线性规划专题
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。
工厂有两个生产车间：车间1和车间2。
生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。
每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。
我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。
二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。
假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。
线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。
例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。
目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。
可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。
最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。
二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。
A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。
甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。
则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。
例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。
现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。
约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
线性规划例题和知识点总结
线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，有很多问题都可以通过线性规划来解决，比如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的数学模型通常可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_i$是约束条件的右端项。
二、线性规划的解题步骤1、建立数学模型：根据实际问题，确定决策变量、目标函数和约束条件。
2、画出可行域：将约束条件在直角坐标系中表示出来，得到可行域。
3、求出最优解：在可行域内，通过寻找目标函数的等值线与可行域边界的交点，求出最优解。
三、例题分析例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 单位甲产品需要消耗 A 资源 2 单位，B 资源 3 单位，可获利 5 万元；生产 1 单位乙产品需要消耗 A 资源 3 单位，B 资源 2 单位，可获利 4 万元。
现有 A 资源12 单位，B 资源 10 单位，问如何安排生产，才能使工厂获得最大利润？解：设生产甲产品$x_1$单位，生产乙产品$x_2$单位。
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
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线性规划基础知识：一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二：积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。
现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。
同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。
公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。
二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。
2. 目标函数：最大化利润。
利润可以表示为10x + 15y。
3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。
通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。
四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。
同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。
五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。
1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。
b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。
2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。
2024高考全国卷及各省数学线性规划真题整理-免费(附答案)
2024高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理（附答案解析）1.（17全国卷I ，文数7）设x ，y 满意约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：如图，由图易知当目标函数z x y =+经过 直线33x y +=和0y =（即x 轴）的交点(3,0)A 时，z 能取到最大值，把(3,0)A 代入z =x +y 可得max 303z =+=，故选D.2.（17全国卷I,理数14题）设x ，y 满意约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 答案：5-解析：不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如图所示。
