2016年重庆一中高二理科上学期数学期中考试试卷
重庆市第一中学高二数学上学期期中试题 理
2015年重庆一中高2017级高二上期半期考试 数 学 试 题 卷（理科） 2015.12数学试题共4页，共22个小题。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置. 1. 直线3260x y --=的横、纵截距之和等于（ ）A ．1-B ．1C ． 4D ．52.圆221:2220C x y x y +++-=与圆222:4210C x y x y +--+=（ ）A ．外离B ．外切C ． 相交D ．内切 3.已知球O 的表面积为12π,则球O 的体积为（ ）A ．23πB ．43πC ． 123πD ．323π4.椭圆2214924x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则21PF F ∠的大小为（ ）A ．0150B ．0135C ．0120D ．0905.已知()21f x x x =-+，命题():,0p x R f x ∀∈>，则（ ） A. p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈< B. p 是真命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤ C. p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈<D. p 是假命题，()00:,0p x R f x ⌝∃∈≤6.已知直线l 与双曲线221x y -=交于B A 、两点，若线段AB 的中点为()2,1C ，则直线l 的斜率为（ ）A ．2-B ．1C ． 2D ．37.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．1893+B ．1892+C ．9182+D ．9+1838.下列说法正确的个数有（ ）个.（1）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行;（2）“如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β”的逆否命题为真命题；（3）“若2m >，则方程22112x y m m+=--表示双曲线”的否命题为真命题； （4）“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线2:(1)40l x a y +++=平行”的充分不必要条件 . A.1B.2C.3D.49.（原创）已知a R ∈，直线1:22l x y a +=+和直线2:221l x y a -=-分别与圆:E()()2214x a y -+-=相交于A C 、和B D 、，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．8 10.（原创）正项数列{}n a 满足：121,2,a a ==12121111n n n n n n a a a a a a ++++++=（*n N ∈），则前2015项的和2015S =（ ）A ．4026B ．4027C ． 4028D ．402911.（原创）四面体ABCD 中，090,CBD AB BCD ∠=⊥面，点E 、F 分别为BC 、CD 的中点，过点E 、F 和四面体ABCD 的外接球球心O 的平面将四面体ABCD 分成两部分，则较小部分的体积与四面体ABCD 的体积之比为（ ）A ．18 B ．316 C ． 14 D ．276412. （原创）已知点O 为坐标原点，F 为椭圆:C 2213x y +=的左焦点，点P 、Q 在椭圆上，点P 、Q 、R 满足0,20OF PQ QR PQ ⋅=+=u u u r u u u r u u u r u u u r rOR +的最大值为 （ ）A ．6 BC ．3+ D．3+第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 13.在ABC ∆中，若01,4,120AB AC A ===, 则ABC ∆的面积等于 .14.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，11AA =，点E 是11B C 的中点,则异面直线1AC 与BE 所成角的大小为 .15.（原创）点F 为双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，以F 为圆心的圆过坐标原点O ，且与双曲线C 的两渐近线分别交于A 、B 两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C 的离心率为 .16.（原创）设F 为抛物线:C 212y x =-的焦点，过抛物线C 外一点A 作抛物线C 的切线，切点为B .若090AFB ∠=,则点A 的轨迹方程为 .三、解答题 ：(本大题6个小题，其中17题10分,其余每题12分,共70分)各题解答必须答在答题卡上相应题 目指定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程). 17. 在等差数列{}n a 中，345921,17a a a a ++==.(1)求数列{}n a 的通项公式； （2）令*2()na n nb a n N =-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. 如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点.(1)求证：1A B ∥面1ADC ； (2)求直线11BC 与平面1ADC 所成角的余弦值.19.(原创)已知ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且,cos ,cos b c A a C 成等差数列.（1）求222c a b-的值； （2）若15,tan 2c A ==，求边a 的长.20.（原创） 如图,已知四边形ABCD 满足AD ∥1,22BC AB AD CD BC ====，E 是BC 的中点, 将BAE ∆沿AE 折成1B AE ∆，使面1B AE AECD ⊥面，F 1B D 为棱上一点． (1)若F 为1B D 的中点，求证:1B D AEF ⊥面； (2)若1B E AF ⊥，求二面角1C AF B --的余弦值.21.（原创）已知点()4,8A 关于直线1:4l x y +=的对称点B 在抛物线()2:20C y px p =>的准线上.(1)求抛物线C 的方程；(2)直线2l 与x 轴交于点D ，与抛物线C 交于E F 、两点． 是否存在定点D ，使得2211DE DF+ 为定值？若存在，请指出点D 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．22. （原创）左、右焦点分别为12F F 、的椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与焦点为F 的抛物线22:2C x y =相交于A B 、两点，若四边形12ABF F 为矩形,且ABF ∆的周长为322+.(1)求椭圆1C 的方程；(2)过椭圆1C 上一动点P （不在x 轴上）作圆O :221x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点，O 为坐标原点，求OEG ∆的面积OEG S ∆的取值范围.2015年重庆一中高2017级高二上期半期考试数 学 答 案（理科） 2015.12一．选择题 ACBDBC CBDDAC10题提示：设(),P x y33OR +=+=+再用三角换元或均值不等式可解. 二．填空题4π2 3x = 16题提示：（交轨法）设()00,B x y ，则直线()()()0000:6,:33AB yy x x AF yy x x =-+=-++， 整体消参得3x =.三．解答题17.解：⑴由a 3＋a 4＋a 5＝21，a 9＝17得11,2a d ==, 所以21n a n =-； ⑵()212221na n n nb a n -=-=--，()()()321224122213213n n n S n n --=++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-=-.18.解:(1)如图，以{}1,,AA 为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -,则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,()12,0,4B ，)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=A , )0,1,1(=，)4,2,0(1=AC ，设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =,由1,AC ⊥⊥ ∴⎩⎨⎧=+=+0420z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-=由此可得，()()12202410A B m ⋅=⨯+⨯-+-⨯=u u u r u r，又1A B ⊄平面1ADC ， 所以1A B∥面1ADC .(2)()112,2,0B C =-u u u u r,设直线11BC 与平面1ADC 所成角为θ,则11111122sin cos ,B C m B C m B C mθ⋅=<>==u u u u r u ru u u u r u ru u u u r u r ,又θ为锐角, 所以直线11BC 与平面1ADC 所成角的余弦值为13. 注：第⑴问可先证线线平行，或面面平行；第⑵问可用定义法或体积法. 19.解:⑴Q ,cos ,cos b c A a C 成等差数列,()2222222222222cos cos ,22213,.3c A a C b b c a b a c c a b bc abc a c a b b ∴=++-+-⋅=⋅+--==⑵Q ,cos ,cos b c A a C 成等差数列,()2cos cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin 2sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos 2sin cos tan 2tan 1.c A a C bC A A C B A C A C C A A C A C A C C A A C C A ∴=+=+=++=++===52sin ,sin ,52sin 2.sin sin sin A C a c c A a A C C ==∴===又由得 注:第⑵问可对角A 用余弦定理再得三边一等量关系,并联立第⑴问结果解关于,a b 的方程组可解. 20.解:(1)取AE 的中点M ，连接1MB ，MD ，则AE 1MB ⊥，MD AE ⊥，所以1MDB AE 面⊥，则D B AE 1⊥,F 为1B D 的中点,1AD AB =,所以1AF B D ⊥,所以1B D AEF ⊥面.(2)如图,分别以ME,MD,MB 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，()()()(()(()()(1111,0,0,1,0,0,,,,1,0,,,,0,,E A D B C B E AC AD DB -====u u u r u u u r u u u r u u u u r设()101DF DB λλ=≤≤u u u r u u u u r,则)())()1,1F AF λλ-=-u u u r ,由10B E AF ⋅=u u u r u u u r得1,33AF λ⎛== ⎝⎭u u u r , 设平面1B AD 的法向量为()1,,n x y z =u r,则111000y zn DB x n AD ⎧=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨=⎪⋅=⎪⎩⎩u r u u u u r u r u u ur 得 取1z =,则1,y x ==()1n =u r , 设平面ACF 的法向量为()2,,n a b c =u u r,则2200020n AC b n AF b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u r u u u r u ur u u u r 得 取1a =,则b c ==(21,n =u u r, 12cos ,35n n <>==u r u u r ,根据12,n n u r u u r 的方向可得 二面角1C AF B --的余弦值为21.解:⑴设(),B m n ,则81448422n m m n -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+=⎪⎩4,0,4,82pm n p ∴=-=-=-=,所以抛物线C 的方程为216y x =. ⑵设()()11222,,,,:E x y F x y l x sy t =+由2216160.16x sy ty sy t y x =+⎧--=⎨=⎩得 ()216640s t ∆=+>,()()()()()()()()2222222222121122221212222222221211111111281818181DE DF s y s y x t y x t y y y y y s t t t sy y t s t s +=+=+++-+-++-+-===++++所以8t =时,存在定点()8,0D ,使得2211DE DF +=164.22.解:⑴由题意可得2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,带入22x y =得222b c a =,又ABF ∆的周长为22222132A p b c x c a ⎛⎫++=++=+ ⎪⎝⎭所以2,c a b ==所以椭圆1C 的方程为22142x y +=; ⑵设()00,P x y ()00y ≠,则以线段OP 为直径的圆的方程为()222200001224x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 又圆O 的方程为221x y +=,两式相减得直线CD 的方程为001xx yy +=.由0022124xx yy x y +=⎧⎨+=⎩得()2222000024240x y x x x y +-+-= ()()()2222220000001642242410x x y y y x ∆=-+-=+>设()()1122,,,E x y G x y ，则12211201122OEG S x y x y x x y ∆=-=-==设220012t x y =+，则11,82t ⎛⎤∈⎥⎝⎦且11,82OEG S t ∆⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦上单调递增， 所以OEG ∆的面积OEG S ∆的取值范围为82⎛⎝⎦.。
2017-2018学年重庆一中高二上学期期中考试数学(理)试题Word版 含答案
