33.第三十三讲 数论(1) 整除
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
初等数论(1)整除
本讲中所涉及的数都是整数，所用的字母除特别申明外也都表示整数． ⑪整除设a 、b 是给定的数，0b ≠．若存在整数c ，使得a bc =，则称b 整除a ，记作b a ∣，并称b 是a 的一个约数（或因子），而称a 为b 的一个倍数．如果不存在上述的整数c ，则称b 不能整除a ，记作b a Œ．由整除的定义，容易推出整除的几个简单性质： ①若b ∣c ，且c a ∣，则b a ∣，即整除性质具有传递性． ②若b a ∣，且b c ∣，则()ba c ±∣，即某一个整数倍数的集合关于加法和减法运算封闭．反复应用这一性质，易知：若b a ∣及bc ∣，则对任意整数u 、v 有()b au cv +∣．更一般地，若1a ，2a ， ，n a 都是b 的倍数，则12()n ba a a ++ ∣． ③若b a ∣，则或者0a =，或者||a b ≥．因此，若b a ∣且a b ∣，则||||a b =．④（带余除法）对任意两个整数a 、b (0)b >，则存在整数q 和r ，使得a b q r =⋅+，其中0r b <≤，并且q 和r 由上述条件惟一确定．整数q 称为a 被b 除得的（不完全）商，数r 称为a 被b 除得的余数．r 共有b 种可能的取值，若0r =，即为前面说的a 被b 整除．易知，带余除法中的商实际上是a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（不超过ab的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：0r b <≤．⑤证明b a ∣的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积．在比较初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生．下面两个整除分解式在这类论证中应用较多． 若n 是正整数，则1221()()n n n n n n x y x y x x y xy y -----=-++++ ；若n 是正奇数，则1221()()n n n n n n x y x y x x y xy y ----+=+-+-+ ．⑫最大公约数与最小公倍数最大公约数是数论中的一个重要概念．设a 、b 不全为零，同时整除a 、b 的整数称为它们的公约数．因为a 、b 不全为零，故由整除的性质③推知，a 、b 的公约数只有有限多个，将其中最大的一个称为a 、b 的最大公约数，用符号()a b ，表示． 当()1a b =，时，即a ，b 的公约数只有1±，称a 与b 互素（或互质）．对于多于两个的不全为零的整数a ，b ， ，c ，可类似的定义它们的最大公约数()a b c ，，，．若()a b c ，，，1=，则称a ，b ， ，c 互素．但此时并不能推出a ，b ， ，c 两两互素；但反过来，若a ，b ， ，c 两两互素，则显然有()a b c ，，，1=． 由定义容易得到最大公约数的一些简单性质：任意改变a 、b 的符号和先后顺序不改变()a b ，的值，4整除即有()()()a b b a a b ±±==，，，；()a b ，作为b 的函数，以a 为周期，即()()a b a a b +=，，． 下面给出最大公约数的若干性质，它们是解决关于公约问题的基础．①设a 、b 是不全为0的整数，则存在整数x 、y ，使得()ax by a b +=，．如果00x x y y =⎧⎨=⎩是满足上式的一组整数，则00x x buy y au =+⎧⎨=-⎩（其中u 为任意整数）也是满足上式的整数．这表明，满足上式的x 、y 有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 则相应的为负（正）数．特别的，两个整数a 、b 互素的充分必要条件是存在整数x 、y ，使得1ax by +=，这通常称为a 、b 适合的裴蜀（Bezout ）等式．事实上，条件的必要性是性质①的特例．反过来，若有x 、y 使等式成立，设()a b d =，，则d a ∣且d b ∣，故d ax ∣及d by ∣，于是()d ax by +∣，即1d ∣，从而1d =． ②若m a ∣，m b ∣，则()m a b ，∣，即a 、b 任一个公约数都是它们的最大公约数的约数．③若0m >，则()()ma mb m a b =，，． ④若()a b d =，，则1a b d d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，．因此，由两个不互素的整数，可自然地产生一对互素的整数． ⑤若()1a m =，，()1b m =，，则()1ab m =，．这表明，与一个固定整数互素的整数构成的集合关于乘法封闭．由此可以推出：若()1a b =，，则对任意0k >与()1k a b =，，进而对任意0l >有()1k l a b =，．⑥设bac ∣，若()1b c =，，则b a ∣． ⑦设正整数a 、b 之积是一个整数的k 次幂(2)k ≥．若()1a b =，，则a 、b 都是整数的k 次幂．一般地，设正整数a b c ，，，之积是一个整数的k 次幂，若a b c ，，，两两互素，则a b c ，，，都是整数的k 次幂．下面介绍最小公倍数．设a 、b 是两个非零整数，一个同时为a 、b 倍数的数称为它们的一个公倍数．a 、b 的公倍数有无穷多个，其中最小的正数称为a 、b 的最小公倍数，记作[]a b ，．对于多个非零整数a b c ，，，，可类似地定义它们的最小公倍数[]a b c ，，，． ⑧a 与b 的任意公倍数都是[]a b ，的倍数．对于多于两个整数的情形，类似的结论也成立． ⑨两个整数a 、b 的最大公约数与最小公倍数满足()[]||a b a b ab =，，． 思考：对于多于两个整数的情形，类似的结论不成立，请举出例子．⑩若a b c ，，，两两互素，则有[]||a b c ab c = ，，，．由此以及性质⑧可知若ad ∣，b d ∣， ，c d ∣，且a b c ，，，两两互素，则有ab c d ∣．⑬素数及唯一分解定理大于1的整数n 总有两个不同的正约数：1和n ．若n 仅有这两个正约数（称为n 没有真约数），则称n 为素数（或质数）．若n 有真约数，即n 可表示为a b ⋅的形式（这里a 、b 为大于1的整数），则称n 为合数．于是，正整数被分成三类，数1单独作一类，素数类及合数类．素数在正整数中特别重要，我们常用字母p 表示素数．由定义易得出下面的基本结论： ①大于1的整数必有素约数．