工程力学-26习题课

求：σr3
M0
A
M0
F
F
B
45°
A B
分析：A点应力状态
σ = E ε0 τ=？
与B点的τ相等！
Aσ τ
σ Bτ
σ45°
如何求B点的τ？
τ
BB
σ
利用广义胡克定律，
45°
σ-45°
[ ( )] ε −450
=
1 E
σ −450
−ν
0 + σ 450
σ −450
=
σ
2
+
σ
2
cos(−2 × 450 ) − τ
组合变形的形式很多，我们应着重掌 握其计算原理和方法，而不是简单记住教 材中现有公式。
p. 154 例9-5 —— 要点：找危险截面
7kN
0.75kNm
7kN
0.75kNm
T
(kNm) 0.75
z
7kN
y 0.75kNm
A B
T
(kNm)
1.4
My （kNm）
0.77
M（z kNm） 1.60
M （kNm）
第一步——选微元体（原则：各面应力已知或可求） （1）一般为直六面体； （2）各边长为无穷小；dx,dy,dz→0 （3）各面应力均匀分布； （4）平行两面对应应力数值相等。 注意：应力下角标含义
相关定义：主平面，主应力 应力状态分类： 单向应力状态 二向（平面）应力状态 三向（空间）应力状态
第二步——单元体局部平衡
M
FQmax= F
Mmax= F/4
注意： FQmax ，Mmax可能位于不同截面， 它们取极值时 F可能位于不同位置。
思考
C
F
a
A
l
D
B
l 4
已知 AB,CD 的几何性质，材料性质， 求结构许可载荷。应如何分析？
AB 强度—— σ 强度（弯），τ 强度（弯） CD 强度—— σ 强度（拉伸）
F
习题课
关于强度和变形的计算问题
关于强度计算的几个特殊问题 关于应力状态问题
一、关于强度计算的几个特殊问题 强度计算的基本思路
外力分析 画受力图，判断问题的性质 内力分析 画内力图，判断危险截面位置 应力分析 应力计算，判断危险点位置 应力状态分析 分析危险点应力状态 强度条件 选择适当的强度理论
1.移动载荷问题
σr3 = σ1 － σ3
适用任意应力状态
适用特殊应力状态 τσ
适用圆截面杆弯扭 组合变形
M
T
F
钢质圆杆的A,W 均已知，下列强度
条件正确的是那个？
(A) F + M 2 +T 2 ≤ [σ ]
AW
(B)
F
2
+
M
2
+
T
2
≤
[σ ]
A W W
(C )
F + M 2 + T 2 ≤ [σ ] (D)
求任意斜截面上的应力（以平面为例） α面，正应力，剪应力的正负规定
σα
=
σx
+σ y
2
+σx
−σ y
2
cos 2α
− τ xy sin 2α
τα
=
σx
−σ y
2
sin 2α
+ τ xy cos 2α
4
主平面
t an2α 0
=
− 2τ xy σx −σ
y
α0 ， α0 + 900
主应力
σ max
=
σx
sin(−900 ) =
σ
2
+τ
σ 450
=
σ
2
+σ
2
cos(2 × 450 ) − τ
sin 900
=
σ
2
−τ
ε −45
=
1 E
σ
(
2
+ τ ) −ν σ
2
− τ
=
1 E
σ
2
(1 −ν ) + τ (1 +ν )
⇒
τ
=
Eε 45
−σ
2
(1 −ν )
1+ν
σ r 3 = σ 2 + 4τ 2
2.反问题
正问题：已知载荷，结构，求响应； 外力——内力——应力，变形
反问题：已知响应，求载荷。 应力，变形——内力——外力
y
A
B
x
y=Ax3
l
反问题
已知：挠曲线 y =Ax3( A<0) , EI = 常数 求：梁上载荷 分析：1. 反映外力与内力的关系
——FQ , M 与 q 的微分关系 ；
[ ] σ r4 =
1 2
(σ 1
− σ 2 )2
+
(σ 2
−σ 3 )2
+
(σ 3
− σ 1 )2
(形状改变比能理论)
45
3.公式适用范围问题
每个公式都有其适用条件，使用公式时
应注意这些条件。
如
σr3 = σ1 － σ3
σ r 3 = σ 2 + 4τ 2
σ r3 =
M2 +T2 W
都是第三强度 理论相当应力表 达式，是否可以 随意使用？
求：（1）Mmax , FQmax ; （2）两端约束情况 ; （3）载荷情况。
( ) 解： w = q0 x l 3 − 3lx2 + 2x 3 48EI ( ) θ = w′ = q0 l 3 − 9lx2 + 8x 3 48EI
( ) M = EIw′′ = q0 − 18lx + 24x 2 48
3. 叠加： 危险点应力叠加 （注意应力作用面）
4. 强度计算： 选择适当的强度理论。
18
斜弯曲
一、概念
外力：载荷虽过形心作用线
z
不与形心主惯性轴重合；
内力: 弯矩矢不与形心主
惯性轴重合（可分解成两
Py
个形心主惯性轴方向的弯
y
矩）；
α
P
Pz
变形：挠曲线不与载荷线
共面。
19
3. 叠加
Mymax单独作用
拉（压）弯组合
l
φ
F
一、概念
外力：轴向，横向 内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）
37
二、强度计算
A
l
B
A
φ=
F
FN
l
Fcosφ
B Fcosφ ＋ A
M
Flsinφ
Fsinφ B
l
1. 分类 2. 分别计算：作内力图 ;
危险截面：A: N=Fcosφ, M =Flsinφ 危险点：A 截面上（下）缘，单向应力状态
正确答案：C
图示3个单元体中最大切应力相等的是_____。
（应力单位MPa。）
+σ y
2
+
σ
x
−σ
2
y
2
+τ
2 xy
σ min
=
σx
+σ y
2
−
σ
x
− 2
σ
y
2
+
τ
2 xy
应力第一不变量
σα+ σα+90° = σmax+ σmin = σx +σy = 常数
垂直
主应力表达式
σ′ = σx +σy +
2
σ
x
−σ
2
y
2
+τ
2 xy
（大主应力）
σ ′′ = σ x + σ y −
内力：作内力图
危险截面：A
M = 3F l
T = FD 2
3F
B
27
z
D1
A τ
D2
D1 σ τ
D2 σ τ
应力分析：
y
T
z D1 σ y
x
AM
x
D2
（3）叠加 二向应力状态
（4）强度条件
σ r 3 = σ 2 + 4τ 2 ≤ [σ ]
σ r 4 = σ 2 + 3τ 2 ≤ [σ ]
28
4. 复杂组合变形强度计算
48
FQ
=
EIw ′′′
=
q0 (− 18l
48
+ 48x)
q = EIw(4) = q0
x=0, w=0 , M=0 , FQ≠0 , θ ≠0 铰支座 x=l , w=0 , θ =0 , FQ≠0 , M≠0 固定端
q0
l
应力状态：过一点不同方向面上应力的集合。（哪一点，
哪个方向面）
应力单元体（微元体）：表示一点应力状态
Al
l
2
2
Al
l
2
2
C
弯曲 σmax ——
a
F 位于梁 AD 中部
D
B
l 4
Fl M max1 = 4
C
aF
D
B
l 4
F 位于梁 AB 右端
M max
2
=
Fl 4
Al 2
C
aF
D
B
弯曲 τmax —— F 位于梁 AB 右端
FQ max = F
l
l
2
4
拉伸 σmax ——
F 位于梁 AB 右端
5 FN max = 4 F