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2020-2021高一数学上期中试卷附答案(6)

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2020-2021学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷(解析版)

2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤02．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．25．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．二、多选题（共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝010．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为412．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．2．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．解：要使函数有意义，则，解得x≥2且x≠3，∴函数的定义域是[2，3）∪（3，+∞）．故选：C．3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．2【分析】根据幂函数的定义求出k＝1，由函数图象过点（4，2）求出α，再计算k+α．解：幂函数f（x）＝kxα中，k＝1，由函数图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝；所以k+α＝1+＝．故选：A．5．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．【分析】根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选：C．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．【分析】由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，推出b＝﹣2a，再代入bx+a＜0，解之即可．解：由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，所以b＝﹣2a，所以不等式bx+a＜0可化为﹣2ax+a＜0，解得x＜，故选：A．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数t＝﹣x2+4x﹣3的减区间，可得函数的单调减区间．解：由﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，∴函数的定义域为[1，3]，令t＝﹣x2+4x﹣3，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，则函数t＝﹣x2+4x﹣3在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，又y＝2t是增函数，∴函数的单调减区间为[2，3]．故选：D．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．【分析】点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x＜1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC 上时，BE＝2（x﹣1），（1≤x≤2），y＝+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．解：点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x≤1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC上时，BE＝2（x﹣1），（1＜x≤2），y＝22﹣2（x﹣1）﹣[2﹣2（x﹣1）]×x﹣×（2﹣x）＝x2﹣3x+4＝+．利用一次函数与二次函数的单调性可知：A正确．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝0【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．解：lg（lg10）＝lg1＝0，所以A正确；e lnπ＝π，满足对数的运算法则，所以B正确；若e＝lnx，则x＝e e，所以C不正确；ln（lg1）＝ln0，无意义，所以D不正确；故选：AB．10．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）【分析】取特殊值判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．解：取a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，显然A，C错误；对于BD：a＜b＜0，故ab＜b2，a（c2+1）＜b（c2+1），BD正确，故选：BD．11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为4【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；对于B，当x＞1时，x+＝x﹣1++1≥2+1＝+1，当且仅当x﹣1＝，即x＝+1时，等号成立，即B的运算方法错误；对于C，取等的条件是x2+4＝，即x2+4＝±3，显然均不成立，即C的运算方法错误；对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为x＝4y，而第二次使用基本不等式的取等条件为x＝y，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．故选：BCD．12．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．解：符号函数sgn（x）＝，显然函数是奇函数，所以A正确；因为：e x＞0，所以，对任意的x∈R，sgn（e x）＝1，所以B正确；函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，+∞），所以C不正确；对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）＝，所以D正确；故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是{﹣1，0，3}．【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．解：函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z所以x＝﹣2，﹣1，0，1；对应的函数值分别为：0，﹣1，0，3；所以函数的值域为：{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为p ＜n＜m．【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．解：m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则＝+，＝+，＝+，∴＜＜，∴p＜n＜m，故答案为：p＜n＜m．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝3．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，联立两个式子分析可得答案．解：根据题意，f（x）对于任意实数x都有，令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，②，联立①②解可得：f（）＝3；故答案为：316．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】不妨设x1＞x2，由条件可得f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，构造新函数g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，显然g（x）在[1，+∞）上单调递增，再对a分情况讨论，利用g（x）的单调性即可求出a的取值范围．解：不妨设x1＞x2，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，①当a＝0时，g（x）＝﹣2x+1，显然不成立，②当a≠0时，则，解得a≥1，综上所述，实数a的取值范围是：[1，+∞），故答案为[1，+∞）．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【分析】（1）k＝1时，可得B，利用补集交集运算可得．（2）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进而即可得出实数k的取值范围．解：（1）k＝1时，2x2+3x﹣5＜0，解得﹣＜x＜1，即B＝（﹣，1），则∁R B＝（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），A∪B＝（﹣，3），（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B，由2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0可得（x﹣k）（x+）＜0，当k＞﹣时，解得﹣＜x＜k，即B＝（﹣，k），∵A⫋B∴k≥3，当k＝﹣时，解集为∅，即B＝∅，此时不满足A⫋B当k＞﹣时，解得k＜x＜﹣，即B＝（k，﹣），此时不满足A⫋B，∴实数k的取值范围是[3，+∞）．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝0可得b的值，进而由计算可得a的值，即可得函数的解析式；（2）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，用作差法证明即可得结论．解：（1）根据题意，对于函数f（x），由f（0）＝0，即f（0）＝＝0，即b＝0；则，又，所以a＝1；则．（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则＝；又﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；故f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．（2）先把指数式化为对数式得到a＝log2m，b＝log5m，代入＝Q，即可求出m的值．解：（1）P＝80.25×＝+﹣1＝﹣1＝2+﹣1＝，+log38＝+log38＝＝log39＝2．即，Q＝2．（2）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＝＝log m2+log m5＝log m10，∴log m10＝2，∴．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）设DN的长为x（x＞0）米，S AMPN＝AN•AM＝，表达AN＝（x+4）米和AM＝，要使矩形AMPN的面积大于50平方米，解不等式即可得DN的长的范围；（2）利用基本不等式可得当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+4）米．∵＝，∴AM＝，S AMPN＝AN•AM＝，由矩形AMPN的面积大于50，得：＞50，又x＞0，得：3x2﹣26x+48＞0，解得：0＜x＜或x＞6，即：DN长的取值范围是：（0，）∪（6，+∞）．（2）矩形花坛AMPN的面积为，y＝＝＝3x++24≥2+24＝48，当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长的范围：（0，）∪（6，+∞）；（2）当DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意可知：2≤f（2）≤2，由此确定f（2）＝2；（2）根据f（x）≥x恒成立，利用判别式≤0恒成立、结合f（2）＝2可求出a的值，最后结合f（﹣2）＝0，即可求出系数b，c的值；（3）根据x≥0，分离参数m，再利用基本不等式即可求出m的范围．解：（1）由题意得2≤f（2），所以f（2）＝2．（2）结合（1）知f（2）＝4a+2b+c＝2，由f（x）≥x恒成立得ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，故，将③代入②得，故c＝4a…④．又f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝0…⑤，联立③④⑤解得．所以．（3）由x∈[0，+∞），且恒成立可得：，（i）x＝0时，恒成立，此时m∈R；（ii）x＞0时，原式化为：恒成立，因为，当且仅当时取等号．故此时．综合（i）（ii）可知m的取值范围为（）．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，可得f（0）＝0，然后求出t的值，再检验得到的t值是否符合题意；（2）先根据f（1）＞0，求出a的范围，然后利用定义法判断f（x）的单调性，再根据f （kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，得到关于k的不等式，进一步求出k的范围；（3）根据函数f（x）的图象过点，求出a，令t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，根据f（x）是单调递增函数，得到t的范围，然后得到，再求出m的值即可．解：（1）∵是奇函数，∴f（0）＝0，1﹣（t﹣1）＝0，解得t＝2．当t＝2时，，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足题意，∴t＝2．（2）∵，f（1）＞0，∴，又a＞0，∴a＞1，设∀x1，x2∈R，x1＜x2，则，∴＝，∵x1＜x2，a＞1，∴，又∵．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）f（x）是单调递增函数．f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x）kx﹣x2＜1﹣x恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0恒成立，∴△＝（k+1）2﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1，∴k的取值范围为（﹣3，1）．（3）∵函数f（x）的图象过点，∴（a＞0），解得a＝2，设t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，由（2）知f（x）是单调递增函数，∴当x∈[1，log23]时，，t2＝a2x+a﹣2x﹣2，∴，，其最大值为m，也即t2﹣mt+2有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，而m＞1，也即h（t）最小值，不合题意舍去．②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，而m＞1，也即h（t）最大值，符合．③，解得m＝±2，此时对称轴为t＝±1，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，．。

湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案

湖北省华中师范大学第一附属中学2020~2021学年第一学期期中检测高一数学试题及答案

华中师大一附中2020～2021学年度上学期期中检测高一年级数学试题试卷总分150分 考试时间120分钟一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．已知A ＝{3-，0，1 }，B ＝{4-，3-，1}，则A ∪B 的真子集的个数为（ ）A ．3B ．7C ．15D ．312．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话中，“不便宜”是“好货”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，函数()(21)g x f x =-，则函数()g x 的定义域为 （ ）A ．(1,1)-B ．(0, 1)C ．(3,1)-D ．((3),(1))f f - 4．若正实数a ，b 满足1a b +=，则12a b+的最小值为（ ）A．B ．6C ．D ．3+5．函数(f x（ ）A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．[0，2]D ．[2，4]6．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a a -+-≤++∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a -<<B ．01a <<C ．12a <<D ．1a <-7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递减，(2)0f -=，则不等式()0xf x > 的解集为（ ）A ．(,2)(0,2)-∞-B ．(,2)(2,)-∞-+∞C ．(2,0)(0,2)-D ．(2,0)(2,)-+∞8．已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．(,3)(3,)-∞-+∞二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．已知a ，b ，c 为互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是 （ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 10．下列各结论中正确的是（ ） A ．“0ab >”是“0ab>”的充要条件． B．函数y =2．C ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，200x x -≤” ． D ．若函数21y x ax =-+有负值，则实数a 的取值范围是2a >或2a <-．11．定义域为R 的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >．以下结论正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为偶函数C ．()f x 为增函数D ．()f x 为减函数12．设定义域为R 的函数1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠-⎪+=⎨⎪=-⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 < x 2 < x 3．下列说法正确的是 （ ）A ．2221235x x x ++=B ．10a b ++=C ．1322x x x +>D ．132x x +=-三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若AB B =，则实数a 的取值集合为____________．14．关于x 的一元二次方程2210x kx k ++-=在区间(1,2)-内、外各有一个实数根，则实数k 的取值范围是___________．15．两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.则第______种购物方式比较经济．16．已知函数2()=x ax a f x x++在(]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围为____________．四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）已知集合26{||1|2}{|1}4x A x x B x x -=-≤=<-，，定义{|}A B x x A x B -=∈∉且. （1）求A B -；（2）求B A -．18．（本题满分12分）已知非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<.命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f = （1）求m ，n 的值；判断函数()f x 的单调性并用定义加以证明； （2）求使2(1)(1)0f a f a -+-<成立的实数a 的取值范围．20．（本题满分12分）已知函数2()(1)()f x x a x a =-++∈R ．（1）若对于任意[1,2]x ∈，恒有2()2f x x ≥成立，求实数a 的取值范围； （2）若2a ≥，求函数()f x 在区间[0, 2]上的最大值()g a ．21．（本题满分12分）华师一附中为了迎接建校70周年校庆，决定在学校艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(a>0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数a 的取值范围．22．（本题满分12分）若函数()y f x =自变量的取值区间为[a , b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a , b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+．（1）求()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；（3）若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合2{(,)|()}{(,)|}x y y h x x y y x m ==+恰含有2个元素．若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由．高一年级数学试题参考答案一、单选题1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．A 8．C 二、多选题9．BC 10．AD 11． AC 12．ABD 三、填空题13．{-1,0,2} 14．3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦15．二 16．12a ≤-或1a ≥四、解答题17．解：{||1|2}{|13}A x x x x =-≤=-≤≤， (2)分26{|1}{|24}4x B x x x x -=<=<<- (4)分（1）{|12}A B x x -=-≤≤ (7)分（2）{|34}B A x x -=<< (10)分18．解：()(){}|2310A x x x a =---<⎡⎤⎣⎦，()(){}2|20B x x a x a ⎡⎤=--+<⎣⎦.∵22172024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴22a a +>.∴{}2|2B x a x a =<<+. (2)分∵p 是q 的充分条件，∴A B ⊆. (3)分① 当1a =时，312a -=，A =∅，不符合题意； (5)分② 当1a >时，312a ->，{}|231A x x a =<<-，要使A B ⊆，则212312a a a a ⎧>⎪≤⎨⎪-≤+⎩ ∴12a <≤. (8)分③ 当1a <时，312a -<，{}|312A x a x =-<<，要使A B ⊆，则213122a a a a ⎧<⎪≤-⎨⎪≤+⎩ ∴112a ≤<. (11)分综上所述，实数a 的取值范围是1[,1)(1,2]2. (12)分19．（1）解法一：因为函数()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，则()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得012n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得20m n =⎧⎨=⎩， (2)分经检验2m =，0n =时，()221xf x x =+是定义在[1,1]-上的奇函数. (3)分法二：()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，则()()f x f x -=-，即2211mx n mx nx x -+--=++，则0n =，所以()21mxf x x =+，又因为()11f =，得2m =，所以2m =，0n =. ………………3分设12,[1,1]x x ∀∈-且12x x <，则()()22121221211212222222121212222(1)2(1)2()(1)11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++1211x x -≤<≤ 222112120,10,(1)(1)0x x x x x x ∴->-<++>()()120f x f x ∴-< ()()12f x f x ∴< ()f x ∴在[1,1]-上是增函数 (6)分（2）由（1）知()221xf x x =+，()f x 在[1,1]-上是增函数， 又因为()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，由()()2110f a f a -+-<，得()()211f a f a -<-， (7)分2211111111a a a a -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， (10)分即2020221a a a ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-<<⎩，解得01a ≤<． 故实数a 的取值范围是[0，1)． (12)分20．（1）解法一：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分构造函数()23(1)g x x a x =-+，其中[]1,2x ∈，则()max0g x ≤，即()()1020g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，…… 4分 即3(1)0122(1)0a a -+≤⎧⎨-+≤⎩，解得5a ≥，因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞.………………6分解法二：对任意的[]1,2x ∈，恒有()22f x x ≥，即22(1)2x a x x -++≥，整理得23(1)0x a x -+≤对任意的[]1,2x ∈恒成立， (2)分max 1(3)6a x ∴+≥= (5)分因此，实数a 的取值范围是[)5,+∞. (6)分（2）()()22211(1)24a a f x x a x x ++⎛⎫=-++=--+⎪⎝⎭． 2a ≥ 102a +∴> (7)分①当122a +<，即23a ≤<时，函数()y f x =在10,2a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 在1,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()()21124a a g a f ++⎛⎫== ⎪⎝⎭； (9)分②当122a +≥，即3a ≥时，()y f x =在[0, 2]上单调递增，此时()()222g a f a ==-．………………11分 综上所述，2(1),23()422,3a a g a a a ⎧+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩． (12)分21．（1）设甲工程队的总造价为y 元， 则72163006400144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤， ………………2分161800()14400180021440028800x x ++≥⨯=， ………………4分 当且仅当16x x =，即x = 4时等号成立． ………………5分故当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低报价为28800元． ……6分（2）由题意可得161800(1)1800()14400a x x x x+++>对任意的[3,6]x ∈恒成立． 故2(4)(1)x a x x x ++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立， ………………8分令1x t +=，22(4)(3)961x t t x t t++==+++，[4,7]t ∈． 又96y t t =++在[4,7]t ∈为增函数，故min 494y =. ………………11分所以a 的取值范围为49(0,)4． (12)分22．（1）因为()g x 为R 上的奇函数，∴(0)0g =又当(0,)x ∈+∞时，()3g x x =-+所以，当(,0)x ∈-∞时，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩ (3)分 （2）设0a b <<，∵()g x 在(0,)+∞上递单调递减，2()32()3g b b b g a a a⎧==-+⎪⎪∴⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根． ∵0a b << ∴12a b =⎧⎨=⎩ ∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]． ………………6分 （3）设[a , b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a b b a <⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号． 当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．[1,2]3,()[2,1]3,h x x x x x -+∈⎧⎨----∈∴=⎩ (8)分依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m 应当使方程23x m x +=-+在[1,2]内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=--，在[2,1]--内恰有一个实数.由方程23x m x +=-+，即230x x m ++-=在[1,2]内恰有一根，令2()3F x x x m =++-，则(1)10(2)30F m F m =-≤⎧⎨=+≥⎩，解得31m -≤≤；由方程23x m x +=--，即230x x m +++=在[2,1]--内恰有一根，令2()3G x x x m =+++，则(1)30(2)50G m G m -=+≤⎧⎨-=+≥⎩，解得53m -≤≤-. 综上可知，实数m 的取值集合为{3}-． ………………12分（用图象法解答也相应给分）。

