东北师范大学附属中学.高三第五次模拟考试数学(文科)试题(解析版)【全国百强校高考预测真题】
2019届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学(文科)试题(解析版)
2019届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.1.已知复数，若，则=A. 2B.C.D. 5【答案】C【解析】【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数z的模即可.【详解】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.2.已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.3.已知向量,满足，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4.4.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A. 6斤B. 7斤C. 斤D. 斤【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.5.在区间上随机取两个数，记为事件的概率，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】如图所示，表示的平面区域为，平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.本题选择D选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...学_科_网...6.6.在中，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．7.7.已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.【详解】由函数的最小正周期公式可得：，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：，函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：，则，①令可得：，其余选项明显不适合①式.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可.【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：.本题选择C选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9.9.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是A. 或B.C. 或D. 或【答案】C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域．①当时，在区间上单调递增，∴，即；②当时，，当且仅当，即时等号成立．综上输出的值的取值范围是或．选C．10.10.已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.11.11.直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.12.已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【全国百强校】吉林省东北师范大学附属中学2016届高三第五次模拟考试文数试题(原卷版)
吉林省东北师范大学附属中学2016届高三第五次模拟考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6P Q ==,若M P Q =,则M 的子集个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．22.复数z 满足()12i z +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A ．()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1- D ．()1,1--3. 已知命题若0:p x R $?，使0sin x 命题():0,,sin q x xx "??，则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q Ø为假 C ．p q Ù 为真 D ．p q Ú为假 4.已知442log 6,log 0.2,log 3a b c ===，则这三个数的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b c a >>5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N *=-?，则4S 等于（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．166. 设点(),M x y 满足约束条件13300x y x y x y ì-?ïï-?ïí³ïï³ïî，且点()1,2N -，则OM ON ×的取值范围是（ ）A ．[]4,1-B ．[]2,0-C ．[]1,2D ．[]3,3-7.函数()()2sin 0,2f x x pw f w f 骣琪=+><琪桫的部分图像如图所示，则()04f f p 骣琪+=琪桫（ ）A．1-．1 C．1-D ．18. 已知平面向量,a b 满足()0b a b ?=，且2,1a b ==，则a b -=（） A ．1B ．CD9. 下列函数中，在定义域内是偶函数，且值域为[)0+¥，的是（ ）A ．()21f x x=B ．()sin f x x x =C ．()2cos f x x x =+D ． ()222x xf x -=+- 10. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆()(2211x y ++-=相切，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2 B11. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的面积可无限逼近于圆的面积，并创立了割圆术，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)
东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（ ）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+， 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误； 对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ， 由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=， 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ， 连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角）， 设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==， 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（ ） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)， 故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=， 解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=， 解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（ ） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°， 正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==， 故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（ ）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确； 对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误； 对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比， 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________． 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形， 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ， 为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=， 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=， 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =， 因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−， 又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤， 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ， 所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明； （2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==， 且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家； 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =， 设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论； （2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △， 所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式； （2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ． 猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。
吉林省东北师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次摸底考试数学试卷
东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}213A x x =-≤，{}240B x xx =∈-≤N ，则A B = （）A.0,2B.0,2C.{}0,1,2 D.{}1,22.已知1tan 2α=，则sin cos sin 3cos αααα-=+（）A.23 B.17-C.12D.12-3.已知角α的终边经过点5π5πsin ,cos 66⎛⎫ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A. B.C.33-D.334.若函数()3ln f x a x x x=+-既有极大值也有极小值，则实数a 的取值范围为（）A.(0, B.((),-∞-⋃+∞C.(,-∞- D.()+∞5.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()3e 1e 1x x f x -=-，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点B.当0x >时，()e 3e 1x xf x -=-C.()0f x >的解集是(),ln 3-∞-D.m ∀∈R ，0x ∃∈R ，使得()0f x m=6.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()10f =，()()f x f x '>，则不等式()0f x >的解集为（）A.()0,∞+ B.()1,+∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞ 7.已知34m =，44m a -=，22m b -=，则下列说法正确的是（）A.a b <B.a b >C.a b= D.a b=-8.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若0b a >>，则下列不等式成立的是（）A.2a ba b +<<< B.11a b<C.222log log log 22a b a b++< D.()22b a b a ->-10.已知π2sin 33α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.πcos 63α⎛⎫-=⎪⎝⎭ B.π1cos 239α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C.5π2cos 63α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D.若()0,πα∈，cos 6α=11.定义在R 上的偶函数()f x ，满足()()=2f x f x --，当(]1,0x ∈-时，()1f x x =--，则下列说法正确的是（）A.()10f =B.2027122f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.函数()()31y f x x =--的所有零点之和为5D.()0.11e1ln 1.1f f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为2πcm ，则此扇形的面积为________2cm .13.已知函数2231,0()ln(3),0x x f x x ax x +⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩，()()30f f -=，则实数a 的值为______.14.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”.若函数()14972xx f x m +=-⋅-在定义域R 上为“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足：11a =，()*12n n a a n +=+∈N，数列{}nb 为单调递增等比数列，22b=，且1b ，2b ，31b -成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2log n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .16.已知函数()2ee xx f x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当[]1,0x ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.17.师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造“生态果园特色基地”，他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与投入的成本30x（单位：元）满足如下关系：()2343,02,332,2 5.1x x W x x x x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪+⎩，已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.水果树单株获得的利润为()f x （单位：元）.（1）求()f x 的函数关系式；（2）当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?18.已知函数()()e ln xf x x a a x =--，a ∈R .（1）当e a =时，求函数()f x 的单调区间与极值；（2）若函数()f x 有2个不同的零点1x ，2x ，满足2121e 2e x xx x >，求a 的取值范围.19.对于数列{}n x ，若0M ∃>，对任意的*n ∈N ，有n x M ≤，则称数列{}n x 是有界的.当正整数n 无限大时，若n x 无限接近于常数a ，则称常数a 是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为lim n n x a →+∞=.单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.（1）证明：对任意的1x ≥-，*n ∈N ，()11nx nx +≥+恒成立；（2）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式为：11nn a n ⎛+⎫ ⎪⎝⎭=，111n n b n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n ∈N .（i ）判断数列{}n a ，{}n b 的单调性与有界性，并证明；（ii ）事实上，常数e lim lim n n n n a b →+∞→+∞==，以e 为底的对数称为自然对数，记为ln x .证明：对任意的*n ∈N ，()1111ln 11nnk k n k k ==<+<+∑∑恒成立.东北师大附中高三年级（数学）科试卷2024—2025学年上学期第一次摸底考试出题人：高三备课组审题人：高三备课组考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BCD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】3π【13题答案】【答案】3-【14题答案】【答案】1,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）232n n n T -=【16题答案】【答案】（1）22y x =+（2）函数()f x 的最大值为2，最小值3ln 24+【17题答案】【答案】（1）()23403030,02332020,251x x x f x x x x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩（2）当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元【18题答案】【答案】（1）()f x 单调递减区间为()0,1；()f x 单调递増区间为()1,+∞；()f x 有极小值0，无极大值.（2）2ln 2a >【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）{}n a 是递增数列，是有界的，{}n b 是递减数列，也是有界的，（ii ）证明见解析．。
2020东北师大附中第五次摸底考试文科数学试题
23．（本小题满分 10 分）[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数 f (x) | x 2 | a | x | 1. （1）当 a 1时，解不等式 f (x) 0 ； （2）当 x 0 时， f (x) 0 ，求 a 的取值范围.
