2015.3.4 第3次课 三角函数的伸缩平移变化

函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【重点知识梳理】一、y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ二、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A三、函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤 1.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法：在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．2．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是于ωx 加减多少值．【高频考点突破】考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0， π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象． (2)图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先 平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．例1、已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？【变式探究】把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π(如例2)．例2、函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．【变式探究】(1) 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴交于点(0，3)，在y 轴右边到y 轴最近的最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π12，2，则不等式f (x )>1的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫k π－π6，k π＋56π，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋56π，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－π16，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋π4，k ∈Z (2)函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B 分别为最高点、最低点，且AB ＝22，则该函数图象的一条对称轴为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2 C ．x ＝2D ．x ＝1考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用利用三角函数图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A 的值．在求函数值域时，由定义域转化成ωx ＋φ的范围，即把ωx ＋φ看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．例3、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．(1)求f (x )的解析式及x 0的值； (2)求f (x )的增区间；(3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域．【变式探究】函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．【经典考题精析】（2013·新课标全国卷Ⅰ）设当x ＝θ 时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________． （2013·安徽卷）已知函数f(x)＝4cos ωx·sin (ωx ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．（2013·福建卷）已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π4，0.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图像．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫π6，π4，使得f(x 0)，g(x 0)，f(x 0)g(x 0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x 0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a 与正整数n ，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．（2013·湖北卷）将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R )的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6（2013·江西卷）函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2 x 的最小正周期T 为________．（2013·辽宁卷）设向量a ＝(3sin x ，sin x)，b ＝(cos x ，sin x)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f(x)＝a·b ，求f(x)的最大值．（2013·山东卷）将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π4（2013·陕西卷）已知向量a ＝cos x －12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a·b .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．（2013·四川卷）函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3（2013·天津卷）已知函数f(x)＝－2sin2x ＋π4＋6sin xcos x －2cos 2 x ＋1，x ∈R .(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．（2012·陕西卷）函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．（2012·安徽卷）设函数f (x )＝22cos2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．（2012·北京卷）已知函数f (x )＝x －cos xx sin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．（2012·全国卷） 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________.（2012·湖北卷）已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )．设函数f (x )＝a·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，3π5上的取值范围．（2012·课标全国卷）已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]【当堂巩固】1．函数y ＝sin x2的图象的一条对称轴的方程是( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝2π2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π33．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位4．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x5．将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·sin x 的图象，则f (x )的表达式可以是( )A ．f (x )＝－2cos xB ．f (x )＝2cos xC ．f (x )＝22sin 2xD ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 6．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13B ．1 C.53D ．27.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝( )A ．－12B ．－32C ．－1D ．－ 38.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12 B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12 C.⎣⎡⎦⎤－π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤－π12，5π129.已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD 在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π610．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则下列结论中正确的是( )A ．函数y ＝f (x )·g (x )的周期为2B ．函数y ＝f (x )·g (x )的最大值为1C ．将f (x )的图象向左平移π2个单位后得到g (x )的图象D ．将f (x )的图象向右平移π2个单位后得到g (x )的图象11．定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π313.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.15．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位；(4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位；(6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．16．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．17．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．18．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin (x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．20．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式．21．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间； (3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．。