定积分应用及广义积分
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结定积分的计算方法总结总结是在某一时期、某一项目或某些工作告一段落或者全部完成后进行回顾检查、分析评价，从而得出教训和一些规律性认识的一种书面材料，它可以帮助我们总结以往思想，发扬成绩，是时候写一份总结了。
总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家整理的定积分的计算方法总结，希望对大家有所帮助。
定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。
定理设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f （x）在区间[a，b]上可积。
3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0。
推论如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg （x）dx。
推论|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx。
性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b—a）≤∫abf（x）dx≤M（b—a），该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf（x）dx=f（ξ）（b—a）。
4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a<c<b）外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf（x）dx与∫cbf（x）dx都收敛，则定义∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf（x）dx发散。
定积分的应用1、求平面图形的'面积（曲线围成的面积）直角坐标系下（含参数与不含参数）极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线的方程）平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）功、水压力、引力函数的平均值（平均值y=1/（b—a）*∫abf（x）dx）。
定积分的分部积分法广义积分
b
(5.3.3)
分部积分法
例(补充)
计算
0
4
0
xdx . 1 cos 2 x
2
解 1 cos2x 2cos x,
4
0
xdx 1 cos 2x
4
4
xdx 2 cos x
2
0
4
4
0
x d tan x 2
1 1 x tan x 0 2 2 1 4
dx
1
dx x
lim
1
b 1
b
dx x
令 x t，则x t 2，dx 2tdt 且x 1 t 1 ，x b t b
b 2tdt lim 2dt lim 2t b 1 b t
lim
b 1
b
b 1
lim 2( b 1)
1 x
dx
b 0
lim (arctan x)
a
a
lim (arctan x)
b
b
(0 lim arctan a) ( lim arctan b 0)
2
注意 有限区间上 定积分的计 算和对积分 结果求极限 的运算的正 确性.
2
广义积分
b
b
1 1
所以，广义积分
-x
e dx 收敛 .
0
广义积分
例3 求广义积分
解
0
微积分教学课件第6章定积分第5节广义积分初步
,
0
0
而 lim cos t 不存在，因此积分
sin x dx
发散，
t
0
所以积分 sin x dx 发散.
6
例1 讨论下列无穷限积分的敛散性.
1
(4)
dx
e x ln x
解 对任意t 0 ,有
t 1 dx e x ln x
t 1 d ln x ln(ln x) t ln(lnt) ,
如果瑕点 c 在[a, b] 内部,a c b ,则
f ( x)dx 与 f ( x)dx 都收敛时, f ( x)dx 收敛,且
a
c
a
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx .
15
例6 讨论下列瑕积分的敛散性.
11
(1) 0
dx x
解 0为瑕点 ，
原式 lim 1 1 dx lim 2(1 ) 2 .
x 0
0
注 若 x a 是 f (x) 的瑕点,但它的原函数 F(x) 在 x a
处连续,则仍可以形式地使用牛顿-莱布尼茨公式.
11
1
dx 2 x 2 .
0x
0
16
例6 讨论下列瑕积分的敛散性.
(2)
t
lim f ( x)dx
t a
存在,则称此极限为函数 f (x) 在[a, ) 上的广义积分,
记作 f (x)dx ,即
f ( x)dx lim
t f ( x)dx ，
a
a
t a
此时称广义积分 f (x)dx 收敛；如果上述极限不存在, a
则称广义积分 f (x)dx 发散. a 2
定积分及广义积分(一)
即
0
0
∫ ∫ α
f (x)dx ≥ α
1
f (x)dx
0
0
∫α
方法二: 由积分中值定理, 存在ξ∈[0, α], 使 f (x)dx = α f (ξ ) ; 0
∫ 由积分中值定理, 存在η∈[α, 1], 使 1 f (x)dx = f (η)(1 − α ) α
因为 η ≥ ξ , 所以f (η) ≤ f (ξ ) .
2!
3!
= F (t) + f (t)( x − t) + f ' (t) (x − t)2 + f ' ' (t) (x − t)3 (1)
2!
3!
(1)中令 x = a, t = b, 得到 0 = F (b) + f (b)(a − b) + f ' ' (ξ1) (a − b)3
(2)
6
(1)中令 x = b, t = a, 得到 F (b) = f (a)(b − a) + f ' ' (ξ2 ) (b − a)3
0
1 2(n + 1)
<
In
<
1 2(n − 1)
.
∫ ∫ 证明:
令 t = tan x ,
则 In =
π
4 tann xdx =
0
1 tn 0 1+ t2
dt
因为
1
t +
t
2
'
=
1− t2 (1 + t 2 )2
> 0, (0 < t < 1).
定积分的计算与广义积分
A c
f ( x) d x .
c
f ( x) d x 与 f ( x) d x 与 对
于是
a T
T
f ( x) d x f (t T ) d t f (t ) d t f ( x) d x
0 0 0
a
a
a
a T a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a 0 0
0
T
a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a R，有
a T a 0
f ( x) d x f ( x) d x .