2020-2021学年上海市普陀区同济二附中高一(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年上海市普陀区同济二附中高一(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年上海市普陀区同济二附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）.1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B等于．2．用列举法表示方程组的解集．3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A⫋B，则实数a的值为．4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝．5．已知x＞0，则的最小值为．6．已知关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0解集为R，则实数a的取值范围是．7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设．8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为．9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是．10．已知a2x＝2（a＞0），则＝．11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝．12．若a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，则ab的最大值为．二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分又不必要14．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．a﹣2B．5a﹣2C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a216．设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立三、解答题（本题满分76分，共5小题）17．解下列不等式（组）：（1）；（2）（a﹣1）x＞a2﹣1．18．（1）已知＝1，求的值．（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？20．（16分）已知关于x的不等式≤0的解集为M．（1）若a＝4时，求集合M；（2）若5∉M，求实数a的取值范围；（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，求a的取值范围．21．（18分）已知符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如：[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）已知方程[x]＝3，求该方程的解集；（2）设方程[|x|+|x﹣1|]＝3的解集为A，集合B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}，若A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，集合C＝{x|x2﹣ax+1﹣2a≤0，a∈R}，是否存在实数a，A∩C ＝A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题（本题满分54分，共12小题，第1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B等于{x|1＜x＜2}．【分析】找出集合A和B中x范围的公共部分，即可确定出两集合的交集．解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故答案为：{x|1＜x＜2}．2．用列举法表示方程组的解集{（3，1）}．【分析】解出方程组的解集，再用列举法表示即可．解：解方程组，得，∴用列举法表示方程组的解集为{（3，1）}，故答案为：{（3，1）}．3．已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若A⫋B，则实数a的值为0或1．【分析】根据A⫋B，从而得出a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．解：∵A⫋B，∴a＝1或a2+1＝1，解得a＝0或1．故答案为：0或1．4．已知方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，则x12+x22＝11．【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，进而求得结论．解：∵方程2x2+4x﹣7＝0的两个根为x1、x2，可得：x1+x2＝﹣＝﹣2，x1•x2＝＝﹣，故x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4﹣2×（﹣）＝11，故答案为：11．5．已知x＞0，则的最小值为4．【分析】因为x＞0，直接利用基本不等式求出其最小值．解：∵x＞0，则≥2＝4，当且仅当x＝时，等号成立，故答案为4．6．已知关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0解集为R，则实数a的取值范围是（﹣2，2）．【分析】根据判别式列出不等式，求得a的取值范围．解：关于x的一元二次不等式x2+ax+1＞0的解集为R，则△＜0，即a2﹣4＜0解得﹣2＜a＜2，所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）．7．用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设a，b至少有一个不为0．【分析】根据已知条件，先求出原命题的否命题，即可求解．解：∵命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的否定为“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b至少有一个不为0”，∴用反证法证明命题“若实数a，b满足a2+b2＝0，则a，b全为0”的过程中，第一步应假设a，b至少有一个不为0．故答案为：a，b至少有一个不为0．8．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为0或1．【分析】由题意可知方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，对a是否为0分情况讨论，分别求出a的值即可．解：∵集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，∴方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的实根，①当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得x＝，此时集合A＝{}，符合题意，②当a≠0时，∴△＝（﹣2）2﹣4a＝0，∴a＝1，此时集合A＝{1}，符合题意，综上所述，a的值为0或1，故答案为：0或1．9．关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，则实数k的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】由绝对值三角不等式可得|x+2|+|x﹣3|≥k的最小值，即可求得k的取值范围．解：|x﹣6|+|x﹣3＝|x﹣6|+|3﹣x|≥|（x﹣6）+（3﹣x）|＝3，∵关于x的不等式|x﹣6|+|x﹣3|≥k的解集为R，∴k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．10．已知a2x＝2（a＞0），则＝．【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．解：＝＝a2x+a﹣2x+1＝2++1＝．故答案为：．11．已知全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，则∩N＝{x|b}．【分析】推导出0＜b＜＜＜a，求出＝{x|x或x≥a}，由此能求出∩N．解：全集U＝R，实数a，b满足a＞b＞0，∴0＜b＜＜＜a，集合M＝{x|＜x＜a}，N＝{x|b}，＝{x|x或x≥a}，∴∩N＝{x|b}．故答案为：{x|b}．12．若a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，则ab的最大值为．【分析】由已知可得a+2b＝15﹣2ab，结合a+2b≥2，解不等式即可求解．解：∵a＞0，b＞0，a+2ab+2b＝15，∴a+2b＝15﹣2ab，∵a+2b≥2，∴15﹣2ab≥2，∵ab＞0，∴解可得0＜ab≤，则ab的最大值为．故答案为：．二、选择题（本题满分20分，共4小题，每小题5分）13．若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分又不必要【分析】根据充要条件的定义，即可判断得出答案．解：当“x＝1”时，“x2＝1”成立，当“x2＝1”时，“x＝±1”故“x＝1”不一定成立，即“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件，故选：A．14．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【分析】A，若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，可判断A；B，令a＝3，b＝2，c＝2，d＝0，可判断B；C，利用不等式的性质可判断C；D，令a＝2＞﹣1＝b，可判断D．解：A，若a＞b，当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；B，若a＝3，b＝2，c＝2，d＝0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c＝1＜b﹣d＝2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，正确；D，若a＝2＞﹣1＝b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．15．已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（）A．a﹣2B．5a﹣2C．3a﹣（1+a）2D．3a﹣a2【分析】先表示出a＝，结合对数的运算性质，从而得到答案．解：∵3a＝2，∴a＝，∴﹣2＝3﹣2（+1）＝3a﹣2（a+1）＝a﹣2，故选：A．16．设A，B是有限集，定义：d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立【分析】命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠A∩B，则card（A∪B）＞card （A∩B），故“d（A，B）＞0”成立，若d（A，B）＞0”，则card（A∪B）＞card（A∩B），则A∪B≠A∩B，故A≠B成立，故命题①成立，命题②，d（A，B）＝card（A∪B）﹣card（A∩B），d（B，C）＝card（B∪C）﹣card （B∩C），∴d（A，B）+d（B，C）＝card（A∪B）﹣card（A∩B）+card（B∪C）﹣card（B∩C）＝[card（A∪B）+card（B∪C）]﹣[card（A∩B）+card（B∩C）]≥card（A∪C）﹣card（A∩C）＝d（A，C），故命题②成立，故选：A．三、解答题（本题满分76分，共5小题）17．解下列不等式（组）：（1）；（2）（a﹣1）x＞a2﹣1．【分析】（1）结合分式及二次不等式的求法进行转化即可求解；（2）结合a﹣1的正负及一元一次不等式的求法进行分类讨论，即可求解．解：（1）原不等式组可转化为，即，解得﹣1＜x≤6；（2）当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a+1}，当a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a+1}，故当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞a+1}，当a＜1时，不等式的解集为{x|x＜a+1}．18．（1）已知＝1，求的值．（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，求ab的值．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据根与系数的关系求出lga+lgb ＝2，根据指数幂的运算性质求出ab的值即可．解：（1）∵＝1，∴＝＝＝＝3；（2）若lga，lgb是方程2x2﹣4x+1＝0的两个实根，则lga+lgb＝2，则lg（ab）＝2，故ab＝100．19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化硅转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2﹣200x+40000（0＜x≤300），且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．（1）设该单位每月获利为S（元），试将S表示成月处理量x（吨）的函数，若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【分析】（1）根据已知条件，结合利润＝总价值﹣总成本，列式即可得到函数关系，令S≥0，求解不等式即可；（2）利用基本不等式求解即可得到答案．解：（1）由题意可得，S＝300x﹣（x2﹣200x+40000）＝﹣x2+500x﹣40000（0＜x≤300），令S≥0，即﹣x2+500x﹣40000≥0，解得100≤x≤400，又0＜x≤300，所以100≤x≤300，故要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在[100，300]范围内；（2）每吨的平均出来成本为，当且仅当，即x＝200时取等号，所以该单位每月处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．20．（16分）已知关于x的不等式≤0的解集为M．（1）若a＝4时，求集合M；（2）若5∉M，求实数a的取值范围；（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，求a的取值范围．【分析】（1）结合一元二次不等式的解法即可直接求解；（2）由题意得＞0或5﹣a＝0，从而可求；（3）结合集合元素与集合关系进行分类讨论，当3∈M，5∉时，，当5∈M，3∉时，，解不等式组可求．解：（1）当a＝4时，原不等式可转化为，解得﹣，所以M＝{x|﹣}；（2）因为5∉M，所以＞0或5﹣a＝0，解得﹣1＜a≤5，所以a的范围{a|﹣1＜a≤5}；（3）若实数3和5中有且只有一个属于集合M，当3∈M，5∉M时，，解得3≤a≤5，当5∈M，3∉M时，，解得﹣，综上，a的取值范围{a|3≤a≤5或﹣}．21．（18分）已知符号[x]表示不大于x的最大整数（x∈R），例如：[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．（1）已知方程[x]＝3，求该方程的解集；（2）设方程[|x|+|x﹣1|]＝3的解集为A，集合B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}，若A∪B＝R，求实数k的取值范围；（3）在（2）的条件下，集合C＝{x|x2﹣ax+1﹣2a≤0，a∈R}，是否存在实数a，A∩C ＝A，若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据定义，直接求解即可；（2）先求出集合A，B中表示元素的范围，再根据A∪B＝R，分k＝0，k＞0和k＜0三种情况，求解k的取值范围即可；（3）由题意得到A⊆C，设集合C的解集为（x1，x2）（x1＜x2），得到，再由子集的定义列式求解即可．解：（1）由题意，方程[x]＝3，则x∈[3，4），所以该方程的解集为[3，4）；（2）因为[|x|+|x﹣1|]＝3，所以3≤|x|+|x﹣1|＜4，根据绝对值不等式的几何意义可得，A＝，又B＝{x|2x2﹣11kx+15k2≥0}＝{x|（2x﹣5k）（x﹣k）≥0}，当k＝0时，B＝{x|2x2≥0}＝R，则A∪B＝R，符合题意；当k＞0时，B＝，若A∪B＝R，则，解得k∈；当k＜0时，，若A∪B＝R，则，解得k∈．综上所述，实数k的取值范围为∪{0}∪；（3）因为A∩C＝A，则A⊆C且A＝，所以设集合C的解集为（x1，x2）（x1＜x2），则，所以，解得，故实数a的取值范围为．。

潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)

潍坊市2020-2021学年高一上学期期中数学试题(解析版)
【详解】解： 不等式组 解得 ，所以不等式组的解集是 ，
关于 的不等式 解集包含 ，令 ，
，解得 ，
故选： ．
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．
9.下列命题中是假命题的是（）．
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
举反例即可判断选项A、C，解方程 即可判断选项B、D.
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；
（2）分集合C为空集和不是空集两种情况分别建立不等式（组），可求得所求的范围.
【详解】解：（ 时，满足 ，即 ，解得 ．
【详解】对于A选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上不单调，A选项中的函数不合乎要求；
对于B选项，函数 为奇函数，且该函数在定义域上为减函数，B选项中的函数合乎要求；
对于C选项，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
又 ，所以，函数 为奇函数，
当 时，函数 单调递减；当 时，函数 单调递减.
由于函数 在 上连续，所以，函数 在 上为减函数，C选项中的函数合乎要求；
画出函数的图象，如图所示：
对于 ：根据函数的图象， 的定义域为 ，值域为 ，故 错误；

2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16【答案】C【分析】根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 【详解】{0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴A 的子集个数328=.故选:C ．【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()(1)f x g x x +=-，则(1)f -=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】A【分析】分别取1x =和1x =-，代入函数根据奇偶性得到答案. 【详解】()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，2()()(1)f x g x x +=-，取1x =得到(1)(1)0f g +=，即(1)(1)0f g ---=；取1x =-得到(1)(1)4f g -+-=； 解得(1)2f -= 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，对实数m 满足2()(1)f x m ≤+恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．[3,1]- C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ D ．[1,3]-【答案】A【分析】根据奇偶性得到0b =，1a =-得到2()4f x x =-+，计算函数的最大值，解不等式得到答案.【详解】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，则0b =，且()12a a -=--即1a =-，故2()4f x x =-+，()max ()04f x f ==故24(1)m ≤+，解得m 1≥或3m ≤- 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数最值，解不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若,a b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．||||a cbc >D ．()()2222a c b c +>+【答案】D【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定. 【详解】当1,1a b ==-排除A ，B 当0c 排除C 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.5．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+()2x ≥.故选：B【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,2)C ．[0,4)D ．(2,4]【答案】C【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系． 二、多选题9．若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A 1B ．11ab≥ C ．222a b +≥ D ．112a b+≥【答案】BCD【分析】由条件可得12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+==⇒≥⇒≥，结合2222()()a b a b ++，即可得出．【详解】因为0a >，0b >，所以12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+≤==⇒≥⇒≥， 所以A 错，BD 对；因为22222()()(0)a b a b a b -+=-≥+，则22222()()2a b a b ++=，化为：222a b +，当且仅当1a b ==时取等号，C 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 的定义域为[0，4].B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞ C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数.D ．1x 、2x 是()f x 在定义域内的任意两个值，且1x <2x ，若12()()f x f x >，则()f x 减函数.【答案】ABC【分析】对于A ，由于()f x 的定义域为[0，2]，则由022x ≤≤可求出(2)f x 的定义域；对于B ，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C ，举反例可判断；对于D ，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A ，因为()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 中的2[0,2]x ∈，[0,1]x ∈，所以(2)f x 的定义域为[0,1]，所以A 错误； 对于B ，反比例函数1()f x x=的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以B 错误； 对于C ，当定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，而()f x 在R 上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)f f < 所以C 错误；对于D ，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的， 故选：ABC11．若a ，b 为正数，则（ ）A ．2+aba bB ．当112a b+=时，2a b +≥C ．当11a b a b+=+时，2a b +≥D ．当1a b +=时，221113a b a b +≥++【答案】BCD【分析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.【详解】解：对A ，因为+a b ≥2aba b≤+，当a b =时取等号，A 错误；对B ，()11111+=2+2=2222b a a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当a b =时取等号，B 正确；对C ，11=+=a ba b a b ab++，则1ab =，+2a b ≥=，当1a b ==时取等号，C 正确；对D ，()()()2222222211+111+111+b a a b a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫+++=+++≥++ ⎪++⎝⎭2222()1a b ab a b =++=+=， 当12a b ==时取等号，即221113a b a b +≥++，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12．已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x -<+的解集为213x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =-，可得(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x =--， 所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x -=+-=-， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x -<，即()()0f y f x -<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞-∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f -=；令1y =，可得()()12f x f x +=-()24f =-， ()36f =-；()3(3)6f f =--=，()f x ∴在[3-，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x -<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =-，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-，则2(3)(52)f x f x <-，2352x x ∴>-，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题13．函数y _________. 【答案】[]2,5【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出答案. 【详解】由题意，2450x x -++≥，解得15x -≤≤，故函数y []1,5-.函数y =二次函数245u x x =-++的对称轴为2x =，在[]1,5-上的增区间为[)1,2-，减区间为[]2,5，故函数y []2,5. 故答案为：[]2,5.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查二次函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.14．奇函数f (x )在(0,)+∞内单调递增且f （1）＝0，则不等式()01f x x >-的解集为________． 【答案】{|1x x >或01x <<或1x <-}．【分析】根据题意，由函数()f x 的奇偶性与单调性分析可得当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，而不等式()01f x x >-等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在(0,)+∞内单调递增，且f （1）0=， 则当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，又由()f x 为奇函数，则当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <， 不等式()01f x x >-，等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；解可得：1x >或01x <<或1x <-； 即不等式()01f x x >-的解集为{|1x x >或01x <<或1x <-}． 故答案为：{|1x x >或01x <<或1x <-}． 15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=__________． 【答案】(-1，1)【分析】先求()1f x +的定义域为()1,-+∞，再求不等式组21340x x x >-⎧⎨--+>⎩的解集可以得到函数的定义域．【详解】由题意210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．【点睛】已知函数()f x 的定义域D ，()g x 的定义域为E ，那么抽象函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为不等式组()x Eg x D ∈⎧⎨∈⎩的解集．16．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点．已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,2).【详解】试题分析：由题意设函数2()1f x x mx =-++在区间[1,1]-上的均值点为，则0(1)(1)()1(1)f f f x m --==--，易知函数2()1f x x mx =-++的对称轴为2m x =，①当12m≥即2m ≥时，有0(1)()(1)f m f x m f m -=-<=<=，显然不成立，不合题意；②当12m≤-即2m ≤-时，有0(1)()(1)f m f x m f m =<=<-=-，显然不成立，不合题意；③当112m -<<即22m -<<时，（1）当20m -<<有0(1)()()2m f f x f <≤，即214m m m <≤+，显然不成立；（2）当0m =时， 0()0f x m ==，此时01x =±，与011x -<<矛盾，即0m ≠；（3）当02m <<时，有0(1)()()2mf f x f -<≤，即214m m m -<≤+，解得02m <<，综上所述得实数m 的取值范围为(0,2).【解析】二次函数的性质. 四、解答题17．已知集合{}22|430,|03x A x x x B x x -⎧⎫=-+≤=>⎨⎬+⎩⎭（1）分别求A B ,R R A B ⋃（）；（2）若集合{|1},C x x a A C C =<<⋂=,求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)R R A B ⋃=-∞⋃+∞（2）3a ≤【分析】（1）化简集合,,A B 根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由A C C =,所以C A ⊆,讨论C =∅和C ≠∅两种情况,即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）集合{}2|430[1,3]A x x x =-+≤=∴(,1)(3,)RA =-∞⋃+∞,[3,2]RB =-∴(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)RR A B ⋃=-∞⋃+∞,（2）A C C =∴ 当C 为空集时,1a ≤∴ 当C 为非空集合时,可得 13a ≤＜综上所述:a 的取值范围是3a ≤．【点睛】本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，()243f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间； （3）求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】（1）()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩； （2）见解析； （3）[]1,3-.【分析】（1）设x ＞0，则﹣x ＜0，利用当x≤0时，f （x ）=x 2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域． 【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=成立∴当0x >时，0x -<即()()()()224343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴ ()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩（2）图象如右图所示函数()f x 的单调递增区间为[]2,0-和[)2,+∞. （写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为[]1,3-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．19．若二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且(0)1,(1)3f f =-=．（1）求()f x 的解析式;（2）若函数()(),()g x f x ax a R =-∈在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增,求a 的值及当[1,1]x ∈-时函数()g x 的值域.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）2a =,值域为[1,5]-． 【分析】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠,由11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 对称轴为12x =,结合条件,即可求得答案;（2）根据增减性可知32x =为函数()g x 的对称轴,即可得到a 的值,而根据()g x 在[1,1]x ∈-上递减可得出()g x 在[1,1]x ∈-上的值域．【详解】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴二次函数()f x 的对称轴为:12x =． ∴122b a -=,可得:=-b a ——① 又(0)1f =,∴(0)1f c ==,可得:1c =．(1)3f -=．即:13a b -+=,可得:2a b -=——②由①②解得: 1,1a b ==-∴()f x 的解析式为2()1f x x x =-+．（2） 函数()(),()g x f x ax a R =-∈()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增． ∴()g x 的对称轴为32x =, 即:1322a +=．解得:2a =． ∴2()31g x x x =-+．()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减, ∴()g x 在[1,1]x ∈-上递减,则有:在[1,1]x ∈-上,min ()(1)1g x g ==-．函数()g x 在[1,1]x ∈-上的值域为[1,5]-【点睛】本题考查了待定系数法的运用以及对称轴的形式,根据增减性判断函数的对称轴及在区间上值域问题,解题关键是掌握二次函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,本题属中档题．20．已知函数24()x ax f x x++=为奇函数. （1）若函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间[]1,k 上的最小值为3k ，求k 的值.【答案】（1）4m ≥或02m <≤；（2【分析】（1）函数()f x 为奇函数，可知对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，结合解析式，可得0ax =恒成立，从而可求出a 的值，进而可求出()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，结合()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，可求得m 的取值范围；（2）结合函数()f x 的单调性，分12k <≤和2k >两种情况，分别求出()f x 的最小值，令最小值等于3k ，可求出k 的值.【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为函数()f x 为奇函数，所以对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，即()()2244x a x x ax x x-+-+++=--， 整理可得，对()(),00,x ∈-∞+∞，0ax =恒成立，则0a =， 故244()x f x x x x +==+. 所以()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，又函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，则2m ≤或22m ≥，解得4m ≥或02m <≤.（2）()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，若12k <≤，则()()min 43f x f k k k k ==+=，解得k =12k <≤，只有k =合题意；若2k >，则()()min 42232f x f k ==+=，解得43k =，不满足2k >，舍去.故k 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的应用，考查了函数的最值，利用对勾函数的单调性是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．已知二次函数2()(0)f x ax x a =+≠.（1）当0a <时，若函数y a 的值；（2）当0a >时，求函数()()2||g x f x x x a =---的最小值()h a .【答案】（1）-4；（2）()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）当0a <时，函数y 而可求出a 的值； （2）当0a >时，求出()g x 的表达式，分类讨论求出()g x 的最小值()h a 即可.【详解】（1）由题意，()0f x ≥，即()200ax x a +≥<，解得10x a≤≤-，即函数y 定义域为10,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又当0a <时，函数()2f x ax x =+的对称轴为12x a =-，21111222(4)f a a aa a ⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭--，故函数y⎡⎢⎣，函数y1a -=4a =-. （2）由题意,0a >，2()||g x ax x x a =---，即()()22()2,,x a x ax g a a x a x ax -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩， ①当01a <≤，则10a a≥>， x a ≥时，2min 1111(2)()()()g x g a a a a a a a-+=-==， x a <时，min ()(0)g x g a ==-， 若1a a a -≥-1a ≤≤， 若1a a a -<-，解得0a <<即0a <<min 1()g x a a =-1a ≤≤时，min ()g x a =-. ②当1a >时，1a a <， x a ≥时，33min ())2(g x g a a a a a a ==-+=-，x a <时，min ()(0)g x g a ==-，因为3a a a ->-，所以1a >时，min ()g x a =-.综上，函数()g x 的最小值()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查二次函数的性质，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.22．定义在R 上的函数()f x 满足:①对一切x ∈R 恒有()0f x ≠；②对一切,x y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅；③当0x >时，()1f x >，且(1)2f =；④若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，不等式()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立.(1)求(2),(3)f f 的值；(2)证明:函数()f x 是R 上的递增函数；(3)求实数a 的取值范围.【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）(,-∞ 【分析】1）用赋值法令1,1x y ==求解.（2）利用单调性的定义证明，任取12x x <，由 ()()()f x y f x f y +=⋅，则有()()()2211f x f x x f x =-，再由条件当0x >时，()1f x > 得到结论.（3）先利用()()()f x y f x f y +=⋅将4(2||2)-f x 转化为(2||)f x ，再将()22(2||)+≥f x a f x 恒成立，利用函数()f x 是R 上的递增函数，转化为222||≥+x a x 恒成立求解.【详解】（1）令1,1x y == 所以(2)(1)(1)4f f f =⋅=所以(3)(2)(1)8f f f =⋅=（2）因为()()()f x y f x f y +=⋅任取12x x <因为当0x >时，()1f x >所以()211f x x ->所以()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的递增函数，（3）因为()4(2||2)2(2||2)[2(2||2)](2||)-=-=+-=f x f f x f x f x又因为()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立且函数()f x 是R 上的递增函数，所以222||≥+x a x ，[,1]∈+x a a (其中0a <)恒成立所以222||+≥-a x x 若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，恒成立.当11a ≤-+ ，即2a ≤-时()()2max 143=+=---g x g a a a所以2243≥---a a a ，解得2a ≤-当21a -<≤-时，()max 1g x =解得21a -<≤-当10a -<≤，()()(){}max max ,1=+g x g a g a所以222≥--a a a 且221≥-+a a解得1a -<≤-综上：实数a 的取值范围(,-∞ 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。

