学案导学备课精选2015年高中数学1.1.2充分条件和必要条件同步练习(含解析)苏教版选修2_1

1.1.2 充分条件和必要条件
课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．
1．一般地，如果p ⇒q ，那么称p 是q 的____________，同时q 是p 的______________． 2．如果p ⇒q ，且q ⇒p ，就记作________．这时p 是q 的______________条件，简称________条件，实际上p 与q 互为________条件．如果p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的________________________条件．
一、填空题
1．用符号“⇒”或“⇒”填空.
(1)a >b ________ac 2>bc 2
； (2)ab ≠0________a ≠0.
2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的______________条件．
3．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围为________．
4．函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a >0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________． 5．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，则丙是甲的____________条件．
6．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题q ：⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的________________条件．
7．“b 2
＝ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的________________条件．
8．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2
＝1相交”的________________条件． 二、解答题
9．设α、β是方程x 2
－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析“a >2且b >1”是“两根都大于1”的什么条件？
10.设x ，y ∈R ，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.
能力提升 11．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为
l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ∙min ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a b ，b c ，c a ，
则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的____________条件．
12．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2
－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．
1．充分条件和必要条件是数学中的重要概念，主要用来区分命题中的条件p 和结论q 之间的关系，主要以其他知识为载体对条件p 是结论q 的什么条件进行判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．
1．1.2 充分条件和必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计
1．(1) ⇒ (2)⇒ 2．必要不充分
解析 ∵c >d ，∴－c <－d ，a >b ， ∴a －c 与b －d 的大小无法比较；
当a －c >b －d 成立时，假设a ≤b ，又－c <－d ， ∴a －c <b －d ，与题设矛盾，∴a >b .
综上可知，“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件． 3．(2，＋∞)
解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1) (－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.
4．b ≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－b
2a
≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 在[1，
＋∞)上单调递增． 5．充分不必要 解析
∵甲是乙的必要条件， ∴乙⇒甲．
又∵丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件， ∴丙⇒乙，但乙⇒丙．如图所示． 综上有丙⇒乙⇒甲，但乙⇒丙， 故有丙⇒甲，但甲D ⇒/丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 6．充分不必要
解析 由a ＝b 知，⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝a 2，a 2＋b 22＝a 2， ∴p ⇒q ；
反之，若q 成立，则p 不一定成立， 例如取a ＝－1，b ＝1，
则⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝0≤1＝a 2＋b 2
2，但a ≠b . 7．必要不充分
解析 由b 2
＝ac ⇒a ，b ，c 成等比数列， 例如，a ＝0，b ＝0，c ＝5.
若a ，b ，c 成等比数列，由等比数列的定义知b 2
＝ac . 8．充分不必要
解析 把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2
＝1相交”；但“直
线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2
＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y
＋k ＝0与圆x 2＋y 2
＝1相交”的充分不必要条件．
9．解 由根与系数的关系得⎩
⎪⎨⎪⎧
α＋β＝a
αβ＝b ，
判定的条件是p ：⎩⎪⎨
⎪⎧
a >2
b >1
，结论是q ：⎩⎪⎨
⎪⎧
α>1
β>1
(Δ≥0)．
①由α>1且β>1⇒a ＝α＋β>2，b ＝αβ>1⇒a >2且b >1，故q ⇒p .
②取α＝4，β＝12，则满足a ＝α＋β＝4＋12>2，b ＝αβ＝4×1
2
＝2>1，但p ⇒q .
综上所述，“a >2且b >1”是“两根都大于1”的必要不充分条件．
10．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，
则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立． 当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，
又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．
当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立． 总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，
则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2
，
即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2
＋2|x ||y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.
综上可知，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0. 11．必要而不充分
解析 当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，
∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.
∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．
∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a
b ，b
c ，c a ＝c a .
又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a
c
，
即a b ＝a c 或b c ＝a c
， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件． 12．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．。