投资学6

第七章 久期和凸度第一节 久期（Duration ）一、久期的定义Macaulay(1938年)为了评估债券的平均还款期限，定义了久期。

他将每次支付现金所用时间的加权平均值定义为久期，而权重为每次支付的现金流的现值占现金流总和（即债券的价格）的比率。

称采用这种方法定义的久期为Macaulay 久期。

具体公式如下：Py M y C iMacaulay n i ni ∑=+++=1)1()1(久期 久期最初是用来表示平均还款期限，但实际上久期还可以表示债券价格的波动性。

由债券的定价公式()()n n i i y M y CP +++=∑=1111对y 求导数得到()()()()y Macaulaydy P dP yP Macaulay y y nM y Ci y nM y Ci dy dP n i n i n n i i +-=+⨯-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-=+-+-=∑∑=+=+11111111111久期将上式变形得到久期 将yMacaulay +1久期定义修正久期，有的干脆将修正久期定义为久期。

即， ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P dy dP D 则易知：收益率的变化久期债券价格变化的百分比⨯-=∆-=∆y D P P注意：利用久期计算价格变化相当于泰勒展开式的一阶近似。

由我们的久期定义易知：MD(Macaulay 久期)与D （久期）的关系为MD=(1+y)D二、久期的性质久期是债券分析中的核心概念，它有效地度量了债券的风险，在债券的风险管理中起到了非常重要的作用，另外它也是资产免疫管理中的一个核心概念。

由上述久期的定义知()()[]dy D P dP dy Var D P dP Var σσ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2 即，债券价格变化率（短期回报率）的标准差是收益率标准差的D 倍。

1.久期与债券息票率的关系为计算方便，假定债券一年付息一次，息票率为c ，面值为1，现在离到期日还有N 年，其收益率为y,债券的价格为：()[]N N N k N k y y y c y y c P )1(111)1(1)1(1+++-=+++=-=∑两边取对数，再对收益率求导数，得到：()()()()()[]()()()()[]y y c y c y N y MD y y y c N y y y y cN y dy dP P dy p d N N N N N N +-++--++=+++--++++++-=⨯=-------1111111111111ln 11整理得到：从此式可看出久期与息票率的关系：息票率c 越大，久期越小。

2.久期与收益率之间的关系类似地，我们可以得到下式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-=∑=-T t tt MD t P y c y dy dMD 12)()1(11 由上式，易知： 0≤dydMD ，即收益率越大，久期越小。

3. 久期与到期日的关系一般地说，债券的到期日越长，久期越大。

第二节 久期与风险管理一、资产组合的久期资产组合的久期：资产组合的久期等于组成资产组合的各个资产的久期的加权平均，权值是各个资产的现价占总资产的比率。

资产组合的收益率：是资产组合的现金流的到期收益率。

我们考虑两个资产构成的资产组合，资产组合的关系为：种资产的价格。

第种资产的数量；第其中，i B i N B N B N P i i 2211+=如果债券具有相同的收益率，则：212211222211112211111B B P D PB N D P B N D dy dB B P B N dy dB B P B N dy dP P dydB N dy dB N dy dP +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+= 例1 一个资产组合由1B 和2B 组成，它们的价格、收益率、久期分别是：797968.1%,8.8,100,483092.0%,00.7,100222111======D y B D y B则资产组合的久期为：14053.1797968.1100100100483092.010*******=⨯++⨯+=P D由现金流计算出收益率：%422.8214.104214.4214.4219.107200432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=y y y y y 将资产组合看成一个债券，通过久期的定义计算出资产组合的久期：193477.1200214.1042214.45.1214.41219.1075.0211432=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯++⨯+y y y y y 我们应该注意到这两种方法计算出的结果的差别。

二、久期的匹配我们在进行风险管理时，有时需要构造一个资产组合满足：1. 其价值与某个目标债券或债券组合相同；2. 当利率发生波动时，两者的价值变动也相同。

如果一个是多头，一个是空头。

可以构造对冲组合，规避利率风险。

例2 假定持有一个债券，10年后到期，息票率是6%，投资者要求的收益率也是6%，如果市场利率上升，债券价格有下降的风险。

投资者可以采取持有其他债券空头来对冲上述三种债券的面值都是100。

现在我们来确定应持有这两种债券的数量x ，y ，使这个资产组合能够对冲它的利率风险。

1004378.71008378.132596.949709.010********.94⨯=⨯⨯+⨯⨯=⨯+⨯y x y x 得到的解为：5027.05276.0==y x这个资产组合y 叫久期匹配的资产组合。