江苏省江阴市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高一数学参考答案

江苏省江阴市第一中学2020—2021学年度第一学期期中试卷高一数学参考答案

江阴市第一中学2020-2021学年第一学期期中试卷参考答案高一数学 2020.11一、选择题1、B2、C3、C4、B5、B6、C7、B8、D9. ABC 10.ABC 11.AB 12.ABD二、填空题13.c < b < a14.115.3216.1三、解答题17.解：（1）由 A=(-3,1) ，B=（-4，-2） ………………………………………………2分 得A ∪B=（-4,1） ………………………………………………4分（2）由题意得p q,∴B A ………………………………………………5分 {|||1}{|11}B x x a x a x a =+<=--<<- ………………………………6分 1113a a ………………………………………………8分 0022a a a ………………………………………………10分18. 解：（1）21023213(2)(9.6)(3)(1.5)48 = 23233331()()222 =3941249=4736………………………………………………5分 （2） lg232log 9lg lg 4105=2321log 3lg 254=212--=1- ………………………………………………10分19. 解：（1）()F x 是奇函数. ………………………………………………1分由320320x x +>⎧⎨->⎩，得定义域为33(,)22I ………………………………3分 x I ∀∈，都有x I -∈ ()ln(32)ln(32)()F x x x F x -=--+=-∴()F x 是奇函数 ………………………………6分（2）由()()0f x g x ->，得ln(32)ln(32)0x x +-->即ln(32)ln(32)x x +>-由函数的单调性得32320x x， 则3(0,)2x . ………………………………10分 20．解：(1)由题意知ax 2-(2a +1)x +2+x >0恒成立 ∴ax 2-2ax +2>0恒成立……1分 ①当a =0时，2>0恒成立 ………………………………2分②00a ∴0<a <2 ………………………………4分综上：02a ………………………………5分(2)ax 2-(2a +1)x +2<0(ax -1)(x -2)<0 ①当102a 时， ∴x (2，1a) ………………………………7分 ②当12a 时， ∴x (1a,2) ………………………………9分③当1=2a 时， ∴x ………………………………11分 综上：当102a 时，不等式的解集为(2，1a) ； 当12a 时，不等式的解集为(1a，2) ； 当1=2a 时，不等式的解集为. ………………………………12分21．解：(1)作ABC ∆的高AD ，由AB =AC =5，BC =8，所以AD=3 当0<x ≤4时，则ABD ∆~MBP ∆，所以MP BP BM AD BD BA == 由BP x =，则34x MP =，54x BM = 所以21133()2248x x S x BP MP x =⋅=⋅⋅= 35()344x x L x BP MP BM x x =++=++= 当4<x ≤8时，则ADC ∆~MPC ∆，所以MP PC MC AD DC AC== 由BP x =，则8PC x =-,3(8)4x MP -=，5(8)4x BM -= 所以213()2061228ABC MPC x S x S S PC MP x ∆∆=-=-⋅=-+- 3(8)5(8)3()556442x x x L x BP MP BA AM x --=+++=+++-=+ 综上所述，223 , 048()3612,488x x S x x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩3 , 04()36,482x x L x x x <≤⎧⎪=⎨+<≤⎪⎩………………………………6分 (2)由(1)当0<x ≤4时，1()8F x x =1(0,]2∈ ()F x 的最大值为12； ………………………………8分 当4<x ≤8时，2236124884()3462x x x x F x x x -+--+-==++ 令4(8,12]t x =+∈，则4x t =-2(4)4(4)82828284()66()62627444t t t t t F x t t t t--+--==--+=-+≤-⋅=- 当且仅当27t =时，即274x =-等号成立，故()F x 的最大值为627-. …13分又因为6-12，所以()F x的最大值为6-………………………………14分 22.解：(1)任取x 1,x 2∈[1，2]，且x 1 < x 2，则x 1 - x 2<0，x 1 x 2>0 则1212121212122112()(4)4444()()()()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x -+-=---=-+-= 12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x 在[1，2]上单调递增， min max ()(1)3,()(2)0f x f f x f ∴==-== ………………………………3分 故()f x 的值域为[3,0]-.（注意：单调性只要说明即可以不证明） (2)22216444()2()()2()8,[1,2]F x x a x x a x x x x x x =+--=---+∈ 令 4,[3,0],x t t x-=∈- 则222()28()8h t t at t a a =-+=-+- ①当a ≤-3时，h (t )在[-3，0]上单调递增，g (a )=h (-3)=6a +17；②当a ≥0时，h (t )在[-3，0]上单调递减，g (a )=h (0)=8；③当-3< a<0时，h (t )在[-3，a ] 上单调递减，在[a ，0]上单调递增，g (a )=h (a )= 8- a 2 综上所述，2617, 3() 8, 30 8 , 0a a g a a a a +≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩ . ………………………………9分(3)由(2)知，当a ∈(-3，0)时，g (a )=8- a 2，则g (a )>-2a 2+at +4，即8- a 2>-2a 2+at +4，即a 2-at +4>0对于任意的a ∈(-3，0)恒成立.解法一：令H(a )= a 2-at +4, a ∈(-3，0)，即H(a )min >0 ①当32t ≤-，即6t ≤-时，min ()(3)0H a H =-≥，133t ≥-舍 ②当302t -<<，即60t -<<时，2min ()()4024t t H a H ==->， 解得40t -<< ③当02t ≥，即0t ≥时，min ()(0)40H a H ==>恒成立 综上所述，实数t 的取值范围是(4,)-+∞.………………………………14分。

2020-2021学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（5分）已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（3，27），则f（2）＝（）A．4B．8C．9D．163．（5分）函数y＝的定义域为（）A．[﹣1，0）B．（0，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）4．（5分）己知函数f（x）＝，则f（f（4））的值为（）A．﹣B．0C．1D．45．（5分）某中学高一年级的学生积极参加体育锻炼，其中有1056名学生喜欢足球或游泳，660名学生喜欢足球，902名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是（）A．682B．616C．506D．4626．（5分）函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，）∪（﹣，+∞）C．（﹣∞，）∪（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）7．（5分）若关于x的不等式x2﹣2x+c2＜0的解集为（a，b），则+的最小值为（）A．9B．﹣9C．D．﹣8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有＜0，且f（2）＝0，则满足（x﹣1）f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（1，2）C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得了分。

9．（5分）若a＜b＜0，则（）A．|a|＞|b|B．a2＞b2C．＜D．＞10．（5分）下列函数与y＝x2﹣2x+3的值域相间的是（）A．y＝4x（x≥）B．y＝+2C．y＝D．y＝2x﹣11．（5分）已知2a＝3．b＝log32，则（）A．a+b＞2B．ab＝1C．3b+3﹣b＝D．＝log91212．（5分）某学习小组在研究函数f（x）＝的性质时，得出了如下的结论，其中正确的是（）A．函数f（x）的图象关于y轴对称B．函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称C．函数f（x）在（﹣2，0）上是增函数D．函数f（x）在[0，2）上有最大值﹣三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年福建省厦门外国语学校高一上学期期中数学试卷 及答案解析

2020-2021学年福建省厦门外国语学校高一上学期期中数学试卷 及答案解析

2020-2021学年福建省厦门外国语学校高一上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−3x <0}，B ={x|y =√1−x}，则A ∩B =( )A. [0,3)B. (1,3)C. (0,1]D. (0,1)2. 下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为( )A. y =x +1B. y =−x 2C. y =−1xD. y =x 33. 已知函数f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0，则f(f(14))的值是( ) A. −19 B. −9 C. 19 D. 94. 命题“∀x ∈[1,2]，2x 2−a ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. a ≤1B. a ≤2C. a ≤3D. a ≤45. 设a =0.991.01，b =1.010.99，c =log 1.010.99，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. a <c <b6. 若函数y =f(x)和y =g(x)的图象如图1、图2所示，则不等式f(x)g(x)≥0的解集是( )A. (−1,1]∪(2，3]B. (−1,1)∪(2,3)C. (2,3]∪(4，+∞)D. (−1,1]∪(2，3]∪(4,+∞) 7. 已知函数f(x)=ln 1+x 1−x +x ，且f(a)+f(a +1)>0，则a 的取值范围为( )A. (−1,−12)B. (−12,0)C. (−12,1)D. (−12,+∞) 8. 已知函数f(x)={x e x +1(x ≥0)x 2+2x +1(x <0)，若函数y =f(f(x)−a)−1有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (1,1+1e )∪(2,3]B. (1,1+1e )∪(2,3]∪{3+1e }C. (1,1+1e )∪[2，3)∪{3+1e }D. (1,1+2e )∪(2,3] 9. 已知函数f(x)=a x−1+1(a >0,a ≠1)的图象恒过点A ，下列函数图象不经过点A( )A. y =√1−x +2B. y =|x −2|+1C. y =x −13+1D. y =2x−1二、不定项选择题（本大题共3小题，共15.0分）10. 已知函数f(1−x)的定义域为(0,1)，则( ) A. 函数f(x)的定义域为(0,1)B. 函数f(x)的定义域为(−1,0)C. 函数f(1−x 2)的定义域为(−1,0)∪(0,1)D. 函数f(1−x 2)的定义域为(0,1)11. 若a ，b ，c 为实数，下列说法正确的是( )A. 若a >b ，则ac 2>bc 2B. 若a <b <0，则a 2>ab >b 2C. “关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0恒成立”的充要条件是“a >0，b 2−4ac ≤0”D. “a <1”是“关于x 的方程x 2+x +a =0有两个异号的实根”的必要不充分条件12. 已知函数f(x)={2−x −1(x ≤0)x 2(x >0).若函数y =f(x)−x −a 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−14)B. (−∞,−14]C. (−14,+∞)D. [−14,+∞)E.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x 2+(m +2)x +3是偶函数，则m = ______ ．14. 函数f(x)=ln x+1x−1的值域为______15. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是______．16. 若log a 23<1则实数a 的取值范围是________．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. (1)求值：2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+lg 22；(2)已知x+x−1=4，求x32+x−32．18.已知全集U=R，集合A={x|x<1}，B={x|a≤x≤a+3}．(1)若a=−1，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆∁U A，求实数a的取值范围．−ax2，其中a∈R．19.已知函数f(x)=xx+2(1)若a=1时，求函数f(x)的零点；(2)当a>0时，求证：函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点．20.为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t)之间的函数关系可近似表示为y=x2−40x+1600，x∈[30,50].已知每处理1t的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．(1)判断该技术改进能否获利．如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21.已知函数f(x)=x−3x+2(1)求f(2)的值；(2)求函数f(x)的定义域和值域．22.设函数f(x)=x−1，x∈R且x≠−1，就m的取值情况，讨论关于x的方程f(x)−x=m在[0,1]上x+1的解的个数．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．解：A ={x|0<x <3}，B ={x|x ≤1}；∴A ∩B =(0,1]．故选：C ．2.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性． 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．解：A.y =x +1的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B .y =−x 2是偶函数；∴该选项错误；C .y =−1x为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意； D .y =x 3为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；故选D ． 3.答案：C解析：解：∵函数f(x)={log 2x,x >03x ,x ≤0， ∴f(14)=log 214=−2，f(f(14))=f(−2)=3−2=19．故选：C ．由已知得f(14)=log 214=−2，从而f(f(14))=f(−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.答案：A解析：解：由2x2−a≥0，得a≤2x2，函数y=2x2在[1,2]上的最小值为2．若对∀x∈[1,2]，2x2−a≥0成立，则a≤2．∴由a≤1，得a≤2成立，反之不成立，则a≤1是“∀x∈[1,2]，2x2−a≥0”为真命题的一个充分不必要条件；a≤2是“∀x∈[1,2]，2x2−a≥0”为真命题的一个充分必要条件；a≤3与a≤4是“∀x∈[1,2]，2x2−a≥0”为真命题的不充分条件．故选：A．求出对∀x∈[1,2]，2x2−a≥0恒成立的a的取值范围，然后结合充分必要条件的判定逐一分析四个选项得答案．本题考查充分必要条件的判定方法，考查恒成立问题的求解方法，是基础题．5.答案：B解析：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查比较大小，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a=0.991.01∈(0,1)，b=1.010.99>1，c=log1.010.99<0，则c<a<b，故选：B．6.答案：D解析：本题主要考查函数图象和不等式的解集的问题，已知函数的图象及单调性为平台，考查了其他不等式的解法，是一道综合题．先根据函数的图象，观察可得f(x)，g(x)与0的关系，再根据不等式的解集需要满足f(x)g(x)≥0，且g(x)≠0，得到答案．解：由y=f(x)图象知x∈(−∞,1)∪(3,+∞)时f(x)>0，x∈(1,3)时f(x)<0；由y =g(x)图象知x ∈(−∞,−1)∪(2,4)时，g(x)<0，x ∈(−1,2)∪(4,+∞)时，g(x)>0． 故x ∈(−1,1]时f(x)≥0，且g(x)>0，x ∈(4,+∞)时f(x)>0，g(x)>0，x ∈(2,3]时f(x)≤0且g(x)<0，因此不等式f(x)g(x)≥0的解集为(−1,1]∪(2，3]∪(4,+∞)．故选：D ． 7.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)=ln 1+x 1−x +x ，有1+x 1−x >0，解可得−1<x <1，即函数f(x)的定义域为(−1,1)，有f(−x)=ln 1−x 1+x +(−x)=−(1+x 1−x +x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，分析易得，f(x)=ln 1+x 1−x +x 在(−1,1)上为增函数，f(a)+f(a +1)>0⇒f(a)>−f(a +1)⇒f(a)>f(−a −1)，则有{a >−a −1−1<a <1−1<a +1<1，解可得−12<a <0，即a 的取值范围为(−12,0)；故选：B ．根据题意，求出函数的定义域，进而分析可得f(x)为奇函数且在(−1,1)上为增函数，据此可得原不等式等价于{a >−a −1−1<a <1−1<a +1<1，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于a 的不等式，属于基础题． 8.答案：B解析：解：当x <0时，由f(x)−1=0得x 2+2x +1=1，得x =−2或x =0(舍)；当x ≥0时，由f(x)−1=0得x e x +1=1，得x =0，当x ≥0时，f(x)=x e x +1，f′(x )=1−xe x ，当x >1时，f′(x )<0，f(x)单调递减；当0≤x <1时，f′(x )>0，f(x)单调递增；此时f(x)最大值为f(1)=1e +1，由y =f(f(x)−a)−1=0得f(x)−a =0或f(x)−a =−2，即f(x)=a ，f(x)=a −2，作出函数f(x)的图象如图：当1<a −2<1+1e 时，即a ∈(3,3+1e )时，y =f(f(x)−a)−1有4个零点，当a −2=1+1e 时，即a =3+1e 时，y =f(f(x)−a)−1有三个零点，当a −2>1+1e 时，即a >3+1e 时，y =f(f(x)−a)−1有2个零点当a =1+1e 时，则y =f(f(x)−a)−1有2个零点，当0<a −2≤1时，即2<a ≤3时，y =f(f(x)−a)−1有三个零点，当1<a <1+1e 时，则y =f(f(x)−a)−1有3个零点，其余情况显然不符合题意，综上a 的取值范围是：(1,1+1e )∪(2,3]∪{3+1e }.故选：B ．先求出f(x)的零点，作出函数f(x)的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．属于难题． 9.答案：D解析：本题考查了指数函数的性质，恒过定点的求法，属于基础题．根据指数函数的性质求出A的坐标，将A的坐标带入考查各选项即可．解：函数f(x)=a x−1+1(a>0,a≠1)的图象恒过点A，即x−1=0，可得x=1，那么f(1)=2，∴函数f(x)恒过点A(1,2)，把x=1，y=2带入各选项，经考查各选项，只有D没有经过A点．故选D．10.答案：AC解析：解析：由函数f(1−x)的定义域为(0,1)，即0<x<1，得到0<1−x<1，则函数f(x)的定义域为(0,1)，由0<1−x2<1，解得−1<x<0或0<x<1，函数f(1−x2)的定义域为(−1,0)∪(0,1).故选A、C．11.答案：BD解析：【试题解析】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了简易逻辑推理的应用问题，是基础题．根据不等式的基本性质，可以判断选项A、B是否正确；通过举反例可以判断选项C错误；求出命题成立的充要条件，判断选项D正确．解：对于A：若a>b，则ac2>bc2，在c=0时不成立，所以A错误；对于B：根据不等式的性质，若a<b<0，则−a>−b>0，所以−a2<−ab，−ab<−b2，所以a2>ab，ab>b2，即a2>ab>b2，选项B正确；对于C：a=b=0，c=0时，不等式ax2+bx+c≥0也恒成立，所以选项C错误；对于D：方程x2+x+a=0有两个异号的实根的充要条件是a<0，所以a<1是“关于x的方程x2+x+a=0有两个异号的实根”的必要不充分条件，D正确．故选：BD．12.答案：E解析：解：作出函数f(x)={2−x −1(x ≤0)x 2(x >0)的图象， 函数y =f(x)−x −a 恰有两个零点即为y =f(x)的图象和直线y =x +a 有两个交点，当直线y =x +a 与y =x 2(x >0)相切，可得x 2−x −a =0有两个相等实根，可得△=1+4a =0，即a =−14，由图象可得当a >−14时，y =f(x)的图象和直线y =x +a 有两个交点，故选：C ．由题意，函数g(x)=f(x)−x −a 恰有两个零点可化为函数f(x)与函数y =x +a 有两个不同的交点，从而作图求解．本题考查了函数的图象的应用及数形结合的思想应用，以及直线和曲线相切的条件，属于中档题． 13.答案：−2解析：解：由于函数f(x)=x 2+(m +2)x +3是偶函数，则f(−x)=f(x)，即(−x)2+(m +2)(−x)+3=x 2+(m +2)x +3，则有2(m +2)x =0，则有m =−2．故答案为：−2．由于函数f(x)=x 2+(m +2)x +3是偶函数，则f(−x)=f(x)，即(−x)2+(m +2)(−x)+3=x 2+(m +2)x +3，化简即可得到m ．本题考查函数的奇偶性及运用，考查定义法解题，属于基础题．14.答案：(−∞,0)∪(0,+∞)解析：解：由x+1x−1>0，解得x <−1或x >1，令t =x+1x−1=1+2x−1，则0<t <1或t >1． 故函数y =lnt 的值域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故答案为(−∞,0)∪(0,+∞)．先求出函数的定义域，然后确定出t =x+1x−1的值域，最后借助对数函数的单调性求该函数的值域． 本题考查复合型函数的值域求法，属于中档题目． 15.答案：(−4,2)解析：本题考查不等式恒成立以及利用基本不等式求最值，属于基础题．利用基本不等式得到x +2y ⩾8，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则8>m 2+2m ，即可求出答案． 解：x >0，y >0，且2x +1y =1，则x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+4y x +x y ⩾4+2√4y x ·x y =8， 当且仅当4y x =x y ，即x =4,y =2时，等号成立，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则8>m 2+2m ，解得−4<m <2．故答案为(−4,2) ．16.答案：(0,23)∪(1,+∞)解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于中档题．解：由题意得，∴log a 23<log a a ，log a 23<1则实数a 的取值范围是(0,23)∪(1,+∞)， 故答案为(0,23)∪(1,+∞)． 17.答案：解：(1)2lg5+23lg8+lg5lg20+lg 22=lg25+lg823+(lg10−lg2)(lg10+lg2)+lg 22=lg25+lg4+1−lg 22+lg 22=lg100+1=2+1=3；(2)由已知(x12+x−12)2=x+2+x−1=6，又x12+x−12>0，所以x12+x−12=√6，所以x32+x−32=(x12+x−12)(x−1+x−1)=3√6．解析：本题考查指数和对数运算.属于基础题．(1)利用对数运算法则求解即可，注意lg2+lg5=1的使用;(2)由已知求出x12+x−12，然后利用立方和公式求解即可．18.答案：解：(1)若a=−1，B=[−1,2]，A∩B=[−1,1)，A∪B=(−∞,2]；(2)∁U A={x|x≥1}，∵a<a+3，∴B≠⌀∵B⊆∁U A，∴a≥1．∴实数a的取值范围为[1,+∞)．解析：(1)由a=−1，得B=[−1,2]，从而A∩B=[−1,1)，A∪B=(−∞,2]；(2)先求∁U A={x|x≥1}，再由B⊆∁U A，借助数轴可得结果．本题考查了集合间的基本运算及集合的包含关系应用，集合关系中的参数问题，属基础题．−x2，19.答案：解：(1)当a=1时，函数f(x)=xx+2−x2=0，可得可得x=0，或x2+2x−1=0，令xx+2解得x=0，或x=−1−√2，或x=−1+√2．综上可得，当a=1时，函数f(x)的零点为x=0，或x=−1−√2，或x=−1+√2(2)证明：∵当a>0时，x>0，由函数f(x)=0得：ax2+2ax−1=0，记g(x)=ax2+2ax−1，则g(x)的图象是开口朝上的抛物线，由g(0)=−1<0得：函数g(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点．∴函数f(x)在(0,+∞)上有唯一零点解析：(1)当a=1时，函数f(x)=xx+2−x2，令xx+2−x2=0，可得函数f(x)的零点．(2)当a>0时，若x>0，由函数f(x)=0得：ax2+2ax−1=0，进而可证得f(x)在(0,+∞)上有唯一零点．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，转化思想，二次函数的图象和性质，属于中档题．20.答案：解：(1)当x∈[30,50]时，设该工厂获利S万元，则S=20x−(x2−40x+1600)=−(x−30)2−700，所以当x∈[30,50]时，S max=−700<0，因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂才不会亏损．(2)由题易知，二氧化碳的平均处理成本P(x)=yx =x+1600x−40，x∈[30,50]，当x∈[30,50]时，P(x)=x+1600x −40≥2√x⋅1600x−40=40，当且仅当x=1600x，即x=40时等号成立，故P(x)的最小值为P(40)=40，所以当处理量为40t时，每吨的平均处理成本最少．解析：本题考查函数模型问题，属于中档题列出函数表达式，求最值21.答案：解：(1)f(2)=2−32+2=−14；(2)要使f(x)有意义，则x≠−2，∴f(x)的定义域为{x|x≠−2}；f(x)=x−3x+2=1−5x+2，5x+2≠0，∴f(x)≠1，∴f(x)的值域为{f(x)|f(x)≠1}．解析：本题考查已知函数求值的方法，函数定义域、值域的概念及求法，分离常数法的运用，属于一般题．(1)直接代入即可求得f(2)；(2)容易看出f(x)需满足x≠−2，这样便可得出f(x)的定义域；分离常数得到f(x)=1−5x+2，显然得出f(x)≠1，即得出f(x)的值域．22.答案：解：由题意，知m=f(x)−x=x−1x+1−x=1−2x+1−x=2−2x+1−(x+1)，设t=x+1，x∈[0,1]，所以m=2−2t−t，t∈[1,2]．设ℎ(t)=−(2t+t)，因为ℎ(t)在[1,√2)上单调递增，在(√2,2]上单调递减，所以函数y=f(x)−x在[0,√2−1)上单调递增，在(√2−1,1]上单调递减．f(0)−0=−1，f(√2−1)−(√2−1)=2−2√2，f(1)−1=−1． ①当m<−1或m>2−2√2时，关于x的方程f(x)−x=m在[0,1]上无解; ②当m=2−2√2时，关于x的方程f(x)−x=m在[0,1]上有一个解; ③当−1≤m<2−2√2时，关于x的方程f(x)−x=m在[0,1]上有两个解．解析：本题考查了函数与方程以及函数的单调性，是难题．由题意，知m=f(x)−x=x−1x+1−x=1−2x+1−x=2−2x+1−(x+1)，设t=x+1，x∈[0,1]，所以m=2−2t −t，t∈[1,2].设ℎ(t)=−(2t+t)，根据ℎ(t)的单调性和m的取值范围确定方程f(x)−x=m在[0,1]上的解的个数．。

