．30．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．31．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE＝∠AED，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝30°，∠BAD＝70°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．32．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．33．如图，已知在平面直角坐标系中，A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0）（1）求△ABC的面积；（2）在y轴上是否存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形，若存在，求出点D坐标；若不存，说明理由．（3）有一个P（﹣4，a），使得S△P AB＝S△ABC，请你求出a的值．34．如图，在△ABC中，∠A＝90°，△DCB为等腰三角形，D是AB边上一点，过BC上一点P，PE⊥AB，垂足为点E，PF⊥CD，垂足为点F，已知AD：DB＝1：3，BC＝，求PE+PF的长．35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC为等腰三角形，AB＝BC＝10，点B，C 在X轴上，B（﹣8，0），△ABC的周长为27，D为X轴上一个动点，点D从点B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BC向点C运动，到点C停止，设点D的运动时间为t秒（1）求点C的坐标及AC的长．（2）当t为何值时，△ADC的面积等于△ABC面积的？并求出此时D的坐标．（3）连接AD，当t为何值时，线段AD把△ABC的周长分成15和12两部分？并求出此时D的坐标．36．已知在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝，O为BC上一点，BO＝，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在y轴上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P落在长方形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（3）若将（2）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．37．引理：如图1所示已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，则CD＝AD＝DB＝AB 应用格式为：∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD＝DB＝AB如图2所示已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若E在直线AC 上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，延长CG交AB直线于点H．（1）若E在边AC上．①试说明DE＝DF；②试说明CG＝GH；（本题需要用引理）（2）若AE＝3，CH＝5．求边AC的长．38．如果定义：“到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．”例如：如图1所示，若PC＝PB，则称点P为△ABC的准外心．（1）观察并思考，△ABC的准外心有个．（2）如图2，△ABC是等边三角形，CD⊥AB，准外心点P在高CD上，且PD＝，在图中画出点P点，求∠APB的度数．（3）已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心点P在AC边上，在图中画出P点，并求P A的长．参考答案1．解：如图1，∵DC＝DA，EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C+∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝140°，解得，∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝110°；如图2，∵DC＝DA，EA＝EB，∠DAE＝40°，∴∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，∠EAB+∠B+∠DAC+∠C﹣∠DAE＝180°，则2（∠B+∠C）＝220°，解得，∠B+∠C＝110°，∴∠BAC＝70°，故答案为：70°或110°．2．解：作IE⊥AC于E，IF⊥BC于F，连接IA、IB、IC，∵I为△ABC各内角平分线的交点，IE⊥AC，IF⊥BC，IH⊥AB，∴IE＝IF＝IH，则×AB×IH+×AC×IE+×BC×IF＝×BC×AC，解得，IH＝2，故答案为：23．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵S△ABD＝AB•DE，∴×4×DE＝2，解得DE＝1，∵AD平分∠BAC，∴DF＝DE＝1，∴S△ACD＝AC•DF＝×2×1＝1，∴S△ABC＝S△ABD+S△ADC＝2+1＝3，故答案为3．4．解：AC与DE相交于G，如图，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵DE⊥AE，∴∠AGE＝30°，∴∠CGD＝30°，∵∠ACB＝∠CGD+∠D，∴∠D＝30°，∴CG＝CD，设AE＝x，则CD＝3x，CG＝3x，在Rt△AEG中，AG＝2AE＝2x，∴AB＝BC＝AC＝5x，∴BE＝4x，BF＝5x﹣6，在Rt△BEF中，BE＝2BF，即4x＝2（5x﹣6），解得x＝2，∴AC＝5x＝10．故答案为10．5．解：∵AB＝AC，∠B＝66°，∴∠C＝66°，∴∠BAC＝48°，∵AF∥DE，∠BDE＝30°，∴∠BAF＝∠BDE＝30°，∠F AC＝18°，故答案为：18°．6．解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP＝45°，OA＝2，∴P的坐标是（4，0）或（2，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP＝AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA＝2，∴OA＝OP＝2，∴P的坐标是（﹣2，0）．综上所述：P的坐标是（2，0）或（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）．故答案为：4．7．解：∵△ABC的三边长分别为5、12、13，52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，∴最长边上的中线长＝．故答案为：．8．解：过B作BF∥MN交AD于F，则∠AFB＝∠ANM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠EBC＝90°，AB＝BC，AD∥BC，∴FN∥BM，BF∥MN，∴四边形BFNM是平行四边形，∴BF＝MN，∵CE＝MN，∴Rt△ABF≌Rt△BCE（HL），∴∠ABF＝∠MCE＝32°，∵∠A＝90°，∴∠AFB＝58°，∴∠ANM＝∠AFB＝58°，故答案为58°．9．解：如图，连接DF，BG．∵DA＝DE，BE＝BC，AF＝EF，EG＝CG，∴DF⊥AE，BG⊥EC，∴∠DFB＝∠DGB＝90°，∵DH＝BH，∴FH＝DH＝BH＝GH，∴∠HFB＝∠HBF，∠HDG＝∠HGD，∵DA＝DE，∴∠A＝∠DEA＝α，∵∠AED＝∠EDB+∠EBD，∴∠EDB+∠EBD＝α，∴∠FHG＝180°﹣∠FHD﹣∠GHB＝180°﹣2∠HBF﹣2∠HDG＝180°﹣2α，故答案为180°﹣2α．10．解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEO＝∠DFO＝90°，∵OD平分∠MON，∴DE＝DF，∵P为BC中点，DP⊥BC，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠EDB＝∠CDF，∴∠BDC＝∠BDF+CDF＝∠BDF+∠EDB＝∠EDF＝50°．∵∠MON+∠EDF+∠DEO+∠DFO＝360°，∴∠MON＝360°﹣50°﹣90°﹣90°＝130°；故答案为：130°．11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝28°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣28°）＝76°，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C＝76°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝28°+76°＝104°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABD＝（180°﹣104°）＝38°，故答案为38°．