由32z x y =-变形得322z y x =-。
要求z 的最小值， 即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。
由右图，易知 当直线322z y x =-过图中点A 时，纵截距最大。
联立方程组2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-。
故32z x y =-的最小值是-5.3.（17全国卷Ⅱ，文数7、理数5）设x 、y 满意约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ .则2z x y =+ 的最小值是（ ）A. -15B.-9C. 1 D 9答案：A解析：不等式组2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域如图所示，易知当直线2z x y =+过到213y x =+与3y =-交点()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有()()min 26315z =⨯-+-=-，故所求z 最小值为15-．4.（17全国卷Ⅲ，文数5）设x ，y 满意约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案：B解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与 直线0x =（即x 轴）的交点()0,3A 处取得最小值， 此时min 033z =-=-。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在实际问题中有着广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，并详细阐述每个例题的解题思路和步骤。
一、最大化利润问题1.1 目标函数的建立首先，我们需要确定目标函数。
假设有两种产品A和B，每个单位的利润分别为x和y。
令x表示产品A的产量，y表示产品B的产量，我们的目标是最大化总利润。
1.2 约束条件的建立其次，我们需要确定约束条件。
假设产品A和B的生产所需的资源有限，分别为资源1和资源2。
我们需要考虑资源的限制以及产品的需求量。
1.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即产量x和y的数值，以及最大化的利润。
二、最小化成本问题2.1 目标函数的建立假设有n种原材料，每种原材料的价格为c1、c2、...、cn。
我们需要确定购买每种原材料的数量，以最小化总成本。
2.2 约束条件的建立每种原材料的数量要满足一定的约束条件，如总量限制、质量要求等。
此外，我们还需要考虑生产过程中的限制条件，如生产能力、工时等。
2.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每种原材料的购买数量，以及最小化的成本。
三、资源分配问题3.1 目标函数的建立假设有m个任务需要分配给n个人员，每个人员的效率不同。
我们需要确定每个任务分配给哪个人员，以最大化总效率。
3.2 约束条件的建立每个任务只能由一个人员完成，每个人员只能执行一个任务。
此外，我们还需要考虑人员的可用时间、技能匹配等约束条件。
3.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每个任务分配给哪个人员，以及最大化的总效率。
四、运输问题4.1 目标函数的建立假设有m个供应地和n个需求地，每个供应地的供应量和每个需求地的需求量已知。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以匡助读者更好地理解和应用线性规划的原理和方法。
一、问题一：生产计划问题1.1 生产目标：某公司希翼最大化其利润。
1.2 生产约束：公司有两种产品A和B，每周生产时间有限，每一个产品的生产时间和利润有限制。
1.3 数学建模：设产品A和B的生产时间分别为x和y，利润分别为p和q，则目标函数为Maximize p*x + q*y，约束条件为x + y ≤ 40，3x + 2y ≤ 120，x ≥ 0，y ≥ 0。
二、问题二：资源分配问题2.1 目标：某公司希翼最大化其销售额。
2.2 约束：公司有三个部门，每一个部门需要的资源不同，且资源有限。
2.3 建模：设三个部门分别为A、B和C，资源分别为x、y和z，销售额为p、q和r，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，2x + y + 3z ≤ 240，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
三、问题三：投资组合问题3.1 目标：某投资者希翼最大化其投资组合的收益。
3.2 约束：投资者有多个可选的投资项目，每一个项目的收益和风险不同，且投资金额有限。
3.3 建模：设投资项目分别为A、B和C，收益分别为p、q和r，风险分别为a、b和c，投资金额为x、y和z，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
四、问题四：运输问题4.1 目标：某物流公司希翼最小化运输成本。
4.2 约束：公司有多个供应地和多个销售地，每一个供应地和销售地之间的运输成本和需求量不同，且供应量和销售量有限。
4.3 建模：设供应地和销售地分别为A、B和C，运输成本为p、q和r，需求量为x、y和z，供应量为a、b和c，则目标函数为Minimize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ a + b + c，x ≤ a，y ≤ b，z ≤ c，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某工厂生产两种产品A和B，每天可用的原料有限，而每种产品的制造需要不同数量的原料。
产品A每单位利润为10元，产品B每单位利润为8元。
产品A每天的制造时间为6小时，产品B每天的制造时间为4小时。
已知制造一个单位的产品A需要2小时，而制造一个单位的产品B需要1小时。
工厂的目标是最大化每天的利润。
二、数学建模1. 定义变量：- x1: 每天制造的产品A的单位数量- x2: 每天制造的产品B的单位数量2. 建立目标函数：目标函数为最大化每天的利润，即：Maximize Z = 10x1 + 8x23. 建立约束条件：- 原料的限制：每天可用的原料有限，产品A每单位需要2单位原料，产品B每单位需要3单位原料。
因此，原料的约束条件为：2x1 + 3x2 ≤ 原料数量- 时间的限制：每天的制造时间有限，产品A每单位需要2小时制造，产品B每单位需要1小时制造。
