条件概率_作业
2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【含解析】
2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【原卷版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为()A.78B.34C.14D.183.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.34.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.845.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.9.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A,乙小组研发芯片B,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.8411.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =1612.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________. 13.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.14.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P1=110,P2=19,P3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.2025年高考数学一轮复习课时作业-事件的独立性、条件概率与全概率公式【解析版】(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)若P(AB)=19,P( )=23,P(B)=13,则事件A与B的关系是()A.互斥B.对立C.相互独立D.既互斥又相互独立【解析】选C.因为P(A)=1-P( )=1-23=13,所以P(A)P(B)=19,所以P(AB)=P(A)P(B)≠0,所以事件A与B相互独立,事件A与B不互斥也不对立.2.(5分)(2024·泉州模拟)某运动员每次射击击中目标的概率均相等,若三次射击中,至少有一次击中目标的概率为6364,则射击一次,击中目标的概率为() A.78B.34C.14D.18【解析】选B.设该运动员射击一次,击中目标的概率为p,若该运动员三次射击中,至少有一次击中目标的概率为1-1- 3=6364,解得p=34.3.(5分)小王每天在6:30至6:50出发去上班,其中在6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为()A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3【解析】选B.由题意,在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3×0.1+0.7×0.2=0.17.4.(5分)设甲乘汽车、动车前往目的地的概率分别为0.4,0.6,汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9,则甲正点到达目的地的概率为()A.0.78B.0.8C.0.82D.0.84【解析】选C.设事件A表示“甲正点到达目的地”,事件B表示“甲乘动车到达目的地”,事件C表示“甲乘汽车到达目的地”,由题意知P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A|B)=0.9,P(A|C)=0.7.由全概率公式得P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)=0.6×0.9+0.4×0.7=0.54+0.28=0.82.5.(5分)(多选题)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是()A.P(B)=25B.P(B|A1)=511C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3是两两互斥的事件【解析】选BD.由题意知,A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;P(A1)=510=12,P(A2)=210=15,P(A3)=310,P(B|A1)=511,由此知,B正确;P(B|A2)=411,P(B|A3)=411;而P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=12×511+15×411+310×411=922,由此知A,C 不正确.6.(5分)(多选题)(2024·湖南师大附中模拟)已知某数据库有视频a个、图片b张 , ∈N*, > >1,从中随机选出一个视频和一张图片,记“视频甲和图片乙入选”为事件A,“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为事件C,则下列判断中正确的是()A.P(A)=P(B)+P(C)B.P(A)=P(B)·P(C)C.P( )>P( C)+P(B )D.P( C)<P(B )【解析】选BC.由相互独立事件的概率的乘法计算公式,可得A错误,B正确;事件 包含“视频甲未入选,图片乙入选”“视频甲入选,图片乙未入选”“视频甲、图片乙都未入选”三种情况,所以P( )=P( C)+P(B )+P( ),则P( )>P( C)+P(B ),所以C正确;由题可知,P( C)=1-·1 = -1 ,P(B )=1 ·1-= -1 ,因为a,b∈N*,a>b>1,所以 -1 > -1 ,即P( C)>P(B ),故D错误.7.(5分)某医生一周(7天)晚上值2次班,在已知他周二晚上一定值班的条件下,他在周三晚上值班的概率为________.【解析】设事件A 为“周二晚上值班”,事件B 为“周三晚上值班”,则P (A )=C 61C 72=27,P (AB )=1C 72=121,故P (B |A )= ( ) ( )=16.答案:168.(5分)某射击运动员每次击中目标的概率为45,现连续射击两次.(1)已知第一次击中,则第二次击中的概率是________;(2)在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是________.【解析】(1)设第一次击中为事件A ,第二次击中为事件B ,则P (A )=45,由题意知,第一次击中与否对第二次没有影响,因此已知第一次击中,则第二次击中的概率是45.(2)设仅击中一次为事件C ,则仅击中一次的概率为P (C )=C 21×45×15=825,在仅击中一次的条件下,第二次击中的概率是P (B |C )=15×45825=12.答案:(1)45(2)129.(10分)(2024·苏州模拟)苏州某公司有甲、乙两个研发小组,开发芯片需要两道工序,第一道工序成功的概率分别为15和35.第二道工序成功的概率分别为12和23.根据生产需要现安排甲小组研发芯片A ,乙小组研发芯片B ,假设甲、乙两个小组的研发相互独立.(1)求两种芯片都研发成功的概率;(2)政府为了提高该公司研发的积极性,决定只要有芯片研发成功就奖励该公司500万元,求该公司获得政府奖励的概率.【解析】(1)甲小组研发芯片A 成功的概率为p 1=15×12=110,乙小组研发芯片B 成功的概率为p 2=35×23=25,由于甲、乙两个小组的研发相互独立,所以A ,B 两种芯片都研发成功的概率P=p1·p2=110×25=125.(2)该公司获得政府奖励则需有芯片研发成功,根据对立事件可知获奖的概率: P=1-(1-p1)(1-p2)=1-(1-110)(1-25)=1-910×35=2350.【能力提升练】10.(5分)(2024·南京模拟)在一段时间内,若甲去参观市博物馆的概率为0.6,乙去参观市博物馆的概率为0.5,且甲乙两人各自行动,则在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是()A.0.3B.0.32C.0.8D.0.84【解析】选C.依题意,在这段时间内,甲乙都不去参观博物馆的概率为P1=1-0.6×1-0.5=0.2,所以在这段时间内,甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是P=1-P1=1-0.2=0.8.11.(5分)(2024·苏州模拟)杭州亚运会组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则()A.事件A与B相互独立B.事件A与C为互斥事件C.P =13D.P =16【解析】选D.将4名志愿者分配到三座体育馆,每座体育馆至少派1名志愿者,共有C42C21A22·A33=36种安排方案;志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心,各有C32A22+A33=12种方案,所以P =P =P(C)=1236=13;志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心,有A22=2种方案,所以P =236=118;志愿者甲派往黄龙体育中心且志愿者乙派往杭州奥体中心,有1+C21C21=5种方案,所以P =536;对于A,因为P ≠P P ,所以事件A与B不相互独立,A错误;对于B,因为P =536≠0,所以事件A与C不是互斥事件,B错误;对于C,P =53613=512,C错误;对于D,P =11813=16,D正确.12.(5分)(2024·泉州模拟)某中学为丰富学生的业余生活,举行“汉字听写大会”,老师要求参赛学生从星期一到星期四每天学习2个汉字及正确注释,每周五对一周内所学汉字随机抽取4个进行检测(一周所学的汉字每个被抽到的可能性相同),若已知抽取4个进行检测的字中至少有一个字是最后一天学习的,则所抽取的4个进行检测的字中恰有3个是后两天学习过的汉字的概率为________.【解析】设进行检测的4个汉字中至少有一个是最后一天学习的为事件A,恰有3个是后两天学习过的汉字为事件B,则事件A所包含的基本事件有n(A)=C21×C63+C62×C22=55,事件B所包含的基本事件有n(B)=C41×C43=16,所以P | = ( ) ( )= ( ) ( )=1655.答案:165513.(5分)(2024·长春模拟)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=13,P(B)=34, P(A+ )=12,则P(A )=________,P(B|A)=__________.【解析】由题知,P (A )=13,P (B )=34,P (A + )=P +P -P =12,即13+14-P =12,则P (A )=112.因为P +P P ,所以P =13-112=14,则P (B |A =1413=34.答案:1123414.(10分)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产.在试产初期,该款芯片的生产有四道工序,前三道工序的生产互不影响,第四道是检测评估工序,包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为P 1=110,P 2=19,P 3=18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率;(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰,合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽检.在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下,求工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率.【解析】(1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P =1-(1-110)(1-19)(1-18)=310.(2)设“该款芯片智能自动检测合格”为事件A ,“人工抽检合格”为事件B ,则P (A )=910,P (AB )=1-310=710,则工人在流水线进行人工抽检时,抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )= ( )( )=710910=79.15.(10分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率是0.03,第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起,并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.(1)求任意取出的零件是合格品的概率;(2)如果任意取出的零件是废品,求它是第二台车床加工的概率.【解析】设A i表示“第i台车床加工的零件(i=1,2)”,B表示“出现废品”,C表示“出现合格品”.(1)P(C)=P(A1C∪A2C)=P(A1C)+P(A2C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)=23×(1-0.03)+13×(1-0.02)≈0.973. (2)P(A2|B)= ( 2 ) ( )= ( 2) ( | 2)( 1) ( | 1)+ ( 2) ( | 2)=13×0.0223×0.03+13×0.02=0.25.。