文科数学第 5 页（共 6 页）
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A． 1 2
B． 1 2
C． 2
D． 2
5．若函数 f (x) cosx sin x ( 0) 的最小正周期为 ，则 的值为
A． 4
B． 3
C． 2
D．1
6．已知 a 50.8 ， b log0.5 0.8 ， c log8 0.5 ，则 a, b, c 的大小关系为
A． a b c
2019—2020 学年高三年级下学期
第五次模拟考试（文科数学）学科试卷
考试时间：120 分钟 试卷满分:150 分 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无 效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
Байду номын сангаас
y2 b2
1 (a
b 0) 的左、右顶点，若点 P 在椭圆 C 上，且直线
AP 与直线 BP 的斜率之积为 1 ，则椭圆的离心率是_________. 2
16．在 △ABC 中， AC 1， B 30， AD 平分 BAC ，点 D 在 BC 边上，且 BD 2DC ，
2025届东北师范大学附属中学高三最后一模数学试题含解析
2025届东北师范大学附属中学高三最后一模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ）2.236≈≈≈） A ．22个B ．24个C ．26个D ．28个2．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-3．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()()614,7,7x a x x f x a x -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)-D ．1(,1)26．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．07．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 8．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（ ） A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β9．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 10．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．2311．大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）A ．22n n -B ．212n -C ．212n (-)D ．22n12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届东北师范高三第五次模拟考试数学(文科)试题(解析版)10
第1页（共6页） 第2页（共6页） 高三第五次模拟考试 数学（文科）试题 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知复数 ，若，则= A ． 2 B ．C ．D ． 5 2．已知集合，则 A ．B ．C ．D ．3．已知向量,满足，，，则A ．B ．C ．D ．4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．” A ． 6斤 B ． 7斤 C ． 斤 D ．斤 5．在区间上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“”的概率，则 A ．B ．C ．D ．6．在中，则 A ．B ．C ．D ．7．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是 A ．B ．C ．D ．8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为 A ．B ．C ．D ．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是 A ．或 B ．C ．或 D ．或 10．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号11．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是A．10 B．9 C．8 D．712．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题13．已知，则__________．14．已知实数满足则的最小值为_____ . 15．棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是_________．16．已知函数，①当时，有最大值；②对于任意的，函数是上的增函数；③对于任意的，函数一定存在最小值；④对于任意的，都有．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知数列的前项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18．长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）.（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在内的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.19．如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，∥，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求到平面的距离.第3页（共6页）第4页（共6页）20．已知椭圆的离心率为，点在上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．21．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C:为参数）和定点，，是曲线C的左，右焦点.（Ⅰ）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23．已知函数（）．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若，证明．第5页（共6页）第6页（共6页）参考答案1．C【解析】【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数z的模即可.【详解】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．A【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4．D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】如图所示，表示的平面区域为，平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.第1页（共18页）第2页（共18页）本题选择D选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6．A【解析】【分析】由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．7．B【解析】【分析】首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.【详解】由函数的最小正周期公式可得：，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：，函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：，则，①令可得：，其余选项明显不适合①式.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可.【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：.本题选择C选项.第3页（共18页）第4页（共18页）【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9．C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域．①当时，在区间上单调递增，∴，即；②当时，，当且仅当，即时等号成立．综上输出的值的取值范围是或．选C．10．A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.11．B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，第5页（共18页）第6页（共18页）据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．1【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.【详解】，原式.故答案为：1.【点睛】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化．(2) 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.14．【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并平移，使之经过可行域，易知经过点时，纵截距最小，此时。
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学五模试卷(文科)
2018年吉林省长春市东北师大附中高考数学五模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(★)已知复数z=x+yi（x，y∈R），若1+i=x+（y-1）i，则|z|=（）A．2B．C．D．52．(★)已知集合A={x|x 2-2x＞0}，B={x|-2＜x＜3}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B3．(★)已知向量，满足，，，则•=（）A．1B．C．D．24．(★)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（）A．6斤B．7斤C．8斤D．9斤5．(★)在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A．B．C．D．6．(★)在△ABC中，a=1，，，则c=（）A．B．C．D．7．(★)已知函数f（x）=sin（ωx+ ）（ω＞0）的最小正周期为π，将f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是（）A．B．C．D．8．(★★)某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．9．(★)执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[-2，2]，则输出的y值的取值范围是（）A．或y≥0B．C．y≤-2或D．y≤-2或10．(★★)双曲线- =1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x- ）2+y 2=2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．211．(★★)直线l过抛物线y 2=4x的焦点F且与抛物线交于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n，则4m+n的最小值是（）A．10B．9C．8D．712．(★★)已知函数f（x）= ，x∈（0，+∞），当x 2＞x 1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（-∞，e]B．（-∞，e）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(★★)若，则cos 2α+sin2α= ．14．(★★)已知实数x，y满足，则目标函数z=x+2y的最小值为．15．(★★)棱长均为6的直三棱柱的外接球的表面积是．16．(★★★)已知函数f（x）=e x+alnx，①当a=1时，f（x）有最大值；②对于任意的a＞0，函数f（x）是（0，+∞）上的增函数；③对于任意的a＜0，函数f（x）一定存在最小值；④对于任意的a＞0，都有f（x）＞0．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(★★★)已知数列{a n}的前n项和S n=pn 2+qn（p，q∈R，n∈N*）且a 1=3，S 4=24．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n= ，求数列{b n}的前n项和T n．18．(★★)长春市统计局对某公司月收入在1000～4000元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间[1000，1500）内，单位：元）．（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在[1000，2000）内的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数．19．(★★★)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PDC⊥底面ABCD，△PDC是等边三角形，底面ABCD为梯形，且∠DAB=60°，AB∥CD，DC=AD=2AB=2．（Ⅰ）证明：BD⊥PC；（Ⅱ）求A到平面PBD的距离．20．(★★★★)已知椭圆的离心率为，点在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（-2，0）作直线AQ交椭圆C于另外一点Q，交y轴于点R，P为椭圆C上一点，且AQ∥OP，求证：为定值．21．(★★★)已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤kx对任意x＞0恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．(★★★)已知圆锥曲线是参数）和定点，F 1、F 2是圆锥曲线的左、右焦点．（1）求经过点F 2且垂直地于直线AF 1的直线l的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．(★★★)已知函数f（x）=|x+2|-|x-2|+m（m∈R）．（Ⅰ）若m=2，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若m=4，证明f（x）≥0．。
