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第二章第1讲函数的概念及其表示-2025年高考数学备考

第二章函数第1讲函数的概念及其表示课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.2.了解简单的分段函数，并能简单应用.求函数的定义域2022北京T11本讲是函数部分的基础，命题热点为分段函数的求值、含参和解不等式问题，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏易.在2025年高考的备考中，要掌握函数的三要素和以分段函数为载体的有关应用.求函数的解析式分段函数2022浙江T14；2021浙江T12学生用书P0181.函数的概念及表示函数的定义一般地，设A ，B 是①非空的实数集，如果对于集合A 中的②任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有③唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f （x ），x ∈A .三要素④定义域，⑤对应关系，⑥值域.定义域自变量x 的取值范围A .值域函数值的集合{f （x ）｜x ∈A }，是集合B 的⑦子集.相等函数⑧定义域相同，⑨对应关系完全一致.函数的表示法⑩解析法，⑪列表法，⑫图象法.注意（1）与x 轴垂直的直线和函数图象最多有一个交点；（2）解决函数问题时，优先考虑定义域.常用结论求函数的定义域时常用的结论（1）分式型1（）要满足f （x ）≠0；（2）偶次根式型2（）（n ∈N *）要满足f （x ）≥0；（3）[f （x ）]0要满足f （x ）≠0；（4）对数型log a f （x ）（a ＞0，且a ≠1）要满足f（x）＞0；（5）正切型tan f（x）要满足f（x）≠π2＋kπ，k∈Z.2.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.注意（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数；（2）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集.1.下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（B）A.f（x）＝2－1与g（x）＝－1·+1B.f（x）＝x与g（x）＝3＋2+1C.f（x）＝x与g（x）＝（）2D.f（x）＝2与g（x）＝332.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是（D）A.y＝xB.y＝lg xC.y＝2xD.y3.[教材改编]已知函数f（x 1，≤1，>1，则f（f（－2））＝（B）A.8B.12C.－34D.－109解析因为f（x）1，≤1，>1，所以f（－2）＝（－2）2－1＝3，所以f（f（－2））＝f（3）＝13－1＝12，故选B.4.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为{－1，1，3，5，7}.学生用书P019命题点1求函数的定义域例1（1）[2022北京高考]函数f（x）＝1＋1－的定义域是（－∞，0）∪（0，1].解析因为f（x）＝1＋1－，所以x≠0，1－x≥0，解得x∈（－∞，0）∪（0，1].（2）若函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，则函数f（x）的定义域为[－3，3].解析因为函数f（1－2x）的定义域为[－1，2]，所以－1≤x≤2，所以－3≤1－2x≤3.所以函数f（x）的定义域为[－3，3].命题拓展若函数f（x）的定义域为[－1，2]，则函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].解析由－1≤1－2x≤2，得－12≤x≤1，所以函数f（1－2x）的定义域为[－12，1].方法技巧1.求具体函数的定义域的策略根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义.2.求抽象函数的定义域的策略（1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域由不等式a≤g（x）≤b求出；（2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在[a，b]上的值域.注意无论函数的形式如何，定义域均是指其中的自变量x的取值集合.训练1（1）[2024浙江省宁波市余姚中学一检]已知函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，则函数y＝（2r1）r1的定义域是（A）A.[－32，－1）∪（－1，1]B.[－3，－1）∪（－1，7]C.（－1，7]D.[－32，－1）解析因为函数y＝f（x）的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x＋1≤3，且x＋1≠0，解得x∈[－32，－1）∪（－1，1].故选A.（2）[2024江苏省镇江市丹阳市模拟]函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.解析要使函数f（x）＝3－2＋（x－4）0有意义，则有3－2≥0，－4≠0，解得x≥23且x≠4，所以函数f（x）＝3－2＋（x－4）0的定义域为[23，4）∪（4，＋∞）.命题点2求函数的解析式例2（1）[2024河南省内乡高中模拟]已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，则f（x）＝4x－5或－4x＋253.解析设f（x）＝kx＋b（k≠0），则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25，∴2=16，B＋＝－25，∴=4，＝－5或＝－4，＝253，∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋253.（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（1）＝3x－1，则f（x）＝2x－1－13.解析已知2f（x）＋f（1）＝3x－1①，以1代替①中的x（x≠0），得2f（1）＋f（x）＝3－1②，①×2－②，得3f（x）＝6x－3－1，故f（x）＝2x－1－13.方法技巧求函数解析式的常用方法（1）待定系数法：若已知函数类型（如一次函数、二次函数等），则可用待定系数法求解.（2）换元法：若已知复合函数f（g（x））的解析式求解函数f（x）的解析式，可令g（x）＝t，解出x，然后代入f（g（x））中即可求得f（t），从而求得f（x）.此时要注意新元的取值范围.（3）配凑法：配凑法是将函数f（g（x））的解析式配凑成关于g（x）的形式，进而求出函数f（x）的解析式.（4）构造方程组法（消元法）：若已知f（x）与f（1），f（－x）等的表达式，则可通过赋值（如令x为1，－x等）构造出另一个等式，通过解方程组求出f（x）.注意求函数解析式时，若定义域不是R，一定要注明函数定义域.训练2（1）已知f（x2＋12）＝x4＋14，则f（x）的解析式为f（x）＝x2－2，x∈[2，＋∞）.解析因为f （x 2＋12）＝（x 2＋12）2－2，所以f （x ）＝x 2－2，x ∈[2，＋∞）.（2）[2024安徽淮南模拟]已知f （x ）是二次函数，且f （x ＋1）＋f （x －1）＝2x 2－4x ＋4，则f （x ）＝x 2－2x ＋1.解析因为f （x ）是二次函数，所以设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则有a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c ＋a （x －1）2＋b （x －1）＋c ＝2x 2－4x ＋4，即2ax 2＋2bx ＋2a ＋2c ＝2x 2－4x＋4，所以2=2，2＝－4，2+2=4，所以=1，＝－2，=1，所以f （x ）＝x 2－2x ＋1.（3）[2024湖北省钟祥市第一中学模拟]已知f （x ）满足3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x ，则f （x ）的解析式为f （x ）＝4x －85.解析3f （x ）＋2f （1－x ）＝4x①，用1－x 代替①中的x 可得3f （1－x ）＋2f （x ）＝4（1－x ）②，由3×①－2×②可得f （x ）＝4x －85.命题点3分段函数角度1分段函数的求值（求参）问题例3（1）[山东高考]设f （x ）＝，0<<1，2（－1),≥1.若f （a ）＝f （a ＋1），则f （1）＝（C）A.2B.4C.6D.8解析作出f （x ）的图象，如图所示，因为a ＜a ＋1，所以要使f （a ）＝f （a ＋1），则有＝2（a ＋1－1），0＜a ＜1，所以解得a ＝14，所以f （1）＝f （4）＝6.（2）[2022浙江高考]已知函数f （x ）＝－2+2，≤1，＋1－1，>1，则f （f （12））＝3728；若当x ∈[a ，b ]时，1≤f （x ）≤3，则b －a 的最大值是3＋3.解析由题意知f （12）＝－（12）2＋2＝74，则f （f （12））＝f （74）＝74＋174－1＝74＋47－1＝3728.作出函数f （x ）的大致图象，如图所示，结合图象，令－x 2＋2＝1，解得x ＝±1；令x ＋1－1＝3，解得x ＝2±3，又x ＞1，所以x ＝2＋3.所以（b －a ）max ＝2＋3－（－1）＝3＋3.角度2分段函数的解不等式问题例4[全国卷Ⅰ]设函数f （x ）＝2－，≤0，1，>0，则满足f （x ＋1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（D）A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）C.（－1，0）D.（－∞，0）解析解法一当x ≤0时，函数f （x ）＝2－x 是减函数，则f （x ）≥f （0）＝1.作出f （x ）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f （x ＋1）＜f （2x ），则需+1<0，2<0，2＜+1或+1≥0，2<0，所以x ＜0，故选D.解法二当x ＝－12时，f （x ＋1）＝f （12）＝1，f （2x ）＝f （－1）＝2－（－1）＝2，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除A ，B ；当x ＝－1时，f （x ＋1）＝f （0）＝20＝1，f （2x ）＝f （－2）＝22＝4，满足f （x ＋1）＜f （2x ），排除C.故选D.方法技巧1.解分段函数的求值问题的思路：一般根据自变量所在区间代入相应的函数解析式求解，当出现f （f （a ））形式时，一般由内向外逐层求值.2.解分段函数的解不等式问题的思路：（1）若图象易画，可画出函数图象，数形结合求解；（2）根据分段函数的不同段分类讨论，最后取各段结果的并集.注意解得值或范围后，要注意检验其是否符合相应段的自变量的范围.训练3（1）[2024河南郑州外国语模拟]已知实数a ＜0，函数f （x ）＝2＋，<1，－－2，≥1，若f （1－a ）＝f （1＋a ），则a 的值为（A ）A.－34B.－32C.－35D.－1解析因为a＜0，所以1－a＞1，1＋a＜1.因为f（1－a）＝f（1＋a），所以－（1－a）－2a＝2（1＋a）＋a，解得a＝－34.故选A.（2）[2024四川达州外国语模拟]已知函数f（x）＝e－1，≤2，2（－2),>2，则f（7）＝8.解析由题意得f（7）＝2f（5）＝2×2f（3）＝4×2f（1）＝8e1－1＝8.（3）[2023江苏南通模拟]已知函数f（x）＝max{1－x，2x}，其中max{a，b}表示a，b中的较大者.则不等式f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.解析作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知f（x）＝1－，≤0，2，>0.当x≤0时，由1－x＞4，得x＜－3.当x＞0时，由2x＞4，得x＞2，所以f（x）＞4的解集为（－∞，－3）∪（2，＋∞）.1.[命题点1/2023黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学模拟]函数f（x－log3（1－2）的定义域是（A）A.[0，12）B.（－∞，12）C.（－∞，12]D.（－∞，1）解析由题意得1－>0，－log3（1－2）≥0，1－2>0，解得0≤x＜12，所以函数f（x）的定义域是[0，12），故选A.2.[命题点2]定义在（－1，1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.解析当x∈（－1，1）时，有2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1）①.以－x代替x得，2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1）②.由①②消去f（－x）得，f（x）＝23lg（x＋1）＋13lg（1－x），x∈（－1，1）.3.[命题点3角度1]设函数f（x，≤1，>1，则满足2f（f（a））＝f（a）的a的取值范围是（D）A.（－∞，0]B.[0，2]C.[2，＋∞）D.（－∞，0]∪[2，＋∞）解析作出f（x）的图象（图略），可得f（x）的最小值为12，令t＝f（a），则t≥12，考虑f（t）＝2的解，作出y＝f（t）与y＝2在[12，＋∞）上的图象，如图1中实线所示，由图可知，当t≥1时，f（t）＝2，故t≥1.下面考虑f（a）≥1的解集，作出y＝f（a）与y＝1的图象如图2所示，由图可得a≤0或a≥2.故选D.图1图24.[命题点3角度2/2023山东济南模拟]已知函数f（x）＝－2+2B－2，≤，－，＞，若f（a2－4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（B）A.（－1，4）B.（－∞，－1）∪（4，＋∞）C.（－4，1）D.（－∞，－4）∪（1，＋∞）解析由题意知f（x）＝－（－）2，≤，－，＞，易知函数f（x）在（m，＋∞），（－∞，m]上单调递增，且m－m＝－（m－m）2，所以函数f（x）在R上单调递增.则由f（a2－4）＞f（3a），得a2－4＞3a，解得a＞4或a＜－1，所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（4，＋∞），故选B.学生用书·练习帮P2641.函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）的定义域为（C）A.[13，1）∪（1，＋∞）B.[13，2）C.[13，1）∪（1，2）D.（0，2）解析要使函数f（x）＝3－1＋1ln（2－）有意义，则3－1≥0，2－>0，2－≠1，解得≥13，<2，≠1，故函数的定义域为[13，1）∪（1，2）.故选C.2.下列各组函数表示相同函数的是（C）A.f（x）＝2和g（x）＝（）2B.f（x）＝1和g（x）＝x0C.f（x）＝｜x｜和g（x）＝，≥0，－，<0D.f（x）＝e ln x和g（x）＝lg10x解析对于选项A，f（x）＝2＝｜x｜的定义域为R，g（x）＝（）2＝x的定义域为[0，＋∞），两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项B，f（x）＝1的定义域为R，g（x）＝x0＝1的定义域为{x｜x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是相同函数；对于选项C，f（x）＝｜x｜＝，≥0，－，＜0，函数f（x），g（x）的定义域都是R，且对应法则相同，是相同函数；对于选项D，f（x）＝e ln x的定义域为（0，＋∞），g（x）＝lg10x的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是相同函数.故选C.3.[2023重庆模拟]已知函数f（＋1）＝x＋2，则f（x）的解析式为（C）A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x2－1，x∈（1，＋∞）C.f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞）D.f（x）＝x2－1，x∈[0，＋∞）解析解法一（配凑法）f（＋1）＝x＋2＝（＋1）2－1，令t＝＋1（t≥1），则f（t）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.解法二（换元法）令t＝＋1（t≥1），则＝t－1（t≥1），f（t）＝（t－1）2＋2（t －1）＝t2－1，t∈[1，＋∞），所以f（x）＝x2－1，x∈[1，＋∞），故选C.4.已知函数f（x）＝ln，≥1，0，0≤<1，，<0，若f（2a－1）－1≤0，则实数a的取值范围是（D）A.[e+12，＋∞）B.（－∞，－12]∪[0，e+12]C.[0，e+12]D.（－∞，e+12]解析因为f（2a－1）－1≤0，所以f（2a－1）≤1.作出函数y＝f（x）及y＝1的图象，如图所示，设两函数图象交于点P，则由图可知，2a－1≤x P＝e，所以a≤e+12，即a的取值范围是（－∞，r12]，故选D.5.[2024广东名校联考]已知函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数y 的定义域是（2，5].解析由题意知0≤－1≤4，－2>0，解得2＜x≤5，即y2，5].6.[2024山东省部分学校阶段监测]已知函数f（x）＝3，≤0，l4，>0，则f（f（116））＝19.解析因为f（x）＝3，≤0，log4，>0，所以f（116）＝log4116＝－2，f（－2）＝3－2＝19，所以f（f（116））＝19.7.[2024惠州市一调]已知函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋2，则f（x）的解析式可以是f（x）＝2x（答案不唯一）.（写出满足条件的一个解析式即可）解析由f（x＋1）＝f（x）＋2知，函数f（x）的图象上移2个单位长度后得到的图象，与左移1个单位长度后得到的图象重合，f（x）＝2x＋k（其中k可取任意实数）满足要求.本题为开放题，答案可为f（x）＝2x，f（x）＝2x＋1等.8.[2024浙江名校联考]已知函数f（x）＝（12），∈（－∞，1),log4，∈（1，＋∞),则f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.解析由题意可得，f（0）＝（12）0＝1，结合指数函数y＝（12）x在定义域内单调递减可知，当x＜1时，f（x）＞1的解集为（－∞，0）；f（4）＝log44＝1，结合对数函数y＝log4x在定义域内单调递增可知，当x＞1时，f（x）＞1的解集为（4，＋∞）.所以不等式f（x）＞1的解集为（－∞，0）∪（4，＋∞）.9.[2023福建漳州联考]已知函数f（x）＝log2，>0，2+4+1，≤0，若实数a满足f（f（a））＝1，则实数a的所有取值的和为（C）A.1B.1716－5C.－1516－5D.－2解析作出y＝f（x）及y＝1的部分图象，如图所示，易得y＝f（x）与y＝1的图象有三个交点，设这三个交点分别为A，B，C，则易得x A＝－4，x B＝0，x C＝2.令f（a）＝－4，则由图可得log2a＝－4，解得a＝2－4＝116；令f（a）＝0，则由图可得a2＋4a＋1＝0或log2a＝0，解得a＝－2－3或a＝－2＋3或a＝1；令f（a）＝2，则由图可得a2＋4a＋1＝2（a≤0）或log2a＝2，解得a＝－2－5或a＝22＝4.所以实数a的所有取值的和为116＋（－2－3）＋（－2＋3）＋1＋（－2－5）＋4＝－1516－5，故选C.10.[2023西北工业大学附属中学模拟]设函数f（x）＝，0<<1，eln，≥1，若f（a）＝f（e a），则f（1）＝解析根据题意作出函数f（x）的图象，如图所示.由f（x）的定义域知，a＞0，所以e a＞1.易知y＝e x的图象与y＝x的图象无交点，所以e a≠a，所以要使f（a）＝f（e a），则0＜a＜1＜e a，所以＝e ln e a，变形可得＝e a，解得a＝1e，则f（1）＝f（e）＝e ln e＝e.11.[情境创新]德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一.函数f（x）＝1，为有理数，0，为无理数被称为狄利克雷函数，则关于函数f（x），下列说法正确的是（D）A.f（x）的定义域为{0，1}B.f（x）的值域为[0，1]C.∃x∈R，f（f（x））＝0D.对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立解析由题意知f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故A，B错误；因为f（x）＝0或f（x）＝1，所以当f（x）＝0时，f（f（x））＝f（0）＝1，当f（x）＝1时，f（f（x））＝f（1）＝1，故C错误；对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则x＋T也为有理数，则f（x）＝f（x＋T）＝1，若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f（x＋T）＝f（x）＝0，综上可得，对于任意一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故D正确.故选D.12.[探索创新/多选/2024江西名校联考]若存在M，使得f（x）≥M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中M为函数f（x）的一个下界，若存在N，使得f（x）≤N对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中N为函数f（x）的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是（ABD）A.2是y＝x＋1（x∈（2，＋∞））的一个下界B.y＝ln有上界无下界C.y＝x e x有上界无下界D.y＝cos2+1有界解析对选项A，y＝x＋1在（2，＋∞）上单调递增，故y＞2＋12＝52≥2，A正确；对选项B，y＝ln，则y'＝1－ln2，当x∈（0，e）时，y'＞0，函数单调递增，当x∈（e，＋∞）时，y'＜0，函数单调递减，故函数在x＝e时有最大值为1e，无最小值，即y≤1e恒成立，B正确；对选项C，当x趋近于＋∞时，y＝x e x趋近于＋∞，C错误；对选项D，y＝Hs2+1，则｜y｜＝｜Hs｜2+1≤12+1≤1，即－1≤y≤1恒成立，D正确.故选ABD.。

