数学知识点人教A版选修1-12.3.2《抛物线的简单几何性质》WORD版学案(1)-总结
新人教A版(选修2-1)《抛物线的简单几何性质》word教案
抛物线的简单几何性质教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用 教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3 教学过程：一、复习引入： 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p = 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质 1．范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率 附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y 2±=和y 1＝mx ＋n ． ∴ px n mx y y 21+=-xpx n m x 2 +⋅= 当m ≠0时，若x →＋∞，则+∞→-y y 1 当m ＝0时，px n y y 21=-，当x →＋∞，则+∞→-y y 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．解：由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p 因此，所求的抛物线方程为x y 42=．将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y 22= (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302⨯=p ， 即 445=p 所求的抛物线标准方程为x y 2452=． 例3 过抛物线px y 22=的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切． 四、课堂练习：1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp 11+=（ C ） （A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4 4．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______ (答案：()122-=x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：⎪⎪⎭⎫⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45） 五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？ 习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y （3）x 2＝－8y 2．90°3．x 2＝±16 y 4．5420米5．5七、板书设计（略）八、课后记：。
数学知识点新人教A版(选修1-1)2.3《抛物线》word教案-总结
第一课时 2.3 抛物线及其标准方程（一）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下在椭圆、双曲线中学过的动点、定点、定直线吗？2、讨论：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？二、讲授新课：1、教学抛物线① 定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.(定义的实质可归纳为”一动三定”)② 抛物线的标准方程:22(0)y px p => 焦点坐标是( ,0)2p F 准线方程是x=-2p 22(0)y px p =-> 焦点坐标是( ,0)2p F - 准线方程是x=2p 22(0)x py p => 焦点坐标是(0, )2p F 准线方程是y=-2p 22(0)x py p =-> 焦点坐标是(0, )2p F - 准线方程是y=2p 2、教学例题：①出示例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1) 焦点坐标是(5,0 )F -(2) 经过点(3,2 )A -(3) 焦点在直线240x y --=上（抛物线草图----抛物线方程---参数p ）②变式训练:求顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线且截直线0210x y -+=所得的弦长为.③出示例2：已知抛物线的标准方程是(1)28y x =,(2) 28y x =, 求它的焦点坐标和准线方程（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程.三、巩固练习：１.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点坐标是(0,4)(2)准线方程是y=4-２. 抛物线2(0)y ax a =≠3.作业：课本P69 1、2题第二课时 2.3 抛物线及其标准方程（二）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1. 提问：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）220x y =（2）280y x +=2. 焦点在直线4x-3y-12=0上的抛物线的标准方程是_______.二、讲授新课：1、教学抛物线方程的求解① 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离.② 在求抛物线方程时，可以先根据题目的条件做出草图，确定方程的形式后再求参数p 的值.2、教学例题：（1）求抛物线方程① 出示例1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程.（教师讲思路→学生板演→小结方法）② 练习:顶点在原点,焦点在y 上,且过点(4,2 )p 的抛物线方程是______（2）应用抛物线方程③ 出示例2:直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点,过,A B 两点向抛物线的准线做垂线,垂足分别是,P Q ,则梯形APQB 的面积为______(作图----抛物线方程----解决问题)④ 练习:过抛物线24y x =焦点做倾斜角为34π的直线交抛物线与,A B 两点,则AB 的长是______ （3）实际应用问题⑤ 一辆卡车高3cm ,宽1.6cm ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍.若拱宽为acm ,求能使卡车通过的a 的最小整数值.(将实际问题转化为数学问题)3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程三、 巩固练习：①.抛物线24xy =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为______②.抛物线24y x =的准线方程是______,焦点坐标是______③.点(0,8)M 的距离比它到直线7y =-的距离大于1,求M 点的轨迹方程.④.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m 时,水面宽为8m ,一木船宽4m ,高2m ,载货后木船露在水面的部分高为34m ,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? ⑤.作业 教材P69 习题2.3 A 组 3第一课时 2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程?2、抛物线212y x =上与焦点的距离等于6的点的坐标二、讲授新课： 1、教学抛物线的简单几何性质 抛物线的标准方程:22(0)y px p => ① 范围:② 对称性:这条抛物线关于x 对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.③ 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点④ 离心率:抛物线上点M 与到焦点的准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示,抛物线的离心率e 为12、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数. 3、教学例题：① 出示例1：斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点,且与抛物线相交于,A B 两点,求AB 的长.（画图 →讲解思路→联立方程组 →学生板演）② 变式训练：过点(4,1)p 做抛物线28y x =的弦AB ,恰被p 所平分,求AB 所在的直线方程(.求直线方程的基本思路是求出斜率k )③ 出示例2：已知抛物线关于x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.④ 练习:已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点是(0,5)F ,求它的标准方程.3、小结：抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：①、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于12(,)A x x ,12(,)B x x 两点,如果126x x +=,那么||AB 的值为多少?②、抛物线28y x =上一点p 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点的坐标是______③、已知直线:l y kx b =+与抛物线22(0)y px p =>相交与,A B 两点,若OA OB ⊥,(O 为坐标原点),且AOB S ∆=求抛物线的方程.④、作业：教材P69 第4题.第二课时 2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.2、已知抛物线的焦点是(0,8 )F -,准线是8y =,求它的标准方程.二、讲授新课：1、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数 ① 当0k ≠时,当0∆>时,直线和抛物线相交,有两个公共点;当0∆=时,直线和抛物线相切,有一个公共点;当0∆<时,直线和抛物线相离,无公共点② 若0k =,则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜率不存在时,设x m =,则当0m >, l 与抛物线相交,有两个公共点;当0m =时,与抛物线相切,有一个公共点,当0m <时,与抛物线相离,无公共点.2、教学例题：① 出示例1：已知抛物线方程为24y x =,直线l 过定点(2,1)P -,斜率为k ,当k 何值时,直线l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点. （教师讲思路→学生板演→小结方法） ② 练习：过定点(0,1)P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程.③ 出示例2：过抛物线22y x =的顶点做互相垂直的二弦,OA OB .（1）、求AB 中点的轨迹方程 （2）证明：AB 与x 轴的交点为定点④ 练习：求过点(1,1)A -，且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程）3、小结：直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：1、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(-到焦点的距离是6，则抛物线的方程为___________2、抛物线24y x =-关于直线2x y +=对称的曲线的顶点坐标为___________3、求抛物线264y x =上的点到到直线43460x y ++=的距离的最小值，并求取得最小值时抛物线上点的坐标.4、经过抛物线28y x =-的焦点且和抛物线的对称轴成60︒的直线交,A B 两点，求||AB 的值5、作业：教材P70 B 组 第1题.。
高中数学人教A版选修1-1课件：2.3.2《抛物线的简单几何性质》课时2
抛物线的通径和焦半径
1.通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线 相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线 的通径。
通径的长度：2P P越大,开口越开阔
y
P ( x0 , y0 )
OF
x
2.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式： |PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。
1,或 k
1
时, 方程
①
2
没有实数解, 从而
2
方程组 没有解.这时,直线 l 与抛物线没有公共点.
综上，我们可得：
当k 1,或k 1 ,或k 0时，直线 l 与抛物线 2
只有一个公共点.