0 T a T 0 T
T
证
因为
a T a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a
f ( x) d x ,
故令 x t T，则 d x d t，且 x : T a T 时，t : 0 a，从而
1 x d x
2
cos t d t
2
1 (1 cos 2 t ) d t 2
1 1 t sin 2 t C arcsin x x 1 x 2 C 2 2 2 4
由牛顿——莱布尼兹公式 ， 得
1 0
1 1 1 x d x arcsin x x 2 2
(3) ( ) a ， ( ) b，
则
b a
f ( x) d x f ( (t )) (t ) d t .
定积分积分法与广义积分
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，而定积 分可以通过极限的思想推广到广义积分。
03
两者都涉及到积分的存在性和可积性，以及积分的 计算和性质。
定积分与广义积分的区别
定义域不同
定积分的定义域是有限的闭区间，而广义积分的定义域可 能是无限的区间或者无界点集。
积分结果可能不同
在定积分中，如果被积函数在闭区间上连续且在开区间上可积 ，则其积分值是确定的；而在广义积分中，即使被积函数在某
个区间上连续，其积分值也可能不存在。
意义不同
定积分主要用于计算面积、体积等数值结果，而广义积分则更 多地用于研究函数的性质和行为，例如函数的奇偶性、可导性
、收敛性等。
定积分与广义积分的应用场景
定积分的应用场景
在物理学、工程学、经济学等各个领域中，都需要用到定积分来计算各种量值，例如物体的质量、面积、体积 等。
换元法
通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分。
分部积分法
通过分部积分公式将两个函数的乘积转化为两个函数的积分之差。
广义积分的计算方法
无穷区间上的广义积分
通过将无穷区间分割成有限个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行积分， 最后取极限得到广义积分的值。
无界函数的广义积分
对于无界函数的广义积分，需要特别注意积分的上下限，以及在计算过程中对无 界点的处理。
广义积分的性质
01
线性性质
广义积分具有线性性质，即对于两个 函数的和或差的积分，可以分别对每 个函数进行积分后再求和或求差。
02
区间可加性
对于函数在两个区间上的积分，如果 这两个区间有重叠部分，则该函数在 这两个区间上的积分之和等于在重叠 区间上积分的两倍。
03
第04讲 积分应用及广义积分
p ≤ 1,
∫
+∞ 2
发散.
注意：下题判断是错误的：
1 1 1 ∫ −1 x n dx = 1 − n ⋅ x n−1
1
1
1 − (−1) n −1 = , n ≥ 1 , 收敛 ! 1− n −1
因为
0 1 1 1 1 dx = ∫ n dx + ∫ n dx n −1 x −1 x 0 x α 1 1 1 = lim− ∫ n dx + lim+ ∫ n dx . n ≥ 1 发散! β x −1 x α →0 β →0 + ∞ arctan x 例 4.2 计算 ∫ dx . 1 x2 + ∞ arctan x +∞ 1 解: ∫ dx = − ∫ arctan xd ( ) 2 1 1 x x
2 0
tan t π π /2 dt = t 0 = . tan t 2
+
∫
+∞ 0
dx e2 x − 1
=∫
+∞ 0+
+∞ 0
dx e x 1 − e−2 x
=∫
+∞ 0
− de− x 1 − (e − x ) 2
= − arcsin e− x
π⎞ π ⎛ = −⎜0 − ⎟ = . 2⎠ 2 ⎝
∫
+∞
a
f ( x)dx 收敛, 则 ∫
a
∫
+∞ a
1 dx (a > 0) 当 p > 1 时收敛;当 p ≤ 1 时发散. xp
p x → +∞
因此若 lim x f ( x) = λ ≥ 0 ,且 p > 1 , 第二类广义积分 z (比较法) 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x), x ∈ [a, b) , 若 若 z
定积分和广义积分的区别与联系
反常积分与定积分有何区别和联系要想得出定积分和广义积分的区别与联系，我们需要先明确两者的定义。
从定义的角度出发，对其进行讨论定积分：设函数f(x)在区间[a,b]上有界，在[a,b]任意插入n-1个分点，a=x 0<x 1<x 2<…<x n-1<x n =b把区间[a,b]分成n 个小区间，记△X I =x i -x i-1（i=1，2，…，n ），在每个小区间[x i,x i-1]上任取一点ξi(i=1,2,…,n ），作小区间长度△X I 与f （ξi ）的乘积，并求和。
设λ=max{△x1，△x2,…，△xi}(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数I ，这个常数I 叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分i ni i x f I x f ∆==⎰∑=→ba1)(lim )(ξλ其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。
反常积分：无穷积分：设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a,如果极限⎰+∞→bab f dx x lim）（存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记作⎰⎰+∞→+∞=bb adx x f dx x f a)(lim)(瑕积分：设函数f(x)定义在(a,b]上，而在x=a 的任一右邻域内f(x)无界(此时称x=b 为f(x)的瑕点)，若f(x)在任意[a -ε,b](0<ε<b -a)上可积，即：⎰⎰-→=uabu badx x f x f )(lim )(由上可知，定积分是有界函数在有限区间上的积分。