条件概率经典习题(含解析)
一．选择题（共11小题）1．从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是（）A．B．C．D．2．已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.2，则P（）＝（）A．B．C．D．3．从某班包含甲、乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．4．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P（B|A），P（A|B）分别等于（）A．，B．，C．，D．，5．已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（C）＞0，下列说法错误的是（）A．若事件A，B独立，则P（A）＝P（A|B）B．若事件A，B互斥，则P（B|A）＝P（A|B）C．若事件A，B独立，则P（C|AB）＝P（C|A）P（C|B）D．若事件A，B互斥，事件A，C独立，事件B，C独立，则P（C|（A+B））＝P（C|A）．6．6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为（）A．B．C．D．7．盒子里有1个红球与n个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次．若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则n＝（）A．3B．4C．6D．88．甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是红球”，则P（D）＝（）A．B．C．D．9．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，A表示事件“至少抽到1本数学书”，B表示事件“抽到语文书和数学书”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．10．设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P（B|A）＝0.3，则P（A|B）＝（）A．0.24B．0.375C．0.4D．0.511．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7二．填空题（共4小题）12．从﹣2，﹣1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件B．则P（B|A）＝．13．一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为．14．已知随机事件A，B，P（A）＝，P（B）＝，P（A|B）＝，则＝．15．已知，，则P（B）＝．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．从5名女生2名男生中任选3人参加学校组织的演讲比赛，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是（）A．B．C．D．解答：解：设女生甲被选中为事件A，事件A表示女生甲被选中后再从剩下的6人中选2人，故，设男生至少一人被选中为事件B，事件AB表示女生甲被选中后再选2男生或1男生和1女生（从剩余4女生中选），故，则在女生甲被选中的条件下，男生至少一人被选中的概率是．故选：C．2．已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.2，则P（）＝（）A．B．C．D．解答：解：P（B）＝P（A）P（B|A）+，∵P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，P（B|）＝0.2，∴0.3＝P（A）×0.9+[（1﹣P（A）]×0.2，解得P（A）＝，∴．故选：A．3．从某班包含甲、乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．解答：解：令事件A为甲被选中的情况，事件B为乙被选中的情况，故P（A）＝，P（AB）＝，故P（B|A）＝．故选：A．4．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P（B|A），P（A|B）分别等于（）A．，B．，C．，D．，解答：解：由题意知：事件AB＝“三个点数都不同且至少出现一个6点”，∵，，，∴，．故选：B．5．已知P（A）＞0，P（B）＞0，P（C）＞0，下列说法错误的是（）A．若事件A，B独立，则P（A）＝P（A|B）B．若事件A，B互斥，则P（B|A）＝P（A|B）C．若事件A，B独立，则P（C|AB）＝P（C|A）P（C|B）D．若事件A，B互斥，事件A，C独立，事件B，C独立，则P（C|（A+B））＝P（C|A）．解答：解：A，若事件A，B独立，则P（A|B）＝＝＝P（A），故A正确，B，若事件A，B互斥，则P（AB）＝0，则P（B|A）＝＝0，P（A|B）＝＝0，∴P（B|A）＝P（A|B），∴B正确，C，若事件A，B独立，则P（AB）＝P（A）P（B），∴P（C|（AB））＝＝＝+≠P（C|A）P（C|B），故C错误，D，∵事件A，B互斥，∴P（A+B）＝P（A）+P（B），∵事件A，C独立，事件B，C独立，∴P（AC）＝P（A）P（C），P（BC）＝P（B）P（C），∴P（C|（A+B））＝＝＝＝＝P（C）＝＝P（C|A），故D正确．故选：C．6．6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，如果不放回地依次抽取2道题目，则在第1次抽到理科题目的条件下，第2次抽到理科题目的概率为（）A．B．C．D．解答：解：由题意，6道题目中有5道理科题目和1道文科题目，不放回地抽取两次，设第一次抽到理科题目为事件A，第二次抽到理科题目为事件B，则，P（AB）＝，则P（B|A）＝．故选：B．7．盒子里有1个红球与n个白球，随机取球，每次取1个球，取后放回，共取2次．若至少有一次取到红球的条件下，两次取到的都是红球的概率为，则n＝（）A．3B．4C．6D．8解答：解：设事件A为至少有一次取到红球，事件B为两次都取到红球，由每次取后放回知，两次都取到白球的概率为，故，，故n＝4．故选：B．8．甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A，B，C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以D表示事件“取出的是红球”，则P（D）＝（）A．B．C．D．解答：解：由题意可得，P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，故P（D）＝P（AD）+P（BD）+P（CD）＝．故选：C．9．已知桌上放有3本语文书和3本数学书．小明现从这6本书中任意抽取3本书，A表示事件“至少抽到1本数学书”，B表示事件“抽到语文书和数学书”，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．解答：解：根据题意可得，，由条件概率的公式得．故选：D．10．设A，B为两个事件，已知P（B）＝0.4，P（A）＝0.5，P（B|A）＝0.3，则P（A|B）＝（）A．0.24B．0.375C．0.4D．0.5解答：解：设A，B为两个事件，由已知P（A）＝0.5，P（B|A）＝0.3，得P（AB）＝P （B|A）⋅P（A）＝0.15，所以，故选：B．11．袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连取两个．已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7解答：解：袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中3个红球和2个白球．现从袋中不放回地连取两个．设事件A表示“第一次取到红球”，事件B表示“第二次取到白球”，P（A）＝，P（AB）＝＝，∴第一次取得红球的条件下第二次取得白球的概率为：P（B|A）＝＝＝0.5．故选：B．二．填空题（共4小题）12．从﹣2，﹣1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数，记“两数之积为正数”为事件A，“两数均为负数为事件B．则P（B|A）＝．解答：解：从﹣2，﹣1，1，2，3这5个数中任取2个不同的数有种取法，其中满足两数之积为正数的有种取法，满足两数之积为正数且两数均为负数的有种取法，所以，，所以．故答案为：13．一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为．解答：解：若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为，而，，故．故答案为：．14．已知随机事件A，B，P（A）＝，P（B）＝，P（A|B）＝，则＝．解答：解：依题意得，所以，故，所以．故答案为：．15．已知，，则P（B）＝．解答：解：由题意得，而，得，而，解得，故答案为：．。
条件概率和二项分布
2019年11月18日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A ，“摸得的两球不同色”为事件B ，则概率()|P B A 为( )A ．14B ．23C ．13D ．122．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 A ．25B ．35C ．12D ．233．若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为（ ） A ．37B ．45C ．67D ．12134．如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ） A ．415B ．730C ．15D ．165．在体育选修课排球模块基本功(发球)测试中，计分规则如下(满分为10分)：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加0.5分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加1.5分，以此类推，⋯，连续七次发球成功加3分.假设某同学每次发球成功的概率为23，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )A ．6523B ．5523C ．6623D ．56236．一个正四面体的四个面上分别标有数字1,2,3,4.掷这个四面体四次，令第i 次得到的数为i a ，若存在正整数k 使得14kii a-=∑的概率mp n=，其中,m n 是互质的正整数，则54log log m n -的值为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-7．小华与另外4名同学进行“手心手背”游戏，规则是：5人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得0分.现5人共进行了3次游戏，记小华3次游戏得分之和为X ，则EX 为（ ） A ．1516B ．3316C ．158D ．328．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a 、b 、c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a －b |的取值”，则ξ的数学期望E (ξ)为( ) A ．89B ．35C ．25D ．139．在某项测量中，测量结果()2~0,X N σ，且0σ>，若X 在()0,1内取值的概率为0.3,则X 在()1,+∞内取值的概率为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.410．已知随机变量()2~0,X N σ，若()10.2P X >=，则()01P X <<的值为( )A ．0.1B ．0.3C ．0.6D ．0.411．一次考试中，某班学生的数学成绩X 近似服从正态分布()100,100N ，若()901100.68P X ≤≤≈，则该班数学成绩的及格（成绩达到90分为及格）率可估计为（ ） A ．90% B ．84%C ．76%D ．68%二、填空题12．甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为23，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______．13．袋中装有10个形状大小均相同的小球，其中有6个红球和4个白球.从中不放回地依次摸出2个球，记事件A =“第一次摸出的是红球”，事件B =“第二次摸出的是白球”，则()|P B A =______.14．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则(|)P B A =________.15．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()P B A =______．（结果用分数表示）附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=．16．任取两个小于1的正数x 、y ，若x 、y 、1能作为三角形的三条边长，则它们能构成钝角三角形三条边长的概率是________．