当 1 k 1 ，且k 0时, 直线 l 与抛物线有 2
两个公共点.
当k 1,或k 1 ,时 , 直线 l 与抛物线没有公共点. 2
y2=mx(m ≠0)(x2=my
(m≠0)),可避免讨论
例3.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶 点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B 在抛物线上， 且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，
则 y12＝2px1，y 22＝2px2，
直线DB平行于抛物线的对称轴。
OF
x
DB
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
点A的坐标为( y02 2p
,
y0 ),则直线OA的方程为y
2p y0
x,
y
抛物线的准线是x p
A
2
联立可得点D的纵坐标为y p2 .
【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A版选择性必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质【学习目标】1．抛物线的几何性质⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p ⎛⎫p 2.直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝ . 3．直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．设直线y ＝kx ＋m 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，将y ＝kx ＋m 代入y 2＝2px ，消去y 并化简，得k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0. ∈k ＝0时，直线与抛物线只有 交点；∈k ≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有 公共点． Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有 公共点．Δ＜0∈直线与抛物线∈ 公共点．【小试牛刀】1．抛物线关于顶点对称．()2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．() 3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．() 4．抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．()5．抛物线y＝－18x2的准线方程为x＝132．()【经典例题】题型一抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于23，则抛物线的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．[跟踪训练]1 已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是∈OAB 的重心，求∈OAB的周长．题型二直线与抛物线的位置关系直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切．例2已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA∈OB.题型三中点弦及弦长公式“中点弦”问题解题方法例3已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．题型四 抛物线的综合应用例4 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点为坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB 的斜率为定值．【当堂达标】1．在抛物线y 2＝16x 上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ) A ．(42，±2) B ．(±42，2) C ．(±2,42)D ．(2，±42)2．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y3．若抛物线y 2＝2x 上有两点A 、B 且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．184．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A的坐标是()A．(2，±22)B．(1，±2)C．(1,2)D．(2,22)5．过点P(0,1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.7．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．8．已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当∈AOB的面积等于10时，求k的值．9.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求实数m的值；(2)若OA∈OB，求实数m的值．10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为π4的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【参考答案】【自主学习】x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p2 x 轴 y 轴 (0,0) 1 x 1＋x 2＋p 相离 相切 相交 一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有 【小试牛刀】 × √ √ √ × 【经典例题】例1 (1)y 2＝3x 或y 2＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，则2p ＝3，从而抛物线方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .](2)[解] 如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ， 设|BF |＝a ，则由已知得：|BC |＝2a ，由定义得：|BD |＝a ，故∈BCD ＝30°，在Rt∈ACE 中，∈|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∈2|AE |＝|AC |，∈4＋3a ＝8，从而得a ＝43，∈BD ∈FG ，∈43p ＝23，p ＝2.因此抛物线的方程是y 2＝4x .[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y 2＝8x 的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x 的范围分别为(0,0)，(2,0)，x ＝－2，x 轴，x ≥0.(2)如图所示，由|OA |＝|OB |可知AB ∈x 轴，垂足为点M ， 又焦点F 是∈OAB 的重心，则|OF |＝23|OM |. 因为F (2,0)，所以|OM |＝32|OF |＝3，所以M (3,0)．故设A (3，m )，代入y 2＝8x 得m 2＝24；所以m ＝26或m ＝－26，所以A (3,26)，B (3，－26)，所以|OA |＝|OB |＝33，所以∈OAB 的周长为233＋4 6. 例2 解 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，(*)式只有一个解x＝14，∈y ＝1，∈直线l 与C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴．当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )．∈当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；∈当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ∈当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点．[跟踪训练]2 [证明] 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0.∈直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A ，B ， ∈可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16.∈OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∈OA →∈OB →，即OA ∈OB .例3 解 由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB ∈x 轴，则|AB |＝2p ≠52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2·y 1－y 22＝1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2＝52p ，解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为2x －y －p ＝0或2x ＋y －p ＝0.[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q 为中点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，∈(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．又y 1＋y 2＝2，∈y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝4，∈k AB ＝4. ∈AB 所在直线的方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0.法二：由题意知AB 所在直线斜率存在，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 所在直线的方程为y＝k (x －4)＋1.联立⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k x －4＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A ，B 两点的纵坐标．由根与系数的关系得y 1＋y 2＝8k .又y 1＋y 2＝2，∈k ＝4.∈AB 所在直线的方程为4x －y －15＝0. 例4 解 方法一 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8 ＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. 所以当t ＝23时，d 有最小值43.方法二 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，由⎩⎨⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0，∈Δ＝16＋12m ＝0，∈m ＝－43. 故最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则由点P (1,2)在抛物线上，得22＝2p ×1，解得p ＝2，故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)证明：因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB ，即y 1－2x 1－1＝－y 2－2x 2－1. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，所以x 1＝y 214，x 2＝y 224，从而有y 1－2y 214－1＝－y 2－2y 224－1，即4y 1＋2＝－4y 2＋2，得y 1＋y 2＝－4，故直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1. 