2020-2021学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年北京交大附中高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共40分）1．（4分）已知集合P＝{x∈R||x|＜2}，Q＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，3]D．[﹣1，3] 2．（4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c＝0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c＝0有解3．（4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．＜B．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．＞4．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．D．f（x）＝x0，g（x）＝15．（4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝﹣（x+1）2C．y＝|x﹣1|D．y＝6．（4分）a＞﹣1是关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．（4分）已知函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2] 9．（4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A．4，6B．3，6C．3，7D．1，710．（4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义，给出下列三个结论：①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1；②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共5小题，共20分）11．（4分）函数f（x）＝的定义域为．12．（4分）方程组的解集中元素的个数为．13．（4分）若不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a的取值范围是．14．（4分）已知函数y＝f（x），y＝g（x）的对应关系如表：x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））的值为；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是．15．（4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）＝a|x﹣x1|+b|x﹣x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件．三、解答题（共5小题；共60分）16．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}，．（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．19．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？20．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y＝f（x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．2020-2021学年北京交大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，共40分）1．（4分）已知集合P＝{x∈R||x|＜2}，Q＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，则P∩Q＝（）A．[﹣1，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，3]D．[﹣1，3]【分析】解关于x的不等式，求出P、Q的交集即可．【解答】解：∵P＝{x∈R，||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，Q＝{x∈R|﹣1≤x≤3}，则P∩Q＝[﹣1，2），故选：A．【点评】本题考查了集合的运算，考查绝对值不等式问题，是一道基础题．2．（4分）已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c＝0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c＝0有解【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c＝0 有解，则￢p为∀c＞0，方程x2﹣x+c＝0无解．故选：A．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．（4分）如果a＞b，那么下列不等式中正确的是（）A．＜B．a2＞b2C．a|c|＞b|c|D．＞【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：若a＞0＞b，则＞，故A错误；取a＝﹣1，b＝﹣2，满足a＞b，但a2＜b2，故B错误；若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误，因为c2+1＞0，a＞b，∴＞，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．4．（4分）下面四组函数中，f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．D．f（x）＝x0，g（x）＝1【分析】看两个函数是不是同一个函数，要观察三个方面，A选项，f（x）的定义域{x|x ≠﹣1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0【解答】解：∵对于A选项，f（x）的定义域{x|x≠﹣1}，定义域不同，不是同一个函数，选项C也是定义域不同，前者是全体实数，后者是非负数，选项D也是定义域不同，后者是全体实数，后者是不等于0，故选：B．【点评】本题考查判断两个函数是不是同一个函数，本题解题的关键是判断两个函数的定义域是否相同，本题是一个基础题．5．（4分）下列函数中，在区间[1，+∞）上为增函数的是（）A．y＝﹣（x﹣1）2B．y＝﹣（x+1）2C．y＝|x﹣1|D．y＝【分析】结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．【解答】解；根据二次函数的性质可知，y＝﹣（x﹣1）2，y＝﹣（x+1）2在区间[1，+∞）上为减函数，A，C不符合题意；根据反比例函数的性质可知，y＝在区间[1，+∞）上为减函数，D不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了函数单调性的判断，属于基础试题．6．（4分）a＞﹣1是关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根，则△＝4﹣4（﹣a+1）≥0，且﹣a+1＞0，解得a范围，即可判断出结论．【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根，则△＝4﹣4（﹣a+1）≥0，且﹣a+1＞0，解得：1＞a≥0，∴a＞﹣1是关于x的方程x2+2x﹣a+1＝0有两个负根的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（4分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除C，D，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除B，故选：A．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8．（4分）已知函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则m的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【分析】根据题意，分析可得f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）在区间（m，+∞）上为增函数，据此可得m的取值范围．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|x﹣m|与函数g（x）的图象关于y轴对称．若g（x）在区间（1，2）内单调递减，则f（x）在区间（﹣2，﹣1）上递增，而f（x）＝|x﹣m|＝，在区间（m，+∞）上为增函数，则有m≤﹣2，即m的取值范围为（﹣∞，﹣2]；故选：D．【点评】本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．9．（4分）一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）A．4，6B．3，6C．3，7D．1，7【分析】若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．正确的密码中一定含有数字1，7．【解答】解：若正确的密码中一定含有数字3，6，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，与它们各自的位置均不正确矛盾．同理正确的密码中一定含有数字4，6，或3，7不正确．若正确的密码中一定含有数字1，7，而3，6在第1，2，3，4的位置都有，根据它们各自的位置均不正确，可得1在第三位置，7在第四位置．故选：D．【点评】本题考查了合情推理，考查了推理能力，属于中档题．10．（4分）设集合A是集合N*的子集，对于i∈N*，定义，给出下列三个结论：①存在N*的两个不同子集A，B，使得任意i∈N*都满足φi（A∩B）＝0且φi（A∪B）＝1；②任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；③任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∪B）＝φi（A）+φi（B）．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N*，φi（A）＝0或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【解答】解：∵对于i∈N*，定义，∴①例如A＝{正奇数}，B＝{正偶数}，∴A∩B＝∅，A∪B＝N*，∴φi（A∩B）＝0；φi （A∪B）＝1，故①正确；②若φi（A∩B）＝0，则i∉（A∩B），则i∈A且i∉B，或i∈B且i∉A，或i∉A且i∉B；∴φi（A）•φi（B）＝0；若φi（A∩B）＝1，则i∈（A∩B），则i∈A且i∈B；∴φi（A）•φi（B）＝1；∴任取N*的两个不同子集A，B，对任意i∈N*都有φi（A∩B）＝φi（A）•φi（B）；正确，故②正确；③例如：A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，当i＝2时，φi（A∪B）＝1；φi（A）＝1，φi（B）＝1；∴φi（A∪B）≠φi（A）+φi（B）；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（共5小题，共20分）11．（4分）函数f（x）＝的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x2﹣2x＞0，解得：x＞2或x＜0，故函数的定义域是（﹣∞，0）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．12．（4分）方程组的解集中元素的个数为2．【分析】通过解方程组得到所求解集和元素个数．【解答】解：解方程组得到：或．所以原方程组解集为{（1，1），（1，﹣1）}，则解集的元素个数为2．故答案是：2．【点评】本题集合的表示方法，考查运算能力，属于基础题．13．（4分）若不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．【分析】不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立⇔a＞x﹣在x∈（1，2）内恒成立，令t（x）＝x﹣，x∈（1，2），由函数的单调性求得t（x）的范围得答案．【解答】解：由不等式x2﹣ax﹣2＜0在x∈（1，2）内恒成立，得ax＞x2﹣2，即a＞x﹣在x∈（1，2）内恒成立，令t（x）＝x﹣，x∈（1，2），该函数为增函数，则t（x）＜t（2）＝1．可得a≥1．∴a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查二次函数的性质，考查不等式恒成立问题的求解方法，训练了利用函数单调性求最值，是基础题．14．（4分）已知函数y＝f（x），y＝g（x）的对应关系如表：x123f（x）131x123g（x）321则f（g（1））的值为1；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是2．【分析】根据题意，对于第一空：由函数y＝f（x）的对应关系求出g（1）的值，结合f （x）的图象可得f（g（1））的值，对于第二空：分别将x＝1，2，3代入f[g（x）]，g[f （x）]，判断出满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x．【解答】解：根据题意，由f（x）的表格可得：g（1）＝3，则f（g（1））＝f（3）＝1，当x＝1时，f[g（1）]＝1，g[f（1）]＝g（1）＝3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x＝2时，f[g（2）]＝f（2）＝3，g[f（2）]＝g（3）＝1，满足f[g（x）]＞g[f（x）]，当x＝3时f[g（3）]＝f（1）＝1，g[f（3）]＝g（1）＝3，不满足f[g（x）]＞g[f（x）]，故满足f[g（x）]＞g[f（x）]的x的值是2，故答案为1；2．【点评】本题考查函数的表示方法，涉及函数值的计算，属于基础题．15．（4分）对任意的x1＜0＜x2，若函数f（x）＝a|x﹣x1|+b|x﹣x2|的大致图象为如图所示的一条折线（两侧的射线均平行于x轴），试写出a、b应满足的条件a＞0且a+b＝0；（该结论的等价形式都对）．【分析】将f（x）化为分段函数，逐段与图象对应，根据图象在各段上的变化规律：常数函数、正比例函数、常数函数确定解析式的各项系数．找出共同条件．【解答】解：当x≤x1时，f（x）＝﹣a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）＝﹣（a+b）x+（ax1+bx2）由图可知当x1＜0＜x2时，f（x）＝a（x﹣x1）﹣b（x﹣x2）＝（a﹣b）x﹣ax1+bx2由图可知当x≥x2时，f（x）＝a（x﹣x1）+b（x﹣x2）＝（a+b）x﹣（ax1+bx2）由图又可得出①②两式．由①，①′两式可得a＝﹣b＞0，同时使得②，②′成立．故答案为：a＞0且a+b＝0 （或a＝﹣b＞0）【点评】本题考查绝对值函数的图象，以及识图能力、逆向思维能力．三、解答题（共5小题；共60分）16．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}，．（1）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【分析】（1）先化简集合A，B，再根据A∩B＝∅，即可求得a的值．（2）B⊆A，即B是A的子集，即可求得a的取值范围．【解答】解：B＝{x|（x﹣a）[x﹣（a+3）]＜0}＝{x|a＜x＜a+3}，A＝{x|x2﹣4x﹣5＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞5}，（1）要使A∩B＝∅，则需满足下列不等式组，解此不等式组得﹣1≤a≤2，则实数a的取值范围为[﹣1，2]，（2）要使B⊆A，即B是A的子集，则需满足a+3＜﹣1或a＞5，解得a＞5或a＜﹣4，即a的取值范围是{a|a＞5或a＜﹣4}．【点评】本题考查了集合间的关系和运算，深刻理解集合间的关系和运算法则是解决此题的关键．17．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的定义域；（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．【分析】（1）由分母1﹣x2≠0，求出函数的定义域{x|x≠±1}；（2）证明：为了便于证明，先整理函数＝＝﹣1，然后利用函数单调性定义证明，设1＜x1＜x2，作差（x1）﹣f（x2）变形，直到容易判断符号为止，从而证明函数单调性．【解答】解：（1）由1﹣x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}（2）证明：整理函数＝＝﹣1，设1＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝＝∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣x2＜0，1﹣x1＜0，1+x2＞0，1+x1＞0，x2+x1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．【点评】本题考查了分式函数求定义域的方法，利用函数单调性定义证明函数单调性，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）若f（x）为偶函数，且a＞0，设，mn＜0，m+n＞0，判断F（m）+F（n）是否大于零，请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0和值域为[0，+∞），结合二次函数的性质可建立方程组求出a，b的值，进而可以求解，（2）由（1）可得函数g（x）解析式，利用已知可得函数的对称轴在区间外，建立不等式即可求解，（3）由已知函数是偶函数可得b＝0，进而可得函数F（x）的解析式，再假设m＞n，由已知可得m＞﹣n＞0，进而可得|m|＞|﹣n|，即可判断F（m）+F（n）与0的关系．【解答】解：（1）由f（﹣1）＝0可得a﹣b+1＝0，又函数的值域为[0，+∞），所以，解得a＝1，b＝2，故函数f（x）的解析式为：f（x）＝x2+2x+1；（2）由（1）可得g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1，对称轴为x＝，因为函数g（x）在区间[﹣2，2]上单调，则有，解得k≥6或k≤﹣2，故k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）大于零，理由如下：因为f（x）是偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则F（x）＝，不妨设m＞n，则n＜0，由m+n＞0得m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，又a＞0，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣（an2+1）＝a（m2﹣n2）＞0，故F（m）+F（n）大于零．【点评】本题考查了二次函数的解析式与性质，考查了学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q（单位：元/102kg）与上市时间t（单位：天）的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f（t），写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？【分析】（1）分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，结合一次函数分段写出P＝f（t）；根据二次函数的顶点式来写Q＝g（t）；（2）设纯收益为W，则W＝f（t）﹣g（t），然后分0＜t≤200和200＜t≤300两种情况，并利用配方法来求W的最大值．【解答】解：（1）P＝f（t）＝，Q＝g（t）＝（t﹣150）2+100，0＜t≤300．（2）设纯收益为W，则W＝f（t）﹣g（t），若0＜t≤200，W＝﹣t+300﹣（t﹣150）2﹣100＝﹣t2+t+＝﹣（t﹣50）2+100，∴当t＝50时，纯收益W最大，为100元/102kg，若200＜t≤300，W＝2t﹣300﹣（t﹣150）2﹣100＝﹣t2+t﹣＝﹣（t﹣350）2+100，∴当t＝300时，纯收益W最大，为87.5元/102kg，综上所述，当t＝50，即从2月1日开始的第50天上市，西红柿的纯收益最大．【点评】本题考查分段函数和二次函数的实际应用，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20．（12分）对于定义域为D的函数y＝f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y＝f（x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．【分析】（1）根据均值的定义，要判断1是函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，即要验证；（2）函数f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，当a＝0时，f（x）＝﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，从而求得实数a的取值范围；（3）根据（1），（2）的结论对于当I＝（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”；当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f（x）不存在均值．【解答】解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，当且仅当x2＝﹣x1时，有，故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，所以1是函数f（x）＝2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．（2）当a＝0时，f（x）＝﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）＝ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．（3）①当I＝（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当I＝（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．【点评】此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。