延世大学韩国语教程1练习

延世大学韩国语教程1：第一课练习연습1. 다음보기와같이쓰십시오.请仿照例子填空。

[보기]2. 다음보기와같이문장을만드십시오. 请仿照例子造句。

[보기]한국사람-한국사람입니다.1) 미국사람 2) 일본사람3) 사전 4) 아이스크림5) 친구 6) 연세대학교3. 다음보기와같이문장을만드십시오请仿照例子造句。

[보기] 책-책입니까?1) 연필 2) 공책3) 중국사람 4) 영국사람5) 학생 6) 우유 7) 숙제4. 다음단어를이용하여대화를완성하십시오. 用下列单词完成对话。

[보기]버스가: 버스입니까? 나: 예, 버스입니다.1) 남자가: 남자입니까? 나: 예,2) 의자가: 의사입니까? 나: 아니요,3) 교과서가: 교과서입니까? 나: 예,4) 사과가: 가방입니까? 나: 아니요,5. 다음질문을만드십시오.请设计问句。

1) 가:______________________________________________________________?나: 예, 책상입니다.2) 가:______________________________________________________________?나: 예, 문입니다.3) 가:______________________________________________________________?나: 아니요, 창문이아닙니다.4) 가:______________________________________________________________?나: 아니요, 의자가아닙니다.5) 가:______________________________________________________________?나: 아니요, 잡지가아닙니다.6) 가:______________________________________________________________?나: 예, 사전입니다.7) 가:______________________________________________________________?나: 예, 학생입니다.8) 가:______________________________________________________________?나: 아니요, 선생님이아닙니다.6. 다음보기와같이대답하십시오. 请仿照例子回答问题。

聚四氟乙烯性能全参数

1．聚四氟乙烯聚四氟乙烯是用于密封的氟塑料之一。

聚四氟乙烯以碳原子为骨架，氟原子对称而均匀地分布在它的周围，构成严密的屏障，使它具有非常宝贵的综合物理机械性能(表14—9)。

聚四氟乙烯对强酸、强碱、强氧化剂有很高的抗蚀性，即使温度较高，也不会发生作用，其耐腐蚀性能甚至超过玻璃、瓷、不锈钢以至金、铂，所以，素有“塑料王”之称。

除某些芳烃化合物能使聚四氟乙烯有轻微的溶胀外，对酮类、醇类等有机溶剂均有耐蚀性。

只有熔融态的碱金属及元素氟等在高温下才能对它起作用。

聚四氟乙烯的介电性能优异，绝缘强度及抗电弧性能也很突出，介质损耗角正切值很低，但抗电晕性能不好。

聚四氟乙烯不吸水、不受氧气、紫外线作用、耐候性好，在户外暴露3年，抗拉强度几乎保持不变，仅伸长率有所下降。

聚四氟乙烯薄膜与涂层由于有细孔，故能透过水和气体。

聚四氟乙烯在200℃以上，开始极微量的裂解，即使升温到结晶体熔点327℃，仍裂解很少，每小时失重为万分之二。

但加热至400℃以上热裂解速度逐渐加快，产生有毒气体，因此，聚四氟乙烯烧结温度一般控制在375～380℃。

聚四氟乙烯分子间的德华引力小，容易产生键间滑动，故聚四氟乙烯具有很低的摩擦系数及不粘性，摩擦系数在已知固体材料中是最低的。

聚四氟乙烯的导热系数小，该性能对其成型工艺及应用影响较大。

其不但导热性差，且线膨胀系数较大，加入填充剂可适当降低线膨胀系数。

在负荷下会发生蠕变现象，亦称作“冷流”，加入填充剂可减轻蠕变程度。

聚四氟乙烯可以添加不同的填充剂，选择的填充剂应基本满足下述要求：能耐380℃高温即四氟制品的烧结温度；与接触的介质不发生反应；与四氟树脂有良好的混入性；能改善四氟制品的耐磨性、冷流性、导热性及线膨胀系数等。

常用的填充剂有无碱无蜡玻璃纤维、石墨、碳纤维、MoS2、A123、CaF2、焦炭粉及各种金属粉。

如填充玻璃纤维或石墨，可提高四氟制品的耐磨、耐冷流性，填充MoS2可提高其润滑性，填充青铜、钼、镍、铝、银、钨、铁等，可改善导热性，填充聚酰亚胺或聚苯酯，可提高耐磨性，填充聚苯硫醚后能提高抗蠕变能力，保证尺寸稳定等。

成都七中初中初二半期数学试卷及解析

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【某七初期中 9】
【初二暑假.勤思班.第六讲.例题 2】
【某七初期中 11】
【初二暑假.勤思班.第三讲.例题 1（2）】
【某七初期中 13】【某七初期中 18】【某七初期中 20】
【初二暑假.勤思班.第五讲.演练 5】【初二暑假.勤思班.第四讲.例题 3】【初二秋季.勤思班.第三讲.例题 2】
题 18 方程与不等式二元一次为程组解法
8
女
19 方程与不等式
为程的应用
8
女
20 勾股定理
勾股定理与金等综合 10
2018-2019 某七初学校初二（上）数学期中
匹配度分析
考试题目
【某七初期中 1】

01.数字码序(1-3d)3077.P0241-0260.P1046汉字基本集V186

01.數字碼序(1-3d)
《永明》漢字數字編碼系統
F1 F2 F3 F4 F5 G
第241/1046頁 v186版 YBBHFZ
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9 13 4 8
4836 06B23
S#_01 TYM#H
SUN
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ZM1-3
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2025年高考数学一轮知识点复习1.5-一元二次不等式及其解法-专项训练【含答案】