因此，时间的约束条件为：2x1 + x2 ≤ 制造时间- 非负约束：每天制造的产品数量不能为负数，因此，非负约束条件为：x1 ≥ 0x2 ≥ 0三、求解线性规划问题利用线性规划的求解方法，可以求解出最优解。
1. 图形法：通过绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
通过迭代计算，找到目标函数的最大值所在的点。
四、数值计算为了方便计算，我们假设原料数量为20单位，制造时间为10小时。
1. 图形法：绘制约束条件的直线或曲线，找到目标函数的最大值所在的区域。
在本例中，约束条件的直线为：2x1 + 3x2 ≤ 202x1 + x2 ≤ 10绘制直线后，找到目标函数的最大值所在的区域。
2. 单纯形法：利用单纯形法，可以求解出最优解。
根据约束条件和目标函数，可以构建如下的单纯形表格：| 基变量 | x1 | x2 | 原料数量 | 制造时间 | 目标函数 ||--------|----|----|----------|----------|---------|| x3 | 0 | 0 | 20 | 10 | 0 || x1 | 1 | 0 | 2 | 2 | 10 || x2 | 0 | 1 | 3 | 1 | 8 |通过迭代计算，可以得到最优解为：x1 = 5x2 = 0最大利润为：50元五、结果分析根据数值计算的结果，最优解为每天制造5个单位的产品A，不制造产品B，可以获得最大利润为50元。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于工程、经济、管理等领域。
本文将介绍一些经典的线性规划例题，通过分析这些例题，可以更好地理解线性规划的原理和应用。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。
1.2 约束条件：线性规划问题存在一系列约束条件，这些条件限制了变量的取值范围。
2. 线性规划的经典例题2.1 生产计划问题2.1.1 生产成本最小化：在一定的资源限制下，如何安排生产计划以使得总成本最小。
2.1.2 制造产品组合：如何确定生产不同产品的数量，以最大化利润。
2.2 运输问题2.2.1 最优运输问题：如何确定不同供应地和需求地之间的最佳运输方案，以最小化总运输成本。
2.2.2 配送问题：如何合理安排不同配送中心的货物配送路线，以最小化总运输距离。
2.3 投资组合问题2.3.1 资产组合优化：如何在给定的风险和收益要求下，选择最佳的资产组合，以最大化投资回报。
2.3.2 资金分配问题：如何合理分配有限资金到不同投资项目，以最大化总收益。
2.4 人力资源调配问题2.4.1 人员调度问题：如何合理安排员工的工作时间和任务分配，以最大化工作效率。
2.4.2 人员招聘问题：如何确定最佳的招聘策略，以满足组织的人力资源需求。
2.5 能源优化问题2.5.1 能源供应问题：如何确定不同能源供应商的购买量，以最小化总能源成本。
2.5.2 能源分配问题：如何合理分配能源到不同生产设备，以最大化生产效率。
总结：通过上述经典例题的分析，我们可以看到线性规划在各个领域的广泛应用。
线性规划能够帮助我们在资源有限的情况下做出最优决策，以达到特定的目标。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来建立数学模型，并运用线性规划算法求解最优解。
通过不断学习和实践，我们可以更好地应用线性规划方法解决实际问题，提高工作效率和经济效益。
线性规划专题复习
线性规划专题复习1、设x，y满足约束条件70,310,350,x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则z＝2x－y的最大值为()A．10 B．8 C．3 D．2答案：B解析：线性目标函数z＝2x－y满足的可行域如图所示．将直线l0：y＝2x平行移动，当直线l0经过点M(5,2)时，直线y＝2x－z在y轴上的截距最小，也就是z取最大值，此时z max＝2×5－2＝8.2、不等式组124x yx y+≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1，其中的真命题是()A.p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p3答案：B解析：画出可行域如图阴影部分所示．作直线l 0：12y x =-，平移l 0，当直线经过A(2，－1)时，x ＋2y 取最小值，此时(x ＋2y)min ＝0.故p 1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥－2为真．p 2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥2为真．故选B.3、设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，，，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案：B解析：画出不等式组所确定的可行域(如图阴影部分)．由z ＝x ＋2y ，得1122y x z =-+，作直线l ：12y x =-，平移l ，由图形可知当l 经过可行域中的点A(1,1)时， z 取最小值，且z min ＝1＋2×1＝3，故选B.4、若变量x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，+，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为 m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：画出约束条件所确定的可行域(如图阴影部分的区域)．作直线l0：y＝－2x，平移直线l0，由图形可知，当l0经过可行域内的点A(2，－1)时，z取最大值，即m＝2×2＋(－1)＝3；当l0经过可行域内的点B(－1，－1)时，z取最小值，即n＝2×(－1)＋(－1)＝－3，故m－n＝3－(－3)＝6.故选B.5、若变量x，y满足约束条件280403x yxy≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩+，，，则z＝2x＋y的最大值等于()．A．7 B．8 C．10 D．11 答案：C解析：画出x，y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l：y＝－2x，平移直线l，经过可行域上的点A(4,2)时，z取最大值，即z max＝2×4＋2＝10，故选C.。
线性规划（通用16篇）
