逆命题与逆定理
2.4 逆命题和逆定理(解析版)
2.4 逆命题和逆定理（3）举出反例即可．【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b，结论为：|a|=|b|；（2）此命题的逆命题为：如果|a|=|b|，那么a=b；（3）此命题的逆命题是假命题，当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a=2,b=―2时，|2|=|―2|，而2≠―2．【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．考查题型二互逆定理4．下列说法正确的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．定理的逆命题一定是真命题【答案】A【分析】利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案．【详解】解：A.任何命题都有逆命题，故A说法正确，符合题意；B.任何定理不一定有逆定理，故B说法错误，不符合题意；C.真命题的逆命题不一定是真命题，故C说法错误，不符合题意；D. 定理的逆命题不一定是真命题，故D说法错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．5．下列定理中，没有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等D．两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可．【详解】解：A、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，不是逆定理；B、逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是逆定理；C、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是逆定理；D、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是逆定理；故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．∠ABC，∴∠CBD=12∴∠CBD=∠BCE，在△BCE和△CBD∠CBE=∠BCDBC=CB∠BCE=∠CBD棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，__________，__________．求证：__________．证明：【答案】见解析【分析】根据题意，写出已知、证明、求证，根据垂直平分线的性质得出OE=OF，进而根据等腰三角形的性质得出OD平分∠AOB．【详解】已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，DG⊥EF，DE=DF（或D是EF的中点），求证：OD平分∠AOB（或∠AOD=∠BOD）．证明：∵DG⊥EF，DE=DF，∴DG垂直平分EF．∴OE=OF．∵DG⊥EF，点O在DG上，∴OD平分∠EOF．即OD平分∠AOB．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：如图所示，∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．12．作图：已知直线l1∥l2∥l3，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；（2）只需要证明△ACE ≌△ADB 得到AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，再证∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，即∠CAB ＝60°，即可证明△ABC 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ABC 即为完成的图形；已知：如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，在l 1上取点A ，D ，在l 3上取点E ，作等边△ADE ，DE 交l 2于点B ；在l 3上点E 的左侧取点C ，使CE ＝BD ，连接AC ，BC ．求证：△ABC 为等边三角形．（2）证明：由（1）得：∵△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，∠EAD ＝∠EDA ＝∠AED ＝60°，∵l 1∥l 2∥l 3，∴∠EAD ＝∠CEA ＝60°，∴∠AEC ＝∠EDA ，在△ACE 和△ADB 中，AD =AE ∠AEC =∠ADB BD =CE，∴△ACE ≌△ADB （SAS ），∴AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，∴∠CAB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．13．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．逆命题：______．已知：______．求证：______．【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形；证明见解析．【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可．【详解】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题．已知，如图所示：AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线，求证△ABC是等腰三角形．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．14．如图所示，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①∠A=∠C，②AD=CB，③AE=CE．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②⇒③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS ，ASA 即可判断；（2）选择①②⇒③，根据全等三角形的判定定理AAS ，得到ΔADE≌ΔCBE (AAS )，然后即可得到AE =CE .【详解】解：（1）①②⇒③，满足全等三角形判定定理AAS ，是真命题；①③⇒②，满足全等三角形判定定理ASA ，是真命题；②③⇒①，是SSA ，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为2；（2）选择①②⇒③．证明：在ΔADE 和ΔCBE 中，∠AED =∠CEB (对顶角相等)，∠A =∠C (已知)，AD =CB (已知)，∴ΔADE≌ΔCBE (AAS )．∴AE =CE （全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.。
第13章 13.5 13.5. 1 互逆命题与互逆定理
证明：过点E作EM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于
点N，∵BD、CE分别是△ ABC的中线，∴S△ BEC＝S△ BDC，
∴
1 2
BC·EM＝
1 2
BC·DN，∴EM＝DN，在Rt△ EMC和
Rt△ DNB中，CE＝BD，EM＝DN，
∴Rt△ EMC≌Rt△ DNB，∴∠ECM＝∠DBC，在△ EBC
6.在△ ABC 中，∠A 的相邻外角是 110°，要使△ ABC 是等腰三角形，则∠B＝ 55°或 70°或 40° ．
7. 命题“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题 是 两边上的中线相等的三角形是等腰三角形 ，这个命 题是 真 命题．(填“真”或“假”)
【解析】逆命题：两边上的中线相等的三角形是等 腰三角形．已知：如图，在△ ABC中，BD、CE分别是 边AC和AB上的中线，且CE＝BD，求证：△ ABC是等腰 三角形．
知识点 互逆定理 4. 下列定理是否都有逆定理？若有，请写出来． (1)如果两个角都是直角，那么这两个角相等； (2)内错角相等，两直线平行； (3)等边三角形的三个内角都等于60°.