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第五节一元二次不等式及其解法1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为（）A.（－2，5）B.（－∞，－2）∪（5，＋∞）C.（－5，2）D.（－∞，－5）∪（2，＋∞）2.下列不等式中解集为R的是（）A.－x2＋2x＋1≥0B.x2－25x＋5＞0C.x2＋6x＋10＞0D.2x2－3x＋4＜03.设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（）A.{x｜x＜－n或x＞m}B.{x｜－n＜x＜m}C.{x｜x＜－m或x＞n}D.{x｜－m＜x＜n}4.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（）A.（－∞，0）∪（0，12）B.（－∞，12）C.（12，＋∞）D.（0，12）5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价p（元）之间的关系为p＝160－2x，生产x 件所需成本为c（元），其中c＝500＋30x，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（）A.{x｜20≤x≤30，x∈N}B.{x｜20≤x≤45，x∈N}C.{x｜15≤x≤30，x∈N}D.{x｜15≤x≤45，x∈N}6.（多选）解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（）A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4}B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－2}C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－2＜x＜4}D.当a＝－12时，不等式的解集为⌀7.不等式2x2－3｜x｜－35＞0的解集为.8.若不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，则实数m的取值范围为.9.若不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为{x｜－12≤x≤－13}，则不等式－－3≤1的解集为.10.求下列关于x的不等式：（1）3r5－1＞x；（2）6x2＋ax－a2＜0.11.“m＜4”是“2x2－mx＋1＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（）A.（6，7]B.[－3，－2）C.[－3，－2）∪（6，7]D.[－3，7]13.若不等式x2＋ax－2＞0在[1，5]上有解，则实数a的取值范围是.14.已知a，b，c∈R，关于x的不等式bx2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞c}.（1）求b，c的值；（2）解关于x的不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0.15.已知函数f（x）＝x2－2x＋1.（1）若f（x）≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若∃x∈[1，2]，f（x）≥2成立，求实数a的取值范围.参考答案与解析1.D存在量词命题的否定是全称量词命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2”.故选D.2.B对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1时，2x＝－2，为偶数，但x∉N，故C错误；对于D，π是无理数不是全称量词命题，故D错误.故选B.3.A若m＝－3，则a＝（9，－9）＝9b，所以a∥b；若a∥b，则m2×（－1）－（－9）×1＝0，解得m＝±3，得不出m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件.故选A.4.B方程x2－4x＋4a＝0有实根，故Δ＝16－16a≥0，∴a∈（－∞，1]，函数f（x）＝（2－a）x 为增函数，故2－a＞1，∴a∈（－∞，1）.∵（－∞，1）⫋（－∞，1]，∴p是q的必要不充分条件，故选B.5.C法一因为xy≠0，且＋＝－2⇔x2＋y2＝－2xy⇔x2＋y2＋2xy＝0⇔（x＋y）2＝0⇔x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.＝－1－1＝－2.法二充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝－＋－必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即（x＋y）2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件.6.AB由2≥1得0＜x≤2，依题意由选项组成的集合是（0，2]的真子集，故选A、B.7.AD A、B选项，p的否定是“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”，q的否定是“∃x∈R，x2＋mx＋1≤0”，所以A正确，B不正确；C选项，若p为假命题，则p的否定“∀x∈R，x2－2x＋a＋6≠0”是真命题，即方程x2－2x＋a＋6＝0在实数范围内无解，Δ＝4－4（a＋6）＜0，得a＞－5，C不正确；D 选项，q为真命题，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，D正确.故选A、D.8.假解析：若直线l与平面α内的所有直线都不平行，则直线l与平面α相交，所以直线l与平面α不平行，所以命题p为真命题，所以p为假命题.9.－1（答案不唯一）解析：由于当x＞0时，x＋1≥2，当且仅当x＝1时等号成立，当x＜0时，x ＋1≤－2，当且仅当x＝－1时等号成立，所以x取负数，即可满足题意.例如x＝－1时，x＋1＝－2.10.（－∞，－2]解析：由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.11.D∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”.12.C选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C.13.ABD对于A选项，若xc2＞yc2，则c2≠0，则x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由1＜1＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出1＜1＜0（因为x，y的正负不确定），所以“1＜1＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x ＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确.14.12（12，＋∞）解析：若A是B的充要条件，则A＝B，即x＝2是方程bx＝1的解，故b＝12；若A是B的充分不必要条件，则A⫋B，易知b＞0，则B＝{x｜x＞1}，故1＜2，即b＞12，故b的取值范围是（12，＋∞）.15.（－∞，0）解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0，故实数m的取值范围是（－∞，0）.1.A由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，解得－2＜x＜5.2.C在C项中，对于方程x2＋6x＋10＝0，因为Δ＝36－40＝－4＜0，所以不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R.3.B不等式（m－x）（n＋x）＞0可化为（x－m）·（x＋n）＜0，因为m＋n＞0，所以m＞－n，所以原不等式的解集为{x｜－n＜x＜m}，故选B.4.A由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所以0＜x＜12；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0，12）.5.B设该厂每天获得的利润为y元，则y＝（160－2x）·x－（500＋30x）＝－2x2＋130x－500，0＜x＜80，x∈N.根据题意知，－2x2＋130x－500≥1300，解得20≤x≤45，x∈N.所以当20≤x≤45，x∈N 时，每天获得的利润不少于1300元，故选B.6.AD当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确.由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当<0，－2<4，即a＜－12时，不等式的解集为{x｜－2＜x＜4}；当<0，－2>4，即－12＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－2}；当a＝－12时，－2＝4，此时不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D.7.{x｜x＜－5或x＞5}解析：2x2－3｜x｜－35＞0⇔2｜x｜2－3｜x｜－35＞0⇔（｜x｜－5）（2｜x｜＋7）＞0⇔｜x｜＞5或｜x｜＜－72（舍去）⇔x＞5或x＜－5.8.（－12，12）解析：因为不等式x2＋x＋m2＜0的解集不是空集，所以Δ＞0，即1－4m2＞0，所以－12＜m＜12.9.{x｜x＞3}解析：因为不等式ax2＋5x＋1≤0的解集为{x｜－12≤x≤－13}，所以－12，－13是方程ax2＋5x＋1＝0的两根，所以a＝6，所以－－3≤1可化为－3－3≤0，解得x＞3，所以不等式－－3≤1的解集为{x｜x＞3}.10.解：（1）不等式3r5－1＞x化为以下两个不等式组－1<0，3+5<2－或－1>0，3+5>2－，由－1<0，3+5<2－，即<1，2－4－5>0，解得x＜－1，由－1>0，3+5>2－，即>1，2－4－5<0，解得1＜x＜5，所以原不等式的解集是（－∞，－1）∪（1，5）.（2）原不等式可化为（2x＋a）（3x－a）＜0，即（x＋2）·（x－3）＜0.①当－2＜3，即a＞0时，－2＜x＜3；②当－2＝3，即a＝0时，原不等式的解集为⌀；③当－2＞3，即a＜0时，3＜x＜－2.综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x｜－2＜x＜3}；当a＝0时，原不等式的解集为⌀；当a＜0时，原不等式的解集为{x｜3＜x＜－2}.11.B2x2－mx＋1＞0在x∈（1，＋∞）上恒成立，即m＜2x＋1在x∈（1，＋∞）上恒成立，2x＋1∈（3，＋∞），故m≤3，“m＜4”是“m≤3”的必要不充分条件，故选B.12.C不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有4个整数，这四个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m的取值范围为[－3，－2）∪（6，7]，故选C.13.（－235，＋∞）解析：对于方程x2＋ax－2＝0，∵Δ＝a2＋8＞0，∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f（x）＝x2＋ax－2，于是不等式x2＋ax－2＞0在[1，5]上有解的充要条件是f（5）＞0，即5a＋23＞0，解得a＞－235，故a的取值范围是（－235，＋∞）.14.解：（1）因为不等式bx2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞c}，所以x1＝1与x2＝c是方程bx2－3x＋2＝0的两个实数根，由根与系数的关系，得1+＝3，1×＝2，解得b＝1，c＝2.（2）由（1）知不等式ax2－（ac＋b）x＋bc＜0为ax2－（2a＋1）x＋2＜0，即（ax－1）（x－2）＜0.①当a＝0时，易得不等式的解集为{x｜x＞2}.②当a＜0时，不等式可化为（x－1）（x－2）＞0，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞2}.③当a＞0时，不等式可化为（x－1）（x－2）＜0，当1＞2，即0＜a＜12时，不等式的解集为{x｜2＜x＜1}，当1＝2，即a＝12时，不等式的解集为⌀，当1＜2，即a＞12时，不等式的解集为{x｜1＜x＜2}.15.解：（1）由题意得Δ＝24－4≤0，解得－4≤a≤4，∴实数a的取值范围为[－4，4].（2）由题意∃x∈[1，2]，使得2≤x－1成立.令g（x）＝x－1，x∈[1，2]，则g（x）在区间[1，2]上单调递增，∴g（x）max＝g（2）＝32，∴2≤32，解得a≤3，∴实数a的取值范围为（－∞，3].。

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。

c>bc c.若。

＞b，则。

＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。

＞b，则。

2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。

＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。

÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。

在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。

(完整word)Unicode汉字编码表

Unicode汉字编码表1 unicode编码表Unicode目前普遍采用的是UCS-2,它用两个字节来编码一个字符，比如汉字"经”的编码是0x7ECF，注意字符编码一般用十六进制来表示,为了与十进制区分,十六进制以0x开头,0x7ECF转换成十进制就是32463,UCS—2用两个字节来编码字符,两个字节就是16位二进制, 2的16次方等于65536,所以UCS-2最多能编码65536个字符。