2017-2018学年重庆一中高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知命题:p x R ∃∈， 210x x -+>，则（ ）A. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+≤B. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+<C. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤D. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+<【答案】C【解析】 命题:p x R ∃∈， 210x x -+>的否定是特称命题，故可知其否定为 :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤故选C2．“0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程221mx ny +=转化为221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆 则110m n>>，即0n m >> ∴ “0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 故选B3．若球的体积与其表面积数值相等，则球的大圆面积等于（ ）A. πB. 3πC. 6πD. 9π【答案】D【解析】由题意得： 32443R R ππ= 3R ∴=则球的大圆面积等于9π故选D4．若双曲线以2y x =±为渐近线，且过(1,A ，则双曲线的方程为（ ） A. 2214y x -= B. 2214y x -= C. 221164x y -= D. 221164y x -= 【答案】D【解析】(1)若焦点在x 轴上，则22221x y a b-=由题意得： 221201{ 2a b b a-==，无解舍去 （2）若焦点在y 轴上，则22221y x a b-= 由题意得： 222011{ 2a b b a-==，解得2216{ 4a b == 故双曲线的方程为221164y x -= 故选D5．下列命题是真命题的是（ ）A. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”为真命题B. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”的逆命题为真命题C. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否命题为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”D. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否定形式为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”【答案】A【解析】B ，逆命题为“若2a ≠或6b ≠，则8a b +≠”，当44a b ==，时， 8a b +=，故错误；C ，其否命题为“若220x x -≠，则0x ≠且2x ≠”，故错误；D ，其否定形式为“若220x x -=，则0x ≠且2x ≠”，故错误；故选A6．已知直线m n l 、、和平面,αβ，直线m ⊂平面α，下面四个结论：①若n α⊥，则n m ⊥；②若||,||n l αα，则||n l ；③若,||,||l n n αβαβ⋂=，则||n l ；④若,n n αβ⊥⊥，则||αβ；⑤若直线n l 、互为异面直线且分别平行于平面αβ、，则||αβ.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】②中,n l αα ，则n l 错误，直线n ， l 可能是异面直线；⑤中， αβ 错误，根据面面平行的判定定理，要有两条相交线与面平行，才能证明； 故选C7．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 48【答案】B【解析】由题意得：几何体如下图所示几何体为四棱锥，底面为直角梯形，梯形上底下底分别为42，，高为4 四棱锥的高为4 故该几何体的体积为()1142441632V =⨯⨯+⨯⨯= 故选B 8．直线40x y m ++=交椭圆22116x y +=于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为1，则m =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】40x y m ++= ， 144m y x ∴=-- 设()11A x y ，， ()22B x y ， 22112222116{ 116x y x y +=+=，两式相减， ()121212121164y y x x x x y y -+=-=--+ AB 中点的横坐标为1 则纵坐标为14将114⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线144m y x =--，解得2m =- 点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程的方法可以简化基本运算。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一下·江阴期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=________．2. （1分） (2016高二上·友谊开学考) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________．3. （1分） (2017高一下·扶余期末) 过两点A ，B 的直线l的倾斜角为45°，则m＝________．4. （1分） (2015高一下·厦门期中) 过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程________5. （1分）(2016·陕西模拟) 不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．6. （2分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：2x+（a﹣1）y+2=0，若l1∥l2 ，则a=________，l1与l2的距离为________．7. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为________．8. （1分）(2017·蚌埠模拟) 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米________斛．9. （1分） (2017高一下·定州期末) 直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．10. （1分） (2017高二上·定州期末) 如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作圆的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是________．11. （1分） (2016高一上·石家庄期中) 给出下列四种说法：①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；②函数y=x3与y=3x的值域相同；③函数y= + 与y= 都是奇函数；④函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在区间[0，+∞）上都是增函数．其中正确的序号是________（把你认为正确叙述的序号都填上）．12. （1分） (2016高二上·宝应期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为________．13. （1分）已知体积相等的正方体和球的表面积分别为S1 ， S2 ，则（）3的值是________．14. （1分） (2016高二下·市北期中) 圆心坐标为（1，2），且与直线2x+y+1=0相切的圆的方程为________．二、解答题 (共6题；共32分)15. （10分） (2017高二下·盘山开学考) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．16. （5分） (2017高二下·雅安期末) 已知p：﹣x2+4x+12≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（Ⅰ）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．17. （5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．18. （2分）填空题（1）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣15=0的最大距离是________．（2）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是________．19. （5分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y﹣1=0上，且点C在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．20. （5分） (2017高一下·河北期末) 若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共32分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、。
重庆市2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试题Word版含答案
2016~2017学年重庆市第18中学高二（上）期中考试数学试题（理科）一、选择题：此题共12小题，每题5分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．直线30x y a +-=与0126=++y x 的位置关系是 A ．相交B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．设n m ,是两条直线，βα,是两个平面，给出四个命题①,,//,//m n m n αββα⊂⊂βα//⇒ ②,//m n m n αα⊥⊥⇒ ③αα////,//n n m m ⇒ ④,m m αβαβ⊥⊂⇒⊥ 其中真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．33．圆1O ：0222=-+x y x 和圆2O ：0422=-+y y x 的位置关系是 A ．相离 B ．内切 C ．外切 D ．相交 4．空间四边形ABCD 中，2==BC AD ，E ，F 别离是AB ，CD 的中点，3=EF ，那么异面直线AD ，BC 所成的角的补角为A ．120 B ．60 C ．90 D ．305．一个锥体的正视图和侧视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是6．已知圆C ：0422=-++mx y x 上存在两点关于直线03=+-y x 对称，那么实数m 的值为 A ．8B ．4-C ．6D ．无法确信7．过点)4,1(A ，且横纵截距的绝对值相等的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．将你手中的笔想放哪就放哪，愿咋放就咋放，总能在教室地面上画一条直线，使之与笔所在的直线A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直9．一束光线从点(1,1)A -动身，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短途径是 A ．4 B ．5 C ．321- D ．2610．已知点),(n m P 是直线052=++y x 上的任意一点，那么22)2()1(++-n m 的最小值为 A ．5 B ．5 C ．558 D ．5511．已知圆C ：()()14322=-+-y x 和两点)0,(m A -，)0,(m B )0(>m ，假设圆C 上存在点P ，使得090=∠APB ，那么m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．412．已知点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，2==BC AB ，AC =22。
重庆市第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试题
秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii -（i 是虚数单位）的虚部是（ ）（A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()32sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x ，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x ex （C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x （D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x ex4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--；②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
重庆市第一中学2015-2016学年高二(上)期中考试数学(文)(解析版)