解：(1)逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角 是直角，它是一个假命题，故(1)没有逆定理．
(2)逆命题是：两直线平行，内错角相等，它是一个 真命题，故(2)的逆命题就是它的逆定理．
如图，△ ABC 是等边三角形． (1)若 AD＝BE＝CF，求证：△ DEF 是等边三角形； (2)请问(1)的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不 成立，请用反例说明．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C， AB＝AC＝BC， 又∵AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF， 即 BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED≌△CFE.
互逆命题与互逆定理
互逆命题与互逆定理
在逻辑推理和数学证明中，互逆命题和互逆定理是两个重要的
概念。
它们在推理过程中起着至关重要的作用，帮助我们理清思绪，找到正确的答案。
首先，让我们来了解一下什么是互逆命题。
互逆命题是指两个
命题，它们的否定分别是对方。
换句话说，如果一个命题为真，则
另一个命题必为假，反之亦然。
例如，命题A，“今天是晴天”，
其互逆命题为命题B，“今天不是晴天”。
这两个命题互为对立命题，其真假情况完全相反。
接下来，我们来看一下互逆定理。
互逆定理是指在数学或逻辑
推理中，如果一个定理成立，那么它的互逆定理也必然成立。
互逆
定理通常用于证明或推导过程中，帮助我们简化问题，找到解决方案。
例如，在数学中，如果一个定理表明“如果A成立，则B成立”，那么它的互逆定理表明“如果B不成立，则A不成立”。
互逆命题和互逆定理在逻辑推理和数学证明中都具有重要的意义。
它们帮助我们理清思路，找到正确的答案，同时也提醒我们在
推理过程中要注意对立命题和定理的关系。
通过理解和运用互逆命
题和互逆定理，我们可以更好地进行逻辑推理和数学证明，提高解决问题的能力和效率。
总之，互逆命题和互逆定理是逻辑推理和数学证明中不可或缺的概念，它们帮助我们理清思路，简化问题，找到正确的答案。
通过深入理解和灵活运用这两个概念，我们可以更好地进行推理和证明，提高解决问题的能力，为学习和研究打下坚实的基础。
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计
浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。
但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。
因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。
2.难点：对于逆定理的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。
3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。
2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。
例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。
”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理
（原创版）
目录
1.逆命题和逆定理的定义
2.逆命题和逆定理的区别
3.逆命题和逆定理的应用
正文
一、逆命题和逆定理的定义
在数学中，逆命题和逆定理是两个相关但有所区别的概念。
逆命题指的是，如果一个命题的题设和结论互换位置并且同时取反，那么得到的新命题就是原命题的逆命题。
例如，原命题为“若 A，则 B”，那么逆命题为“若非 B，则非 A”。
逆定理则是指，对于一个定理，如果将其结论和条件互换并且同时取反，得到的新命题称为原定理的逆定理。
二、逆命题和逆定理的区别
逆命题和逆定理在形式上有所不同，但它们之间存在一定的联系。
首先，逆命题是针对命题而言的，而逆定理是针对定理而言的。
逆命题是对原命题的题设和结论进行交换和取反，而逆定理是对原定理的结论和条件进行交换和取反。
其次，逆命题和逆定理的真假性质并不一定相同。
逆命题的真假与原命题的真假并无必然联系，而逆定理的真假则与原定理的真假密切相关。
三、逆命题和逆定理的应用
逆命题和逆定理在数学中有广泛的应用。
在证明过程中，有时候可以通过逆命题或逆定理来简化证明过程。
例如，在证明某个定理时，如果直接证明较为复杂，可以尝试先证明其逆定理，再通过逆定理与原定理的等价性来得到原定理的证明。
此外，逆命题和逆定理在解决实际问题中也有
一定的应用，例如在逻辑推理、问题求解等方面都可以利用逆命题和逆定理来简化思考过程。
八年级上册数学 2.5逆命题和逆定理课件(共16张PPT)
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 ⑷如果a2＝b2，那么a＝b。 条件 结论 真假 真 真 真 假 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b a2＝b2 两直线平行 a2＝b2 a＝b
例1：指出下列命题的条件和结论，并说出它们 的逆命题。 如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两个锐角互余. 条件：一个三角形是直角三角形. 结论：它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余， 那么这个三角形是直角三角形.
