5.7 逆命题和逆定理(2)

O x
A（x,y） x,y）
C（—x,-y） x,-
例、说出真命题“（在直角坐标系中）点（x，y）， 说出真命题“ 在直角坐标系中） （-x，-y）关于原点对称”的逆命题，并判断逆命题的 关于原点对称”的逆命题， 真假 分析： 分析：前提条件是 在直角坐标系中 ； 条件是： 两个点的坐标是（ 条件是： 两个点的坐标是（x，y）与（-x，-y） ；
A
∴△ABC是Rt△，且∠C=Rt∠ ABC是Rt△
c
b
B C a
试一试
请说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 请说出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 的逆命题，这个命题是真命题吗？请证明你的判断， 的逆命题，这个命题是真命题吗？请证明你的判断， 如果三角形一条边上的中线等于这一边的一 逆命题： 逆命题： 半，那么这个三角形是直角三角形 是真命题 已知：如图，ＣＤ ，ＣＤ是 ＡＢＣ的中线 的中线，ＣＤ＝ 已知：如图，ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ 2 ＡＢ 求证： ＡＢＣ是 求证：⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿ 证明： ＣＤ是 ＡＢＣ的中线 的中线，ＣＤ＝ 证明：∵ＣＤ是⊿ＡＢＣ的中线，ＣＤ＝ 2 ＡＢ C 1 2 3 ＣＤ=AD=BD= ∴ＣＤ=AD=BD= AB
Y
Ｄ -X ２ １ o XＣ
-Y
与点B ∴点A与点B关于原点对称
Ｂ(-x,-y) x,-
逆命题是“在直角坐标系中， 逆命题是“在直角坐标系中，关于原点对称的两个点 的坐标是（ 的坐标是（x，y）与（-x，-y）” 已知：在直角坐标系中， Ａ，Ｂ关于原点对称 已知：在直角坐标系中，点Ａ，Ｂ关于原点对称 点Ａ坐标是（x,y). 坐标是（ 求证： 求证：点Ｂ的坐标是(-x,-y). 的坐标是( x,证明：∵点A与点B关于原点对称 证明： 与点B ∴A，O，B三点在同一直线上
2、一个命题的逆命题是真命题还是假命题 3、逆定理的定义 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题， 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么 定理的逆命题能被证明是真命题 就叫它是原定理的逆定理 这两个定理叫互逆定理。 就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。 逆定理， 互逆定理
从上节课我们知道，任何一个命题一定有逆命题， 从上节课我们知道，任何一个命题一定有逆命题，但不 是任何一个定理一定有逆定理的。 是任何一个定理一定有逆定理的。判断一个定理是否有逆定 理则需要对该定理的逆命题进行证明。 理则需要对该定理的逆命题进行证明。那么你能说出勾股定 理的逆命题吗？你能否证明其逆命题的真假？ 理的逆命题吗？你能否证明其逆命题的真假？
1、互逆命题的定义
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论， 而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做 而第一个命题的结论是第二个命题的条件， 互逆命题。 互逆命题。 我们把其中的一个叫做原命题（ ），另一个 我们把其中的一个叫做原命题（original statement），另一个 原命题 叫做它的逆命题（ statement）。 叫做它的逆命题（converse statement）。
∴ＡＯ＝ＢＯ，∠１＝∠２ ＡＯ＝ＢＯ， 又∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ＢＤＯ＝ ９０ ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ＢＯＤ≌⊿ Ｂ Ｄ
２
Ａ(x,y)
１o Ｃ
∴OC=OD,AC=BD
∴点Ｂ的坐标是(-x,-y). 的坐标是( x,-
课内练习： 课内练习：
BC＝ ∵a2+b2=c2 又∵ BC＝a＝
B`C`， AC＝ B`C`， AC＝b＝ A`C`,
∴ c`2=c2 c`＝ ∴ c`＝ c,
∴△ ABC≌ △A`B`C, 构造法
∵c`＞ ∵c`＞0，c＞0, ∴∠C=∠C`=Rt∠,
∴△ABC是直角三角形 ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 那么这个三角形是直角三角形 几何语言： 几何语言：∵a2+b2=c2，
C
S2 S1 S3
A
B
合作学习
A(x,关于x 轴的对称点， 1、作点 A(x,-y) 关于x 轴的对称点，并写出它的坐标 A(x,关于y轴的对称点，并写出它的坐标. 2、作点 A(x,-y) 关于y轴的对称点，并写出它的坐标.