②设p 是素数，n 是任意一个整数，则或者p 整除n ，或者p 与n 互素．事实上，p 与n 的最大公约数()p n ，必整除p ，故由素数的定义推知，或者()1p n =，，或者()p n p =，，即或者p 与n 互素，或者p n ∣．③设p 是素数，a 、b 为整数．若p ab ∣，则a 、b 中至少有一个数被p 整除．特别地可以推出，若素数p 整除(1)n a n ≥，则pa ∣． ④素数有无穷多个．思考：如何证明素数有无穷多个？（提示：用反证法，假设素数只有有限多个，为12k p p p ，，，，考虑数121k N p p p =+ ，利用性质⑬．①）⑤每个大于1的正整数都可以分解为有限个素数的积；并且，若不计素因数在乘积中的次序，这样的分解是唯一的．将n 的素因数分解中的相同的素因子收集在一起，可知每个大于1的正整数n 可惟一的表示为1212k a a a k n p p p = ，其中12k p p p ，，，是互不相同的素数，12k a a a ，，，是正整数，这称为n 的标准分解．⑥n 的全部正约数为1212k b b b k p p p ，其中i b 是满足0(12)i i b a i k = ，，，≤≤的任意整数． 由此易知，若记()n τ为n 的正约数的个数，()n σ为n 的正约数之和，则有12()(1)(1)(1)k n a a a τ=+++ ，121111212111()111k a a a k k p p p n p p p σ+++---=⋅---． 虽然素数有无穷多个，但它们在自然数中的分布却极不规则．给定一个大整数，判断它是否为素数，通常是极其困难的，要作出其标准分解，则更加困难．证明某些特殊形式的数不是素数（或者给出其为素数的必要条件），是初等数论中较为基本的问题，在数学竞赛中尤为常见．处理这类问题的基本方法是应用各种分解技术，指出所涉及数的一个真约数．【例 1】 证明：⑪设0m n >≥，有22(21)1)n m+-∣(2；⑫对正整数n ，记()S n 为n 的十进制表示中各个数位数码之和，则99()n S n ⇔∣∣． ⑬设p 和q 均为自然数，使得111112313181319p q =-+--+ ，证明：p 可被1979整除．【解析】 ⑪11112222221(21)[(2)21]mn n m n n ++-++-=-+++ 122(21)(21)n m+⇒--∣，又122221(21)(21)n nn+-=-+，从而122(21)(21)nn ++-∣． 于是由整除的传递性，有22(21)1)nm+-∣(2．⑫设101010k k n a a a =⨯++⨯+ ，其中09i a ≤≤，且0k a ≠，则01()k S n a a a =+++ ．于是有1()(101)(101)k k n S n a a -=-++- ．对1i k ≤≤，由整除分解式知9(101)i -∣，故上式右端k 个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质知，它们的和也被9整除，即9(())n S n -∣．由此容易推出结论的两个方面． ⑶11111112231319241318p q ⎛⎫⎛⎫=++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111112313192659⎛⎫⎛⎫=++++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111166013196611318989990⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111197966013196611318989990⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭【点评】 整除的性质②提供了证明12()n ba a a +++ ∣的一种基本的想法，我们可以试着去证明更强的（也往往是更容易证明的）命题：1i n ∀≤≤，有i ba ∣．这一更强的命题当然不一定成立，即使在它不成立的时候，上述想法仍有一种常常有效的变通：将12n a a a +++ 适当的分组成为12k c c c ++ ，而(12)i bc i k = ，，，∣． 例1⑫的证明，实际上给出了更强的结论，9())n n S n ∀-，∣(，即()(m od 9)S n n ≡．有些情形，我们能够由正整数十进制表示中的数字的性质，推断这个整数能否被另一个整数整除，这样的结论，常称为整除的数字特征．被2、3、5、10整除的数的数字特征是显而易见的．【变式】 设1k ≥是一个奇数，证明：(2)12)k k k n n n ∀++++ ，Œ(．【解析】1n =结论显然成立．设2n ≥，记所涉及的和为A ，则 22(2)(3(1))(2)k k k k k k A n n n =++++-+++ ．因为k 是正奇数，故由整除分解式可知，对每个2i ≥，数(2)k k i n i ++-被(2)2i n i n ++-=+整除，故2A 被2n +除得的余数是2，从而A 不可能被2n +整除（注意22n +>）．【点评】 论证中我们应用了“配对法”，这是数论中变形和式的一种常用手法．【变式】 设m 、n 为正整数，2m >，证明：(21)(21)m n -+Œ． 【解析】 当n m =时，结论平凡；当n m <时，结果可由1212121n m m -++<-≤推出来（注意2m >，并运用整除的性质③）； 当n m >的情形可化为上述特殊情形：由带余除法，n mq r =+，0r m <≤，而0q >．由于21(21)221n mq r r +=-++，由整除分解式知(21)(21)m mq --∣；而0r m <≤，故由上面证明了的结论知(21)(21)m r -+Œ（注意0r =时，结论平凡）．从而当n m >时也有(21)(21)m r -+Œ．这就证明了本题结论．【例 2】 设10a m n >>，，，证明：()(11)1m n m n a a a --=-，，． 【解析】 设(11)m n D a a =--，．通过证明()(1)m n a D -，∣及()(1)m n D a -，∣来推导出()1m n D a =-，，这是数论中证明两数相等的常用手法．∵()m n m ，∣，()m n n ，∣，由整除分解式即知()(1)(1)m n m a a --，∣，以及()(1)(1)m n n a a --，∣，故可知，()1m n a -，整除(11)m n a a --，，即()(1)m n a D -，∣． 为了证明()(1)m n D a -，∣，设()d m n =，． ∵0m n >，，∴可以选择0u v >，使得mu nv d -=．