12．解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图所示．∵OC是∠AOB的平分线，∴DM＝DE＝1．在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，∠EOF＝60°，∴∠OFE＝30°，即∠DFM＝30°．在Rt△DMF中，∠DMF＝90°，∠DFM＝30°，∴DF＝2DM＝2．故答案为213．解：∵BD垂直平分线段AG，∴BA＝BG＝BF+FG＝1+3＝4，∵CE垂直平分线段AF，∴CA＝CF＝CG+FG＝2+3＝5，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝4+5+6＝15，故答案为：15．14．解：将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACE，∴∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝30°，∵∠ADC＝60°，∴∠CDE＝90°，∵EC＝BD＝5，DC＝4，∴DE＝＝＝3，作AF⊥DE于F，∴DF＝DE＝，∵在Rt△ADF中，cos30°＝，∴AD＝＝＝，故答案为．15．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG＝∠CBG，∠FCG＝∠BCG，∵EF∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠FGC＝∠BCG，∴∠EGB＝∠EBG，∠FCG＝∠FGC，∴BE＝EG，FG＝CF，∴EF＝EG+FG＝BE+CF，故①正确；∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠CBG＝ABC，∠BCG＝，∴∠GBC+∠GCB＝+ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣A，∴∠BGC＝180°﹣（∠GBC+∠GCB）＝180°﹣（90°﹣A）＝90°+A，故②正确；过G作GQ⊥AB于Q，GW⊥BC于W，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，GD⊥AC，∴GQ＝GW，GW＝GD，∴GQ＝GW＝GD，即点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；故答案为：①②③．16．解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；∵EF∥AB，∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO，∴FO＝FB，同理EO＝EA，∴AE+BF＝EF，②正确；当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；作OH⊥AC于H，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OD＝OH，∴S△CEF＝×CF×OD+×CE×OH＝ab，④正确．故答案为①②④．17．解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，∴∠ADC＝∠A′DC＝84°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＝∠DCB＝45°，∵∠CDA＝∠B+∠DCB，∴∠B＝84°﹣45°＝39°故答案为：39．18．解：如图，连接OA．∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∵∠BOC＝∠ABO+∠OCA+∠BAC＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC，∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，∴∠E＝90°+∠BAC，∵∠BOC+∠E＝180°，∴2∠BAC+90°+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝36°，故答案为36．19．解：连接OB，∵OC平分∠BCA、OA平分∠CAB，∴∠BCO＝∠MCO，∠BAO＝∠NAO，在△BCO和△MCO中∴△BCO≌△MCO（SAS），∴∠CMO＝∠CBO，同理∠ABO＝∠ANO，∵∠CBA＝∠CBO+∠ABO＝100°，∴∠CMO+∠ANO＝100°，∴∠MON＝180°﹣（∠CMO+∠ANO）＝80°，故答案为：80°．20．解：连接AP，BP，CP，设PE＝PF＝PG＝x，∵AB＝7，BC＝24，∴AC＝＝25，再根据直角三角形的面积，S△ABC＝×AB×CB＝84，S△ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，∴28x＝84，解得：x＝3，故答案为：3．21．解：连接AP，在Rt△ASP和Rt△ARP中，∴Rt△ASP≌Rt△ARP（HL），∴①AS＝AR正确；∵AQ＝PQ，∴∠QAP＝∠QP A，又∵Rt△ASP≌Rt△ARP，∴∠P AR＝∠P AQ，于是∠RAP＝∠QP A，∴②PQ∥AR正确；③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故答案为：①②．22．解：∵Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，∴∠A+∠ABC＝∠BCF+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠BCF；故①正确；∵∠CDG+∠CBD＝90°，∠BGF+∠ABD＝90°，且BD是△ABC的角平分线，∴∠CDG＝∠BGF，∵∠BGF＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CD＝CG，故②正确；无法求得∠A的度数，即∠A不一定等于∠ABD，故AD不一定等于BD，故③错误．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BD交CF于点G，DE⊥AB，∴CD＝DE，∠CDB＝∠EDB，∴BC＝BE，故④正确；故答案为：①②④．23．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．故填1，3．24．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．25．（1）证明：∵∠AED＝∠ABC，∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠ABC＝∠ABE+∠DBC，∴∠EAB＝∠DBC，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABE，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）设∠EAD＝x，则∠AED＝4x，∵∠AED＝∠ABE+∠EAB，∠EAB＝∠ABE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2x，∠ABC＝4x，∴∠BAC＝3x，∵AB＝CB，∴∠BAC＝∠C，∴∠C＝3x，∵∠ABC+∠BAC+∠C﹣180°，∴4x+3x+3x＝180°，解得，x＝18°，∴∠C＝3x＝54°，即∠C的度数是54°．26．解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°；从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°；小．（2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°，∴∠EDC＝∠DAB．，∵∠B＝∠C，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE，（3）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，∵∠AED＞∠C，∴此时不符合；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°；∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°；∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形．27．（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO，∴∠CAO＝∠CBD．在△ACD和△BCD中，∴△ACD≌△BCD（AAS）．