17．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则q p -的最大值为_____.18．下列命题中，正确的命题的序号为__________．①已知随机变量服从二项分布(,)B n p ，若()30E X =，()20D X =，则23p =； ②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则1(10)2P p ξ-<≤=-； ④某人在10次射击中，击中目标的次数为X ，(10,0.8)X B :，则当8X =时概率最大.19．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如里这n 次抛掷所出现的点数和大于2n ，则算过关，可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为______；若直接挑战第四关，则通关的慨率为______．三、解答题20．有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；（Ⅱ）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望； （Ⅲ）求该学生被该校录取的概率. 21．已知()()()121,,234P A P B A P B A ===,求()()P B P A B ，. 22．为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛.经过层层选拔,最终甲乙两人进入总决赛,争夺冠军.决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜.已知甲、乙答对每道题的概率分别为23和34，且每次答题的结果相互独立. （Ⅰ）若乙先答题，求甲3:0获胜的概率；（Ⅱ）若甲先答题，记乙所得分数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .23．某家畜研究机构发现每头成年牛感染H 型疾病的概率是(01)p p <<，且每头成年牛是否感染H 型疾病相互独立．（1）记10头成年牛中恰有3头感染H 型疾病的概率是()f p ，求当概率p 取何值时，()f p 有最大值？（2）若以（1）中确定的p 值作为感染H 型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k 头感染H 型疾病的概率是()g k ，求当k 为何值时，()g k 有最大值？本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
校本条件概率 参考答案(答案)第七章 7.1.1 (1)
校本作业(27) 7.1.1 (1)条件概率 参考答案1 .已知A 与8是两个事件，P(8)=币P(A8)=g,则P(A ∣B)等于()β∙4C.∣ O1答案D 解析 由条件概率的计算公式，可得⑻=镭14442 . 4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学不放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是()答案B解析 因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的 概率显然是g.3 .在某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%,语文不及格的占5%,两门都不及格的占3%,已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A. 0.2B. 0.33C. 0.5D. 0.6答案A解析 设事件A 为“数学不及格”，事件8为“语文不及格”，P(5H)=3富=黑=0.2.所以数学不及格 时，该学生语文也不及格的概率为0.2.4 .甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%,乙市占18%,两地同时下雨占12%,记尸(A)=0.2, P(B)=(M8, P(AB)=0.12,则尸(A ∣B)和也(B ∣A)分别等于()B⅜答案C5 .从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A= "取到的2个数之和为偶数”，事件8= "取到的2个数均为偶数”，则P(8∣A)等于()A∙3D.；解析尸⑷8)=需=媒=|,P(B ∖A)= P(AB)_0J2_3P(A) ="0T =5-D.：2 53 5 3 5答案B解析 P(Λ)=¾^=∣,P(AB)=∣⅜=⅛,由条件概率的计算公式，得P(5∣A)尸⑷ 4,6 .抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件A 为“两个点数不同”，事件3为“两个点数中最大点数为4” ,则P(B ∣A)等于()A⅛C-5答案C解析由题意，知抛掷两枚均匀骰子，构成的样本点的总数共有36个, 其中事件A 包含的样本点共有36—6=30(个),又由事件“两个点数不同且最大点数为4”的样本点为(1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3),共有6个,所以 P(B ∣A)= ,∕∙∖)=布=5'故选 C.1∖∕∖) DU J367 .分别用集合M={2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是 12,则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是 __________ .4答案7解析 设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A, “取出的两个元素构成可约分数”为事件B,则〃(A)=7, "(A8)=4,所以 P(5∣A)=(/.、)=不11∖λ),8 .设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物，它能活到25岁的概率是. 答案0∙5解析 设事件A 为“能活到20岁”，事件8为“能活到25岁”，则P(A) = 0.8, P(B)=0.4, 又所求概率为P(8∣A),由于8GA,故尸(A8)=P(6),所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5.9 .已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.β∙6 D-6则 P(B ∣A)= P(A)—p (A)—0.8 — UQ⑴若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；(2)若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率. 2 2 1解(1)两次都取得白球的概率。
条件概率与独立事件例题和知识点总结
条件概率与独立事件例题和知识点总结在概率论中，条件概率和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个概念，并对相关知识点进行总结。
一、条件概率条件概率是指在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作 P(A|B)。
其计算公式为：P(A|B) ＝ P(AB) ／ P(B) （其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率）例题 1：一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球。
先从中随机取出一个球，不放回，再取一个球。
已知第一次取出的是红球，求第二次取出红球的概率。
解析：第一次取出红球后，盒子里剩下 4 个红球和 3 个白球。
此时总球数为 7 个。
所以第二次取出红球的概率为 4/7。
知识点总结：1、条件概率的本质是在新的信息（即已知某个事件发生）的基础上，重新评估另一个事件发生的可能性。
2、计算条件概率时，要先确定已知条件所限制的样本空间，再计算在这个新样本空间中目标事件发生的概率。
二、独立事件如果事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生也不影响事件 A 发生的概率，那么事件 A 和事件 B 称为相互独立事件。
即P(A|B) ＝ P(A) 且 P(B|A) ＝ P(B) 。
例题 2：掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件 A ＝“第一次掷出的点数是1”，事件 B ＝“第二次掷出的点数是2”，判断事件 A 和事件 B是否独立。
解析：因为第一次掷骰子的结果不影响第二次掷骰子的结果，所以P(B|A) ＝ P(B) ＝ 1/6 ，P(A) ＝ 1/6 ，满足独立事件的条件，所以事件A 和事件B 是独立事件。
知识点总结：1、独立事件的判断关键在于看一个事件的发生是否会改变另一个事件发生的概率。
2、对于两个独立事件 A 和 B ，它们同时发生的概率为 P(AB) ＝P(A)×P(B) 。
三、条件概率与独立事件的综合例题例题 3：一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率。
条件概率练习题
条件概率练习题一、选择题1. 条件概率P(A|B)表示：A. 事件A发生的条件概率B. 事件B发生的条件概率C. 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率D. 事件A和事件B同时发生的概率2. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A|B)等于：A. 0B. 1C. P(A)D. P(B)3. 已知P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(A∩B) = 0.2，那么P(A|B)等于：A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.64. 贝叶斯定理表明了：A. 事件的独立性B. 事件的互斥性C. 条件概率的计算方法D. 事件的必然性5. 如果两个事件A和B相互独立，那么P(A∩B)等于：A. P(A) + P(B)B. P(A) - P(B)C. P(A) × P(B)D. P(A) / P(B)二、计算题6. 已知事件A和事件B的概率分别为P(A) = 0.45，P(B) = 0.55。
如果事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = 0.25，求在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)。
7. 假设在一个班级中，有60%的学生通过了数学考试，40%的学生通过了物理考试，同时通过数学和物理考试的学生占30%。
求：(a) 一个学生通过了物理考试但没有通过数学考试的概率。
(b) 一个学生通过了数学考试的条件下，他通过了物理考试的条件概率。
8. 假设在一个城市中，有70%的居民拥有汽车，30%的居民拥有游艇。
同时拥有汽车和游艇的居民占20%。
求：(a) 一个居民拥有游艇但没有汽车的概率。
(b) 一个居民拥有汽车的条件下，他拥有游艇的条件概率。
三、应用题9. 在一个小镇上，有两家医院。
医院A的诊断准确率为90%，医院B的诊断准确率为80%。
小镇上患某种罕见病的居民占总人口的1%。
如果一个居民被医院A诊断为患病，求他实际上患病的概率。
10. 假设在一次抽奖活动中，有三类奖品：一等奖、二等奖和三等奖。
高中数学第六章概率1随机事件的条件概率1-3全概率公式分层作业北师大版选择性必修第一册
所以
(1 )(|1 )
P(A1|B)=
()
1 2 3 4 5 6 7 8 9
=
0.25×0.05
0.038 5
=
25
.
77
8.有甲、乙两袋装有除颜色外,形状、大小完全相同的小球,甲袋中有3个
白球、2个黑球;乙袋中有4个白球、4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙
A1,A2,A3两两互斥,
设B为“任取一零件为次品”,
所以
5
7
8
P(A1)=
=0.25,P(A2)=
=0.35,P(A3)=
=0.4,
5+7+8
5+7+8
5+7+8
P(B|A1)=0.05,P(B|A2)=0.04,P(B|A3)=0.03,
于是,由全概率公式可得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
1
A.4
1
B.3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
2,3,4,5 号 4
1
C.2
2
D.3
4.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子、1.5%的三等种子、1%的
四等种子.用一、二、三、四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分
别为0.5,0.15,0.1,0.05,这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率
P(B|A3)=0.1,P(B|A4)=0.05,
4
所以 P(B)= ∑ P(B|Ai)P(Ai)=0.5×95.5%+0.15×2%+0.1×1.5%+0.05×1%=0.482 5.