重庆市第一中学2015-2016学年高二（上）期中考试数学（文）一、选择题：共12题1．已知集合,则A. B. C. D.2．已知,则A. B. C. D.3．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为A. B. D.4．已知圆,圆,圆与圆的位置关系为A.外切B.相离C.相交D.内切5．设椭圆C的两个焦点分别为、,若C上存在点P满足,则C的离心率等于A. B. C. D.6．设公比的正项等比数列的前项和为,且,则A.31B.36C.42D.487．与双曲线共渐近线,且过点的双曲线的标准方程为A. B. C. D.8．设满足约束条件则的最小值是A. B. C. D.9．已知是上的增函数,则实数a的取值范围为A. B. C. D.10．过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到直线x=-2的距离之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在11．已知双曲线的左、右焦点分别为,双曲线的离心率为,若双曲线上一点使,点为直线上的一点,且,则的值为A. B. C. D.12．设是定义在上的导函数恒大于零的函数,且满足,则的零点个数为A.1B.0C.2D.0或2二、填空题：共4题13．已知,则________.14．已知过点,的直线与直线垂直,则=_________. 15．已知椭圆方程为是该椭圆的过焦点的其中条弦的长度,若数列是等差数列,则数列的公差的最大值为___________.16．已知关于的方程有相等根,则的最大值为_____. 三、解答题：共6题17．在Δ中,角所对应的边为,且.(1)求的值;(2)若Δ的面积,求的值.18．已知函数在时取得极值.(1)求;(2)求在上的最值.19．已知椭圆过双曲线的右顶点且离心率为.(1)求的方程;(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标.20．已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.21．在平面直角坐标系中,第一象限内的动点P(x,y)满足:①与点、点连线斜率互为相反数;②.(1)求动点的轨迹的方程;(2)若存在直线与和椭圆均相切于同一点,求椭圆离心率的取值范围.22．已知函数.(1)求的单调区间;(2)若,且不存在,使得成立,求的取值范围.参考答案1.A【解析】本题主要考查集合的基本运算.由集合的并集的定义可得2.A【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与.因为,所以, 则3.D【解析】本题主要考查抛物线的方程与焦点、椭圆的简单几何性质.由椭圆方程可知右焦点坐标为(2,0),根据题意可知,p=44.C【解析】本题主要考查两个圆的位置关系.由两个圆的方程可得：C1(2,2)，r1=3,C2(-1,-4),r2=5,r2-r2<|C1C2|=3<r2+r1, 圆与圆的位置关系为相交.5.A【解析】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质.设,则2a=，则C的离心率等于6.A【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、前项和公式与性质.,且公比，则，q=2，a1=1，则7.D【解析】本题主要考查双曲线的标准方程与简单几何性质.根据题意设所求双曲线方程为,将点代入方程可得t=，则所求双曲线方程为【解析】本题主要考查线性规划问题.作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，经验证，当目标函数过点A(3,4)时取得最小值.9.C【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质、恒成立问题.由题意可知在R上恒成立，即在R上恒成立；因为,所以10.D【解析】本题考查抛物线的性质.由已知,|AB|=x1+x2+p=3,而抛物线的通径长度为4,明显不满足题意,故不存在,故选D.11.A【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质、正弦定理与余弦定理、平面向量共线定理与数量积.由双曲线的方程可知，a=1，c=2，则e=2，由余弦定理可得,则，又=2,则，，，又因为，所以，在三角形中，由余弦定理可得，，所以，则12.B【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质.由已知可知,即,所以函数在R上是减函数，又因为，所以当时，，当x=1时，,所以，故函数的零点个数为0.13.【解析】本题主要考查同角三角函数关系式.由题意可知14.【解析】本题主要考查两条直线的位置关系、直线的斜率.由题意可知直线AB的斜率为, 则=15.【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、等差数列.由椭圆的方程可知a=5，b=3，c=4，由椭圆的性质可知，与x轴垂直的弦最短，长轴最长，即最短弦长为,最长弦长为2a=10，故公差最大为d=16.e【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质、导数的几何意义.设,根据题意，直线与曲线相切，则,且b=，设t=, ,显然，函数t=上在是增函数，在上是减函数，所以，当x=1时，t=取得最大值为e，即的最大值为e17.(1)由得.;(2)由由余弦定理:,所以为直角三角形易得【解析】本题主要考查和差角公式、正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式.(1)由利用和差角公式展开化简可得，即可求出角A;(2)利用三角形面积公式可得b、c的关系，再利用余弦定理判断a、c的关系，即可求出的值.18.(1),由题意得;(2)由(1),令或当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:,,,所以【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质.(1)求出，由题意可知，，求解可得a的值;(2)由(1)可得导函数解析式, 令可得极点，再判断函数单调性，即可求出在上的最值.19.(1)易得C的方程为(2)法一:点差法可得:中中,又中中,所以中点为法二:过点且斜率为的直线方程为,设直线与C的交点为Ａ,Ｂ,将直线方程代入C的方程,得,即,解得,AB的中点坐标,即中点为.【解析】本题主要考查椭圆、双曲线的方程与简单几何性质、中点坐标公式、方程思想.(1)由椭圆过双曲线的右顶点，可得a=5，再由离心率为可得c、b的值，即可求得椭圆的标准方程;(2)法一：点差法设直线与C的交点为Ａ,Ｂ,代入椭圆方程相减，利用中点坐标公式可得:中中,又中中,即可求得结果;法二：求出直线方程，联立椭圆方程求出交点坐标，再利用中点坐标公式求解.20.(1)数列是等差数列,设其公差为,则.所以,则,即数列的通项公式为.(2)∵c n＝(2n－1)×2n-1,∴T n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1,①2T n＝1×21＋3×22＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n,②－②得－T n＝1＋2(21＋22＋23＋…＋2n－1)－(2n－1)×2n,整理得－T n＝1＋2×－(2n－1)·2n＝－(2n－3)×2n－3.∴T n＝(2n－3)·2n＋3.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与性质、等比数列的前n项和公式、差比数列的求和，考查了计算能力.(1)由已知可求得，结合的值求出公差，即可求出通项公式;(2)由(1)得c n＝(2n－1)×2n-1,再利用差比数列与等比数列的前n项和公式求解.21.(1)由①可得代入②得:,解得:且所以曲线的方程为:(且)(2)由题意,直线与相切,设切点为(且)则直线m的方程为,即联立由题意,直线m与椭圆相切于点,则即又即,联立得由且以及得,故,又.所以椭圆的离心率的取值范围是【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、轨迹方程、直线的斜率公式、导数的几何意义.(1) 由①可得,化简并结合②求解可得动点的轨迹的方程;(2)由题意,直线与相切,设切点为(且)，利用导数的几何意义求出切线方程，与椭圆方程联立，判别式，且，由且以及求解可得椭圆的离心率的取值范围.22.(1)由,得.(1)当时,.(i)若,当时,恒成立,所以函数的单调递减区间是.(ii)若,当时,,函数单调递减.当时,,函数单调递增.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)当时,令,得.由得.显然,,.当时,,函数单调递减.当时,,函数单调递增.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.综上所述,当时,函数的单调递减区间是.当时,函数的单调递减区间是,单调递增区间是.当时,函数的单调递减区间是,单调递增区间是(2)①当时,在上单调递减,,不合题意.②当时,由(1)可知,在单调递减,在上单调递增,所以只需的最小值为即可,令,则在上单调递增,,所以当时,,当时,,所以的取值范围是.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查了分类讨论思想.(1)求出，当时,分、两种情况讨论求解；当时,令,得，恒成立，则易求单调性；(2)①当时,在上单调递减,,不合题意；②当时,由(1)可知,在单调递减,在上单调递增,所以只需的最小值为，利用函数的单调性求解即可.。
重庆市重庆一中高二数学上学期期中试题 理 湘教版
秘密★启用前2013年重庆一中高2015级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（理科）2013.11数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（每题5分，共计50分） 1、抛物线x y 212=的焦点到准线的距离为（ ） A. 18 B. 14 C. 12D. 12、l 1、l 2是两条异面直线，直线m 1、m 2与l 1、l 2都相交，则m 1、m 2的位置关系是（ ） A.异面或平行 B.异面 C.相交 D.相交或异面3、"1">x 是"11"<x成立的（ ） A. 不充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D.充要条件 4、对任意的实数t ，直线21-=x ty 与圆122=+y x 的位置关系一定是（ ） A.相切 B. 相交且直线不过圆心 C.相交且直线不一定过圆心 D. 相离 5、（原创）已知高为2，底面边长为1的正四棱柱的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱的正视图的面积不可能．．．等于（ ） A. 12- B.2C. 12+D. 226、给出以下命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)两条异面直线在同一个平面上的射影不可能平行；(3)两个不重合的平面βα与，若α内有不共线的三个点到β的距离相等，则βα//； (4)不重合的两直线b a ,和平面α，若b a //，α⊂b ，则α//a 。
其中正确命题个数是（ ）A ．0 B.1 C.2 D.37、（原创）三棱锥D-ABC 中，⊥DA 平面ABC ，4=DA ，AC AB AC AB ⊥==,2，E 为BC 中点，F 为CD 中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.634 B.62C. 634-D.62- 8、定长为6的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y 42-=上移动，则AB 的中点到y 轴的距离的最小值为（ ） A.6 B.5 C.3 D.2 9、如图,长方体1111D C B A ABCD -中,,3=AB ,2=BC,41=BB E 为AD 的中点,点P 在线段E C 1上,则点P 到直线BB 1的距离的最小值为（ ）A.2B.10C.5103 D.2510.如图，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的四个顶点为21,A A ，21,B B ，两焦点为21,F F ，若以21F F 为直径的圆内切于菱形2211B A B A ，切点分别为D C B A ,,,， 则菱形2211B A B A 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值=21S S （ ） A ．215+ B ．252- C ．225+ D ．215-二、填空题：（每题5分，共计25分）ACD1A 11C 1DE P11、已知54sin =α，则=+)2cos(απ12、双曲线112422=-y x 上一点P 到右焦点F 的距离为8，则P 到右准线的距离为 13、边长为4的正四面体ABC P -中， E 为PA 的中点，则平面EBC 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14、已知正三棱锥ABC P -底面的三个顶点A 、B 、C 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果43=-ABC P V ，则球O 的表面积是 15、（原创）设21,F F 分别为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点P 满足：①21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形；②直线1PF 与圆22241a y x =+相切，则此双曲线的离心率为三、解答题：（共计75分）16、（13分）（原创）已知双曲线的左右焦点1F ，2F 的坐标为（-4,0）与（4,0），离心率2=e 。
重庆市2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期中试卷理科数学一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．47．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C 的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．重庆市2016-2017学年高二上学期期中试卷(理科数学)参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积．【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选C【点评】本题是基础题，考查正方体体积的应用，正方体的内切球的表面积的求法，考查计算能力．2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件直接求出方程推出离心率即可．【解答】解：椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，可得c=，解得e=．故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，求得A的坐标，即可得到AB⊥x 轴，可得|BF|=|AF|=2．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，解得x1=1，y1=±2，即有AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，运用定义法解题是关键，考查运算能力，属于基础题．7．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论．【解答】解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解．9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②【考点】命题的真假判断与应用．【专题】运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，知：①、a与b相交或a与b异面，故①错误②或α与β相交，故②错误；③，由平面与平面平行的判定定理得③正确；④或a⊂α，故④错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的定义求出|PF2|=1，结合椭圆的焦半径公式，求出P的横坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线斜率．