吉林省长春市东北师大附中2020届高三第五次模拟考试数学试卷(wd无答案)
吉林省长春市东北师大附中2020届高三第五次模拟考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则为（）A．1B．C．D．5(★) 3. 已知双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知向量，，，，则（）A．4B．C．D．12(★) 5. 已知，，是直线，是平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则，其中为真命题的是（）A．①③B．①④C．②④D．①③④(★★) 6. “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥，60年为一个纪年周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，今年（公元2020年）是庚子年，则中华人民共和国成立100周年（公元2049年）是（）A．己未年B．辛巳年C．庚午年D．己巳年(★★★) 7. 已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 早在17世纪人们就知道用事件发生的“频率”来估计事件的“概率”．18世纪末有人用投针试验的方法来估计圆周率，20世纪40年代电子计算机的出现使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能，这种模拟方法称为蒙特卡罗方法或随机模拟方法.如图所示的程序框图就是利用随机模拟方法估计圆周率，（其中是产生内的均匀随机数的函数，），则的值约为（）A．B．C．D．(★) 9. 函数的图象大致是（）A．B．C ．D ．(★★★) 10. 已知 ，则 （）A ．B ．C ．D ．(★★) 11. 若函数 在区间 是单调函数，则实数 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．(★★★★) 12. 如图，三棱柱的所有棱长都为 ，侧棱底面， ， ，分别在棱，，上，，，过 ， ， 三点的平面将三棱柱分为两部分，下列说法错误的是（）A ．截面是五边形B ．截面面积为C ．截面将三棱柱体积平分D ．截面与底面所成的锐二面角大小为二、填空题(★★★) 13. 甲、乙、丙三人参加知识竞赛．赛后，他们三个人预测名次的谈话如下：甲：“我第二名，丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名”；丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布结果时，发现每个人的预测都只猜对了一半，则这次竞赛第一名的是______．(★★) 14. 在 中， ， ，则 ______．(★★★) 15. 已知椭圆的左、右顶点分别为 、 ，直线 过点 且与 轴垂直，点 是椭圆 上异于的动点，直线与直线 交于点，若，则椭圆的离心率是______．三、双空题(★★★★) 16. 已知函数（为自然对数的底数，），当时，函数有 ______ 个零点；若函数有四个不同零点，则实数的取值范围是______ ．四、解答题(★★★) 17. 已知是数列的前项和，满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．(★★★) 18. 一次大型考试后，年级对某学科进行质量分析，随机抽取了名学生成绩分组为，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从这名成绩在，之间的同学中，随机选择三名同学做进一步调查分析，记为这三名同学中成绩在之间的人数，求的分布列及期望；（2）（ⅰ）求年级全体学生平均成绩与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（精确到1）（ⅱ）如果年级该学科的成绩服从正态分布，其中，分别近似为（ⅰ）中的，.若从年级所有学生中随机选三名同学做分析，求这三名同学中恰有两名同学成绩在区间的概率.（精确到0.01）附：.若，则，(★★★)19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．(★★★) 20. 已知动圆过定点，且截轴所得弦长为8，设圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离，求的最大值，并求此时直线方程．(★★★★) 21. 已知函数．（1）求的最小值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）曲线与直线交于点，点，求的值．(★★) 23. 已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．。
东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学(文科)试题(解析版)
名校精编卷 第1页（共6页） 名校精编卷 第2页（共6页） 东北师范大学附属中学 高三第五次模拟考试数学（文科）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知复数 ，若，则= A ． 2 B ． C ． D ． 5 2．已知集合，则 A ． B ． C ． D ． 3．已知向量,满足，，，则 A ． B ． C ． D ． 4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．” A ． 6斤 B ． 7斤 C ． 斤 D ． 斤 5．在区间上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“”的概率，则 A ． B ． C ． D ．6．在中，则 A ． B ． C ． D ． 7．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是 A ． B ． C ． D ． 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为 A ． B ． C ． D ． 9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是 A ． 或 B ． C ． 或 D ． 或 10．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 11．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A． 10 B． 9 C． 8 D． 712．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．二、填空题13．已知，则__________．14．已知实数满足则的最小值为_____ .15．棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是 _________．16．已知函数，①当时，有最大值；②对于任意的，函数是上的增函数；③对于任意的，函数一定存在最小值；④对于任意的，都有．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知数列的前项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18．长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）.（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在内的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.19．如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，∥，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求到平面的距离.20．已知椭圆的离心率为，点在上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．21．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；好教育云平台名校精编卷第3页（共6页）好教育云平台名校精编卷第4页（共6页）（Ⅲ）求证：.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C:为参数）和定点，，是曲线C的左，右焦点.（Ⅰ）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23．已知函数（）．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若，证明．名校精编卷第5页（共6页）名校精编卷第6页（共6页）东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数z的模即可.【详解】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．A【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4．D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.好教育云平台名校精编卷答案第1页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共18页）【详解】如图所示，表示的平面区域为，平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.本题选择D选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6．A【解析】【分析】由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．7．B【解析】【分析】首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.【详解】由函数的最小正周期公式可得：，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：，函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：，则，①令可得：，其余选项明显不适合①式.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可.好教育云平台名校精编卷答案第3页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第4页（共18页）【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：.本题选择C选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9．C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域．①当时，在区间上单调递增，∴，即；②当时，，当且仅当，即时等号成立．综上输出的值的取值范围是或．选C．10．A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.11．B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，好教育云平台名校精编卷答案第5页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第6页（共18页）结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．1【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.【详解】，原式.故答案为：1.【点睛】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化．(2) 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.14．【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并平移，使之经过可行域，易知经过点时，纵截距最小，此时。
吉林省长春市东北师范大学附属中学2024届高三下学期第五次模拟考试数学试题(含答案与解析)_1474