2020-2021学年四川省成都七中高一(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年四川省成都七中高一(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年四川省成都七中高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}，N＝{x|2x2﹣x﹣1＜0，x∈Z}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{0}D．{﹣1}2．函数f（x）＝lnx+的定义域为（）A．[0，2]B．（0，2]C．（0，+∞）D．（2，+∞）3．下列函数是偶函数的为（）A．f（x）＝B．f（x）＝x﹣C．f（x）＝ln（+x）D．f（x）＝2x﹣4．若函数y＝a x+2+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过一定点P，则P的坐标为（）A．（0，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，2）D．（﹣2，3）5．已知a＝log30.3，b＝30.1，c＝0.13，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．下列结论正确的是（）A．＝﹣1B．lg（2+5）＝1C．（）＝D．log23＝log467．若幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•x m在（0，+∞）单调递减，则f（2）＝（）A．8B．3C．﹣1D．8．Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数R（t）（t的单位：天）的模型：R（t）＝，其中K为最大确诊病例数，N为非零常数，当R（t*）＝K时，t*的值为（）A．53B．60C．63D．669．函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．10．关于x的方程x2﹣（a+1）x+a＝0的两个不等根x1，x2，都在（0，2）之内，则实数a 的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，1）∪（1，2）11．若函数f（x）＝log（﹣x2+4x+5），则f（x）的单调递增区间为（）A．（2，5）B．（﹣1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），满足当x∈[0，2]时，f（x）＝．当x＞2时，满足f（x）＝mf（x﹣2），m∈R（m为常数），则下列叙述中正确为（）①当m＝时，f（3）＝1；②0＜m＜1时，函数f（x）的图象与直线y＝2m n﹣1，n∈N*在[0，2n]上的交点个数为2n﹣1；③当m＞1时，4m x≥mf2（x）在[0，+∞）上恒成立．A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（共4小题）.13．已知x+x﹣1＝3，则x2+x﹣2＝．14．已知函数f（x）＝，则f（f（）＝．15．函数f（x）＝x（8﹣x），x∈（0，8）的最大值为．16．已知函数f（x）＝x（x﹣m），m∈R，若f（x）在区间[1，2]上的最大值为3，则m＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）己知集合A＝{x|x2﹣12x+20≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若B∪A＝[2，11]，求实数m的值；（2）若B∩（∁R A）＝∅，求实数m的取值范围．18．（12分）计算下列各式的值：（1）（﹣2）0++；（2）log64+log6+3．19．（12分）声强级L1（单位dB）由公式L1＝10lg（）给出，其中I为声强（单位W/m2）．（1）若航天飞机发射时的最大声强是10000W/m2，求其声强级；（2）一般正常人的听觉声强级的范围为[0，120]（单位dB），求其声强的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝ax2﹣3ax+2（a∈R）．（1）求f（x）的函数解析式；（2）当a＝1时，求满足不等式1＞log2f（x）的实数x的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）﹣g（x）＝．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若f（2x）＞ag（x）在x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）记H（x）＝+1，若a，b∈R，且a+b＝1，求H（﹣4+a）+H（b+1）的值．22．（12分）已知函数g（x）＝lg（﹣x）若g（x）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）＝1﹣2|x﹣|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}，N＝{x|2x2﹣x﹣1＜0，x∈Z}，则M∩N＝（）A．{0，1}B．{﹣1，0}C．{0}D．{﹣1}【分析】求出M，N中的元素，取交集即可．解：∵M＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}，N＝{x|2x2﹣x﹣1＜0，x∈Z}＝{0}，则M∩N＝{0}，故选：C．2．函数f（x）＝lnx+的定义域为（）A．[0，2]B．（0，2]C．（0，+∞）D．（2，+∞）【分析】根据对数函数以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．解：由题意得：，解得：0＜x≤2，故函数的定义域是（0，2]，故选：B．3．下列函数是偶函数的为（）A．f（x）＝B．f（x）＝x﹣C．f（x）＝ln（+x）D．f（x）＝2x﹣【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝，x＞0时，﹣x＜0，f（x）＝x3，f（﹣x）＝﹣（﹣x）3＝x3，满足f（x）＝f（﹣x），x＜0时，﹣x＞0，f（x）＝﹣x3，f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3，满足f（x）＝f（﹣x），综合可得f（x）＝f（﹣x），是偶函数，符合题意，对于B，f（x）＝x﹣，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝﹣（x﹣）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，不符合题意，对于C，f（x）＝ln（+x），其定义域为R，有f（﹣x）＝ln（﹣x）＝ln＝﹣ln（+x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，不符合题意，对于D，f（x）＝2x﹣，其定义域为R，由f（﹣x）＝2﹣x﹣＝﹣（2x﹣）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，不符合题意，故选：A．4．若函数y＝a x+2+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过一定点P，则P的坐标为（）A．（0，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，2）D．（﹣2，3）【分析】根据指数函数过定点的性质，即a0＝1恒成立，即可得到结论．解：∵y＝a x+2+2，∴当x+2＝0时，x＝﹣2，此时y＝1+2＝3，即函数过定点（﹣2，3）．故选：D．5．已知a＝log30.3，b＝30.1，c＝0.13，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】利用指数函数，对数函数的性质可求a，b，c的范围，即可得解．解：因为a＝log30.3＜log31＝0，b＝30.1＞30＝1，c＝0.13∈（0，1），则a＜c＜b．故选：C．6．下列结论正确的是（）A．＝﹣1B．lg（2+5）＝1C．（）＝D．log23＝log46【分析】对于AC根据指数幂的运算性质即可判断，对于BD根据对数的运算性质即可判断．解：对于A，＝1，故A错误；对于B，lg（2+5）＝lg7，故B错误；对于C，（）＝（）＝，故C正确；对于D，log46＝＝log26＝log2，故D错误．故选：C．7．若幂函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）•x m在（0，+∞）单调递减，则f（2）＝（）A．8B．3C．﹣1D．【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值，再验证m是否满足题意．解：函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x m为幂函数，则m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝﹣1或m＝3，当m＝﹣1时，f（x）＝x﹣4，在（0，+∞）上单调递减，满足题意，当m＝3时，f（x）＝x，在（0，+∞）上单调递增，不满足题意，所以m＝﹣1，所以f（x）＝，所以f（2）＝，故选：D．8．Logistic模型是常用的数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立某地区流感累计确诊病例数R（t）（t的单位：天）的模型：R（t）＝，其中K为最大确诊病例数，N为非零常数，当R（t*）＝K时，t*的值为（）A．53B．60C．63D．66【分析】把R（t*）＝K代入R（t）＝，求解指数方程得答案．解：由已知可得，＝，∴，得1+e N（t*﹣60）＝2，∴e N（t*﹣60）＝1，即t*＝60．故选：B．9．函数f（x）＝的大致图象为（）A．B．C．D．【分析】利用特殊值对应点的位置排除选项即可．解：当x＝2时，f（2）＝＞0，对应点在x轴上方，排除B、C．x＝﹣2时，f（﹣2）＝＜0，对应点在x轴下方，排除D．故选：A．10．关于x的方程x2﹣（a+1）x+a＝0的两个不等根x1，x2，都在（0，2）之内，则实数a 的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，1）∪（1，2）【分析】结合二次函数的图象与性质列不等式组，即可求解．解：因为方程x2﹣（a+1）x+a＝0的两个不等根x1，x2，都在（0，2）之内，可得函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a在（0，2）内有两个零点，所以，解得0＜a＜2且a≠1．故选：D．11．若函数f（x）＝log（﹣x2+4x+5），则f（x）的单调递增区间为（）A．（2，5）B．（﹣1，2）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【分析】求出函数f（x）的定义．利用二次函数、对数函数、复合函数的单调性即可得出．解：由函数f（x）＝log（﹣x2+4x+5），则u（x）＝﹣x2+4x+5＞0，解得：﹣1＜x＜5．对称轴为x＝2，∴函数f（x）的定义域为：（﹣1，5）．由u（x）＝﹣x2+4x+5，可得：函数u（x）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（2，5）上单调递减．而函数f（x）＝log u在（0，+∞）上单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（2，5）上单调递增．故选：A．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x），满足当x∈[0，2]时，f（x）＝．当x＞2时，满足f（x）＝mf（x﹣2），m∈R（m为常数），则下列叙述中正确为（）①当m＝时，f（3）＝1；②0＜m＜1时，函数f（x）的图象与直线y＝2m n﹣1，n∈N*在[0，2n]上的交点个数为2n﹣1；③当m＞1时，4m x≥mf2（x）在[0，+∞）上恒成立．A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】把m＝代入可判断①正确．f（x）的图象是将在0到2的范围的图象乘以系数m后向右依次平移，每次平移的长度为2得到，当0＜m＜1时，分x∈[2n﹣2，2n]，x∈[0，2n﹣2]时，求交点个数可判断②．取m＝100，当x＝，可判断③．解：当m＝时，f（3）＝f（1）＝1，①正确．对于②，由题意可得函数f（x）的图象是将在0到2的范围的图象乘以系数m后向右依次平移，每次平移的长度为2得到，当0＜m＜1时，图象是变矮平移得到的，当x∈[2n﹣2，2n]时，f（x）min＝f（2n﹣1）＝2m n﹣1，因此x∈[2n﹣2，2n]时，与y＝2m n﹣1有且只有一个交点x ＝2n﹣1，当x∈[0，2n﹣2]时，由于0＜m＜1，导致后面的图象一定比前面的图象矮，即2m n﹣1＜2mα，α＝0，1，2，…n﹣2，所以x∈[0，2n﹣2]中与y＝2m n﹣1交点个数为2n﹣2，即总个数为2n﹣2+1＝2n﹣1，故正确．对于③，当m＞1时，4m x≥mf2（x）在[0，+∞）上恒成立，这显然不是恒成立的，比如m＝100，当x＝时，f（）＝1，4m x＝4×100＝40，mf2（x）＝100×1＝100，4m x＜mf2（x），故不正确．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知x+x﹣1＝3，则x2+x﹣2＝7．【分析】将已知等式x+x﹣1＝3平方即得到答案．解：因为x+x﹣1＝3，所以平方得到：x2+2+x﹣2＝9，所以x2+x﹣2＝7．故答案为：7．14．已知函数f（x）＝，则f（f（）＝3．【分析】推导出f（）＝＝﹣1，从而f（f（）＝f（﹣1），由此能求出结果．解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝＝﹣1，f（f（）＝f（﹣1）＝3．故答案为：3．15．函数f（x）＝x（8﹣x），x∈（0，8）的最大值为16．【分析】对f（x）＝x（8﹣x）配方即可求出f（x）在（0，8）上的最大值．解：f（x）＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，x∈（0，8），∴x＝4时，f（x）取最大值16，即f（x）在（0，8）的最大值为16．故答案为：16．16．已知函数f（x）＝x（x﹣m），m∈R，若f（x）在区间[1，2]上的最大值为3，则m＝．【分析】讨论对称轴与区间的中点的大小即可求得最大值，从而计算可得m的值..解：函数f（x）＝x（x﹣m）＝x2﹣mx，函数图象开口向上，对称轴为x＝，当≤，即m≤3时，f（x）max＝f（2）＝4﹣2m＝3，解得m＝；当＞，即m＞3时，f（x）max＝f（1）＝1﹣m＝3，解得m＝﹣2，不符合题意，舍去．综上，m＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）己知集合A＝{x|x2﹣12x+20≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}．（1）若B∪A＝[2，11]，求实数m的值；（2）若B∩（∁R A）＝∅，求实数m的取值范围．【分析】（1）求出A，根据B∪A＝[2，11]，得到关于m的方程，求出m的值即可；（2）求出A的补集，根据B∩（∁R A）＝∅，得到关于m的不等式，求出m的范围即可．解：（1）A＝{x|x2﹣12x+20≤0}＝[2，10]，又B＝{x|m≤x≤m+2}，由B∪A＝[2，11]可知：m+2＝11且m≤10，解得：m＝9满足条件；（2）∵A＝[2，10]，∴∁R A＝（10，+∞）∪（﹣∞，2），要使得B∩（∁R A）＝∅，故m+2≤10且m≥2，解得：2≤m≤8，故实数m的取值范围是[2，8]．18．（12分）计算下列各式的值：（1）（﹣2）0++；（2）log64+log6+3．【分析】（1）根据指数幂的运算性质即可求出；（2）根据对数的运算性质即可求出．解：（1）原式＝1+3﹣π+π﹣2＝2，（2）原式＝log6（4×）+3＝log66+2＝1+2＝3．19．（12分）声强级L1（单位dB）由公式L1＝10lg（）给出，其中I为声强（单位W/m2）．（1）若航天飞机发射时的最大声强是10000W/m2，求其声强级；（2）一般正常人的听觉声强级的范围为[0，120]（单位dB），求其声强的取值范围．【分析】（1）取I＝10000求解L1的值得答案；（2）由题意可得0≤L1≤120，即0≤10lg（）≤120，求解对数不等式得结论．解：（1）由L1＝10lg（），I＝10000，得L1＝10lg（）＝10lg1016＝160（dB）；（2）由题意可得，0≤L1≤120，即0≤10lg（）≤120，∴0≤lg（）≤12，得1≤≤1012，∴10﹣12≤I≤1．∴一般正常人的听觉声强的范围为[10﹣12，1]．20．（12分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）＝ax2﹣3ax+2（a∈R）．（1）求f（x）的函数解析式；（2）当a＝1时，求满足不等式1＞log2f（x）的实数x的取值范围．【分析】（1）根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性分析可得f（x）的解析式，综合可得答案，（2）根据题意，由函数的解析式作出函数的简图，而1＞log2f（x）⇒0＜f（x）＜2，结合函数的草图分析可得答案．解：（1）根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝a（﹣x）2﹣3a（﹣x）+2＝ax2+3ax+2，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝ax2+3ax+2，故f（x）＝，（2）根据题意，当a＝1时，f（x）＝，其图象如图：若1＞log2f（x），则0＜f（x）＜2，则有x∈（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，3），故x的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，3）．21．（12分）已知函数f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，且f（x）﹣g（x）＝．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）若f（2x）＞ag（x）在x∈（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）记H（x）＝+1，若a，b∈R，且a+b＝1，求H（﹣4+a）+H（b+1）的值．【分析】（1）由函数的奇偶性可得f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），将f（x）﹣g（x）＝中的x换成﹣x可知，f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e x，即f（x）+g（x）＝e x，联立方程组，解得f（x），g（x）；（2）由（1）可得f（2x）＝（e2x+），g（x）＝（e x﹣），令（e x﹣）＝t，因为x＞1可知t∈（e﹣，+∞），则不等式f（2x）＞ag（x）在x∈（1，+∞）恒成立，可以转化为a＜t+，在t∈（e﹣，+∞），只需a＜（t+）min即可得出答案．（3）由f（x），g（x）的奇偶性可得为奇偶性，进而推出的图象关于（﹣1，0）中心对称，推出H（x）＝+1的图象关于（﹣1，1）中心对称，由对称性即可得出答案．解：（1）因为f（﹣x）＝f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），因为f（x）﹣g（x）＝，将x换成﹣x可知，f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e x，化简可得：f（x）+g（x）＝e x，联立方程组，解得f（x）＝（e x+），g（x）＝（e x﹣）．（2）由f（2x）＞ag（x），所以（e2x+）＞a（e x﹣），令（e x﹣）＝t，因为x＞1可知t∈（e﹣，+∞），所以at＜t2+2，即a＜t+，又因为e﹣＞，所以a≤．（3）因为f（x）＝（e x+）为偶函数，g（x）＝（e x﹣）为奇函数，所以为定义在R上的奇函数，所以的图象关于（﹣1，0）中心对称，所以H（x）＝+1的图象关于（﹣1，1）中心对称，因为a+b＝1，所以H（﹣4+a）+H（b+1）＝H（﹣4+a）+H（2﹣a）＝2．22．（12分）已知函数g（x）＝lg（﹣x）若g（x）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数的单调性，并给出证明，若g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，求实数b的取值范围；（3）若函数f（x）＝1﹣2|x﹣|，判断函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上的零点个数，并说明理由．【分析】（1）由g（0）＝0求得a值，验证函数为奇函数即可；（2）由复合函数的单调性可得函数g（x）＝lg（﹣x）在R上单调递减，再由函数单调性的定义证明；g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，得b＜在[2，3]上有解，利用换元法求在[2，3]上的最大值，即可得到b的范围；（3）求得g（﹣x）＝lg（+x），当x∈[0，1]时，写出分段函数f（f（x）），作出图象，数形结合得答案．解：（1）∵g（x）＝lg（﹣x）是定义在R上的奇函数，∴g（0）＝lg（）＝0，即a＝1，当a＝1时，验证可知g（x）＝lg（﹣x）是定义在R上的奇函数，故a＝1；（2）函数g（x）＝lg（﹣x）在R上单调递减．证明如下：令u（x）＝﹣x，设x2＞x1，则＝＝＝．∵x2＞x1，∴x2﹣x1＞0，又＞|x2|，＞|x1|，∴≤＜1，则﹣1＜0，∴u（x2）＜u（x1），即u（x）为R上的减函数，又y＝lgu为定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，函数g（x）＝lg（﹣x）在R上单调递减．由g（bx2+2）＞g（2x+1）在[2，3]上有解，得bx2+2＜2x+1，即bx2＜2x﹣1，也就是b＜在[2，3]上有解，令，则t∈[，]，求得，则b＜；（3）g（﹣x）＝lg（+x），f（x）＝1﹣2|x﹣|＝，当x∈[0，1]时，f（f（x））＝，∵f（f（0））＝g（0）＝0，f（f（））＝1，而g（）＝lg2＜1，如图，函数y＝f[f（x）]﹣g（﹣x）在区间[0，1]上有4个零点．。

数学高一上册期中试卷 (6)

数学高一上册期中试卷 (6)

保密★启用前20xx —20xx 学年度第一学期期中考试高一数学试题（B ）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分，考试时间120分钟.第I 卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合P ＝{x |2≤ x <5}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q =A ．{x |3< x <5}B ． {x |3≤ x <5}C ．{x |2≤ x <3}D ．{x |2≤ x ≤3} 2．命题“21,x x x ∀≥-≥”的否定是A ．21,x x x ∀≥-<B ．21,x x x ∀<-<C ．21,x x x ∃≥-<D ．21,x x x ∃<-< 3．“1x >”是“21x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )=32,16,1x x x x -≥-⎧⎨+<-⎩，若f (x )=1，则x =A ．-1或-5B ．1C ．-5D ．1或-55．已知二次函数f (x )，f (0)=6，且f (3)=f (2)=0，那么这个函数的解析式是A ．f (x )=x 2＋x ＋6B ．f (x )=x 2－x ＋6C ．f (x )=x 2－5x ＋6D ．f (x )=x 2＋5x ＋6 6．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是7．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围为A ．－1＜a ＜0B ．－2＜a ＜0C ．20x -≤<D ．20x -≤≤8．已知偶函数f (x )与奇函数g (x )的定义域都是(-2,2)，它们在[0,2]上的图象如图所示，则使关于x 的不等式f (x )·g (x )>0成立的x 的取值范围为A ．(-2, -1)∪(0,1)B ．(-1,0)∪(0,1)C ．(-1,0)∪(1,2)D ．(-2, -1)∪(1,2)二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分.9．下列函数中存在零点的函数有A ．12y x -= B ．221y x -C ．1y x =+D ．1,01,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩10．已知幂函数y x α=的图像如图所示，则a 值可能为A ．13B ．12C ．15D ．311．已知正实数x ，y 满足11x y x y-<-，则下列结论正确的是 A ．x y < B ．1x y < C ．11x y <D ．33x y < 12．对于实数x ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确的是A ．()()3.9 4.2f f -=B ．()(1)f x f x =+C ．函数()f x 的最大值为1D ．方程()102f x -=有无数个根 第II 卷本卷为必考题. 第13～16题为填空题，第17～22题为解答题，每个试题考生都必须作答．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．若集合A={x|-3≤x<a }，B={x|x ≤b }，且A ∩B=Ø，则实数b 取值范围为 ．14．函数12x y x -=-的定义域为 . 15. 若函数 f (x )=(x ＋a )(bx ＋a )(常数a ,b ∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞,1]，则a= .16. 设函数()y f x =的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有3()4f x >-，则m 的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知函数()f x 满足(1)f x x a +=+，且(1)1f =.（1）求a 和函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在其定义域的单调性.18．（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a ＋5}，B ＝{x |x ≤－2或x ≥5}.（1）若2a =-，求,AB A B ； （2）AB A =；求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件(x ＞0)，则平均仓储时间为88x +天，且每件产品每天的仓储费用为1元.设生产每批的总费用为y .（总费用指的是生产准备费用与仓储费用之和）（1）求y 关于x 的关系式；（2）每批应生产多少件产品时平均费用最小？并求出最小平均费用.20．（本小题满分12分）已知函数2()(1)1f x x m x m =-+++.（1）若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()1f x <.21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x ax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，方程f (x )＝x 有唯一解， （1）求函数f (x )的解析式；（2）若2x <-，求函数()()g x xf x =的最大值.22．（本小题满分12分）已知函数f (x )满足()()()(,)f x y f x f y x y R +=+∈,当0x >时，()0f x >，且(1)2f =. （1）求(0),(1)f f -的值；并证明f (x )为奇函数；（2）判断f (x )的单调性；（3）当[1,2]x ∈时，不等式2(3)()2f ax x f x -+<-恒成立，求实数a 的取值范围.。