【当堂达标】1.D [抛物线y 2＝16x 的顶点O (0,0)，焦点F (4,0)，设P (x ，y )符合题意，则有⎩⎨⎧y 2＝16x ，x 2＋y 2＝x －42＋y 2∈⎩⎨⎧ y 2＝16x ，x ＝2∈⎩⎨⎧x ＝2，y ＝±4 2.所以符合题意的点为(2，±42)．] 2. C 解析 设抛物线方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px 得|y |＝p ，∈2|y |＝2p ＝8，p ＝4. ∈抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3.A [线段AB 所在的直线方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.]4.B [由题意知F (1,0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，由OA →·AF →＝－4得y 0＝±2，∈点A 的坐标为(1，±2)，故选B.]5. B 解析 当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条； 当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条，故选B.6. 8解析 因为直线AB 过焦点F (1,0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.7.158 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线2x 2＝y ，可得p ＝14.∈|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝4，∈y 1＋y 2＝4－14＝154，故AB 的中点的纵坐标是y 1＋y 22＝158.] 8.解 过点(－1,0)且斜率为k 的直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 由方程组⎩⎨⎧x ＝－y 2，y ＝k x ＋1，消去x 整理得ky 2＋y －k ＝0，Δ＝1＋4k 2>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数之间的关系得y 1＋y 2＝－1k ，y 1·y 2＝－1. 设直线与x 轴交于点N ，显然N 点的坐标为(－1,0)． ∈S ∈OAB ＝S ∈OAN ＋S ∈OBN ＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|， ∈S ∈AOB ＝12×1×y 1＋y 22－4y 1y 2＝12×1k 2＋4＝10，解得k ＝±16.9.解 由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.由Δ＝(2m －8)2－4m 2＝64－32m >0，得m <2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716，经检验符合题意．(2)因为OA ∈OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8或m ＝0(舍去)． 所以m ＝－8，经检验符合题意．10.[解] 当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的方程为y ＝x －p 2.设直线l 与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过点A ，B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A 1，点B 1，则|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝6， ∈x 1＋x 2＝6－p .∈ 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px 消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0.∈x 1＋x 2＝3p ，代入∈式得3p ＝6－p ，∈p ＝32.∈所求抛物线的标准方程是y 2＝3x .当抛物线焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y 2＝－3x .高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学选修1-1优质学案1：2.3.2抛物线的简单几何性质
2.3.2 抛物线的简单几何性质问题导学一、求抛物线的标准方程及其几何性质探究1：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦，称为抛物线的通径．求顶点在原点，以x轴为对称轴，且通径的长为8的抛物线的标准方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．巩固1：1．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，且抛物线上的横坐标为－5的点到焦点的距离是6，则此抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x2．已知抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求该抛物线的焦点坐标和准线方程．二、抛物线几何性质的应用探究2：已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．巩固2：已知抛物线y 2＝2px (x ＞0)与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则p ＝( )A ．3B ．32C ．33D ．36三、直线与抛物线的综合应用探究3：(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2(2)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A ．①求实数b 的值；②求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．巩固3：1．一条直线过点⎝⎛⎭⎫14，0，且与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点．若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A ．74B ．2C ．94D ．42．已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．当堂检测1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x－2y＝0的圆心的抛物线的方程是()A．y2＝2x B．x2＝2y或y2＝－2xC．x2＝y或y2＝x D．y2＝x或x2＝－y2．抛物线y2＝ax的焦点坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭，则抛物线ax2＋y＝0的准线方程为()A．1=2y B．y＝1 C．1=2y-D．y＝－13．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在4．若抛物线y2＝mx与椭圆22=195x y+有一个共同的焦点，则m＝__________．5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝__________．[答案]【问题导学】探究1：思路分析：通径长为8，即2p＝8，对称轴为x轴，即焦点在x轴上，由此可得抛物线的标准方程，但注意抛物线的开口方向不确定，需分两种情况考虑．解：(1)当焦点在x 轴的正半轴上时，设方程为y 2＝2px (p ＞0)，当x ＝p2时，y ＝±p ，由2p ＝8，得p ＝4．故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2． (2)当焦点在x 轴的负半轴上时， 设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，同理可得抛物线的方程为y 2＝－8x ，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2． 巩固1： 1．B [解析]由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p ＞0)， ∴p2＋5＝6，∴p ＝2．∴抛物线的方程为y 2＝－4x ． 2．解：抛物线方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y (a ≠0)．当a ＞0时，p ＝12a ，抛物线开口向上，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a ． 当a ＜0时，p ＝－12a ，抛物线开口向下，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a． 综上所述，抛物线y ＝ax 2的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a． 探究2： 思路分析：由于抛物线关于x 轴对称，|OA |＝|OB |，说明△ABO 为等腰三角形，所以A ，B 关于x 轴对称，于是利用焦点是三角形的垂心，构造关于A 点横坐标的关系式即可求解．解：∵|OA |＝|OB |，且A ，B 在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上， ∴A ，B 点关于x 轴对称．∴AB ⊥x 轴． ∵△ABO 的垂心是抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴AF ⊥OB ．设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，且y 20＝2px 0． ∴k AF ·k OB ＝y 0x 0－p 2·－y 0x 0＝－y 20x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2＝－2px 0x 0⎝⎛⎭⎫x 0－p 2＝－1，解得x 0＝52p ． ∴直线AB 的方程为x ＝52p ．巩固3：B [解析]∵抛物线y 2＝2px 与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称，则A ，B 关于x 轴对称．又∵|AB |＝23，不妨设A 在第一象限，则A 的纵坐标为3，代入圆x 2＋y 2＝4，得A 的横坐标为1．再将x ＝1，y ＝3代入y 2＝2px (p ＞0)中得p ＝32．探究3： (1)思路分析：联立直线与抛物线方程，消去x 得到关于y 的方程，利用中点坐标公式求出p ．B [解析]如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则AB 直线方程为y ＝x －p2．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px消去x 得y 2－2py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2p ．∴y 0＝y 1＋y 22＝p ． ∴p ＝2．∴所求准线方程为x ＝－p2＝－1．(2)思路分析：①联立方程消y ，根据相切Δ＝0求b ； ②利用第一问求出A 点坐标，进而求出圆半径得圆的方程．解：①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y ，得x 2－4x －4b ＝0．(*)因为直线l 与抛物线C 相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0．解得b ＝－1． ②由①可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0． 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1． 故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2． 