东北师大附中2023~2024学年下学期第五次模拟考试高三数学满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.答题前考生需将姓名､班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅==，a b -= ，则a =r （ ）A 1B.C.D. 24. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 15. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） .A. 0B.12C.D. 6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a <<D. <<b c a二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆ B. B C ⊆ C. BA ⊆D. A B ⊆10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ） A1+B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ； （2）求锐二面角1M AC N --余弦值..的16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：表1：序号数学物理1 144 952 130 903 124 794 120 855 110 696 107 827 103 808 102 629 100 6710 98 7511 98 6812 95 7713 94 5914 92 6515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 52 20 7554（1）数学120分及以上记优秀，物理80分及以上记为优秀. （i ）完成如下列联表；物理成绩数学成绩优秀不优秀 合计优秀 不优秀 合计（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ （2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩9069677054如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.为（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 00050.001 x α2.7063.8416.6357.87910.82817. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M 不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）.（3）对于（2）中的数列{}n x ，令2n n x x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简以及共轭复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则共轭复数为i(,R)z a b a b =-∈， 所以()()2i i i 3+3i a b a b -++=， 所以()()22i 3+3i a b a b -+-=，所以2323a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以1i z =-，故复数z 对应的点位于第四象限. 故选：D.2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果. 【详解】因为直线m 平面α，直线n ⊥平面β，当m n 时，可得αβ⊥，即充分性满足； 当αβ⊥时，,m n 不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足； 所以“m n ”是“αβ⊥”的充分不必要条件..故选：A3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅== ，a b -= ，则a =r （ ）A. 1B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】将a b -=两边平方，结合数量积的运算律计算可得.【详解】因为1a b b ⋅==，a b -= ，所以2232a a b b ⋅=-+，即222113a -⨯+= ，解得2=a 或2a =-r（舍去）.故选：D4. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】A 【解析】【分析】由已知可得sin sin 2A B =，结合三角恒等变换，正弦定理可得2cos a b B =，由此可求A B C ､､，再结合勾股定理求c 即可. 【详解】因为2A B =，所以sin sin 2A B =，故sin 2sin cos A B B =， 由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以2cos a b B =，又1a b ==，所以cos B =()0,πB ∈， 所以π6B =，π3A =， 故π2πC A B =--=由勾股定理可得2224c a b =+=， 所以2c =， 故选：A.5. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 0B.12C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据13π124f ⎛⎫=-⎪⎝⎭即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=， 由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， 当0ω>时，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=；当0ω<时，()125π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()122π3x x ω-=，4ω∴=-；综上：4ω=±；因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设4ω=，则()()sin 4f x x ϕ=+， 因为13π13πsin 1246f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z ，解得2π2π,Z 3k k ϕ=-+∈， 所以2π2()sin 42πsin 4π33f x x k x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π10π22π2πsin πsin 2πsin 63333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：C.6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，利用设而不求法求弦长AB 的表达式，再求线段AB 的垂直平分线，由条件列方程求,m p 可得结论.【详解】抛物线22y px =的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 若直线l 的斜率斜率为0，则直线l 与抛物线22y px =只有一个交点，不满足条件， 故可设直线l 的方程为2px my =+， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简可得2220y pmy p --=，方程2220y pmy p --=的判别式222440p m p ∆=+>， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则212122,y y pm y y p +==-，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+，由已知()2218p m +=， 设AB 的中点为()00,P x y ，则0y pm =，202p x pm =+， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22p y pm m x pm ⎛⎫-=---⎪⎝⎭，因为()6,0M 在线段AB 的垂直平分线上， 所以262p p pm =--，故2362p pm +=， 所以0m =，4p =. 故选：B.7. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<【答案】B 【解析】【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.设球形物品的半径为R ，则正方体的棱长为2R ，表面积()2226224S R R ==；设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为2214S a ==， 如图正四面体A BCD -，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图OG R =，底面等边三角形BCD 的高CE =，外接圆半径23CG ==，正四面体的高AG ===，体积211313V S R ==，所以211313V S R ==，又21S =，所以a =，所以正四面体的表面积221S ==；设正八面体的棱长为b ，如图，在正八面体中连接AF ，DB ，CE ，可得AF ，DB ，CE 互相垂直平分，四边形BCDE 为正方形，12OD BD ==，在Rt AOD 中，AO ===，则该正八面体的体积23123V b '=⨯⨯=，该八面体的表面积2328S ==，因为313S R V '=，即2313R ⨯⋅=，解得b =，所以)2223S ===，所以321S S S <<. 故选：B. 8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a << D. <<b c a【答案】D 【解析】【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()(0)0f x f ≥=，(0.1)0f >，即0.1e 10.1->.设()ln 1g x x x =-+，11()1x g x x x-'=-=， ()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()(1)0g x g ≤=，(1.1)0g <，即ln1.10.1<，所以a c >.设()2()ln 12x h x x x =+-+，()()()22214()01212h x x x x x x '=-=>++++， ()h x 为增函数，所以(0.1)(0)0h h >=，所以2ln1.121>，即c b >. 故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆B. B C ⊆C. B A ⊆D. A B ⊆【答案】AC 【解析】【分析】根据A B A ⊆ 以及A B B ⊆ ，可得B C A ⋃⊆、B C B ⋃⊆、可得C B A ⊆⊆，结合选项即可求解.【详解】因为A B A ⊆ ，A B B C = ， 所以B C A ⋃⊆，所以BA ⊆，C A ⊆，因为A B B ⊆ ，A B B C = ，所以B C B ⋃⊆，所以C B ⊆，所以C B A ⊆⊆， 故选项A 、C 正确，B 、D 错误. 故选：AC.10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称 【答案】ABD 【解析】【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ，根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++， 函数22y t=-，121x t -=+，则1t >， 又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t=-在()1,∞+上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）A.1+B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立,a c 的等量关系式求解.【详解】如果2BAF ∠为直角，设2AF AB m ==，则2BF =，又122BF BF a -=，212AF AF a -=，所以1AF =，由212AF AF a -=，则2m a -=，得(4m a =+，在12AF F △中，2221212AF AF F F +=，即2224m c ⎫+=⎪⎪⎭，即((222222444a a c +++=，化简得229c a=+e =如果2AF B ∠为直角，设2BF m =，则2AF m =，AB =，12AF m a =-，12BF m a =-+，因为122BF BF a -=，所以22a a -+=，故m =，在12AF F △中，由余弦定理可知()()22242822c a a a ⎛=-+--⋅⋅ ⎝，整理得22412c a =，即23e =，所以e =B 正确；如果2ABF ∠为直角，则2AB BF =，122BF BF a -=， 则12AF a =，又212AF AF a -=，所以24AF a =，22BF AF ==，()122BF a a =+=+， 在等腰直角12BF F △中，222212124BF BF F F c +==，即()()222224a c ++=，化简得225c a=+e =C 正确.故选：BC.【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出,,a b c 之间的数量关系.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________. 【答案】2 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k 的值. 【详解】直线l 的一般方程为210kx y k ---=，圆225x y +=的圆心C 的坐标为()0,0，半径r =，由于直线l 和圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于半径，=，解得2k =. 故答案为：2.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________. 【答案】23【解析】【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，其概率为21134422444C C C C 2C 33381+⨯+=， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为23444C 3C 22381⨯+=， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为222333=， 故答案为：23. 14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.【答案】18##0.125 【解析】【分析】根据题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上的最大值取得最小值，先用分段函数表示()f x 在区间[]0,1上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可. 【详解】[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上最大值取得最小值，的因为()f x 的对称轴12x =，且()()01f f c ==， 所以()f x 的最大值为1124f c ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()()01f f c ==， 当14c c -=时，即18c =， 所以 ()max1,81148c c f x c c ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩＞，，当18c =时，()max f x 取最小值，最小值为18. 故答案为：18.