实际运用中遇到的无穷区间上的积分，以及无界函数在有限区间上的积分，两者统称为反常积分，分别称为无穷积分和瑕积分。
第十周周一高等数学の5-定积分在几何物理上的应用广义积分
x
设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb)给出，其中f(x)在区 间[a，b]上具有一阶连续导数，则
ds 1 y2dx ，s b 1 y2dx ． a
讨论：
(1)设曲线弧由参数方程
x
y
(t), (t)
( t )给出，其中
(t)、(t)在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各
2
2
1
1a
ab
b2
2(1(1cocso2st2)td)tdt11
a
ab·b·
11
a ab b．．
22 0 0
2 2 2 24 4
A 4A1 a b．
2. 极坐标的情形
•曲边扇形及曲边扇形的面积元素：
由曲线r()及射线 ， 围成的图形称为曲边扇形．
•曲边扇形的面积元素：
dA 1 [()] 2d ．
a2 (1 cos )2 a2 sin 2 d 2a sin d ．
2
所求弧长为
s
2 2a sin d
0
2
2a[2
cos
2
]02
8a ．
y
2a
O
a
2 a
x
3. 极坐标的情形
设曲线弧由极坐标方程
r = r() ( ) 给出，其中r()在[，]上具有连续导数． 由直角坐标与极坐标的关系可得
是什么？
(2)设曲线弧由极坐标方程r = r() ( )给出，其中r() 在[，]上具有连续导数， 问弧长元素ds和弧长 s 各是什么？
) Ds MO MP ,
ds MP dx2 dy2 ,
直角坐标系下 y f x,
P
O
dy
广义积分定义
广义积分定义广义积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面的面积或者曲线长度。
它是微积分中的基本操作之一，也是求解微分方程、计算物理量等问题的重要工具。
广义积分的定义比较抽象，需要通过极限的思想来理解。
在介绍广义积分的定义之前，我们先来回顾一下定积分的概念。
定积分是广义积分的一种特殊情况，它可以用来计算曲线下面的面积。
如果我们将曲线分割成无穷多个小的线段，并在每个小线段上取一个点，那么这些小线段的长度乘以对应的函数值的和，就是定积分的近似值。
当这些小线段的长度趋于零时，这个近似值就会趋于定积分的真实值。
但是，并不是所有的函数都可以直接求定积分。
有些函数在某些点上可能会没有定义或者无界，导致无法直接计算定积分。
为了解决这个问题，人们引入了广义积分的概念。
广义积分可以看作是对函数在某些点上的不连续或者无界部分的补充，使得我们可以对更广泛的函数进行积分计算。
广义积分的定义分为两种情况：无界区间上的广义积分和间断点处的广义积分。
对于无界区间上的广义积分，我们需要将积分区间分割成有限段，并在每一段上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为无界区间上的广义积分存在。
对于间断点处的广义积分，我们需要在间断点附近分割积分区间，并在每个小区间上计算定积分，然后取这些定积分的极限值。
如果这个极限值存在，那么我们就称之为间断点处的广义积分存在。
广义积分存在的充分条件是函数在积分区间上的绝对可积。
函数的绝对可积意味着函数在积分区间上的绝对值是可积的，即它的定积分存在。
如果函数在积分区间上不是绝对可积的，那么它的广义积分就不存在。
广义积分在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，广义积分可以用来计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量。
在经济学中，广义积分可以用来计算总收入、总支出等经济指标。
在概率论中，广义积分可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
广义积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来描述曲线下面的面积或者曲线长度。
定积分的分部积分法广义积分
分部积分法
1 2
x2 arcsin x
1 0
1 2
1 2
sin2 t
1 x2 0 1 x2
co std t
dx
4 2 0 1 sin2 t
换元法: x=sint
b
b
udv
(u v)
b a
vd u
(5.3.3)
a
a
分部积分法
1
2 sin2 tdt 1 2 1 cos2t dt
0 1 co s2x
分部积分法
解 1 cos2x 2cos2 x,
4
xd x
4
xdx
4
x
d tan x
0 1 co s2x 0 2cos2 x 0 2
1
2
1
x tan x
4
0
2
4
0
tan xdx
1
ln 2
8
2
ln sec x
4
0
8
4
.
u=? dv=?
b
b
udv
广义积分
定义5.2 设函数f（x）在区间 a， ）上连续，如果
b
lim f（x）dx （a b）
b a
存在，则称此极限值为f（x）在期间 a， ）上的
广义积分. 记作
(5.4.1)
广义积分
类似地，可以定义函数 f（x）在（ ，b 和
（- ， ）上的广义积分：
(5.4.2)
(5.4.3)
其中，c （- ， ）.
广义积分
例1 计算广义积分 e-2x d x 0
解
e2x d x lim
0
b
b
第五章定积分、广义积分
0 (令x t)
0
2
(5) xf (sin x)dx
f (sin x)dx
2 f (sin x)dx
0
20
0
(令x t)
二、基本问题及解法
问题(一) 有关变上限积分的运算
如果f ( x)在[a, b]上连续,则变上限积分( x)
x
f (t)dt
a
是x的连续函数.可进行函数的各种运算,如,求极限、 求
(3) a ( x a)k k 1时发散
利用以上结论可直接判定一些广义积分的敛散性:
例1.下列广义积分发散的是 ( )
1 dx
( A)0
; x
2 dx
(B)
;
1 3 x1
dx
(C )1
; x
dx
(D)2 x (ln x)
利用上述结论不难判定 (C), (D)正确.