【解答】解：在中，a2=4，b2=2，c2=a2﹣b2=4﹣2=2，则c=，a=2，e==，∵|PF1|=3|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴4|PF2|=4，则|PF2|=1，设P（x0，y0），则由|PF2|=a﹣ex0=1，得2﹣x0=1，即x0=1，得x0=，则设P（x0，y0），若P为第一象限的点，则y=，则y′=﹣，当x=时，切线斜率k=f′（）=﹣=﹣，若P为第四象限的点，则y=﹣，则y′=，当x=时，切线斜率k=f′（）==，故过点P的椭圆的切线的斜率是，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆性质的应用，根据条件的定义结合焦半径公式求出P点的横坐标，利用导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由基本不等式可得mn的值，由分类讨论去掉绝对值可得曲线，作出两个图象可得答案．【解答】解：∵1=+≥2，∴≤，mn≥8，当且仅当，即m=2，n=4时，mn取得最小值8，故曲线方程为，当x≥0，y≥0时，方程化为当x＜0，y＞0时，方程化为﹣，当x＞0，y＜0时，方程化为，当x＜0，y＜0时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线y=﹣+2与的图象，由图象可知，交点的个数为2，故选B【点评】本题考查根的存在性及判断，涉及基本不等式和圆锥曲线的知识，属中档题．12．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；再设g（x）=﹣x2+2ex，从而求导得g′（x）=﹣2（x﹣e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=﹣x2+2ex与直线y=k的图象的交点判断即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x﹣+2e的定义域为（0，+∞），令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；设g（x）=﹣x2+2ex，则g′（x）=﹣2（x﹣e）；故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；∴g（x）=﹣x2+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；故x=e时g（x）最大值为g（e）=e2+，∵函数f（x）=）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴函数y=k与g（x）只有一个交点，故结合图象可知，k=e2+，故选B．【点评】本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），由此利用待定系数法能求出双曲线C的方程．【解答】解：∵双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，∴设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），把点（1，3）代入，得：，解得λ=2，∴双曲线C的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据展开图与圆锥的对应东西解出．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，∴圆心角α==π．故答案为：π．【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图，是一道基础题．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．【考点】圆锥曲线与平面向量；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的最值问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由=4，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|===．故答案为：【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．【解答】解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故f（x）=x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈即a的取值范围【点评】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥AE．PB⊥AE，即可证明AE⊥平面PBC．（2）利用点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，求解BO即可．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC．又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又∵PA=AB，E是AB中点，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．（2）∵E是AB中点，∴点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，又∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO．∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．∴BO为点B到平面PAC的距离．∵，∴BO=1．∴．【点评】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及距离投篮能力．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）路椭圆的离心率以及焦点坐标，求出a，b，即可求解椭圆的标准方程．（2）设出A，B坐标，联立方程组，利用韦达定理以及表达式，求解弦长，通过二次函数的性质求解最值．【解答】解：（1）椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．可得：；解得b=2，椭圆的方程为：．（2）设A（x1y1），B（x2y2），由∴，∴∴当．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连接AC，CD1，推导出PQ∥CD1，由此能证明PQ∥平面D1DCC1．（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE是平行四边形，从而∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角，由此能求出异面直线CE和DP所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，CD1，∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，∴Q是AC中点，又P是AD1中点，∴PQ∥CD1，∵CD1⊂平面D1DCC1，PQ⊄平面D1DCC1，∴PQ∥平面D1DCC1．解：（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，设正方体棱长为a．∴FP，∴，∴．故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．在．∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C 的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（x1，y1），求出切线AD的方程，推出|PQ|，通过|FD|=2时，∠AFD=60°求出p=2，抛物线方程．（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为，联立直线椭圆方程组，求出P的坐标；法一：利用∠APB为锐角，数量积大于0，直线AB过（0，m），推出m的取值范围．法二：令y=kx+m，联立借助韦达定理，数量积的关系，推出【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线AD的方程为：y=，所以D（），Q（0，﹣y1）；|PQ|=，，所以|FQ|=|FA|，且D为AQ中点，所以DF⊥AQ，∵|DF|=2，∠AFD=60°，∴，得p=2，抛物线方程为x2=4y（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为由，法一：，∵∠APB为锐角，∴直线AB：将（0，m）代入的，∴m的取值范围为（1，+∞）．法二：令y=kx+m，由得x2﹣4kx﹣4m=0x1+x2=4k，x1x2=﹣4m∴∴+（2km﹣2k）（x1+x2）+4k2+4m2=4（m﹣1）k2+4m2﹣4m＞0对任意k恒成立．∴【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积的应用，考查转化思想与分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），从而令导数为0求极值点；（Ⅱ）求导f′（x）=ax﹣+1=，讨论a的取值以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，从而求导h′（x）=ae x﹣=，再令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），再求导p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求得h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），从而化恒成立问题为最值问题，再转化为+﹣2（a+1）≥0，从而可得0＜≤e，从而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），∴a=2时，f′（x）=2x﹣+1===0，∴解得x=，x=﹣1（舍）；即f（x）的极值点为x0=．（Ⅱ）f′（x）=ax﹣+1=，（1）a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；a≠0时，对二次方程ax2+x﹣1=0，△=1+4a，（2）若1+4a≤0，即a≤﹣时，ax2+x﹣1＜0，而x＞0，故f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）若1+4a＞0，即a＞﹣时，ax2+x﹣1=0的根为x1=，x2=，①若﹣＜a＜0，则＞＞0，∴当x∈（，）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0，得f（x）是增函数；当x∈（0，），（，+∞）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数．②若a＞0，＜0＜，∴当x∈（0，）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数；当x∈（，+∞）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0得f（x）是增函数．∴综上所述，a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上是增函数，在（0，），（，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，于是h′（x）=ae x﹣=．令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），则p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，即p（x）在（0，+∞）上是增函数．∵p（x）=﹣（a+1）＜0，而当x→+∞时，p（x）→+∞，∴∃x0∈（0，+∞），使得p（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，此时，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，此时，h（x）单调递增，∴h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），①由p（x0）=0可得ae x0•﹣（a+1）=0，整理得ae x0=，②代入①中，得h（x0）=+﹣2（a+1），由∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x），转化为+﹣2（a+1）≥0，③因为a＞0，③式可化为+﹣2≥0，整理得﹣x0﹣1≤0，解得﹣≤x0≤1；再由x0＞0，于是0＜x0≤1；由②可得e x0•=；令m（x0）=e x0•，则根据p（x）的单调性易得m（x0）在（0，1]是增函数，∴m（0）＜m（x0）≤m（1），即0＜≤e，解得a≥，即a的最小值为．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．。
重庆一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是(）A．53B．35C．A53D．C533．对任意的实数m,直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（)A．12 B．9 C．6 D．45．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A．m＜1 B．m＜0 C．D．6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=,则|｜•|｜=（）A．2 B．3 C．D．7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为(）A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣9608．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点,则｜PM｜﹣|PN｜的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A．576种B．504种C．288种D．252种11．已知点P（x，y）在椭圆上运动,设，则d的最小值为（）A．B． C．D．12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C:（x+1）2+（y﹣2）2=r2,若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上）13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为．14．已知，则x2+y2的最小值是．15．将编号1,2,3，4,5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球,则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16．已知双曲线C的右焦点为F,过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B,且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：2x﹣2y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．