【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在[]0,1的最大值取得最小值，所以先要将()f x 的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ；（2）求锐二面角1M AC N --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由0n CM ⋅=证明出结论；（2）解法1：作出辅助线，得到MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，求出各边长，求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案. 【小问1详解】解法1：设11AC AC D ⋂=，则D 为1AC中点， 1AM AN E ⋂=，连接DE ， 延长AN 交1BB 延长线于F ， 由112A NNB =得112AA B F =，11,,AA MF A E EM E ==为1A M 中点，MC DE ，DE ⊂平面1,NAC MC ⊄平面1NAC ，MC 平面1NAC ，解法2：取AC 中点O ，取11A C 中点1O ，连接1,OB OO ， 因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以1,,AC OB OO 两两垂直， 以O 为坐标原点，1,,OB OC OO 所在直线分别为,,x y z 轴，建系如图，则()()())10,1,0,0,1,2,0,1,0,A C C M-，())11,2,0,2,2,1,13N AC CM ⎫-==-⎪⎪⎭，)14,0,3C N AM ⎫=-=⎪⎪⎭，设平面1NAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则11220403n AC y z n C N x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令y =，则(2,x z n ===，0n CM MC ⋅=⊄，平面1NAC ，故MC 平面1NAC . 【小问2详解】解法1：因为12AA AB ==，所以1AA AC =，故四边形11ACC A 为正方形， 故1AC ⊥1AC ，且D 为1AC 中点，又AM ===，1C M ==，故1AM C M =，故DM ⊥1AC ，因为1A C DM D ⋂=，1,A C DM ⊂平面1MAC ， 所以1AC ⊥平面1MAC ，因为DE ⊂平面1MAC ，所以1AC DE ⊥， 所以MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，又MC ===11122AD AC ===且11122DE MC EM A M ====DM ==222cos 2DE DM EM MDE DE DM ∠+-===⋅，故锐二面角1M AC N --. 解法2：设平面1MAC 的一个法向量为(),,m a b c =，则1220m AC b c m AM b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1b =，则()1,0,0,1,1c a m =-==-，cos ,m nm n m n ⋅===，所以锐二面角1M AC N --16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14926515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 5220 75 54（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.（i）完成如下列联表；物理成绩合计数学成绩优秀不优秀优秀不优秀合计α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？（ii）依据0.01（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：表2：数学成绩130 110 100 85 75物理成绩90 69 67 70 54如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii ni i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.70638416.6357.87910.828【答案】（1）（i ）答案见解析；（ii ）认为数学成绩与物理成绩有关联.（2）（i ）3337；（ii ）9961018537y x =+，81分【解析】【分析】（1）（i ）由表1可直接填写列联表；（ii ）根据列联表，计算2χ的值，结合临界值表可得出结论； （2）（i ）根据参考公式计算样本相关系数；（ii ）根据参考公式计算经验回归方程，并将120x =代入，预测该同学的物理成绩. 【小问1详解】 （i ）物理成绩数学成绩优秀不优秀合计.优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计51520（ii ）零假设0H ：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.()()()()222()20(31412)416515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯0.01206.667 6.6353α=≈>= 依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联. 【小问2详解】（i ）由题意100,70x y ==， 所以r=33.37==（ii ）由题意()()()()()2222230201010315025ˆ1630100(15)(25)b ⨯+⨯-+⨯-+-⨯+-⨯-=+++-+- 990991850185==， 所以99610ˆ7010018537a y bx=-=-⨯=， 所以经验回归方程为9961018537y x =+， 当120x =时，996102986ˆ12080.7811853737y=⨯+=≈≈， 所以物理成绩约为81分.17. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）0； （2）2a ….【解析】【分析】（1）由已知可得()1ln 1ln f x x x =+-='，进而可求()f x 的单调区间； （2）求导得()()11ln a f x a x x -'=+-，令()11ln ,a g x x x-=+-进而求导()()211a g x a x x-'=--，分类讨论可求a 的取值范围. 【小问1详解】当1a =时，()()ln 1,1ln 1ln f x x x x f x x x =-+=='+-，()()()0,1,0,x f x f x '∈<单调递减；()()()1,,0,x f x f x '∈+∞>单调递增；()min ()10f x f ==【小问2详解】()()()111ln 1ln a a f x a x ax a x x --=+-=+-'，设()()()1211ln ,1a a g x x xg x a x x--=+-=--'， ①若1a =，由（1）知()()10f x f >=，不合题意； ②若()()()211112,111a a a g x a x a x x x--⎡⎤<<=--='--⎣⎦， 设()()()()12211,(1)0,a a h x a xh x a x h x --=--=--'<单调递减，()()11120h a a =--=->，令()()11100110,(1)a a h xa xx a ---=--==-，()()()()01,,0,0,x x h x g x g x ∈>'>单调递增，()()10g x g >=，()()0,f x f x '>单调递增，()()10f x f >=，不合题意；③()()()212,1,,10a a x g x a x x∞-≥∈+-'=-<， ()g x 单调递减，()()()()10,0,g x g f x f x <=<'单调递减，()()10f x f <=；综上，2a ≥.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析 （3）max S =【解析】【分析】（1）根据离心率和过点M ，用待定系数法可求出椭圆C 的方程； （2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出1214k k =，并进行化简，即可求出斜率定值； （3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】依题意22222411c aa b b a c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得228,2a b ==，所以椭圆的标准方程为22182x y +=.【小问2详解】设直线l 方程为()()1122,0,,,,y kx m m A x y B x y =+≠，由22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418480k x kmx m +++-=，()222121222848Δ16820,,4141km m k mx x x x k k --=+->+==++，()()()()121212121211112222kx m kx m y y k k x x x x +-+---=⋅=---- ()()()()2222222121221212224881(1)1(1)414148162444141m km k k m m k x x k m x x m k k m km x x x x k k --⋅+-⋅+-+-++-++==--++++++ ()()22224(1)12141244144k m m k m k m mk k -+---===++-++，解得12k =-【小问3详解】 由（2）得221,0,22402y x m m x mx m =-+≠-+-=， 22Δ1640,4,22,0m m m m =-><-<<≠，)22AB x h m =-=- MAB △的面积(122S AB h m ==-=， ()()3(2)2f m m m =-+，()()()2323(2)2(2)(2)44f m m m m m m =--++-=---'，令()0f m '＞，解得21m --＜＜，即()f m 在()2,1--上单调递增，令()0f m '＜，解得10m -＜＜或02m ＜＜，即()f m 在()10-，和()02，上单调递减， 所以当1m =-时，取到最大值()127f -=，MAB △的面积max S =【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解. 19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列.{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）（3）对于（2）中数列{}n x ，令2n nx x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.【答案】（1）12n n a n -=⋅；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得21Δ2Δn n n n a a a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，可得122n n n a a +-=，构造等差数列即可求解；（2）由一阶差分数列的定义可得1n n n x b b n +=-=，要证1Cnii n n i x a ==∑成立，即证121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ ，根据二项式定理即可证明； （3）作差可得22n nnnt t --<++，故()()111112222nn n i i i ii i i i y t t --====+<+∑∑∑，根据等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 因为{}1Δ2nn n a a +--为{}na 的二阶差分数列，所以21Δ2Δn n n n aa a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，代入得11Δ2ΔΔnn n n n a a a a ++--=-，整理得Δ2nn n a a -=，即122n n n a a +-=，所以111222n n n n a a ++-=.故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列， 因此，()111222n na n =+-⋅，即12n n a n -=⋅. 的【小问2详解】因为{}n x 为数列{}n b 的一阶差分数列，所以1n n n x b b n +=-=，故1Cni i n n i x a ==∑成立，即为121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ .① 当1n =时，①式成立； 当2n ≥时，因为()110111112(11)C C C n n n n n n n n n ------⋅=⋅+=⋅+++ ，且11C C k kn n n k --=，所以①成立，故对*n ∀∈N 都有1Cnii n n i x a ==∑成立.【小问3详解】2n n n t t y -+=，因为122t <<，所以(2)1,2n n nt t ><， 故()()()1222(2)10(2)n nnn n n n n tt t t t --⎡⎤+-+=-->⎣⎦，即22n n n n t t --<++， 所以()()()111111221111222212222112nnn n n i i ii i i i i y t t--===⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥=+<+=+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()2111121121222222222n nn n n n n--⎛⎫=-+-=-+<-⋅=- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
吉林省.东北师大附中高三二模数学(文科)试卷(解析版)【全国百强校高考预测真题】
即 a＜ 在（﹣2，﹣1）恒成立，
故 a≤﹣1， 故答案为：a≤﹣1 【点睛】 本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．解答时不要漏掉了函数 的定义域，不要忽视了取等问题.