∴AC＝BC；（2）由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO，∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示：∵∠ACD＝∠BCD，∴DO＝DN，在Rt△BDO和Rt△EDN中，∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），∴BO＝EN．在△DOC和△DNC中，∴△DOC≌△DNC（AAS），可知：OC＝NC；∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8．28．解：（1）∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝100°﹣36°＝64°．∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝40°+64°＝104°．∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED．∵∠DAC＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°．∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝104°﹣72°＝32°．（2）∠BAD＝2∠CDE．理由如下：在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴．∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴＝．∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝n﹣100°．∴∠BAD＝2∠CDE．（3）∠BAD＝2∠CDE，理由如下：如图③，在△ABC中，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝140°．在△ADE中，∠DAC＝n，∴∠ADE＝∠AED＝．∵∠ACD＝∠CDE+∠AED，∴∠CDE＝∠ACD﹣∠AED＝140°﹣＝，∵∠BAC＝100°，∠DAC＝n，∴∠BAD＝100°+n，∴∠BAD＝2∠CDE．29．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝32cm，∴OA＝OB＝OC＝10cm；（3）∵∠BAC＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．故答案为：（2n﹣180）．30．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°．31．解：（1）∵∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAD＝70°，∴∠DAE＝50°，∴∠ADE＝∠AED＝65°，∴∠CDE＝180°﹣50°﹣30°﹣65°＝35°；（2）∵∠ACB＝70°，∠CDE＝15°，∴∠E＝70°﹣15°＝55°，∴∠ADE＝∠AED＝55°，∴∠ADC＝40°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝70°，∴∠BAD＝30°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（1）﹣（2）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α∴，∴2α＝β，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α∴，（2）﹣（1）得，2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．32．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．33．解：（1）∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0）、C（4，0），∴AO＝1，BC＝6，∴△ABC的面积＝×6×1＝3；（2）存在一个点D，使得△ABD是以AB为底的等腰三角形．如图所示，设D（0，a），则AD＝1+a，OD＝a，∵BD＝AD＝1+a，∠BOD＝90°，∴Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴a2+22＝（a+1）2，解得a＝，∴D（0，）；（3）在x轴负半轴上取点D（﹣4，0），过D作x轴的垂线l，则点P在该垂线l上，过C作CP∥AB，交l于点P，则S△P AB＝S△ABC，∵A（0，﹣1）、B（﹣2，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣1，设直线CP解析式为y＝﹣x+b，把C（4，0）代入，可得0＝﹣2+b，解得b＝2，∴直线CP解析式为y＝﹣x+2，∴F（0，2），当x＝﹣4时，y＝2+2＝4，∴P（﹣4，4）；当点P'在x轴下方时，设过P'且平行于AB的直线交y轴于E，则AE＝AF＝3，∴OE＝4，即E（0，﹣4），∴直线P'E解析式为y＝﹣x﹣4，当x＝﹣4时，y＝2﹣4＝﹣2，∴P'（﹣4，﹣2），∴a的值为4或﹣2．34．解：∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，∴S△BCD＝BD•PE+CD•PF＝BD•AC，∴PE+PF＝AC，设AD＝x，BD＝CD＝3x，AB＝4x，∵AC2＝CD2﹣AD2＝（3x）2﹣x2＝8x2，∵AC2＝BC2﹣AB2＝（6）2﹣（4x）2，∴x＝3，∴AC＝2x＝6，∴PE+PF＝6．35．解：（1）﹣8+10＝2，则C（2，0），AC＝27﹣10﹣10＝7；（2）10×＝2.5（10﹣2.5）÷2＝3.75，2﹣2.5＝0，D的坐标（﹣0.5，0）；（3）①15﹣10＝5，t＝5÷2＝2.5，﹣8+5＝﹣3，D的坐标（﹣3，0）；②12﹣10＝2，t＝2÷2＝1，﹣8+2＝﹣6D的坐标（﹣6，0）．36．解：（1）∵以OM为一边作等腰△OMP，点P在y轴上，∴OP＝OM，又点M的坐标为（1，0），∴OP＝OM＝1，∴符合条件的等腰三角形有2个，则点P的坐标为（0，﹣1）、（0，1）；（2）由题意得，OM为等腰△OMP的底边，则点P在线段OM的垂直平分线上，∴点P的坐标为：（，4），则符合条件的等腰三角形有1个；（3）如图，∵OP＝OM，∴OP＝4，∴BP＝＝，∴点P的坐标为（﹣，），由题意得，P′的坐标为（0，4），P′′的坐标为（2，4），P′′′的坐标为（4，4），符合条件的等腰三角形有4个，即符合条件的点P的坐标为（﹣，）、（0，4）、（2，4）、（4，4）．37．解：（1）①连接CD，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AC＝BC，∴CD＝AD＝BD，又∵AC＝BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC＝90°，∠DCF＝∠DAE＝45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF．②连接DG，∵∠ACB＝90°，G为EF的中点，∴CG＝EG＝FG，∵∠EDF＝90°，G为EF的中点，∴DG＝EG＝FG，∴CG＝DG，∴∠GCD＝∠CDG又∵CD⊥AB，∴∠CDH＝90°，∴∠GHD+∠GCD＝90°，∠HDG+∠GDC＝90°，∴∠GHD＝∠HDG，∴GH＝GD，∴CG＝GH．（2）分两种情况：①如图，当E在线段AC上时，∵CG＝GH＝EG＝GF，∴CH＝EF＝5，∵△ADE≌△CDF，∴AE＝CF＝3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝3+4＝7；②如图，当E在线段CA延长线上时，AC＝EC﹣AE＝4﹣3＝1．③E在AC延长线上时，AC＝AE﹣CE，AC＝3﹣4＝﹣1（舍去）．综合上述，AC＝7或1．38．解：（1）∵到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心，∴△ABC的准外心是：AB，BC，AC的垂直平分线上的点．∴△ABC的准外心有无数个．故答案为：无数；（2）①若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝DB＝AB，与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC，②若P A＝PC，连接P A，同理可得P A≠PC，③若P A＝PB，由PD＝AB，得PD＝BD，∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°；（3）∵BC＝5，AB＝3，∴AC＝＝4，①若PB＝PC，设P A＝x，则x2+32＝（4﹣x）2，∴x＝，即P A＝，②若P A＝PC，则P A＝2，③若P A＝PB，由图知，在Rt△P AB中，不可能．故P A＝2或．。