y
x,y） A（x,y）
O x,C（—x,-y） x,— （x,—y）
x
课内练习： 课内练习：
本节课你有何收获？ 本节课你有何收获？
c
A
A'
c' b b'
a
a'
B
C
C'Leabharlann Baidu
B'
分析：如果我们能构造出一个直角三角形，然 分析：如果我们能构造出一个直角三角形， 后证明⊿ＡＢＣ和所构造的直角三角形全等， 后证明⊿ＡＢＣ和所构造的直角三角形全等， 和所构造的直角三角形全等 便证得⊿ＡＢＣ是直角三角形． 便证得⊿ＡＢＣ是直角三角形． 是直角三角形
勾股定理： 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方。 于斜边的平方。 逆命理： 逆命理：如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方， 的平方，那么这个三角形是直角三角形。 其逆命题是真命题，故它是勾股定理的逆定理。 其逆命题是真命题，故它是勾股定理的逆定理。
证明勾股定理的逆命题
已知： 已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2 ABC中 BC=a，AC=b，AB=c， 求证： ABC是直角三角形 求证：△ABC是直角三角形
想一想：平面直角坐标系中一点关于x 想一想：平面直角坐标系中一点关于x、y轴对称的点 的坐标有什么特点？ 的坐标有什么特点？
合作学习
3、作点A(x,y) 关于原点O的对称点，并写出它的坐标 作点A(x,y) 关于原点O的对称点，
y
想一想： 想一想：平面直角坐标系 中一点关于原点对称的点 的坐标有什么特点？ 的坐标有什么特点？
y
结论是： 这两点关于原点对称 结论是：
；
A（x,y） x,y）
解：逆命题是
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，关于原 点对称的两个点的坐标 是（x，y）与（-x，-y） ， ） ， ）
C（—x,-y） x,D
O
B
x
以下先证明原命题： 要证明点A与点B关于原点对称， 以下先证明原命题： 要证明点A与点B关于原点对称， 已知：在直角坐标系中， 只要证明A Ａ，Ｂ的坐标分别是 x,y),(-x,的坐标分别是（ 已知：在直角坐标系中，点只要证明A，O，B三点在同一直 Ａ，Ｂ的坐标分别是（x,y),(-x,-y). 线上，且OA=OB 线上， 求证： Ａ，Ｂ关于原点对称 求证：点Ａ，Ｂ关于原点对称
2 1
1
∴∠1=∠2, ∠3=∠4 ∴∠2+∠3=∠4 +∠1=
1
4 D B
1 2
A
×180°=90° 180°=90°
ＡＢＣ是 ∴∠ＡＢＣ是 ∴∠ＡＢＣ是Ｒt∠ ∴⊿ＡＢＣ是Ｒt⊿ ＡＢＣ
练一练
1、已知△ABC的三条边满足a=b+1，ab=12，c=5，△ABC 已知△ABC的三条边满足a=b+1，ab=12，c=5， 的三条边满足a=b+1 是直角三角形吗？请证明你的判断。 是直角三角形吗？请证明你的判断。 2、说出命题“如图，在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,则三个 说出命题“如图， Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,则三个 半圆的面积S 半圆的面积S1，S2，S3满足S1+S2=S3”的逆命题,判断原命 满足S 的逆命题, 题、逆命题的真假,并给出证明。 逆命题的真假,并给出证明。
ＢＤ⊥ 轴，Ｃ，Ｄ分别为垂足 证明：连接ＡＯ，ＢＯ，作ＡＣ⊥x轴，作ＢＤ⊥y轴，Ｃ，Ｄ分别为垂足 证明：连接ＡＯ，ＢＯ， ＡＣ⊥ 轴 ∵ OC= x , OD= -X , AC= y , BD= -y
∴OC=OD,AC=BD ＢＯＤ≌⊿ ∵∠ＢＤＯ＝ ＡＣＯ＝９０ ＢＤＯ＝∠ ９０° ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ 又∵∠ＢＤＯ＝∠ＡＣＯ＝９０° ∴⊿ＢＯＤ≌⊿ＡＯＣ ＡＯ＝ＢＯ， ∴ＡＯ＝ＢＯ，∠１＝∠２ Ａ(x,y) ∵∠ＤＯＡ＋ 又∵∠ＤＯＡ＋ ∠２＝１８０° １８０° ∴ ∠ＤＯＡ＋ ∠２＝１８０° ∴A，O，B三点在同一直线上
已知：如图， 已知：如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ABC中 BC＝ AC＝ AB＝ / 且a 2＋b 2＝c 2。
A A
求证： ABC是直角三角形 求证： △ABC是直角三角形 b
证明：如图作Rt△ 证明：如图作Rt△A`B`C` Rt
C a
c b B C/
c/
B/
a
∠，B`C`=a,A`C`=b,记A`B`为c`,则 使∠C`＝Rt ∠，B`C`=a,A`C`=b,记A`B`为c`,则a2＋b2＝c`2. C`＝