编码从0到127的字符与ASCII编码的字符一样，比如字母"a"的Unicode 编码是0x0061,十进制是97,而”a”的ASCII编码是0x61,十进制也是97，对于汉字的编码，事实上Unicode对汉字支持不怎么好，这也是没办法的, 简体和繁体总共有六七万个汉字，而UCS—2最多能表示65536个，才六万多个，所以Unicode只能排除一些几乎不用的汉字，好在常用的简体汉字也不过七千多个,为了能表示所有汉字,Unicode也有UCS—4规范,就是用4个字节来编码字符，不过现在普遍采用的还是UCS—2，只用两个字节来编码,看一下Unicode对汉字的编码:——-------—----—--—---—--————----——————-—-—-—--——-————--—---—---——--——-—-2 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F—---—-—--—————--—-——-———————--------—---—————————---—4e00 一丁丂七丄丅丆万丈三上下丌不与丏4e10 丐丑丒专且丕世丗丘丙业丛东丝丞丟4e20 丠両丢丣两严並丧丨丩个丫丬中丮丯4e30 丰丱串丳临丵丶丷丸丹为主丼丽举丿4e40 乀乁乂乃乄久乆乇么义乊之乌乍乎乏4e50 乐乑乒乓乔乕乖乗乘乙乚乛乜九乞也4e60 习乡乢乣乤乥书乧乨乩乪乫乬乭乮乯4e70 买乱乲乳乴乵乶乷乸乹乺乻乼乽乾乿4e80 亀亁亂亃亄亅了亇予争亊事二亍于亏4e90 亐云互亓五井亖亗亘亙亚些亜亝亞亟4ea0 亠亡亢亣交亥亦产亨亩亪享京亭亮亯4eb0 亰亱亲亳亴亵亶亷亸亹人亻亼亽亾亿4ec0 什仁仂仃仄仅仆仇仈仉今介仌仍从仏4ed0 仐仑仒仓仔仕他仗付仙仚仛仜仝仞仟4ee0 仠仡仢代令以仦仧仨仩仪仫们仭仮仯4ef0 仰仱仲仳仴仵件价仸仹仺任仼份仾仿4f00 伀企伂伃伄伅伆伇伈伉伊伋伌伍伎伏4f10 伐休伒伓伔伕伖众优伙会伛伜伝伞伟4f20 传伡伢伣伤伥伦伧伨伩伪伫伬伭伮伯—-—-—-——---————-----—---—-—-—-————-——-——--------—-—-——3 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F----———-—-———-—--------——---—-—-—--—-———---———---—---4f30 估伱伲伳伴伵伶伷伸伹伺伻似伽伾伿4f40 佀佁佂佃佄佅但佇佈佉佊佋佌位低住4f50 佐佑佒体佔何佖佗佘余佚佛作佝佞佟4f60 你佡佢佣佤佥佦佧佨佩佪佫佬佭佮佯4f70 佰佱佲佳佴併佶佷佸佹佺佻佼佽佾使4f80 侀侁侂侃侄侅來侇侈侉侊例侌侍侎侏4f90 侐侑侒侓侔侕侖侗侘侙侚供侜依侞侟4fa0 侠価侢侣侤侥侦侧侨侩侪侫侬侭侮侯4fb0 侰侱侲侳侴侵侶侷侸侹侺侻侼侽侾便4fc0 俀俁係促俄俅俆俇俈俉俊俋俌俍俎俏4fd0 俐俑俒俓俔俕俖俗俘俙俚俛俜保俞俟4fe0 俠信俢俣俤俥俦俧俨俩俪俫俬俭修俯4ff0 俰俱俲俳俴俵俶俷俸俹俺俻俼俽俾俿5000 倀倁倂倃倄倅倆倇倈倉倊個倌倍倎倏5010 倐們倒倓倔倕倖倗倘候倚倛倜倝倞借5020 倠倡倢倣値倥倦倧倨倩倪倫倬倭倮倯5030 倰倱倲倳倴倵倶倷倸倹债倻值倽倾倿5040 偀偁偂偃偄偅偆假偈偉偊偋偌偍偎偏5050 偐偑偒偓偔偕偖偗偘偙做偛停偝偞偟5060 偠偡偢偣偤健偦偧偨偩偪偫偬偭偮偯5070 偰偱偲偳側偵偶偷偸偹偺偻偼偽偾偿-———-—---—--—-——--——————--—----———--——————--——-——------4 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F-—--—---—-—--—--—--——-—--——----————-———-—---——------—5080 傀傁傂傃傄傅傆傇傈傉傊傋傌傍傎傏5090 傐傑傒傓傔傕傖傗傘備傚傛傜傝傞傟50a0 傠傡傢傣傤傥傦傧储傩傪傫催傭傮傯50b0 傰傱傲傳傴債傶傷傸傹傺傻傼傽傾傿50c0 僀僁僂僃僄僅僆僇僈僉僊僋僌働僎像50d0 僐僑僒僓僔僕僖僗僘僙僚僛僜僝僞僟50e0 僠僡僢僣僤僥僦僧僨僩僪僫僬僭僮僯50f0 僰僱僲僳僴僵僶僷僸價僺僻僼僽僾僿5100 儀儁儂儃億儅儆儇儈儉儊儋儌儍儎儏5110 儐儑儒儓儔儕儖儗儘儙儚儛儜儝儞償5120 儠儡儢儣儤儥儦儧儨儩優儫儬儭儮儯5130 儰儱儲儳儴儵儶儷儸儹儺儻儼儽儾儿5140 兀允兂元兄充兆兇先光兊克兌免兎兏5150 児兑兒兓兔兕兖兗兘兙党兛兜兝兞兟5160 兠兡兢兣兤入兦內全兩兪八公六兮兯5170 兰共兲关兴兵其具典兹兺养兼兽兾兿5180 冀冁冂冃冄内円冇冈冉冊冋册再冎冏5190 冐冑冒冓冔冕冖冗冘写冚军农冝冞冟51a0 冠冡冢冣冤冥冦冧冨冩冪冫冬冭冮冯51b0 冰冱冲决冴况冶冷冸冹冺冻冼冽冾冿51c0 净凁凂凃凄凅准凇凈凉凊凋凌凍凎减-———---———--—--—-——-—--—-——————-——---—————---—---——-—--5 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F——-—----———--—------——-—--——-—-------------———--—-—--51D0 凐凑凒凓凔凕凖凗凘凙凚凛凜凝凞凟51E0 几凡凢凣凤凥処凧凨凩凪凫凬凭凮凯51F0 凰凱凲凳凴凵凶凷凸凹出击凼函凾凿5200 刀刁刂刃刄刅分切刈刉刊刋刌刍刎刏5210 刐刑划刓刔刕刖列刘则刚创刜初刞刟5220 删刡刢刣判別刦刧刨利刪别刬刭刮刯5230 到刱刲刳刴刵制刷券刹刺刻刼刽刾刿5240 剀剁剂剃剄剅剆則剈剉削剋剌前剎剏5250 剐剑剒剓剔剕剖剗剘剙剚剛剜剝剞剟5260 剠剡剢剣剤剥剦剧剨剩剪剫剬剭剮副5270 剰剱割剳剴創剶剷剸剹剺剻剼剽剾剿5280 劀劁劂劃劄劅劆劇劈劉劊劋劌劍劎劏5290 劐劑劒劓劔劕劖劗劘劙劚力劜劝办功52A0 加务劢劣劤劥劦劧动助努劫劬劭劮劯52B0 劰励劲劳労劵劶劷劸効劺劻劼劽劾势52C0 勀勁勂勃勄勅勆勇勈勉勊勋勌勍勎勏52D0 勐勑勒勓勔動勖勗勘務勚勛勜勝勞募52E0 勠勡勢勣勤勥勦勧勨勩勪勫勬勭勮勯52F0 勰勱勲勳勴勵勶勷勸勹勺勻勼勽勾勿5300 匀匁匂匃匄包匆匇匈匉匊匋匌匍匎匏5310 匐匑匒匓匔匕化北匘匙匚匛匜匝匞匟—--—--—----—--——--—-———————--——----—————-——-—-—-—------6 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F--—--——-———--——-———----——-——-——-—--—-—--—-———--—-————5320 匠匡匢匣匤匥匦匧匨匩匪匫匬匭匮匯5330 匰匱匲匳匴匵匶匷匸匹区医匼匽匾匿5340 區十卂千卄卅卆升午卉半卋卌卍华协5350 卐卑卒卓協单卖南単卙博卛卜卝卞卟5360 占卡卢卣卤卥卦卧卨卩卪卫卬卭卮卯5370 印危卲即却卵卶卷卸卹卺卻卼卽卾卿5380 厀厁厂厃厄厅历厇厈厉厊压厌厍厎厏5390 厐厑厒厓厔厕厖厗厘厙厚厛厜厝厞原53a0 厠厡厢厣厤厥厦厧厨厩厪厫厬厭厮厯53b0 厰厱厲厳厴厵厶厷厸厹厺去厼厽厾县53c0 叀叁参參叄叅叆叇又叉及友双反収叏53d0 叐发叒叓叔叕取受变叙叚叛叜叝叞叟53e0 叠叡叢口古句另叧叨叩只叫召叭叮可53f0 台叱史右叴叵叶号司叹叺叻叼叽叾叿5400 吀吁吂吃各吅吆吇合吉吊吋同名后吏5410 吐向吒吓吔吕吖吗吘吙吚君吜吝吞吟5420 吠吡吢吣吤吥否吧吨吩吪含听吭吮启5430 吰吱吲吳吴吵吶吷吸吹吺吻吼吽吾吿5440 呀呁呂呃呄呅呆呇呈呉告呋呌呍呎呏5450 呐呑呒呓呔呕呖呗员呙呚呛呜呝呞呟5460 呠呡呢呣呤呥呦呧周呩呪呫呬呭呮呯-——--——-—---—--——----—--------———--—-——----———--——-—-——7 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F———-—---—--—-————--——-————---—--—-—-——-——-————-------5470 呰呱呲味呴呵呶呷呸呹呺呻呼命呾呿5480 咀咁咂咃咄咅咆咇咈咉咊咋和咍咎咏5490 咐咑咒咓咔咕咖咗咘咙咚咛咜咝咞咟54a0 咠咡咢咣咤咥咦咧咨咩咪咫咬咭咮咯54b0 咰咱咲咳咴咵咶咷咸咹咺咻咼咽咾咿54c0 哀品哂哃哄哅哆哇哈哉哊哋哌响哎哏54d0 哐哑哒哓哔哕哖哗哘哙哚哛哜哝哞哟54e0 哠員哢哣哤哥哦哧哨哩哪哫哬哭哮哯54f0 哰哱哲哳哴哵哶哷哸哹哺哻哼哽哾哿5500 唀唁唂唃唄唅唆唇唈唉唊唋唌唍唎唏5510 唐唑唒唓唔唕唖唗唘唙唚唛唜唝唞唟5520 唠唡唢唣唤唥唦唧唨唩唪唫唬唭售唯5530 唰唱唲唳唴唵唶唷唸唹唺唻唼唽唾唿5540 啀啁啂啃啄啅商啇啈啉啊啋啌啍啎問5550 啐啑啒啓啔啕啖啗啘啙啚啛啜啝啞啟5560 啠啡啢啣啤啥啦啧啨啩啪啫啬啭啮啯5570 啰啱啲啳啴啵啶啷啸啹啺啻啼啽啾啿5580 喀喁喂喃善喅喆喇喈喉喊喋喌喍喎喏5590 喐喑喒喓喔喕喖喗喘喙喚喛喜喝喞喟55a0 喠喡喢喣喤喥喦喧喨喩喪喫喬喭單喯55b0 喰喱喲喳喴喵営喷喸喹喺喻喼喽喾喿-—-——-————---——-—-—----—-——-——--—-----—-——--——-—--———-—-8 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F-————----—---————---—---——-----————————-——-—-——————--55c0 嗀嗁嗂嗃嗄嗅嗆嗇嗈嗉嗊嗋嗌嗍嗎嗏55d0 嗐嗑嗒嗓嗔嗕嗖嗗嗘嗙嗚嗛嗜嗝嗞嗟55e0 嗠嗡嗢嗣嗤嗥嗦嗧嗨嗩嗪嗫嗬嗭嗮嗯55f0 嗰嗱嗲嗳嗴嗵嗶嗷嗸嗹嗺嗻嗼嗽嗾嗿5600 嘀嘁嘂嘃嘄嘅嘆嘇嘈嘉嘊嘋嘌嘍嘎嘏5610 嘐嘑嘒嘓嘔嘕嘖嘗嘘嘙嘚嘛嘜嘝嘞嘟5620 嘠嘡嘢嘣嘤嘥嘦嘧嘨嘩嘪嘫嘬嘭嘮嘯5630 嘰嘱嘲嘳嘴嘵嘶嘷嘸嘹嘺嘻嘼嘽嘾嘿5640 噀噁噂噃噄噅噆噇噈噉噊噋噌噍噎噏5650 噐噑噒噓噔噕噖噗噘噙噚噛噜噝噞噟5660 噠噡噢噣噤噥噦噧器噩噪噫噬噭噮噯5670 噰噱噲噳噴噵噶噷噸噹噺噻噼噽噾噿5680 嚀嚁嚂嚃嚄嚅嚆嚇嚈嚉嚊嚋嚌嚍嚎嚏5690 嚐嚑嚒嚓嚔嚕嚖嚗嚘嚙嚚嚛嚜嚝嚞嚟56a0 嚠嚡嚢嚣嚤嚥嚦嚧嚨嚩嚪嚫嚬嚭嚮嚯56b0 嚰嚱嚲嚳嚴嚵嚶嚷嚸嚹嚺嚻嚼嚽嚾嚿56c0 囀囁囂囃囄囅囆囇囈囉囊囋囌囍囎囏56d0 囐囑囒囓囔囕囖囗囘囙囚四囜囝回囟56e0 因囡团団囤囥囦囧囨囩囪囫囬园囮囯56f0 困囱囲図围囵囶囷囸囹固囻囼国图囿5700 圀圁圂圃圄圅圆圇圈圉圊國圌圍圎圏—----——--—-———-—--—--—-——--—-——--—--—--———-—--—-—--—-—--9 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F——---———-———-————-—--—---—--———-———————-—--——--—-—--—5710 圐圑園圓圔圕圖圗團圙圚圛圜圝圞土5720 圠圡圢圣圤圥圦圧在圩圪圫圬圭圮圯5730 地圱圲圳圴圵圶圷圸圹场圻圼圽圾圿5740 址坁坂坃坄坅坆均坈坉坊坋坌坍坎坏5750 坐坑坒坓坔坕坖块坘坙坚坛坜坝坞坟5760 坠坡坢坣坤坥坦坧坨坩坪坫坬坭坮坯5770 坰坱坲坳坴坵坶坷坸坹坺坻坼坽坾坿5780 垀垁垂垃垄垅垆垇垈垉垊型垌垍垎垏5790 垐垑垒垓垔垕垖垗垘垙垚垛垜垝垞垟57a0 垠垡垢垣垤垥垦垧垨垩垪垫垬垭垮垯57b0 垰垱垲垳垴垵垶垷垸垹垺垻垼垽垾垿57c0 埀埁埂埃埄埅埆埇埈埉埊埋埌埍城埏57d0 埐埑埒埓埔埕埖埗埘埙埚埛埜埝埞域57e0 埠埡埢埣埤埥埦埧埨埩埪埫埬埭埮埯57f0 埰埱埲埳埴埵埶執埸培基埻埼埽埾埿5800 堀堁堂堃堄堅堆堇堈堉堊堋堌堍堎堏5810 堐堑堒堓堔堕堖堗堘堙堚堛堜堝堞堟5820 堠堡堢堣堤堥堦堧堨堩堪堫堬堭堮堯5830 堰報堲堳場堵堶堷堸堹堺堻堼堽堾堿5840 塀塁塂塃塄塅塆塇塈塉塊塋塌塍塎塏5850 塐塑塒塓塔塕塖塗塘塙塚塛塜塝塞塟----—--——-—--——————------——--—-—-—-—-—--———-—---——-——-——10 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F-—-—-—---—--—————-—-——-————-——-—-————————---——-—---—-5860 塠塡塢塣塤塥塦塧塨塩塪填塬塭塮塯5870 塰塱塲塳塴塵塶塷塸塹塺塻塼塽塾塿5880 墀墁墂境墄墅墆墇墈墉墊墋墌墍墎墏5890 墐墑墒墓墔墕墖増墘墙墚墛墜墝增墟58a0 墠墡墢墣墤墥墦墧墨墩墪墫墬墭墮墯58b0 墰墱墲墳墴墵墶墷墸墹墺墻墼墽墾墿58c0 壀壁壂壃壄壅壆壇壈壉壊壋壌壍壎壏58d0 壐壑壒壓壔壕壖壗壘壙壚壛壜壝壞壟58e0 壠壡壢壣壤壥壦壧壨壩壪士壬壭壮壯58f0 声壱売壳壴壵壶壷壸壹壺壻壼壽壾壿5900 夀夁夂夃处夅夆备夈変夊夋夌复夎夏5910 夐夑夒夓夔夕外夗夘夙多夛夜夝夞够5920 夠夡夢夣夤夥夦大夨天太夫夬夭央夯5930 夰失夲夳头夵夶夷夸夹夺夻夼夽夾夿5940 奀奁奂奃奄奅奆奇奈奉奊奋奌奍奎奏5950 奐契奒奓奔奕奖套奘奙奚奛奜奝奞奟5960 奠奡奢奣奤奥奦奧奨奩奪奫奬奭奮奯5970 奰奱奲女奴奵奶奷奸她奺奻奼好奾奿5980 妀妁如妃妄妅妆妇妈妉妊妋妌妍妎妏5990 妐妑妒妓妔妕妖妗妘妙妚妛妜妝妞妟59a0 妠妡妢妣妤妥妦妧妨妩妪妫妬妭妮妯-——————--——--—--——-———-——-———--——---————-—---—-—-—-—--—-11 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F---——-—-—-—-----—-—-—————-----—-——-——————-———-—-—-———59b0 妰妱妲妳妴妵妶妷妸妹妺妻妼妽妾妿59c0 姀姁姂姃姄姅姆姇姈姉姊始姌姍姎姏59d0 姐姑姒姓委姕姖姗姘姙姚姛姜姝姞姟59e0 姠姡姢姣姤姥姦姧姨姩姪姫姬姭姮姯59f0 姰姱姲姳姴姵姶姷姸姹姺姻姼姽姾姿5a00 娀威娂娃娄娅娆娇娈娉娊娋娌娍娎娏5a10 娐娑娒娓娔娕娖娗娘娙娚娛娜娝娞娟5a20 娠娡娢娣娤娥娦娧娨娩娪娫娬娭娮娯5a30 娰娱娲娳娴娵娶娷娸娹娺娻娼娽娾娿5a40 婀婁婂婃婄婅婆婇婈婉婊婋婌婍婎婏5a50 婐婑婒婓婔婕婖婗婘婙婚婛婜婝婞婟5a60 婠婡婢婣婤婥婦婧婨婩婪婫婬婭婮婯5a70 婰婱婲婳婴婵婶婷婸婹婺婻婼婽婾婿5a80 媀媁媂媃媄媅媆媇媈媉媊媋媌媍媎媏5a90 媐媑媒媓媔媕媖媗媘媙媚媛媜媝媞媟5aa0 媠媡媢媣媤媥媦媧媨媩媪媫媬媭媮媯5ab0 媰媱媲媳媴媵媶媷媸媹媺媻媼媽媾媿5ac0 嫀嫁嫂嫃嫄嫅嫆嫇嫈嫉嫊嫋嫌嫍嫎嫏5ad0 