2020-2021学年八年级数学北师大版下册第一章三角形的证明专项训练二(附答案)

第一章三角形的证明专项练习（二）一、选择题1．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10B．2，2，C．1，2D．8，15，1745”，第一步应假设这个三角形中2．用反证法证明“直角三角形中的两个锐角不能都大于（）A．每一个锐角都小于45°B．有一个锐角大于45°C．有一个锐角小于45°D．每一个锐角都大于45°3．等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A．60°B．90°C．120°D．150°4．不能判断两个直角三角形全等的条件是（）A．两锐角对应相等的两个直角三角形B．一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形C．两条直角边对应相等的两个直角三角形D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形5．如图，在△ABC中，△ABC和△ACB的角平分线交于点E，过点E作MN△BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=7，则MN的长为（）A．6B．7C．8D．96．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( )A．22cm和16cm B．16cm和22cmC．20cm和16cm D．24cm和12cm7．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）A cm2B．2cm C．3cm2D．4cm28．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD△AB于点D，PE△AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8B．4.8或3.8C．3.8D．59．如图，△ACB＝90°，AC＝BC，AE△CE于点E，BD△CD于点D，AE＝5 cm，BD＝2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm11．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE△AB，DF△AC，垂足分别为E，F，则下列四个结论中：△AB上任一点与AC上任一点到D的距离相等；△AD上任一点到AB，AC的距离相等；△△BDE＝△CDF；△△1＝△2；其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图,已知AB△CD，PE△AB，PF△BD，PG△CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则△BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°13．如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC 的周长是（）A．8B．9C．10D．1114．如图一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里15．如图，在等腰Rt△ABC中，△C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC 边上运动，且保持AD=CE；连接DE，DF，EF；在此运动变化的过程中，下列结论：△△DFE是等腰直角三角形；△DE长度的最小值为4；△四边形CDFE的面积保持不变；△△CDE面积的最大值为8；其中正确的结论是（）A．△△△B．△△△C．△△△D．△△二、填空题1．如图，在△ABC中．BC＝5cm，BP、CP分别是△ABC和△ACB的平分线，且PD△AB，PE△AC，则△PDE的周长是______cm2．如图，△C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX△AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QPA 全等．3．如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，得到AGE，若3∠30=︒AE厘米，则△ABC的边BC的长为____________厘米.=EG2=4．如图，若△A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则△DEF等于_____．5．如图，MN△PQ，AB△PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．6．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为__cm．7．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB=_______.8．在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若三角形ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为________．9．用反证法证明“一个三角形不可能有两个直角”时，第一步应假设：_______________________；10．如图，在△ABC中，AB=AC，△A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为______cm．三、解答题1．如图，已知△A＝△D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE ＝CF．求证：Rt△ABF△Rt△DCE．2．如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，△AOB=△COD=90°，D在AB上．（1）求证：△AOC△△BOD；（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．3．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF△AC，垂足为F，△BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF△△BCF．4．如图，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE△AC，BF△AC，若AB＝CD，试证明BD平分EF．5．如图所示，直线1l 、2l 、3l 为围绕区域A 的三条公路，为便于公路维护，需在区域A 内筹建一个公路养护处P ，要求P 到三条公路的距离相等，请利用直尺和圆规确定符合条件的点P 的位置（保留作图痕迹，不写作法）.6．如图，在△ABC 中，AB=AC=10 cm ，△B=15°，CD 是AB 边上的高，求CD 的长．7．已知，如图，直线AB 与直线BC 相交于点B ，点D 是直线BC 上一点求作：点E ，使直线DE△AB ，且点E 到B 、D 两点的距离相等（在题目的原图中完成作图）结论：BE=DE8．如图，△ABC 中，AB=BC ，BE△AC 于点E ，AD△BC 于点D ，△BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若AD 的长．9．如图，Rt△ABC 中，△C=90°，AD 平分△CAB ，DE△AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；（2）求△ADB 的面积．10．如图所示，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边交AB 、AC 于M 、N ，连结MN ，求AMN ∆周长.11．如图，AB 与CD 相交于O ，OE 平分△AOC ，OF△AB 于O ，OG△OE 于O ，若△BOD=40°，求△AOE 和△FOG 的度数．12．如图，AD为△ABC的角平分线，DE△AB于点E，DF△AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)求证：AD垂直平分EF；(2)若△BAC=60 ，写出DO与AD之间的数量关系，不需证明．13．如图，直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，OE 平分△AOD．（1）若△COE=20°，则△BOD=；若△COE=α，则△BOD=（用含α的代数式表示）（2）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测△COE与△BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．14．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：△AEB的度数为；线段BE与AD之间的数量关系是．（3）拓展探究如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，△ACB=△DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断△AEB的度数及线段CM、AE、BE 之间的数量关系，并说明理由．参考答案1．B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】A、△62+82=100=102，△能够成直角三角形，故本选项不符合题意；B、△22+22=8≠（2，△不能够成直角三角形，故本选项符合题意．