2015年普通高校招生全国统一考试仿真模拟全国卷理科数学(二)扫描版(含答案及解析)
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题含答案解析(超完美版)
2015年高考全国新课标卷Ⅱ理科数学真题(青海;西藏;甘肃;贵州;内蒙古;新疆;宁夏;吉林;黑龙江;云南;辽宁;广西;海南)一、选择题1.已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={X|（X-1）（X+2）<0}，则AB=（ ） A ．{-1,0} B ．{0,1} C ．{-1,0,1} D ．{0,1,2}2.若a 为实数，且（2+ai ）（a-2i ）= - 4i ，则a=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n } 满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 3+a 5+a 7=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845.设函数f （x ）=f (x )={1+log 2,(2−x ),x <12x−1,x ≥1则f （-2）+f （log 212）=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157.过三点A （1,3），B （4,2），C （1，-7）的圆交y 轴于M ，N 两点，则IMNI=（ ）A ．2√6B ．8C ．4√6D ．108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
执行该程序框图，若输入的a , b 分别为14 ，18，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90o ，C 为该球上的动点，若三棱锥O-ABC 的体积最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10.如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=，将动点P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A B ．2 C D 12.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，x f ’(x)- f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ）A ．（−∞，-1）∪（0,1）B ．（−1，0）∪（1,+∞）C ．（−∞，-1）∪（-1,0）D ．（0，1）∪（1,+∞）二、填空题13.设向量a,b 不平行，向量λ a+b 与a+2b 平行，则实数 λ =14.若x ，y 满足约束条件，则z=x+y 的最大值为 15.4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a=16.设S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，且1111,n n n a a s s ++=-=，则S n =三、解答题17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍（I ）求Csin B sin ∠∠ （II ）若AD=1，DC=22，求BD 和AC 的长18.某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机抽查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果互相独立。
2015年普通高校招生全国统一考试模拟检测卷(2)数学(理科)
2015年普通高校招生全国统一考试模拟检测卷（2）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1|52A x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}|B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 A ．12a <B ．12a ≤C ．1a ≤D ．1a <2．i 是虚数单位，复数242(1)412ii i i+----＝ A ．0B ．2C ．4i -D ．4i3．已知,m n 是两条不重合的直线，,,αβγ是三个不重合的平面，则α∥β的一个充分条件是A ．m ∥α，m ∥βB ．α⊥γ，β⊥γC ．,,m n m αβ⊂⊂∥nD ．,m n 是异面直线，,m m α⊂∥,,n n ββ⊂∥α4．一个几何的三视图如图所示，其中，正（主）视图中△ABC 的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为A ．1B ．32C ．2D ．45．1211x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中第三项系数等于 A ．6B ．8C ．12D ．16正(主)视图侧(侧)视图俯视图6．在各项均为正数的等比数列{}n a中，31a =，51a ，则2326372a a a a a ++＝A ．4B ．6C ．8D．8-7．已知函数(4),0,()(4),0,x x x f x x x x +<⎧=⎨-≥⎩则函数()f x 的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．48．在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且cos cos 2B bC a c=-+，若b =，4a c +=，则a 的值为A ．1B ．1或3C ．3D．2+9．执行右面的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的n 的值为A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，对任意非零实数x ，()(0)f x f ≠，若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()()(2)n n f a n N f a ++=∈--，则2015a 的值为A ．4029B ．4017C ．4018D ．401911．已知定义在R 上的函数()y f x =满足()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x '满足1()()2f x xf x ''>，若(2,3)a ∈，则 A ．2(log )(2)(2)af a f f << B ．2(2)(2)(log )af f f a << C ．2(2)(log )(2)af f a f <<D ．2(2)(log )(2)af f a f <<12．如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD 且2,1,2((0,1))AB AD DC x x ===∈，以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以,C D 焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为A ．[)2,+∞B．)+∞C．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D．)1,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名．若高三学生共抽取25名，则高一学生共抽取 名． 14．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则11m n+的最小值为 ．15．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 ． 16．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2，1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设等比数列{}n a 首项1256a =，前n 项和为n S ，且21,,n n n S S S ++成等差数列．（1）求{}n a 的公比q ；（2）用n ∏表示{}n a 的前n 项之积，即12n n a a a ∏=⋅⋅⋅，试比较7∏、8∏、9∏的大小．18．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -的底面为正方形，,P O 分别是上、下底面的中心，点E 是AB 的中点，1AB kAA =．（1）求证：1A E ∥平面PBC ；（2）当k =PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．（本小题满分12分）生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：ABC A 1B1C 1D 1P OD E（1）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（2）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下：①记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； ②求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，正△12PF F 的中心恰为椭圆的上顶点A ，且122AF AF ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 的直线l 与椭圆E 交于两点,M N ，点B 在x 轴上，△BMN 为顶角B 的等腰直角三角形，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)(1)x f x x a e b x =--++，2()xg x x e =，,a b R ∈． （1）若b 是函数()g x 的极大值点，求b 的值；（2）在（1）的条件下，若函数()f x 在()0,+∞内存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）若120,0x x >>，且12x x ≠，求证：1212212x x x x e e e x x +->-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，△ABC 内接于⊙O ，AB AC =，直线MN 切⊙O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与BD相交于点E ．（1）求证：△ABE ≌△ACD ； （2）若6AB =，4BC =，求AE 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos ,sin ,x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非AB CM ND E负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是(sin )ρθθ=:3OM πθ=与圆C 交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|||3|f x x x =-+． （1）求()f x 的最大值；（2）若存在实数x 使|2|()m f x -≤成立，求实数m 的取值范围．2015年普通高校招生全国统一考试模拟检测卷（2）数学（理科）参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．三、解答题 17．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(新课标Ⅱ卷)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B =A ．{1,0}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2}2．若a 为实数，且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =A ．-1B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足a 1 = 3，a 1 + a 3 + a 5 = 21，则a 3 + a 5 + a 7 =A ．21B ．42C ．63D ．842004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年5．设函数211log (2),1()2, 1x x x f x x -+-<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 12)f f -+=A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．18B ．17C ．16 D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =A．B ．8C．D ．108．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。
2015年新课标2高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．解析：解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．评析：考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．解析：解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．评析：本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．解析：解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D评析：本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．解析：解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B评析：本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3B．6C．9D．12考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．解析：解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．评析：本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．解析：解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．评析：本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2B．8C．4D．10考点：两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．解析：解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．评析：本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．解析：解：由a=14，b=18，a＞b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．评析：本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．解析：解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB ===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．评析：本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．解析：解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．评析：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．