概率论作业1
第三节 条件概率一、已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=A B P ，求)(B A P 。
二、有人来访，他坐火车、汽车和飞机的概率分别为0.4，0.5，0.1，若坐火车，迟到的概率是0.1，若坐汽车，迟到的概率是0.2，若坐飞机则不会迟到，求他迟到的概率。
三、按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格，据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：考试及格的学生有多大可能是不努力学 习的人？第四节 独立性一、选择题：（1）设8.0)(=A P ，7.0)(=B P ，8.0)(=B A P ，则下列结论正确的是（ ）。
（A ）A B ⊃ （B ）)()()(B P A P B A P +=⋃ （C ）事件A 与事件B 相互独立 （D ）事件A 与事件B 互逆（2）设1)(0<<A P ，1)(0<<B P ，1)()(=+B A P B A P ，则（ ）。
（A ） 事件A 与B 互不相容 （B ）事件A 与B 互逆 （C ） 事件A 与B 不相互独立 （D ）事件A 与B 相互独立 二、已知α=)(A P ，3.0)(=B P ，7.0)(=⋃B A P ，（1）若事件A 与B 互不相容，求α；（2）若事件A 与B 相互独立，求α。
三．一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为80，求此射手每次射击的命中率。
四、加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02，0.03，0.05，0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率。
第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量一、填空题（1） 设随机变量X 只能取0，1，2，且X 取这些值的概率依次为151,,244c c c，则ｃ＝ 。
(2) 某射手对一目标射击，直至击中为止，如果每次射击命中率为p （0<P <1） ，以X 表示射击的次数，则X 的分布律为 。
条件概率及答案
条件概率1.甲乙两城市都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道一年中雨天的比例甲城市占20%,乙城市占18%，两地同时下雨占12%.求（1）已知甲城市下雨，求乙城市下雨的概率；（2）已知乙城市下雨，求甲城市下雨的概率；2.设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品.从中任取1件, 求（1）取得一等品的概率；（2）已知取得的是合格品，求它是一等品的概率.3.把一枚硬币任意抛掷两次，事件A表示“第一次出现正面”，事件B表示“第二次出现正面”，求P （BIA）.4.一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率.5.抛掷红、蓝两个骰子，事件A表示“红骰子出现4点”，事件B表示“蓝骰子出现的点数是偶数"，求P （AIB）.6.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.7.两台车床加工同一种零件共100个，结果如下8.掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6点的概率.9.设某种动物活到20岁以上的概率为0.7,活到25岁以上的概率为0.4,求现龄为20的这种动物能活到25 岁以上的概率？10.某彩票的中奖规则为：从1, 2,…，6这六个号码中任意选出三个不同的号码，如果全对（与顺序无关）则中一等奖，求（1）买一注号码中一等奖的概率；（2）假设本期开出的中奖号码为1，2, 3,如果某位彩票预测专家根据历史数据推断本期中奖号码中必有2,那么买一注号码中一等奖的概率是多少？（3）若预测本期不会出现5,且本期开出的中奖号码为1, 2, 3,那么买一注号码中一等奖的概率是多少？11.设A, B 为两事件，已知P（A）=0.5, P（B）=0.6, P（BI A）=0.4,试求（1）P（A B）；（2）P（AB）；12.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率. 解析：A=｛第一次取到白球｝13.盒子中有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.14.盒中有10个红球及1个黄球.A随意抽出第一个球后不放回盒中，之后B随意抽出第二个球.求下列事件的概率.（1）A和B都抽得红球.（2）A和B都抽得黄球.（3）A抽得黄球和B抽得红球.（4）A和B抽得不同颜色的球.（5）已知B抽得黄球，A抽得红球.15.设某种灯管使用了500 h还能继续使用的概率是0.94,使用到700 h后还能继续使用的概率是0.87,问已经使用了500 h的灯管还能继续使用到700 h的概率是多少？课后导练1 .甲乙两城市都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道一年中雨天的比例甲城市占20%,乙城市占 18%,两地同时下雨占12%.求(1)已知甲城市下雨，求乙城市下雨的概率；(2)已知乙城市下雨，求甲城 市下雨的概率；解析：以事件A 记甲城市出现雨天，事件B 记乙城市出现雨天，事件AB 则为两地同时出现雨天.已知P(A ) =0.20, P (B ) =0.18, P (AB ) =0.12,因此，P (BIA ) =P (AB ) /P (A ) =0.12/0.20=0.60, P (AIB ) =P (AB ) /P (B ) =0.12/0.18= (1) 0.60,(2)0.672 .设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品.从中任取1件，求(1)取得一 等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率.解析：设A 表示取得一等品，B 表示取得合格品，则70(1)因为100件产品中有70件一等品，所以P (A ) = — =0.7(2)方法1：因为95件合格品中有70件一等品，所以70一 =0.736 895方法2：P (AB ) 70/100 = ------- -0.736 8 P (B ) 95/1003 .把一枚硬币任意抛掷两次，事件A 表示“第一次出现正面”，事件B 表示“第二次出现正面”，求P (BIA ). 解析：基本事件空间为：答案：—4 .一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率. 解析：设A 表示取到的产品是一等品，B 表示取出的产品是合格品，则P (AIB ) =45%, P ( B ) =4% 于是 P (B ) =1-P ( B ) =96%所以 P (A ) =P (AB ) =P (B ) P (AIB ) =96%x45%=43.2%5 .抛掷红、蓝两个骰子，事件A 表示“红骰子出现4点”，事件B 表示“蓝骰子出现的点数是偶数"，求P(AIB ). 解析：设蓝、红骰子出现的点数分别为x,y ,则(x-y)表示“蓝骰子出现x 点，红骰子出现y 点”的试验结果， 于是基本事件空间中的事件数为n(Q)=36 (个).n(B)=3x6=18(个)P (AIB ) P (AIB ) Q={ A={ B={ (正 (正 (反 正)， 正)， 正)， 1 (正 反)，(反，正)，(反，反)).・・・P(AB)=4，P(A)=4(正，反)}(正，正)} 2 .•・P(BIA)二 1P (AB ) 4n (B) 18 A P (B)= ------- =——=n (Q) 36P (AB)=3136 12P (AB)A P (AIB)= ---------P (B) 12 丁26.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.解析：设A表示第一次取得白球，B表示第二次取得白球，则6(1)P(2)P(3)P 6 5(AB)=P(A)P(BIA)= x§ -0.33- - - 4 6 (A B)=P( A)p(BI A)= x§ -0.2780 解析：P(A)=10030P(AB)=而,35 P(B)=100，30P(AIB)=358.掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，求至少有一个是6点的概率.解析1：设两枚骰子出现的点数分别为x,y,事件A：“两枚骰子出现的点数不同，即x，y”，事件B：“x,y中有且只有一个是6点”；事件C："x=y=6"，则P(BIA)二10 P ( AB )P(CIA)=P (A) 30360 P (AC) 36P (A)3036设A=｛从100个零件中任取一个是合格品｝B=｛从100个零件中任取一个是第一台车床加工的｝求：P(A),P(B),P(AB),P(AIB).・•・至少有一个是6点的概率为：1 1P(B U CIA)=P(BIA)+P(CIA)=3 +0=3 .解析2：也可用古典概型来求解D“至少有一个是6点”包含的结果数是10个，故所求的概率为:P(D)=30 = 3(由于两枚骰子点数不同，故基本事件空间中包含30个结果).9.设某种动物活到20岁以上的概率为0.7,活到25岁以上的概率为0.4,求现龄为20的这种动物能活到25 岁以上的概率？解析：设这种动物活到20岁以上的事件为人，活到25岁以上的事件为B,贝U P(A)=0.7,而AB=B，即P(AB)=P(B)=0.4.故事件A发生条件下B发生的条件概率为P (AB) 0.4P(B1A)=E "而诬571 410.某彩票的中奖规则为：从1, 2,…，6这六个号码中任意选出三个不同的号码，如果全对(与顺序无关) 则中一等奖，求(1)买一注号码中一等奖的概率；(2)假设本期开出的中奖号码为1, 2, 3,如果某位彩票预测专家根据历史数据推断本期中奖号码中必有2,那么买一注号码中一等奖的概率是多少？(3)若预测本期不会出现5,且本期开出的中奖号码为1, 2, 3,那么买一注号码中一等奖的概率是多少？C 3 1解析：(1)中一等奖概率为：P=f =:C 3 206(2)所有含有号码 2 的组合有(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (2, 3, 4), (2, 3, 5),1(2, 3, 6), (2, 4, 5), (2, 4, 6), (2, 5, 6).故中一等奖概率为P= —=0.1.(3)记事件A为“从1, 2, 3, 4, 5, 6中任选3个数字，这3个数字中不含有5”，事件B：“选的号码为1, 2, 3”，于是：n (A ) C 3P(A)= ------ =一n (Q) C 36P(AB)= K3620A P(BIA)= P (AB)120P (A) 1 1021即中一等奖概率为—.11.设A, B为两事件，已知P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B| A )=0.4,试求(2)P(AB)=P(B)-P( A B)=0.6-0.2=0.412.一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率. 解析：A=｛第一次取到白球｝B=｛第二次取到白球｝因为B=AB U A B且AB与A B互不相容，所以P (B) =P(AB)+P(A B)=P(A)P(BIA)+P( A )P(BI A)6 5 4 6=x —+ — x— =0.610 9 10 913.盒子中有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.解析：设事件A为“从盒子中任取一球，它不是黑球”事件B为“取的球是黄球”，则所求事件的概率为：5P( AB) = 25 = 1P (A)—15 — 3.2514.盒中有10个红球及1个黄球.A随意抽出第一个球后不放回盒中，之后B随意抽出第二个球.求下列事件的概率.(1)A和B都抽得红球.(2)A和B都抽得黄球.(3)A抽得黄球和B抽得红球.(4)A和B抽得不同颜色的球.(5)已知B抽得黄球，A抽得红球.A 2 9解析：(1) P=—10=11(2)P=01X A1 1(3)P= 拚=-A 2 1111A 2 11(4)P= ---- 10 ----- 10A2 1111(5)P(AIB)= P (AB) 11P (A) 10 101115.设某种灯管使用了500 h还能继续使用的概率是0.94,使用到700 h后还能继续使用的概率是0.87,问已经使用了500 h的灯管还能继续使用到700 h的概率是多少？解析：P= 0|4 =0.926(1) P(A B)；(2) P(AB)；解析：(1) P(A B)=P(A)P(BI A)= (1-0.5) x0.4=0.2。
课时分层作业9 条件概率-人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册检测