6.微积分的常用公式
dy 2xe y2 cos x2dx
例5.设f ( x)在[0, )上连续且满足
x2 (1 x )
f (t)dt x
0
求f (2)
解 : 方程两边对x求导,得 f [x2(1 x)][x2(1 x)] 1,
即 f ( x2 x3 ) (2x 3x2 ) 1.令 x 1,得 f (2) 1 5
(a, c为任意常数)
2 a kf (x)dx k a f (x)dx
3 a [ f (x) g(x)]dx a f (x)dx a g(x)dx
4
分部积分公式
udv uv
vdu
a
a
a
5 也有相应的换元法；
6
f (x)dx F (x) F () F (a)
5.5-5.6 定积分计算 广义积分
0πsin xdx π2π sin xdx
cos
x
π 0
cos
x
2π π
4
当被积函数是分段函数时，若分段区间的端点在积分区 间内，则应利用区间可加性把积分区间分为多部分计算。
11
2021年5月10日星期一
例4 03f (x)dx,其中
f
(x)
x1 x2 1
,0 x 1 ,1 x 3
练习
1. 已知f (x) xaxsin t2dt，求f (a)。
2. 求导：1 f (x) 0sinx arcsin tdt
2
f (x)
x3
x2
et
2
dt
。
3.
若f
(x)连续，求极限lim xa
x2 xa
axf
(t)dt
。
a2f (a)
5
2021年5月10日星期一
解 1. 由f (x) axsin t2dt x sin x2得
2(ex
e
x
)
ln 2 0
=3
21
2021年5月10日星期一
练习 计算定积分 2 (x3 4 x2 )2dx 2
解 2 (x3 4 x2 )2dx 2 (x6 2x3 4 x2 4 x2 )dx
2
2
2 x6dx 2 2 x3 4 x2 dx 2 (4 x2 )dx
15
2021年5月10日星期一
例1
38
x dx x1
解 设 x 1 t, x t2 1, dx 2tdt
x=3时，t=2；x=8时，t=3
原式 223
t(t2 1)dt t
223(t2 1)dt
2(
定积分的广义积分
定积分的广义积分定积分是微积分中的重要概念，它能够求出函数在一定区间内的面积或曲线长度等量值。
然而，不是所有函数都能够进行定积分，因为在某些情况下，函数可能在区间内出现无限大、无界、发散等情况。
这时，就需要引入广义积分的概念。
一、广义积分的定义广义积分是指函数在无限区间上的积分，它的定义分为以下两种情况：1. 第一类广义积分如果函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ ∞ 上 Riemann 可积，那么第一类广义积分可以定义为：$$ \int_a^\infty f(x) dx = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x)dx $$其中，a 为下限，∞ 为上限，b 为上限的一个变量。
这个定义表示，当上限趋近于无穷大时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。
如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。
2. 第二类广义积分如果函数在区间a ≤ x ≤ b 的一个子区间上发生无限大或无穷小的情况，那么就需要使用第二类广义积分的定义。
对于函数 f(x) 在区间a ≤ x ≤ b 上不连续，但在每个分割区间内仍然 Riemann 可积的情况，第二类广义积分可以定义为：$$ \int_a^b f(x)dx = \lim_{\epsilon_1 \rightarrow 0^+, \epsilon_2\rightarrow 0^+} \int_{a+\epsilon_1}^{c-\epsilon_2} f(x)dx $$其中，a 为下限，b 为上限，c 为 a 与 b 之间的某一点。
这个定义表示，当积分范围趋近于a 或b 时，积分的值趋于一个有限值，那么这个积分就是收敛的。
如果这个极限不存在或为无穷大时，那么这个积分就是发散的。
二、广义积分的应用广义积分在微积分中有着广泛的应用，例如在物理学和工程学中，它可以被用来计算无限长的线、面、体等的质量、电荷、热量等物理量。
定积分的计算及应用
定积分的计算及应用一、定积分的概念设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点，把区间[a，b]分成n个小区间，当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间[a，b]上的定积分，记作∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=I=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi.二、定积分的意义（一）几何意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为曲线，则∫baf（x）dx表示[a，b]上曲边梯形的面积.（二）物理意义设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为速度，则∫baf（x）dx表示[a，b]上变速运动的路程.三、定积分概念的应用及推广1.可以把积分区间[a，b]推广到无限区间上，如[a，+∞）等，或者，函数推广到无界函数，也就是广义积分.2.可以把积分区间[a，b]推广到一个平面区域，被积函数为二元函数，那么积分就是二重积分;同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分.（一）积分的计算方法定义法：定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单地说就是分割求和取极限.任意分割任意取值所计算出的i值如果全部相同的话，则定积分存在.第一步：分割.将区间[a，b]分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式.h=b-an，那么分割点的坐标为（a，0），（a+h，0），（a+2h，0），…，（a+（n-1）h，0），（b，0），ξk在[xk-1，xk]任意選取，但是我们在做题过程中会选取特殊的ξk，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.