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4． 巩固3：1．C [解析]∵抛物线方程为y 2＝x ， ∴其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14． ∴直线AB 过抛物线焦点．∴由抛物线的定义知，弦AB 的中点到直线x ＝－14的距离为2．∴弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于2＋14＝94．2．解：方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点为M (x ，y )，则y 1＋y 2＝2y ，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2．∵⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)， ∴2y ·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即2y ·y －1x －2＝2，即⎝⎛⎭⎫y －122＝x －74． 当AB ⊥x 轴时，AB 的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫y －122＝x －74． 方法二：设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －2，y 2＝2x ，得k2y 2－y ＋1－2k ＝0． 由已知可知⎩⎨⎧k ≠0，Δ>0恒成立．设A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，AB 的中点为P (x ，y )， ∴y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝21－2kk， ∴x 1＋x 2＝12(y 21＋y 22)＝12[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2] ＝12⎣⎡⎦⎤4k2－41－2k k＝2－2k ＋4k 2k 2， ∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22＝2k 2－k ＋1k 2，y ＝y 1＋y 22＝1k ，消去参数k ，得⎝⎛⎭⎫y －122＝x －74． 当AB ⊥x 轴时，AB 的中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为⎝⎛⎭⎫y －122＝x －74． 当堂检测1．[答案]C [解析]圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的圆心为(1,1)，代入四个选项检验知，点(1,1)在抛物线x 2＝y 或y 2＝x 上，故选C ．2．[答案]A [解析]∵抛物线y 2＝ax 的焦点坐标是1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴148a =．∴1=2a ． 代入ax 2＋y ＝0得x 2＝－2y ， ∴所求准线方程为1=2y ．3．[答案]B [解析]由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有且仅有两条．4．[答案]±8 [解析]椭圆的焦点为(±2,0)．当抛物线焦点为(2,0)时，m ＝8，当抛物线焦点为(－2,0)时，m ＝－8．5．[答案]32[解析]设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|AF |＝3及抛物线定义可得，x 1＋1＝3， ∴x 1＝2．∴A 点坐标为(2，)，则直线AB的斜率为0=21k -∴直线AB 的方程为y＝x －1)．由22=4,1,y x y x ⎧⎪⎨-)⎪⎩消去y 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x 1＝2，21=2x ． ∴|BF |＝x 2＋1＝32．。
抛物线的简单几何性质(第1课时)高中数学获奖教案
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程中，并无限制，因此。
而因为，且，所以。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？【预设答案】学生观察图形容易得到开口向右的抛物线关于轴对称，没有对称中心。
人教A版选择性必修一教案3.3.2 抛物线的简单几何性质(2)
3.3.2 抛物线的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第三章《圆锥曲线的方程》，本节课主要学习抛物线的简单几何性质《抛物线的简单几何性质》是人教A 版选修2-1第二章第四节的内容。
本节课是在是在学习了椭圆、双曲线的几何性质的基础上，通过类比学习抛物线的简单几何性质。
抛物线是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法 运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.课程目标学科素养A.掌握抛物线的几何性质及其简单应用．B.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．C. 掌握抛物线中的定值与定点问题．1.数学抽象：抛物线的几何性质2.逻辑推理：运用抛物线的性质平行3.数学运算：抛物线中的定值与定点问题4.直观想象：抛物线几何性质的简单应用重点：抛物线的简单几何性质及其应用 难点：直线与抛物线位置关系的判断多媒体教学过程教学设计意图 核心素养目标O(0,0)【分析】设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OA的方程为：＝＝，可得y D＝．设直线AB的方程为：my＝x﹣，与抛物线的方程联立化为y2﹣2pm﹣p2＝0，利用根与系数的关系可得．可得y D＝y2．即可证明．【解答】证明：设抛物线的标准方程为：y2＝2px（p＞0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OA的方程为：＝＝，令x＝，可得y D＝．设直线AB的方程为：my＝x﹣，联立，化为y2﹣2pm﹣p2＝0，∴．∴．∴y D＝y2．∴直线DB平行于抛物线的对称轴．例6. 如图，已知定点B (a,−ℎ),BC⊥∵2211122,4y px y y p ==-∴2121224px p y y y y y -=+++ ∴ 122(2)py x p y y =-+∴ AB 过定点（2p,0）.5.如图,已知直线l :y=2x-4交抛物线y 2=4x 于A ,B 两点,试在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ,使△PAB 的面积最大,并求出这个最大面积.思路分析:先求出弦长|AB|,再求出点P 到直线AB 的距离,从而可表示出△PAB 的面积,再求最大值即可. 解:由{y =2x -4.y 2=4x ,解得{x =4,y =4或{x =1,y =-2.∴A (4,4),B (1,-2),∴|AB|=3√5.(方法1)设P (x 0,y 0)为抛物线AOB 这段曲线上一点,d 为点P 到直线AB的距离, 则有d=|2x 0-y 0-4|√5=1√5|y 022-y 0-4|=12√5|(y 0-1)2-9|. ∵-2<y 0<4,∴(y 0-1)2-9<0. ∴d=12√5[9-(y 0-1)2].从而当y 0=1时,d max =92√5,S max =12×92√5×3√5=274.因此,当点P 的坐标为(14,1)时,△P AB 的面积取得最大值,最大面积为274.(方法2)由{y =2x -4,y 2=4x ,解得{x =4,y =4或{x =1,y =-2.∴A (4,4),B (1,-2),∴|AB|=3√5.设点P 的坐标为(4t 2,4t ),∵点P (4t 2,4t )在抛物线AOB 这段曲线上,∴-2<4t<4,得-12<t<1.由题意得点P (4t 2,4t )到直线AB 的距离d=|8t 2-4t -4|√5=4√5|2(t -14)2-98|.四、小结五、课时练学生已熟悉和掌握椭圆和双曲线的几何性质，有亲历体验、发现和探究的兴趣；具有一定的动手操作和逻辑推理的能力；有分组讨论、合作交流的习惯。
人教A版高中数学选修1-1精品教案 2.3.2抛物线的几何性质(1)(含答案)
§2.3.2 抛物线的几何性质（１）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质。
【教学难点】：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质及其应用。
【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1．已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．解：焦点在x轴负半轴上，2p=2，所以所求抛物线的标准方程是xy82-=2.填空：动点M与定点F的距离和它到定直线的距离的比等于e，则当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；当e=1时，动点M的轨迹是抛物线；当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．3.复习椭圆、双曲线几何性质的主要内容：通过离心率的填空引出抛物线。
引起学生的兴趣。
二、抛物线的几何性质类比研究归纳抛物线的几何性质：引导学生填写表格。
通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。
曲线抛物线方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py图形xyo FLxyoFL yoFLyoFL焦点F(p/2,0) F(-p/2,0) F(0,p/2) F(0,-p/2)范围x≥0 x≤0 y≥0 y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0) O(0,0) O(0,0) O(0,0)离心率e=1 e=1 e=1 e=1准线x=-p/2 x=p/2 y=-p/2 y=p/2渐近线无无无无曲线椭圆双曲线方程12222=+byax)0(>>ba12222=-byax)0,0(>>ba图形焦点F1(-c,0)F2(c,0) F1(-c,0)F2(c,0)范围|x|≤a,|y|≤b |x|≥a,y∈R对称性中心、轴对称中心、轴对称顶点A1,A2, B1,B2 A1(-a,0),A2(a,0)离心率e∈(0,1) e∈(1,+∞)准线x=±a2/c x=±a2/c渐近线无y=±(b/a)xxyoF1 F2L L2xyoF1 FL L三、例题讲解例 1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,23），求这条抛物线的准线方程。
人教A版高中数学选修高二新课程抛物线的简单几何性质教案新(1)
2、抛物线 关于直线 对称的曲线的顶点坐标为___________
3、求抛物线 上的点到到直线 的距离的最小值，并求取得最小值时抛物线上点的坐标.
4、经过抛物线 的焦点且和抛物线的对称轴成 的直线交 两点，求 的值
潮阳市西元中学数学科教案
上课时间
第 周星期第节
课型
课题
2.3.2 抛物线的简单几何性质（二）
教学目的
通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解பைடு நூலகம்与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.
教学设想
教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.
教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.
5、作业：教材P70 B组第1题.
（教师讲思路→学生板演→小结方法）
② 练习：过定点 且与抛物线 只有一个公共点的直线方程.
③出示例2：过抛物线 的顶点做互相垂直的二弦 .
（1）、求 中点的轨迹方程（2）证明： 与 轴的交点为定点
④ 练习：求过点 ，且与抛物线 有一个公共点的直线方程）
3、小结：直线与抛物线的位置关系.
教
学
过
程
三、巩固练习：
教
学
过
程
1、提问：回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.
2、已知抛物线的焦点是 ,准线是 ,求它的标准方程.
