2017-2018年北京市海淀区高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，若i（a+i）=﹣1+i，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．D．a3＜b33．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则x，y的值分别为（）A．0，0 B．0，5 C．5，0 D．5，55．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或6．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知正方体的ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线ax2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，则实数a的值为．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．11．（5分）△ABC中，，且△ABC的面积为，则c=．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是．13．（5分）函数的最大值为；若函数f（x）的图象与直线y=k（x﹣1）有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是．14．（5分）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲C C A B B4乙C C B B C3丙B C C B B2则甲同学答错的题目的题号是，其正确的选项是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，且a2=5，S3=a7．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{a n+b n}前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f （x ）的值域．17．（14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS ）测试1测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12 品牌A 3691041121746614品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21设a i ，b i 分别表示第次测试中品牌A 和品牌B 的测试结果，记X i =|a i ﹣b i |（i=1，2， (12)（Ⅰ）求数据X 1，X 2，X 3，…，X 12的众数；（Ⅱ）从满足X i =4的测试中随机抽取两次，求品牌A 的测试结果恰好有一次大于品牌B 的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18．（13分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1⊥底面ABC ，AC ⊥AB ，AC=AB=AA 1=2，∠AA 1B 1=60°，E ，F 分别为棱A 1B 1BC 的中点． （Ⅰ）求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积；（Ⅱ）在直线AA 1上是否存在一点P ，使得CP ∥平面AEF ？若存在，求出AP 的长，若不存在，说明理由．19．（14分）已知椭圆，直线l：x+y﹣2=0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；=2时，求椭圆C的方程；（Ⅱ）当S△OPQ（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|=λ|BQ|，求λ的值．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：“a＜0”是“函数y=f（x）有且只有一个零点”的充分不必要条件．2017-2018学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，若i（a+i）=﹣1+i，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：由i（a+i）=ai﹣1=﹣1+i，得a=1．故选：A．2．（5分）已知a，b∈R，若a＜b，则（）A．a＜2b B．ab＜b2C．D．a3＜b3【解答】解：a，b∈R，若a＜b，对A，a＜b，若b=0，则b=2b；b＞0，则b＜2b；b＜0，则b＞2b，故A错误；对B，若b=0，则ab=b2；若b＞0，则ab＜b2；若b＜0，则ab＞b2，故B错误；对C，a，b＞0，则a＜b，若a，b中有负的，则不成立，故C错误；对D，y=x3在R上递增，可得a3＜b3，故D正确．故选：D．3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，k=1不满足条件a＞10，执行循环体，a=2，k=2不满足条件a＞10，执行循环体，a=4，k=3不满足条件a＞10，执行循环体，a=8，k=4不满足条件a＞10，执行循环体，a=16，k=5满足条件a＞10，退出循环，输出k的值为5．故选：B．4．（5分）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则x，y的值分别为（）A．0，0 B．0，5 C．5，0 D．5，5【解答】解：根据茎叶图中的数据，计算甲、乙两个班级的平均数为=×（25+35+30+x+40+40）=34+，=×（30+30+35+30+y+40）=33+，∴34+=33+，即y=x+5；由题意知，x=0，y=5．故选：B．5．（5分）已知直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【解答】解：直线x﹣y+m=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为正三角形，则：△AOB的边长为1，则：圆心（0，0）到直线x﹣y+m=0的距离d=，解得：m=±．故选：D．6．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a2﹣1=0，解得a=±1．经过验证可得：a=﹣1时，两条直线重合，舍去．∴“a=1”是“直线ax+y﹣1=0与直线x+ay+1=0平行”的充分必要条件．故选：C．7．（5分）在△ABC中，AB=AC=1，D是AC的中点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣（），设∠CAB=α∈（0，π），所以=﹣=﹣[]=﹣﹣cos（π﹣α）=﹣（）∈．故选：A．8．（5分）已知正方体的ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若，则PQ长度的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，∵，则OP=1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．