（5分）下列四条直线中，哪一条是双曲线x2﹣=1的渐近线？（）A．y=﹣x B．y=﹣x C．y=2x D．y=4x3．（5分）如图，一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成，则该几何体的表面积是（）A．7πB．8πC．10πD．π+124．（5分）设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面．其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（）A．③④B．①③C．②③D．①②5．（5分）直线l不经过坐标原点O，且与椭圆=1交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为（）A．﹣1 B．1C．D．26．（5分）已知命题p：直线y=x+2与双曲线x2﹣y2=1有且仅有一个交点；命题q：若直线l垂直于直线m，且m∥平面α，则l⊥α．下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨（￢q） B．（￢p）∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∧q7．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R使得x2+x+1＜0．则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．C．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”．D．命题“若x+y≠5，则x≠2或y≠3”是假命题．8．（5分）如下图2，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=2，∠BAC=90°．将△ACD沿AC折起，使得BD=．在三棱锥D﹣ABC的四个面中，下列关于垂直关系的叙述错误的是（）A．面ABD⊥面BCD B．面ABD⊥面ACD C．面ABC⊥面ACD D．面ABC⊥面BCD9．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，面PAB⊥面ABCD．在面PAB内的有一个动点M，记M到面PAD的距离为d．若|MC|2﹣d2=1，则动点M在面PAB内的轨迹是（）A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分10．（5分）设椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A．必在圆x2+y2=2内B．必在圆x2+y2=2上C．必在圆x2+y2=2外D．以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上.11．（5分）过点P（3，1）向圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0作一条切线，切点为A，则切线段PA的长为．12．（5分）已知椭圆+=1上一点P到它的右准线的距离是10，则P点到它的左焦点的距离是．13．（5分）一个几何体的三视图如图，则这个几何体的体积为．14．（5分）半径为5的球内包含有一个圆台，圆台的上、下两个底面都是球的截面圆，半径分别为3和4．则该圆台体积的最大值为．15．（5分）椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈，则椭圆的离心率的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（13分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．17．（13分）已知命题A：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣（a+1）t+a＜0成立．（1）若命题A为真，求实数t的取值范围；（2）若命题B是命题A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．18．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G．（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1G．19．（12分）如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q．现将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AQ与A1P，求四面体AA1QP的体积；（3）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）21．（12分）如图，已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1），设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A 作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．（1）当r在（1，+∞）内变化时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知定点P（﹣1，1）和Q（1，0），设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M1、M2．求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M1、M2都存在且M1≠M2，则直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点．重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线l：2x﹣2y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：化直线的方程为斜截式，可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．解答：解：直线l：2x﹣2y+1=0的方程可化为y=x+，∴直线l的斜率为1，设倾斜角为α，∴tanα=1，∴倾斜角α为45°故选：B点评：本题考查直线的一般式方程，涉及直线的斜率和倾斜角，属基础题．2．（5分）下列四条直线中，哪一条是双曲线x2﹣=1的渐近线？（）A．y=﹣x B．y=﹣x C．y=2x D．y=4x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线，注意将方程右边的1换为0，即可得到渐近线，再判断选项．解答：解：双曲线x2﹣=1的渐近线为：x2﹣=0，即为y=±2x．，，，，点评：本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（13分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为，求m的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由离心率为，实轴长为2．可得，2a=2，再利用b2=c2﹣a2=2即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），与双曲线的联立可得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，利用根与系数的关系可得|AB|===4，即可得出．解答：解：（1）由离心率为，实轴长为2．∴，2a=2，解得a=1，，∴b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲线C的方程为=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，△＞0，化为m2+1＞0．∴x1+x2=2m，．∴|AB|===4，化为m2=1，解得m=±1．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（13分）已知命题A：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题B：实数t使得不等式t2﹣（a+1）t+a＜0成立．（1）若命题A为真，求实数t的取值范围；（2）若命题B是命题A的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：椭圆的简单性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；集合．分析：（1）首先利用焦点在y轴上的椭圆建立不等式，进一步求得结果．（2）首先命题B是命题A的必要不充分条件，所以根据（1）的结论即1＜t＜3是不等式t2﹣（a+1）t+a＜0解集的真子集，进一步求出参数的范围．解答：解：（1）已知方程=1表示焦点在y轴上的椭圆，则：5﹣t＞t﹣1＞0，解得：1＜t＜3；（2）命题B是命题A的必要不充分条件，即1＜t＜3是不等式t2﹣（a+1）t+a＜0解集的真子集．由于t2﹣（a+1）t+a=0的两根为1和t，故只需a＞3即可．点评：本题考查的知识要点：焦点在y轴上的椭圆满足的条件，四种条件和集合的关系．参数的应用．18．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，E，F，G分别是AA1，AC，BB1的中点，且CG⊥C1G．（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1G．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；综合题．分析：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG，要证CG∥平面BEF，只需证明直线CG平行平面BEF内的直线DF即可；（Ⅱ）要证平面BEF⊥平面A1C1G，只需证明平面BEF的直线DF，垂直平面A1C1G内的两条相交直线A1C1、C1G，即可证明DF⊥平面A1C1G，从而证明平面BEF⊥平面A1C1G解答：证明：（Ⅰ）连接AG交BE于D，连接DF，EG．∵E，G分别是AA1，BB1的中点，∴AE∥BG且AE=BG，∴四边形AEGB是矩形．∴D是AG的中点（3分）又∵F是AC的中点，∴DF∥CG（5分）则由DF⊂面BEF，CG⊄面BEF，得CG∥面BEF（7分）（注：利用面面平行来证明的，类似给分）（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC﹣AB1C1中，C1C⊥地面A1B1C1，∴C1C⊥A1C1．又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°，即C1B1⊥A1C1，∴A1C1⊥面B1C1CB（9分）而CG⊂面B1C1CB，∴A1C1⊥CG（11分）又CG⊥C1G，由（Ⅰ）DF∥CG，∴A1C1⊥DF，DF⊥C1G∴DF⊥平面A1C1G（13分）∵DF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面A1C1G．（14分）点评：本题考查直线与平面的平行的判定平面与平面垂直的判定，开心逻辑思维能力空间想象能力，是中档题．19．（12分）如图（1）所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，点B、C在线段AA′上，且AB=3，BC=4．作BB1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点B1、P；作CC1∥AA1，分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q．现将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图（2）所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1．（1）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求证：AP⊥BC；（2）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AQ与A1P，求四面体AA1QP的体积；（3）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，求直线PQ与直线AC所成角的余弦值．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由勾股定理逆定理，可得BC⊥AB，再由线面垂直的判定定理和性质定理，即可得证；（2）求出三角形APA1的面积和Q到面APA1距离，运用棱锥的体积公式，即可得到；（3）以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出向量AC，PQ的坐标，由向量的夹角公式，即可得到．解答：（1）证明：因为AB=3，BC=4，所以图（2）中AC=5，从而有AC2=AB2+BC2，即BC⊥AB．又因为BC⊥BB1，所以BC⊥平面ABB1A1，则AP⊥BC；（2）解：，由于CQ∥面APA1且BC⊥面APA1，所以Q到面APA1距离就是BC的长4，所以；（3）解：以BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，则A（3，0，0）、C（0，4，0）、P（0，0，3）、Q（0，4，7）．所以=（﹣3，4，0），=（0，4，4），设直线AC与直线PQ所成角为θ，则cosθ===．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行和垂直的判定和性质定理及运用，考查棱锥的体积公式，以及异面直线所成的角的求法，注意运用坐标法解决，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点B恰好是抛物线x2=4y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于M，N两点，那么椭圆C的右焦点F是否可以成为△BMN的垂心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．（注：垂心是三角形三条高线的交点）考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）抛物线x2=4y的焦点为（0，1），可得c=1．再利用，即可得出．（2）利用三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系可得直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可得出．解答：解：（1）设椭圆方程为，抛物线x2=4y的焦点为（0，1），由，∴椭圆方程为．（2）假设存在直线l，使得点F是△BMN的垂心．易知直线BF的斜率为﹣1，从而直线l的斜率为1．设直线的方程为y=x+m，代入椭圆方程并整理，可得3x2+4mx+2（m2﹣1）=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．