解析：解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．评析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系．专题：创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．解析：解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．评析：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解析．解析：解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），所以，解得；故答案为：．评析：本题考查了向量关系的充要条件：如果两个非0向量共线，那么存在唯一的参数λ，使得14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．解析：解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．评析：本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．考点：二项式定理的应用．专题：计算题；二项式定理．分析：给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．解析：解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．评析：本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=﹣．考点：数列递推式．专题：创新题型；等差数列与等比数列．分析：通过an+1=S n+1﹣S n=S n S n+1，并变形可得数列{}是以首项和公差均为﹣1的等差数列，进而可得结论．解析：解：∵a n+1=S n S n+1，∴a n+1=S n+1﹣S n=S n S n+1，∴=﹣=1，即﹣=﹣1，又a1=﹣1，即==﹣1，∴数列{}是以首项和公差均为﹣1的等差数列，∴=﹣1﹣1（n﹣1）=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．评析：本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解析题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．考点：正弦定理；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC 及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．解析：解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．评析：本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（Ⅱ）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．解析：解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（Ⅱ）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．评析：本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．解析：解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．评析：考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．解析：解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=因此x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．评析：本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：创新题型；导数的概念及应用．分析：（1）利用f'（x）≥0说明函数为增函数，利用f'（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．解析：解：（1）证明：f'（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f'（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx ﹣1＜0，f'（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f （x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g'（t）=e t﹣1．当t＜0时，g'（t）＜0；当t＞0时，g'（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]评析：本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．考点：相似三角形的判定．专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．解析：（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF 的面积为×﹣××=．评析： 本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：23cos ρθ=。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标Ⅱ卷)理数答案解析(正式版)(解析版)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 【答案】A考点：集合的运算．2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算．3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】试题分析：由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．考点：正、负相关．2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年19002000 2100 2200 2300 2400 2500 260027004．等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )A ．21B ．42C ．63D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质． 5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ． 考点：分段函数．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ) A ．81 B ．71 C ．61D ．51【答案】D 【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B DV a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ． 考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 17．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±-，所以46MN =，故选C ． 考点：圆的方程．8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =( )A ．0B ．2C ．4D ．14 【答案】B 【解析】 试题分析：程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图． 9．已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，a > ba = a -b b = b - a输出a 结 束开 始 输入a ，b a ≠ b 是是否否则球O 的表面积为( )A ．36π B.64π C.144π D.256π 【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【答案】B 【解析】DPCBOA x考点：函数的图象和性质．11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2 数学试卷含答案(理科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理 数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}2.若a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.23.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21B.42C.63D.845.设函数f(x)={1+log 2(2-x ), x <1,2x -1,x ≥1,则f(-2)+f(log 212)=( )A.3B.6C.9D.126.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.157.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.108.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.149.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )A.36πB.64πC.144πD.256π10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为( )11.已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( )A.√5B.2C.√3D.√212.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 14.若x,y 满足约束条件{x -y +1≥0,x -2y ≤0,x +2y -2≤0,则z=x+y 的最大值为 .15.(a+x)(1+x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 16.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = .三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C; (Ⅱ)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区: 73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);A地区B地区456789(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.19.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.(Ⅰ)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此(Ⅱ)若l过点(m3时l的斜率;若不能,说明理由.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=e mx+x2-mx.(Ⅰ)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(Ⅱ)若对于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(Ⅰ)证明:EF∥BC;(Ⅱ)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF的面积.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sinθ,C 3:ρ=2√3cosθ. (Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标;(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B,求|AB|的最大值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c,d 均为正数,且a+b=c+d,证明: (Ⅰ)若ab>cd,则√a +√b >√c +√d ;(Ⅱ)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A ∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18,第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4; 第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC ⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP ⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x ∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a)2a 2-(√3a)2b2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2.12.A 令g(x)=f(x)x,则g'(x)=xf '(x)-f(x)x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f(1)1=0,∴当x ∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.又∵g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=f(x)x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x ∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f(x)x.二、填空题 13.答案12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.14.答案32解析 作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32.15.答案 3解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3.评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析∵a n+1=S n+1-S n,∴S n+1-S n=S n+1S n,又由a1=-1,知S n≠0,∴1S n -1S n+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n=-1n.三、解答题17.解析(Ⅰ)S△ABD=12AB·ADsin∠BAD,S△ADC=12AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sin∠Bsin∠C =ACAB=12.(Ⅱ)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=√2.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易.18.