∵(1)m D a -∣，∴(1)mu D a -∣．同样，(1)nv D a -∣．故()mu nv D a a -∣，从而由mu nv d -=，得(1)nv d D a a -∣． 此外，因1a >，及(1)m D a -∣，故()1D a =，，进而()1nv D a =，．于是，从()mu nv D a a -∣可导出(1)d D a -∣，即()(1)m n D a -，∣． 综上所述，可知()1m n D a =-，．【变式】 记2210kk F k =+，≥．证明：若m n ≠，则()1m n F F =，． 【解析】 论证的关键是利用(2)n m F F -∣（例1⑪），即存在一个整数x 使得2m n F xF +=．不妨设m n >，()m n d F F =，，则由存在一个整数x 使得2m n F xF +=，推出2d ∣，所以1d =或2．但n F 显然是奇数，故必须1d =．【点评】(0)k F k ≥称为费马（Fermat ）数．本变式表明，费马数两两互素，这是费马数的一个有趣的基本性质．利用这一性质，可以证明素数有无穷多个的结论．无穷数列{}(0)k F k ≥中的项两两互素，所以每个k F 的素约数与这个数列中其他项的素约数不同，因此素数必然有无穷多个．【变式】 设0m n >，，22()mn m n +∣，则m n =． 【解析】 设()m n d =，，则11m m d n n d ==，，其中11()1m n =，．于是，条件转化为221111()m n m n +∣，故有22111()m m n +∣，从而211m n ∣．但11()1m n =，，故211()1m n =，．结合211m n ∣，可知必须11m =．同理11n =，因此m n =．【点评】 对两个给定的不全为零的整数，我们常借助它们的最大公约数，并应用性质⑵－④，产生两个互素的整数，以利用互素的性质作进一步论证（参见性质⑵－⑤，⑵－⑥．就本题而言，由于mn 为二次式，22m n +为二次齐次式，上述手段的实质是将问题化归成m 、n 互素这种特殊情形．在某些问题中，已知的条件（或者已经证明的结论）c a ∣并不使用，我们可以试着选取c 的一个恰当的约束b ，并从c a ∣过度到较弱的结论b a ∣，以期望后者提供适宜于进一步论证的信息．在本例中，我们就是由221111()m n m n +∣产生了211m n ∣，进而推导出11m =．【变式】 m 个盒子中各若干个球，每一次在其中)(m n n <个盒中加一球．求证：不论开始的分布情况如何，总可按上述方法进行有限次加球后使各盒中球数相等的充要条件是()1m n =，． 【解析】 设()1m n =，，则有u v ∈Z ，使得1(1)(1)un vm v m v =+=-++，此式说明：对盒子连续加球u 次，可使1m -个盒子各增加了v 个，一个增加(1)v +个．这样可将多增加了一个球的盒子选择为原来球数最少的那个，于是经过u 次加球之后，原来球数最多的盒子中的球与球数最少的盒子中的球数之差减少1，因此，经过有限次加球后，各盒球数差为0，达到各盒中的球数相等．用反证法证明必要性．若()1m n d =>，，则只要在m 个盒中放1+m 个球，则不管加球多少次，例如，加球k 次，则这时m 个盒中共有球kn m ++1（个），因为||1d m d n d >，，，所以kn m ++1不可能是d 的倍数，更不是m 的倍数，各盒中的球决不能一样多，因此，必须()1m n =，．【例 3】 设正整数a 、b 、c 的最大公约数为1，并且abc a b=-．证明：a b -是一个完全平方数．【解析】 方法一：设()a b d =，，则1a da =，1b db =，其中11()1a b =，．由于()1a b c =，，，故有()1d c =，． 于是问题中的等式转化为1111da b ca cb =-，由此可见11a cb ∣．因11(,)1a b =，故1a c ∣． 同样可得1b c ∣．再由11(,)1a b =便推出11a b c ∣（参考性质⑵－⑧⑨）．设11c a b k =，其中k 是一个正整数．一方面，显然k 整除c ；另一方面，结合1111da b ca cb =-， 得11()d k a b =-，故k d ∣．从而()k c d ，∣．但()1c d =，，故1k =． 因此11d a b =-．故211()a b d a b d -=-=．这就证明了a b -是一个完全平方数． 方法二：记a b k -=，则已知等式可化为2()k c b b -=．记()k b c d -=，． 若1d >，则d 有素因子p ．由上式知2p b ∣，故p ∣b ．结合()p b c -∣及p k ∣，得出p c ∣及p a ∣，这与()1a b c =，，相违． 因此1d =，进而知k 与c b -都是完全平方数．【变式】 设k 为正奇数，证明：(12)(12)k k k n n ++++++ ∣．【解析】 因为(1)122n n n ++++= ，故问题等价于证明：(1)n n +整除2(12)k k k n +++ ．因n 与1n +互素，所以这又等价于证明2(12)k k k n n +++ ∣．事实上，由于k 是奇数，故由整除的分解式，可知2(12)k k k n +++= [1(1)][2(2)][(1)1]2k k k k k k k n n n n +-++-++-++ 是n 的倍数．同理，2(12)[1][2(1)][1]k k k k k k k k k n n n n ++=+++-+++ 是1n +的倍数．【点评】 整除问题中，有时直接证明b a ∣不容易．若b 可分解为11b b b =，其中12()1b b =，，则我们可以将原命题b a ∣分解为等价的两个命题1b a ∣以及2b a ∣．本例应用了这一手法．更一般地，为了证明b a ∣，可将b 分解为若干两两互素的整数12n b b b ，，，之积，而证明等价的(12)i b a i n = ，，，∣（参见性质⑵－⑩）．【例 4】 设正整数a 、b 、c 、d 满足ab cd =，证明：a b c d +++不是素数． 【解析】 方法一：由ab cd =，可设a d m c b n ==，其中m 和n 是互素的正整数，由a m c n=意味着有理数ac 的分子、分母约去了某个正整数u 后，得到既约分数mn，因此a my =，c nu =．同理，有正整数使得b nv =，d mv =．因此，()()a bcd m n u v +++=++是大于1的整数之积，从而不是素数． 方法二：由ab cd =，得cd b a=．因此a b c d +++=cd a c d a +++()()a c a d a ++=．