嫐嫑嫒嫓嫔嫕嫖嫗嫘嫙嫚嫛嫜嫝嫞嫟5ae0 嫠嫡嫢嫣嫤嫥嫦嫧嫨嫩嫪嫫嫬嫭嫮嫯5af0 嫰嫱嫲嫳嫴嫵嫶嫷嫸嫹嫺嫻嫼嫽嫾嫿—---———----------—-——---—---—-———-—-——-—---—---—--—--12 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F—-—————-—--—----——--—----—--—--—-—---——------—-——--—-5b00 嬀嬁嬂嬃嬄嬅嬆嬇嬈嬉嬊嬋嬌嬍嬎嬏5b10 嬐嬑嬒嬓嬔嬕嬖嬗嬘嬙嬚嬛嬜嬝嬞嬟5b20 嬠嬡嬢嬣嬤嬥嬦嬧嬨嬩嬪嬫嬬嬭嬮嬯5b30 嬰嬱嬲嬳嬴嬵嬶嬷嬸嬹嬺嬻嬼嬽嬾嬿5b40 孀孁孂孃孄孅孆孇孈孉孊孋孌孍孎孏5b50 子孑孒孓孔孕孖字存孙孚孛孜孝孞孟5b60 孠孡孢季孤孥学孧孨孩孪孫孬孭孮孯5b70 孰孱孲孳孴孵孶孷學孹孺孻孼孽孾孿5b80 宀宁宂它宄宅宆宇守安宊宋完宍宎宏5b90 宐宑宒宓宔宕宖宗官宙定宛宜宝实実5ba0 宠审客宣室宥宦宧宨宩宪宫宬宭宮宯5bb0 宰宱宲害宴宵家宷宸容宺宻宼宽宾宿5bc0 寀寁寂寃寄寅密寇寈寉寊寋富寍寎寏5bd0 寐寑寒寓寔寕寖寗寘寙寚寛寜寝寞察5be0 寠寡寢寣寤寥實寧寨審寪寫寬寭寮寯5bf0 寰寱寲寳寴寵寶寷寸对寺寻导寽対寿5c00 尀封専尃射尅将將專尉尊尋尌對導小5c10 尐少尒尓尔尕尖尗尘尙尚尛尜尝尞尟5c20 尠尡尢尣尤尥尦尧尨尩尪尫尬尭尮尯5c30 尰就尲尳尴尵尶尷尸尹尺尻尼尽尾尿5c40 局屁层屃屄居屆屇屈屉届屋屌屍屎屏-—--——-——--——---———---———----——----—---—-—-—-----——-—-13 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F—---——-———--—---------—---—-—---—-—--—--—--——--—-——--5c50 屐屑屒屓屔展屖屗屘屙屚屛屜屝属屟5c60 屠屡屢屣層履屦屧屨屩屪屫屬屭屮屯5c70 屰山屲屳屴屵屶屷屸屹屺屻屼屽屾屿5c80 岀岁岂岃岄岅岆岇岈岉岊岋岌岍岎岏5c90 岐岑岒岓岔岕岖岗岘岙岚岛岜岝岞岟5ca0 岠岡岢岣岤岥岦岧岨岩岪岫岬岭岮岯5cb0 岰岱岲岳岴岵岶岷岸岹岺岻岼岽岾岿5cc0 峀峁峂峃峄峅峆峇峈峉峊峋峌峍峎峏5cd0 峐峑峒峓峔峕峖峗峘峙峚峛峜峝峞峟5ce0 峠峡峢峣峤峥峦峧峨峩峪峫峬峭峮峯5cf0 峰峱峲峳峴峵島峷峸峹峺峻峼峽峾峿5d00 崀崁崂崃崄崅崆崇崈崉崊崋崌崍崎崏5d10 崐崑崒崓崔崕崖崗崘崙崚崛崜崝崞崟5d20 崠崡崢崣崤崥崦崧崨崩崪崫崬崭崮崯5d30 崰崱崲崳崴崵崶崷崸崹崺崻崼崽崾崿5d40 嵀嵁嵂嵃嵄嵅嵆嵇嵈嵉嵊嵋嵌嵍嵎嵏5d50 嵐嵑嵒嵓嵔嵕嵖嵗嵘嵙嵚嵛嵜嵝嵞嵟5d60 嵠嵡嵢嵣嵤嵥嵦嵧嵨嵩嵪嵫嵬嵭嵮嵯5d70 嵰嵱嵲嵳嵴嵵嵶嵷嵸嵹嵺嵻嵼嵽嵾嵿5d80 嶀嶁嶂嶃嶄嶅嶆嶇嶈嶉嶊嶋嶌嶍嶎嶏5d90 嶐嶑嶒嶓嶔嶕嶖嶗嶘嶙嶚嶛嶜嶝嶞嶟———--——-—-—--—-—-————-——---—-———————--—--——--—--—--—-—14 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F--—--—--—-—-————-——-----—-——-——---———-—-————-—---—---5da0 嶠嶡嶢嶣嶤嶥嶦嶧嶨嶩嶪嶫嶬嶭嶮嶯5db0 嶰嶱嶲嶳嶴嶵嶶嶷嶸嶹嶺嶻嶼嶽嶾嶿5dc0 巀巁巂巃巄巅巆巇巈巉巊巋巌巍巎巏5dd0 巐巑巒巓巔巕巖巗巘巙巚巛巜川州巟5de0 巠巡巢巣巤工左巧巨巩巪巫巬巭差巯5df0 巰己已巳巴巵巶巷巸巹巺巻巼巽巾巿5e00 帀币市布帄帅帆帇师帉帊帋希帍帎帏5e10 帐帑帒帓帔帕帖帗帘帙帚帛帜帝帞帟5e20 帠帡帢帣帤帥带帧帨帩帪師帬席帮帯5e30 帰帱帲帳帴帵帶帷常帹帺帻帼帽帾帿5e40 幀幁幂幃幄幅幆幇幈幉幊幋幌幍幎幏5e50 幐幑幒幓幔幕幖幗幘幙幚幛幜幝幞幟5e60 幠幡幢幣幤幥幦幧幨幩幪幫幬幭幮幯5e70 幰幱干平年幵并幷幸幹幺幻幼幽幾广5e80 庀庁庂広庄庅庆庇庈庉床庋庌庍庎序5e90 庐庑庒库应底庖店庘庙庚庛府庝庞废5ea0 庠庡庢庣庤庥度座庨庩庪庫庬庭庮庯5eb0 庰庱庲庳庴庵庶康庸庹庺庻庼庽庾庿5ec0 廀廁廂廃廄廅廆廇廈廉廊廋廌廍廎廏5ed0 廐廑廒廓廔廕廖廗廘廙廚廛廜廝廞廟5ee0 廠廡廢廣廤廥廦廧廨廩廪廫廬廭廮廯——————--————————-------—--—-————-—————-—-—-——-——-————-15 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F-—-—-—-—-—-——---—--—--———-——-——---—-——-—----—-—--——--5ef0 廰廱廲廳廴廵延廷廸廹建廻廼廽廾廿5f00 开弁异弃弄弅弆弇弈弉弊弋弌弍弎式5f10 弐弑弒弓弔引弖弗弘弙弚弛弜弝弞弟5f20 张弡弢弣弤弥弦弧弨弩弪弫弬弭弮弯5f30 弰弱弲弳弴張弶強弸弹强弻弼弽弾弿5f40 彀彁彂彃彄彅彆彇彈彉彊彋彌彍彎彏5f50 彐彑归当彔录彖彗彘彙彚彛彜彝彞彟5f60 彠彡形彣彤彥彦彧彨彩彪彫彬彭彮彯5f70 彰影彲彳彴彵彶彷彸役彺彻彼彽彾彿5f80 往征徂徃径待徆徇很徉徊律後徍徎徏5f90 徐徑徒従徔徕徖得徘徙徚徛徜徝從徟5fa0 徠御徢徣徤徥徦徧徨復循徫徬徭微徯5fb0 徰徱徲徳徴徵徶德徸徹徺徻徼徽徾徿5fc0 忀忁忂心忄必忆忇忈忉忊忋忌忍忎忏5fd0 忐忑忒忓忔忕忖志忘忙忚忛応忝忞忟5fe0 忠忡忢忣忤忥忦忧忨忩忪快忬忭忮忯5ff0 忰忱忲忳忴念忶忷忸忹忺忻忼忽忾忿6000 怀态怂怃怄怅怆怇怈怉怊怋怌怍怎怏6010 怐怑怒怓怔怕怖怗怘怙怚怛怜思怞怟6020 怠怡怢怣怤急怦性怨怩怪怫怬怭怮怯6030 怰怱怲怳怴怵怶怷怸怹怺总怼怽怾怿6040 恀恁恂恃恄恅恆恇恈恉恊恋恌恍恎恏6050 恐恑恒恓恔恕恖恗恘恙恚恛恜恝恞恟6060 恠恡恢恣恤恥恦恧恨恩恪恫恬恭恮息6070 恰恱恲恳恴恵恶恷恸恹恺恻恼恽恾恿—-—-——--------——---———-—--——---———-—------—-—-—--———---16 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F——-——-—-—----————-—---——————--—---—---——-——--——-—----6080 悀悁悂悃悄悅悆悇悈悉悊悋悌悍悎悏6090 悐悑悒悓悔悕悖悗悘悙悚悛悜悝悞悟60a0 悠悡悢患悤悥悦悧您悩悪悫悬悭悮悯60b0 悰悱悲悳悴悵悶悷悸悹悺悻悼悽悾悿60c0 惀惁惂惃惄情惆惇惈惉惊惋惌惍惎惏60d0 惐惑惒惓惔惕惖惗惘惙惚惛惜惝惞惟60e0 惠惡惢惣惤惥惦惧惨惩惪惫惬惭惮惯60f0 惰惱惲想惴惵惶惷惸惹惺惻惼惽惾惿6100 愀愁愂愃愄愅愆愇愈愉愊愋愌愍愎意6110 愐愑愒愓愔愕愖愗愘愙愚愛愜愝愞感6120 愠愡愢愣愤愥愦愧愨愩愪愫愬愭愮愯6130 愰愱愲愳愴愵愶愷愸愹愺愻愼愽愾愿6140 慀慁慂慃慄慅慆慇慈慉慊態慌慍慎慏6150 慐慑慒慓慔慕慖慗慘慙慚慛慜慝慞慟6160 慠慡慢慣慤慥慦慧慨慩慪慫慬慭慮慯6170 慰慱慲慳慴慵慶慷慸慹慺慻慼慽慾慿6180 憀憁憂憃憄憅憆憇憈憉憊憋憌憍憎憏6190 憐憑憒憓憔憕憖憗憘憙憚憛憜憝憞憟61a0 憠憡憢憣憤憥憦憧憨憩憪憫憬憭憮憯61b0 憰憱憲憳憴憵憶憷憸憹憺憻憼憽憾憿61c0 懀懁懂懃懄懅懆懇懈應懊懋懌懍懎懏—-——--—-—-—-——---——————-—-—--------—---——-——-———--—--——----—-—------———-—---——-—17 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F——-——-—----—----——-—-—-—-—-———-—-—--——------—--—-——-—61d0 懐懑懒懓懔懕懖懗懘懙懚懛懜懝懞懟61e0 懠懡懢懣懤懥懦懧懨懩懪懫懬懭懮懯61f0 懰懱懲懳懴懵懶懷懸懹懺懻懼懽懾懿6200 戀戁戂戃戄戅戆戇戈戉戊戋戌戍戎戏6210 成我戒戓戔戕或戗战戙戚戛戜戝戞戟6220 戠戡戢戣戤戥戦戧戨戩截戫戬戭戮戯6230 戰戱戲戳戴戵戶户戸戹戺戻戼戽戾房6240 所扁扂扃扄扅扆扇扈扉扊手扌才扎扏6250 扐扑扒打扔払扖扗托扙扚扛扜扝扞扟6260 扠扡扢扣扤扥扦执扨扩扪扫扬扭扮扯6270 扰扱扲扳扴扵扶扷扸批扺扻扼扽找承6280 技抁抂抃抄抅抆抇抈抉把抋抌抍抎抏6290 抐抑抒抓抔投抖抗折抙抚抛抜抝択抟62a0 抠抡抢抣护报抦抧抨抩抪披抬抭抮抯62b0 抰抱抲抳抴抵抶抷抸抹抺抻押抽抾抿62c0 拀拁拂拃拄担拆拇拈拉拊拋拌拍拎拏62d0 拐拑拒拓拔拕拖拗拘拙拚招拜拝拞拟62e0 拠拡拢拣拤拥拦拧拨择拪拫括拭拮拯62f0 拰拱拲拳拴拵拶拷拸拹拺拻拼拽拾拿6300 挀持挂挃挄挅挆指挈按挊挋挌挍挎挏6310 挐挑挒挓挔挕挖挗挘挙挚挛挜挝挞挟-—-—-—---———---—--————----—-——-—-——-—-——--—-—-—-———--—18 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F—---——-——--—---—-—-—-—--——---—-—--—-—-—--——-——-—--——-6320 挠挡挢挣挤挥挦挧挨挩挪挫挬挭挮振6330 挰挱挲挳挴挵挶挷挸挹挺挻挼挽挾挿6340 捀捁捂捃捄捅捆捇捈捉捊捋捌捍捎捏6350 捐捑捒捓捔捕捖捗捘捙捚捛捜捝捞损6360 捠捡换捣捤捥捦捧捨捩捪捫捬捭据捯6370 捰捱捲捳捴捵捶捷捸捹捺捻捼捽捾捿6380 掀掁掂掃掄掅掆掇授掉掊掋掌掍掎掏6390 掐掑排掓掔掕掖掗掘掙掚掛掜掝掞掟63a0 掠採探掣掤接掦控推掩措掫掬掭掮掯63b0 掰掱掲掳掴掵掶掷掸掹掺掻掼掽掾掿63c0 揀揁揂揃揄揅揆揇揈揉揊揋揌揍揎描63d0 提揑插揓揔揕揖揗揘揙揚換揜揝揞揟63e0 揠握揢揣揤揥揦揧揨揩揪揫揬揭揮揯63f0 揰揱揲揳援揵揶揷揸揹揺揻揼揽揾揿6400 搀搁搂搃搄搅搆搇搈搉搊搋搌損搎搏6410 搐搑搒搓搔搕搖搗搘搙搚搛搜搝搞搟6420 搠搡搢搣搤搥搦搧搨搩搪搫搬搭搮搯6430 搰搱搲搳搴搵搶搷搸搹携搻搼搽搾搿6440 摀摁摂摃摄摅摆摇摈摉摊摋摌摍摎摏6450 摐摑摒摓摔摕摖摗摘摙摚摛摜摝摞摟6460 摠摡摢摣摤摥摦摧摨摩摪摫摬摭摮摯--—-—-——-————---———---—----———----—-—-—------—-———--—--19 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F—--————-———--—----——-———-—--————-—--—-—--—-——-——-———-6470 摰摱摲摳摴摵摶摷摸摹摺摻摼摽摾摿6480 撀撁撂撃撄撅撆撇撈撉撊撋撌撍撎撏6490 撐撑撒撓撔撕撖撗撘撙撚撛撜撝撞撟64a0 撠撡撢撣撤撥撦撧撨撩撪撫撬播撮撯64b0 撰撱撲撳撴撵撶撷撸撹撺撻撼撽撾撿64c0 擀擁擂擃擄擅擆擇擈擉擊擋擌操擎擏64d0 擐擑擒擓擔擕擖擗擘擙據擛擜擝擞擟64e0 擠擡擢擣擤擥擦擧擨擩擪擫擬擭擮擯64f0 擰擱擲擳擴擵擶擷擸擹擺擻擼擽擾擿6500 攀攁攂攃攄攅攆攇攈攉攊攋攌攍攎攏6510 攐攑攒攓攔攕攖攗攘攙攚攛攜攝攞攟6520 攠攡攢攣攤攥攦攧攨攩攪攫攬攭攮支6530 攰攱攲攳攴攵收攷攸改攺攻攼攽放政6540 敀敁敂敃敄故敆敇效敉敊敋敌敍敎敏6550 敐救敒敓敔敕敖敗敘教敚敛敜敝敞敟6560 敠敡敢散敤敥敦敧敨敩敪敫敬敭敮敯6570 数敱敲敳整敵敶敷數敹敺敻敼敽敾敿6580 斀斁斂斃斄斅斆文斈斉斊斋斌斍斎斏6590 斐斑斒斓斔斕斖斗斘料斚斛斜斝斞斟65a0 斠斡斢斣斤斥斦斧斨斩斪斫斬断斮斯65b0 新斱斲斳斴斵斶斷斸方斺斻於施斾斿—-——--——---———-—---—--———-——-——————---——-----———-—-——-—20 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F-—--————-—-——--—----——-—-—-——----—-——--——-——----—-———65c0 旀旁旂旃旄旅旆旇旈旉旊旋旌旍旎族65d0 旐旑旒旓旔旕旖旗旘旙旚旛旜旝旞旟65e0 无旡既旣旤日旦旧旨早旪旫旬旭旮旯65f0 旰旱旲旳旴旵时旷旸旹旺旻旼旽旾旿6600 昀昁昂昃昄昅昆昇昈昉昊昋昌昍明昏6610 昐昑昒易昔昕昖昗昘昙昚昛昜昝昞星6620 映昡昢昣昤春昦昧昨昩昪昫昬昭昮是6630 昰昱昲昳昴昵昶昷昸昹昺昻昼昽显昿6640 晀晁時晃晄晅晆晇晈晉晊晋晌晍晎晏6650 晐晑晒晓晔晕晖晗晘晙晚晛晜晝晞晟6660 晠晡晢晣晤晥晦晧晨晩晪晫晬晭普景6670 晰晱晲晳晴晵晶晷晸晹智晻晼晽晾晿6680 暀暁暂暃暄暅暆暇暈暉暊暋暌暍暎暏6690 暐暑暒暓暔暕暖暗暘暙暚暛暜暝暞暟66a0 暠暡暢暣暤暥暦暧暨暩暪暫暬暭暮暯66b0 暰暱暲暳暴暵暶暷暸暹暺暻暼暽暾暿66c0 曀曁曂曃曄曅曆曇曈曉曊曋曌曍曎曏66d0 曐曑曒曓曔曕曖曗曘曙曚曛曜曝曞曟66e0 曠曡曢曣曤曥曦曧曨曩曪曫曬曭曮曯66f0 曰曱曲曳更曵曶曷書曹曺曻曼曽曾替6700 最朁朂會朄朅朆朇月有朊朋朌服朎朏—-———-——--——-——————-——---—--—---————-————-----—---————-21 汉字编码表U+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B CD E F——--———-—--————--—---—--—--—-—--—-———--—-—--—--————-—6710 朐朑朒朓朔朕朖朗朘朙朚望朜朝朞期6720 朠朡朢朣朤朥朦朧木朩未末本札朮术6730 朰朱朲朳朴朵朶朷朸朹机朻朼朽朾朿6740 杀杁杂权杄杅杆杇杈杉杊杋杌杍李杏6750 材村杒杓杔杕杖杗杘杙杚杛杜杝杞束6760 杠条杢杣杤来杦杧杨杩杪杫杬杭杮杯6770 杰東杲杳杴杵杶杷杸杹杺杻杼杽松板6780 枀极枂枃构枅枆枇枈枉枊枋枌枍枎枏6790 析枑枒枓枔枕枖林枘枙枚枛果枝枞枟67a0 枠枡枢枣枤枥枦枧枨枩枪枫枬枭枮枯67b0 枰枱枲枳枴枵架枷枸枹枺枻枼枽枾枿67c0 柀柁柂柃柄柅柆柇柈柉柊柋柌柍柎柏67d0 某柑柒染柔柕柖柗柘柙柚柛柜柝柞柟67e0 柠柡柢柣柤查柦柧柨柩柪柫柬柭柮柯67f0 柰柱柲柳柴柵柶柷柸柹柺査柼柽柾柿6800 栀栁栂栃栄栅栆标栈栉栊栋栌栍栎栏6810 栐树栒栓栔栕栖栗栘栙栚栛栜栝栞栟6820 栠校栢栣栤栥栦栧栨栩株栫栬栭栮栯6830 栰栱栲栳栴栵栶样核根栺栻格栽栾栿6840 桀桁桂桃桄桅框桇案桉桊桋桌桍桎桏6850 桐桑桒桓桔桕桖桗桘桙桚桛桜桝桞桟。