课时分层作业(九)条件概率(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列说法正确的是()A．P(B|A)＜P(AB)B．P(B|A)＝P(B)P(A)是可能的C．0＜P(B|A)＜1 D．P(A|A)＝0B[由条件概率公式P(B|A)＝P(AB)P(A)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A选项错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝P(B)P(A)，故B选项正确，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选B.] 2．在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有1个红球，2个蓝球，3个黄球，4个绿球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为()A.13 B.310 C.130 D.3100A[依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有3个黄球，而坛子中此时共有9个球，故再取一球取得黄球的概率为P＝39＝13.]3．袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A，“摸得的两球不同色”为事件B，则概率P(B|A)为()A.14 B.23 C.13 D.12B[袋中有大小完全相同的2个红球和2个黑球，不放回地依次摸出两球，设“第一次摸得黑球”为事件A，“摸得的两球不同色”为事件B，则P(A)＝24＝12，P(AB)＝24×23＝13，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1312＝23.] 4．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A.18B.14C.25D.12B [P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14.故选B.] 5．在5张扑克牌中有3张“红心”和2张“方块”，如果不放回地依次抽取2张牌，则在第一次抽到“红心”的条件下，第二次抽到“红心”的概率为( )A.625B.310C.35D.12D [设第一次抽到“红心”为事件A ，第二次抽到“红心”为事件B ，则P (A )＝C 13C 15＝35， P (AB )＝C 23C 25＝310， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.] 二、填空题6．(一题两空)已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.18，P (AB )＝0.12，则P (A |B )＝________，P (B |A )＝________.23 35 [P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23；P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝35.] 7．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再取到不合格品的概率为________．499 [第一次取到不合格品后，还剩99件产品，其中4件不合格品，则第二次再取到不合格品的概率为P ＝499.]8．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于________．12[由题意可知，n (B )＝C 1322＝12，n (AB )＝A 33＝6. 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝612＝12.] 三、解答题9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．求在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率．[解] 根据题意，设“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸出正品”为事件B ，则事件A 和事件B 相互独立，则P (AB )＝610×59＝13，P (A )＝610， 则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13610＝59.故在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为59.10．从1～100共100个正整数中，任取一数，已知取出的一个数不大于50，求此数是2或3的倍数的概率．[解] 设事件C 为“取出的数不大于50”，事件A 为“取出的数是2的倍数”，事件B 为“取出的数是3的倍数”．则P (C )＝12，且所求概率为P (A ∪B |C )＝P (A |C )＋P (B |C )－P (AB |C )＝P (AC )P (C )＋P (BC )P (C )－P (ABC )P (C )＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫25100＋16100－8100＝3350.11．已知盒中装有大小形状完全相同的3个红球、2个白球、5个黑球．甲每次从中任取一球且不放回，则在他第一次拿到的是红球的前提下，第二次拿到白球的概率为( )A.310B.13C.38D.29D [设第一次拿到红球为事件A ，第二次拿到白球为事件B ，则n (A )＝C 13C 19＝27，n (AB )＝C 13C 12＝6，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝627＝29.] 12．某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率是12，在第一次闭合出现红灯的条件下第二次闭合还出现红灯的概率是13，则两次闭合都出现红灯的概率为( )A.16B.56C.13D.23A [记第一次闭合出现红灯为事件A ，第二次闭合出现红灯为事件B ，则P (A )＝12，P (B |A )＝13，所以P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×12＝16.]13．(一题两空)先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (AB )＝________，P (B |A )＝________.16 13 [根据题意，若事件A 为“x ＋y 为偶数”发生，则x ，y 两个数均为奇数或均为偶数，共有2×3×3＝18个基本事件，∴事件A 的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12. 而A ，B 同时发生，基本事件有“2＋4”，“2＋6”，“4＋2”，“4＋6”，“6＋2”，“6＋4”一共6个基本事件，因此事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16. 因此，在事件A 发生的条件下，B 发生的概率为P (B |A )＝13.]14．若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为________．1213[根据题意，设“所取2件产品中有1件不是一等品”为事件A，“一件是一等品，另一件不是一等品”为事件B，则P(A)＝1－C26C28＝1－1528＝1328，P(AB)＝C12C16C28＝1228，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1213.]15．甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解](1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C28＝28，这2个产品都是次品的事件数为C23＝3.所以这2个产品都是次品的概率为3 28.(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝C25C28＝514，P(B2)＝C15C13C28＝1528，P(B3)＝C23C28＝328，P(A|B1)＝2 3，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)5 14×23＋1528×59＋328×49＝712.＝。
条件概率练习题
题目：一个袋子中有5个红球和3个蓝球，从袋子中随机取出3个球，问取出的3个球都 是红球的概率是多少？
题目：一个袋子中有4个红球和2个白球，从袋子中随机取出3个球，问取出的3个球颜 色不同的概率是多少？
题目：一个袋子中有3个红球和2个白球，从袋子中随机取出2个球，问取出的两个球颜 色相同的概率是多少？
多少？Leabharlann 题目：一个盒子中有5个红球和3个白球， 不放回地依次取出2个球，在第一次取 到红球后，第二次再取到白球的概率是
多少？
高难度题目
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题目：一个盒子中有5个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在 第一次摸出红球后，求第二次再摸出红球的概率。
题目：一个袋子中有5个红球和3个白球，有放回地依次摸出2个球，在 第一次摸出红球后，求第二次再摸出红球的概率。
中等难度题目
题目：一个盒子中有5个红球和3个白球， 不放回地依次取出2个球，在第一次取 到白球后，第二次再取到红球的概率是
多少？
题目：一个盒子中有5个红球和3个白球， 不放回地依次取出2个球，在第一次取 到白球后，第二次再取到白球的概率是
多少？
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题目：一个盒子中有5个红球和3个白球， 不放回地依次取出2个球，在第一次取 到红球后，第二次再取到红球的概率是
条件概率练习题含答案
条件概率练习题含答案条件概率是概率论中的一个重要概念，用于描述事件在给定其他事件发生的条件下发生的概率。
条件概率的计算往往需要运用到贝叶斯定理，是解决实际问题中复杂概率计算的基础。
下面将给出一些条件概率的练习题，并附带答案供读者参考。
练习题一：某城市有两个广播车队，A车队和B车队，各自服务不同的区域。
根据统计数据，A车队在A区域的音质不良时间占总时间的5%，而在B区域的音质不良时间占总时间的10%。
已知听众在该城市80%来自A区域，20%来自B区域。
现在假设一位听众正遇到音质不良的情况，请问这位听众是来自A区域的概率是多少？解答一：设事件A为来自A区域，事件B为遇到音质不良。
根据题意，我们要求的是在遇到音质不良的条件下，该听众来自A区域的概率。
根据条件概率公式，可以得到：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
根据题目中的信息，我们可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 0.8 * 0.05 = 0.04，P(B) = P(A) * P(B|A) + P(B') * P(B|B') = 0.8 * 0.05 + 0.2 * 0.1 = 0.06，所以P(A|B) = 0.04 / 0.06 = 2/3。
练习题二：一家剧院即将上演两台戏剧，A戏剧和B戏剧，已知A戏剧的门票占总票数的60%，B戏剧的门票占总票数的40%。
观众对A戏剧感兴趣的概率是70%，对B戏剧感兴趣的概率是50%。
现在假设一位观众购票，且对所购剧目感兴趣，请问该观众购买的是B戏剧门票的概率是多少？解答二：设事件A为购买A戏剧门票，事件B为对所购剧目感兴趣。
求解的是在对所购剧目感兴趣的条件下，购买B戏剧门票的概率。
根据条件概率的定义，可以得到：P(B|A) = P(B∩A) / P(A)，其中P(B∩A)表示事件B和A同时发生的概率，P(A)表示购买A戏剧门票的概率。
条件概率练习题
条件概率练习题一、基本概念题1. 设事件A和事件B相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A|B)。
2. 已知P(A) = 0.5，P(B) = 0.7，P(A ∩ B) = 0.3，求P(A|B)和P(B|A)。
3. 在一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的条件下，取出第二个球也是红球的概率。
4. 某班级有50名学生，其中30名喜欢篮球，20名喜欢足球，10名既喜欢篮球又喜欢足球。
随机选取一名学生，求该学生喜欢篮球的条件下，也喜欢足球的概率。
二、应用题1. 一批产品中有10%的次品，现随机抽取10件产品，求恰好有2件次品的概率。
3. 抛掷一枚硬币3次，求恰好出现2次正面的概率。
4. 从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，求抽到的都是红桃的概率。
三、综合题1. 甲、乙、丙三人独立解同一道数学题，甲解出的概率为0.4，乙解出的概率为0.5，丙解出的概率为0.3。
求至少有两人解出这道题的概率。
2. 一批产品中有20%的次品，现随机抽取5件产品，求恰好有1件次品且第2件是正品的概率。
3. 抛掷一枚均匀的骰子，求出现偶数点数的条件下，再次抛掷出现奇数点数的概率。
4. 从一副52张的扑克牌中随机抽取5张，求抽到的牌中至少有一张是红桃的概率。
四、拓展题1. 设事件A和事件B互斥，P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，求P(A|B)。
2. 已知P(A) = 0.6，P(B|A) = 0.8，P(B|非A) = 0.4，求P(A∩ B)。
3. 某班级有60名学生，其中40名喜欢数学，30名喜欢英语，20名既喜欢数学又喜欢英语。
随机选取一名学生，求该学生喜欢数学的条件下，也喜欢英语的概率。
4. 抛掷一枚硬币和一枚骰子，求硬币出现正面且骰子出现6点的概率。
五、逻辑推理题1. 在一个家庭中，有两个孩子，已知至少有一个是女孩，求两个孩子都是女孩的概率。
2. 有三个箱子，分别装有苹果、橘子和苹果橘子混合。
条件概率专题练习及答案都