三、久期与免疫（immunization ）从短期看，利率下降，债券的价格上涨，债券的短期投资者将会从利率下降获益。

反之，如果利率上升，短期持有债券就会受到损失。

从长期的角度考虑，情况正好相反，利率下降将会导致利息的再投资收益的下降，也会导致资本利得的下降。

反之则反之。

从以上的分析，我们可以猜测存在一个“中期”；从“中期”看投资者的收益基本上不受利率变化的影响。

这个“中期”恰好是债券的久期。

投资者的投资期限正好等于其持有的资产组合的久期，利率的任何变化对投资的收益不会造成影响。

第三节 浮动利率债券的久期浮动利率债券产生于20世纪80年代，也有到期日、面值，但它的息票率是不固定的。

一般地，一个浮动利率债券刚发行，或者，刚购买一个浮动利率债券，它的下一个利息支付已经确定。

则债券的价格与市场参考利率有关系：221221212121212221211212211212212211212212⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---=-=-∑∑R R R R R R dR dP R RR R R RR R R R R RR R P N N k k N N k k如果一个浮动利率债券的息票率是参考利率的两倍，这个债券被称为双倍浮动利率债券（double floater ）。

可以证明双倍浮动利率债券的久期是负值。

第四节 凸 度把债券价格看成收益率的函数，把它用泰勒展开式展开得到：()()Pdy Pd y Pdy P d y P dy dPP P y dy P d y dy dP P 222222222121=∆+∆≈∆∆+∆≈∆凸度凸度定义为：例3 考虑一个10年后到期，面值是100元，息票率是6%，半年付息一次的平价债券，其久期和凸度经过计算分别为D=7.44，C=68.77。

假定收益率上升0.5%，利用凸度可以计算出价格变化为：37.9663.310063.32%177.681002144.72%11002=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯-价格下降到： 如果收益率下降0.5%，导致的价格变化为：81.10381.310081.32%177.681002144.72%11002=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-价格上升到：凸度的解释 首先从Macaulay 久期开始 ()"'2'111P P y P P P y P dy dMD P y dy dP MD +-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=求导数得到由前述久期的性质中的公式知： ()()()()()()()()()()()[]1111111111c 11122"'"'2'11212+++==+++-=+-=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=+--+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=-=-=-∑∑MD MD S y C S C y MD MD C PP y MD P P C P P y P P P y P S y MD t P y S MD t P y c y dy dMD Tt t tT t t t 代入上式，得到：，则有：如果记凸度为有：记：上式给出了凸度的准确金融含义，台由两项构成，第一项S 是现金流的集中程度，第二项反映了久期的大小。

在久期给定的情况下，凸度就反映了债券带来的现金流的集中程度，现金流越集中，凸度越小，现金流越分散，凸度越大。

一个债券的凸度除了取决于现金流的集中程度外，还与收益率、到期日、息票率有关，收益率越高，凸度越小；到期日越远，凸度越大；息票率越大，凸度越小。

第五节 凸度与风险管理一、资产组合的凸度资产组合的凸度定义为：资产组合的凸度等于资产组合中的各个证券凸度的加权平均，权值是各个证券的价值占组合价值的比率。

不失一般性，假定资产组合P 由1N 份债券1B 和2N 份债券2B 组成，债券、债券组合的现价仍分别记成P B B ,,21，则价格之间有关系为：2211B N B N P +=求两次导数，然后除以价格P ，得到：21221122222221211122111B B P C P B N C P B N dy B d B PB N dy B d B P B N dy P d PC +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 利率的变化，会导致债券的价格的变化，如果债券持有者不愿意承担这个利率风险，可以通过其他债券的组合把该利率风险对冲掉。

如果一个资产组合与目标债券具有相同的久期、凸度，现价也相同，则这一资产组合与目标债券持有反向的头寸，利率风险就可以对冲掉。

例4 为简便起见，假定本例中所有债券的收益率都是6%，目标资产为：为了构造久期、凸度匹配的资产组合，假定三种债券各需要的数量为x 、y 、z ，它们应该满足条件：1. 资产组合的价格=目标资产的价格：1001001002596.94=++z y x2. 资产组合的久期=目标资产的久期：1004378.71008378.131002651.42596.949709.0⨯=⨯+⨯+⨯z y x3. 资产组合的凸度=目标资产的凸度：1007748.681004700.2961007665.212596.94413.1⨯=⨯+⨯+⨯z y x求解结果为：1271.0,4669.1,6302.0==-=z y x二、凸度与免疫雷丁顿（F. M. Redington ）1952年首先把久期、凸度等概念应用到债券免疫中。