解析(Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A地区B地区4 6 83 5 1 3 6 46 4 2 6 2 4 5 56 8 8 64 3 73 34 699 2 8 65 18 3 2 17 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”;C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”;C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2.P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2)=P(C B1C A1)+P(C B2C A2)=P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM ⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x,y,z)是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0, 所以可取n =(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9b k 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M =-9k ,即k OM ·k=-9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m 3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x.设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k 2+9. 将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3-k)3,因此x M =k(k -3)m 3(k 2+9). 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k 2+9=2×k(k -3)m3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形.评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0, f '(x)>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e-1的充要条件是{f(1)-f(0)≤e -1,f(-1)-f(0)≤e -1,即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t -t-e+1,则g'(t)=e t -1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t ∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m ∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m -m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e -m +m>e-1.综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF,故AD ⊥EF.从而EF ∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD ⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE,OM,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1.于是AD=5,AB=10√33.所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33.23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0. 联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32). (Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d,ab>cd得(√a+√b)2>(√c+√d)2. 因此√a+√b>√c+√d.(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得√a+√b>√c+√d.(ii)若√a+√b>√c+√d,则(√a+√b)2>(√c+√d)2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015年高考理科数学全国卷2-答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确； B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B【解析】设等比数列公比为q ，则24111++21a a q a q =，又因为13a =，所以42+60q q -=，解得22q =，所以2357135++(++)42a a a a a a q ==，故选B ．【提示】由已知，13a =，135++21a a a =，利用等比数列的通项公式可求q ，然后在代入等比数列通项公式53261)(0,1)，故选())f x x=为减函数，,0)(0,+)∞上的偶函数，根据函数0等价于x g【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下：122B A C C ，12212))+()B A A B C C P C 1，2A C ，C 108【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：uuu r 即可求出法向量n，AF。
2015年高考理科数学全国卷2及答案
数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（理科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则AB =（ ）A ．{1,0}A =-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2, 1,x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A．18B ．17C ．16D ．157．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）ABCD11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3D ．2 12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.14．若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为________.15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.21．（本小题满分12分）设函数2()mx f x e x mx =+-.（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】由已知得{|21}B x x =-<<，故,}10{AB -=，故选A ．【提示】解一元二次不等式，求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【考点】集合的交集运算和一元二次方程求根． 2.【答案】B【解析】由已知得24+(4)i 4i a -=-，所以40a =，244a -=-，解得0a =，故选B ．【提示】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之． 【考点】复数的四则运算． 3.【答案】D【解析】解：A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A 正确；B ．2004~2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D 错误． 故选：D【提示】A ．从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A 正确；B ．从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C ．从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C 正确；D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D 错误． 【考点】柱形图信息的获得． 4.【答案】B51AB CB k =-，所以径为5，所以面积为：4π144πS R ==，选C ．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国Ⅱ) (2)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅱ理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015课标全国Ⅱ,理1)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A ∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 答案:A解析:∵B={x|-2<x<1},∴A ∩B={-1,0}.2.(2015课标全国Ⅱ,理2)若a 为实数,且(2+a i)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案:B解析:∵(2+a i)(a-2i)=4a+(a 2-4)i =-4i,∴{4a =0,a 2−4=−4,解之得a=0. 3.(2015课标全国Ⅱ,理3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案:D解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故D 错误. 4.(2015课标全国Ⅱ,理4)已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 3+a 5+a 7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 答案:B 解析:由题意知a 1+a 3+a 5a 1=1+q 2+q 4=213=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42.5.(2015课标全国Ⅱ,理5)设函数f (x )={1+log 2(2−x),x <1,2x−1, x ≥1,则f (-2)+f (log 212)=( )A.3B.6C.9D.12 答案:C解析:∵f (-2)=1+log 24=3,f (log 212)=2log 212−1=2log 21221=122=6,∴f (-2)+f (log 212)=9.6.(2015课标全国Ⅱ,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15答案:D解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a ,则V 正方体=a 3,V 截去部分=16a 3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a 3∶56a 3=1∶5.7.(2015课标全国Ⅱ,理7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M ,N 两点,则|MN|=( )A.2√6B.8C.4√6D.10 答案:C解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,将点A ,B ,C 代入,得{D +3E +F +10=0,4D +2E +F +20=0,D −7E +F +50=0,解得{D =−2,E =4,F =−20.则圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0. 令x=0得y 2+4y-20=0,设M (0,y 1),N (0,y 2),则y 1,y 2是方程y 2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y 1+y 2=-4,y 1y 2=-20,故|MN|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√16+80=4√6.8.(2015课标全国Ⅱ,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a ,b 分别为14,18,则输出的a=( )A.0B.2C.4D.14 答案:B解析:由程序框图,得(14,18)→(14,4)→(10,4)→(6,4)→(2,4)→(2,2),则输出的a=2. 9.(2015课标全国Ⅱ,理9)已知A ,B 是球O 的球面上两点,∠AOB=90°,C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 答案:C解析:由△AOB 面积确定,若三棱锥O-ABC 的底面OAB 的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R ,所以V O-ABC =13×12R 2×R=36,解得R=6,故S 球=4πR 2=144π.10.(2015课标全国Ⅱ,理10)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记∠BOP=x.将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则y=f (x )的图像大致为( )答案:B解析:①当点P 在线段BC 上时,如图,x ∈[0,π4].PB=OB tan x=tan x ,PA=√PB 2+AB 2=√tan 2x +4,所以f (x )=PB+PA=tan x+√tan 2x +4. 显然函数f (x )在[0,π4]内单调递增, 故f (0)≤f (x )≤f (π4),即2≤f (x )≤1+√5.②取线段CD 的中点E ,当点P 在线段CE 上时,x ∈(π4,π2).如图,过点P 作PH ⊥AB ,垂足为H. 则OH=1tanx ,BH=1-1tanx.所以PB=√PH 2+BH 2=√12+(1−1tanx)2, PA=√PH 2+AH 2=√12+(1+1tanx)2. 所以f (x )=PB+PA=√1+(1−1tanx)2+√1+(1+1tanx)2.所以f (x )在(π4,π2)上单调递减.③当点P 在点E 处,f (x )=PB+PA=2√2<1+√5.④当点P 在线段DE 上时,x ∈(π2,3π4).由图形的对称性可知,此时函数图像与当点P 在线段CE 上时的图像关于x=π2对称.⑤当点P 在线段DA 上时,x ∈[3π4,π].由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点P 在线段BC 上时的图像关于x=π2对称.综上选B .11.(2015课标全国Ⅱ,理11)已知A ,B 为双曲线E 的左、右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为( ) A.√5 B.2 C.√3 D.√2 答案:D解析:设双曲线的标准方程为x 2a2−y 2b2=1(a>0,b>0),点M 在右支上,如图所示,∠ABM=120°,过点M 向x 轴作垂线,垂足为N ,则∠MBN=60°. ∵AB=BM=2a , ∴MN=2a sin 60°=√3a ,BN=2a cos 60°=a.∴点M 坐标为(2a ,√3a ),代入双曲线方程x 2a 2−y 2b 2=1,整理,得a 2b2=1,即b2a 2=1. ∴e 2=1+b 2a 2=2,∴e=√2.12.(2015课标全国Ⅱ,理12)设函数f'(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (-1)=0,当x>0时,xf'(x )-f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞) 答案:A解析:当x>0时,令F (x )=f(x)x,则F'(x )=xf′(x)−f(x)x 2<0,∴当x>0时,F (x )=f(x)x为减函数. ∵f (x )为奇函数,且由f (-1)=0,得f (1)=0,故F (1)=0. 在区间(0,1)上,F (x )>0;在(1,+∞)上,F (x )<0,即当0<x<1时,f (x )>0; 当x>1时,f (x )<0.又f (x )为奇函数,∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0; 当x ∈(-1,0)时,f (x )<0.