二、讲授新课：
1、教学直线与抛物线的位置关系
设直线 ,抛物线 ,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组 解的个数,也等价于方程 解的个数
1当 时,
当 时,直线和抛物线相交,有两个公共点;
人教课标版高中数学选修1-1《抛物线的简单几何性质》教案-新版
2.3.2抛物线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养发展直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）能借助抛物线的几何图形与标准方程理解抛物线的简单几何性质 （2）能用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题，如判断直线与抛物线的位置关系以及定值、最值问题 3.学习重点抛物线的简单几何性质 4.学习难点用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务任务1 预习教材6063P P -，思考直线与抛物线的位置关系有哪些? 任务2 完成63P 的练习 2．预习自测1. 过点()1,2且与抛物线24y x =只有一个公共点的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质2．过抛物线22y px =(0)p >的焦点作一条直线交抛物线于A 11(,)x y 、22(,)B x y ，则1212y y x x 为（ ）A ．4B ．－4C ．2pD ．2p - 答案：B解析：考查抛物线的简单几何性质3．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点．若126x x +=，则AB =____ ． 答案：8解析：考查抛物线的简单几何性质 （二）课堂设计 1.知识回顾关于抛物线的标准方程:①p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正数． ②方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.③焦点的非零坐标是一次项系数的14. 2.问题探究 问题探究一 抛物线的简单几何性质1．抛物线 ()220y px p =>有哪些简单几何性质呢？(1)对称性：以－y 代y ，方程()220y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形．抛物线的对称轴叫做抛物线的轴，抛物线只有一条对称轴． (2)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．(3)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，(4)通径：过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为2p(5)范围：由220,0y px p =≥>知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y | 也 增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，P 值越大，它开口越开阔2.直线与抛物线的位置关系：相离、相切、相交.（1）直线的斜率存在时，设直线y kx m =+与抛物线()220y px p =>相交于()()11122,,,A x y B x y 两点，将y kx m =+代入()220y px p =>，消去y 并化简，得2222()0k x mk p x m +-+=①当0k =时，直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，直线与抛物线只有一个公共点.②当0k ≠时， 0∆>⇔直线与抛物线相交⇔直线与抛物线有两个公共点；0∆=⇔直线与抛物线相切⇔直线与抛物线有且只有一个公共点0∆<⇔直线与抛物线相离⇔直线与抛物线无公共点（2）直线的斜率不存在时，设直线:l x m =，抛物线：()220y px p =>，显然 当0m <时，直线与抛物线相离，无交点；当0m =时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0m >时，直线与抛物线相交，有两个交点.（3）过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的焦点弦．（4）通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 称为抛物线的通径，通径|AB |的长等于2p（5）抛物线上的点到焦点的距离，叫做焦半径，当y 2＝2px (p >0)时，抛物线上的点的坐标()00,P x y ，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则焦半径02p PF x =+.问题探究二 用坐标法解决一些与抛物线有关的几何问题例1.已知抛物线的方程为x y 22=，直线l 的方程为)(1R k kx y ∈+=，当k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点;有两个公共点；没有公共点.【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合，分类讨论】详解：221y xy kx ⎧=⎨=+⎩01)22(22=+-+⇒x k x k11.0-210,,2k x x 当时,则此时直线与抛物线只有一个公共点;=+== 2212.04140,,2k k k k 时,（）则直线与抛物线只有一个公共点;≠∆=--== 13.000,2k k k 当时,且直线与抛物线有两个公共点;≠∆>⇒<≠14.00,2k k 时,直线与抛物线没有交点.≠∆<⇒>例2.已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求此弦所在的直线的方程 【知识点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，一元次方程的解讨论；数学思想：数形结合】详解：∵过焦点的的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率不为0设直线为)1(-=x k y ，与抛物线的交点坐标为),(),,(2211y x B y x A()214y k xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，则有2221222242)0(0)42(k k x x k k x k x k +=+⇒≠=++- 3624222221=++=++=+=∴k k x x BF AF AB)1(42,42-±=±=∴x y k 所求直线的方程为 例3.求过抛物线()220y px p =>的焦点F 的弦长的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解一：如图，设抛物线()220y px p =>的焦点弦的两个端点为()()1122,,A x y B x y 、并设焦点弦所在直线方程为2px my =+①，于是有112222p px my x my =+=+，，将①代入22y px =， 得2220y pmy p --= 所以212122,y y pm y y p +==-.因为()()()2222121212441y y y y y y p m -=+-=+．所以()221AB p m ==+所以2AB p ≥，故当0m =，即过焦点的弦垂直于x 轴时，它的长度最小，其最小值为2p .详解二：如图所示，设焦点弦AB 的中点为E ，分别过,A E B ，作准线l 的垂线，垂足为,,D H C ，由抛物线定义知AD AF =，BC BF =，所以2AB AF BF AD BC EH =+=+=由图可知HE GF ≥，当且仅当AB 与x 轴垂直时，=HE GF ，即min 22AB GF p ==.点拔： 解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x 轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点．例4.设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线焦点．(1)求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； (2)若()3,2B ，求PB PF +的最小值．【知识点：抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合】详解： (1)如图，易知抛物线的焦点为()1,0F ，准线方程是1x =-，由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点()1,1A -的距离与点P 到()1,0F 的距离之和最小．显然，连AF 交抛物线于P(2)如图把点B 的横坐标代入24y x =中，得2y =>，所以B 在抛物线内部，自B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于1P . 此时，由抛物线定义知：11PQ PF =.那么11+=314PB PF PB PQ BQ +≥=+= 即最小值为4.例5.已知抛物线22y x =.(1)设点A 的坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离PA ；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线30x y -+=的距离最短，并求出距离的最小值．【知识点：点到直线的距离，抛物线的定义，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系；数学思想：数形结合，函数的思想】详解： (1)设抛物线上任一点(),P x y ，则22222221123333PA x y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵0x ≥，且在此区间上函数单调递增，故当0x =时， min 23PA =，故距点A 最近的点的坐标为()0,0.(2)解法一：设点()00,P x y )是22y x =上任一点，则P 到直线30x y -+=的距离为d ===当01y =时，min 4d ==， ∴点P 的坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.解法二：设与直线30x y -+=平行的抛物线的切线为0x y t -+=，与22y x =联立，消去x ，得22+20y y t -=，由=0∆，得12t =，此时11,2y x ==，∴1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离，即min 4d =. 点拔： 有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，将到焦点的距离与到准线的距离相互转化，用几何意义解决，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的函数关系式，转化为目标函数最值解决.例6.已知AOB ∆是一个顶点为抛物线x y 22=的顶点O ,B A 、两点都在抛物线上，且90AOB ∠=o（1）求证：直线AB 必过一定点 （2）求AOB ∆面积最小值【知识点：抛物线的定义，直线的方程，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】详解：（1）解法一：直线OA 斜率存在且不为0，设OA 所在直线方程为)0(≠=k kx y ,OB 所在直线方程为x ky 1-= 2222022,(,)022x y kx x k A y k k y x y k ⎧=⎪==⎧⎧⎪⇒∴⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩或 同理)2,2(2k k B -，则直线的方程为)2(22222222k x k k kk k y --+=+即22121k kx k k y ---=，过定点)0,2( 解法二：设直线n x my AB +=为，),(),,(2211y x B y x A22122,220,2,480.2my x ny my n y y n m n y x=+⎧⇒-+=⇒=∆=->⎨=⎩ 2222121221212,20,22,0,0y y x x n n n n x OA OB OA OB x x y y n 且∴==∴+=⇒=-⊥∴⋅=+=≠uu r uu u rQ22,0my x ∴=-直线为过定点（）. （2）设AB 直线方程为),(),,(,22211y x B y x A my x +=2+22x my y x =⎧⎨=⎩4,204221212-=+=⇒=--⇒y y m y y my y121211222AOBy y S OP y y Δ-==⇒=⋅-=⋅⋅当AOB S m ∆=,0的面积取得最小值4. 3.课堂总结 【知识梳理】（1）焦半径 抛物线上一点与焦点F 连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点()00,A x y ，则四种标准方程形式下的焦半径公式为（2）焦点弦问题如图所示：AB 是抛物线()220y px p =>)过焦点F 的一条弦，设()()1122,,A x y B x y 、，AB 的中点()00,M x y ，抛物线的准线为l . ①以AB 为直径的圆必与准线l 相切；②0=22p AB x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (焦点弦长与中点关系)；③12=AB x x p ++；④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即212=4p x x ，212=y y p -.【重点难点突破】（1）抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线．（2）为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．（3）要注意根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．