第二步：求和.计算n个小长方形的面积之和，也就是∑nk=1f（ξk）h.第三步：取极限I=limh→0∑nk=1f（ξk）h=hlimh→0∑nk=1f（ξk），h→0即n→∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.（二）牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好地把定积分与不定积分联系在一起.利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分.这个公式要求函数在区间内必须连续.求连续函数的定积分只需求出的一个原函数，再按照公式计算即可.定理若函数f（x）在区间[a，b]连续，且F（x）是f（x）的原函数，则∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.例1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分∫10xdx.解原式=12x210=12.总结：我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义.同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单.四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，换元积分法解决了这一问题.例2 求定积分∫21lnxdx.解∫21lnxdx=xlnx“21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.：因为u（x），v（x）在[a，b]有连续导函数，并且u（x）易求微分，v（x）容易被计算出来时用分部积分法比较简单.五、定积分在数学中的应用（一）概率问题例3 在区间[-1，1]上任取两数a，b，求方程有两个正根的概率.解由题意，样本空间Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}表示边长为2的正方形区域，面积SΩ=4.要使方程两根均正，需Δ=4a2-4b≥0，x1+x2=2a0，x1x2=b0，即a2≥b，a0，b0.记方程有两正根为事件A，它对应的区域是由抛物线b=a2，直线a=1和a=0围成的，于是SA=∫10a2da=13.所以P（A）=SASΩ=112.：用定积分求概率问题更多是把问题分为样本空间区域求其覆盖面积，并且找到所求事件的空间区域求其面积，从而求出题目所要求的概率问题，运用了最基本的方法来运用到较复杂问题上.。
广义积分的概念与计算
广义积分的概念与计算概念：广义积分是微积分中的基本概念之一，也可以被称为不定积分。
它是定积分的一种推广，用于求解一些函数在一些区间上的累积效应。
与定积分不同的是，在计算广义积分时，被积函数可以在一些点上不连续、无界或不遵循一些积分性质。
在实际应用中，广义积分可以用来求解函数的面积、弧长、质心等问题，或者作为微分方程的解。
计算：1.无穷积分：如果被积函数在一些区间内无界，即在无穷远点处取极限值不存在，那么该积分称为无穷积分。
计算无穷积分时常用的方法有换元法和分部积分法。
例如，计算函数f(x) = 1 / x在区间[1, ∞)上的无穷积分。
首先可以进行换元，令u = ln(x)，则du = dx / x，原积分可以转化为1 / u 在[0, ∞)上的积分。
然后根据换元后的积分边界，等于求lim┬(b→∞)〖∫_0^b 1/u du〗。
对此积分进行计算，得到ln(u)在[0, ∞)上的积分为ln(b)。
将换元结果代回，原积分等于ln(ln(x))，即所求的无穷积分。
2.瑕积分：如果被积函数在一些点不连续，那么该积分称为瑕积分。
通过以瑕点为积分边界，将瑕积分拆分成多个有界积分来计算。
例如，计算函数f(x) = 1 / x在区间[0, 1]上的瑕积分。
由于f(x)在x = 0处不连续，可以将积分分成两部分，即∫_0^1 1/x dx =∫_0^ε 1/x dx + ∫_ε^1 1/x dx，其中ε是一个趋于0的正数。
第一部分的积分结果等于ln(ε)，第二部分的积分结果为ln(1) - ln(ε) = -ln(ε)。
当ε趋于0时，两部分的积分结果都趋于无穷大，因此该瑕积分是发散的。
3.绝对收敛积分：如果被积函数在积分区间内的绝对值函数是可积的，即广义积分的绝对值存在且有限，那么该积分称为绝对收敛积分。
对于绝对收敛积分，可以应用定积分的计算方法来求解。
例如，计算函数f(x) = 1 / (x^2 + 1)在区间(-∞, ∞)上的广义积分。
高等数学 第七章 定积分应用与广义积分 7-2(1)平面图形的面积
x
A = 2( A + A ) 1 2
= 2[∫ 1 3 (1 + cosθ )2dθ 0 2
π
2
π
A2
o
yθ =
π
3
A1
x
1 (3acosθ )2dθ ] +∫ π 2 =∫ 9 2 3 (1+ 2cosθ + cos2 )dθ + θ θ π (1+ cos 2 )dθ 0 2 3
π
o x x +d x a x
= 4ab∫ 2 sin2 t dt
0
π
= 4ab ⋅ 1⋅ π = π ab 2 2
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边 ( f ( x) ≥ 0, x ∈[a,b]) 由参数方程 给出时, 给出时
y = f (x)
则曲边梯形面积为
3. 极坐标情形 及 求由曲线 围成的曲边扇形的面积 .
第七章 七
第二节 定积分的几何应用
一、 平面图形的面积
1. 直角坐标情形 2. 参数方程情形 3. 极坐标情形
1. 直角坐标情形 (1) 面积元素
d A = f ( x)d x
曲边梯形的面积
A = ∫ f ( x)d x
a
b
(2) 面积元素
d A = [ f ( x) − g( x)]d x
曲边梯形的面积 A = [ f ( x) − g( x)]d x ∫
0 3 2 3 2 3
说明：注意各积分区间上被积函数的形式． 说明：注意各积分区间上被积函数的形式．
例3 计 由 线y2 = 2x和 线y = x − 4所 成 算 曲 直 围
图 的 积 的 形 面 .