C、△12+2=4=22，△能够成直角三角形，故本选项不符合题意；D、△82+152=289=172，△能够成直角三角形，故本选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．D【解析】【分析】熟记反证法的第一步，根据反证法第一步首先从结论的反面假设结论不成立，即可得出答案．【详解】用反证法证明直角三角形中的两个锐角不能都大于45°，应先假设每一个锐角都大于45°．故选D．【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．A【解析】【分析】据已知条件和等边三角形的性质可知：△1=△2=12△ABC=30°，所以△3=△1+△2=60°．【详解】如图，△等边三角形ABC中，AD，BE分别是△BAC，△ABC的角的平分线，交于点F，△△1=△2=12△ABC=30°，△△3=△1+△2=60°，故选A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，角的平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．4．A【解析】A、两锐角对应相等的两个直角三角形，是AAA，不能判定全等，B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合AAS，能判定全等，C、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合SAS，能判定全等，D、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合HL，能判定全等，故选A．5．B【解析】【分析】由△ABC、△ACB的平分线相交于点E，可得△MBE=△EBC，△ECN=△ECB，利用两直线平行，内错角相等及等量代换可得△MBE=△MEB，△NEC=△ECN，根据等腰三角形的判定定理可得BM=ME，EN=CN，由此可得MN=ME+EN，再结合已知条件即可求得结论．【详解】解：△△ABC、△ACB的平分线相交于点E，△△MBE=△EBC，△ECN=△ECB，△MN△BC，△△EBC=△MEB，△NEC=△ECB，△△MBE=△MEB，△NEC=△ECN，△BM=ME，EN=CN，△MN=ME+EN，即MN=BM+CN，△BM+CN=7，△MN=7，故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和平行线性质．证明△BME，△CNE是等腰三角形是解决本题的关键．6．A【分析】根据已知条件作出图像，连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=AD，可知两三角形的周长差为AB，结合条件可求出腰长，再由周长可求出BC，即可得出答案.【详解】如图，连接BD，△D在线段AB的垂直平分线上，△BD=AD，△BD+DC+BC=AC+BC=38cm，且AB+AC+BC=60cm，△AB=60-38=22cm,△AC=22cm,△BC=38-AC=38-22=16cm,即等腰三角形的腰为22cm,底为16cm,故选A.【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线再来解答. 7．A【解析】【分析】根据等边三角形面积公式2,即可解题.【详解】解：△△ABC为等边三角形,边长=2,,△S=224故选A【点睛】本题考查求等边三角形的面积,属于简单题,熟悉等边三角形面积公式是解题关键.8．A【分析】过A点作AF△BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得S ABC＝S ABP+S ACP，代入数值，解答出即可．【详解】解：过A点作AF△BC于F，连结AP，△△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，△BF＝4，△△ABF中，AF=3，△1118355222PD PE ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，12＝12×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选A．【点睛】考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．9．C【分析】利用等腰直角三角形的性质和已知条件易证△AEC△△CDB ，进而可得AE=CD ，CE=BD ，所以DE 可求出．【详解】解：△△ACB=90°，△△ACE+△DCB=90°，△AE△CD 于E ，△△ACE+△CAE=90°，△△CAE=△DCB ，△BD△CD 于D ，△△D=90°，在△AEC 和△CDB 中090CAE DCB AEC D AC BC ∠=∠⎧⎪∠==⎨⎪=⎩,△△AEC△△CDB ，（AAS ），△AE=CD=5cm ，CE=BD=2cm ，△DE=CD -CE=3cm ，故答案为C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是根据已知条件判定三角形的全等．10．C【解析】试题分析：△MN是线段AB的垂直平分线，△AN=BN，△△BCN的周长是7cm，△BN+NC+BC=7（cm），△AN+NC+BC=7（cm），△AN+NC=AC，△AC+BC=7（cm），又△AC=4cm，△BC=7﹣4=3（cm）．故选C．考点：线段垂直平分线的性质．11．C【解析】试题分析：根据等腰三角形的三线合一定理可得：△1=△2，△BDE=△CDF，根据角平分线的性质可知：AD上任一点到AB、AC的距离相等，故正确的有3个，选C．12．D【解析】△PE△AB，PF△BD，PF=PE，△PB平分△ABD，△△PBD=12△ABD，同理△PDB=12△CDB，△AB△CD，△△ABD+△CDB=180°，△2△PBD+2△PDB=180°，△△PBD+△PDB=90°，△△BPD=180°-△PBD-△PDB=90°.故选D.点睛：本题最后求的是角度，关键是利用角平分线的判定将PF=PG=PE转化为角度的关系. 13．C【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC 的周长=AD+BC+CD=AC+BC．【详解】解：△ED是AB的垂直平分线，△AD=BD，△△BDC的周长=DB+BC+CD，△△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．故选C．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．14．B【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．【详解】由题意得△ABC=60°，AB=BC=40△△ABC是等边三角形△AC=AB=40海里．故选B ．15．C【解析】【分析】连结CF ，如图，根据等腰直角△ABC 的性质得CF=AF=BF ，CF△AB ，△1=45°，则可根据“SAS”判断△ADF△△CEF ，得到DF=EF ，△3=△2，由△3+△CFD=90°可得△CFD+△2=90°，即△DFE=90°，所以△DEF 为等腰直角三角形，于是可对△进行判断；利用△DEF 为等腰直角三角形得到，利用垂线段最短，当FD△AC 时，FD 的长度最小，此时FD=12AC=4，所以DE 长度的最小值为，则可对△进行判断；利用S △ADF =S △CEF 可得四边形CDFE 的面积=S △ACF =12S △ABC =16，于是可对△进行判断；由于S △CDE =S 四边形CDFE -S △DEF =16-S △DEF ，FD 的长度的最小值为4，则S △DEF 的最小值值为8，所以△CDE 面积的最大值为8，则可对△进行判断．【详解】连结CF ，如图，△△ABC 为直角三角形，△△A=45°，△F 是等腰直角△ABC 斜边上的中点，△CF=AF=BF ，CF△AB ，△1=45°，在△ADF 和△CEF 中，1AD CE A AF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADF△△CEF（SAS），△DF=EF，△3=△2，△△3+△CFD=90°，△△2+△CFD=90°，即△DFE=90°，△△DEF为等腰直角三角形，所以△正确；△△DEF为等腰直角三角形，FD，当FD△AC时，FD的长度最小，此时FD=12AC=4，△DE长度的最小值为△错误；△△ADF△△CEF，△S△ADF=S△CEF，△四边形CDFE的面积=S△ACF=12S△ABC=12×12×8×8=16，所以△正确；△S△CDE=S四边形CDFE-S△DEF=16-S△DEF，而当FD△AC时，FD的长度最小，此时FD=12AC=4，△S△DEF的最小值为12×4×4=8，△△CDE面积的最大值为16-8=8，所以△正确．故答案为△△△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题1．5【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的性质，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC的长，即5cm．【详解】解：△BP、CP分别是△ABC和△ACB的平分线，△△ABP＝△PBD，△ACP＝△PCE，△PD△AB，PE△AC，△△ABP＝△BPD，△ACP＝△CPE，△△PBD＝△BPD，△PCE＝△CPE，△BD＝PD，CE＝PE，△△PDE的周长＝PD＋DE＋PE＝BD＋DE＋EC＝BC＝5cm．故答案为5．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质及等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是将△PDE的周长转化为BC边的长．2．