（4）在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．（5）p 表示焦点到准线的距离，0,p p >值越大，抛物线的开口越宽；p 值越小，抛物线的开口越窄． 4.课堂检测1. 抛物线28x y =-的准线方程是( )A ．132x =B ．2y =C ．14x =D ．4y = 答案：B【知识点：抛物线的几何性质】2.已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M -，求它的方程（ ）A ．2x y =B ．2y =C ．2x y =D ．2x = 答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质】3. 已知抛物线的顶点在原点，准线与其平行线2x =的距离为3，求抛物线的方程．答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质】 与直线2x =的距离为3的平行直线有两条，即：1x =-和5x =． 设抛物线的方程为2y mx =，则14m -=-，或54m-=，∴4m =或20m =-． 故所求抛物线的方程为24y x =或220y x =-． （三）课后作业 基础型 自在突破1．已知()8,P a 在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16 答案：B解析：【知识点：抛物线的几何性质】2. 过抛物线28y x =的焦点，作倾斜角为45︒的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A ．8B ．16C ．32D ．61 答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】3．过点（0，2）且与抛物线22y px =(0)p >只有一个公共点的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4．已知点P 是抛物线28y x =-上一点，设P 到此抛物线准线的距离是1d ，到直线100x y +-=的距离是2d ，则12d d +的最小值是( )A.B ．C ．D ．3 答案：C解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】5.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于A B 、两点O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值是( ) A ．12 B ． 12- C ． 3D ．3- 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，平面向量的数量积】设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则222212121212,,4416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又∵AB 过焦点，则有212=4y y p -=-， ∴()22212124=431616y yOA OB y y -⋅=+-=-故选D.6．若直线20x y m ++=与抛物线210y x =-恰有两个交点，那么实数m 的取值范围是___________．答案：54m >-解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，一元二次方程的解，二元二次方程的解】能力型 师生共研7.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1，则点A 的坐标为( )A ． (2B ．(2，-C ．(2D．(2±，答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，三角形的面积】如图，由题意可得，1OF =，由抛物线定义得， AF AM =， ∵AMF ∆与AOF ∆ (其中O 为坐标原点)的面积之比为3:1， ∴()1sin 231sin 2AMF AOFAF AM MAF S S OF AF MAF π∆∆⨯⨯⨯∠==⨯⨯⨯-∠ ∴3AM =，设22000,1344y y A ⎛⎫∴+=⎪⎝⎭，y ，解得20024y y =±∴=， ∴点A的坐标是(2±，，故选D. 8．若P 点在抛物线2y x =上，点Q 在圆22(3)1x y -+=上，则PQ 的最小值为_____．1解析：【知识点：抛物线的标准方程；数学思想：数形结合】9.过抛物线焦点F 的直线与抛物线相交于A B 、两点，若A B 、在抛物线的准线上的射影是11A B 、，则11A FB ∠=____________． 答案：90︒解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质；数学思想：数形结合】 探究型 多维突破10. 已知点()()2,0,4,0A B ，动点P 在抛物线24y x =-上运动，则AP BP ⋅取得最小值时的点P 的坐标是______． 答案：()0,0解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质，平面向量的数量积，函数的最小值；数学思想：数形结合】设2,4y P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则222,,4,44y y AP y BP y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2222252,4,8844162y y y AP BP y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当0y =时取等号，此时点P 的坐标为()0,0．11.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，准线过椭圆22+11652x y =的焦点，求抛物线的方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质，椭圆的几何性质】 由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标，又抛物线的准线过椭圆焦点，可求参数p .椭圆22+11652x y =的焦点在p 轴上，焦点坐标为()()06,0,6-，．故抛物线的准线方程为66y y =-=或.当准线方程为6y =-时，设抛物线方程为 ()220x py p =>，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =；当准线方程为6y =时，设抛物线方程为()220x py p =->，则12p =，所求抛物线的方程为224x y =-.故所求抛物线的方程为224x y =或224x y =-12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点的直线交抛物线于A B 、两点，且52AB p =，求AB 所在的直线方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦，弦长公式，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】解法1：焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()()1122,,A x y B x y 、，若AB Ox ⊥，则522AB p p =<， 所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭.由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x ，整理得22220k y py kp --=. 由韦达定理得，212122,py y y y p k+==-.∴12AB y =-21512p pk ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得2k =±.∴AB 所在直线方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭解法2：如图所示，抛物线()220y px p =>的准线为2px =-，()()1122,,A x y B x y 、，设A B 、到准线的距离分别为12,d d ，由抛物线的定义知，1122,,22p p AF d x BF d x ==+==+ 于是121253=,22pAB x x p p x x ++=+= 当12=x x 时，522AB p p =<，直线AB Ox 与不垂直． 设直线AB 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()222221204k x p k x k p -++=. ()2122232p k px x k ++==，解得2k =±. ∴直线AB 的方程为22p y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或22p y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（四） 自助餐1. 直线=2y kx +交抛物线28y x =于A B 、两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝（ ）A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3 答案：C解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】2. 已知直线l 与抛物线28y x =交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为（8，8），则线段AB 的中点到准线的距离是（ ） A ．254 B ．252C ．258D ．25 答案：A解析：【知识点：抛物线的定义及几何性质】3.抛物线22y px =与直线40ax y +-=的一个交点是 ()1,2，则抛物线的焦点到该直线的距离是( )A.B.C.D.2答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】4. 双曲线()2210x y mn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为( ) A. 316B. 38 C. 163D.83答案：A解析：【知识点：抛物线的几何性质，双曲线的标准方程】5.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为,l P 为抛物线上一点，,PA l A ⊥为垂足．如果直线AF 的斜率为PF = ( )A ．B ．8C ．D ．16 答案：B解析：【知识点：直线倾斜角与斜率，抛物线的定义及几何性质】6．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =(0)p >，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是（ ）A ．28pB ．24pC ．22pD ．2p 答案：B解析：【知识点：三角形的面积，抛物线的定义及几何性质】7.抛物线2y ax =（0a >）与直线(0)y kx b k =+≠有两个公共点，其横坐标分别是1x 、2x ．而直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标是3x ，则1x 、2x 、3x 之间的关系是（ ） A ．312x x x =+B ．31211x x x =+ C ．131223x x x x x x =+ D ．121323x x x x x x =+ 答案：D解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，抛物线的定义及几何性质，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】8.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 答案：B解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理】9．过（0，－2）的直线与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为2，则AB =_____________．答案：解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系】10. 求过点()0,1P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程． 答案：见解析解析：【知识点：直线与抛物线的位置关系，判别式与违达定理；数学思想：数形结合】(1)若直线斜率不存在，则过点()0,1P 的直线方程为0x =，由22x y x=⎧⎨=⎩得00x y =⎧⎨=⎩即直线0x =与抛物线只有一个公共点．(2)若直线的斜率存在，设为k ，则过点()0,1P 的直线方程为1y kx =+，由方程组2+12y kx y x=⎧⎨=⎩消去y ，得()222110k x k x +-+=. 当0k =时，得121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 即直线1y =与抛物线只有一个公共点；当0k ≠时，直线与抛物线只有一个公共点，则()22=4140k k ∆--=，所以12k =，直线方程为1+12y x =.综上所述，所求直线方程为0x =或1y =或1+12y x =.11.已知椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，抛物线2y px =（0p >）与椭圆在第一象限内交点为Q ．若1260FQF ∠=．(1)求△12FQF 的面积； (2)求此抛物线的方程． 答案：见解析解析：【知识点：抛物线的标准方程，抛物线的定义及几何性质，三角形的面积；数学思想：数形结合】∵2a =，1b =，∴12F F =∴2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-∙21212()3PF PF PF PF =+-∙． 