定积分积分法与广义积分
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它不仅用于计算定积分的值，还可以解决各种实际问题，如物理、工程、经济 等领域的问题。
详细描述
微积分基本定理的应用非常广泛，它不仅用于计算定积分的值，还可以解决各种实际问题，如计算物体的质量、 面积、体积等。在工程领域，微积分基本定理可以用于解决流体动力学、弹性力学、电路分析等问题。在经济领 域，微积分基本定理可以用于研究边际分析和最优化问题。
05 习题与解答
习题
计算下列定积分 $int_{0}^{1} x^{2} dx$ $int_{-1}^{2} e^{x} dx$
习题
$int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx$
判断下列广义积分是否收 敛，并求其值
$int_{0}^{pi} sin x dx$
01
03 02
习题
广义积分在一定条件下可以转化为定积分，即定 积分是广义积分的一种特殊形式。
两者都涉及到积分区间、被积函数和积分规则等 概念。
定积分与广义积分的区别
定义范围不同
定积分通常是在有限区间上定义的，而广义 积分则可以在有限或无限区间上定义。
积分结果不同
在定积分的定义域内，积分结果是有界的，而在广 义积分中，积分结果可能无界。
不等式性质
对于任意非负函数f(x)，如果∫(a,b) f(x) dx ≥ 0，则称f(x)在[a,b]上 非负。
定积分的几何意义
面积
定积分可以理解为函数图像与x轴 之间所夹的面积，即y=f(x)与x轴 所夹的面积。
体积
对于三维空间中的函数，定积分 可以理解为函数图像与xoy平面之 间所夹的体积。
02 微积分基本定理
广义积分应用举例
广义积分应用举例引言广义积分是微积分的一个重要概念，在数学和科学领域中有着广泛的应用。
广义积分可以用来描述曲线下面积、物体质量、电荷、能量等概念。
在本文中，我们将通过一些具体的例子来介绍广义积分的应用。
曲线下面积考虑一个曲线函数f(x)，我们希望计算在一个给定区间[a, b] 上曲线下的面积。
通常情况下，我们可以使用定积分来求解。
然而，如果曲线在区间上具有无穷或间断点，我们就需要使用广义积分来计算面积。
举个例子，考虑函数 f(x) = 1/x，在区间[1, +∞) 上的曲线下的面积。
若直接使用定积分会发现无穷远点是无法计算的，所以我们需要用广义积分。
根据广义积分的定义，我们有：∫(from 1 to +∞) (1/x) dx = lim(R->∞) ∫(from 1 to R) (1/x) dx通过计算，我们可以得到：∫(from 1 to R) (1/x) dx = ln|R|然后将 R 趋近于无穷大，我们得到：∫(from 1 to +∞) (1/x) dx = ∞因此，曲线 f(x) = 1/x 在区间[1, +∞) 上的面积为无穷大。
物体质量广义积分还可以用来计算物体的质量。
考虑一个细长物体，它的质量分布在一个区间上，我们想要计算整个物体的质量。
假设物体的质量密度函数为ρ(x)，那么我们可以使用广义积分来计算物体的总质量。
举个例子，假设物体的密度函数为ρ(x) = x^2，而物体的长度为 l。
我们可以使用广义积分来计算物体的质量：M = ∫(from 0 to l) (x^2) dx通过计算，我们得到：M = l^3/3所以，当物体的质量密度函数为ρ(x) = x^2 时，物体的质量与物体的长度的立方成正比。
电荷与能量在物理学中，广义积分也被广泛用于描述电荷分布和能量。
例如，我们可以使用广义积分来计算带电物体的总电荷以及电荷分布密度。
同样地，我们也可以使用广义积分来计算电场中的能量分布。
十四 定积分的分部积分法、广义积分
dx
dx
６．
2
1 x x 1
2
1
答案
lim
1.
0 b
b 0
e dx e dx
ax
ax
(a 0)
1 ax b lim e 0 b a 1 ab 1 lim (e 1) b a a
2.
1
b 1 1 dx lim dx b 1 x x
1
e
1
ln xdx x ln x
e 1
e 1
e 1
xd ln x
1
e
x ln x d x e x
e 1
e (e 1) 1
练习:
1
0
ln( x 1 x )dx
2
x ln( x 1 x )
2
1 0
xd ln( x 1 x )
6.