于是=（1﹣x2）x1﹣y2（y1﹣1）=x1+y2﹣x1x2﹣y1y2=x1+x2+m﹣x1x2﹣（x1+m）（x2+m）=﹣2x1x2+（1﹣m）（x1+x2）+m﹣m2=++m﹣m2=0，解之得m=1或m=﹣．当m=1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意；当m=﹣时，经检验符合题意．∴当且仅当直线l的方程为y=x﹣时，点F是△BMN的垂心．点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）如图，已知圆C：（x﹣1）2+y2=r2（r＞1），设A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A 作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在y轴上．（1）当r在（1，+∞）内变化时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知定点P（﹣1，1）和Q（1，0），设直线PM、QM与轨迹E的另一个交点分别是M1、M2．求证：当M点在轨迹E上变动时，只要M1、M2都存在且M1≠M2，则直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点．考点：圆锥曲线的轨迹问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设M（x，y），则AM的中点．利用CD⊥DM，建立方程，由此能求出点M的轨迹E的方程．（2）设M，M1，M2的坐标分别为，其中．由P，M，M1共线得；由Q，M，M2共线得，可得t1t2=﹣，t1+t2=，求出直线M1M2的方程，即可得出结论．解答：解：（1）设M（x，y），则AM的中点．因为C（1，0），=（1，﹣），=（x，）在⊙C中，因为CD⊥DM，所以．所以，点M的轨迹E的方程为：y2=4x（x≠0）．（2）设M，M1，M2的坐标分别为，其中．由P，M，M1共线得；由Q，M，M2共线得．∴t1t2=﹣，t1+t2=∴直线M1M2的方程为（t1+t2）y﹣2x﹣2t1t2=0，即t2（y﹣4x）+2t（x+1）+（y+4）=0，∴，∴x=﹣1，y=﹣4，∴直线M1M2恒过一个定点（﹣1，﹣4）．点评：本题考查轨迹方程，考查直线过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
重庆市第一中学2016届高三数学上学期期中试题理
重庆一中高2016级2015—2016学年度上学期半期考试数 学 试 题 卷（理科）2015.11数学试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合()()(){}2,12,,log 23A B x x =-∞-+∞=+≤，则A B =（ ）A 、()2,6B 、()(],12,6-∞-C 、()(]2,12,6--D 、(]3,62、已知复数1z i =-（i 是虚数单位），则22z z-的共轭．．复数是（ ） A 、13i -B 、13i +C 、13i -+D 、13i --3、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线25y x =+平行，则双曲线的离心率等于（ ）A 、2BC 、5D4、已知倾斜角为θ的直线l ，与直线:310m x y -+=垂直，则22sin23sin cos θθθ=-（ ） A 、133B 、1013-C 、313-D 、10135、已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦是（ ）A 、5B 、15C 、5-D 、15-6、要得到函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的导函数()'f x 的图象，只需将()f x 的图象（ ）A 、向右平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变） B 、向右平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C 、向左平移2π个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）D 、向左平移4π个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）7、对于函数()tan 2f x x =，下列选项中正确的是（ ） A 、()f x 在,24ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上是递增的B 、()f x 在定义域上单调递增C 、()f x 的最小正周期为πD 、()f x 的所有对称中心为,04k π⎛⎫⎪⎝⎭8、已知0,0a b >>满足1a b +=，则19a b+的最小值为（ ） A 、12B 、16C 、20D 、259、已知1cos ,0,632ππαα⎛⎫⎡⎤+=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，那么cos α等于（ ）A B C D 10、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（ ）A 、2BC 、D 、11、定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数()f x ，()'f x 是它的导函数，且恒有()()sin 'cos x f x x f x ⋅>⋅成立，则（ ）A 64f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 264f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12、O 是坐标原点，点()1,1A -；点(),P x y 为平面区域0201x x y y kx ≥⎧⎪-≤⎨⎪≤+⎩上的一个动点，函数()()f OP OA R λλλ=-∈的最小值为M ，若M ≤则k 的取值范围是 ） A 、1k ≤B 、11k -≤≤C 、03k ≤≤D 、13k k ≤≥或第II 卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2016-2017学年重庆市重庆一中高二下学期期中考试数学(理科) 试题(解析版)
2016-2017学年重庆市重庆一中高二下学期期中考试数学（理科） 试题一、选择题1．若复数满足()()125z i i --=，其中是虚数单位，则z 的值为（ ） A. 2B.C.D. 【答案】A【解析】由题意可得： ()512122iz i i i i-==+=-+-， 则: 2,2z i z ==. 本题选择A 选项.2．随机变量()29,X N σ~, (6)0.2P X <=,则(912)P X <<=（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.4987D. 0.9974 【答案】A【解析】由题意可得该正态分布图象的对称轴为9x =, 利用对称性，则10.22(912)0.32P X -⨯<<==. 本题选择A 选项.3．已知141123+=+， 1131121232++=+++， 111811212312345+++=++++++,…., 若11111211212312341237n +++++=++++++++++ , 则n =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】()1211212311n n n n n ⎛⎫==⨯- ⎪++++++⎝⎭,则：1111112123123412311111111122222334451111221nn n n +++++++++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+⨯- ⎪+⎝⎭从而有方程： 111212217n ⎛⎫+⨯-= ⎪+⎝⎭，解得： 6n =. 本题选择B 选项.4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则在齐王的马获胜的条件下，齐王的上等马获胜的概率为（ ） A.23 B. 12 C. 13D. 1 【答案】B【解析】设齐王的三匹马分别记为123,,a a a ,田忌的三匹马分别记为123,,b b b ， 齐王与田忌赛马，其情况有：()()()()()()()()()111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a b a b a b a b a b a b a b a b 共9种，其中齐王的马获胜的情形有6种，齐王的上等马获胜的情形有3中 则齐王获胜的概率为： 3162p ==. 本题选择B 选项. 5．若曲线21y=ln 22a x x x ++的切线斜率都是正数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. [)1,+∞ C. ()0,+∞ D. [)0,+∞ 【答案】D【解析】满足题意时： 22'20a x x ay x x x++=++=>在定义域()0,+∞上恒成立， 即： 22a x x >--在定义域()0,+∞上恒成立，二次函数()22,0x x --∈-∞，由恒成立的条件可得实数的取值范围是 [)0,+∞.本题选择D 选项.6．对某校高二年级某班63名同学，在一次期末考试中的英语成绩作统计，得到如下的列联表：附： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参照附表，得到的正确结论是（ ）A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”C. 没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关” 【答案】C【解析】由题意计算可得：()2263121911210.0006 2.70623403033k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，则没有90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”. 本题选择C 选项.7．设,x y 满足约束条件20{103x y x y x +-≥-+≥≤，若z m x y =+的最小值为3-，则m 的值为（ ）A. 9-B. 73-C. 23-D. 23【答案】C【解析】结合不等式组表示的可行域，分类讨论： (1)当0m ->时，有： 313m -=-，解得： 23m =-； (2)当0m -<时， 131,322m m -≤-+=-，此时不合题意，舍去. 综上可得， 23m =-. 本题选择C 选项. 点睛：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）以下正确命题的个数为（）①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③ 函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A .B .C .D .2. （2分）下列结论中，正确的是（）①命题“如果p2+q2=2，则”的逆否命题是“如果p+q>2，则”；②已知a,b,c为非零的平面向量．甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③p:y=ax(a>0)且是周期函数，q:y=sinx是周期函数，则是真命题；④命题p:的否定是：．A . ①②B . ①④C . ①②④D . ①③④3. （2分） (2017高一下·扶余期末) 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 以上均有可能4. （2分） (2019高二上·德惠期中) “k＞9”是“方程表示双曲线”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高一下·赣州期中) 下列命题正确的是（）A . 单位向量都相等B . 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C . | + |=| ﹣ |，则• =0D . 若与是单位向量，则• =16. （2分）已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）A . 若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥βB . 若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥βC . 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD . 若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β7. （2分）给出下列命题，其中错误命题的个数为（）（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A . 圆台B . 圆柱C . 圆锥D . 球10. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A . 0B .C .D .11. （2分）若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小（）A . 相等B . 互补C . 相等或互补D . 无法确定12. （2分）(2017·番禺模拟) 三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A . 48πB . 32πC . 12πD . 8π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018高二下·邗江期中) 若向量，满足条件，则 ________.14. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“ 作品获得一等奖”；丙说：“ ，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．15. （1分）已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱柱D﹣ABC的体积________16. （1分）(2020·漳州模拟) 已知正方体的棱长为4，点P是的中点，点M在侧面内，若，则面积的最小值为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知命题p：方程x2﹣mx+1=0有实数解，命题q：函数f（x）=log2（x2﹣2x+m）的定义域为R，若命题p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．18. （5分） (2015高二上·福建期末) 已知命题P：方程表示双曲线；命题q：1﹣m＜t＜1+m（m＞0），若￢p是￢q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．19. （10分） (2016高三上·上海模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．20. （10分）(2020·海安模拟) 在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O 上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.21. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB= ，PA=PD，点E为CD边的中点，BD⊥PE．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD= ，四棱锥P﹣ABCD的体积为2，求点A到平面PBE的距离．22. （10分） (2017高二下·大名期中) 如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1）证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