2023年高考数学真题题源解密(新高考全国卷)专题07 数列(解析版)

专题07数列目录一览考向一等差数列1．（2023•新高考Ⅰ•第7题）记S n为数列{a n}的前n项和，设甲：{a n}为等差数列；乙：{��}为等差数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C解：若{a n}是等差数列，设数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n＝na1+�(�−1)2d，即��=a1+�−12d=�2n+a1−�2，故{��}为等差数列，即甲是乙的充分条件．��+1�+1−��=D，反之，若{��}为等差数列，则可设则��=S1+（n﹣1）D，即S n＝nS1+n（n﹣1）D，当n≥2时，有S n1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，﹣上两式相减得：a n＝S n﹣S n﹣1＝S1+2（n﹣1）D，当n＝1时，上式成立，所以a n＝a1+2（n﹣1）D，则a n+1﹣a n＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常数），所以数列{a n}为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．考向二等比数列2．（2023•新高考Ⅱ•第8题）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（）A．120B．85C．﹣85D．﹣120【答案】C解：等比数列{a n}中，S4＝5，S6＝21S2，显然公比q≠1，设首项为a1，则�1(1−�4)1−�=−5①，�1(1−�6)1−�=21�1(1−�2)1−�②，化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），代入①得�11−�=13，所以S8=�1(1−�8)1−�=�11−�（1﹣q4）（1+q4）=13×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．考向三数列综合3．（2023•新高考Ⅰ•第20题）设等差数列{a n}的公差为d，且d＞1．令b n=�2+��，记S n，T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和．（1）若3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，求{a n}的通项公式；（2）若{b n}为等差数列，且S99﹣T99＝99，求d．解：（1）∵3a2＝3a1+a3，S3+T3＝21，∴根据题意可得3(�1+�)=3�1+�1+2�3�1+3�+(2�1+6�1+�+12�1+2�)=21，∴�1=�6�+9�=21，∴2d 2﹣7d +3＝0，又d ＞1，∴解得d ＝3，∴a 1＝d ＝3，∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝3n ，n ∈N *；（2）∵{a n }为等差数列，{b n }为等差数列，且b n =�2+��，∴根据等差数列的通项公式的特点，可设a n ＝tn ，则��=�+1�，且d ＝t ＞1；或设a n ＝k （n +1），则��=��，且d ＝k ＞1，①当a n ＝tn ，��=�+1�，d ＝t ＞1时，则S 99﹣T 99=(�+99�)×992−(2�+100�)×992=99，∴50�−51�=1，∴50t 2﹣t ﹣51＝0，又d ＝t ＞1，∴解得d ＝t =5150；②当a n ＝k （n +1），��=��，d ＝k ＞1时，则S 99﹣T 99=(2�+100�)×992−(1�99�)×992=99，∴51�−50�=1，∴51k 2﹣k ﹣50＝0，又d ＝k ＞1，∴此时k 无解，∴综合可得d =5150．4．（2023•新高考Ⅱ•第18题）已知{a n }为等差数列，b n =��−6，�为奇数2��，�为偶数，记S n ，T n 为{a n }，{b n }的前n项和，S 4＝32，T 3＝16．（1）求{a n }的通项公式；（2）证明：当n ＞5时，T n ＞S n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，S n ，T n 为{a n }{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16，则�1+�2+�3+�4=32�1−6+2�2+�3−6=16，即4�1+4(4−1)2�=32�2=7，解得�1=5�=2，故a n＝5+2（n﹣1）＝2n+3；（2）证明：由（1）可知，��=2�−3，�为奇数4�+6，�为偶数，��=(5+2�+3)�2=(�+4)�，当n为偶数时，n＞5，T n＝﹣1+3+•••+2（n﹣1）﹣3+14+22+•••+4n+6=�2[−1+2(�−1)−3]2+�2(14+4�+6)2=�2(14+6�)2=�(3�+7)2，��−��=�2−�2＞0，当n为奇数时，n＞5，T n＝T n﹣1+b n=(�−1)(3�+4)2+2�−3=3�2+5�−102，T n﹣S n=�2−3�−102＞25−15−102=0，故原式得证．【命题意图】考查等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查等差、等比数列的性质；考查数列的求和方法，考查根据数列的递推公式求通项公式，考查数列和其他知识结合等综合知识．【考查要点】数列是高考考查热点之一，其中等差、等比数列的通项公式、求和公式，以及与等差、等比数列有关的错位相消求和及裂项相消求和，是考查的重点．作为数列综合题，常和充要条件、方程、不等式、函数等结合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者证明不等式等，对于基础能力和基础运算要求较高．【得分要点】1．解决等差、等比数列有关问题的几点注意1 等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；2 对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；3 注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；4 当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.2．数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.,一般常见的求和方法有：（一）公式法②等比数列的前n 项和公式：③数列前n 项和重要公式：（2）1(21)n k k 13521n 2n（5）等差数列中，m n m n S S S mnd ；（6）等比数列中，n m m n n m m nS S q S S q S.二分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.三裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(1)适用条件：若{a n }是公差为d (d ≠0)的等差数列，{b n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和S n ；(2)基本步骤(3)注意事项：①在写出S n 与qS n 的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S n －qS n ；②作差后，等式右边有第一项、中间n －1项的和式、最后一项三部分组成；③运算时，经常把b 2＋b 3＋…＋b n 这n －1项和看成n 项和，把－a n b n ＋1写成＋a n b n ＋1导致错误．五倒序相加法如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法.用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.考向一等差数列5．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【解答】解：设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，且，解得k3＝0.9，故选：D．考向二数列递推公式6.（多选）（2021•新高考Ⅱ）设正整数n＝a0•20+a1•21+…+a k1•2k﹣1+a k•2k，其中a i∈{0，1}，记ω（n）＝﹣a0+a1+…+a k，则（）A．ω（2n）＝ω（n）B．ω（2n+3）＝ω（n）+1C．ω（8n+5）＝ω（4n+3）D．ω（2n﹣1）＝n【解答】解：∵2n＝a0•21+a1•22+…+a k﹣1•2k+a k•2k+1，∴ω（2n）＝ω（n）＝a0+a1+…+a k，∴A对；当n＝2时，2n+3＝7＝1•20+1•21+1•22，∴ω（7）＝3．∵2＝0•20+1•21，∴ω（2）＝0+1＝1，∴ω（7）≠ω（2）+1，∴B错；∵8n+5＝a0•23+a1•24+•••+a k•2k+3+5＝1•20+1•22+a0•23+a1•24+•••+a k•2k+3，∴ω（8n+5）＝a0+a1+•••+a k+2．∵4n+3＝a0•22+a1•23+•••+a k•2k+2+3＝1•20+1•21+a0•22+a1•23+•••+a k•2k+2，∴ω（4n+3）＝a0+a1+•••+a k+2＝ω（8n+5）．∴C对；∵2n﹣1＝1•20+1•21+•••+1•2n﹣1，∴ω（2n﹣1）＝n，∴D对．故选：ACD．考向三数列的求和7．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么S k＝dm2．【解答】解：易知有，，共5种规格；由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为，故，则，记，则，∴T n＝﹣＝1+（﹣）﹣＝，∴，∴．故答案为：5；．考向四数列综合8．（2021•新高考Ⅱ）记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求使S n＞a n成立的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）数列S n是公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4．根据等差数列的性质，a3＝S5＝5a3，故a3＝0，根据a2a4＝S4可得（a3﹣d）（a3+d）＝（a3﹣2d）+（a3﹣d）+a3+（a3+d），整理得﹣d2＝﹣2d，可得d＝2（d＝0不合题意），故a n＝a3+（n﹣3）d＝2n﹣6．（Ⅱ）a n＝2n﹣6，a1＝﹣4，S n＝﹣4n+×2＝n2﹣5n，S n＞a n，即n2﹣5n＞2n﹣6，整理可得n2﹣7n+6＞0，当n＞6或n＜1时，S n＞a n成立，由于n为正整数，故n的最小正值为7．9．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（1）记b n＝a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）求{a n}的前20项和．【解答】解：（1）因为a1＝1，a n+1＝，所以a2＝a1+1＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+1＝5，所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，b n﹣b n1＝a2n﹣a2n﹣2＝a2n﹣a2n﹣1+a2n﹣1﹣a2n﹣2＝1+2＝3，n≥2，﹣所以数列{b n}是以b1＝2为首项，以3为公差的等差数列，所以b n＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．另解：由题意可得a2n+1＝a2n﹣1+3，a2n+2＝a2n+3，其中a1＝1，a2＝a1+1＝2，于是b n＝a2n＝3（n﹣1）+2＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）可得a2n＝3n﹣1，n∈N*，则a2n1＝a2n﹣2+2＝3（n﹣1）﹣1+2＝3n﹣2，n≥2，﹣当n＝1时，a1＝1也适合上式，所以a2n1＝3n﹣2，n∈N*，﹣所以数列{a n}的奇数项和偶数项分别为等差数列，则{a n}的前20项和为a1+a2+...+a20＝（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）＝10+×3+10×2+×3＝300．10．（2022•新高考Ⅰ）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）证明：++…+＜2．【解答】解：（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当n≥2时，，②，①﹣②得：，故（n﹣1）a n＝（n+1）a n﹣1，化简得：，，........，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以＝．11．（2022•新高考Ⅱ）已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．（1）证明：a1＝b1；（2）求集合{k|b k＝a m+a1，1≤m≤500}中元素的个数．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}的公差为d，由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1，由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d），即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），∴a1＝b1．（2）由（1）知，d＝2b1＝2a1，由b k＝a m+a1知，，∴，即2k﹣1＝2m，又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，故集合{k|b k＝a m+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个．重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和，考查错位相减、裂项相消等求和方法。