x
2
1 x 1
2
dx
2
x x
2
x 1
2
dx
设
x 1 t
x t 1
2
xdx tdt
t 2 dt arctgt c (t 1)t
arctg x 1 c
2
2
1 x x 1
2
1
dx lim
2
2
1 x x 1
2
0 1
dx
2 2
0
dx)
a lim arcsin 0 2 a
x lim arcsin 0 a
a 0
例2
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第三章 一元积分学第四节 定积分的应用及广义积分一．定积分的应用积分有着广泛的应用。
在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是计算面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。
遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去解,尤其是物理或其他方面的应用。
元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。
例１．（1）曲线)0( sin 2≥=-x x e y x 与x 轴所围成的图形的面积为____． （２）曲线)0(sin 0π≤≤=⎰x dt t y x的弧长为____．解：（１）所求的面积为 ∑⎰⎰+∞=+-+∞-==)1(0|sin |2|sin 2|k k k x xdx x e dx x e A ππ而⎰+-ππ)1(|sin |2k kxdx x e==⎰--ππsin 2tdt e et k )1(ππ--+e e kππππ--∞=---+=+=∑ee ee A k k 11)1(011-+=ππe e （２）弧长为4)]([102='+=⎰dx x f l π例２．过点)0,4(作曲线)3)(1(x x y --=的切线，（１） 求切线方程；（２） 求由这切线与该曲线及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：（１）)3)(1(2x x x y ---='设切点为),(00y x ，则有4)3)(1(4)3)(1(200000000---=--=---x x x x y x x x解得 250=x ，那么切线的斜率为31-=k 切线方程为 )4(31--=x y ，即043=-+y x（３） 旋转体的体积为6)3)(1()]4(31[3252425πππ=-----=⎰⎰dx x x dx x V 。
例3. 求椭圆122=++y xy x 的面积。
，解：方法一：从方程解出22,14312)(x x x y -±-=，3232≤≤-x ， =-=⎰-323221)]()([dx x y x y S 32431232322π=-⎰-dx x 。
方法二：椭圆的极坐标方程为 θθ+=c o s s i n 112r ，32)cos sin 1(121202π=θθ+=⎰πdx S 。
方法三：将方程配分为1)2(4322=++xy x ， 引入参数方程 t x cos 32=，t t y cos 31sin -=，π≤≤20t ，32)(2120π=-=⎰πydx xdy S 。
方法四：作正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v u y x 22222222， 则方程化为12232=+v u ，32232π=⨯π=S 。
注：方法四必须是正交变换。
下面介绍一下元素法 我们先看一个例子例4．求曲线22x x y -=与直线0=y 围成的图形绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积．分析：求旋转体的体积是我们熟悉的问题．但本题没有现成的公式好用，应考虑用元素法将所求的体积化为一个积分，然后计算积分得结果．在学习定积分概念时，讲过将曲边梯形的面积化为一个定积分的几个步骤：分割、近似、求和、取极限．用元素法将所求的量化为一个定积分的步骤稍微简化一点：分割、近似后得元素、积分（以得到的元素为被积表达式在相应区间上积分）得结果．先要选好积分变量并确定积分区间，本题中可选x 也可选y ．若选y 为积分变量，则积分区间为]1,0[，分割：在]1,0[上任取一个小区间],[dy y y +，近似：该小区间对应的一小片绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积V ∆近似为dy y dy y y V -=----+≈∆18])12()12[(22ππ，从而得体积元素dy y dV -=18π，积分得结果：ππ316181010=-==⎰⎰dy y dV V ．若选x 为积分变量，则积分区间为]2,0[，分割：在]2,0[上任取一个小区间],[dx x x +，近似：该小区间对应的小曲边梯形绕直线3=x 旋转一周的旋转体的体积V∆近似为22322)( )65(2])3()3[( dx y dx x x x dx x x y V πππ-+-=----≈∆dx x x x )65(223+-≈π，从而得体积元素dV dx x x x )65(223+-=π，积分得结果：ππ316)65(21232=+-==⎰⎰dx x x x dV V ．解答过程自己完成． 总结：用元素法求某个量U 的一般步骤：（１） 建立坐标系，选取积分变量，比如x ．确定该变量的变化区间即为积分区间，比如],[b a ．（２） 在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，对应该小区间的部分量记为U ∆，找出该部分量的近似值 dx x f U )(≈∆，那么得到量U 的元素dx x f dU )(=．（３） 以元素dx x f dU )(=为积分表达式在区间],[b a 上积分便得欲求的量U ⎰⎰==bab adx x f dU U )(这里关键是找出元素dx x f dU )(=，找元素的思想是：以直代曲，以常代变．例5．设有半径为R 的密度不均匀的圆盘．已知其面密度为b ar +=μ，其中r 为所考虑的点到圆盘中心的距离，b a ,为正常数，求圆盘的质量．解：以圆盘上的点到圆心的距离r 为积分变量，则],0[R r ∈，任取],0[R 上的一个小区间],[dr r r +，该小区间对应的小圆环的质量近似为dr b ar r b ar r dr r M )( 2)]( )([22+≈+-+≈∆πππ 于是质量元素为 dr b ar r dM )( 2+=π，所以圆盘质量为)32( )( 220b aR R dr b ar r M R +=+=⎰ππ注：本题可用二重积分计算。