16． 【解析】 【分析】
根据指数函数的图象可画出：当
﹣6 的图象．根据偶函数的对称性
质画出[0，2]的图象，再根据周期性：对任意 x∈R，都有 f（x+4）=f（x），画出[2，6]的图象．画 出函数 y=loga（x+2）（a＞1）的图象．利用在区间（﹣2，6]内关于 x 的 f（x）﹣loga（x+2）=0（a ＞1）恰有 3 个不同的实数根，即可得出．
9．函数
的大致图象是
，则此三角形的形状是
卷
姓名
5．函数
的零点所在的区间为
此
A．
B．
C．
D．
6．下列有关命题的说法正确的是
A．
B．精品文档Fra bibliotek1班级
C． 10．已知函数
D．
满足对任意
，都有
成立， 则
实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
11．已知
在区间
上有最大值，则实数 a 的取值范围是
A．
B．
12．在等腰直角 中，
由题得
.故答案为：B
【点睛】 本题主要考查同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和 分析推理计算能力. 5．C 【解析】
试题分析：由题意，求函数
的零点，即为求两个函数
的
交点，可知
等号左侧为增函数，而右侧为减函数，故交点只有一个，当 时，
，当 时，
吉林省东北师范大学附属中学2022届高三第五次模拟考试文科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题1. 设集合，，则等于（ ）A．B．C．D．2. 已知是虚数单位，若复数满足，则 （ ）A．B．C．D．3. 已知函数的大致图象如图，则的最小正周期为（）A．B．C．D．4.已知数列，若，，则（ ）A ．2020B ．2018C ．2019D ．20215.已知数列的前项和为，，，且对于任意，，满足，则（ ）A．B．C．D．6. 若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知向量，，记向量，的夹角为θ，则（ ）A ．λ>2时θ为锐角B ．λ<2时θ为钝角C ．λ＝2时θ为直角D ．无λ使θ为零角8. 以下四个命题正确的是（ ）A ．过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为B．若圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，则C ．过点且与圆相切的直线方程为D．过直线上一动点作圆的两条切线为切点，则直线AB经过定点9. 方程恰有四个互异的实根，记为，则的值为______10.对于三次函数有如下定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.若点是函数的“拐点”，也是函数图像上的点，则函数的最大值是__________．11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则______．吉林省东北师范大学附属中学2022届高三第五次模拟考试文科数学试题(高频考点版)吉林省东北师范大学附属中学2022届高三第五次模拟考试文科数学试题(高频考点版)四、解答题12. 已知是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且，则的值为 _____．13. 已知函数（是常数）是奇函数．(1)求实数的值；(2)求函数的值域；(3)设函数，求的值．14. 已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C 仅有一个公共点.(1)求双曲线的方程(2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：的垂心在双曲线C 上.15. 已知，设函数.(1)当时，求的极值点；(2)讨论在区间上的单调性；(3)对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.16. 已知函数．（I ）当时，讨论函数在上的单调性；（II）若恒成立，求实数的取值范围．。
吉林省东北师范大学附属中学2022届高三第五次模拟考试文科数学试题
一、单选题二、多选题1. 四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为（ ）A．B．C．D．2. 设定义在R 上的函数满足，且当时，，若存在，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．3.已知正项等比数列满足，若，则为（ ）A．B．C．D．4. 已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积是A．B．C．D．6. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某高中团委举办了共青团史知识竞赛（满分100分），其中高一、高二、高三年级参赛的共青团员的人数分别为800，600，600．现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算可得高一、高二年级共青团员成绩的样本平均数分别为85，90，全校共青团员成绩的样本平均数为88，则高三年级共青团员成绩的样本平均数为（ ）A ．87B ．89C ．90D ．917. 17世纪初，约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把对数的发明和解析几何的创始､微积分的建立称为17世纪数学的三大成就.在进行数据处理时，经常会把原始数据取对数后再进一步处理，之所以这样做是基于对数函数在其定义域内是增函数，且取对数后不会改变数据的相对关系，也可以将乘法运算转换成加法运算，将乘方运算转化为乘法运算，据此可判断数(取)的位数是（ ）A ．108B ．109C ．308D ．3098. 设为复数，分别是的共轭复数，满足，则下列一定成立的是（ ）A．B．C．D．9. 如图是函数的部分图象，则（）A．函数的最小正周期为B ．直线是函数图象的一条对称轴吉林省东北师范大学附属中学2022届高三第五次模拟考试文科数学试题吉林省东北师范大学附属中学2022届高三第五次模拟考试文科数学试题三、填空题四、解答题C ．点是函数图象的一个对称中心D ．函数为奇函数10.已知等比数列的公比为且成等差数列，则的值可能为（ ）A．B ．1C ．2D ．311. 已知正态分布的正态密度曲线如图所示，，则下列选项中，能表示图中阴影部分面积的是（）A．B．C．D．12. 已知函数满足，且，则下列说法正确的有（ ）A．B．C ．直线是图象的一条对称轴D ．点是图象的一个对称中心13. 已知函数（），则的最小值是_________．14.已知双曲线（）的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为___________.15. 函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且的图象关于轴对称，则的最小值为___________16. 已知椭圆的焦距为4，经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线轴时，的面积为（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）与直线垂直的直线也过点，且与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围.17. 如图，在四边形中，．(1)证明：为直角三角形；(2)若，求四边形面积S 的最大值．18. 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分．如图，反比例函数（）的图像过点和，点为该函数图像上一动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、．记四边形（为坐标原点）与三角形的公共部分面积为．（1）求关于的表达式；（2）求的最大值及此时的值．19. 核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为元，记检测的总费用为元.（1）当时，求的分布列和数学期望；（2）（ⅰ）比较与两种方案哪一个更好，说明理由；（ⅱ）试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时，和两种方案哪一个更好（只需给出结论不必证明）.20. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”规则如下：①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E（单位：）与游玩时间t（单位：小时）满足关系式：；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验值不变）；③超过5小时为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50．（1）当时，写出累积经验值E与游玩时间t的函数关系式，求出游玩6小时的累积经验值；（2）该游戏厂商把累积经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，若，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围．21. 已知函数．(1)若是的极值点，求a；(2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．①当时，；②当时，．注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．。
高三年级第五次模拟考试数学(文)试题