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵的条件 和结论有什么关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角 形是等腰三角形. (在同一个三角 形中，等角对等边)是互逆定理
做一做:说出两对互逆定理
做一做:下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请
说出逆定理：
（1）内错角相等，两直线平行. 两直线平行，内错角相等. 有逆定理
（2）对顶角相等.
没有逆定理
（3）三角形两边之和大于第三边. 有逆定理
A
O C
B
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
例2 说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题，并证明这 个逆命题是真命题.
这个定理的逆命题是: 到线段两端距离相 等的点在线段的垂直平分线上．
解:
已知：如图，ＡＢ是一条线段，Ｐ是一点，且 P ＰＡ＝ＰＢ 求证：点Ｐ在线段ＡＢ的垂直 B 平分线上 O
19.3逆命题和逆定理
年级
课题
日期
八年级（上）
19.3逆命题和逆定理
教学
目标
知识与技能
1.理解逆命题、逆定理的概念,掌握两个互逆命题之间的关系。
2.能说出一个命题的逆命题,并能判断真假.
3.了解一个命题一定有逆命题,但定理不一定有逆定理.
过程与方法
情感态度
与价值观
教材
Hale Waihona Puke 分析教学重点理解逆命题、逆定理的概念,能说出一个命题的逆命题.
教学难点
正确说出表述形式简洁的命题的逆命题.
相关链接
前期：定义、命题、定理等概念,三角形、平行线等图形的性质.
后期：线段的垂直平分线、角平分线、直角三角形等图形的性质定理及逆定理.
19.3 逆命题和逆定理
第19章几何证明第二节线段的垂直平分线与角的平分线§19.3 逆命题和逆定理学习目标1.知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理等的含义。
2.会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假。
3.知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理。
4.增强逆向思维的意识，体会辩证思想。
知识精要1.原命题与逆命题在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第二个命题结论又是第一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
说明：一个命题可以有几个逆命题。
当命题的题设有两个或两个以上的事项，或结论中有两个或两个以上的事项时，题设中的一个事项与结论中的一个事项互换，就可得到原命题的一个逆命题。
如：原命题：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，它的逆命题可以是：等腰三角形底边上的高平分底边，且平分顶角；也可以是：等腰三角形底边上的中线垂直于底边，且平分顶角。
2.逆定理的概念如果一个定理的逆命题也是定理(即真命题)，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
一般来说，所有的定理都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理，因为定理的逆命题可能是假命题，即使是真命题也可能不是定理。
经典题型精讲(一)逆命题例1.指出下列命题的题设和结论，再说出它们的逆命题。
(1)两直线平行，同位角相等。
(2)全等三角形的对应角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
(4)直角三角形的两个锐角互余。
(5)对顶角相等。
答案：(1)原命题：如果两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
逆命题：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。
(2)如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等。
(3)如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行。
(4)如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。