编译原理及实现课后习题答案孙悦红 (1)

|xyz|=7 | (xy)3 |=12
2.3 设有文法 G[S]�S∷=SS*|SS+|a�写出符号串 aa+a*规范推导�并构造语法树。
S => SS* => Sa* => SS+a* => Sa+a* => aa+a*
S
S
S
*
SS+a
aa
2.4 已知文法 G[Z]�Z∷=U0∣V1 、 U∷=Z1∣1 、 V∷=Z0∣0 ,请写出全部由此文法描述的只含有四个符号的句子。
+i#
POP,NEXTSYM
18
#E’T
i#
POP,PUSH(T’F)
所用产生式 E→TE’ T→FT’ F→i
T’→ε E’→+TE’
T→FT’ F→i
T’→*FT’
F→i
T’→ε E’→+TE’
T→FT’
19 20 21 22 23 �2�i*(i+i+i) 步骤
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
N 错误
INPUTSYM=下一个符号
INPUTSYM=’b’ Y
N 出口
4.2 设有文法 G[Z]� Z∷=(A) , A∷=a|Bb , B∷=Aab 若采用递归下降分析方法�对此文法来说�在分析过程中�能否避免回溯�为什么�
解�若采用递归下降分析方法�对此文法来说�在分析过程中不能避免回朔。因为规则 A ∷=a|Bb 和规则 B∷=Aab 构成了间接左递归�不满足实现没有回溯的递归下降分析方法的条件�1��书 P67��且规则 A: := a|Bb�FIRST(a)={a}�FIRST(Bb)={a}�即此规则候选式的首符号集有相交�不满足实现没有回溯的递归下降分析方法的条件�2��书 P67��在分析过程中�将造成回溯。