因为a b c d +++是整数，故()()a c a d a++也是整数，若它是一个素数，设为p ，则有()()a c a d ap ++=，可见p整除()()a c a d ++，从而p 整除a c +或a d +．不妨设()pa c +∣ ，则a c p +≥，结合⑶－③推出a d a +≤，矛盾．【变式】 设a 、b 是正整数，满足2223a a b b +=+，则a b -和221a b ++都是完全平方数． 【解析】 已知关系式即为2()(221)a b a b b -++=，论证的关键是证明正整数a b -与221a b ++互素．记(221)d a b a b =-++，．若d 有素因子p ，从而由性质⑶－①知2p b ∣．因p 是素数，故p b ∣．结合()p a b -∣知p a ∣．再由(221)p a b ++∣推导出p ∣1，矛盾，故1d =． 从而由性质⑶－①推知正整数a b -与221a b ++都是完全平方数．【例 5】 证明：两个连续正整数之积不能是完全平方，也不能是完全立方． 【解析】 反证法，假设有正整数x ，y 使得2(1)x x y +=．则24(1)4x x y +=22(21)41x y ⇔+=+(212)(212)1x y x y ⇔+++-=．因左边两个因数都是正整数，故有21212121x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得0x y ==，矛盾．然而对于方程3(1)x x y +=，上面的分解方法不易奏效．采用另一种分解：设所说的方程有正整数解x 、y ，则由于x 和1x +互素，而它们的积是一个完全立方数，故x 与1x +都是正整数的立方，即3x u =，31x v +=，y uv =，u 、v 都是正整数，由此产生331v u -=，易知这不可能．不难看到，用类似的论证，可以证明连续两个正整数之积不会是整数的k 次幂（这里2k ≥）．【变式】 给定的正整数2k ≥，证明：连续三个正整数的积不能是整数的k 次幂． 【解析】 假设有正整数2x ≥及y ，使得(1)(1)k x x x y -+=．注意到上述式子左端的三个因数1x -、x 、1x +并非总两两互素，因此不能推出它们都是k 次方幂．克服这个困难的一种方法是将其变形为2(1)k x x y -=．因x 和21x -互素，故可由上式推出，有正整数a 、b ，使得k x a =，21k x b -=，ab y =，由此我们有221()k k k k a b a b =-=-22224221()()k k k k a b a a b a b b ----=-++++ ，由于2x ≥，故2a ≥，又2k ≥，故上式后一个因数必大于1，导出矛盾．【点评】 实际上，连续四个正整数的积也不能是整数的k 次幂，由于证明需要使用二项式定理，所以将在以后介绍．【例 6】 （09年集训队测试题）设n 是一个合数．证明存在正整数m ，满足|m n ，m n 3()()d n d m ≤．这里()d k 表示正整数k 的正约数的个数．【解析】 若n 有一个素因子p 满足p n ＞，令nm p=，则有m n ＜由p n ＞知()1m p =，，因此()()()2()d n d p d m d m ==．又由n 是合数知1m ＞，即()2d m ≥．因此2()()d n d m ≤．现在设n n 1m 为n n 2m 为1nm 的不n 21m ＞． 若不然，则1n m 没有大于1n 1n m 是合数，则它在区间1(1]n m ，内至少有一个因子，矛盾！因此1nm 是素数．但前面已假设n 的所有素因子都不大于n ，又1n n m n =1n n m =2m n 21m =矛盾！由21m ＞知121m m m ＞，且12m m 是n 的因子，由1m 的选取可知12m m n ＞，因此令312nm m m =，则有(123)i m n i =，，．因此，333123123123()()()()()max{()()()}d n d m m m d m d m d m d m d m d m =≤≤，，，故取123m m m ，，中因子数最多的一个为m 即可． 【点评】 以上用到一个基本的事实：若u v ，为正整数，则()()()d uv d u d v ≤，这可用数()d x 的计算公式推出来．【变式】 求出最小的正整数n ，使其恰有144个不同的正约数，且其中有10个连续约数．【解析】 从n 有10个连续正约数条件出发，我们不难得到n 必须被23410 ，，，，整除，对n 进行质因数分解进行讨论．n 是322357，，，的倍数，设n 的标准分解式为312235k r r r r k n p = ，则 12343211r r r r ，，，≥≥≥≥．又n 的正约数的个数12()(1)(1)(1)144k d n r r r =+++= ，而 1234(1)(1)(1)(1)432248r r r r ++++⨯⨯⨯=≥，因此 56(1)(1)(1)3k r r r +++ ≤．所以，在56k r r r ，，，中最多还有一个不为0． 要使n 最小，则5502k r =，≤≤．于是n 的形式为 35124235711r r r r r n =，此处12345321102r r r r r ，，，，≥≥≥≥≤≤．从而有1234(1)(1)(1)(1)144r r r r ++++=或12345(1)(1)(1)(1)(1)144r r r r r +++++=．显然当12345r r r r r ≥≥≥≥时，n 最小．由144222233=⨯⨯⨯⨯⨯，试算满足上式的数组12345()r r r r r ，，，，，得数组(52111)，，，，可使n 最小．这样，最小的52235711110880n =⨯⨯⨯⨯=．习题 1. 证明：⑪2001001 共能被1001整除； ⑫设正整数n 的十进制表示为10k n a a a = （090i k a a ≠，≤≤），记 01()(1)k k T n a a a =-++- （由n 个各位起始的数字的正、负交错和）． 证明：()n T n -被11整除．由此得出被11整除的数的数字特征：11整除n 的充分必要条件是11整除()T n ．【解析】 ⑪2001001 共201101=+367(10)1=+33663653(101)[(10)(10)101]=+-+-+ ，所以 1001∣2001001 0． ⑫()n T n -=0011()(10)[10(1)]k k k k a a a a a a -++++⨯-- ．按i 为偶数、奇数分别用整除分解式可以得到数10(1)i i i i a a ⨯--被11整除．因此()n T n -被11整除，故问题中结论的两方面均成立．习题 2. 