综上可知,f (x )>0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选A .第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅱ,理13)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案:12解析:由题意知存在常数t ∈R ,使λa +b =t (a +2b ),得{λ=t,1=2t,解之得λ=12.14.(2015课标全国Ⅱ,理14)若x ,y 满足约束条件{x −y +1≥0,x −2y ≤0,x +2y −2≤0,则z=x+y 的最大值为 .答案:32解析:由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y 过点B 取得最大值.联立{x −2y =0,x +2y −2=0,得B (1,12).∴z max =12+1=32.15.(2015课标全国Ⅱ,理15)(a+x )(1+x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 答案:3解析一:∵(1+x )4=x 4+C 43x 3+C 42x 2+C 41x+C 40x 0=x 4+4x 3+6x 2+4x+1,∴(a+x )(1+x )4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.解析二:设(a+x )(1+x )4=b 0+b 1x+b 2x 2+b 3x 3+b 4x 4+b 5x 5.令x=1,得16(a+1)=b 0+b 1+b 2+b 3+b 4+b 5, ① 令x=-1,得0=b 0-b 1+b 2-b 3+b 4-b 5, ②由①-②,得16(a+1)=2(b 1+b 3+b 5). 即8(a+1)=32,解得a=3.16.(2015课标全国Ⅱ,理16)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n+1=S n S n+1,则S n = . 答案:-1n解析:由a n+1=S n+1-S n =S n S n+1,得1S n−1S n+1=1,即1S n+1−1S n =-1,则{1S n }为等差数列,首项为1S 1=-1,公差为d=-1,∴1S n=-n ,∴S n =-1n .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin∠Bsin∠C; (2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.解:(1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD , 所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin∠B sin∠C=AC AB=12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC , 所以BD=√2.在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知 AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠ADB , AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos ∠ADC. 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(1)知AB=2AC ,所以AC=1.18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B 两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,记事件C :“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C 的概率. 解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散.(2)记C A 1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; C A 2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; C B 1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; C B 2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A 1与C B 1独立,C A 2与C B 2独立,C B 1与C B 2互斥,C=C B 1C A 1∪C B 2C A 2.P (C )=P (C B 1C A 1∪C B 2C A 2)=P (C B 1C A 1)+P (C B 2C A 2)=P (C B 1)P (C A 1)+P (C B 2)P (C A 2).由所给数据得C A 1,C A 2,C B 1,C B 2发生的频率分别为1620,420,1020,820, 故P (C A 1)=1620,P (C A 2)=420,P (C B 1)=1020,P (C B 2)=820,P (C )=1020×1620+820×420=0.48.19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理19)如图,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=16,BC=10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E=D 1F=4,过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图:(2)作EM ⊥AB ,垂足为M , 则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8.因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2−EM 2=6,所以AH=10. 以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,则A (10,0,0),H (10,10,0),E (10,4,8),F (0,4,8),FE⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n =(x ,y ,z )是平面EHGF 的法向量,则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,−6y +8z =0,所以可取n =(0,4,3). 又AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8), 故|cos <n ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n·AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n||AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理20)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值;(2)若l 过点(m 3,m),延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l :y=kx+b (k ≠0,b ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x M ,y M ).将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故x M =x 1+x 22=−kbk 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =y M x M=-9k,即k OM ·k=-9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y=-9kx. 设点P 的横坐标为x P .由{y =−9k x,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m 29k 2+81,即x P =3√k +9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m(3−k)3, 因此x M =k(k−3)m 3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M .于是3√k +9=2×k(k−3)m 3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7. 因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形. 21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅱ,理21)设函数f (x )=e mx +x 2-mx. (1)证明:f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x 1,x 2∈[-1,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1,求m 的取值范围. 解:(1)f'(x )=m (e mx -1)+2x.若m ≥0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1≤0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1≥0,f'(x )>0.若m<0,则当x ∈(-∞,0)时,e mx -1>0,f'(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,e mx -1<0,f'(x )>0.所以,f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m ,f (x )在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f (x )在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f (x 1)-f (x 2)|≤e -1的充要条件是{f(1)−f(0)≤e −1,f(−1)−f(0)≤e −1,即{e m −m ≤e −1,e −m +m ≤e −1.①设函数g (t )=e t -t-e +1,则g'(t )=e t -1. 当t<0时,g'(t )<0; 当t>0时,g'(t )>0.故g (t )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g (1)=0,g (-1)=e -1+2-e <0,故当t ∈[-1,1]时,g (t )≤0. 当m ∈[-1,1]时,g (m )≤0,g (-m )≤0,即①式成立; 当m>1时,由g (t )的单调性,g (m )>0,即e m -m>e -1; 当m<-1时,g (-m )>0,即e -m +m>e -1. 综上,m 的取值范围是[-1,1].请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,O 为等腰三角形ABC 内一点,☉O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高AD 交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点. (1)证明:EF ∥BC ;(2)若AG 等于☉O 的半径,且AE=MN=2√3,求四边形EBCF 的面积. 解:(1)由于△ABC 是等腰三角形,AD ⊥BC ,所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为☉O 分别与AB ,AC 相切于点E ,F , 所以AE=AF ,故AD ⊥EF. 从而EF ∥BC.(2)由(1)知,AE=AF ,AD ⊥EF , 故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上. 连结OE ,OM ,则OE ⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE , 所以∠OAE=30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2. 因为OM=OE=2,DM=12MN=√3, 所以OD=1. 于是AD=5,AB=10√33. 所以四边形EBCF 的面积为12×(10√33)2×√32−12×(2√3)2×√32=16√33. 23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα,(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.解:(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2−2y =0,x 2+y 2−2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α−π3)|. 当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅱ,理24)选修4—5:不等式选讲 设a ,b ,c ,d 均为正数,且a+b=c+d ,证明: (1)若ab>cd ,则√a +√b >√c +√d ;(2)√a +√b >√c +√d 是|a-b|<|c-d|的充要条件.解:(1)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd ,由题设a+b=c+d ,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2. 因此√a +√b >√c +√d .(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b )2<(c-d )2, 即(a+b )2-4ab<(c+d )2-4cd. 因为a+b=c+d ,所以ab>cd. 由(1)得√a +√b >√c +√d .②若√a +√b >√c +√d ,则(√a +√b )2>(√c +√d )2, 即a+b+2√ab >c+d+2√cd . 因为a+b=c+d ,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015年全国卷2(理科数学)含答案
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅱ卷）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) 已知集合A=｛-2，-1，0，2｝，B=｛x|（x-1）（x+2）＜0｝，则A∩B=【A】（A）｛-1，0｝（B）｛0，1｝（C）｛-1，0，1｝（D）｛0，1，2｝(2) 若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=【B】（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2(3) 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是【D】（A）逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.（B）2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.（C）2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.（D）2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 =【B 】（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84（5）设函数则【C 】（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【D 】 （A ）（B ） （C ） （D ） （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则=【C 】（A ）2 （B ）8 （C ）4 （D ）10（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入a ,b 分别为14,18，则输出的a =【B 】（A ）0 （B ）2 （C ）4（D ）14（9）已知A ,B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为【C 】A ．36πB .64πC .144πD .256π211log (2),1(),2,1x x x f x x -+-⎧=⎨≥⎩2(2)(og 12)f f l -+=81716151MN 66(10).如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP =x.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为【B 】（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为【D 】AB ．2C D （12）设函数是奇函数的导函数，，当x >0时，＜0，则使得f (x ) >0成立的x 的取值范围是【A 】 A ． B ． C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题本大题共四个小题，每小题5分。