线性规划（通用16篇）线性规划篇1【考试要求】1.了解二元一次不等式（组）表示的平面区域；了解与线性规划相关的基本概念2. 了解线性规划问题的图象法，并能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
【教学重点】1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域；2.应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题。
【教学难点】线性规划在实际问题的应用【高考展望】1. 线性规划是教材的新增内容，高考中对这方面的知识涉及的还比较少，但今后将会成为新高考的热点之一；2. 在高考中一般不会单独出现，往往都是隐含在其他数学内容的问题之中，就是说常结合其他数学内容考查，往往都是容易题【知识整合】1. 二元一次不等式（组）表示平面区域：一般地，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的__________。
我们把直线画成虚线以表示区域_________边界直线。
当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时,此区域应___________边界直线，则把边界直线画成____________.2. 由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得到实数的符号都__________，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，从的_________即可判断 >0表示直线哪一侧的平面区域3. 二元一次不等式组是一组对变量x,y的__________，这组约束条件都是关于x,y的一次不等式，所以又称为_____________;4. (a,b是实常数)是欲达到最大值或_________所涉及的变量x,y的解析式，叫做______________。
由于又是x,y的一次解析式，所以又叫做_________;5. 求线性目标函数在_______下的最大值或____________的问题，统称为_________问题。
满足线性约束条件的解叫做_________，由所有可行解组成的集合叫做_________。
分别使目标函数取得____________和最小值的可行解叫做这个问题的___________.【典型例题】例1.（课本题）画出下列不等式（组）表示的平面区域，1） 2） 3）4） 5） 6）例2.1）画出表示的区域，并求所有的正整数解2）画出以a（3，-1）、b（-1，1）、c（1，3）为顶点的的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数的最大值和最小值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划经常被用来解决资源分配、生产计划、运输问题等。
下面将介绍一个经典的线性规划例题，以帮助你更好地理解和掌握线性规划的基本概念和解题方法。
例题描述：某公司生产两种产品A和B，每天能生产的总量为100个。
产品A每个利润为10元，产品B每个利润为15元。
生产一个产品A需要1个单位的材料和2个单位的工时，生产一个产品B需要3个单位的材料和1个单位的工时。
公司的材料和工时资源分别为150个单位和200个单位。
公司的目标是最大化每天的利润。
解题步骤：1. 定义变量：设产品A的生产量为x个，产品B的生产量为y个。
2. 建立目标函数：目标函数是要最大化每天的利润，根据题目中给出的利润情况，可以得到目标函数为：目标函数：Z = 10x + 15y3. 建立约束条件：根据题目中给出的生产能力和资源限制，可以得到以下约束条件：材料约束条件：x + 3y ≤ 150工时约束条件：2x + y ≤ 200非负约束条件：x ≥ 0, y ≥ 04. 构建线性规划模型：将目标函数和约束条件整理成标准的线性规划模型形式：最大化：Z = 10x + 15y约束条件：x + 3y ≤ 1502x + y ≤ 200x ≥ 0, y ≥ 05. 解决线性规划问题：使用线性规划求解方法，如单纯形法或内点法，求解上述线性规划模型，得到最优解。
6. 结果分析：根据解得的最优解，可以得到最大化每天利润的生产方案。
在本例中，最优解为x=50，y=50，即每天生产50个产品A和50个产品B，此时每天的最大利润为950元。
通过上述例题的分析，我们可以看到线性规划是一种强大的数学工具，可以帮助我们在资源有限的情况下做出最优的决策。
在实际应用中，线性规划可以用于解决各种问题，如生产计划、资源分配、运输问题等。
掌握线性规划的基本概念和解题方法，对于解决实际问题具有重要的意义。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个单位产品A的利润为100元，每个单位产品B的利润为150元。
公司有两个车间可用于生产这两种产品，每个车间每天的工作时间为8小时。
产品A在车间1生产需要1小时，产品B在车间1生产需要2小时；产品A在车间2生产需要2小时，产品B在车间2生产需要1小时。
每天车间1的生产能力为400个单位产品A或200个单位产品B，车间2的生产能力为300个单位产品A或150个单位产品B。
公司的目标是在满足车间生产能力的前提下，最大化利润。
二、数学建模设x1为在车间1生产的产品A的数量，x2为在车间1生产的产品B的数量，x3为在车间2生产的产品A的数量，x4为在车间2生产的产品B的数量。
目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：车间1的生产能力：x1 + x2 ≤ 4002x1 + x2 ≤ 800车间2的生产能力：x3 + x4 ≤ 300x3 + 2x4 ≤ 300非负约束：x1, x2, x3, x4 ≥ 0三、求解过程使用线性规划的求解方法，可以得到最优解。
1. 将目标函数和约束条件转化为标准形式：目标函数：max Z = 100x1 + 150x2 + 100x3 + 150x4约束条件：x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 4002x1 + x2 + 0x3 + 0x4 ≤ 8000x1 + 0x2 + x3 + x4 ≤ 3000x1 + 0x2 + x3 + 2x4 ≤ 300x1, x2, x3, x4 ≥ 02. 使用线性规划求解器求解得到最优解：最优解为：x1 = 200, x2 = 200, x3 = 0, x4 = 100最大利润为：Z = 100(200) + 150(200) + 100(0) + 150(100) = 50000元四、结果分析根据求解结果，最优解是在车间1生产200个单位产品A，200个单位产品B，在车间2生产100个单位产品B，不需要在车间2生产产品A。