利用Bezout 等式证明，任给整数n ，分数214143n n ++是既约分数．【解析】 ∵3(143)2(214)1n n +-+=，∴(214,143)n n ++1=．所以原命题成立．习题 3. 证明：对任意给定的正整数1n >，都存在连续n 个合数． 【解析】 容易验证，(1)!2,(1)!3,(1)!(1)n n n n +++++++ 是n 个连续的合数．习题 4. 求自然数N ，使它能被5和49整除，并且包括1和N 在内，它共有10个约数．【解析】 把N 写成素因数分解形式1223n a a a n N p = ，其中012i a i n = ，，，，≥． 则它所有约数的个数为12(1)(1)(1)10n a a a +++= ， 由于25|7|N N ，，则34121a a ++，≥≥3， 因此125n a a a a ，，，，必然都为0，即3457a a N =． 由于34(1)(1)1025a a ++==⨯，可得3414a a ==，， 即本题有唯一解457N =⋅．习题 5. 求所有的正整数对()a b ，，使得22(7)|()ab b a b a b ++++． 【解析】 由条件，22(7)|()ab b a b a b b ++++，而222()(7)7a b a b b a ab b b a ++=+++-，故22(7)|(7)ab b b a ++-．⑴当270b a ->时，要使22(7)|(7)ab b b a ++-，必须2277b a ab b -++≥，易知这不可能； ⑵当270b a -=时，即27b a =，此时a b ，应具有277*a k b k k ==∈N ，，的形式，经检验， 2()(77)a b k k =，，满足要求；⑶当270b a -<时，要使22(7)|(7)ab b b a ++-，必须2277a b ab b -++≥，那么2222777a b ab b ab b +++>⇒<≥，于是1b =或2b =．①1b =时，由题中条件2157788a a a a a ++=-+++是自然数，可知11a =或49a =，得解 ()(111)a b =，，或(491)，；②2b =时，由22(7)|(7)ab b b a ++-得7449a a -+是自然数，而74249a a -<+，所以74149a a -=+，此时133a =非自然数，舍去． 综上，所有解为2()(111)(491)(77)*a b k k k =∈N ，，，，，，，．建国60周年(四)我古老而年轻的祖国啊，我是你广袤大地上一棵稚嫩的幼苗，摇曳在你温暖呵护的怀抱，我是你无垠天空中一只飞翔的小鸟，鸣唱在你春风和煦的心头，我的血管里，涌动着黄河的波浪，我的心灵里，开放着文明的鲜花，我心中的理想，正展现在祖国蔚蓝的天空里。
数论的整除性与同余定理
数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。
本文将围绕这两个概念展开详细讲解。
整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。
如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。
整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。
数的整除性有很多有趣的性质。
首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。
即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。
2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。
3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。
这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。
比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。
这个结论有时被称为“整除与传递”。
它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。
在数论中，同余定理是另一个重要的概念。
同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。
如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。
同余关系也具有一些有趣的性质。
同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。
下面分别进行详细介绍。
1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。
也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。
2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。
也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。
3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。
数的整除知识点范文
数的整除知识点范文数的整除是数学中一个重要的概念和知识点，它在数论、代数、几何等领域都有广泛的应用。
本文将详细讨论数的整除的定义、性质、判定方法以及一些常见的相关概念和定理。
一、整除的定义和性质在数学中，如果一个整数a能够被另一个整数b整除（即a能够被b整除），则称a是b的倍数，b是a的约数。
用数学符号表示为：如果a是b的倍数，则记作b，a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
如果a不能被b整除，则记作b∤a，读作“b不整除a”或“a不能被b整除”。
整除具有以下几个基本的性质：1.对于任意整数a，a，a（即一个数能够整除它自身）。
2.如果a，b且b，c，则a，c（即如果a能够整除b，b能够整除c，那么a可以整除c）。
3.对于任意整数a，1，a且a，a（即1能够整除任何数，任何数整除它本身）。
4.如果a，b且b≠0，则，a，≤，b，（即如果一个数能够整除另一个非零数，那么它的绝对值要小于等于另一个数的绝对值）。
二、整除的判定方法和性质1.朴素整除判定法：要判断一个数a是否能够被另一个数b整除，可以用以下方法：（1）求出a的所有约数；（2）判断b是否为a的约数之一这种方法的时间复杂度是O(a)。