2015年高考全国卷2理科数学试题及答案
否
a>b
输出 a
a=a-b
b=b-a
结束
执行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 14，18，则输出的 a =
A．0
B．2
C．4
D．14
9．已知 A，B 是球 O 的球面上两点，∠AOB = 90°，C 为该球面上的动点。若三棱锥 O—
ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为
D
P
C
A．36π C．144π
2015 年高考全国卷 2 理科数学试题
1．已知集合 A {2, 1, 0,1, 2} ， B {x | (x 1)(x 2) 0} ，则 A B
A．{1, 0}
B． {0,1}
C．{1, 0,1}
D．{0,1, 2}
2．若 a 为实数，且 (2 ai)(a 2i) 4i ，则 a =
A．-1
B．0
C．1
D．2
3．根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以
下结论不正确的是
2700 2600 2500 2400 2300 2200 2100 2000 1900
2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年 2013 年
A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
4．已知等比数列 {an} 满足 a1 = 3，a1 + a3 + a5 = 21，则 a3 + a5 + a7 =
(完整word版)(3)2015年(全国卷II)(含答案)高考理科数学,推荐文档
CA1A 2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ(3)参考答案1．A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-I ，故选A ． 考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ． 考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ． 考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．考点：等比数列通项公式和性质． 5．C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数． 6．D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A AB D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图． 7．C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ．考点：圆的方程．8．B【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图． 9．C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．10．B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2xπ=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()f x g x x =，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-U ，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质． 13．12【解析】因为向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，所以2a b k a b λ+=+r r r r （），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=．考点：向量共线． 14．32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y =+的最大值为32． 考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =． 考点：二项式定理． 16．1n-【解析】由已知得111n n nn n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 考点：等差数列和递推关系． 17．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =U ．1122()()B A B A P C P C C C C =U 1122()()B A B A P C C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是6MH ==，所以10AH =．以D为坐标原点，DA u u u r的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =u u u r ，(0,6,8)HE =-u u u r．设(,,)n x y z =r是平面EHGF 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =r ．又(10,4,8)AF =-u u u r，故cos ,n AF n AF n AF ⋅<>==⋅r u u u r r u u u r r u u u r ．所以直线AF 与平面αA 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM20．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为4-4+OAPB 为平行四边形． 21．【解析】（Ⅰ）'()(e1)2mxf x m x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是：(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e e 1,m mm m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()e e 1t g t t =--+，则'()e 1t g t =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e 0g --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e e 1m m -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-．22．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O e 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O e 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE AE ⊥．由AG 等于O e 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．23．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为2230x y x +-=．联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或33,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．24．【解析】（Ⅰ）因为2a b =++2c d =++a b c d +=+，ab cd >，得22>>（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >>（ⅱ）若>，则22>，即a b ++>c d ++．因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d cd <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，>a b c d -<-的充要条件．。
2015理科数学全国2卷
2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ一、选择题：本大题共12道小题.每小题5分1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝.{}(1)(20B x x x =-+<,则AB =（ ）A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-.则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（ ）A ．逐年比较.2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足a 1=3.135a a a ++ =21.则357a a a ++= （ ）A ．21B ．42C ．63D ．845．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后.剩余部分的三视图如右图.则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．1B ．1C ．1D ．17．过三点(1,3)A .(4,2)B .(1,7)C -的圆交y 轴于M.N 两点.则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．108．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图.若输入,a b 分别为14,18.则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知B A ,是球O 的球面上两点.90=∠AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36.则球O 的表面积为（ ）A ．π36 B.π64 C.π144 D.π25610．如图.长方形ABCD 的边2AB =.1BC =.O 是AB 的中点.点P 沿着边BC .CD 与DA 运动.记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x .则()y f x =的图像大致为（ ）(D)(C)(B)(A)x y π4π23π4π22π3π4π2π4y x x y π4π23π4π22π3π4π2π4y x11．已知A.B 为双曲线E 的左.右顶点.点M 在E 上.∆ABM 为等腰三角形.且顶角为120°.则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2C ．3 D．212．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数.(1)0f -=.当0x >'A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞二、填空题：本大题共4小题.每小题5分.共20分13．设向量a .b 不平行.向量a b λ+与2a b +平行.则实数λ=_________．14．若x.y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，.则z x y =+的最大值为____________．15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32.则a =__________．16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和.且11a =-.11n n n a S S ++=.则n S =________．三、解答题17．（本题满分12分）ABC ∆中.D 是BC 上的点.AD 平分BAC ∠.ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin B C∠∠； （Ⅱ）若1AD =.22DC =.求BD 和AC 的长． 18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度.从A .B 两地区分别随机调查了20个用户.得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图.并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值.得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分.将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.求C 的概率．19．（本题满分12分）如图.长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB .=10BC .18AA =.点E .F 分别在11A B .11C D 上.114A E D F ==．过点E .F 的平面α与此长方体的面相交.交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴.l 与C 有两个交点A .B .线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3m m .延长线段OM 与C 交于点P .四边形OAPB 能否为平行四边形？若能.求此时l 的斜率.若不能.说明理由． 21．（本题满分12分）设函数2()e mx f x x mx =+-．（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减.在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-.都有12()()e 1f x f x -≤-.求m 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图.O 为等腰三角形ABC 内一点.圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G .与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ） 若AG 等于O 的半径.且23AE MN ==.求四边形EBCF 的面积．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中.曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数.0t ≠）.其中0απ≤<.在以O为极点.x 轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线2:2s i n C ρθ=.曲线3:23c o s C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A .3C 与1C 相交于点B .求AB 的最大值．