(5)如果有两个角相等，那么它们是对顶角。
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理摘要：一、逆命题与逆定理的定义二、逆命题与逆定理的关系三、逆命题与逆定理的应用四、总结正文：逆命题与逆定理是数学中非常重要的概念，它们在数学证明中起着至关重要的作用。
本文将首先介绍逆命题与逆定理的定义，然后讨论它们之间的关系，接着分析它们在数学中的应用，最后进行总结。
一、逆命题与逆定理的定义1.逆命题逆命题是针对一个命题的否定并且交换主语和谓语得到的命题。
设命题P 为“若A，则B”，则逆命题为“若B，则A”。
2.逆定理逆定理是将一个命题的逆命题作为前提，原命题作为结论所得到的命题。
设命题P 为“若A，则B”，则逆定理为“若B，则A”。
二、逆命题与逆定理的关系逆命题与逆定理是相互关联的，它们互为逆否命题。
也就是说，如果一个命题的逆命题为真，那么这个命题的逆定理也为真。
反之，如果一个命题的逆定理为真，那么这个命题的逆命题也为真。
三、逆命题与逆定理的应用1.证明的辅助工具逆命题和逆定理在数学证明中经常被用作辅助工具。
通过证明一个命题的逆命题或逆定理，我们可以得到关于原命题的许多有用信息，从而简化证明过程。
2.构造性证明在一些数学问题中，我们可以通过构造性证明来证明一个命题。
构造性证明通常涉及使用逆命题或逆定理，以帮助我们找到一个合适的构造方法。
3.分析问题逆命题和逆定理可以帮助我们分析问题。
通过研究一个问题的逆命题或逆定理，我们可以更好地理解问题的本质，从而找到解决问题的方法。
总之，逆命题和逆定理是数学中非常关键的概念。
它们在数学证明中起着至关重要的作用，可以作为证明的辅助工具，也可以用于构造性证明和分析问题。
逆命题与逆定理
与性质定理有何不
➢等腰三角形判定定理与性质定理的证明思路是 否一样？
➢8分钟后，比谁能回答以上问题，并能做与例 题 类似的练习。
已知：△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC。
证明：作∠BAC的平分线AD.
A
在△ BAD和△ CAD中，
12
∠1=∠2， ∠B=∠C，
AD=AD
B
C
D
所以△ BAD≌ △ CAD（AAS） 所以AB=AC（全等三角形的对应边相等）
（2）等边三角形的每个角都等于60°．
题设：一个三角形是等边三角形。 结论：它的每个角都等于60。。 逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60。，那
么这个三角形是等边三角形。
（3）全等三角形的对应角相等．
题设：两个三角形是全等三角形。
结论：它们的对应角相等。
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两 个三角形是全等三角形。
勾股定理的逆命题: 如果三角形的一条边的平
方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形
是直角三角形．
A
已知： 如图,在△ABC中，
AB＝c, BC＝a,CA＝b,
且a2＋b2＝c2．
求证：△ABC是直角三角形． B
C
勾股定理的逆定理: 如果三角形的一条边 的平方等于另外两条边的平方和，那么这 个三角形是直角三角形．
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题， 但逆定理、互逆定理，一定是真命题
1. 指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆 命题：
（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个 锐角互余．
题设：一个三角形是直角三角形。
结论：它的两个锐角互余。
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这 个三角形是直角三角形。
19.3逆命题和逆定理(教学课件)-八年级数学上册
• 命题的分类：
定理
假命题 举反例
• 定理的含义：从公理或其他真命题出发， 用推理方法证明为正确的，
并进一步作为判断其他命题真假的 依据
说出下列命题的题设与结论
命题
（1）两直线平行，内错角相等 （2）内错角相等，两直线平行
（3）如果a=b，那么a2=b2。 （4）如果a2=b2，那么a=b。
题设
两直线平行 内错角相等
假练命习题的2 逆请命判题断可这能些是假原命命题题也与逆命题 （的1真）可假能如是果真一命个题数是素数，那么这个数一定 逆是命奇题数：如. 果一个数是奇数，那么这个数一定是素
数。
（2）一个三每角个形命题中都如有果逆有命两题个角是锐角， 那么另一个角一定是钝角.