2020-2021学年上海市奉贤区高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年上海市奉贤区高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．109316．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为3．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的真子集一共有：22﹣1＝3个．故答案为：3．【点评】本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），∴＝3a，解得a＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，属基础题．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．【分析】利用根与系数的关系得到x1x2＝﹣4，再对所求式子化简代入即可求出结果．【解答】解：∵方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，∴由根与系数的关系得：x1x2＝﹣4，∴（2）＝＝2﹣4＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，考查了指数幂的运算，是基础题．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【分析】根据“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，得到不等式组，解出即可．【解答】解：若“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则由“a≤x≤a+4”⇒“x＜﹣1或x＞5”，∴a≥5或a+4≤﹣1，解得：a≤﹣5或a≥5，故答案为：（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，属于基础题．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．【分析】先把对数式化为指数式，求出a的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入a的值即可求出结果．【解答】解：∵log a4＝2，∴a2＝4，又∵a＞0，a≠1，∴a＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝{x|x＞1}．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝R，∴A∩B＝{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）【分析】利用对数的换底公式、运算法则直接求解．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log916＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查对数式化简求值，对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品80件．【分析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x•＝800+x2这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f（x）＝＝（x为正整数）由基本不等式，得f（x）≥2＝20当且仅当，即x＝80时，f（x）取得最小值、∴x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为80【点评】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是1．【分析】由题意可得e x e y＝e2，即x+y＝2，x＞0，y＞0，然后结合即可求解．【解答】解：由题意可得e x e y＝e2，∴x+y＝2，x＞0，y＞0，∴＝1，当且仅当x＝y＝1时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是k≠±1．【分析】根据题意可得出：方程组有解，然后可得出方程（1﹣k2）x＝k﹣k2有解，从而可得出k需满足的条件．【解答】解：∵A∩B≠∅，∴方程组有解，消y得（1﹣k2）x＝k﹣k2，∴1﹣k2≠0，即k≠±1．故答案为：k≠±1．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．【分析】结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，然后结合方程的根与系数关系可求．【解答】解：因为关于x的不等式组的解集为[b，a]，结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，所以，解可得，或或（舍），当a＝1，b＝﹣3时，不等式组为，解得﹣3≤x≤1且x≠﹣1不合题意；当a＝，b＝﹣1时，不等式组，解得﹣1，此时符合题意．故a＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了方程与二次不等相互转化关系的应用．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为（，）．【分析】利用基本不等式和题设求得结果即可．【解答】解：令x+y＝t，则z＝1﹣t，∵x＞y＞z，且x+y+z＝1，∴z＝1﹣t＜⇒t＞，t2＝（x+y）2＜2（x2+y2），即x2+y2＞，∵x2+y2+z2＝1，∴1＞+z2＝+（1﹣t）2，即3t2﹣4t＜0，解得：0＜t＜，综上，＜t＜，即x+y∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：由a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，知：对于A，log a＝＝log a M，故A正确；对于B，（log a M）N≠N log a M＝，故B错误；对于C，（log a M）÷（log a N）≠log a（M﹣N），故C错误；对于D，log a M+log a N＝log a MN≠log a（M+N），故D错误．故选：A．【点评】本题考查对数式化简求值、对数运算法则，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N【分析】可以用Venn图来表示集合M，N，U，结合图形即可找出表示空集的选项．【解答】解：可用Venn图表示集合M，N，U如下：∴M∩（∁U N）＝∅，即M∩＝∅，故选：A．【点评】本题主要考查Venn图表示集合的方法，以及集合的补集和交集运算．15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．1093【分析】根据对数的性质得：3＝10lg3≈100.48，将M化为以10为底的指数形式，计算即可．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093．故选：D．【点评】本题考查了指数形式与对数形式的互化问题，是基础题．16．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】当a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，再由a，b∈（1，10000），能求出集合M中元素的个数．【解答】解：∵m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}，∴a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a＝2，b＝2，当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，∵a，b∈（1，10000），∴a＝3，b＝81，或a＝5，b＝625，或a＝7，b＝2401，或a＝9，b＝6561，∴M＝{（2，2），（3，81），（5，625），（7，2401），（9，6561）}．∴集合M中有5个元素．故选：C．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．【分析】（1）a＝3时，P＝{x|≥0}，由此能求出集合P．（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，根据a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1分类讨论，由此能求出集合P，求出Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|0＜x＜2}，由P∪Q＝P，得Q⊆P，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝3时，P＝{x|≥0}＝{x|≤0}＝{x|﹣1＜x≤3}，（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，当a＞﹣1时，P＝{x|﹣1＜x≤a}，当a＝﹣1时，P＝∅，当a＜﹣1时，P＝{x|a≤x＜﹣1}．∵Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，P∪Q＝P，∴Q⊆P，∴当a＞﹣1时，a＞2，当a≤﹣1时，无解，综上，当P∪Q＝P时a的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？【分析】（1）直接把y＝50代入y＝10lg，求得I得结论；（2）分别求出声音是120dB和60dB的声强度，作比得结论．【解答】解：（1）由50＝10lg，得，即I＝W/m2．故声音是50dB，相应的声强度是10﹣7W/m2；（2）设声音是120dB的声强度为I1，则120＝10lg，即，设声音是60dB的声强度为I2，则60＝10lg，即，∴．∴前者的声强度是后者的声强度的106倍．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查对数方程的求法，是基础的计算题．19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．【分析】（1）把A进行分离常数，再由x的范围求得A的值域，则结论得证，并指出等号成立的条件；（2）利用基本不等式求出B的范围，结合（1）中求得的A的范围，即可比较A与B的大小关系．【解答】证明：（1）A＝＝，∵x≥0，∴x+，8（x+）≥4，，可得＜，即A＜，当且仅当x＝0时等号成立；解：（2）B＜A，证明如下：由（1）知，A＜，B＝，当x＝0时，B＝0，当x＞0时，x2+1≥2x＞0，∴，当且仅当x＝1时取等号，∴0，而A与B中的等号不同时成立，∴B＜A．【点评】本题考查利用分离常数法与基本不等式求函数的值域，考查运算求解能力，是中档题．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．【分析】（1）由题意求解关于n的方程即可确定实数n的值；（2）由题意求得2n的表达式，然后分类讨论即可证得题中的结论；（3）将m，n分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论．【解答】（1）解：当m＝2时，22+n＝22+2n，即3⋅2n＝4，∴；（2）证明：设t＝2m，由于m≤0，故t∈（0，1]，由题意可得：t⋅2n＝t+2n，当m＝0，t＝1时，上述等式明显不成立，当m≠0，t＜1时，，由于2n＞0，t＞0，t﹣1＜0，故上述等式不成立，综上可得，实数n不存在．（3）证明：由2m+n＝2m+2n可得：，当m，n均为正整数时，等式左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂，很明显只有2m﹣1＝1，m＝1 时满足题意，此时n＝1，即只有一对正整数对（1，1）使得等式成立．【点评】本题主要考查指数方程的解法，分类讨论的数学思想，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．【分析】（1）将a＝0，b＝代入|x+2|＜|ax﹣b|中，然后去绝对值解不等式即可；（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|，然后假设|x+2|，|x﹣1|均小于，得到，推出矛盾结论，从而证明原命题成立；（3）根据a＞0时，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，对|x+2|+|ax﹣b|去绝对值，然后分别得到满足条件实数a、b即可．【解答】解：（1）当a＝0，b＝时，由|x+2|＜|ax﹣b|，得|x+2|，∴，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|．假设|x+2|，|x﹣1|均小于，则，∴，∴x∈∅，与假设矛盾，故|x+2|，|x﹣1|中至少有一个数不小于．（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，则①当x≥﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴．②当x⩾﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．③当x≤﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴，将代入中，得，要使与x≤﹣2有交集，则，∴与b≤﹣3矛盾．④当x≤﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．综上，要使不等式在R上恒成立，实数a、b满足的条件为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用反证法证明不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。

2020-2021学年江苏省盐城市高一上期中数学试卷及答案解析

2020-2021学年江苏省盐城市高一上期中数学试卷及答案解析

【解答】解：∵a⊗b ∴函数 y＝2x+1⊗2﹣x
， ＜
， ，＜
的图象如下图所示：
由图可得：函数 y＝2x+1⊗2﹣x 的减区间为（﹣∞， ]，最小值为 ，
故选：B．
8．（5 分）若 loga3＝m，loga5＝n，则 a2m+n 的值是（ ）
A．15
B．75
C．45
【解答】解：loga3＝m，loga5＝n， 所以 am＝3，an＝5， 所以 a2m+n＝a2man＝9×5＝45．
故选：C．
二．多选题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
9．（5 分）下列各式中，是函数的有（ ）
A．y＝1
B．y＝x2
C．y＝1﹣x
D．225 D．y
【解答】解：根据题意，依次分析选项， 对于 A，y＝1，是常数函数，是函数， 对于 B，y＝x2，是二次函数，是函数， 对于 C，y＝1﹣x，是一次函数，是函数，
D．（2，3）
【解答】解：因为集合 A＝{y|y ，0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}；
故（∁RA＝{y|y＞2 或 y＜0}，
∵B＝{x|0＜x＜3}，
∴（∁RA）∩B＝（2，3）
故选：D．
2．（5 分）命题 p：∃x0∈R，x02﹣x0+2≤0，则￢p 为（ ）
A．∃x0∈R，
＞
B．∀x∈R，x2﹣x+2≤0
（1）若 a＝2，求 M∩（∁RN）； （2）若 M∪N＝M，求实数 a 的取值范围．
18．（12 分）计算：
（1）0.064
（ ）0+16 ⺁ 0.25 ；
（2）log3
lg25+2lg2﹣7 뗘 log42．

2020-2021学年新疆石河子一中高一上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年新疆石河子一中高一上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年新疆石河子一中高一上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数y=log31+x的图象()1−xA. 关于原点对称B. 关于直线y=−x对称C. 关于y轴对称D. 关于直线y=x对称2.已知集合A={−1,2}，B={x|ax=6}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为()．A. {0,3}B. {−6,3}C. {6,0,−3}D. {−6,0,3}3.指数函数y=a的图像经过点(2,16)则a的值是A. B. C. 2 D. 44.下列表示①{0}=⌀；②⌀∈{0}；③⌀⊊{0}；④0∈⌀中，正确的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 45.函数y=x−1在区间[3,+∞)上是减函数，则a的取值范围是()x−aA. [1,3)B. (1,3)C. (1,3]D. [1,3]6.若函数f(x)=a|x+b|(a>0且a≠1，b∈R)是偶函数，则下面的结论正确的是()A. f(b−3)<f(a+2)B. f(b−3)>f(a+2)C. f(b−3)=f(a+2)D. f(b−3)与f(a+2)的大小无法确定7.设，则的大小顺序正确的是()A. B. C. D.8.函数f(x)=|log2(x+1)|的图象大致是()．A. AB. BC. CD. D 9. 已知f(x)={2x −1,x <12f(x −1)+1,x ≥12，则f(14)+f(76)=( ) A. −16 B. 16C. 56D. −56 10. 幂函数f(x)=f(x)的图象过点(2,√22)，则f(x)为( )A. y =x 12B. y =1x 2C. y =x −12D. y =√2x −1 11. 下列函数中，与函数相同的是( ) A. B. C. D.12. 函数f(x)=3x 2+e x −2(x <0)与g(x)=3x 2+ln(x +t)图象上存在关于y 轴对称的点，则t的取值范围是( )A. (−∞,1e )B. (−∞,e)C. (−e,1e )D. (−1e ,e) 二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）13. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量(微克)与时间(时)之间近似满足如图所示的图象.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为______ 小时．14. 函数y =(12)x ，(x ≥0)的值域为______． 15. 已知幂函数的图象过点(2,√2)，则幂函数的解析式f(x)= ______ ．16. 已知f(sinx)=−2x +1，x ∈[−π2,π2]，那么f(cos10)= ______ ．17. 关于函数f(x)=4x +√x −2有如下四个命题：①f(x)的定义域为[0,+∞)；②f(x)的最小值为−1；③f(x)存在单调递减区间；④∃α∈(0,+∞)，f(sinα)=0．其中所有真命题的序号是______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）18. 0.064− 13−(−78)0+160.75+|−0.01|√0.25= ；lg 52+2lg2−(12)−1= 四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）19. (Ⅰ)计算：(a 23⋅b −1)−12⋅a −12⋅b 13√a⋅b 56； (Ⅱ)计算：(0.027)−13−(−17)−2+(279)12−3×(√2−1)0+[(−2)2]12．20. 求下列不等式的解集．(1)2xx+1<1(2)x 2+(2−a)x −2a ≥0．21. 已知集合A ={x|1<x <6}，B ={x|2<x <10}，C ={x|x <a}．(1)求(∁R A)∩B ；(2)若A ⊆C ，求a 的取值范围．22. 求函数y =√x −2+1x−3+lg(5−x)的定义域．23. 如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，.道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大⋅并求出其最大面积．24. 定义函数g(x)={1,x ≥0−1,x <0，f(x)=x 2−2x(x −a)⋅g(x −a)． (1)若f(2)=0，求实数a 的值；(2)解关于实数a 的不等式f(1)≤f(0)；(3)函数f(x)在区间[1,2]上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由1+x1−x>0得−1<x<1，则f(−x)+f(x)=log31+x1−x +log31−x1+x=log3(1+x1−x⋅1−x1+x)=log31=0，即f(−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，故图象关于原点对称，故选：A根据条件判断函数的奇偶性即可．本题主要考查函数图象的对称性，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：∵B⊆A，A={−1,2}的子集有⌀，{−1}，{2}，{−1,2}，当B=⌀时，显然有a=0；当B={−1}时，−a=6⇒a=−6；当B={2}时，2a=6⇒a=3；当B={−1,2}，不存在a，符合题意，∴实数a值集合为{−6,0，3}，故选：D．由B⊆A，求出集合A的子集，这样就可以求出实数a值集合．本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题．重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论，属基础题．3.答案：D解析：试题分析：因为指数函数y=a的图像经过点(2,16)，所以16=a2，又因为a>0且a1，所以a=4．考点：本题考查指数函数的的定义。

黑龙江省穆棱林业局第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 答案和解析

黑龙江省穆棱林业局第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 答案和解析
3．D
【解析】
由 .
所以
故选D.
4．A
【详解】
因为 ，所以 .
和 在 上单调递增
由零点存在性定理知最多有一个零点，又根据题意知有零点，所以只能有一个.
，所以零点必在 故选A.
点睛:本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么函数 在区间[a,b]内有零点,即存在 ,使得 ,这个c也就是方程 的实数根.但是反之不一定成立.
.
答案为：1.
14． 或
【解析】
因为
所以函数 .
所以函数 的减区间为 或 .
15．
【解析】
函数 若 在 上单调递增，
则 ，解得 .
故答案为： .
点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及指数函数的性质的应用，考查基本知识的应用；要使分段函数单调递增，必须满足左段单调递增，右段单调递增，同时最容易遗漏的是左端的最小值不小于右段的最大值.
12．C
【分析】
画出 的图像,再表达出 分析最值即可.
【详解】
由题意作图,由 有 ,故 .当 时, .所以 ,又 .所以当 时取最大值 ,当 时取最小值2.
所以
故选C
【点睛】
本题主要考查函数的零点问题,主要通过画图求得自变量之间的关系.注意在求函数值的取值范围时先求解自变量的取值范围.
13．1
【解析】
黑龙江省穆棱林业局第一中学【最新】高一上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则（ ）
A．A⊆BB．B⊆AC．A∩B= D．A∪B=R

2020-2021学年山东省济南一中高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年山东省济南一中高一(上)期中数学试卷及答案

2020-2021学年山东省济南一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣1≤x＜3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．M D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x﹣1，C．f（x）＝x，D．f（x）＝|x|，4．（5分）设a＝30.5，b＝0.53，c＝log30.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b5．（5分）已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．36．（5分）已知a＞1，函数y＝a x﹣1与y＝log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，+∞）D．[1，2]8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则10．（5分）下列叙述正确的是（）A．已知函数f（x）＝，则f（6）＝8B．命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x≤1，有x2≤1”C．已知正实数a，b满足a+b＝4，则的最小值为D．已知x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}，则a+b＝511．（5分）关于函数f（x）＝，下列结论正确的是（）A．f（x）的图象过原点B．f（x）是奇函数C．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减D．f（x）是定义域上的增函数12．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D（x）＝，关于函数D（x）有以下四个命题，其中真命题是（）A．∀x∈R，D（D（x））＝1B．∃x，y∈R，D（x+y）＝D（x）+D（y）C．函数D（x）是偶函数D．函数D（x）是奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（+1）＝x﹣2，则f（x）的解析式是．14．（5分）已知函数y＝a x﹣2+2（a＞0且a≠1）恒过定点（m，n），则m+n＝15．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1，若函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，3]，则区间[a，b]的长度最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分。