东北师大附中2022年高三年级第五次模拟测试数学〔文〕试题第一卷〔选择题,共60分〕一、选择题〔本卷共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1．集合}01{},01{2>+==-=x x B x x A , 那么=B A〔 〕A ．}1{>x xB ．}1{->x xC ．}1{=x xD ．}1{±=x x 2．等差数列}{n a 中,4,131==a a ,那么公差=d〔 〕A ．1B ．2C ．21D ．23 3．向量a ),23,21(=b )0,1(=,那么a 与b 的夹角等于〔 〕A ．30B ．150C ．60 D ．120 4．函数)2)(1ln(>-=x x y 的反函数是〔 〕A ．)0(1>+=x e y xB ．)0(1>-=x e y xC ．)(1R x e y x ∈+=D ．)(1R x e y x∈-=5．在ABC ∆中,“60>A 〞是“23sin >A 〞的 〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．四面体ABCD ,⊥AD 平面BDC ,M 是棱AB 的中点,2==CM AD ,那么异面直线AD 与CM 所成的角等于〔 〕 A ．30 B ．45C ． 60D ．907．函数1)42sin(2)(++=πx x f 图象的一个对称中央是〔 〕A ．)0,8(π-B ．)1,8(π-C ．)0,8(πD ．)1,8(πD A CB M8．函数)(x f 的导函数是)(x f ',且,3)1(,2)1(=-'=-f f 那么曲线)(x f y =在点1-=x 处的切线方程是〔 〕A ．y=3x +5B ．y=3x +6C ．y=2x +5D ．y=2x +4 9．椭圆)4(1222>=+a y ax 的离心率的取值范围是〔 〕A ．〔1615,0〕 B ．〔415,0〕 C ．〔1,1615〕 D ．〔1,415〕 10．用数字0,1,2,3,4组成的五位数中,中间三位数字各不相同,但首末两位数字相同的共有〔 〕 A ．240个 B ．480个 C ． 96个 D ．48个 11．正整数b a ,满足304＝＋b a ,使得ba 11+取最小值时,那么实数对〔),b a 是〔 〕A ．〔5,10〕B ．〔6,6〕C ．〔10,5〕D ．〔7,2〕12．对于抛物线x y 42=上任意一点Q ,点)0,(a P a ≥,那么实数a 的最大值是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．4第二卷〔非选择题,共90分〕二、填空题〔本大题共4小题,每题4分,共16分,把正确答案填在做题卡的横线上〕13．某学校高中三个年级共有学生3500人,其中高三学生人数是高一的两倍,高二学生比高一学生人数多300人. 用分层抽样的方法抽取350人参加某项活动,那么应抽取高一学生人数为 . 14．点)3,(a P 到直线0134=+-y x 的距离等于4,且在不等式032>-+y x 表示的平面区域内,那么点P 的坐标是 . 15．二项式84)12(xx +展开式中x 项的系数是 ．16．一个球与一个二面角的两个半平面都相切,假设球心到二面角的棱的距离是5,切点到二面角棱的距离是1,那么球的体积是 .三、解做题〔本大题共6小题,共74分,解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值12分〕向量m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, m . n C B A C ，，，且2sin =分别为△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角. 〔Ⅰ〕求角C 的大小;〔Ⅱ〕假设sin A , sin C , sin B 成等比数列, 且18)(=-⋅AC AB CA , 求c 的值.18．〔本小题总分值12分〕“ 五·一〞黄金周某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条旅游线路.〔Ⅰ〕求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； 〔Ⅱ〕求恰有2条线路被选择的概率. 19．〔本小题总分值12分〕.,//,2,,DC AD AD BC AD BC CD AD PA ABCD PA ABCD P ⊥===⊥-底面中，如图，在四棱锥〔Ⅰ〕证实：AC ⊥PB ；〔Ⅱ〕求二面角C —PB —A 的在小.20．〔本小题总分值12分〕各项均为正数的等比数列{n a }的首项为21=a ,且23+a 是42,a a 的等差中项. 〔Ⅰ〕求数列{n a }的通项公式n a ；〔Ⅱ〕假设n b =n a n n n b b b S a +⋅⋅⋅++=212,log ,求n S . 21．〔本小题总分值12分〕函数d cx bx x x f 25)(23----=在]0,(-∞上单调递减,在[]6,0上单调递增,1=x 是方程0)(=x f 的一个实根.〔Ⅰ〕当4=d 时,求)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕求)4(f 的取值范围. 22．〔本小题总分值14分〕如图,F 为双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点,P 为双曲线C 在第一象限内的一点,M 为左准线上一点,O 为坐标原点,,OF MP== 〔Ⅰ〕推导双曲线C 的离心率e 与λ的关系式; 〔Ⅱ〕当1=λ时, 经过点)0,1(且斜率为a -的直线交双曲线于B A ,两点, 交y 轴于点D , 且=DA DB )23(-,求双曲线的方程.东北师大附中2022年高三年级第五次模拟测试数学〔文〕试题参考答案一、选择题:1．C 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．A 9．D 10．A 11．A 12．C 二、填空题13. 80; 14. 〔7,3〕 15. 1120; 16. π332. 三、解做题17．解：(Ⅰ) ∵ m ),cos ,(sin A A = n )sin ,(cos B B =, m . n C 2sin =, ∴sin A cos B +cos A sin B =sin2C 1分 即 sin C =sin2C 3分∴ cos C =214分 又C 为三角形的内角, ∴ 3π=C 6分(Ⅱ) ∵sin A ,sin C ,sin B 成等比数列,∴ sin 2C =sin A sin B 7分 ∴ c 2=ab 8分 又18)(=-⋅AC AB CA ,即 18=⋅CB CA 9分 ∴ abcosC =18 10分 ∴ ab =36 故 c 2=36 ∴ c =6 12分18．〔Ⅰ〕3个旅游团选择3条不同线路的概率为P 1=834334=A …………6分〔Ⅱ〕恰有两条线路被选择的概率为P 2=16943222324=⋅⋅A C C ……12分 19．方法一：)2( //22,0)(分且证明：设Ⅰ CD BC AD BC aBC AD BC CD AD aCD AD PA ⊥=∴==⊥===)6( )4( 90 245452222分由三垂线定理，知内的射影，在面是斜线分由余弦定理中在中在 PB AC AB AC ABCD PB AB BAC BC AC AB a AB ACB ABC ACD a AC ADC Rt ⊥∴⊥︒=∠∴=+∴=︒=∠∆︒=∠=∆)12( 303tan ,323,)9(,,)(分中在中在分的平面角即为二面角由三垂线定理知连结于作过点面面Ⅱ παπααα=∴≤≤==∆=⋅=∴=∆--∠⊥⊥∴=⊥⊥∴⊥AEACAEC Rt a PB ABPA AE a PB PAB Rt A PB C AEC CE E PB AE A PABCA A AB PA AB CA CA PA ABCD PA )1,0,1()0,1,0()0,1,2()0,0,1()2( 2//,2,1,:)1(:P C B A CD BC BC AD BC AD BC DC AD CD AD PA xyz D 则分且设系如图建立空间直角坐标证明方法二 ⊥=∴=⊥===-分）（即6 0)1,1,1()0,1,1( PB AC PB AC PB AC PB AC ⊥⊥∴=⋅-=-=∴)12( .321,cos )10()011()8( 11000000 ),,()1,1,1()1,1,1()2(分为二面角分，，的一个法向量为同理可取平面分），，（取的一个法向量为设平面 πA PBC n m n m m PAB n zy x z y x z y x BP n CP n BP n CP n z y x n PBC PB CP --∴=>=<-=--=⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=+-∴=⋅=⋅∴⊥⊥=-=-=20．解：〔Ⅰ〕设等比数列的公比为q ,依题设条件有2322q q q +=+, 即0)1)(2(2=+-q q ,解得2=q .∴数列{n a }的通项公式2nn a =.……………………………………6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕及n n n a a b 2log =得,nn n b 2⋅=, ……………………………8分∵12n n S b b b =++⋅⋅⋅+,∴nn n S 22322232⋅++⋅+⋅+= ① ∴143222)1(232222+⋅+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n S ② ① －②得13222222+⋅-++++=n n n n S －=112(12)2(1)2212n n n n n ++--⋅=-⋅--…………………………10分 ∴22)1(1+⋅-=+n n n S ……………………………………………………12分21．解：c bx x x f 523)(2'---=,∵)(x f 在]0,(-∞上单调递减,在[]6,0上单调递增,∴0)0('=f ,即05=-c ,∴0=c . ∴d bx x x f 2)(23---=, bx x x f 23)(2'--=.〔Ⅰ〕当4=d 时,由,0)1(=f 得021=---d b ,9-=b , ∴818)(23-+-=x x x f .〔Ⅱ〕令0)('=x f ,得32,021b x x -==, ∵)(x f 在]0,(-∞上单调递减,在[]6,0上单调递增, ∴632,02≥->bx ,∴9-≤b . ∴)1(1664)4(++--=b b f =721563≥--b , ∴)4(f 的取值范围是[)+∞,72.22．解:(Ⅰ) ,OF MP =OFPM ∴为平行四边形.设l 是双曲线的右准线,且与PM 交于N 点c =,===e ==∴即.02).2(22=--∴-=⋅e e ca c e c λλ(Ⅱ)当1=λ时,得.3,2,2a b a c e ==∴=所以可设双曲线的方程是132222=-ay a x ,……8分 设直线AB 的方程是),1(--=x a y 与双曲线方程联立 得:.042)3(2222=-+-a x a x a由0)3(164224>-+=∆a a a 得20<<a ..34,32),,(),,(222122212211-=-=+a a x x a a x x y x B y x A 则设①由,),0(a D ,由于=DA DB )23(-,所以可得.)23(21x x -=②……10分由①②得34)23(,32)13(2222222-=--=-a a x a a x ,消去2x 得,22=a 符合0>∆, 所以双曲线的方程是16222=-y x ………………………………………………………14分。