可得O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥A1N于N，△A1ON的面积为2×=，∴，可得OH=，∴PQ长度的最小值为．故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知双曲线ax2﹣y2=1的一条渐近线方程为y=x，则实数a的值为1．【解答】解：∵双曲线ax2﹣y2=1的渐近线方程为y=x，又已知一条渐近线方程为y=x，∴=1，a=1，故答案为：1．10．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是2．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2．即目标函数z=x+y的最大值为：2．故答案为：2．11．（5分）△ABC中，，且△ABC的面积为，则c=2或．【解答】解：∵，且△ABC的面积为=absinC=，∴可得：sinC=，可得cosC==±，∴由余弦定理可得：c===2或．故答案为：2或．12．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是．【解答】解：依据三视图，可得该几何体，如图三棱锥P﹣ABC，AC=BC=1，AB=．PA=PB，面PC⊥面ABC，P到面ABC的距离为PC=1．CD=，PD==，三棱锥侧面PAB的面积取得最大值，=．故答案为：．13．（5分）函数的最大值为1；若函数f（x）的图象与直线y=k（x﹣1）有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是[0，+∞）．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知当x=0或x=1时，f（x）取得最大值1．又y=k（x﹣1）过点（1，0），∴当k≥0时，直线y=k（x﹣1）与y=f（x）的图象只有一个交点，当k＜0时，直线y=k（x﹣1）与y=f（x）的图象有两个或三个交点，∴k的取值范围是[0，+∞）．故答案为：1，[0，+∞）．14．（5分）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲C C A B B4乙C C B B C3丙B C C B B2则甲同学答错的题目的题号是5，其正确的选项是A．【解答】解：由甲得4分，则正确4个，乙得3分，正确答案为3个，则1，2，4必为正确答案，由丙答对两个，即2和4，则5为错误，∴第5题甲答错，且乙答案也错误，故第5题选A，故答案为：5，A．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，且a2=5，S3=a7．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{a n+b n}前n项和．【解答】（本题共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，，解得a1=3，d=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）由a n=a1+（n﹣1）d，则a n=2n+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）因此，通项公式为a n=2n+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a n=2n+1，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以{b n}是首项为8，公比为q=4的等比数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）记{a n+b n}的前n项和为T n，则T n=（a1+b1）+（a2+b2）+…+（a n+b n）=（a1+a2+…+a n）+（b1+b2+…+b n）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）由正切函数的性质，，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）解得：，k∈Z﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，函数的定义域为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=﹣（cosx﹣sinx）2=2sinxcosx﹣1=sin2x﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）因为，所以，所以sin2x≠﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以，函数f（x）的值域为（﹣2，0]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）17．（14分）据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021设a i，b i分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记X i=|a i﹣b i|（i=1，2， (12)（Ⅰ）求数据X1，X2，X3，…，X12的众数；（Ⅱ）从满足X i=4的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；（Ⅲ）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．【解答】（本题共13分）解：（Ⅰ）求出X i=|a i﹣b i|（i=1，2，…，12），列表如下：X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12 124624421647所以X i等于1有2次，X i=2有3次，X i=4有4次，X i=6有2次，X i=7有1次，则数据X1，X2，X3…X12的众数为4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）设事件D=“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”．满足X i=4的测试共有4次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示．从中随机抽取两次，共有MN，MP，MQ，NP，NQ，PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP，MQ，NP，NQ四种情况．故．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分．给出明确结论，（1分），结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，（2分）．标准1：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准2：会用测试结果的平均数进行阐述．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：结论一：，品牌B处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌A处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些．