5或10【分析】分两种情况：△当AP=BC=5时；△当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC△Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【详解】解：△AX△AC，△△PAQ=90°，△△C=△PAQ=90°，分两种情况：△当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB PQ BC AP =⎧⎨=⎩， △Rt△ABC△Rt△QPA （HL ）；△当AP=CA=10时，在△ABC 和△PQA 中，AB PQ AP AC=⎧⎨=⎩， △Rt△ABC△Rt△PQA （HL ）；综上所述：当点P 运动到AP=5或10时，△ABC 与△APQ 全等；故答案为5或10．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．3．【解析】【分析】过点E 作EH△AG 于H ，由△AGE=30°可求得AG 的长，由翻折可知AE=BE 、AG=CG ，根据BC=BE+EG+CG ，将数据代入相加即可得.【详解】过点E 作EH△AG 于H ，，△AGE=30°，，由翻折得6BE AE GC GA ====，△6BC BE EG GC =++=+故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、折叠的性质等，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形.4．60°【解析】试题解析：△AB=BC=CD=DE=EF，△A=15°，△△BCA=△A=15°，△△CBD=△BDC=△BCA+△A=15°+15°=30°，△△BCD=180°-（△CBD+△BDC）=180°-60°=120°，△△ECD=△CED=180°-△BCD-△BCA=180°-120°-15°=45°，△△CDE=180°-（△ECD+△CED）=180°-90°=90°，△△EDF=△EFD=180°-△CDE-△BDC=180°-90°-30°=60°，△△DEF=180°-（△EDF+△EFD）=180°-120°=60°．点睛：三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．5．7【解析】由MN△PQ，AB△PQ，可知△DAE=△EBC=90°，可判定△ADE△△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为：7.点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．6．12【解析】连接BE，△D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，△△A=△BDE=90°，△在Rt△DBE和Rt△ABE中，BD=AB(已知),BE=EB(公共边)，△Rt△DBE△Rt△ABE(HL)，△AE=ED，又△AE=12cm，△ED=12cm.故填12.7．7【分析】根据线段垂直平分线的性质得出PA=PB，代入即可求出答案．【详解】△点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，△PB=PA=7，故答案为7．【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．8．1或3【详解】当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图1所示，过E作EF△BD,垂足为F点,可得△EFB=90°，△EC=ED,△F为CD的中点,即CF=DF=12 CD，△△ABC为等边三角形,△△ABC=60°，△△BEF=30°，△BE=AB+AE=1+2=3，△FB=12EB=32，△CF=FB−BC=12，则CD=2CF=1；当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图2所示，过E作EF△BD,垂足为F点,可得△EFC=90°，△EC=ED,△F为CD的中点,即CF=DF=12 CD，△△ABC为等边三角形,△△ABC=△EBF=60°，△△BEF=30°，△BE=AE−AB=2−1=1，△FB=12BE=12，△CF=BC+FB=32，则CD=2CF=3，综上，CD的值为1或3.故答案为：1或39．在一个三角形中，有两个角是直角【解析】【详解】用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为直角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为直角”．故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为直角．【点睛】反证法：第一步应假设假设结论不成立.10．3【解析】试题分析：连接AM，AN，△AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，△BM=AM，CN=AN，△△MAB=△B，△CAN=△C，△△BAC=120°，AB=AC，△△B=△C=30°，△△BAM+△CAN=60°，△AMN=△ANM=60°，△△AMN是等边三角形，△AM=AN=MN，△BM=MN=NC，△BC=9cm，△MN=3cm．故答案为3cm．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质；三、解答题1．证明见解析.【解析】【分析】由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．【详解】△BE=CF ，△BE+EF=CF+EF ，即BF=CE ，△△A=△D=90°，△△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt△ABF 和Rt△DCE 中，BF=CE ，AB=CD ，△Rt△ABF△Rt△DCE （HL ）．2．（1）证明见解析；（2）CD【分析】（1）因为△AOB=△COD=90°，由等量代换可得△DOB=△AOC ，又因为△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，所以OC=OD ，OA=OB ，则△AOC△△BOD ；（2）由（1）可知△AOC△△BOD ，所以AC=BD=2，△CAO=△DBO=45°，由等量代换求得△CAB=90°，则CD ==【详解】（1）证明：△△DOB=90°-△AOD ，△AOC=90°-△AOD ，△△BOD=△AOC ，又△OC=OD ，OA=OB ，在△AOC 和△BOD 中， OC OD AOC BOD OA OB ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝△△AOC△△BOD （SAS ）；（2）解：△△AOC△△BOD ，△AC=BD=2，△CAO=△DBO=45°，△△CAB=△CAO+△BAO=90°，△CD==3．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得△BAE=△EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可.（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出△EAF=△CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可.【详解】（1）证明：△AB=AC，D是BC的中点，△△BAE=△EAC.在△ABE和△ACE中，△AB AC{BAE EAC AE AE=∠=∠=，△△ABE△△ACE（SAS）.△BE=CE.（2）△△BAC=45°，BF△AF，△△ABF为等腰直角三角形.△AF=BF.△AB=AC，点D是BC的中点，△AD△BC.△△EAF+△C=90°.△BF△AC，△△CBF+△C=90°.△△EAF=△CBF.在△AEF和△BCF中，△EAF CBF{AF BFAFE BFC90∠=∠=∠=∠=︒，△△AEF△△BCF（ASA）.4．详见解析.【分析】根据已知条件证明AB=CD,AF=CF，证明Rt△ABF△Rt△CDE（HL）,得BF＝DE,进而证明△BFG△△DEG（AAS），即可证明.【详解】证明△DE△AC，BF△AC，△△DEG＝△BFE＝90°,△AE＝CF，AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CF，△Rt△ABF△Rt△CDE（HL），△BF＝DE．在△BFG和△DEG中，△BFG=△DEG,△BGF=△DGE，BF=DE△△BFG△△DEG（AAS），△FG＝EG，即BD平分EF【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质,中等难度,将中点问题转化成证明全等问题是解题关键.5．画图见解析【解析】试题分析：要使P到三条公路的距离相等，那么P点必然在这三条公路夹角的角平分线上，因此，分别作出l1与l3、l2与l3夹角的角平分线，在区域A内的交点即为点P.试题解析：如图，点P即为所求．点睛：本题关键在于利用角平分线的逆定理解题，掌握尺规作图作角平分线的方法. 6．CD的长是5 cm．【解析】试题分析：根据等边对等角和三角形的外角求出△CAD的度数，然后根据30°角的直角三角形的性质可求解.试题解析：在△ABC中，因为AB=AC=10 cm，△B=15°，所以△B=△ACB=15°.所以△DAC=△B+△ACB=30°．因为CD是AB边上的高，所以△D=90°.所以CD=AC=×10=5（cm），即CD的长是5 cm．7．见解析【分析】因为点E到B、D两点的距离相等，所以，点E一定在线段BD的垂直平分线上，首先以D为顶点，DC为边作一个角等于△ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E．