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|3x +2>0}，B ={x ∈R|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. (−1,−23)C. ﹙−23，3﹚D. (3,+∞)2. 如果a <b <0，那么下列各式一定成立的是( )A. |a|<|b|B. a 2<b 2C. a 3<b 3D. 1a <1b3. 德国数学家秋利克在1837年时提出“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，“这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f(x)由如表给出，则f(f(2020))的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 20184. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A. [2,6]B. [−6,−2]C. (2,6)D. (−6,−2)5. 设a =0.60.3，b =0.30.6，c =0.30.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a6. 若实数a ，b 满足1a +4b =√ab ，则ab 的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 已知函数f(x)={2x ,x ≥2(x −1)2,x <2，若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，则数k 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (1,3)8. 已知函数f(x)=2+x2+|x|，x ∈R ，则不等式f(x 2−2x)<f(2x −3)的解集为( )A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,32]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列函数中，最小值是2的是()A. y=a2−2a+2a−1(a>1) B. y=√x2+2+1√x2+2C. y=x2+1x2D. y=x2+2x10.下列四个结论中正确的是()A. 命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”B. 命题“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是真命题C. “a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件D. 当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减11.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入−支出费用).由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法中正确的是()A. 图2的建议是：减少支出，提高票价B. 图2的建议是：减少支出，票价不变C. 图3的建议是：减少支出，提高票价D. 图3的建议是：支出不变，提高票价12.对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是()A. ∃x∈R，x≥[x]+1B. ∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]C. 函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)D. 若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[t5]=3…，[t n]=n−2同时成立，则正整数n的最大值是5三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=a x−2−4(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为．14.若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4，则a的值为．15.y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，则y=f(3−x2)的单调递减区间为．16.对于函数f(x)，若在定义域存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32.18.设函数y=√−x2+7x−12的定义域为集合A，不等式1x−2≥1的解集为集合B．(1)求集合A∩B；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的和为6．(1)求函数f(x)解析式；(2)求函数g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值．20.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x3．(1)求x<0时f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x+1)≥8f(x)．21.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式：y1=4−at(0<a<43,a为常数)，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式：y2={√t,0<t<13−2t,1≤t≤3，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．(1)若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？(2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．22. 定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，ℎ(−2)=ℎ(0)=1，ℎ(−3)=−2． (1)求g(x)和ℎ(x)的解析式；(2)若对于x 1，x 2∈[−1,1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；(3)设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在(2)的条件下，讨论方程f[f(x)]=a +5的解的个数．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．先求出集合B和A，然后利用交集运算求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|(x+1)(x−3)>0}={x|x<−1或x>3}，}，又集合A={x∈R|3x+2>0}={x|x>−23}∩{x|x<−1或x>3}={x|x>3}，所以A∩B={x|x>−23故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据条件取特殊值a=−2，b=−1，即可排除ABD；由不等式的基本性质，即可判断C．【解答】解：由a<b<0，取a=−2，b=−1，则可排除ABD；由a<b<0，根据不等式的基本性质可知C成立．故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．先求出f(2020)=2018，从而f(f(2020))=f(2018)，由此能求出结果．【解答】解：由题意知：f(2020)=2018，f(f(2020))=f(2018)=3．故选：C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查存在量词命题的真假，二次不等式恒成立，考查转化思想．先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”的否定为：“∀x∈R，都有x2+mx+2m−3≥0”，由于命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则其否定为真命题，∴Δ=m2−4(2m−3)≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2,6]．故选：A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了幂函数和指数函数的性质，是基础题．利用幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，比较出a，c的大小，再利用指数函数y=0.3x 在R上单调递减，比较出b，c的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，且0.6>0.3，∴0.60.3>0.30.3，即a>c，∵指数函数y=0.3x在R上单调递减，且0.6>0.3，∴0.30.6<0.30.3，即b<c，∴b<c<a，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由已知得a，b>0，利用√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b即可得出ab≥4，验证等号成立的条件．【解答】解：实数a，b满足1a +4b=√ab，则a，b>0．∴√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b，可得ab≥4，当且仅当1a =4b，a=1，b=4时取等号．则ab的最小值为4．故选：D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．题目等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：作出函数f(x)的图象如图：若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，即函数y =f(x)的图象与直线y =k 有三个交点，根据图象可知，k ∈(0,1)． 故选：A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查分段函数的性质以及应用，注意将函数解析式写出分段函数的形式，属于中档题．根据题意，将函数的解析式写出分段函数的形式，据此作出函数的大致图象，据此可得原不等式等价于{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=2+x2+|x|={−4x−2−1,x <01,x ≥0，其图象大致为：若f(x 2−2x)<f(2x −3)，则有{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得：1<x <2，即不等式的解集为(1,2)；故选：A．9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A：a−1>0，y=a2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B：y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C：y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D：当x<0时，无最小值，故D错误．故选：AC．10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，幂函数的性质等知识的应用，是基本知识的考查．利用命题的否定判断A；令n=2k和n=2k+1，k∈Z分析n2+1是不是4的倍数判断B；根据充要条件判断C；由幂函数的性质判断D即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”，满足命题的否定形式，所以A正确；令n=2k，k∈Z，则n2+1=4k2+1不是4的倍数，令n=2k+1，k∈Z，则n2+1=4k2+4k+2不是4的倍数，所以“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是假命题，所以B不正确；“a>5且b>−5”推出“a+b>0”成立，反之不成立，如a=5，b=−4，满足a+ b>0，但是不满足a>5且b>−5，所以“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件不成立，所以C不正确．当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减，满足幂函数的性质，所以D正确；故选：AD．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的支出情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变；由图(3)看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持支出不变，故选：BD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，由新定义把问题转化不等关系是解题关键．由新定义得[x]≤x <[x]+1，可得函数f(x)=x −[x]值域判断C ；根据题意，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，判断D ． 【解答】解：∀x ∈R ，x <[x]+1，故A 错误；由“取整函数”定义可得，∀x ，y ∈R ，[x]≤x ，[y]≤y ，由不等式的性质可得[x]+[y]≤x +y ，所以[x]+[y]≤[x +y]，B 正确；由定义得[x]≤x <[x]+1，所以0≤x −[x]<1，所以函数f(x)=x −[x]的值域是[0,1)，C 正确；若∃t ∈R ，使得[t 3]=1，[t 4]=2，[t 5]=3，…[t n ]=n −2同时成立，则1≤t <√23，√24≤t <√34，√35≤t <√45，√46≤t <√56，…√n −2n ≤t <√n −1n ，因为√46=√23，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，只有n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，故选：BCD ．13.【答案】(2,−3)【解析】 【分析】本题主要考查指数函数的性质，利用a 0=1的性质是解决本题的关键．比较基础． 根据指数函数的性质，令指数为0进行求解即可求出定点坐标． 【解答】解：由x −2=0得x =2，此时f(2)=a 0−4=1−4=−3， 即函数f(x)的图象过定点A(2,−3)， 故答案为：(2,−3)14.【答案】38【解析】 【分析】口向上和向下两种情况判定函数值在何时取最大值，并根据最大值为4，即可求出对应的实数a的值【解答】解：当a=0时，f(x)=1，不符合题意，舍去．当a≠0时，f(x)的对称轴方程为x=−1，(1)若a<0，则函数图象开口向下，函数在[1,2]递减，当x=1时，函数取得最大值4，即f(1)=a+2a+1=4，解得a=1(舍)．(2)若a>0，函数图象开口向上，函数在[1,2]递增，当x=2时，函数取得最大值4，即f(2)=4a+4a+1=4，解得a=3，8，综上可知，a=38．故答案为：3815.【答案】[0,+∞)【解析】【分析】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于中档题．根据复合函数单调性“同增异减”的原则，问题转化为求y=3−x2的单调递减区间，求出即可．【解答】解：根据复合函数单调性“同增异减”的原则，因为y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，要求y=f(3−x2)的单调递减区间，即求y=3−x2的单调递减区间，而函数y=3−x2在[0,+∞)单调递减，故y=f(3−x2)的单调递减区间是[0,+∞)，故答案为：[0,+∞)．16.【答案】[−2,+∞)【分析】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“局部奇函数”的定义，属于拔高题．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解．可设2x+2−x=t(t≥2)，从而得出需方程t2−mt−8=0在t≥2时有解，从而设g(t)=t2−mt−8，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则方程f(−x)=−f(x)有解；即4−x−m⋅2−x−3=−(4x−m⋅2x−3)有解；变形可得4x+4−x−m(2x+2−x)−6=0，即(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解即可；设2x+2−x=t(t≥2)，则方程等价为t2−mt−8=0在t≥2时有解；设g(t)=t2−mt−8=0，必有g(2)=4−2m−8=−2m−4≤0，解可得：m≥−2，即m的取值范围为[−2,+∞)；故答案为：[−2,+∞)．17.【答案】解：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512=0.43×(−13)−1+24×34+0.52×12=2.5−1+8+0.5=10；(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32=lg5+lg2+3−log32−2(log23×log32)=1+12−2=−12．【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质，属于基础题．(1)根据指数幂的运算性质计算即可；(2)根据对数的运算性质计算即可．18.【答案】解：由题意得：−x2+7x−12≥0，解得：3≤x≤4，故A=[3,4]，∵1x−2≥1，∴x−3x−2≤0，解得：2<x≤3，故B=(2,3]，(1)A∩B={3}；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，即[3,4]⫋(a，+∞)，故a<3，故a的取值范围是(−∞,3)．【解析】本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，考查了充分必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)分别求出集合A，B，求出A∩B即可；(2)根据集合的包含关系求出a的范围即可．19.【答案】解：(1)函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a+a2=6，即a2+a−6=0，解得a=2或a=−3(舍)，故a=2，∴f(x)=2x；(2)g(x)=f(2x)−8f(x)=22x−8⋅2x，令2x=t，则原函数化为ℎ(t)=t2−8t，t∈[2,2m]，其对称轴方程为t=4，当2m≤4，即1<m≤2时，函数最小值为(2m)2−8⋅2m=4m−8⋅2m；当2m>4，即m>2时，函数的最小值为42−8×4=−16．∴g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值为g(x)min={4m−8⋅2m,1<m≤2−16,m>2．【解析】本题考查指数函数的解析式、单调性与最值，二次函数的性质，是中档题．(1)根据指数函数的性质建立方程a+a2=6，即可求a的值，进一步得到函数解析式；(2)求出函数g(x)=f(2x)−8f(x)的解析式，换元后对m分类，利用二次函数的性质求最值．20.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)=(−x)3=−x 3，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=−x 3， 故x <0时f(x)的解析式为f(x)=−x 3； (2)根据题意，f(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)， 所以8f(x)=8f(|x|)=8×|x|3=(2|x|)3=f(2|x|)， 又由当x ≥0时，f(x)=x 3，在[0,+∞)上为增函数；则f(x +1)≥8f(x)⇔f(|x +1|)≥f(|2x|)⇒|x +1|≥|2x|， 变形可得：3x 2−2x −1≤0，解可得：−13≤x ≤1，即不等式的解集为[−13,1]．【解析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题．(1)根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式可得f(−x)=(−x)3=−x 3，结合函数的奇偶性分析可得答案；(2)根据题意，由函数的奇偶性以及解析式分析可得原不等式等价于|x +1|≥|2x|，解可得x 的取值范围，即可得答案．21.【答案】解：(1)当a =1时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为：y =y 1+y 2={−t +√t +4,0<t <17−(t +2t),1≤t ≤3； ①当0<t <1时，y =−t +√t +4=−(√t −12)2+174，所以当t =14时，y max =174；②当1≤t ≤3时，∵t +2t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号， 所以y max =7−2√2(当且仅当t =√2时取到)，因为174>7−2√2， 故当t =14时，y max =174．(2)由题意y ={−at +√t +4(0<t <1)7−(at +2t )(1≤t ≤3) ① −at +√t +4≥4 ⇒ −at +√t ≥0 ⇒ a ≤√t ，又0<t <1，得出a ≤1；令u =1t ，则a ≤−2u 2+3u,u ∈[13,1]，可得(−2u 2+3u )min =79 所以a ≤79， 综上可得0<a ≤79， 故a 的取值范围为(0,79]．【解析】本题考查学生的函数思想，考查学生分段函数的基本思路，用好分类讨论思想，注意二次函数最值问题，基本不等式在求解该题中作用．恒成立问题的处理方法．用好分离变量法．(1)建立血液中药物的浓度与时间t 的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、还要注意基本不等式的运用；(2)分段求解关于实数a 的范围问题，注意分离变量法的应用．22.【答案】解：(1)∵g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，∴g(−x)+2g(x)=e −x +2e x −9， 由以上两式联立可解得，g(x)=e x −3； ∵ℎ(−2)=ℎ(0)=1，∴二次函数的对称轴为x =−1，故设二次函数ℎ(x)=a(x +1)2+k ， 则{a +k =14a +k =−2，解得{a =−1k =2，∴ℎ(x)=−(x +1)2+2=−x 2−2x +1；(2)由(1)知，g(x)=e x −3，其在[−1,1]上为增函数，故g(x)max =g(1)=e −3，∴ℎ(x 1)+ax 1+5≥e −3+3−e =0对任意x 1∈[−1,1]都成立，即x 12+(2−a)x 1−6≤0对任意x ∈[−1,1]都成立，∴{1−(2−a)−6≤01+(2−a)−6≤0，解得−3≤a ≤7， 故实数的a 的取值范围为[−3,7]；(3)f(x)={e x −3,x >0−x 2−2x +1,x ≤0，作函数f(x)的图象如下，令t=f(x)，a∈[−3,7]，则f(t)=a+5∈[2,12]，①当a=−3时，f(t)=2，由图象可知，此时方程f(t)=2有两个解，设为t1=−1，t2=ln5∈(1,2)，则f(x)=−1有2个解，f(x)=ln5有3个解，故共5个解；②当−3<a<e2−8时，f(t)=a+5∈(2,e2−3)，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个正实数解，设为t3=ln(a+8)∈(ln5,2)，则f(x)=t3=ln(a+8)有3个解，故共3个解；③当a=e2−8时，f(t)=a+5=e2−3，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t4=2，则f(x)=t4=2有2个解，故共2个解；④当e2−8<a≤7时，f(t)=a+5∈(e2−3,12]，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t5=ln(a+8)∈(2,ln15]，则f(x)=t5有1个解，故共1个解．【解析】本题考查函数解析式的求法，考查不等式的恒成立问题及函数零点与方程解的关系，旨在考查数形结合及分类讨论思想，属于中档题．(1)运用构造方程组法可求g(x)，运用待定系数法可求ℎ(x)；(2)原问题等价于x12+(2−a)x1−6≤0对任意x1∈[−1,1]都成立，进而求得实数a的取值范围；(3)作出函数f(x)的图象，结合图象讨论即可．。

2020-2021学年度北京市第八中学高一上学期期中考试数学试卷【含解析】

2020-2021学年度北京市第八中学高一上学期期中考试数学试卷【含解析】

2020-2021学年度北京市第八中学高一上学期期中考试数学试卷【含解析】一、单选题1．已知集合{}{}0,1,2,3,4,0,1,2U M ==，则UM =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}3,4【答案】D【分析】直接根据补集概念进行运算即可得解. 【详解】因为集合{}{}0,1,2,3,4,0,1,2U M ==， 所以UM ={3,4}.故选：D 2．若()11xf x x-=+，则()0f =（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-【答案】A【分析】直接代入函数解析式计算可得; 【详解】解：因为()11x f x x -=+，所以()100110f -==+ 故选：A【点睛】本题考查函数值的计算，属于基础题. 3．若1x y >>，则下列四个数中最小的数是（ ）A ．2x y+ B ．2xyx y+ C x D ．1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据1x y >>可以推出2x y +、2xy x y +x 1，1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1<，故可得答案.【详解】因为1x y >>，所以11122x y ++>=，2xy x y +2211111y x=>=++1x >，1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭111()1211<+=， 所以四个数中最小的数是1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键. 4．命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．2R,||0x x x ∀∈+<B ．2R,||0x x x ∀∈+≤C ．2000R,0x x x ∃∈+<D ．2000R,0x x x ∃∈+≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得出. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是“2000R,0x x x ∃∈+<”.故选：C.5．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上递减，则a 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．(],3-∞-C ．(],5-∞D ．[)3,+∞ 【答案】B【分析】根据二次函数的单调性列式可得结果.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上递减，所以(1)4a --≥，即3a ≤-. 故选：B【点睛】关键点点睛：掌握二次函数的单调性是解题关键.6．已知a ，b 为实数，则“a +b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】“a+b ＞4”可得“a ，b 中至少有一个大于2”，反之若a=3,b=1,则a +b ＞4不成立．∴“a+b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．下列从集合M 到集合N 的对应关系中，其中y 是x 的函数的是（ ） A ．M ＝{x |x ∈Z }，N ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ，其中2xy =B ．M ＝{x |x ＞0，x ∈R }，N ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ，其中y ＝±2xC ．M ＝{x |x ∈R }，N ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ，其中y ＝x 2D ．M ＝{x |x ∈R }，N ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ，其中2y x= 【答案】C【分析】根据函数的定义作出判断即可.【详解】A ．M 中的一些元素，在N 中没有元素对应，比如，x ＝3时，32y N =∉，∴y 不是x 的函数；B ．M 中的任意元素x ，在N 中有两个元素±2x 与之对应，不满足对应的唯一性，∴y 不是x 的函数；C ．满足在M 中的任意元素x ，在集合N 中都有唯一元素x 2与之对应，∴y 是x 的函数；D ．M 中的元素0，通过2y x=在N 中没有元素对应，∴y 不是x 的函数． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数关系的判断，属于中档题.8．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()f x =sgn x x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数f（x）=|x|sgnx=,00,0,0x xxx x>⎧⎪=⎨⎪<⎩=x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故答案为C．9．设函数f(x)=()()212,1315,1x a x xa x x⎧--+≥⎪⎨+-<⎪⎩在R上是增函数，则a的取值范围是（）A．(-13，3］B．( -13，2) C．(-13，2］D．［2，3］【答案】C【分析】利用分段函数是增函数，两段函数都递增列出不等式组，求解即可．【详解】函数2(1)2,1()(31)5,1x a x xf xa x x⎧--+=⎨+-<⎩在R上是增函数，可得：112310315112 aaa a-⎧⎪⎪+>⎨⎪+--++⎪⎩，解得12 3a-<故实数a的取值范围是1(3-，2]．故选：C．【点睛】本题考查分段函数的单调性、二次函数的单调性，注意各段函数单调性的应用，属于易错题．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C 错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D．【解析】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题11．函数23()2x xf xx-=-的定义域为_________．【答案】[0,2)(2,3]【分析】由23020x xx⎧-≥⎨-≠⎩解得结果即可得解.【详解】要使函数23 ()x x f x-=只需23020x xx⎧-≥⎨-≠⎩，解得03x≤≤且2x≠，所以函数()f x的定义域为[0,2)(2,3].故答案为：[0,2)(2,3].【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有x，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.12．设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4，则f（x）=______．【答案】4x【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1），从而得出f（x）=4x．【详解】由题意得，f（x-1）=4x-4=4（x-1），∴f（x）=4x．故答案为：4x．【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，属于基础题．13．给出下列三个函数：①222x xyx-=-；②321x xyx+=+；③2y x=其中与函数()f x x=相同的函数的序号是_________．【答案】②【分析】依次判断函数的定义域、解析式是否与已知函数的定义域、解析式都相同，找出相同函数【详解】222x xy x -=-的定义域为()(),22-∞⋃+∞，，与()f x x =定义域不同，321x x y x x +==+与()f x x =定义域、解析式均相同，2y x x ==，与()f x x =解析式不同， 故选②【点睛】判断两个函数是否为相同函数，只要比较两个函数的定义域，对应关系是否都相同，如果都相同就是相同函数14．已知()f x 为R 上的奇函数，0x >时，()31f x x x=+，则(1)(0)f f -+=_____． 【答案】2-【分析】由奇函数的性质可得(0)0f =，(1)(1)f f -=-，再由已知的解析式求出(1)f 即可【详解】解：因为()f x 为R 上的奇函数，所以(0)0f =，(1)(1)f f -=-，因为当0x >时，()31f x x x=+，所以(1)112f =+=， 所以(1)(0)202f f -+=-+=-， 故答案为：2- 15．已知函数11()(0,0)f x a x a x =->>，若()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a =________.【答案】25. 【分析】根据函数11()(0,0)f x a x a x =->>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求出函数的最值，列方程组可解得结果.【详解】由题意知函数11()(0,0)f x a x a x =->>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴1122(2)2f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，即11221122a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得25a =.故答案为：25. 【点睛】本题考查了由函数解析式得单调性，根据单调性求最值，属于基础题. 16．若关于x 的不等式20ax x b ++>的解集是()1,2-，则a b +=______．【答案】1【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a ，b 即可．【详解】关于x 的不等式ax 2+x+b ＞0的解集是（-1，2）， ∴-1，2是方程ax 2+x+b=0的两个根， ∴-1+2=-1a ，-1×2=b a， 解得a=-1，b=2； ∴a+b=-1+2=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．17．已知0,0x y >>，且8x y +=，则(1)(1)x y +⋅+的最大值为_____． 【答案】25【分析】将8x y +=化为(1)(1)10x y +++=后，根据基本不等式可求得结果. 【详解】因为0,0x y >>，且8x y +=，所以(1)(1)10x y +++=2(1)(1)x y ≥++(1)(1)25x y ++≤， 当且仅当4x y ==时，等号成立. 所以(1)(1)x y +⋅+的最大值为25. 故答案为：25【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．二次方程222320mx x m ---=的一个根大于1，另一个根小于1，则m 的取值范围是_________． 【答案】0m ＞或4m -＜ 【详解】令y=2mx 2﹣2x ﹣3m ﹣2 当m ＞0时，由题意：x=1时，y ＜0，∴2m ﹣2﹣3m ﹣2＜0， ∴m ＞﹣4， ∴m ＞0，当m ＜0时，x=1时，y ＞0， ∴2m ﹣2﹣3m ﹣2＞0， ∴m ＜﹣4，综上所述，二次方程2mx 2﹣2x ﹣3m ﹣2=0的一个根大于1，另一个根小于1时，m ＜﹣4或 m ＞0．故答案为0m ＞或4m -＜19．已知函数()22121x kx x f x x x ，，⎧-+≤=⎨>⎩，若存在a ，b R ∈，且ab ，使得()()f a f b =成立，则实数k 的取值范围是____________． 【答案】()()-,23,∞⋃+∞【分析】由题意，可知函数()f x 在定义域内不是单调函数，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性，即可得到结论.【详解】由题意可得函数()f x 在定义域内不是单调函数， 由函数()22,1f x x x =>为增函数，且1x =时，222x =，则1x ≤时，12k<或12k -+>，解得2k <或3k >， 即实数k 的取值范围是(,2)(3,)-∞⋃+∞.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中根据题意得出分段函数不是单调函数，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题 20．已知函数()((1,1))1||xf x x x =∈--，有下列结论： ①(1,1)x ∀∈-，等式()()0f x f x 恒成立；②[)0,m ∀∈+∞，方程|()|f x m =有两个不等的实根； ③12,,(11)x x ∀∈-，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；④存在无数多个实数k ，使得函数()()g x f x kx =-在(1,1)-上有三个零点 则其中正确结论的序号为? 【答案】①③④【分析】根据()f x 与()f x -的解析式代入运算可知①正确；取0m =可知②错误；分析函数()f x 的单调性可知③正确，由(0)0g =，当1k >时，()g x 在(0,1)和(1,0)-内都必有一个零点，可知④正确. 【详解】对于①，(1,1)x ∀∈-，()()01||1||1||1||x x x x f x f x x x x x ，①正确；对于②，当0m =时，|()|0f x =，即||01||xx =-只有一个实根0，错误； 对于③，任取1201x x ≤<<，则12()()f x f x -=12121||1||x x x x ---121211x x x x =---122112(1)(1)(1)(1)x x x x x x ---=--1212(1)(1)x x x x -=--， 因为1201x x ≤<<，所以120x x -<，12(1)(1)0x x -->，所以12()()f x f x <，所以()f x 在[0,1)上为增函数，又由①知，()f x 为奇函数， 所以()f x 在(1,1)-上为增函数，所以③正确； 对于④，1()()1||1||x g x kx x k x x =-=---，因为(0)0g =，所以0恒是()g x 的一个零点，当1k >，01x <<时，101k x -=-必有一个解， 当1,10k x >-<<时，11k x-+0=也必有一解， 所以④正确，综上所述：正确结论的序号为①③④.【点睛】关键点点睛：对于③，判断出函数的单调性是解题关键；对于④，分01x <<和(1,0)-两种情况判断零点是解题关键.21．已知全集U =R ，集合{}29A x x =<<，{}28B x x =≥．（1）求AB ；()U B A ⋂．（2）已知集合{}2C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）AB {|229}x x =≤<，()U B A ⋂={|22x x ≤-或9}x ≥（2）222≤--a 或22a ≥【分析】（1）根据交集和补集的概念运算可得解； （2）根据子集关系列式可解得结果.【详解】（1）{}28B x x =≥{|22x x =≤-或22}x ≥，{|2UA x x =≤或9}x ≥，所以AB {|229}x x =≤<， ()U B A ⋂={|22x x ≤-或9}x ≥.（2）因为C B ⊆，所以222a +≤-或22a ≥，即222≤--a 或22a ≥. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握集合的交集、补集和子集的概念是解题关键. 22．已知函数223y x x =--（1）画出函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象（2）讨论当k 为何范围时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为空集、单元素集、双元素集．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【分析】（1）根据解析式作出图象即可；（2）依题意转化为函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象与直线y k =的交点个数进行求解，根据（1）中的图象可得结果.【详解】（1）函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象为：（2）依题意转化为函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象与直线y k =的交点个数进行求解，根据（1）中的图象可得：当4k <-或5k >时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为空集； 当4k =-或05k ≤≤时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为单元素集； 当40k -<<时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为双元素集. 【点睛】关键点点睛：第二问转化为函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象与直线y k =的交点个数进行求解是解题关键.23．已知函数21()x f x x+=．(1)判断()f x 的奇偶性并证明．(2)当(1,)x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明．(3)在(2)的条件下，若实数m 满足(3)(52)f m f m >-，求m 的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2) 函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数，证明见解析；(3)(1,2).【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； (2)根据函数单调性的定义判断并证明即可；(3)在(2)的条件下，根据函数单调性的性质可得3521m m >->，解不等式即可求出m 的取值范围．【详解】(1) 函数()f x 是奇函数. 证：函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数()f x 是奇函数；(2) 函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数. 证：任取12(1,)x x ∈+∞，且12x x >，则2222121221211212121212121211()()()()x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++------=-==121212()(1)x x x x x x --=，因为121x x >>，所以120x x ->，1210x x ->，120x x >， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数.(3)由(2)知函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数，所以3521m m >->，解得12m <<,所以m 的取值范围为(1,2).【点睛】思路点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是： (1)将函数不等式转化成12()()f x f x >的形式； (2)考查函数()f x 的单调性；(3)根据据函数()f x 在给定区间上的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解．24．已知函数()()2134f x mx m x =+--，m R ∈．（1）当1m =时，求()f x 在区间[]22-,上的最大值和最小值． （2）解关于x 的不等式()1f x >-．（3）当0m <时，若存在()01,x ∈+∞，使得()0f x >，求实数m 取值范围． 【答案】（1）最小值为5-，最大值为4；（2）答案见解析；（3）1m <-或109m -<<. 【分析】（1）根据二次函数的单调性可求得结果； （2）化为(1)(3)0mx x +->后，先对m 分类讨论，再对1m-与3分类讨论可得结果； （3）转化为()f x 在(1,)+∞上的最大值大于0，根据二次函数的知识求出最大值，再解关于m 的不等式可得结果.【详解】（1）当1m =时，()224f x x x =--在[2,1)-上递减，在(1,2]上递增，所以()f x 的最小值为(1)1245f =--=-，最大值为(2)4444f -=+-=. （2）()1f x >-可化为2(13)30mx m x +-->，即(1)(3)0mx x +->， 当0m >时，不等式化为1()(3)0x x m +->，解得1x m<-或3x >； 当0m =时，不等式化为30x ->，解得3x >；当0m <时，不等式化为1()(3)0x x m +-<， 当13m -<，即13m <-时，解得13x m -<<；当13m -=，即13m =-时，不等式无解；当13m->，即103m -<<时，解得13x m <<-.综上所述：当0m >时，不等式的解集为{|x 1x m<-或3x >}； 当0m =时，不等式的解集为{|x 3x >}；当103m -<<时，不等式的解集为{|x 13x m <<-}；当13m =-时，不等式的解集为空集；当13m <-时，不等式的解集为{|x 13x m -<<}.（3）当0m <时，若存在()01,x ∈+∞，使得()0f x >，则()f x 在(1,)+∞上的最大值大于0，因为()()2134f x mx m x =+--的图象的开口向下，对称轴13131222m m m --=-+>， 所以max()f x 13()2m f m -=-22(13)13(13)()442m m m m m m --=⋅+-⋅--2(13)44m m-=--， 所以2(13)404m m--->，即2(13)16m m ->-，即291010m m ++>，解得1m <-或109m -<<. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；。