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精品文档 12018届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知复数 ，若，则=A ． 2B ．C ．D ． 52．已知集合，则A ．B ．C ．D ．3．已知向量,满足，，，则A ．B ．C ．D ．4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”A ． 6斤B ． 7斤C ． 斤D ． 斤5．在区间上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“”的概率，则A ．B ．C ．D ．6．在中，则 A ． B ． C ． D ． 7．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是 A ． B ． C ． D ． 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为 A ． B ． C ． D ． 9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是 A ． 或 B ． C ． 或 D ． 或 10．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 11．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是 A ． 10 B ． 9 C ． 8 D ． 7 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号12．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．D．二、填空题13．已知，则__________．14．已知实数满足则的最小值为_____ .15．棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是_________．16．已知函数，①当时，有最大值；②对于任意的，函数是上的增函数；③对于任意的，函数一定存在最小值；④对于任意的，都有．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知数列的前项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18．长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）.（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在内的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.19．如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，∥，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求到平面的距离.20．已知椭圆的离心率为，点在上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．21．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；精品文档 2（Ⅲ）求证：.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C:为参数）和定点，，是曲线C的左，右焦点.（Ⅰ）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23．已知函数（）．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若，证明．精品文档 32018届东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数z的模即可.【详解】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．A【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4．D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.【详解】如图所示，表示的平面区域为，精品文档 1平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.本题选择D选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6．A【解析】【分析】由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．7．B【解析】【分析】首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.【详解】由函数的最小正周期公式可得：，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：，函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：，则，①令可得：，其余选项明显不适合①式.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可.【详解】精品文档 2由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：.本题选择C选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9．C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域．①当时，在区间上单调递增，∴，即；②当时，，当且仅当，即时等号成立．综上输出的值的取值范围是或．选C．10．A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.11．B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，精品文档 3令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．1【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.【详解】，原式.故答案为：1.【点睛】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化．(2) 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.14．【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并平移，使之经过可行域，易知经过点时，纵截距最小，此时。
考点：线性规划问题。
15．【解析】【分析】首先确定外接球半径，然后求解其表面积即可.【详解】由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为，则外接球的半径，则外接球的表面积为.【点睛】本题主要考查三棱柱的空间结构特征，多面体与球的外接问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．②③【解析】【分析】由题意利用导函数研究函数的性质即可.【详解】由函数的解析式可得：，精品文档 4当时，，，单调递增，且，据此可知当时，单调递增，函数没有最大值，说法①错误；当时，函数均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法②正确；当时，单调递增，且，且当，据此可知存在，在区间上，单调递减；在区间上，单调递增；函数在处取得最小值，说法③正确；当时，，由于，故，，说法④错误；综上可得：正确结论的序号是②③.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可得则利用通项公式与前n 项和的关系可得（Ⅱ）由（1）可知，结合等比数列前n 项和公式计算可得数列的前项和.【详解】（Ⅰ）由得所以当时，当时，所以检验符合（Ⅱ）由（1）可知所以.设数列的前项和为，则：所以数列的前项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式与前n项和公式的关系，等比数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）中位数和平均数的估计值都是.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算可得职工月收入在内的概率为；（Ⅱ）利用面积相等可得中位数的估计值为；利用平均数公式计算可得平均数的估计值为.【详解】（Ⅰ）职工月收入在内的概率为；精品文档 5（Ⅱ）根据条件可知，从左至右小矩形的面积分别是、、、、、，因此，中位数的估计值为；平均数的估计值为.综上可知，中位数和平均数的估计值都是.【点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.19．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意结合勾股定理和几何体的空间结构可证得平面，则.（Ⅱ）设到平面的距离为利用等体积法可求得.【详解】（Ⅰ）由余弦定理得，∴，∴，∴.又平面底面，平面底面，底面，∴平面，又平面，∴.（Ⅱ）设到平面的距离为取中点，连结,∵△是等边三角形，∴.又平面底面，平面底面，平面，∴底面，且，由（Ⅰ）知平面，又平面，∴.∴，即××2××1××.解得.【点睛】本题主要考查线面垂直的判断定理与定义的应用，等体积法求解点到平面的距离的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题可得则椭圆程为.（Ⅱ）设直线联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式可得,，令直线为且令联立椭圆方程结合韦达定理计算可得，即为定值.【详解】（Ⅰ）由题可得，且：，，精品文档 6所以所以椭圆程为.（Ⅱ）设直线，由韦达定理可得：，则,，令直线为且令得可得韦达定理：，所以，，所以定值为．【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）函数的定义域为.且，据此列表讨论可知：的单调递增区间为，单调递减区间为.的极大值为，无极小值.（Ⅱ）由题意可得恒成立，令，由导函数可得当时函数有最大值，所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则，据此结合不等式的性质利用放缩法即可证得.【详解】（Ⅰ）定义域为.，令，得.增极大值减由上图表知：的单调递增区间为，单调递减区间为.精品文档7的极大值为，无极小值.（Ⅱ），令又，令解得，当x 在内变化时，，变化如下表：x) + 0↗↘由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，又，，即.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22．（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）利用三角函数中的平方关系消去参数θ，将圆锥曲线化为普通方程，从而求出其焦点坐标，再利用直线的斜率求得直线L的倾斜角，最后利用直线的参数方程形式，即可得到直线L的参数方程．（2）设P（ρ，θ）是直线AF 2上任一点，利用正弦定理列出关于ρ、θ的关系式，化简即得直线AF2的极坐标方程．解：（1）圆锥曲线化为普通方程）所以则直线的斜率于是经过点且垂直于直线的直线l的斜率直线l的倾斜角为所以直线l参数方程，（2）直线AF2的斜率k=-，倾斜角是120°，设P（ρ，θ）是直线AF2上任一点即ρsin（120°-θ）=sin60°，化简得ρcosθ+ρsinθ=，故可知考点：曲线的极坐标方程、直线的参数方程点评：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程、直线的参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题23．（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）若，．零点分段可得不等式的解集为．精品文档8（Ⅱ）若，则据此可得【详解】（Ⅰ）若，．∴当时，，不合题意；当时，，由可解得，所以；当时，，恒成立，所以．所以不等式的解集为．（Ⅱ）若，则当时，，所以【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．精品文档9。