逆命题：一个三角形中如果有一个角是钝角，那么 另外两个角一定是锐角。 （3）全等三角形对应边相等. 逆命题：边都对应相等的两个三角形是全等三角形。
3.下列定理有没有逆定理?为什么? (1)对顶角相等. (2)全等三角形的对应边相等.
【解析】（1）定理“对顶角相等”的逆命题是：相等的两个角是对 顶角。这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理。
（2）定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是：三边对应角相等 的两个三角形是全等三角形，这是一个真命题。所以“全等三角形的 对应边相等”有逆定理。
P
B
E C
证明：
连结PA，PB，PC.
∵ PD，PE分别是AB，AC的垂直平分线，
A
∴ PA=PB，PA=PC
（线段垂直平分线 上的点到线段
D
两端的距离相等） .
E
∴ PB=PC（等量代换），
P
∴点P在BC的垂直平分线上
B
勾股定理的逆定理--原命题、逆命题、逆定理
1 17.2(1)勾股定理的逆定理--原命题、逆命题、逆定理
一．【知识要点】
1.勾股定理的逆定理--原命题、逆命题、逆定理
二．【经典例题】
1.已知命题：如果a=b ，那么|a|=|b|．该命题的逆命题是 （ ）
A ．如果a=b ，那么|a|=|b|
B ．如果|a|=|b|，那么a=b
C ．如果a≠b，那么|a|≠|b|
D ．如果|a|≠|b|，那么a≠b
2．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A ．对顶角相等
B 同角的余角相等
C ．全等三角形的对应角相等
D ．两直线平行，同位角相等
三．【题库】
【A 】
1.命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是 ，是 (填“真命题”或“假命题”)
2．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ．
【B 】
1．命题“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是__________，它是__________命题．
【C 】
1.下列定理中，有逆定理的个数是（ ）
（1）有两边相等的三角形是等腰三角形（2）若三角形三边长 a,b,c 满足2
22c b a =+则三角形是直角三角形（3）全等三角形的对应角相等（4）若a=b,则22b a =
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
【D 】。
5.7 逆命题和逆定理(2)
1
∴∠1=∠2, ∠3=∠4 ∴∠2+∠3=∠4 2
A
×180°=90° 180°=90°
∴⊿ＡＢＣ ＡＢＣ是 ∴∠ＡＢＣ是 ∴∠ＡＢＣ是Ｒt∠ ∴⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿ ＡＢＣ
练一练
1、已知△ABC的三条边满足a=b+1，ab=12，c=5，△ABC 已知△ABC的三条边满足a=b+1，ab=12，c=5， 的三条边满足a=b+1 是直角三角形吗？请证明你的判断。 是直角三角形吗？请证明你的判断。 2、说出命题“如图，在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,则三个 说出命题“如图， Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,则三个 半圆的面积S 半圆的面积S1，S2，S3满足S1+S2=S3”的逆命题,判断原命 满足S 的逆命题, 题、逆命题的真假,并给出证明。 逆命题的真假,并给出证明。
∴ＡＯ＝ＢＯ，∠１＝∠２ ＡＯ＝ＢＯ， 又∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ＢＤＯ＝ ９０ ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ＢＯＤ≌⊿ Ｂ Ｄ
２
Ａ(x,y)
１o Ｃ
∴OC=OD,AC=BD
∴点Ｂ的坐标是(-x,-y). 的坐标是( x,-
本节课你有何收获？ 本节课你有何收获？
已知：如图， 已知：如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ABC中 BC＝ AC＝ AB＝ / 且a 2＋b 2＝c 2。
A A
求证： ABC是直角三角形 求证： △ABC是直角三角形 b
证明：如图作Rt△ 证明：如图作Rt△A`B`C` Rt
C a
c b B C/
c/
B/
a
∠，B`C`=a,A`C`=b,记A`B`为c`,则 使∠C`＝Rt ∠，B`C`=a,A`C`=b,记A`B`为c`,则a2＋b2＝c`2. C`＝
专题15-逆命题及逆定理(知识点串讲)(解析版)
专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。
八年级复习逆命题与逆定理知识点
•9角平分线性质定理的逆定理 是什么？ •（角的内部）到角的两边距离相等的点在这个 角的平分线上
⑵所有的命题都有逆命题
• ⑶原命题的真假与它逆命题的真假没有确定的关系 即原命题真，它的逆命题可真可假；原命题假，它的 逆命题也可真可假。
不一定 •5一个逆定理（ ）有逆定理。 •一个定理是另一个定理的逆定理的条件：作 真命题 为原定理的逆命题是（ ），则它也是定 理。 •6线段垂直平分线的性质定理 是什么？
•线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相 等。 •7线段垂直平分线性质定理的逆定理 是什么？
•到线段两个端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上.