条件概率专题练习一、选择题1．下列式子成立的是( )A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0<P (B |A )<1C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )D ．P (A ∩B |A )＝P (B ) [答案] C [解析] 由P (B |A )＝P (AB )P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )． 2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )A.35B.25C.110D.59[答案] D [解析] 设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A ，则P (A )＝6×910×9＝35，第一次摸得红球，第二次也摸得红球为事件B ，则P (B )＝6×510×9＝13，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P ＝P (B )P (A )＝59，选D.3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56B.910C.215D.115[答案] C [解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝215，故答案选C.4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A.14B.13C.12D.35[答案] B [解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．所以其概率为4361236＝13.5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )A.56B.34C.23D.13[答案] C6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在吹东风的条件下下雨的概率为( )A.911B.811C.25D.89[答案] D [解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (AB )＝830，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝830930＝89. 7．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( ) A.23B.14C.25D.15[答案] C [解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)取到白球的事件，因为P (A 1)＝25，P (A 1A 2)＝25×25＝425，在放回取球的情况P (A 2|A 1)＝25×2525＝25.8．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( ) A ．1B.12C.13D.14[答案] B [解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)抛出偶数点，则P (A 1)＝1836，P (A 1A 2)＝1836×918，故在第一次抛出偶数点的概率为P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1)＝1836×9181836＝12，故选B.二、填空题9．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为________．[答案] 0.310．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．[答案] 9599[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100，P (AB )＝5100×9599，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝9599.准确区分事件B |A 与事件AB 的意义是关键． 11．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．[答案] 12 [解析] 一个家庭的两个小孩只有3种可能：{两个都是男孩}，{一个是女孩，另一个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这3个基本事件的发生是等可能的．12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．[答案]3350[解析] 根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为3350.三、解答题13．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，求P (B |A )． [解析] P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.14．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．[解析] 解法一：设“取出的是白球”为事件A ，“取出的是黄球”为事件B ，“取出的是黑球”为事件C ，则P (C )＝1025＝25，∴P (C )＝1－25＝35，P (B C )＝P (B )＝525＝15∴P (B |C )＝P (B C )P (C )＝13.解法二：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P ＝55＋10＝13.15．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？ (2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13. (1)P (A |B )＝3＋18＋1＝49.(2)∵P (A |B －)＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝49×23＋13×13＝1127.16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．(1)求选到的是第一组的学生的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． [解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”，事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝14.(2)要求的是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率P (A |B )．不难理解，在事件B 发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P (A |B )＝415。
条件概率经典例题条件概率例题
条件概率经典例题条件概率例题条件概率例题山东省莱芜市第一中学刘志例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( ) 一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}(记…二、计算题解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”.则显然所要求的概率为P(A|B).1. 从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率.根据公式…条件概率专题一、知识点? 只须将无条件概率P(B)替换为条件概率P(BA)，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ? 在古典概型中---P(BA) P(AB) (AB)事件AB包括的基本事件(样本点)数事件A包括的基本事件(样本点)数P(A)…1条件概率例题山东省莱芜市第一中学刘志例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( )一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}(记事件A为“其中一个是女孩”，事件B为“另一个是男孩”，则A={(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B={(男，女)，(女，男)，(男，男)}，AB={(男，女)，(女，男)}(211131 ，P(AB)= 或P(AB)= C2 442221P(AB)22于是P(B|A)= 33P(A)4解法1:可知P(A)=解法2:事件A包括{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，即n(A)=3事件AB包括{(男，女)，(女，男)}(即n(AB)=2所以P(B|A)=n(AB)2 n(A)3例2 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是男孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( )2一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}(记事件A为“其中一个是男孩”，事件B为“另一个也是男孩”，则A={(男，女)，(女，男)，(男，男)}，B={(男，女)，(女，男)，(男，男)}，AB={(男，男)}(解法1:可知P(A)=31111，P(AB)= ，或P(AB)= 4422411P(AB)41P(B|A)= 33P(A)4解法2:事件A包括{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，即n(A)=3事件AB包括{(男，男)}(即n(AB)=1所以P(B|A)=n(AB)1n(A)32条件概率例题山东省莱芜市第一中学刘志例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( ) 一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}(记…3条件概率例题山东省莱芜市第一中学刘志例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( ) 一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}(记…条件概率例题山东省莱芜市第一中学刘志例1 一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率为(假定一个小孩是男孩还是女孩是等可能的)( ) 一个家庭中有两个小孩只有4种可能:{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}(记…百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆4。
条件概率课后作业解析版 高二数学同步教学(人教A版(2019)选择性必修第三册)
7.1.1 条件概率分层作业基础巩固1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数．若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．12答案：D 解析：设“抛掷一枚骰子出现的点数不超过4”为事件A ，“抛掷一枚骰子出现的点数是奇数”为事件B ，则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝24＝12. 2.抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两颗骰子点数之和大于8的概率为________．答案：512 解析：令A 为事件“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B 为事件“两颗骰子点数之和大于8”，则A ＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，AB ＝{(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}． 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝512.3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B ．910C.215D ．115答案：C 解析：由题意，知P (AB )＝P (B |A )P (A )＝13×25＝215.4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为( )A.8225 B ．12C ．110D ．34答案：C 解析：记“该地区下雨”为事件A ，“刮风”为事件B ，则 P (A )＝415，P (B )＝215，P (B |A )＝38，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝415×38＝110. 5．若B ，C 是互斥事件且P (B |A )＝13，P (C |A )＝14，则P (B ∪C |A )＝( )A.12 B ．13C ．310D ．712答案：D 解析：因为B ，C 是互斥事件， 所以P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝13＋14＝712.6．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A.15 B ．310C ．12D ．35答案：A 解析：设A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝15.所以该学生数学不及格时，语文也不及格的概率为15. 7.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8D ．0.9答案：C 解析：设“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.8. 综合运用8．从标有数字1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到的卡片是奇数的情况下，第二次抽到的卡片是偶数的概率为( ) A.14 B ．23C ．13D ．12答案：D 解析：设事件A 表示“第一次抽到奇数”，事件B 表示“第二次抽到偶数”， 则P (A )＝35，P (AB )＝35×24＝310，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )的值为( ) A.12 B ．13C ．14D ．16答案：B 解析：根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或两个数均为偶数，共有2×3×3＝18(个)样本点．所以事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，包含的样本点数n (AB )＝6，所以事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.10．