重庆一中2014-2015学年高二上学期期中考试 数学理
俯视图侧视图正视图2014年重庆一中高2016级高二上期半期考试数学试题卷（理科）2014.11.数学试题共4页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0122:=+-yxl的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°2.下列四条直线中, 哪一条是双曲线1422=-yx的渐近线?( )A.xy21-= B.xy41-=C.xy2= D.xy4=3.如图1,一个几何体的三视图是由两个矩形和一个圆所组成,则该几何体的表面积是( )A.π7B.π8C.π10 D.12+π(图1)4.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③x、y是平面，z是直线；④x、y、z均为平面。
其中能使“yxzyzx//⇒⊥⊥且”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②5.直线l不经过坐标原点O, 且与椭圆1222=+yx交于A、B两点，M是线段AB的中点．那么,直线AB与直线OM的斜率之积为( )B CA.1-B.1C.21-D.26.已知命题:p 直线2+=x y 与双曲线122=-y x 有且仅有一个交点；命题:q 若直线l 垂直于直线m ,且,//α平面m 则α⊥l . 下列命题中为真命题的是( ) A.()()p q ⌝∨⌝B.()p q ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.p q ∧7.下列有关命题的说法错误．．的是 ( ) A.对于命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<. 则⌝p ：x R ∀∈， 均有210x x ++≥. B.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C.命题“若12=x , 则1=x ”的否命题为：“若12≠x ,则1≠x ”.D.命题“若5≠+y x ，则32≠≠y x 或”是假命题.8.(原创)如下图2, 在平行四边形ABCD 中, AD=2AB=2, ∠BAC=90°. 将△ACD 沿AC 折起, 使得BD=5. 在三棱锥D-ABC 的四个面中,下列关于垂直关系的叙述错误．．的是( ) A.面ABD ⊥面BCD B.面ABD ⊥面ACD C.面ABC ⊥面ACD D.面ABC ⊥面BCD(图2) (图3)9.(原创)如上图3, 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形, 面PA B ⊥面ABCD. 在面PAB 内的有一个动点M, 记M 到面PAD 的距离为d . 若1||22=-d MC , 则动点M 在面PAB 内的轨迹是( )A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分10.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12e =,右焦点为F （c, 0），方程20ax bx c +-=的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1, x 2)的位置( )俯视图侧视图A.必在圆222x y +=内B.必在圆222x y +=上C.必在圆222x y +=外D.以上三种情形都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上. 11.过点P(3,1)向圆012222=+--+y x y x 作一条切线, 切点为A, 则切线段PA 的长为.12.椭圆1002x +362y =1上一点P 到它的右准线的距离是10,那么P 点到左焦点的距离是 .13.一个几何体的三视图如图4, 则这个几何体的体积为 . 14.半径为5的球内包含有一个圆台, 圆台的上、下两个底面都是 球的截面圆, 半径分别为3和4. 则该圆台体积的最大值为 .15.(原创)设A 为椭圆12222=+by a x (0>>b a )上一点, 点A 关于原点的对称点为B, F 为椭圆的右焦点, 且AF ⊥BF. 若∠ABF ∈12π,4π22,3616.解：(1)由题意，解得1,a c ==，∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)⎪⎩⎪⎨⎧=---⇒=-+=022122222m mx x yx m x y ,由弦长公式得1)2(4422422±=⇒++⋅=m m m .17.解：(1)由条件知31015<<⇒>->-t t t ;(2)B 是A 的必要不充分条件, ∴31<<t 是0)1(2<++-a t a t 解集的真子集.因方程0)1(2=++-a t a t 两根为a 和1, 故只需3>a .18.证明：(1)法1：连结A 1C ，由A 1C//EF 且A 1G//EB 可知面A 1CG//面EFB ，所以CG//面BEF.法2：连结AG 交BE 于点H ，再连结FH ，在△ACG 中，FH 是中位线，所以FH//CG ，则CG//面BEF 。
重庆市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题-文
2015年重庆一中高2017级高二上期半期考试数 学 试 题 卷（文科）201一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合{}|12A x x =-<<, {}|03B x x =<<, 则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,32. 已知(1,1)a =-，(1,2)b =-，则2()a b -=A ．5B ．0C ．1D ．33. 已知抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p 的值为( ） A ．2 B ．2- C ．4- D ．44. 已知圆221:4410C x y x y +---=，圆222:2880C x y x y +++-=，圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A. 外切B. 相离C. 相交D. 内切5. 设椭圆C 的两个焦点分别为1F 、2F ，若C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则C 的离心率等于（ ）A.12B. 23C.34D. 356. 设公比1q >的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且352620,64a a a a +==，则5S =（ ）A. 31B. 36C. 42D. 487. 与双曲线2241y x -=共渐近线, 且过点(3的双曲线的标准方程为 ( )A. 2214x y -= B. 2214y x -= C. 2214y x -= D. 2214x y -=8. 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是( )A. 7-B. 6-C. 5-D. 3-(原创)9. 已知()(cos )()xg x e x a a R =+∈是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A. [2,)+∞B. (2,)+∞C. [2,)+∞D. 2,)+∞10. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点, 它们到直线2-=x 的距离之和等于5, 则这样的直线（ ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在11. 已知双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F ，双曲线的离心率为e ，若双曲线上一点P 使2112sin sin PF F e PF F ∠=∠，Q 点为直线1PF 上的一点，且13PQ QF =，则221F Q F F ⋅的值为（ ）A ．225 B．2C ．52D．2(原创)12. 设()f x 是定义在R 上的导函数恒大于零的函数, 且满足()1()f x x f x +<', 则()y f x =的零点个数为（ ）A. 1B. 0C. 2D. 0或2二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上） 13. 已知3tan 4θ=-，(,)2πθπ∈，则sin θ=________.14. 已知过点(2,3)A -, (1,)B m 的直线与直线240x y +-=垂直, 则m =_________.(原创)15. 已知椭圆方程为221259x y +=，129,,,a a a 是该椭圆的过焦点的其中9条弦的长度，若数列129,,,a a a 是等差数列，则数列129,,,a a a 的公差的最大值为 ___________.(原创)16. 已知关于x 的方程(0,)xe ax b a b R =+>∈有相等根，则a b +的最大值为_____.三、解答题（共6个小题, 共70分） 17. （本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边为c b a ,,，且cos()2cos 3A A π-=.(1) 求A 的值； (2) 若ABC ∆的面积22S c =，求C sin 的值.(原创)18.（本题满分12分）已知函数32()22f x x ax =++在1x =时取得极值. (1) 求a ； (2) 求()f x 在1[,2]2-上的最值.19.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过双曲线221254x y -=的右顶点且离心率为35. (1) 求C 的方程；(2) 求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标.20.（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足1371,18a a a =+=. (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 若12n n n c a -=，求数列{}n c 的前n 项和n T .(原创)21. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，第一象限内的动点(,)P x y 满足： ①与点(1,1)A 、点(1,1)B --连线斜率互为相反数；②52x y +<. (1) 求动点P 的轨迹1C 的方程;(2) 若存在直线m 与1C 和椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>均相切于同一点，求椭圆2C 离心率e 的取值范围.(原创)22.（本题满分12分）已知函数()()ln (0,)f x x ax b x a b R =+-≥∈. (1) 求)(x f 的单调区间;(2) 若2b a =-，且不存在),0(0+∞∈x ，使得0)(0≤x f 成立，求a 的取值范围.20．（12分）解：21．（12分）解：22．（12分）解：2015年重庆一中高2017级高二上期半期考试数 学 答 案（文科）201一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-6: A A D C A A 7-12: D B C D A B二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上） 13.3514. 72-15.4516. e三、解答题：17. （本题满分10分） 解：（1）由cos()2cos ,3A A π-=得cos cossin sin2cos ,33A A A ππ+=1cos 2cos ,2A A A ∴=3cos A A =∴tan A =∵0A π<< ∴3A π=；（2）由21sin 222S bc A c b c ==⇒=由余弦定理：2222cos a b c bc A a =+-⇒=，所以ABC ∆为直角三角形易得1sin 2C =18.（本题满分12分）解：（1）2()62f x x ax '=+,由题意得(1)03f a '=⇒=-； （2）由（1）()6(1)f x x x '=-，令()00f x x '=⇒=或1x = 当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化情况如下表： x 1(,0)2- 0 (0,1) 1 (1,2) f′（x ） +- 0+ f （x ） ↗2↘1↗1()12f -=,(0)2f =,(1)1f =,(2)6f =所以max ()6f x =，min ()1f x =19.（本题满分12分）解:（1）易得 C 的方程为2212516x y += （ Ⅱ）法一：点差法可得：416525x y =-中中，又0453y x -=-中中， 所以中点为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭法二：过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与Ｃ的交点为Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ，将直线方程()435y x =-代入Ｃ的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得13412x -=，23412x +=，∴ AB 的中点坐标12322x x x +==，()1212266255y y y x x +==+-=-， 即中点为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭。
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2016年重庆一中高二理科上学期数学期中考试试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1.直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2.个班分别从个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是