24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设,,,a b c d 均为正数.且a b c d +=+.证明：（Ⅰ）若ab cd >.则a b c d +>+； （Ⅱ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．C B AD D 1C 1B 1A 1参考答案1．A【解析】由已知得{}21B x x =-<<.故{}1,0AB =-.故选A ． 考点：集合的运算．2．B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-.所以240,44a a =-=-.解得0a =.故选B ． 考点：复数的运算．3．D【解析】由柱形图得.从2006年以来.我国二氧化硫排放量呈下降趋势.故年排放量与年份负相关.故选D ．考点：正、负相关．4．B【解析】设等比数列公比为q .则2411121a a q a q ++=.又因为13a =.所以4260q q +-=.解得22q =.所以2357135()42a a a a a a q ++=++=.故选B ． 考点：等比数列通项公式和性质．5．C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=.又2log 121>.所以22log 121log 62(log 12)226f -===.故2(2)(log 12)9f f -+=.故选C ．考点：分段函数．6．D【解析】由三视图得.在正方体1111ABCD A B C D -中.截去四面体111A A B D -.如图所示..设正方体棱长为a .则11133111326A AB D V a a -=⨯=.故剩余几何体体积为3331566a a a -=.所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51.故选D ． 考点：三视图．7．C 【解析】由已知得321143AB k -==--.27341CB k +==--.所以1AB CB k k =-.所以AB CB ⊥.即ABC ∆为直角三角形.其外接圆圆心为(1,2)-.半径为5.所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=.令0x =.得262y =±-.所以46MN =.故选C ．考点：圆的方程．8．B【解析】程序在执行过程中.a .b 的值依次为14a =.18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =.此时2a b ==程序结束.输出a 的值为2.故选B ．考点：程序框图．9．C【解析】如图所示.当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时.三棱锥O ABC -的体积最大.设球O 的半径为R .此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==.故6R =.则球O 的表面积为24144S R ππ==.故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积． BOA C10．B【解析】由已知得.当点P 在BC 边上运动时.即04x π≤≤时.2tan 4tan PA PB x x +=++；当点P 在CD 边上运动时.即3,442x x πππ≤≤≠时.2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-++++.当2x π=时.22PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时.即34x ππ≤≤时.2tan 4tan PA PB x x +=+-.从点P 的运动过程可以看出.轨迹关于直线2x π=对称.且()()42f f ππ>.且轨迹非线型.故选B ． 考点：函数的图象和性质．11．D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.如图所示.AB BM =.0120ABM ∠=.过点M 作MN x ⊥轴.垂足为N .在Rt BMN∆中.BN a =.3MN a =.故点M 的坐标为(2,3)M a a .代入双曲线方程得2222a b a c ==-.即222c a =.所以2e =.故选D ． 考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()f x g x x=.则''2()()()xf x f x g x x -=.因为当0x >时.'()()0xf x f x -<.故当0x >时.'()0g x <.所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数.故函数()g x 是偶函数.所以()g x 在(,0)-∞单调递减.且(1)(1)0g g -==．当01x <<时.()0g x >.则()0f x >；当1x <-时.()0g x <.则()0f x >.综上所述.使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-.故选A ． 考点：导数的应用、函数的图象与性质．13．12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行.所以2a b k a b λ+=+（）.则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=． 考点：向量共线．14．32【解析】画出可行域.如图所示.将目标函数变形为y x z =-+.当z 取到最大时.直线y x z =-+的纵截距最大.故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D .则z x y =+的最大值为32． 考点：线性规划．15．3【解析】试题分析：由已知得423(1)1464x x x x x +=++++.故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax .34ax .x .36x .5x .其系数之和为441+6+1=32a a ++.解得3a =．考点：二项式定理．16．1n-x y –1–2–3–41234–1–2–3–41234D C B O【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅.两边同时除以1n n S S +⋅.得1111n nS S +=--.故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项.1-为公差的等差数列.则11(1)n S n n =---=-.所以1n S n =-． 考点：等差数列和递推关系．17．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠.1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠.因为2A B D A D C S S ∆∆=.BAD CAD ∠=∠.所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠． （Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=.所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中.由余弦定理得 2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠.2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =.所以1AC =．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出.A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中.B 地区用户满意度评分比较分散．（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”；1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”；2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立.2A C 与2B C 独立.1B C 与2B C 互斥.1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C .2A C .1B C .2B C 发生的概率分别为1620.420.1020.820．故1()A P C 16=20. 2()=A P C 420.1()=B P C 1020.2()B P C 8=20.故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=． 19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥.垂足为M .则14AM A E ==.18EM AA ==.因为EHGF为正方形.所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=.所以10AH =．以D 为坐标原点.DA 的方向为x 轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则(10,0,0)A .(10,10,0)H .(10,4,8)E .(0,4,8)F .(10,0,0)FE =.(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量.则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,n =．又(10,4,AF =-.故45cos ,15n AFn AF n AF ⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515． 20．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠.11(,)A x y .22(,)B x y .(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=.故12229M x x kb x k +==-+. 299M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-.即9OM k k ⋅=-．所以直A 1A B 1BD 1D C 1CF EH G M线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3m m .所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >.3k ≠． 由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+.即239P km x k ±=+．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=.因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分.即2P M x x =．于是239kmk ±=+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =-.247k =+．因为0,3i i k k >≠.1i =.2.所以当l 的斜率为47-或47+时.四边形OAPB 为平行四边形．21．【解析】（Ⅰ）'()(e 1)2mx f x m x =-+．若0m ≥.则当(,0x ∈-∞时.e 10mx -≤.'()0f x <；当(0,x ∈+∞时.e 10mx -≥.'()0f x >．若0m <.则当(,0x ∈-∞时.e 10mx ->.'()0f x <；当(0,x ∈+∞时.e 10mx -<.'()0f x >．所以.()f x 在(,0)-∞单调递减.在(0,)+∞单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知.对任意的m .()f x 在[1,0]-单调递减.在[0,1]单调递增.故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-.12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是：(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e e 1,m m m m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①.设函数()e e 1t g t t =--+.则'()e 1t g t =-．当0t <时.'()0g t <；当0t >时.'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减.在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =.1(1)e 2e 0g --=+-<.故当[1,1]t ∈-时.()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时.()0g m ≤.()0g m -≤.即①式成立．当1m >时.由()g t 的单调性.()0g m >.即e e 1m m ->-；当1m <-时.()0g m ->.即e e 1m m -+>-．综上.m 的取值范围是[1,1]-．22．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形.AD BC ⊥.所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点.所以AE AF =.故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知.AE AF =,AD EF ⊥.故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 是O 的弦.所以O 在AD 上．连接OE .OM .则OE AE ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =.所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =.所以4AO =.2OE =．因为2OM OE ==.132DM MN ==.所以1OD =．于是5AD =.1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=．23．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=.曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠.其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα.B 的极坐标为(23cos ,)αα．所以2sin 23cos AB αα=-4in()3s πα=-.当56πα=时.AB 取得最大值.最大值为4．24．【解析】（Ⅰ）因为2()2a b a b ab +=++.2()2c d c d cd +=++.由题设a b c d +=+.ab cd >.得22()()a b c d +>+．因此a b c d +>+．（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-.则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+.所以ab cd >.由（Ⅰ）得a b c d +>+．（ⅱ）若a b c d +>+.则22()()a b c d +>+.即2a b ab ++>2c d cd ++．因为a b c +=+.所以a b c >.于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d c d <+-2()c d =-．因此a b c d -<-.综上.a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．。