练习题 1.曲线3sinθ=r 位于区间]2,0[π∈θ,],2[ππ∈θ,]23,[ππ∈θ的扇形面积分别为321,,S S S ,则321,,S S S 成等差数列.()4332(41)3(sin 212021-π=θθ=⎰πd S ,8)3(sin 21222π=θθ=⎰ππd S ,)4332(41)3(sin 212323+π=θθ=⎰ππd S )2.设曲线x y sin =与直线2,0π==x x 以及)10(≤≤=t t y 所围部分的面积为)(t S ,求)(t S 的最大值和最小值. ()(t S dy y t⎰=arcsin dy y t )arcsin 2(1⎰-π+, )4(arcsin 2)(π-='t t S . 最小值为12)22(-=S ;最大值为1)0(=S )3.设)0],,[(ln )(b a b a x x x x f <<∈=.求曲线)(x f y =以及其上的一条切线,直线b x a x ==,所围部分面积的最小值.(设切点为)ln ,(t t t ,则切线方程为))(ln 1(ln t x t t t y -++=,又曲线总在切线上方,故)(t S ⎰-+--=badx t x t t t x x )])(ln 1(ln ln [,)2()(t ba t ab t S -+--=', 当2ba t +=时面积最小) 4.已知)(x f 可导,且23)()(x x f x f x +='.若已知由曲线)(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积达到最小值,求此时平面图形面积.(23)()(x x f x f x +='的解为cx x x f +=23)(, )59233()3()(21022++π=+π=⎰c c x d cx x c V , 49-=c 时,旋转体的体积最小.故平面图形面积为6419|493|102=-=⎰dx x x S )5.求由曲线0232=+-x xy y 所确定的封闭曲线所围成的平面图形的面积. ( 10),1)(2,1≤≤-±=x x x x x y ,15812)]()([11021=-=-=⎰⎰dx x x dx x y x y S , 或:令tx y =,得曲线的参数方程 3222,2t t y t t x -=-=,158)44(21)(212043220=+-=-=⎰⎰dt t t t ydx xdy S ) 二．广义积分（反常积分）本节主要介绍广义积分的计算及敛散性判定。
1. 广义积分的计算也有基本方法和特殊方法，基本方法与定积分差不多但要分清瑕点。
例1 . 求下列积分（１）dx x f x f ⎰-+'312)(1)(,其中)2()1()1()(32--+=x x x x x f , (2) dx x xx ⎰+∞+022)1(ln (3)0)( )(||2221>+--⎰∞+∞-b dx ba x ba x , (4))1( )()1(1≥+⋅⋅⋅+⎰+∞n x n x x dx 解:(1) (分析:注意这里有两个瑕点:2 ,0)dx x f x f ⎰-+'312)(1)(dx x f x f ⎰-+'=012)(1)(dx x f x f ⎰+'+202)(1)(dx x f x f ⎰+'+322)(1)( 01|)(arctan -=x f 20|)(arctan x f +32|)(arctan x f +πππππ22732arctan )22732(arctan)22()02(-=-+--+--= 注:本题的计算很容易出错:dx x f x f ⎰-+'312)(1)(2732arctan 02732arctan |)(arctan 31=-==-x f ,错误的根源在于没注意到积分区间内有两个瑕点,由此可看出计算这类积分时一定要把瑕点找出来然后按本题的做法那样去处理,还要注意极限的单侧性． （２）（分析：首先容易想到用分部法去求：=+⎰+∞dx x xx 022)1(ln 2011 ln 21x d x +-⎰+∞ ])1(1|1ln [210202⎰+∞∞++-+-=dx x x x x ，至此问题出来了，由于-∞=++→201ln lim x x x ，这就没法做下去了，但我们不能因此就说该积分发散，也不能说分部法不能用．事实上很容易判断该积分是收敛的（实际上0=x 不是瑕点），用分部法计算广义积分时要求分部积分公式右边两项均收敛（上述做法中右边两项均发散）．本题用分部法应这样做：=+⎰+∞dx x xx 022)1(ln ++⎰dx x xx 1022)1(ln dx x xx ⎰+∞+122)1(ln++-=⎰)111(ln 21210x d x 2111ln 21x d x +-⎰+∞ ])1(1|1ln [21]1|1ln [2112121021022⎰⎰∞+∞++++-++-+=dx x x x x dx x x x x x 02ln 412ln 41|]1[ln 41|)]1[ln(41122102=+-=+++-=∞+x x x . 下面有一种更简便方法：dx x xx ⎰+∞+022)1(ln ++=⎰dx x x x 1022)1(ln dx x xx ⎰+∞+122)1(ln对后一积分作换元t x 1=，得⎰⎰⎰+-=-+=+∞+102220122122)1(ln )1()11(1ln 1)1(ln dt t t t dt t tt t dx x x x 所以0)1(ln 022=+⎰+∞dx x xx ， 注：以上方法称为分段相消法. （３）（分析：初一看此题比较复杂，我们试着先换元简化问题，令a x t -=，则积分变为⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+--dt b t t b dx b a x ba x 22212221||)(|| 再利用奇偶性有2||22=+⎰+∞∞-dt b t t b ⎰∞++022 dt bt tb 再换元 btu =，则2||22=+⎰+∞∞-dt b t t b du u u b dt b t tb ⎰⎰∞+∞++=+0422214但积分⎰∞++0421du uu 仍不好算，我们可用配对法计算此积分： 设=I ⎰∞++0421du u u ，=J ⎰+∞+0411du u 令 vu 1=，则J dv v I =+=⎰+∞0211又=+J I ))2(2(21|)1(21arctan 21)1(211110022042ππ--=-=-++=++∞+∞+∞+⎰⎰u u du uu u du u u 2π=，故 =I 221042π=+⎰∞+du u u 所以πb I b dx b a x ba x 24)(||2221==+--⎰∞+∞-，完整的解答过程请同学们完成）注：以上方法也可称为配对法，只不过配出的J 与I 相等，或者说J 是由I 通过换元变出来的。