2.整除的性质：（1）如果a，b且a，c，则a，(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
（2）如果a，b且a，c，则a，(b±c)。
（3）如果a，b且a，(b±c)，则a，c。
三、相关概念和定理1. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是指整数a和b的最大正约数，记作gcd(a, b)；最小公倍数是指整数a和b的最小正倍数，记作lcm(a, b)。
两者满足以下性质：（1）gcd(a, b) = gcd(b, a)；（2）如果a能够整除b，则gcd(a, b) = ，a；（3）gcd(a, b) * lcm(a, b) = ，a * b。
2.质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地分解为若干个质数的乘积。
初等数论 第一章 整除
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数论的基本内容
按照研究方法的不同，数论可分为
初等数论 解析数论 代数数论 几何数论
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参考书目
1、南基洙主编《初等数论》； 2、柯召、孙琦编著《数论讲义》，高等教育 出版社； 3、闵嗣鹤、严士健编《初等数论》，高等教 育出版社； 4、郑克明主编《初等数论》，西南师范大学 出版社。
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定理5 鸽巢原理
设n是一个自然数.现有n个盒子和n+1个物体. 无论怎样把这n+1个物体放入这n个盒子中， 一定有一个盒子中被放了两个或两个以上的 物体。
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§2 整除
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定义1
设a，b是整数，a 0，如果存在整数q， 使得b = aq，则称b可被a整除，记作ab ， 且称b是a的倍数，a是b的约数(因数、除数)； 如果不存在整数q使得b = aq成立，则称b不被
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定理 9
(a1 , a2 , , ak) = 1的充要条件是存在整数x1, x2 , , xk ，使得a1x1 a2x2 akxk = 1. 充分性 若式(1)成立，如果 (a1 , a2 , , ak) = d > 1，那么由dai（1 ≤ i ≤ k）推出 d a1x1 a2x2 akxk = 1，这是不可能的. 所以有(a1, a2, , ak) = 1 . 证毕 .
最大公因数与最小公倍数
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数论1—数的整除
第一讲——数的整除基本概念自然数：像“0、1、2、3、4、……”这样的数叫做自然数。
整数：像“—1、—2、0、1、2……”这样的数叫做整数。
除尽：两个数的商不是无限小数。
比如5÷2=2.5整除：两个数的商是整数。
除尽和整除不一样一、整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a 不能被b整除，（或b不能整除a），记作b┾a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
注：因数和倍数只在非零自然数范围内研究。
零是任何数的倍数。
二、数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
三、数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
数论第一章 整除理论
第一章整除理论整除性理论是初等数论的基础。
本章要介绍带余数除法，辗转相除法，最大公约数，最小公倍数，算术基本定理以及它们的一些应用。
第一节数的整除性定义1设a，b是整数，b≠ 0，如果存在整数c，使得a = bc成立，则称a被b整除，a是b的倍数，b是a的约数（因数或除数），并且使用记号b∣a；如果不存在整数c使得a = bc成立，则称a不被b 整除，记为b|/a。
显然每个非零整数a都有约数±1，±a，称这四个数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
被2整除的整数称为偶数，不被2整除的整数称为奇数。
定理1下面的结论成立：(ⅰ) a∣b⇔±a∣±b；(ⅱ) a∣b，b∣c⇒a∣c；(ⅲ) b∣a i，i = 1, 2, , k⇒b∣a1x1+a2x2+ +a k x k，此处x i（i = 1, 2, , k）是任意的整数；(ⅳ) b∣a ⇒bc∣ac，此处c是任意的非零整数；(ⅴ) b∣a，a≠ 0 ⇒ |b| ≤ |a|；b∣a且|a| < |b| ⇒a = 0。
证明留作习题。
定义2若整数a≠ 0，±1，并且只有约数±1和±a，则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指正素数。
定理2任何大于1的整数a都至少有一个素约数。
证明 若a 是素数，则定理是显然的。
若a 不是素数，那么它有两个以上的正的非平凡约数，设它们是d 1, d 2, , d k 。
不妨设d 1是其中最小的。
若d 1不是素数，则存在e 1 > 1，e 2 > 1，使得d 1 = e 1e 2，因此，e 1和e 2也是a 的正的非平凡约数。
这与d 1的最小性矛盾。
所以d 1是素数。
证毕。
推论 任何大于1的合数a 必有一个不超过a 的素约数。
证明 使用定理2中的记号，有a = d 1d 2，其中d 1 > 1是最小的素约数，所以d 12 ≤ a 。
数论讲义一：整除
数论讲义一：整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题。
Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合。
我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数。
由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性。
定理一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数。