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．845．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．126．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．108．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．149．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A ∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．【点评】考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2．（5分）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】首先将坐标展开，然后利用复数相等解之．【解答】解：因为（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i=﹣4i，4a=0，并且a2﹣4=﹣4，所以a=0；故选：B．【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件，熟记运算法则以及复数相等的条件是关键．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84【分析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2﹣6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7==3×（2+4+8）=42．故选：B．【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用，属于基础试题．5．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==2×=12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|=（）A．2 B．8 C．4 D．10【分析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入点的坐标，求出D，E，F，令x=0，即可得出结论．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故选：C．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定圆的方程是关键．8．（5分）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=14，b=18，a＜b，则b变为18﹣14=4，由a＞b，则a变为14﹣4=10，由a＞b，则a变为10﹣4=6，由a＞b，则a变为6﹣4=2，由a＜b，则b变为4﹣2=2，由a=b=2，则输出的a=2．故选：B．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．9．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，AOB故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．11．（5分）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．【分析】利用向量平行的条件直接求解．【解答】解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+=t（+2）=，∴，解得实数λ=．故答案为：．【点评】本题考查实数值的解法，考查平面向量平行的条件及应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．15．（5分）（a+x）（1+x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a=3．【分析】给展开式中的x分别赋值1，﹣1，可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1），①令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0．②①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．故答案为：3．【点评】本题考查解决展开式的系数和问题时，一般先设出展开式，再用赋值法代入特殊值，相加或相减．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．﹣S n=a n+1可知S n+1﹣S n=S n+1S n，两边同时除以S n+1S n可知﹣【分析】通过S n+1=1，进而可知数列{}是以首项、公差均为﹣1的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=S n+1S n，+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC 面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【分析】（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．18．（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【分析】（1）根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可；（2）根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可．【解答】解：（1）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散；（2）记C A1表示事件“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，记C A2表示事件“A地区用户满意度等级为非常满意”，记C B1表示事件“B地区用户满意度等级为不满意”，记C B2表示事件“B地区用户满意度等级为满意”，则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，则C=C A1C B1∪C A2C B2，P（C）=P（C A1C B1）+P（C A2C B2）=P（C A1）P（C B1）+P（C A2）P（C B2），由所给的数据C A1，C A2，C B1，C B2，发生的频率为，，，，所以P（C A1）=，P（C A2）=，P（C B1）=，P（C B2）=，所以P（C）=×+×=0.48．【点评】本题考查了茎叶图，概率的互斥与对立，用频率来估计概率，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值．【分析】（1）容易知道所围成正方形的边长为10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形；（2）分别以直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定A，H，E，F几点的坐标．设平面EFGH的法向量为，根据即可求出法向量，坐标可以求出，可设直线AF与平面EFGH所成角为θ，由sinθ=即可求得直线AF与平面α所成角的正弦值．【解答】解：（1）交线围成的正方形EFGH如图：（2）作EM⊥AB，垂足为M，则：EH=EF=BC=10，EM=AA1=8；∴，∴AH=10；以边DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（10，0，0），H（10，10，0），E（10，4，8），F（0，4，8）；∴；设为平面EFGH的法向量，则：，取z=3，则；若设直线AF和平面EFGH所成的角为θ，则：sinθ==；∴直线AF与平面α所成角的正弦值为．【点评】考查直角三角形边的关系，通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，弄清直线和平面所成角与直线的方向向量和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．20．（12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM•k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，∵k i＞0，k i≠3，i=1，2，∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．（12分）设函数f（x）=e mx+x2﹣mx．（1）证明：f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（2）若对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1，求m的取值范围．【分析】（1）利用f′（x）≥0说明函数为增函数，利用f′（x）≤0说明函数为减函数．注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得m的取值范围．【解答】解：（1）证明：f′（x）=m（e mx﹣1）+2x．若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1≤0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1≥0，f′（x）＞0．若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，e mx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，e mx﹣1＜0，f′（x）＞0．所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是即设函数g（t）=e t﹣t﹣e+1，则g′（t）=e t﹣1．当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即e m﹣m＞e﹣1．当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．综上，m的取值范围是[﹣1，1]【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用．属于难题，高考压轴题．四、选做题.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC ﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015理科数学全国2卷
精心整理2015年高考理科数学试卷全国卷Ⅱ一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}(1)(20B x x x =-+<,则A B =（） A ．{}1,0A =-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 2．若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．23．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。
以下结论不正确的是（）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（） A ．21B ．42C ．63D ．84 5．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=（）A ．3B ．6C ．9D ．126．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A ．81B ．71C ．61D ．517．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（） A ．26B ．8C ．46D ．108．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（） A ．0B ．2C ．4D ．149．已知B A ,是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ,C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（） A ．π36 B.π64 C.π144 D.π25610．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（） 11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（）A ．5B ．2C ．3D ．212．设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(1,0)(1,)-+∞C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．14．若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 三、解答题17．（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ）求sin sin BC ∠∠；（Ⅱ）若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长． 18．（本题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62738192958574645376 78869566977888827689B 地区：73836251914653736482 93486581745654766579 （Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率． 19．（本题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．20．（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．21．（本题满分12分）设函数2()e mx f x x mx =+-． （Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，圆O 与ABC ∆的底边BC 交于M 、N 两点与底边上的高AD 交于点G ，与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点．（Ⅰ）证明：//EF BC ；（Ⅱ）若AG 等于O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，曲线3:23cos C ρθ=．（Ⅰ）．求2C 与1C 交点的直角坐标；（Ⅱ）．若2C 与1C 相交于点A ，3C 与1C 相交于点B ，求AB 的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲 设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+；（Ⅱ）a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．CBA D D 1C 1B 1A 1参考答案1．A【解析】由已知得{}21B x x =-<<，故{}1,0A B =-，故选A ． 考点：集合的运算． 2．B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．考点：复数的运算． 3．D【解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ． 考点：正、负相关． 4．B【解析】设等比数列公比为q ，则2411121a a q a q ++=，又因为13a =，所以4260q q +-=，解得22q =，所以2357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ．考点：等比数列通项公式和性质． 5．C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2l o g 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．考点：分段函数．6．D【解析】由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图． 7．