1243PF PF ∙=． ∴S △12F QF 1213sin 602PF PF =⋅=．(2)设00(,)Q x y 12012F F y =∴013y =代入椭圆方程得0x =．将1)3Q 代入2y px =得p =．∴224y x =． 12.抛物线的焦点F 是圆2240x y x +-=的圆心． (1)求该抛物线的标准方程；(2)直线l 的斜率为2，且过抛物线的焦点，若l 与抛物线、圆依次交于,,,,A B C D ，求AB CD +.答案：见解析解析：【知识点：抛物线的定义、方程、几何性质，直线与抛物线的位置关系】 (1)由圆的方程知圆心坐标为()2,0．因为所求的抛物线以()2,0为焦点，所以抛物线的标准方程为28y x =.(2)如下图，=AB CD AD BC +-，又=4BC ，所以只需求出AD 即可． 由题意，AD 所在直线方程为()22y x =-，与抛物线方程28y x =联立得()22864022y x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⎨=-⎪⎩，设()()1122,,,A x y D x y ， 所以()()121212126,4,A 2210x x x x AD F DF x x x x +===+=+++=+=， 所以==6AB CD AD BC +-.本题求出12126,4x x x x +==后可以利用弦长公式来求，但直接利用抛物线定义得12A AD F DF x x p =+=++，则简单利落.数学视野抛物线、椭圆、双曲线各有其所谓“光学特性”，这些“光学特性”被应用于光学、声学、热学、电子学的各个领域而大放异彩．如光学中灯具与望远镜的设计；声学中的音乐台的抛物面屏墙，椭圆听音实验；电子学中的冲击波排石及激光消痣椭圆；在微波通讯、聚热、发电（如太阳灶、太阳炉、太阳能光电站等）也都用到了圆锥曲线尤其是抛物线的“光学特性”．圆锥曲线在许多大型拱形、薄壳建筑上，在大量生产、生活用品制造上，亦有许多出众表现．如诸多著名桥梁的抛物线型设计，薄壳结构类建筑的椭圆状穹顶，热电站的双曲面冷淋塔．同样，抛物线、椭圆、双曲线也广泛存在于人们日常生活用品和生产用具上，这些妙用是由其特殊的形状和内在特性决定的．。
抛物线的简单几何性质(教学设计)高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
3.3.2 抛物线的简单几何性质教学设计本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章《圆锥曲线的方程》的第三节《抛物线》。
以下是本节的课时安排：学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养．2.能利用性质解决与抛物线有关的问题．3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养.重点：抛物线的标准方程及其推导过程难点：求抛物线标准方程（一）新知导入已知抛物线y2＝8x，其轨迹如图所示．(1)观察抛物线y2＝8x轨迹可知其上的点的坐标的范围是怎样的？(2)观察抛物线y2＝8x的轨迹有什么对称性？【提示】(1)抛物线上的点的横坐标x≥0，纵坐标y∈R.(2)关于x轴对称．（二）抛物线的几何性质知识点一抛物线的几何性质◆抛物线的几何性质向右向左向上向下【点睛】1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一;次项系数的绝对值的14(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.【做一做1】(教材P134例3改编)已知抛物线关于y轴对称，顶点在原点，且经过点P(23，－2 )，则抛物线的标准方程是()A．y2＝－6x B．x2＝－4yC．x2＝－6y D．x2＝6y解析：由题意，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．23，－2在抛物线上，所以12＝4p，解得p＝3.因为点P()∴抛物线的标准方程为x2＝－6y.答案：C知识点二 抛物线的焦点弦长【探究2】斜率为k 的直线l 经过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，你能想到哪些求弦长|AB |的方法？【提示】法一：利用两点间的距离公式； 法二：利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|； 法三：|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . ◆焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .【做一做2】过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：B（三）典型例题1.利用抛物线的几何性质求标准方程例1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[分析] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[解析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23，即y 1－y 2＝2 3. 由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x .【类题通法】根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．【巩固练习1】1.抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解析] 椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上， ∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3， ∴p ＝6.∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3或x ＝3.2.已知A 、B 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |＝|OB |，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的焦点F ，求直线AB 的方程．[解析] 抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ∵抛物线关于x 轴对称，|OA |＝|OB |，∴△ABO 为等腰三角形． ∴A 、B 两点关于x 轴对称． 设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，∵△ABO 的垂心恰为抛物线的焦点，∴BF ⊥OA . 则k BF ·k OA ＝－1，即－y 0－0x 0－p 2·y 0x 0＝－1.又∵y 20＝2px 0，∴x 0＝52p .∴直线AB 的方程为x ＝5p2. 2.直线与抛物线的位置关系例2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点P (4，m )到焦点F 的距离为5.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 与直线y ＝x －4相交于不同的两点A 、B ， 求证：OA ⊥OB .[分析] (1)可转化为点P 到准线的距离． (2)OA ⊥OB ⇔OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. [解析] (1)解：由题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线方程为x ＝－p2，∵P (4，m )到焦点的距离等于P 到其准线的距离， ∴4＋p2＝5，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －4，消去y ，得x 2－12x ＋16＝0，Δ>0，∵直线y ＝x －4与抛物线相交于不同两点A 、B ， ∴可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝16， ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－4)(x 2－4)＝x 1x 2＋x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16 ＝16＋16－4×12＋16＝0， ∴OA→⊥OB →，即OA ⊥OB . 轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .【类题通法】将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．【巩固练习2】1.(多选题)过点(－2,1)作直线l ，与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则下列直线l 的方程满足条件的是( )A ．y ＝1B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －2y ＋4＝0解析：由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，此时直线l 的方程为y ＝1.当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．当Δ＝0时，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，方程①只有一个解，从而方程组(*)只有一个解，这时直线l 与抛物线只有一个公共点． 此时直线l 的方程为y －1＝－1(x ＋2)或y －1＝12(x ＋2) 即x ＋y ＋1＝0或x －2y ＋4＝0. 答案：ACD2.已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．[解析] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，∴p2＝1，p ＝2，所求抛物线方程为y 2＝4x .(2)法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，① y 22＝4x 2，②且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)， ∴y 2－y 1x 2－x 1＝2， 所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)， 即2x －y －3＝0.法二：显然AB 不垂直于x 轴，故可设弦AB 所在的直线方程为y －1＝k (x －2)，k ≠0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －2)，y 2＝4x ， 消去x 整理得ky 2－4y －8k ＋4＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，又M 点是AB 的中点，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2，故直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.3. 抛物线的焦点弦例3.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程．[解析] 如图，依题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋x 2＋p ＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎨⎧ y ＝－x ＋12p y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x .∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .【类题通法】1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所截得的弦叫作抛物线的焦点弦．2．对于抛物线的焦点弦，利用抛物线的定义，结合平面几何知识可以得出抛物线焦点弦的许多性质，应用起来非常方便．如图，已知线段AB 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点弦，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，点F 是抛物线的焦点，过A ，B 两点分别作准线l 的垂线AC ，BD ，垂足分别为点C ，D ，点M 为线段AB 的中点，点M ′为线段CD 的中点．(1)几何性质①以过焦点F 的弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切于点M ′，∠AM ′B＝90°；②以线段CD 为直径的圆与弦AB 相切于点F ，∠CFD ＝90°；③通径(过抛物线的焦点且与轴垂直的弦)是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦．(2)代数性质①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)；③1|FA |＋1|FB |＝2p (定值)．【巩固练习3】如图，斜率为43的直线l 经过抛物线y 2＝2px 的焦点F (1,0)，且与抛物线相交于A 、B 两点．(1)求该抛物线的标准方程和准线方程；(2)求线段AB 的长．[解析] (1)由焦点F (1,0)，得p 2＝1，解得p ＝2.所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l 的方程为y ＝43(x －1)．与抛物线方程联立，得⎩⎨⎧ y ＝43(x －1)y 2＝4x ，消去y ，整理得4x 2－17x ＋4＝0，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝174＋2＝254.所以，线段AB 的长为254.（四）操作演练 素养提升1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为坐标原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－33xC．y2＝±36x D．y2＝±33x3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()A．213 B．215C．217 D．2194．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.答案：1.C 2.C 3.B 4. 8【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.3.2 抛物线的简单几何性质