A. B. C. D.
3.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是
A.相切
C.相交且直线不过圆心B.相交且直线过圆心
D.相离
4.已知椭圆方程为的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线交椭圆于，两
点，则的周长为
A. B. C. D.
5.若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为
A. 6.设椭圆
A. 7.在
B. C. D.
的左右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则
B. C. D.
的二项展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则的二项
展开式中的常数项为
A. B. C. D.
8.已知棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是
A. B. C. D.
9.是双曲线的右支上一点，，分别是圆和
上的点，则的最大值为
A. B. C. D.
10.个男生个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有
A.种
11.已知点在椭圆B.种 C.种 D.种
上运动，设，则的最小值为
A. B. C. D.
12.已知直线与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆，若直线和圆
相切，且满足条件的直线恰好有三条，则圆的半径的取值集合为
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13.抛物线的焦点到准线的距离为．
14.已知则的最小值是．
15.将编号，，，，的小球放入编号，，，，的盒子中，每个盒子放一个小球，则至
多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．
16.已知双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线交于不同两点，，且，两点间的
距离恰好等于焦距，若这样的直线有且仅有两条，则双曲线的离心率的取值范围为．
三、解答题（共6小题；共78分）
17.中，点，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求边上的中线的长度．
18.已知．
（1）求；
（2）求．
19.已知过点的直线和圆交于，两点．
（1）若点恰好为线段的中点，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程．
20.设是圆上的动点，点是在轴上投影，为线段上一点，且
．
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点且斜率为的直线交轨迹于，两点，若点，求的面积．
21.已知直线和直线，若抛物线上的点到直线
和直线的距离之和的最小值为．
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．
22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，动点在椭圆上运动，
的最大值为，且点到的距离的最小值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆有且仅有一个交点，且切圆（其中）于点，求，两点间的距离的最大值；
（3）当过点的动直线与椭圆相交于两不同点，，在线段上取一点，满足
，求证：点在定直线上．
答案
第一部分
1.D【解析】将已知直线化为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为
．
2.A【解析】因为共个班，每班从个风景点中选择一处游览，所以每班都有种选择，所以不
同的选法共有．
3.C【解析】对任意的实数，直线恒过点，且斜率存在，因为在圆
内，圆心坐标不满足，所以直线不经过圆的圆心，所以对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是相交但直线不过圆心．
4.A【解析】椭圆方程为，焦点在轴上，，，，
由椭圆的定义可知：，，
则的周长为，
所以的周长为．
5.B
【解析】因为曲线表示焦点在轴上的双曲线，
所以将曲线化成标准方程，得，
由此可得且，解得．
6.C【解析】椭圆中，，，可得，焦距．
设，，
根据椭圆的定义，可得，平方得
中，根据余弦定理得：，
即
因为，所以，
代入并整理，可得
用减去，可得，解得，即．
7.B【解析】在的二项展开式中，若只有第项的二项式系数最大，则，
则的二项展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为．
8.C【解析】水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为；
当正视图为对角面时，其面积最大为．
因此满足棱长为的正方体的俯视图是一个面积为的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．
因此可知：A，B，D皆有可能，而，故C不可能．
9.D【解析】双曲线，如图：
因为，，，
所以，，
因为，，
所以和，
因为，
所以，，
所以，
所以，．
10.B
【解析】个男生个女生站成一排，把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，
剩余个男生与个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法，
有种不同的站法；
现在有个位置把男生甲与女生乙放入，符合条件的是：
．
11.B【解析】椭圆焦点在轴上，由点在椭圆上，
设，则设
当，时，
的最小值为，
的最小值．
12.D【解析】由题意，时，直线过原点，方程，与轴垂直，另外一条与圆相切；斜率为，与圆相切，有两条，符合题意，排除B，
时，直线过原点，方程，与轴垂直，另外一条与圆相切；斜率为，与圆相切，有两条，符合题意，排除A，C．
第二部分
13.
【解析】抛物线的焦点到准线的距离为，由标准方程可得．
14.
【解析】由画出可行域（如图），得交点，，而表示点
到原点距离的平方，
所以当点为点时，最小，且最小值是．
15.
【解析】个球全排列为种情况，
个球的编号与盒子的相同，先选出个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，另外
个球，有种不同的放法，故种情况，个球的编号与盒子的相同，有种不同的放法，故至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种不同的放法．
16.
【解析】当，均在右支上，可得
即有，即，
即为，
，
解得，
当，在左右两支上，可得，
即有．
第三部分
17.（1）由斜率公式易知，
所以边上的高所在的直线的斜率，
又边上的高所在的直线过点，
代入点斜式方程易得，整理，得：．
（2）由，得到边的中点坐标是，
故中线长．
18.（1）分析项的构成，知：．
（2）原式，令，得，
令，得，
令，得
从而原式．
19.（1）易知圆心为原点，由已知，
所以，
而，解出，
由点斜式可得直线的方程为：．
（2）当直线的斜率不存在时，刚好满足，此时直线方程为，若直线斜率存在，设为，
整理为，
由垂径定理，可得圆心到直线的距离，
所以，解出，
此时直线的方程为，
综上可知满足条件的直线方程为：或者．
20.（1）设的坐标为，的坐标为，
由，解得：
因为在圆上，
所以，即，整理得．
（2）直线，代入的方程，整理得：，
所以由韦达定理可知：，，
所以线段的长度为
点到的距离为，故，．
21.（1）
抛物线焦点在轴上，焦点，
由抛物线的定义知：到直线的距离等于到焦点的距离，
所以到两直线的距离之和的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式可知：，解得：，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，的中点为，
关于直线对称，故可设直线．
整理得：．
由韦达定理可知：，则，
所以．
因为点在上，则．
即．
又与抛物线有两个不同的交点，故．
将代入上式得：，即，
恒成立，所以解得：，
故的取值范围为．
22.（1）由于
，
所以的最大值为，
当时取等号，
由已知可得，即，
又，，
所以，
故椭圆的方程为．
（2）设，分别为直线与椭圆和圆的切点，设直线的方程为，因为既在椭圆上，又在直线上，从而有
消得，
由于直线与椭圆相切，故，
从而可得且
由消得，
由于直线与圆相切，得且
由得，
故
即，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为．
（3）设，，的坐标分别为，，，由题设知，，，均不为零，记，则，且，
又，，，四点共线，
则，，
于是且
从而
又，在椭圆上，
则
消去，，，得，
即点在定直线上．。