C【解析】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得262y =±-，所以46MN =，故选C ．考点：圆的方程． 8．B【解析】程序在执行过程中，a ，b 的值依次为14a =，18b =；4b =；10a =；6a =；2a =；2b =，此时2a b ==程序结束，输出a 的值为2，故选B ． 考点：程序框图． 9．C 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ． 考点：外接球表面积和椎体的体积．10．B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，2t a n4t a n P A P B x x +=++；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x +=-++++，当2x π=时，22PA PB +=；当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，2tan 4tan PA PB x x +=+-，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质． 11．D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．12．A【解析】记函数()()f x g x x=，则''2()()()xf x f x g x x -=，因为当0x >时，'()()0xf x f x -<，故当0x >时，'()0g x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减；又因为函数()()f x x R ∈是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)-∞单调递减，且(1)(1)0g g -==．当01x <<时，()0g x >，则()0f x >；当1x <-时，()0g x <，则()0f x >，综上所述，使得()0f x >成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)-∞-，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．13．12【解析】因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=． 考点：向量共线．14．32【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z =-+，当z 取到最大时，直线y x z =-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z x y=+的最大值为32．考点：线性规划．15．3【解析】试题分析：由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．考点：二项式定理．16．1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则x y–1–2–3–41234–1–2–3–41234D CB O11(1)n S n n =---=-，所以1n S n=-． 考点：等差数列和递推关系．17．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABD ADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2A B A C =．由正弦定理可得s i n 1s i n 2B A CC A B∠==∠． （Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =．在ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．18．【解析】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；2A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，1122B A B A C C C C C =．1122()()B A B A P C P C C C C =1122()()B A B A PC C P C C =+1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+．由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的概率分别为1620，420，1020，820．故1()A P C 16=20， 2()=A P C 420，1()=B P C 1020，2()B P C 8=20，故101684()=+0.4820202020P C ⨯⨯=．19．【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则14AM A E ==，18EM AA ==，因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===．于是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．设(,,)n x y z =是平面E H G F 的法向量，则0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3n =．又(10,4,8AF =-，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直线AF 与平面α所成角的正弦值为4515． 20．【解析】（Ⅰ）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠．由（Ⅰ）得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得A 1AB 1BD 1DC 1CFE HGM2222981Pk m x k =+，即239P km x k ±=+．将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP 互相平分，即2P M x x =．于是239km k ±=+2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得147k =-，247k =+．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形． 21．【解析】（Ⅰ）'()(e 1)2mx f x m x =-+．若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx -≤，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -≥，'()0f x >．若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，e 10mx ->，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，e 10mx -<，'()0f x >．所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m ，()f x 在[1,0]-单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值．所以对于任意12,[1,1]x x ∈-，12()()e 1f x f x -≤-的充要条件是：(1)(0)e 1,(1)(0)e 1,f f f f -≤-⎧⎨--≤-⎩即e e 1,e e 1,mm m m -⎧-≤-⎪⎨+≤-⎪⎩①，设函数()e e 1t g t t =--+，则'()e 1t g t =-．当0t <时，'()0g t <；当0t >时，'()0g t >．故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增．又(1)0g =，1(1)e 2e 0g --=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤．当[1,1]m ∈-时，()0g m ≤，()0g m -≤，即①式成立．当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即e e 1m m ->-；当1m <-时，()0g m ->，即e e 1m m -+>-．综上，m 的取值范围是[1,1]-． 22．【解析】（Ⅰ）由于ABC ∆是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线．又因为O 分别与AB 、AC 相切于E 、F 两点，所以AE AF =，故AD EF ⊥．从而//EF BC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =,AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 是O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则O E A E ⊥．由AG 等于O 的半径得2AO OE =，所以030OAE ∠=．所以ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形．因为23AE =，所以4AO =，2OE =．因为2OM OE ==，132DM MN ==，所以1OD =．于是5AD =，1033AB =．所以四边形EBCF 的面积221103313163()(23)232223⨯⨯-⨯⨯=． 23．【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2s i n αα，B 的极坐标为(23c o s ,)αα．所以2sin 23cos AB αα=-4in()3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．24．【解析】（Ⅰ）因为2()2a b a b ab +=++，2()2c d c d cd +=++，由题设a b c d +=+，ab cd >，得22()()a b c d +>+．因此a b c d +>+． （Ⅱ）（ⅰ）若a b c d -<-，则22()()a b c d -<-．即22()4()4a b ab c d cd +-<+-．因为a b c d +=+，所以ab cd >，由（Ⅰ）得a b c d +>+．（ⅱ）若a b c d +>+，则22()()a b c d +>+，即2a b a b ++>2c d c d ++．因为a b c d +=+，所以a b c d >，于是22()()4a b a b ab -=+-2()4c d c d <+-2()c d =-．因此a b c d -<-，综上，a b c d +>+是a b c d -<-的充要条件．。
2015年高考全国卷2(理科数学)
2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）（黑龙江、吉林、广西、内蒙古等地区用）一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是 A.4π B.2π C.π D.2π 2.正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点.那么正方体的过P ，Q ，R 的截面图形是A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形3.函数)0(12≤-=x x y 的反函数是 A.)1(1-≥+=x x y B.)1(1-≥+-=x x y C.)0(1≥+=x x y D.)0(1≥+-=x x y4.已知函数tan y x ω=在(,)22ππ-内是减函数，则 A.01ω<≤ B.10ω-≤< C.1ω≥ D.1ω≤-5.设,,,a b c d R ∈，若a bi c di++为实数，则 A.0bc ad +≠ B.0bc ad -≠ C.0bc ad -= D.0bc ad +=6.已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为A.5B.6C.65D.567.锐角三角形的内角A 、B 满足1tan tan sin 2A B A-=，则 A.sin 2cos 0A B -= B.sin 2cos 0A B +=C.sin 2sin 0A B -=D.sin 2sin 0A B +=8.已知点A ，(0,0)B ，C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有BC CE λ=,其中λ等于A.2B.21C.3-D.13- 9.已知集合2{|3280}M x x x =--<，2{|60}N x x x =-->，则M N =A.}7324|{≤<-<≤-x x x 或B.}7324|{<≤-≤<-x x x 或C.{|23}x x x ≤->或D.{|23}x x x <-≥或10.点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为||v 个单位）.设开始时点P 的坐标为(10,10)-,则5秒后点P 的坐标为A.(2,4)-B.(30,25)-C.(10,5)-D.(5,10)-11.如果数列1a ，2a ，，n a 是各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则A.1845a a a a ⋅>⋅B.1845a a a a ⋅<⋅C.5481a a a a +>+D.5481a a a a =12.将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为A.3B.23+43+ D.3 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.圆心为(1,2)且与直线51270x y --=相切的圆的方程为 .14.设为第四象限的角，若sin 313sin 5αα=，则tan 2α= . 15.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.16.下面是关于三棱锥的四个命题:①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； 底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其中,真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分） 设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥x 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,1lg a ，2lg a ，4lg a 成等差数列.又21n n b a =， 1,2,3,n =.（Ⅰ）证明:{}n b 为等比数列;（Ⅱ）如果数列{}n b 前3项的和等于724,求数列{}n a 的首项1a 和公差d . 19.（本小题满分12分）甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制：即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数，求ξ的概率分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD .AD PD =,E 、F 分别为CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证:EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设AB =,求AC 与平面AEF 所成的角的大小.A B C DP E F21.（本小题满分12分）P 、M 、M 、N 四点都在椭圆1222=+y x 上,F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且0PF MF ⋅=.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.22.（本小题满分14分）已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-.（Ⅰ）当x 取何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论； （Ⅱ）设)(x f 在[1,1]-上是单调函数，求a 的取值范围.。