线性规划专题
线性规划专题高考要求“注重通性通法，淡化特殊技巧”。
线性规划问题的基本思路是“画图——平移求点——代值解答”。
1、注重程序，实现解题模式化例1：求的最大值和最小值，其中、满足。
注：用线性规划求最值是数型结合法的一个重要方面，它使众多变量汇聚的代数问题变得直观简捷，而规范的作图则是成功解题的基础。
例2：（整数解问题）已知、满足，求的最大值。
34注：处理线性规划整数解问题的基本思路是：若顶点恰为整数，则它就是最优解；若不是整数点，应先求出该点坐标，并计算目标函数z，而后在可行域内适当放缩目标函数的值，使其为整数且距离z最近，依次找点求最值。
2、注重变通，提升应用能力可行域是线性规划问题研究的重点之一，确定可行域的基本方法是：直线定界，特点定域；确定区域时遵循：同侧同号，异侧异号。
例3：已知直线过点且与以、为端点的线段有公共点，求直线的斜率的取值范围。
练习：若直线：与：的交点在第一象限内，求的取值范围。
3、发散思维，注重适用类型汇总线性规划中目标函数具有明显的几何意义，审题时要充分挖掘目标函数的几何意义，常见的目标函数有以下几种类型：⑴截距型：，则。
⑵距离型：，即z的几何意义为可行域内的动点与定点的距离的平方。
⑶斜率型：，即z的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率。
例4：实系数方程的一个根在内，另一根在内。
分别求下列式子的值域：⑴；⑵；⑶例5：设m,k为整数，方程在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（）A. B.8 C.12 D.13分析：令，则。
该不等式组对应可行域如图所示：例6：若a≥0,b≥0且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是(A) (B) (C)1 (D)答案为：C令z=ax+by≤1恒成立,则,∵b≥0∴目标函数z与直线在与直线在轴上的截距同大同小1 当时，如图动直线经过点时截距最大。
此时②当时，如图动直线经过点时截距最大。
专题7 线性规划与基本不等式(培优)
专题7-1线性规划归类【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）【典例分析】若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是___【提分秘籍】基本规律1.线性，注意Z 与截距之间的正反比例关系，如变式22.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式13.距离型，注意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典例分析【变式演练】1.设,x y 满足约束条件20{230 0x y x y x y --≤-+≥+≤，则46y x ++的取值范围是 ( ) A. []4,1- B. 33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),31,-∞-⋃+∞D. []3,1-2.若实数x ，y 满足约束条件{x ≥2,x +y ≤6,x −y ≤0,则目标函数z =2x −3y 的最大值是__________．3.设点(),Px y 是平面区域0{10 220x x y x y ≤++≤++≥内的任意一点，则224x y x +-的最小值为 A. 12 B. 1 C. 92D. 5【题型二】 由参数确定图像形状【典例分析】若不等式组0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ）A.43a ≥B.01a <≤C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥【提分秘籍】基本规律分类讨论，动图研究【变式演练】1.设不等式组4,0,10,x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A ．22,25⎡⎣B ．(22,32]C ．(22,25]D ．(0,22)(25,)+∞2.不等式组表示的是一个对称四边形围成的区域，则 .3.已知圆的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．01a <≤D ．0a ≤【题型三】 含参线性规划【典例分析】给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是A ．B ．1C ．4D ．【提分秘籍】基本规律含参型，注意区分参数所在位置而采取的不同处理方法。
线性规划例题集锦
y C
x-4y+3=0
由
x 4y 3 0
3x 5 y 25 0
可得A为（5,2）
A B
O
1 x=1 5
3x+5y-25=0
x 1 由 可得C为（1,4.4） 3x 5 y 25 0
x
zmax 2 5 2 8
zmin 2 1 4.4 2.4
由直角三角形直角边与斜边关系,容易
6
4
2
P M
O
2
4
x
2
z 的最小值是 | MP | 1 , z 的最大值为 判断出 2
| MC | 96.
B
x3
点评：
此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.
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• [变式训练1] 某人需要补充维生素，现有甲、 乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生 素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每 粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊每粒含有维生 素A，C，D，E，Z分别是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入维生素A至多19 mg， 维生素C至多13 mg，维生素D至多24 mg，维 生素E至少12 mg，那么他每天应服两种胶囊 各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获 得最大量的维生素Z?
解：画出可行域如图：
(4)若 z
y
5
y , 求z 的最斜率， 由图可得点C使 Z最大，点A使Z最小。
由
y , x 表示可行域内的点
C
x-4y+3=0
x 4y 3 0 求出A 为（5,2)。 3x 5 y 25 0