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取1名，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ，“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( ) A.14，59 B ．14，49C.15，59D ．15，49答案：A 解析：从这20名学生中随机抽取一人，包含20个样本点， 事件B 包含9个样本点，故P (B )＝920.又事件AB 包含5个样本点，故P (AB )＝14，故P (A |B )＝P (AB )P (B )＝59.故选A.11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( ) A.119B ．1738C ．419D ．217答案：D 解析：设A 表示事件“抽到的第2张是假钞”，B 表示事件“抽到的第1张是假钞”，所求概率为P (A |B )．而P (AB )＝C 25C 220＝119，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738. 所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝217.12.加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为________． 答案：0.5 解析：设“第一道工序出废品”为事件A ，则P (A )＝0.4，“第二道工序出废品”为事件B .根据题意可得P (AB )＝0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12＝0.5. 13.甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%. (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________； (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________．答案：(1)23 (2)0.6 解析：设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则P (A )＝20%＝0.2，P (B )＝18%＝0.18，P (AB )＝12%＝0.12. (1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝0.6.拓广探索14.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果， 所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.15.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球个数为x . 则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)记“第1次取得白球”为事件B ，“第2次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15C 110·C 15C 19＝2590＝518， P (B )＝C 15C 15＋C 15C 14C 110C 19＝25＋2090＝12. 故P (C |B )＝P (BC )P (B )＝51812＝59.。
条件概率知识点、例题、练习题
条件概率专题一、知识点① 只须将无条件概率()P B 替换为条件概率)(A B P ，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ② 在古典概型中 ---)()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数③ 在几何概型中 ---)()()()()(A B A A P B A P A B P μμ==(,,)(,,)A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等条件概率及全概率公式3.1.对任意两个事件A 、B , 是否恒有P (A )≥P (A |B ).答：不是. 有人以为附加了一个B 已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P (A )≥P (A |B ), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P (A )≥P (A |B ), 也可能P (A )≤P (A |B ), 下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令A ={抽到一数字是3的倍数};B 1={抽到一数字是偶数}; B 2={抽到一数字大于8}, 那么P (A )=3/10, P (A |B 1)=1/5, P (A |B 2)=1. 因此有 P (A )＞P (A |B 1), P (A )＜P (A |B 2).3.2.以下两个定义是否是等价的.定义1. 若事件A 、B 满足P (AB )=P (A )P (B ), 则称A 、B 相互独立. 定义2. 若事件A 、B 满足P (A |B )=P (A )或P (B |A )=P (B ), 则称A 、B 相互独立.答：不是的.因为条件概率的定义为P (A |B )=P (AB )/P (B ) 或 P (B |A )=P (AB )/P (A )自然要求P (A )≠0, P (B )≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P (AB )=P (A )P (B )对于P (A )=0或P (B )=0也是成立的. 事实上, 若P (A )=0由0≤P (AB )≤P (A )=0可知P (AB )=0故 P (AB )=P (A )P (B ).因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.3.3.对任意事件A、B, 是否都有 P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)+P(B).答：是的.由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (*)因为 P(AB)≥0, 故P(A+B)≤P(A)+P(B).由P(AB)=P(A)P(B|A), 因为0≤P(B|A)≤1,故P(AB)≤P(A);同理P(AB)≤P(B), 从而 P(B)-P(AB)≥0, 由(*)知P(A+B)≥P(A).原命题得证.3.4.在引入条件概率的讨论中, 曾出现过三个概率: P(A|B), P(B|A), P(AB). 从事件的角度去考察, 在A、B相容的情况下, 它们都是下图中标有阴影的部分, 然而从概率计算的角度看, 它们却是不同的. 这究竟是为什么?答：概率的不同主要在于计算时所取的样本空间的差别:P(A|B)的计算基于附加样本空间ΩB;P(B|A)的计算基于附加样本空间ΩA;P(AB)的计算基于原有样本空间Ω.3.5.在n个事件的乘法公式：P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)中,涉及那么多条件概率, 为什么在给出上述乘法公式时只提及P(A1A2…A n-1)>0呢?答：按条件概率的本意, 应要求P(A1)>0, P(A1A2)>0, …,P(A1A2…A n-2)>0, P(A1A2…A n-1)>0.事实上, 由于A 1A2A3…A n-2A1A2A3…A n-2A n-1, 从而便有P(A1A2…A n-2)≥P(A1A2…A n-1)>0. 这样, 除P(A1A2…A n-1)>0作为题设外, 其余条件概率所要求的正概率, 如P(A1A2…A n-2) >0, …,P(A1A2) >0, P(A1)>0便是题设条件P(A1A2…A n-1)>0的自然结论了.3.6.计算P(B)时, 如果事件B的表达式中有积又有和, 是否就必定要用全概率公式.答：不是. 这是对全概率公式的形式主义的认识, 完全把它作为一个”公式”来理解是不对的. 其实, 我们没有必要去背这个公式, 应着眼于A1,A2,…,A n的结构. 事实上, 对于具体问题, 若能设出n个事件A i, 使之满足(*)就可得.(**) 这样就便于应用概率的加法公式和乘法公式.因此, 能否使用全概率公式, 关键在于(**)式, 而要有(**)式, 关键又在于适当地对Ω进行一个分割, 即有(*)式.3.7.设P(A)≠0,P(B)≠0, 因为有(1)若A、B互不相容, 则A、B一定不独立.(2)若A、B独立, 则A、B一定不互不相容.故既不互不相容又不独立的事件是不存在的. 上述结论是否正确.答：不正确. 原命题中的结论(1)(2)都是正确的. 但是由(1)(2)(它们互为逆否命题, 有其一就可以了)只能推出在P(A)≠0,P(B)≠0的前提下, 事件A、B既互不相容又独立是不存在的, 并不能推出“A、B既不独立又不互不相容是不存在的”. 事实上, 恰恰相反, 既不互不相容又不独立的事件组是存在的, 下面举一例.5个乒乓球(4新1旧), 每次取一个, 无放回抽取三次, 记A i={第i次取到新球}, i=1, 2, 3. 因为是无放回抽取, 故A1、A2、A3互相不独立, 又A 1A2A3={三次都取到新球}, 显然是可能发生的, 即A1、A2、A3可能同时发生, 因此A1、A2、A3不互不相容.3.8.事件A、B的“对立”与“互不相容”有什么区别和联系? 事件A、B“独立”与“互不相容”又有什么区别和联系?答：“对立”与“互不相容”区别和联系, 从它们的定义看是十分清楚的, 大体上可由如下的命题概括: “对立” →“互不相容”,反之未必成立.至于“独立”与“互不相容”的区别和联系, 并非一目了然.事件的互不相容性只考虑它们是否同时发生，是纯粹的事件的关系, 丝毫未涉及它们的概率, 其关系可借助图直观显示.事件的独立性是由概率表述的, 即当存在概率关系P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)时, 称A、B是相互独立的.它们的联系可由下述命题概括: 对于两个非不可能事件A、B, 则有“A、B 互不相容” →“A、B不独立”.其等价命题是: 在P(A)>0与P(B)>0下, 则有“A、B独立” →“A、B不互不相容”(相容). 注意, 上述命题的逆命题不成立.3.9.设A、B为两个事件,若0<P(A)<1, 0<P(B)<1. (*)则A、B相互独立, A、B互不相容, , 这三种情形中的任何两种不能同时成立.答：在条件(*)下当A、B相互独立时, 有P(AB)=P(A)P(B);当A、B互不相容时, 有P(AB)<P(A)P(B);当时, 有P(AB)>P(A)P(B).在条件(*)下, 上述三式中的任何两个不能同时成立. 因此, A、B相互独立, A、B互不相容,这三种情形中的任何两种不能同时成立.此结论表明: 在条件(*)下,若两个事件相互独立时, 必不互不相容，也不一个包含另一个,而只能是相容了.3.10.证明: 若P(A)=0或P(A)=1, 则A与任何事件B相互独立.答：若P(A)=0, 又, 故0≤P(AB)≤P(A)=0.于是P(AB)=0=P(A)P(B),所以A与任何事件B相互独立.若P(A)=1, 则.由前面所证知,与任何事件B相互独立. 再由事件独立性的性质知, 与B相互独立, 即A与B相互独立.另种方法证明: 由P(A)=1知, 进而有.又且AB与互不相容, 故.即A与B相互独立.3.11.设A、B是两个基本事件, 且0<P(A)<1,P(B)>0, , 问事件A与B是什么关系?[解1]由已知条件可得.由比例性质, 得.所以P(AB)=P(A)P(B).因此事件A与B相互独立.[解2]由得.因而.又,所以P(B|A)=P(B).因此事件A与B相互独立.3.12.是不是无论什么情况, 小概率事件决不会成为必然事件.答：不是的. 我们可以证明, 随机试验中, 若A为小概率事件, 不妨设P(A)=ε(0＜ε＜1为不论多么小的实数 ), 只要不断地独立地重复做此试验, 则A迟早要发生的概率为1.事实上, 设A k={A在第k次试验中发生}, 则P(A k)=ε,, 在前n次试验中A都不发生的概率为:.于是在前n次试验中, A至少发生一次的概率为.如果把试验一次接一次地做下去, 即让n→∞, 由于0＜ε＜1, 则当n→∞时, 有p→1.n以上事实在生活中是常见的, 例如在森林中吸烟, 一次引起火灾的可能性是很小的, 但如果很多人这样做, 则迟早会引起火灾.3.13.只要不是重复试验, 小概率事件就可以忽视.答：不正确. 小概率事件可不可以忽视, 要由事件的性质来决定, 例如在森林中擦火柴有1%的可能性将导致火灾是不能忽视的, 但火柴有1%的可能性擦不燃是不必在意的.3.14.重复试验一定是独立试验, 理由是: 既然是重复试验就是说每次试验的条件完全相同, 从而试验的结果就不会互相影响, 上述说法对吗?答：不对. 我们举一个反例就可以证明上述结论是错误的.一个罐子中装有4个黑球和3个红球, 随机地抽取一个之后, 再加进2个与抽出的球具有相同颜色的球, 这种手续反复进行, 显然每次试验的条件是相同的. 每抽取一次以后, 这时与取出球有相同颜色的球的数目增加，而与取出球颜色不同的球的数目保持不变，从效果上看，每一次取出的球是什么颜色增加了下一次也取到这种颜色球的概率，因此这不是独立试验,此例是一个如同传染病现象的模型，每一次传染后都增加再传染的概率.3.15.伯努利概型的随机变量是不是都服从二项分布.答：不一定. 例如某射手每次击中目标的概率是p，现在连续向一目标进行射击，直到射中为止. 此试验只有两个可能的结果：A={命中}； ={未命中}，且P(A)=p.并且是重复独立试验，因此它是伯努利试验（伯努利概型），设X k={第k次射中}，X显然是一个随机变量，但kP(X=k)=q k-1p，k=1,2,…，其中q=p-1，k可见X k是服从参数为p的几何分布，而不是二项分布.3.16.某人想买某本书, 决定到3个新华书店去买, 每个书店有无此书是等可能的. 如有, 是否卖完也是等可能的. 设3个书店有无此书, 是否卖完是相互独立的. 求此人买到此本书的概率.答：(37/64).3.17.在空战中, 甲机先向乙机开火, 击落乙机的概率是0.2; 若乙机未被击落, 就进行还击, 击落甲机的概率是0.3, 则再进攻乙机, 击落乙机的概率是0.4. 在这几个回合中,(1) 甲机被击落的概率是多少?(2) 乙机被击落的概率是多少?