•8角平分线的性质定理 是什么？ •角平分线上的两点到角两边的距离相等。
•注意：运用这个定理时必须写清两个条件：
•①指明点在角的平分线上
•②两条线段必须是点到角两边的垂线段。
•4写一个命题的逆命题的步骤是什么？
•①分清原命题的条件和结论
•②调换原命题的条件和结论
•③运用正确的数学语言和通顺的语句表达出来
•注意：⑴要特别注意写一个命题的逆命题的步骤中的 第三步，如“等腰三角形两底相等”，它的逆命题是
“两内角相等的三角形是等腰三角形”，而不 是“两底角相等的三角形是等腰三角形” •
八 年 课 级 时互逆命题？ •对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分 别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个 命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题， 另外一个命题叫做原命题的逆命题。 •2什么叫做互逆定理？ •如果一个定理的逆命题也是定理，那么这 两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理 叫做另一个定理逆定理。 不一定 •3原命题为真，它的逆命题（ ）为真 真命题；逆定理、互逆定理，（ 一定 ）是 真命题
逆命题和逆定理
逆命题和逆定理一、本节学习指导这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。
2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
因此命题可以写成“如果222222，那么222222”的形式。
3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。
4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
Array二、知识要点1、命题、定理、证明⑴理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）⑶公理：的真命题叫公理。
⑷定理：的依据，这样的命题叫定理。
⑸⑹证明的一般步骤①根据题意，画出图形。
②③2、常用数学口诀.平方差公式: 22()()-=+-a b a b a b口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方差公式: 222a b a ab b-=-+()2完全平方和公式：222+=++()2a b a ab b口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
证明知识点一证明的含义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。
注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。
（2）证明的过程必须做到步步有据。
知识点二命题的证明证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。
初中数学知识点精讲精析 逆命题与逆定理
13.5 逆命题与逆定理学习目标1. 理解逆命题的概念，能写出一个命题的逆命题，知道原命题成立，它的逆命题不一定成立；了解互逆定理。
2. 掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理。
3. 掌握角平分线性质定理及逆定理。
知识详解1. 互逆命题与互逆定理一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题。
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确。
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。
2. 线段垂直平分线线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”。
到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三边的垂直平分线交于一点。
3. 角平分线角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”。
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点。
【典型例题】例1：如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点【答案】A【解析】△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．例2：如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CDB．∠DAC=∠BC．∠C＞2∠BD．∠B+∠ADE=90°【答案】D【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∴∠B=∠BAD，∠ADE=∠BDE．∴∠B+∠ADE=90°其它选项无法证明其是正确的．例3：如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B 的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°【答案】B【解析】在Rt△ABC中∵DE是AB的垂直平分线∴∠B=∠BAD ∵∠CAD：∠DAB=2：1 ∴4∠B=90°∴∠B=22.5°【误区警示】易错点1：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】D【解析】∵BC的中垂线交斜边AB于D，CD=BD，CE=BE，∴∠B=∠BCD，又∠A+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°∴∠A=∠ACD，∴AD=CD ∴AD=BD 共4组．易错点2：线段的垂直平分线的性质2. 线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解析】∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB且垂足为M．∵∠ADB=80°，∠CAD=10°，∴∠ACM=50°，∴∠ACB=100°．【综合提升】针对训练1. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．ABB．ACC．BCD．不能确定2. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD=CD，AB=7.8，AC=3.9，DE⊥BC于E，则图中有（）个60°的角．A．2B．3C．4D．53. 下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1.【答案】B【解析】∵BC=BD+AD=BD+CD ∴AD=CD ∴点D在AC的垂直平分线上2.【答案】D【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7.8，AC=3.9 ∴∠B=30°∵BD=CD ∴∠DCB=∠B=30°又DE⊥BC于E ∴∠BDE=∠CDE=60 ∴∠ACD=90°﹣30°=60°∴△ACD为等边三角形∴∠ADC=∠DAC=∠ACD=∠CDE=∠BDE=60°3.【答案】C【解析】①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB，符合性质定理，是正确的；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB，符合逆定理，是正确的；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点，符合逆定理，是正确的；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，不符合逆定理，是错误的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
下列句子是命题的是（ D ） A.画∠AOB=45° C.连结CD B. 小于直角的角是锐角吗？
D. 三角形的中位线平行且等于第三边的一半
命题 ⑴两直线平行，同位角相等
真命题 真命题 假命题
假命题
(3)既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。假命题 圆既是中心对称，又是轴对称的图形。 真命题 真命题 (4)有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 平行四边形有一组对边平行且相等。 真命题
例2：判断下列说法是否正确？请说明理由
（1）假命题没有逆命题； （2）真命题没有逆命题； （3）每个命题都有逆命题； （4）真命题的逆命题是真命题 思考：每个命题都 有逆命题吗？
这是一个真命题 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫
互逆定理。其中的一个定理叫做另一个定理的
逆定理。
例3：下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定 理，请说出逆定理。
⑴平行四边形的两组对边分别相等；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形的对角线互相平分
⑶三角形的中位线平行于第三边。
没有逆定理
辨一辨
例4：下列说法哪些正确，哪些不正确？ （1）每个定理都有逆定理。 （2）每个命题都有逆命题。 （3）假命题没有逆命题。
× √ × ×
（4）真命题的逆命题是真命题。
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真 命题，但逆定理、互逆定理，一定是 真命题 注意2：不是所有的定理都有逆定理
写出命题“全等三角形的面积相等”的逆命题，
再判断这个逆命题的真假
1、在两个命题中，如果第一个命题的题设 是第二个命题的结论，而第一个命题的结论 是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做 互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一命题就叫做它的逆命题． 2、如果一个定理的逆命题被证明是真命题 （定理），那么这两个定理叫做互逆定理， 其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．
× × √ ×
一个命题的逆命题是真命题还是假命题？
请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子；
有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子？
一个命题经证明是真命题，就可称为定理；
定理：平行四边形有一组对边平行且相等。
请说出其逆命题，并判断是真命题还是假命题：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。
(1)如是钝角,那么它的另外 两个角是锐角；
条件
结论
真假 真
两直线平行 同位角相等
⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
同位角相等 a＝b
a2＝b2
两直线平行 a2＝b2
a＝b
真 真
假
观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么 关系？命题⑶与命题⑷呢？
互逆命题
由表中的原命题与逆命题，你有什么发现？
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第 二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个 命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做 它的逆命题。
命题 ⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a＝b，那么a2＝b2。 条件 结论 真假 真 真 真 两直线平行 同位角相等 同位角相等 a＝b 两直线平行 a2＝b2
⑷如果a2＝b2，那么a＝b。
a2＝b2
a＝b
假
例1：说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题 (1)两直线平行，同位角相等. 同位角相等，两直线平行. (2)同位角相等 相等的角是同位角
例5、举例说明下列命题的逆命题是假命题.
（1）如果一个整数的个位数字是5 ，那么这个整 数 能被5整除. 逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数 的个位数字是5.
例如10能5整除，但它的个位数是0.
（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等. 逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.
例如60°= 60°，但这两个角不是直角.