2020-2021学年上海交大附中高一(上)期中数学试卷

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2020-2021学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1．（4分）已知全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩＝．2．（4分）函数y＝a x+2020+2022（a＞0，a≠1）的图象恒过定点．3．（4分）已知幂函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上时减函数，则n的值为．4．（4分）函数y＝的图象的对称中心是．5．（4分）函数y＝的定义域是．6．（4分）已知实数a满足（2a﹣1）＞（a+1），则实数a的取值范围是．7．（5分）已知x＜6，求，的最大值．8．（5分）设log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则log c＝．9．（5分）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是．10．（5分）若关于x的方程22x+a•2x+2a+1＝0（a∈R）有实根，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，则实数a的取值范围是．12．（5分）若实数x、y满足4x+4y＝2x+1+2y+1，则S＝2x+2y的取值范围是．二、选择题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b∈R，则“3a＞3b”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）已知函数f（x）＝log a（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）＝a x+b的大致图象是（）A．B．C．D．15．（5分）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N＝Q，M∩N＝∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为戴德金分割试判断，对于任一戴德金分割（M，N），下列选项中，不可能成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素16．（5分）设函数y＝f（x）的定义域D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f （x2）＝1，则称函数y＝f（x）具有性质M下列结论：①函数y＝3x具有性质M；②函数y＝x3﹣x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]具有性质M，则t＝510．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（共5题，满分76分）17．（14分）已知函数y＝f（x）满足f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．18．（14分）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v＝log3﹣lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（1）若x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km/min，雌鸟的飞行速度为1km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？（lg2≈0.3）19．（14分）柯西不等式具体表述如下：对任意实数a1，a2，……a n和b1，b2，……b n，（n∈Z，n≥2）都有（a12+a22+……+a n2）（b12+b22+……+b n2）≥（a1b1+a2b2+……+a n b n）2.当且仅当＝＝……＝时取等号．（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a，b，x，y，不等式+≥成立，（并指出等号成立条件）；（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数x1，x2，……x n，且x1+x2+……+x n＝1．求证：++……+≥（并写出等号成立条件）．20．（16分）已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝a x（a＞0，a≠1），且f（﹣2）＝．（1）求函数y＝f（x）的解析式；（2）若log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0在区间[0，2]上有解，求实数m的取值范围；（3）已知≤k＜1，若方程|f（x）﹣1|﹣k＝0的解分别为x1、x2（x1＜x2）方程|f（x）﹣1|﹣＝0的解分别为x3、x4（x3＜x4）求x1﹣x2+x3﹣x4的最大值．21．（18分）对于正整数集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3），如果任意去掉其中一个元素a i（i＝1，2，……，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；（Ⅰ）判断集合{1，2，3，4，5}和{1，3，5，7，9，11，13}是否是“可分集合”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：五个元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，……，a n}（n∈N*，n≥3）是“可分集合”．①证明：n为奇数；②求集合A中元素个数的最小值．2020-2021学年上海交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题4分，共54分）1．【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，∴，．故答案为：{1}．2．【解答】解：∵函数y＝a x+2020+2022，∴令x+2020＝0得：x＝﹣2020，此时y＝2023，∴函数的图象恒过定点（﹣2020，2023）．故答案为：（﹣2020，2023）．3．【解答】解：函数f（x）＝（n2+2n﹣2）（n∈Z）为幂函数，∴n2+2n﹣2＝1，解得n＝1或n＝﹣3；当n＝1时，f（x）＝x﹣2，其图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数；当n＝﹣3时，f（x）＝x18，其图象关于y轴对称，但在（0，+∞）上是增函数；∴n的值应为1．故答案为：1．4．【解答】解：因为＝＝﹣3+即y+3＝，可设y′＝y+3，x′＝x+2得到y′＝所以y′与x′成反比例函数关系且为奇函数，则对称中心为（0，0）即y′＝0，x′＝0得到y＝﹣3，x＝﹣2所以函数y的对称中心为（﹣2，﹣3）故答案为（﹣2，﹣3）5．【解答】解：函数y＝中，令＞0，所以0＜＜1，即，所以，解得，即x＞7，所以函数的定义域是（7，+∞）．故答案为：（7，+∞）．6．【解答】解：∵实数a满足，∴，解得0.5＜a＜2，∴实数a的取值范围是（0.5，2）．故答案为：（0.5，2）．7．【解答】解：由＝＝（x﹣6）+，∵x＜6，∴＝﹣[（6﹣x）+]＝﹣16，当且仅当x＝﹣2时，取等号；∴由＝＝（x﹣6）+≤0．即的最大值为0．故答案为：0．8．【解答】解：根据题意，log c a、log c b是方程x2+5x﹣3＝0的两个实根，则，变形可得：（log c a﹣log c b）2＝（log c a+log c b）2﹣4×（log c a log c b）＝37，则log c a﹣log c b＝±，即log c＝±，则log c＝＝±，故答案为：±．9．【解答】解：由反证法的定义得假设的内容为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和，故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和10．【解答】解：令2x＝t（t＞0），则方程22x+a•2x+2a+1＝0化为t2+at+2a+1＝0，要使原方程有实根，则方程t2+at+2a+1＝0有大于0的实数根，转化为a＝＝＝，∵t＞0，∴t+2＞2，则＝，当且仅当t+2＝，即t＝时上式等号成立．∴实数a的取值范围是（﹣∞，4﹣2]．故答案为：（﹣∞，4﹣2]．11．【解答】解：函数f（x）＝lg（+ax）的定义域为R，∴+ax＞0恒成立，∴＞﹣ax恒成立，设y＝，x∈R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一只，且渐近线方程为y＝±x；令y＝﹣ax，x∈R；它表示过原点的直线；由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y＝的下方，画出图形如图所示∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a≤0，解得﹣1≤a≤1；∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．12．【解答】解：∵4x+4y＝（2x+2y）2﹣2••2x2y＝s2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1＝2（2x+2y）＝2s，故原式变形为s2﹣2•2x2y＝2s，即2•2x2y＝s2﹣2s，∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号；解得2＜s≤4，故答案为（2，4]．二、选择题（每小题5分，共20分）13．【解答】解：由3a＞3b是得a＞b，由“a3＞b3”得a＞b，即“3a＞3b”是“a3＞b3”的充要条件，故选：C．14．【解答】解：由函数f（x）＝log a（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，f（x）＝log a（x+b）的图象由f（x）＝log a x向左平移可知0＜b＜1，故函数g（x）＝a x+b的大致图象是B故选：B．15．【解答】解：若M＝{x∈Q|x＜0}，N＝{x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M＝{x∈Q|x＜}，N＝{x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B 正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；若M＝{x∈Q|x≤0}，N＝{x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；故选：C．16．【解答】解：函数y＝f（x）的定义域D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数y＝f（x）具有性质M．对于①：f（x）＝3x的定义域为R，所以，则x1+x2＝0．对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，所以函数y＝3x具有该性质．对于②：函数f（x）＝x3﹣x，在R上的定义域为R，所以若取x1＝0，则f（x1）＝0，此时不存在x2∈R，使得f（x1）•f（x2）＝1．对于③：函数f（x）＝log8（x+2），在x∈[0，t]的值域为[，则：，解得t＝510．故③正确．故选：C．三、解答题（共5题，满分76分）17．【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣4|+|x﹣3|，f（x）≥4等价为或或，解得x≤或x∈∅或x≥，则不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤或x≥}；（2）f（x）≥4恒成立等价为f（x）min≥4．由f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣x+2a﹣1|＝a2﹣2a+1，当（x﹣a2）（x﹣2a+1）≤0时，上式取得等号，则a2﹣2a+1≥4，解得a≥3或a≤﹣1．18．【解答】解：（1）将x0＝5，v＝0代入函数v＝log3﹣lgx0，得：，即＝2（1﹣lg2）≈1.40，所以，所以x＝466．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟耗氧量为x2，由题意可得：，两式相减可得：，所以，即，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．19．【解答】证明：（1）对任意正实数a，b，x，y，由柯西不等式得，当且仅当时取等号，∴．（2）∵x1+x2+…+x n＝1，∴n+1＝（1+x1）+（1+x2）+…+（1+x n），∵＝，当且仅当时取等号，∴．20．【解答】解：（1）由f（﹣2）＝，可得a﹣2＝，又a＞0，∴a＝2，∴f（x）＝2x；（2）由log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0可得：（m﹣f（x））2+4f（x）＝1，令t＝f（x），x∈[0，2]，则有t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0，t∈[1，4]，∵log2（（m﹣f（x））2+4f（x））＝0在区间[0，2]上有解，∴t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0在t∈[1，4]上有解，令g（t）＝t2+（4﹣2m）t+m2﹣1＝0，t∈[1，4]，可得：△＝（4﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝20﹣16m，对称轴方程为：t＝m﹣2，∵g（1）＝m2﹣2m+4＞0，g（4）＝m2﹣8m+31＞0，∴，解得：m∈∅；（3）由|f（x）﹣1|﹣k＝0，得f（x）＝1﹣k，或f（x）＝1+k，所以，，∴，由|f（x）﹣1|﹣＝0，得，＝，∴，∴＝﹣3+；又因为≤k＜1，所以﹣3+≥3；∴x2﹣x1+x4﹣x3≥log23，∴x1﹣x2+x3﹣x4≤﹣log23．即x1﹣x2+x3﹣x4的最大值为﹣log23．21．【解答】解：（Ⅰ）集合{1，2，3，4，5}不是“可分集合”，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”；（Ⅱ）不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉的元素为a2，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②；若去掉的元素为a1，将集合{a1，a3，a4，a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④．由①、③，得a1＝a2，矛盾；由①、④，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、③，得a1＝﹣a2，矛盾；由②、④，得，a1＝a2矛盾．因此当n＝5时，集合一定不是“可分集合”；（Ⅲ）①设集合A＝{a1，a2，…，a n}的所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）均为奇数或偶数．如果M为奇数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．如果M为偶数，则M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“可分集合”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”．此时各项之和也为奇数，则集合A中元素个数n为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．②当n＝3时，显然任意集合{a1，a2，a3}不是“可分集合”．当n＝5时，第（Ⅱ）问已经证明集合A＝{a1，a3，a4，a5}不是“可分集合”．当n＝7时，集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}，因为：3+5+7+9＝11+13，1+9+13＝5+7+11，9+13＝1+3+7+11，1+3+5+11＝7+13，1+9+11＝3+5+13，3+7+9＝1+5+13，1+3+5+9＝7+11，则集合A是“可分集合”．所以集合A中元素个数n的最小值是7．。

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2020-2021高一数学上期中试卷附答案(6)一、选择题1．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)75．函数()111f x x =--的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3327．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）8．设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （ ）A ．3(3,)2-- B ．3(3,)2-C ．3(1,)2D ．3(,3)29．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．212．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．2±C ．4D ．4±二、填空题13．函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______．14．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____15．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 ．16．已知2a=5b=m ,且11a b+=1,则m =____. 17．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 18．已知()21f x x -=，则()f x = ____.19．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．20．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．三、解答题21．已知满足(1)求的取值范围； (2)求函数的值域．22．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.23．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.24．已知集合{}24xA x R =∈<，(){}lg 4B x R y x =∈=-.（1）求集合,A B ；（2）已知集合{}11C x m x m =-≤≤-，若集合()C A B ⊆⋃，求实数m 的取值范围. 25．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟． （1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．26．已知()221g x x ax =-+在区间[]13， 上的值域为[]0,4。

(1)求实数a 的值； (2)若不等式()240xxg k -⋅≥ 当[)x 1,∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.5．B解析：B 【解析】 【分析】把函数1y x=先向右平移一个单位，再关于x 轴对称，再向上平移一个单位即可. 【详解】 把1y x = 的图象向右平移一个单位得到11y x =-的图象， 把11y x =-的图象关于x 轴对称得到11y x =--的图象， 把11y x =--的图象向上平移一个单位得到()111f x x =--的图象， 故选：B . 【点睛】本题主要考查函数图象的平移，对称，以及学生的作图能力，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.7．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.8．D解析：D 【解析】试题分析：集合()(){}{}|130|13A x x x x x =--<=<<，集合，所以3|32A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭,故选D.考点：1、一元二次不等式；2、集合的运算.9．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值．10．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D11．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．12．B解析：B 【解析】 【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到221414ax x x ax++=+-.【详解】()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()222sin ln 14sin ln14sin ln14x ax x x x ax x x ax⋅++=-⋅+=⋅+-221414ax x x ax∴++=+-恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.二、填空题13．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填解析：()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．14．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ， 故答案为()(),40,-∞-+∞U ； 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．15．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】 试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值16．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．17．【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可【详解】因为集合两个集合的公共元素为所以故答案为【点睛】研究集合问题一定要抓住元素看元素应满足的属性研究两集合的关系时关键是将两集合的关系转化为元素间的解析：{}12－，【解析】 【分析】直接利用集合交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=- 两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.18．【解析】【分析】利用换元法求函数解析式【详解】令则代入可得到即【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式考查基本代换求解能力 解析：()21?x + 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】 令 1t x -=则 t 1,x =+代入 ()21f x x -=可得到()()21f t t =+ ,即()()21f x x =+.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本代换求解能力. 19．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意 解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．20．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．三、解答题21．(1) (2) 【解析】试题分析（1）先将不等式化成底相同的指数，再根据指数函数单调性解不等式（2）令，则函数转化为关于 的二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，得到值域.试题解析：解：(1) 因为由于指数函数在上单调递增(2) 由（1）得令，则，其中 因为函数开口向上，且对称轴为 函数在上单调递增 的最大值为，最小值为 函数的值域为. 22．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <．【解析】 试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <． 试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．23．（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩…；（3）7m < 【解析】【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==,又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+, ∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++. (2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -…,即2t …时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增,即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩… (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==,函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+,∴52m >-+,解得7m <.【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.24．(1) ()4,B =+∞(),2A =-∞;(2) m 的取值范围是()-3∞，. 【解析】试题分析：（1）由题意，根据指数幂的运算性质，可得(),2A =-∞，根据函数()lg 4y x =- 可解得4x >，得到集合B ；（2）由（1）可得()()(),24,A B =-∞+∞U U ，根据()C A B ⊆⋃，再分C =∅和C ≠∅两种情况分类讨论，即可求得实数m 的取值范围.试题解析：（1）∵x 222<∴()A ,2∞=-又∵()y lg x 4=-可知x 4>∴()B 4,∞=+（2）∵()()()A B ,24,∞∞⋃=-⋃+，又∵()C A B ⊆⋃（i ）若C ∅=，即1m m 1->-，解得m 1<，满足：()C A B ⊆⋃∴m 1<符合条件（ii ）若C ∅≠，即m m 1-≤-，解得m 1≥，要保证：()C A B ⊆⋃1m 4->或m 12-<，解得m 3<-（舍）或m 12-<解得[)m 1,3∈,综上：m 的取值范围是()-3∞，. 25．（1）[60，100]；（2）当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k <…，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k -升． 【解析】【分析】（1）将120x =代入每小时的油耗，解方程可得100=k ，由题意可得14500(100)95x x -+…，解不等式可得x 的范围； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得10014500()5y x k x x=-+g ，换元令1t x=、化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值．【详解】解：（1）由题意可得当120x =时，1450014500()(120)11.555120x k k x -+=-+=， 解得100=k ，由14500(100)95x x-+…， 即214545000x x -+…，解得45100x 剟， 又60120x 剟，可得60100x 剟， 每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则2100145002090000()20(60120)5k y x k x x x x x =-+=-+g 剟， 令1t x=，则1[120t ∈，1]60， 即有22290000202090000()209000900k k y t kt t =-+=-+-， 对称轴为9000k t =，由60100k 剟，可得1[9000150k ∈，1]90， ①若19000120k …即75100k 剟， 则当9000k t =，即9000x k=时，220900min k y =-； ②若19000120k <即6075k <…， 则当1120t =，即120x =时，10546min k y =-． 答：当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k <…，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k -升． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．26．（1）1a =；（2）1-4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，.【解析】【分析】(1)分类讨论二次函数的轴和区间的关系，分别讨论函数的单调性，进而得到函数的最值；（2）由已知得()22221?40x x x k -⨯+-≥在[)1,x ∈+∞上恒成立⇔2112122x x k ⎛⎫⎛⎫≤-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)1,x ∈+∞上恒成立，令12x t =，且10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则上式2121,0,2k t t t ⎛⎤⇔≤-+∈ ⎥⎝⎦恒成立，根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）()()221g x x a a =-+-当1a <时，()g x 在[]1,3上单调递增 ()()min 1220g x g a ∴==-=，即1a =，与1a <矛盾。

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