若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为。
否则，| 。
任何的非的约数，叫做的真约数。
0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数。
任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数。
由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立。
（4）若。
因此，若。
（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个。
特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数。
（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数。
（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数。
（10）二项式定理：；；经典例题：一、带余除法1．若是形如的数中最小的正整数，求证：；分析：利用带余除法，设2．为质数，，证明：被整除；分析：利用带余除法处理，可以设，再来表示二．若3．设和为自然数，使得被整除，证明：分析：根据恒等式4．为给定正整数，对任意，都有，证明：；分析：注意到，对任意，有三、利用牛顿二项式定理；；5．设都是正整数，，且，证明：；分析：首先由，而，讨论的奇偶性6．已知，定义，证明：；分析：当时，四、配对思想7．设为奇数，证明：；分析：由于，这些数的分子都是，分母都小于，因此想到用配对法做此题；五．反证法8．设，，而是一个不小于的正整数，证明：存在整数，使得；整除作业一1．设为有理数，为最小正整数，使得是整数，如果与是整数，证明：。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
数论中的整除与同余概念
数论中的整除与同余概念整除和同余是数论中的重要概念。
整除指的是一个数被另一个数整除，也就是能够整除有余数为零的关系。
同余则是指两个数除以同一个数所得的余数相等。
这两个概念在数论中有着广泛的应用和深入的研究。
首先，我们来讨论整除的概念。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得b=c*a，我们就说a整除b，记作a|b。
即b能够被 a 整除而没有余数。
整除是一个基本的数学运算，我们通过它可以判断两个数的倍数关系。
例如，如果a|b且a|c，那么我们可以得到a|(b+c)和a|(b-c)。
这是因为有整数d和e，使得b=d*a，c=e*a。
那么b+c=(d+e)*a，b-c=(d-e)*a，它们都可以被a整除。
正是因为整除的这些性质，我们能够通过对整数的整除关系进行研究，揭示整数之间的规律。
整除在数论中扮演着重要的角色，例如在质数的研究中，整除是一个关键概念。
质数指的是除了1和自身外没有其他因数的数，也就是只能被1和自身整除的数。
例如，2、3、5、7等都是质数。
对于一个数n，我们可以通过判断是否有除了1和n外的其他因数来判断n是否为质数。
这个思想就是质数检验的基础。
接下来，我们来深入讨论同余的概念。
给定两个整数a和b，如果它们除以一个正整数m所得的余数相等，即(a-b)能被m整除，我们就说a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系是模m下的一种等价关系，也就是说它满足以下性质：1. 自反性：对于任意的整数a，a≡a(mod m)。
2. 对称性：对于任意的整数a和b，如果a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)。
3. 传递性：对于任意的整数a、b和c，如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)。
同余关系的一个重要应用是在时钟和日历的计算中。
例如，我们常使用12小时制的时钟，它的小时数是以0到11表示的。
那么如果现在是下午8点，过了6个小时后是几点呢？我们可以通过同余的概念来解决这个问题。
整除重点知识点总结
整除重点知识点总结一、整除的概念1. 整除的定义：如果一个整数a除另一个整数b（且b≠0）的商仍为整数，那么我们说a 能被b整除，记作b|a。
即$a\%b=0$2. 被除数、除数、商、余数：（1）被除数：被除数是指被除数的整数（2）除数：除数是指除数的整数（3）商：商是指商的整数（4）余数：当被除数能被除数整除时，商为整数，余数为零当被除数不能被除数整除时，商不为整数，余数不为零二、整除的性质1. 0的整除性：0是任何整数的倍数。
2. 正整数的整除性：（1）整数c能被整数a、b整数：若c既能被a整数，又能被b整数，则c能被a，b的最小交集整数整除。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
3. 负整数的整除性：（1）整数c能被整数a整数：若c能被a整数，c能被-a、-b整数。
（2）整除的传递性：若a能被b整数，b能被c整数，则a能被c整数。
三、整除的判断方法1. 用倍数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的倍数（倍数是指数字b 的n倍，n是整数）。
2. 用因数表示：若整数a能被整数b整数，则整数a是整数b的因数（因数是指a能被整数b整数）。
3. 用除法表示：若整数a能被整数b整数，则整数a÷整数b=商。
若商是整数，则整数a 能被整数b整数。
四、整除的应用1. 整数的奇偶性判断：一个数能够被2整数，称为偶数；一个数不能被2整数，称为奇数。
2. 整数的哪些整除：（1）整数判断：整数5能被整数2整数，因为5÷2=2余1；整数3不能被整数2整数，因为3÷2=1余1。
（2）一元一次方程：整数代表数的值，整除代表数的比值。
五、整除的解题方法1. 整除的运算规则：整除的加减乘除法规则。
2. 整数的乘法和除法：整数的乘法、整数的除法。
3. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
4. 整数的乘法和除法法则：整数的乘法、整数的除法法则。
解整分是整数中的一个重要知识点，通过综合上述知识点的学习，我们可以更好地应用整除知识解决实际问题，提高数学解题的能力。
备课讲解数论中的整除与同余
备课讲解数论中的整除与同余数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和关系。