17J927-1车库建筑构造

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<<Jt•3t1l#;t*1#!i. •1-$7}: ,~.. Y!~ }} GB 5768. 1-2009
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<<Jt•3t1l#;t*1#!l. -3-$7}: ll•~1l#~}} GB 5768. 3-2009
~*~~~~¥J~wm ............................ 3-24
~~~JJ<.ll;J fl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-25
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3.1 $ft: parking garage

高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第一册)+1

①③④ 解析：①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；
②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；
④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；
⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；
典例5
下列关系中，正确的有
（ C ）
1
① ∈R；
2
②
④| 3 |∈Q；
⑤0＝{0}
A．1个
B．2个
2 Q ；
C．3个
③|－3|∈N；
D．4个
典例6
【多选题】下列所给关系正确的是( A B )
A. R
B. 6 Q
C. 0N*
D.| 5 |N*
练一练
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
课本练习
教材P5练习1
1. 判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由．
(1) 与定点A，B等距离的点；
(2) 高中学生中的游泳能手．
解：(1) 能组成集合.
(2) 不能组成集合，因为不满足集合元素的确定性.
教材P5练习2
2. 用符号“∊”或“∉”填空：
1
∉
∉
∉ Z； ___
∊ Q；π ___
∊ R.
即的取值范围为{| ≥2}
题型四
集合中元素的特性
已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a 的值为________．
－1
解析：若 a＝1，则 a2＝1，此时集合 A 中两元素相同，与互异性矛盾，故 a≠1；
若 a2＝1，则 a＝－1 或 a＝1(舍去)，此时集合 A 中两元素为－1,1，故 a＝－1.

2021春浙教版数学七下第2章《二元一次方程组》提优练习

七年级下数学提优练习<1>班级___________ 姓名___________1.用加减法解方程组得时)2()1(,)2........(1572)1.....(..........974－y x y x ⎩⎨⎧-=+-=+〔〕 A .6x=－6 B .2x=24 C .2x=－6 D .6x=242.21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，那么a b -的值为〔〕A ．1B ．－1C ． 2D ．33.方程组5347x y x y m -=⎧⎨+=⎩中的x ，y 的值相等，那么m 等于( ) A ．2或－2 B ．4 C ．16． D ．－164.假设关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是方程632=+y x 的解，那么k 的值为〔〕A ．43-B ．43C ． 34D ．34- 5.某校运发动分组训练，假设每组7人，余3人；假设每组8人，那么缺5人；设运发动人数为x 人，组数为y 组，那么列方程组为〔〕A 、⎩⎨⎧=++=x y x y 5837B 、⎩⎨⎧=-+=x y x y 5837C 、⎩⎨⎧+=-=5837x y x yD 、⎩⎨⎧+=+=5837x y x y6.足球比赛计分规那么为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。

一个队打了11场，共得19分，那么这个队得胜得场数得可能性有〔〕A ．3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种7.方程组：的解是：，那么方程组：的解是〔〕A 、B 、C 、D 、 8.?九章算术?中的“方程〞一章中，一次方程组是由算筹布置而成的．?九章算术?中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图〔1〕、图〔2〕．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 系数与相应的常数项，把图〔1〕所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是3219423x y x y +=⎧⎨+=⎩类似地，图〔2〕所示的算筹图我们可以表述为〔〕(1) 〔2〕A .211211321926 (432743224234327)x y x y x y x y B C D x y x y x y x y +=+=+=+=⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=+=+=+=⎩⎩⎩⎩ 9.假设关于x 、y 的方程组只有一个解，那么a 的值不等于〔〕A 、B 、﹣C 、D 、﹣10.假设方程组有无穷多组解，〔x ，y 为未知数〕，那么〔〕 A 、k≠2 B 、k=﹣2 C 、k ＜﹣2 D 、k ＞﹣211.当a= _________ 时，方程组无解． 12.假设()1321=+--y x a a 是二元一次方程，那么a = ．13.那么x 与y 之间的关系式为__________________．14.方程组的解适合x+y=2，那么m 的值为 _________ ． 15.假设那么x＝，y ＝．16.对于X,Y 定义一种新的运算“*〞：X*Y=aX+bY ，其中a,b 为常数，等式右边是通常的加减和乘法运算，3*5=15,4*7=28,那么2*3= ． 17.假设二元一次方程组⎩⎨⎧=+=-11532by ax y x 和⎩⎨⎧=+=-15y x ay cx 同解，那么可通过解方程组_ 求得这个解．18.方程组有正整数解〔a 为整数〕，求a 的值．19.小刚和小强同解二元一次方程组161ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩，小刚把方程①抄错了，求得的解为13x y =-⎧⎨=⎩，小强把方程②抄错了，求得的解为32x y =⎧⎨=⎩，求原方程组的解． 20.甲、乙两地相距280 km ，一轮船在两地间航行，顺流用14 h ，逆流用20 h ．求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．21.一列快车长70米，一列慢车长80米。

广东省揭阳市2024高三冲刺(高考物理)人教版测试(综合卷)完整试卷

广东省揭阳市2024高三冲刺（高考物理）人教版测试(综合卷)完整试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题双缝干涉的实验装置的截面图如图所示，光源到双缝S1、S2的距离相等，O是S1、S2连线中垂线与光屏的交点。

若现在将该装置中垂线以下的部分没入水中，则原本处在O点的亮条纹将会（）A．向上移动B．向下移C．不动D．无法确定第(2)题图甲为一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，图乙为质点P的振动图像。

下列说法正确的是（）A．在t=0.10s时，质点P的速度为零B．从t=0.10s到t=0.25s，质点P的路程为10cmC．这列简谐横波沿x轴正方向传播D．在t=0.25s时，质点P的加速度沿y轴负方向第(3)题蹦极是近些年来新兴的一项非常刺激的户外活动。

跳跃者站在桥梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮条绑在踝关节处，然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去。

如图是一位蹦极者从高处下落到速度为零的过程中的图像，当时，对应的速度值最大，则下面判断正确的是（）A．当下落距离小于15m时，蹦极者处于完全失重状态B．当下落距离小于15m时，蹦极者失重的数值（人自身重力与橡皮条拉力之差的绝对值）是个常量C．当下落距离大于15m时，蹦极者超重的数值（人自身重力与橡皮条拉力之差的绝对值）是个常量D．当下落距离大于15m时，蹦极者超重的数值（人自身重力与橡皮条拉力之差的绝对值）随距离的增大而增大第(4)题中国象棋的棋盘呈长方形，由九条竖线和十条横线相交组成，共有九十个交叉点，开局时红方和黑方各子的位置如图所示，现将电荷量为（）的两个点电荷分别固定在红方的“俥”位置，再将电荷量为（）的两个点电荷分别固定在黑方的左右“車”位置，点电荷在棋盘网格线所在的平面内，下列说法正确的是（）A．“將”所在位置与“帥”所在位置的电场强度大小相等方向不同B．棋盘中间“卒”与棋盘中间“兵”所在位置的电势相同C．电子在棋盘左侧“傌”所在位置的电势能小于在棋盘右侧“馬”所在位置的电势能D．一质子沿直线从红方正中间“兵”所在位置运动到黑方正中间“卒”所在位置，此过程中静电力始终不做功第(5)题质量是40kg的铁锤从5m高处落下，打在水泥桩上后不反弹，与水泥桩撞击的时间是0.05s。

刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式 (2019高考)数学考点分类解析 (2019高考)数学考点分类解析

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A BC A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．图1(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.笔者关心的是：该题中的1231()3V d d d S =++即)(61321d d d ah V ++=是怎么来的呢？这由下面推导的羨除体积公式立得.题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. (1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值；(2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6hV =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图2题3 (2002年高考北京卷理科第18题)如图3，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h ..(1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； (2)证明：EF//面ABCD(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6hV =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图3笔者关心的是：高考题2,3中的6hV =（S 上底面+4S中截面+S下底面）即[(2)(2)]6hV a c b c a d =+++是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得.《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图4所示中的五面体ABCDEF，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是平行四边形.设a AB =，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)2(6c a HhV +=.图4证明如图5所示.设点F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',.图5我们把平面ABCD 分成三块区域：区域I 指该平面位于直线AD 左侧的部分(不包括直线AD )，区域II 指该平面夹在直线BC AD 、之间的部分(包括直线这两条直线)，区域III 指该平面位于直线BC 右侧的部分(不包括直线BC ).应分六种情形来证明： (1)点F E '',均位于区域I ；(2)点E '位于区域I ，点F '位于区域II ； (3)点E '位于区域I ，点F '位于区域III ；(4)点F E '',均位于区域II ；(5)点E '位于区域II ，点F '位于区域III ；(6)点F E '',均位于区域III .下面只对情形(5)予以证明：过点E '作CD GH ⊥于H '，交AB 于G ；过点F '作CD IJ ⊥于I ，交AB 于J ，得H E E h GH ='=,，所以=-+=-)(BJIC AGHD FJI EGH V V V V 四棱锥四棱锥直三棱柱=-+=-+)(32)(32GJIH ABCD BJIC AGHD S S Hc Hh S S H c Hh )2(6)(32c a Hh ch ah H c Hh +=-+=证毕！ 2.羨除羨除是图6所示中的五面体ABCDEF，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是梯形.设)(,b a b DC a AB >==，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)(6c b a HhV ++=.图6证明用补形法可证.图7如图7所示，延长CD 至R ，使RC AB =，得刍甍ABCREF ，由刍甍的体积公式，得)(62)(3)2(6c b a Hh h b a H c a Hh V V V ADRE ABCREF ++=-⋅-+=-=-三棱锥刍甍注羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形时(即图4所示中的b a =时的情形)，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图8所示中的六面体D C B A ABCD ''''-，其中面//ABCD 面D C B A ''''，底面A B C D 、底面D C B A ''''均是平行四边形.设b B A a AB =''=,，直线CD AB 、之间的距离是h ，D C B A ''''、之间的距离是h '，面D C B A A B C D ''''、之间的距离是H，则其体积])2()2[(6h a a h a a HV '+'+'+=.图8证明如图9所示，可得面A B AB ''与平行平面D C B A ABCD ''''、的交线B A AB ''、平行,所以CD B A //''.连结C BD A '',.图9由刍甍的体积公式，得])2()2[(6h a a h a a HV V V D C B A CD ABCD A B '+'+'+=+=''''''刍甍刍甍注刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图4所示中的0='h 时的情形)，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形. 4.楔形四棱台楔形四棱台是图10所示中的六面体D C B A ABCD ''''-，其中面//ABCD 面D C B A ''''，底面A B C D 、底面D C B A ''''均是梯形.设b D C b B A b CD a AB '=''=''==,,,，面CD AB 、之间的距离是h ，D C B A ''''、之间的距离是h '，面D C B A A BCD ''''、之间的距离是H ，则其体积])()[(6h b b a h a b a HV '+'+'+'++=.图10 图11证明如图11所示，可得CD B A //''.连结C B D A '',.由羨除的体积公式，得])()[(6h b b a h a b a HV V V D C B A CD ABCD A B '+'+'+'++=+=''''''羡除羡除注楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段时(即图4中的0='h 时的情形)，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.题4 (1999年高考全国卷文科、理科第10题)如图12所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，23,//=EF AB EF ，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.29 B.5 C.6 D.215图12解 D.由刍甍的体积公式可得.题5 (2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第9题)如图13，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，3//,2EF AB EF =.若该多面体的体积为152，则EF 与AC 的距离为 .图13解 2.设直线EF 与平面AC 的距离为H ，由刍甍的体积公式可得153323262H ⋅⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2H =进而可得：异面直线,EF AC 的距离为2H =.题6 (2005年高考全国卷I 理科第4题即文科第5题)如图14，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF //AB ，EF =2，则该多面体的体积为( )A.32 B.33C.34D.23图14解 A.设棱,A D B C的中点分别是,S T ，在等腰梯形EFTS 中可得1,2,2ST EF ES FT ====，可求得该等腰梯形的高即直线EF 与平面ABCD 的距离22=H . 所以由刍甍的体积公式可得多面体ABCDEF的体积为12(212)63⋅+=. 题7 (1983年美国邀请赛题)图15中的多面体的底面是边长为s 的正方形，上面的棱平行于底面，其长为s 2，其余棱长也都为s ，若26=s ，求这个多面体的体积.图15解 288.由刍甍的体积公式可得(先算得s H 22=).在该题中，当1=s 时就是高考题2.用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解.(2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ；解首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn na a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n n a 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列：当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得：当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。

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回形针9个意想不到的妙用只有1%的人知道
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利只是不停地被掰成各种各样的形状你们考虑过它的感受
么回形针的内心是奔溃的创意美术｜儿童英语。