理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌A的测试有两次打开速度比品牌B快（数值小），品牌B 有四次比品牌A快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌A有四次打开速度比品牌B快（数值小）．结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论：品牌A 打开文件速度快一些理由如下：品牌A处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，品牌B处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，所以品牌A打开文件速度快一些．（且品牌A方差较小）其他答案情况，比照以上情况酌情给分．18．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC=AB=AA1=2，∠AA1B1=60°，E，F分别为棱A1B1BC的中点．（Ⅰ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（Ⅱ）在直线AA1上是否存在一点P，使得CP∥平面AEF？若存在，求出AP的长，若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AC⊥AB，∵侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，AC⊂底面ABC，∴AC⊥平面ABB1A1，又∵AE⊂平面ABB1A1，∴AC⊥AE；（Ⅱ）解：连接AB1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴A1B1=AB．∵AB=AA1=2，∴A1B1=AA1=2．又∵∠AA1B=60°，且，∴△AA1B1是边长为2的正三角形．∵E是棱A1B1的中点，∴AE⊥A1B1，又∵AE⊥AC，A1C1∥AC，∴AE⊥A1C1．∵A1C1∩A1B1=A1，A1C1，A1B1⊂底面A1B1C1，∴AE⊥底面A1B1C1．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为；（Ⅲ）解：在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．证明如下：连接BE并延长，与AA1的延长线相交，设交点为P．连接CP．∵BB1∥AA1，∴△A1PE～△B1BE，故．由于E为棱A1B1的中点，∴EA1=EB1，故有PE=EB．又F为棱BC的中点，故EF为△BCP的中位线，∴EF∥CP．又EF⊂平面AEF，CP⊄平面AEF，∴CP∥平面AEF．故在直线AA1上存在点P，使得CP∥平面AEF．此时A1P=BB1=2，AP=2AA1=4．19．（14分）已知椭圆，直线l：x+y﹣2=0与椭圆C相交于两点P，Q，与x轴交于点B，点P，Q与点B不重合．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；=2时，求椭圆C的方程；（Ⅱ）当S△OPQ（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N．若|PN|=λ|BQ|，求λ的值．【解答】（本题共14分）解：（Ⅰ）a2=3m，b2=m，c2=2m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分），故．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，得到4x2﹣12x+12﹣3m=0，依题意，由△=（﹣12）2﹣4×4×（12﹣3m）＞0得m＞1．且有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）原点到直线l的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）解得＞1，故椭圆方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）直线l的垂线为ON：y=x，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由解得交点N（1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）因为|PN|=λ|BQ|，又x1+x2=3所以=，故λ的值为1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：“a＜0”是“函数y=f（x）有且只有一个零点”的充分不必要条件．【解答】解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2的导数为f'（x）=xe x+2ax，x∈R，所以切线的斜率k=f'（0）=0，又因为f（0）=﹣1，所以切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）证明：当a=0时，f（x）=（x﹣1）e x，令f（x）=0，解得x=1．此时，f（x）有且只有一个零点，可得f（x）有且只有一个零点，则a＜0，不成立；当a＜0时，f'（x）=x（e x+2a）．令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（﹣2a）．（i）当ln（﹣2a）=0，即时，f'（x）=x（e x﹣1）≥0，所以f（x）在R上单调增．又∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2﹣2＞0，所以f（x）有且只有一个零点．（ii）当ln（﹣2a）＜0，即时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，ln（﹣2a））ln（﹣2a）（ln（﹣2a），0）0（0，+∞）f'（x）+0﹣0+ f（x）↗极大值↘极小值↗当x≤0时，（x﹣1）e x＜0，ax2≤0，所以f（x）＜0，又f（2）=e2+4a＞e2﹣2＞0所以f（x）有且只有一个零点．（iii）当ln（﹣2a）＞0，即时，f（x），f'（x）随x的变化情况如下：x（﹣∞，0）0（0，ln（﹣2a））ln（﹣2a）（ln（﹣2a），+∞）f'（x）+0﹣0+ f（x）↗极大值↘极小值↗因为f（0）=﹣1＜0，所以x∈（﹣∞，ln（﹣2a）]时，f（x）＜0，令x0=1﹣a，则x0＞1．下面证明当x＞1时，e x＞x2．设，则．当x ∈（1，2）时，g'（x ）＞0，g （x ）在（1，2）上单调递增； 当x ∈（2，+∞）时，g'（x ）＜0，g （x ）在（2，+∞）上单调递减． 所以当x=2时，g （x ）取得极大值．所以当x ＞1时，g （x ）＜1，即x 2＜e x ． 所以．由零点存在定理，f （x ）有且只有一个零点．综上，a ＜0是函数f （x ）有且只有一个零点的充分不必要条件．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,mn m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。