答：以A表示事件“第一次攻击中甲击落乙”, 以B表示事件“第二次攻击中乙击落甲”, 以C表示事件“第三次攻击中甲击落乙”.(1)甲机被击落只有在第一次攻击中甲未击落乙才有可能, 故甲机被击落的概率为.(2)乙机被击落有两种情况. 一是第一次攻击中甲击落乙, 二是第三次攻击中甲击落乙, 故乙机被击落的概率是=0.2+(1-0.2)(1-0.3)×0.4=0.424.3.18.某个问题, 若甲先答, 答对的概率为0.4; 若甲答错, 由乙答, 答对的概率为0.5. 求问题由乙答出的概率.答：(0.3)3.19.有5个人在一星期内都要到图书馆借书一次, 一周内某天借书的可能性相同, 求(1)5个人都在星期天借书的概率;(2)5个人都不在星期天借书的概率;(3)5个人不都在星期天借书的概率.答：(1)(1/75);(2)(65/77);(3)(1-1/75).1.从1, 2, 3,…, 15中,甲、乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的数是5的倍数,求甲数大于乙数的概率. 二、例题解.设事件A表示“甲取到的数比乙大”,设事件B表示“甲取到的数是5的倍数”. 则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式而P(B)=3/15=1/5 ,,∴P(A|B)=9/14.2. 掷三颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率. 解.设事件A表示“掷出含有1的点数”, 设事件B表示“掷出的三个点数都不一样”.则显然所要求的概率为P(A|B).根据公式,,P(A|B)=1/2.3.袋中有一个白球和一个黑球,一次次地从袋中摸球,如果取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止,求取了N次都没有取到黑球的概率. 1解.设事件A i表示“第i次取到白球”. (i=1,2,…,N)则根据题意P(A1)=1/2 , P(A2|A1)=2/3,由乘法公式可知:P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)=1/3.而P(A3|A1A2)=3/4 ,P(A1A2A3)=P(A3|A1A2)P(A1A2)=1 /4 .由数学归纳法可以知道P(A1A2…A N)=1/(N+1).4. 甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率. 解.设事件A表示“取到的是甲袋”, 则表示“取到的是乙袋”,事件B表示“最后取到的是白球”.根据题意: P(B|A)=5/12 ,,P(A)=1/2.∴.5.有甲、乙两袋,甲袋中有3只白球,2只黑球;乙袋中有4只白球,4只黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,然后再从乙袋中任取一球,求此球为白球的概率. 解.设事件A i表示“从甲袋取的2个球中有i个白球”,其中i=0,1,2 .事件B表示“从乙袋中取到的是白球”.显然A0, A1, A2构成一完备事件组,且根据题意P(A)=1/10 , P(A1)=3/5 ,P(A2)=3/10 ;P(B|A)=2/5 , P(B|A1)=1/2 ,P(B|A2)=3/5 ;由全概率公式P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=2/5×1/10+1/2×3/5+3/5×3/10=13/25.6.袋中装有编号为1, 2,…, N的N个球,先从袋中任取一球,如该球不是1号球就放回袋中,是1号球就不放回,然后再摸一次,求取到2号球的概率. 解.设事件A表示“第一次取到的是1号球”,则表示“第一次取到的是非1号球”;事件B表示“最后取到的是2号球”.显然P(A)=1/N,,且P(B|A)=1/(N-1),;∴=1/(N-1)×1/N+1/N ×(N-1)/N=(N2-N+1)/N2(N-1).7. 袋中装有8只红球, 2只黑球,每次从中任取一球, 不放回地连续取两次, 求下列事件的概率.(1)取出的两只球都是红球;(2)取出的两只球都是黑球;(3)取出的两只球一只是红球,一只是黑球;(4)第二次取出的是红球. 解.设事件A1表示“第一次取到的是红球”,设事件A2表示“第二次取到的是红球”.(1)要求的是事件A1A2的概率.根据题意P(A1)=4/5,,P(A2|A1)=7/9,∴P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=4/5×7/9=28/45.(2)要求的是事件的概率.根据题意:,,∴.(3)要求的是取出一只红球一只黑球,它包括两种情形,即求事件的概率.,,,,∴.(4)要求第二次取出红球,即求事件A2的概率.由全概率公式:=7/9×4/5+8/9×1/5=4/5.8. 某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.解.设事件A表示“射手能通过选拔进入比赛”,设事件B i表示“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组,且P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20;P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2.由全概率公式得到P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4 )P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20=0.645.9.轰炸机轰炸某目标,它能飞到距目标400、200、100(米)的概率分别是0.5、0.3、0.2,又设它在距目标400、200、100(米)时的命中率分别是0.01、0.02、解.设事件A1表示“飞机能飞到距目标400米处”,设事件A2表示“飞机能飞到距目标200米处”,设事件A3表示“飞机能飞到距目标100米处”, 用事件B表示“目标被击中”.由题意, P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,0.1 .求目标被命中的概率为多少?且A1、A2、A3构成一完备事件组.又已知P(B|A1)=0.01, P(B|A2)=0.02, P(B|A3)=0.1.由全概率公式得到:P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)+P(B|A3)P(A3)=0.01×0.5+0.02×0.3+0.1×0.2=0.031.10. 加工某一零件共需要4道工序,设第一﹑第二﹑第三﹑第四道工序的次品率分别为2%﹑3%﹑5%﹑3%, 假定各道工序的加工互不影响,求加工出零件的次品率是多少?解.设事件A i表示“第i道工序出次品”,i=1,2,3,4因为各道工序的加工互不影响,因此A i是相互独立的事件.P(A1)=0.02, P(A2)=0.03,P(A3)=0.05, P(A4)=0.03,只要任一道工序出次品,则加工出来的零件就是次品.所以要求的是(A1+A2+A3+A4)这个事件的概率.为了运算简便,我们求其对立事件的概率=(1-0.02)(1-0.03)(1-0.05)(1-0.03)=0.876.∴P(A1+A2+A3+A4)=1-0.876=0.124.11. 某人过去射击的成绩是每射5次总有4次命中目标, 根据这一成绩, 求(1)射击三次皆中目标的概率;(2)射击三次有且只有2解.设事件A i表示“第i次命中目标”, i=1,2,3根据已知条件P(A i)=0.8,,i=1,2,3 某人每次射击是否命中目标是相互独立的,因此事件A i是相互独立的.(1)射击三次皆中目标的概率即求P(A1A2A3).次命中目标的概率;(3)射击三次至少有二次命中目标的概率.由独立性:P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=0.83=0.512.(2)“射击三次有且只有2次命中目标”这个事件用B表示. 显然,又根据独立性得到:.(3)“射击三次至少有2次命中目标”这个事件用C 表示.至少有2次命中目标包括2次和3次命中目标,所以C =B +A 1A 2A 3P (C )=P (B )+P (A 1A 2A 3)=0.384+0.512=0.896.12. 三人独立译某一密码, 他们能译出的概率分别为1/3, 1/4,1/5, 求能将密码译出的概率.解.设事件A i 表示“第i 人能译出密码”, i =1,2,3.由于每一人是否能译出密码是相互独立的,最后只要三人中至少有一人能将密码译出,则密码被译出,因此所求的概率为P (A 1+A 2+A 3).已知P (A 1)=1/3, P (A 2)=1/4, P (A 3)=1/5, 而=(1-1/3)(1-1/4)(1-1/5)=0.4.∴P (A 1+A 2+A 3)=1-0.4=0.6.13. 用一门大炮对某目标进行三次独立射击, 第一、二、三次的命中率分别为0.4、0.5、0.7, 若命中此目标一、二、三弹, 该目标被摧毁的概率分别为解.设事件A i 表示“第i 次命中目标”, i =1,2,3.设事件B i 表示“目标被命中i 弹”, i =0,1,2,3. 设事件C 表示“目标被摧毁”.由已知P (A 1)=0.4, P (A 2)=0.5, P (A 3)=0.7; P (C |B 0)=0, P (C |B 1)=0.2, P (C |B 2)=0.6, P (C |B 3)=0.8.0.2、0.6和0.8, 试求此目标被摧毁的概率.又由于三次射击是相互独立的,所以 ,=0.6×0.5×0.7+0.6×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3=0.36,=0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7=0.41,.由全概率公式得到P (C )=P (C |B 0)P (B 0)+P (C |B 1)P (B 1)+P (C |B 2)P (B 2)+P (C |B 3)P (B 3)=0×0.09+0.2×0.36+0.6×0.41+0.8×0.14=0.43.三、练习题1．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)=( ) A ．21 B.23 C ．32 D.5032．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=（ ）A.21B.31C.41D.813．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A.2258B.21C.83D.434．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 .５．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率？ （2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？６．某种元件用满6000小时未坏的概率是43，用满10000小时未坏的概率是21，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率7．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。
高考条件概率标准答题过程
高考条件概率标准答题过程首先，了解条件概率的定义。
条件概率是指在另一个事件已经发生的前提下，其中一事件发生的概率。
条件概率的表示通常是P(A，B)，读作“A在B条件下发生的概率”。
接下来，掌握条件概率的计算公式。
条件概率的计算公式是P(A，B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
第三步，明确题目中给出的条件和需要求解的事件。
在解答条件概率题目时，要仔细阅读题目中给出的条件，明确已知的事件和需要求解的事件。
第四步，根据已知条件找到对应的概率值。
根据题目中给出的已知条件，可以找到需要用到的概率值。
如果题目中给出了事件的概率，则可以直接使用；如果没有给出概率值，则需要根据已知条件来计算概率。
第五步，计算所需概率值。
根据前面所得到的概率值和条件概率的计算公式，计算需要求解的事件概率。
将已知条件带入公式中，计算所得的结果即为所求事件的概率。
第六步，给出最后的答案。
在得到所求事件的概率后，要将答案用适当的方式表达出来。
通常情况下，答案需要保留一到两位小数或使用分数形式。
最后，要做一次整体的复查。
在完成解答后，要对答案进行复查，确保计算的准确性和完整性。
尤其要注意是否遗漏了一些条件或者计算过程中是否有错误。
举例说明：问题：班学生中有40%的男生，60%的女生；80%的男生喜欢篮球，70%的女生喜欢篮球。
从该班学生中任意抽取一个学生，求该学生是男生并且喜欢篮球的概率。
解答过程：1.理解题目：题目要求从学生中任取一个学生，求该学生是男生并且喜欢篮球的概率。
2.给出已知条件：已知男生占40%，女生占60%；男生中喜欢篮球的占80%，女生中喜欢篮球的占70%。
3.计算概率：根据已知条件，我们可以计算男生中喜欢篮球的概率。
P(男生喜欢篮球)=P(男生)*P(男生喜欢篮球，男生)=0.4*0.8=0.324.给出最后答案：根据计算得到的概率，得出最后的答案。
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条件概率作业
1.从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回的抽取两次，每次
抽取一张，已知第一次抽到A，求第二次也抽到A的概率?
2.100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽取一
件.已知第一次抽出的是次品，求第二次抽出的是正品的概率 ?
3.一个盒子里有4个白球，3个黑球，从中每次摸出2球.求：
（1）摸出的2球都是白球的概率?
(2)在已知摸出的两球颜色相同的条件下，求摸出的两球是白球
的概率?
4.一个口袋里有2个白球2个红球，那么
（1）先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？
（2）先摸出一个白球放回，再摸出一个白球的概率是
多少？
作业答案提示
1.
513 2. 9998 3. 72，3
2 ，
4. 31，21。