【详解】解：作图如下：结论：点E为所求8．（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出△CAD=△CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF，从而得证．（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解．解：（1）证明：△AD△BC，△BAD=45°，△△ABD是等腰直角三角形．△AD=BD．△BE△AC，AD△BC，△△CAD+△ACD=90°，△CBE+△ACD=90°．△△CAD=△CBE．在△ADC 和△BDF 中，△CAD=△CBF ，AD=BD ，△ADC=△BDF=90°，△△ADC△△BDF （ASA ）．△BF=AC ．△AB=BC ，BE△AC ，△AC=2AE ．△BF=2AE ．（2）△△ADC△△BDF ，．在Rt△CDF 中，CF 2===．△BE△AC ，AE=EC ，△AF=CF=2．．9．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）△AD 平分△CAB ，DE△AB ，△C=90°，△CD=DE ，△CD=3，△DE=3；（2）在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB 10==，△△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 10．△AMN 的周长为2．【分析】根据已知条件得△CDE△△BDM ，再利用DE=DM ，MDE EDN 60∠∠==︒证明△DMN△△DEN ，得到对应边相等即可解题.【详解】如图，延长NC 到E ，使CE=BM ，连接DE ，△△ABC 为等边三角形，△BCD 为等腰三角形，且△BDC=120°，△△MBD=△MBC+△DBC=60°+30°=90°，△DCE=180°﹣△ACD=180°﹣△ABD=90°，又△BM=CE ，BD=CD ，△△CDE△△BDM ，△△CDE=△BDM ，DE=DM ，△NDE=△NDC+△CDE=△NDC+△BDM=△BDC ﹣△MDN=120°﹣60°=60°，△在△DMN 和△DEN 中，60DM DE MDE EDN DN DN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，△△DMN△△DEN ，△MN=NE=CE+CN=BM+CN ，△△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周长为2．【点睛】本题考查等边三角形的性质与应用,截长补短的数学方法,中等难度,作辅助线证明全等是解题关键.11．△AOE=20°，△FOG=20°【解析】试题分析：根据对顶角相等得到△AOC=△BOD=40°，然后再根据角平分线的定义即可求得△AOE的度数，再根据同角的余角相等即可求得△FOG的度数.试题解析：△△AOC与△BOD是对顶角，△△AOC=△BOD=40°，△OE平分△AOC，△△AOE=12△AOC=20°，△OF△AB，OG△OE，△△AOF=△EOG=90°，即△AOG与△FOG互余，△AOG与△AOE互余，△△FOG=△AOE=20°.【点睛】本题考查了对顶角的性质、角平分线的定义、余角的性质等，在解题时根据对顶角的性质和角平分线，余角的性质进行解答是关键．12．（1）见解析；（2）14 DO AD【解析】试题分析：（1）由AD为△ABC的角平分线，得到DE=DF，推出△AEF和△AFE相等，得到AE=AF，即可推出结论；（2）由已知推出△EAD=30°，得到AD=2DE，在△DEO中，由△DEO=30°推出DE=2DO，即可推出结论．试题解析：（1）△AD为△ABC的角平分线，DE△AB，DF△AC，△DE=DF，△AED=△AFD=90°，△△DEF=△DFE，△△AEF=△AFE，△AE=AF，△点A、D都在EF的垂直平分线上，△AD垂直平分EF．（2）14DO AD=，理由：△△BAC=60°，AD平分△BAC，△△EAD=30°，△AD=2DE，△EDA=60°，△AD△EF，△△EOD=90°，△△DEO=30°△DE=2DO，△AD=4DO，△14DO AD=.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是（1）证AE=AF和DE=DF；（2）证AD=2DE和DE=2DO．13．（1）40°；2α；（2）△BOD=2△COE．【解析】试题分析：（1）先根据直角计算△DOE的度数，再同角平分线的定义计算△AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；（2）设△BOD=β，则△AOD=180°-β，根据角平分线的定义表示△BOE，再利用互余的关系求△COE的度数，可得结论．试题解析：（1）若△COE=20°，△△COD=90°，△△EOD=90°﹣20°=70°，△OE平分△AOD，△△AOD=2△EOD=140°，△△BOD=180°﹣140°=40°；若△COE=α，△△EOD=90﹣α，△OE平分△AOD，△△AOD=2△EOD=2（90﹣α）=180﹣2α，△△BOD=180°﹣（180﹣2α）=2α；故答案为40°；2α；（2）如图2，△BOD=2△COE，理由是：设△BOD=β，则△AOD=180°﹣β，△OE平分△AOD，△△EOD=12△AOD=1802β-=90°﹣2β，△△COD=90°，△△COE=90°﹣（90°﹣2β）=2β，即△BOD=2△COE ．14．（1）详见解析；（2）△AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE=AD ；（3）详见解析.【解析】试题分析：(1) 根据已知条件可知，要想证明BD =CE ，可以证明△BAD 与△CAE 全等. 根据已知条件中关于等腰三角形的叙述，可以得到AB =AC ，AD =AE . 由于这两个等腰三角形的顶角均为40°，所以这两个顶角分别减去△DAC 也一定相等. 综合上述条件，利用SAS 可以证明△BAD 与△CAE 全等，进而证明BD =CE .(2) 根据已知条件不难利用SAS 证明△ACD 和△BCE 全等. 利用全等三角形的相关性质，可以得到AD =BE ，即线段BE 与AD 之间的数量关系是BE =AD . 同理，根据全等三角形的性质可知△ADC =△BEC . 根据等边三角形的性质和邻补角的相关结论可知，△BEC =△ADC =120°. 利用等边三角形的性质即可求得△AEB 的度数.(3) 通过两个直角与△DCB 的和差关系可以得到△ACD =△BCE ，再结合等腰直角三角形的性质，不难利用SAS 证明△ACD 和△BCE 全等. 利用全等三角形的性质可以得到AD =BE . 根据等腰直角三角形的性质，可以得到CM =DM =EM . 综上所述，AE =AD +DE =BE +2CM . 试题解析：(1) 证明：△△BAC =△DAE =40°，△△BAC -△DAC =△DAE -△DAC ，即△BAD =△CAE .△△ABC 与△ADE 分别是以BC 与DE 为底边的等腰三角形，△AB =AC ，AD =AE .△在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BAD △△CAE (SAS)，△BD =CE .(2) 本小题应依次填写：60°；BE =AD . 理由如下.△△ACB 和△DCE 均为等边三角形，△AC =BC ，CD =CE ，△ACB =△DCE =60°.△△ACB -△DCB =△DCE -△DCB ，即△ACD =△BCE .△在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△BCE (SAS)，△AD =BE ，△ADC =△BEC .△△DCE 为等边三角形，△△CDE =△CED =60°，△点A ，D ，E 在同一直线上，△△ADC =180°-△CDE =180°-60°=120°，△△BEC =△ADC =120°，△△AEB =△BEC -△CED =120°-60°=60°.综上所述，△AEB 的度数为60°；线段BE 与AD 之间的数量关系是：BE =AD .(3) △AEB 的度数为90°；线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系是：AE =BE +2CM . 理由如下. △△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形且△ACB =△DCE =90°，△AC =BC ，CD =CE ，△CDE =△CED =45°.△△ACB =△DCE =90°，△△ACB -△DCB =△DCE -△DCB ，即△ACD =△BCE .△在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACD △△BCE (SAS)，△AD =BE ，△ADC =△BEC ，△△CDE =45°，又△点A ，D ，E 在同一直线上，△△ADC =180°-△CDE =180°-45°=135°，△△BEC =△ADC =135°.△△BEC =135°，△CED =45°，△△AEB =△BEC -△CED =135°-45°=90°.△CM 为△DCE 中DE 边上的高，即CM △DE ，△在等腰直角三角形DCE 中，DM =EM .△CM △DE ，△CDE =45°，△△CMD 是等腰直角三角形，△CM =DM .△CM=DM=EM.△DE=DM+EM=2CM，又△AD=BE，△AE=AD+DE=BE+2CM.点睛：本题综合考查了全等三角形，等腰三角形以及等边三角形的相关知识. 根据各个相关角之间的位置关系，灵活运用角的和差获得相等的角. 这是本题解题的一个关键点. 另外，灵活运用等边三角形和等腰直角三角形的判定和性质也是解决本题的重要手段.。