2.3.2 抛物线的简单几何性质[学习目标] 1.掌握抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的简单几何性质解决与抛物线有关的问题.知识点一 抛物线的几何性质标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图形性 质范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Rx ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0对称轴 x 轴x 轴y 轴y 轴顶点 (0,0) 离心率e ＝1知识点二 焦点弦直线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，由抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，故|AB |＝x 1＋x 2＋p .知识点三 直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0的解的个数.当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.当k ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点.题型一 抛物线的几何性质例1 已知双曲线方程是x 28－y 29＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.解 因为双曲线x 28－y 29＝1的右顶点坐标为(22，0)，所以p2＝22，且抛物线的焦点在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2 2.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称.(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程.跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0). 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x . (2)当抛物线的焦点在y 轴上时， 设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0). 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程.解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意.所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0.。
新人教A版(选修21)《抛物线的简单几何性质》word教案1
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：汪春普 审稿人：张林抛物线的简单几何性质 (教案)教学目标：㈠知识目标：1.理解抛物线的定义；2.会求抛物线的标准方程；3.会利用抛物线的几何性质解决数学问题.㈡能力目标：⒈会利用抛物线的定义和几何性质解决有关问题⒉进一步加强数形结合思想；教学重点：利用抛物线的几何性质求抛物线方程，解决有关数学问题．教学难点：利用抛物线的几何性质解决数学问题.教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入1.提问抛物线的定义：2.提问抛物线的标准方程：3.提问抛物线的几何性质：3.求直线与抛物线位置关系问题的解题思路：二、例题例1．设抛物线22(0)y px p =>，Rt AOB ∆ 内接于抛物线，O 为坐标原点，,AO BO AO ⊥所在的直线方程为2y x =，||AB = 例2过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 。
（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数。
（例124y x =，例2（1）p ，（2）2-，0p y -） 三. 教学反思抛物线有四种形式的标准方程，对应四种情况的几何性质.四.课后作业1.过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 2．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1- A3. 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB 则=α 。
4. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．5.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB =6.已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线， M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥,轴（如图）。
人教A版高中数学选修抛物线的简单几何性质学案
§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1） 学习目标1．掌握抛物线的几何性质； 2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程一、课前准备6870，文P 60~ P 61找出疑惑之处）复习1：准线方程为x=2的抛物线的标准方程是 ．复习2：双曲线221169x y -=有哪些几何性质？二、新课导学※ 学习探究探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质图形标准方程焦点 (0,)2p -准线2p y =-顶点(0,0)(0,0) 对称轴x 轴离心率试试：画出抛物线28y x =的图形，顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、准线方程 、对称轴 、离心率 ．※ 典型例题例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长：可用弦长公式，也可利用抛物线的定义求解．※动手试试练1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程：⑴顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点(5M，4)-；⑵顶点在原点，焦点是(0,5)F；⑶焦点是(0,8)F-，准线是8y=．三、总结提升※学习小结1．抛物线的几何性质；2．求过一点的抛物线方程；3．求抛物线的弦长．※知识拓展抛物线的通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线，与抛物线相交所得的弦叫抛物线的通径．其长为2p．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．下列抛物线中，开口最大的是（）．A．21 2y x=B．2y x=C ．22y x =D ．24y x =2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ．A ．220y x =B ．220x y =C ．2120y x =D ．2120x y = 3．过抛物线24y x =的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．44．抛物线2(0)y ax a =≠的准线方程是 ．5．过抛物线22y x =的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果126x x +=，则AB = ．1． 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出 图形：⑴顶点在原点，对称轴是x 轴，并且顶点与焦点的距离等到于6； ⑵顶点在原点，对称轴是y 轴，并且经过点(6,3)P --．2 M 是抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，60xFM ∠=o ，求FA ．。
2013新人教A版(选修2-1)《抛物线的简单几何性质》word教案1
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：汪春普 审稿人：张林抛物线的简单几何性质 (教案)教学目标：㈠知识目标：1.理解抛物线的定义；2.会求抛物线的标准方程；3.会利用抛物线的几何性质解决数学问题.㈡能力目标：⒈会利用抛物线的定义和几何性质解决有关问题⒉进一步加强数形结合思想；教学重点：利用抛物线的几何性质求抛物线方程，解决有关数学问题．教学难点：利用抛物线的几何性质解决数学问题.教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入1.提问抛物线的定义：2.提问抛物线的标准方程：3.提问抛物线的几何性质：3.求直线与抛物线位置关系问题的解题思路：二、例题例1．设抛物线22(0)y px p =>，Rt AOB ∆ 内接于抛物线，O 为坐标原点，,AO BO AO ⊥所在的直线方程为2y x =，||AB = 例2过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 。
（1）求该抛物线上纵坐标为2p 的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求120y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数。
（例124y x =，例2（1）p ，（2）2-，0p y -） 三. 教学反思抛物线有四种形式的标准方程，对应四种情况的几何性质.四.课后作业1.过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（ ）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 2．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）A ．1B ．12C ．12-D ．1- A3. 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB 则=α 。
4. 已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．5.斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||AB =6.已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线， M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥,轴（如图）。
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7．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？
2．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为()
A．8B．16 C．32D．61
3.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()
A．4B．6 C．8D．12
4.抛物线y＝ x2(m<0)的焦点坐标是()
A. B. C. D.
5.抛物线y2＝16x上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．
3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的_．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是____
4．离心率抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的，用e表示，按照抛物线的定义，e＝.
二、知识应用
例1．已知抛物线关于x轴对称，它的定点在坐标原点，并且经过点M(2, ),求它的标准方程.
一、自主预习（阅读教材56—59页，完成下列问题）
1．范围因为p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线在y轴的___侧；当x的值增大时，|y|也，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口__
2．对称性以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的_________
例2．斜率为1的直线 经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长.
例3．已知抛物线的方程为y2＝4x，直线 过定点P(-2,1),斜率为k,当k为何值时，直线 与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点.
三、课后练习
1．抛物线y＝2x2的焦点坐标是()
A. B. C. D.