2024八年级数学上册期末复习9平行线的证明2易错专项训练习题课件新版北师大版

∴∠ C ' MN ＝∠ CMN .
∵MC'∥ AB ，∴∠MC'N＝∠ B ＝65°.

∴∠ CMN ＝∠C'MN＝ ×(180°－65°－65°)＝25°.

故选B.
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类型3考虑不全导致的错误
3. 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 B ， D 重合，
若固定三角板 AOB ，
改变三角板 ACD 的位置(其中 A 点位置
42°，
∴4 x －30°＝4×42°－30°＝138°.
∴这两个角的度数分别为42°，138°或10°，10°.
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∵ MC '∥ BC ，∴∠ C ' MN ＝∠ MNC .
∴∠ CMN ＝∠ MNC . ∵∠ C ＝65°，

∴∠ CMN ＝∠ MNC ＝ ×(180°－65°)＝57.5°.

∴∠C'MN＝57.5°；
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②如图②，MC'与△ ABC 的边 AB 平行.
∵△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'，
∴如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或
互补.
设一个角的度数为 x ，则另一个
角的度数为4 x －30°.
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(1)两个角相等，则 x ＝4 x －30°，解得 x ＝10°，
∴4 x －30°＝4×10°－30°＝10°；
(2)两个角互补，则 x ＋(4 x －30°)＝180°，解得 x ＝
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2
3
4
正确的有(
A
)
A. ①②④

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直角三角形有一个角
是的三
角形是直角
三角形。

①“勾股定理”：
②在直角三角形中，
30°角所对直角边等
于。

③直角三角形两锐
角。

①定义
②“勾股逆定理”
③两锐角的三角
形是直角三角形。

线段的垂直平分线
一
条线段
的
叫线段的垂
直平分线。

①线段垂直平分线上
一点
相等。

②三角形三边的垂直
平分线，且到
相
等。

到一条线段两个端
点的点，在这条
线段的垂直平分线上。

角平分线从一个角的顶
点引出一条射
线
这条射线叫做
这个角的角平
分线。

①角平分线上的点。

相等。

②三角形的三条角平
分线，且
到相
等。

到角的两
边的点，在
这个角的平分线上。

命题：
判断一件事的句子叫命题。

命题有与两部分。

互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的是另一个命题的，那么这两个命题成为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的。

逆定理：
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．
1、等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是度
2、在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，CD⊥AB于点D, 若BC＝2,AD的长为。

3、如图1，CD平分∠ACB，AE//DC交BC的延长线于点E，若∠ACE＝80°，则∠CAE＝度。

4、某马戏团有一架如图2所示的滑梯，滑梯底端B到立柱AC的距离BC为8m，在点B处测得点D和滑
梯顶端A处的仰角分别为26.57º和36.87º．
（1）求点A到点D的距离（结果保留整数）；（5分）
（2）在一次表演时，有两只猴子在点D处听到驯兽员的召唤，甲猴由D顺着立柱下到底端C，再跑到B；乙猴由D爬到滑梯顶端A，再沿滑道AB滑至B。

小明看完表演后，他认为甲、乙两只猴子所经过的
路程大致相等，小明的判断正确吗？通过计算说明．（4分）
图2
5、如图3，点F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充的一个条
件是 .
6、正三角形的边长是a cm，则它的高等于。

7、若在△ABC中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，BC边上的中线AD＝4 cm，则
∠ADC的度数是度。

图3 8、△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是角平分线且交AC于D点，若BD＝2，则AB的长是( ) A．4 B． C． D．2
9、已知：如图4，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且DE=DF．求证：△ABC是等腰三角形
图4
10、已知，如图5，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于
点D、E，若BD+CE＝5，则线段DE的长为。

图5
23
3
B C
A
E
D
图1
C
E
A D B
垂直平分线
1、如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.
2、如图：△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,EF垂直平分AB, EF=2,求AB与BC的长。

角平分线
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为
_________。

2、如右下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分
∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于
3.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
三角形全等
1、如图：已知P,O是线段CD垂直平分线上的点，A,B分别是射线OC,OD上的点，且PC⊥OA,
PD⊥OB,垂足分别是C,D.
求证：（1）、OC=OD; （2）、OP平分∠AOB.
E
B F C
A
O
C
A
B
D
P
[6]
B
A
C
D
E
H
2、.如图：在△ABC中，AD,CE分别是△ABC的高，请你再加一个__________条件即可使△AEH≌△CEB。

3.如下图，已知∠ABC=∠AD C=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED.
命题
1、命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是______________它是一个_______命题。

2.、下列各语句中，不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上
D.对顶角相等
3、.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等。