在数论中，整除和同余是重要且常见的概念。
本文将详细介绍整除与同余的定义、性质以及应用。
一、整除的定义与性质整除是数论中最基本的概念之一，它描述的是一个整数是否能够被另一个整数整除。
具体来说，如果整数a能被整数b整除，则称a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
1. 整除的传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
这是整除关系的一个重要性质，可以简单地通过数学归纳法证明。
2. 整除的性质：对于任意的整数a和b，有以下性质成立：（1）a|a，即任何整数都能被它自身整除；（2）1|a，即任何整数都能被1整除；（3）如果a|b且b|c，则a|c，即整除关系满足传递性；（4）如果a|b且a|c，则a|(bx+cy)，其中x和y为任意整数。
3. 整数的因子与倍数：如果a能被b整除且a≠b，则b称为a的因子，a称为b的倍数。
例如，4能被2整除，2是4的因子，4是2的倍数。
二、同余的定义与性质同余是数论中另一个重要的概念，它描述的是两个整数在除以同一个数后得到相同的余数。
具体来说，如果两个整数a和b除以正整数m得到的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
1. 同余的性质：对于任意的整数a、b和正整数m，有以下性质成立：（1）自反性：a≡a(mod m)；（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；（3）传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；（4）同余关系的加减法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)；（5）同余关系的乘法：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2. 同余类：对于给定的正整数m，每个整数a都与某个在0到m-1之间的整数对应。
数论中的整除性质与除法算法
数论中的整除性质与除法算法数论是数学的一个分支，研究的是整数的性质和它们之间的关系。
在数论中，整除性质是一个非常重要的概念，它与除法算法密切相关。
本文将介绍数论中的整除性质和除法算法，并探讨它们在数学和实际应用中的意义。
一、整除性质在数论中，我们使用符号“|”表示整除关系。
如果一个整数a除以另一个整数b，得到的商为整数且余数为0，我们就说a可以被b整除，记作b|a。
例如，4|12表示4可以被12整除。
整除性质有以下几个重要性质：1. 传递性：如果a|b且b|c，那么a|c。
这表示如果一个整数可以整除另外两个整数，则它也可以整除它们的乘积。
2. 反对称性：如果a|b且b|a，那么a=b或a=-b。
这表示如果两个整数互相整除，则它们必须相等或相反。
3. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的线性组合。
4. 整除的性质：如果a|b且a|c，那么a|(b±c)，其中±表示加法或减法。
这表示如果一个整数同时整除两个整数，则它也可以整除它们的和或差。
二、除法算法除法算法是从给定的被除数和除数中计算商和余数的方法。
在数论中，我们常用的算法有两种：带余除法和终止除法。
1. 带余除法带余除法是最基本的除法算法，它描述了如何计算商和余数。
给定两个整数a和b（b≠0），我们要找到整数q和r，使得a=bq+r，其中0≤r<|b|。
带余除法的步骤如下：步骤1：令r=a。
步骤2：找到一个整数q，满足0≤r<|b|。
步骤3：计算商q和余数r。
例如，我们要计算15÷4的商和余数：步骤1：令r=15。
步骤2：找到一个整数q，使得0≤r<4。
我们找到的q=3。
步骤3：根据商q和余数r，计算15÷4的商为3，余数为3。
2. 终止除法终止除法是一种更高效的除法算法，它使用整除性质来求解商和余数。
关于整除的证明及判别法
关于整除的证明及判别法整除是数学中常用的概念，关于整除的证明及判别法常被用于解决数论中的问题。
整数除法是一种基本的运算，整除就是能够整除的意思。
下面将详细介绍关于整除的证明及判别法。
首先，整除的定义是：对于两个整数a和b，如果存在另一个整数k，使得a=k*b，则称a能够整除b，a称为b的约数，b称为a的倍数。
我们用a，b来表示a能够整除b，即b是a的倍数。
整除的证明可以通过两个方面进行：一是使用定义进行证明，二是使用整除的性质进行证明。
首先，根据整除的定义，我们可以通过证明k的存在性来证明a能够整除b。
要证明a能够整除b，我们可以假设k=a/b，然后证明k是整数。
我们可以通过求解a/b的商和余数来证明这一点。
假设a/b的商是q，余数是r，即a/b=q+r/b。
我们可以将两边同时乘以b，得到a=qb+rb。
显然，左边是整数a，右边是qb和rb的和。
因此，如果r=0，则a=qb，即a能够整除b。
所以，我们只需要证明r=0，即可证明a能够整除b。
我们可以假设r≠0，即r>0。
由于r是余数，所以0≤r<b。
然后我们将a写成a=qb+rb，其中0≤r<b。
因为a是整数，qb是整数，所以rb也是整数。
但是这与假设r>0相矛盾。
因此，我们得出结论r=0，即a能够整除b。
此外，还可以通过整除的性质进行证明。
整除有以下性质：1.如果a能够整除b，b能够整除c，则a能够整除c。
2.如果a能够整除b，a能够整除c，则a能够整除b+c。
3.如果a能够整除b，a能够整除c，则a能够整除b-c。
4. 如果a能够整除b和c，a能够整除x和y，则a能够整除bx+cy。
通过这些性质，我们可以进行连续的整除运算，从而证明整除关系。
例如，假设a能够整除b，b能够整除c，那么根据第一个性质，a能够整除c。
同样地，可以通过应用其他性质来继续证明整除关系。
除了上述的证明方法外，还有一些整除的判别法可以用来判断整数是否能够整除。
小学奥数题库《数论》整除-整除的基本概念-1星题(含解析)
数论-整除-整除的基本概念-1星题课程目标知识提要整除的基本概念•定义如果整数a除以整数b（b≠ 0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b∣a．注意：如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不能整除a．•整除的性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
精选例题整除的基本概念1. 再过12天就到2016年了，昊昊感慨地说：我到目前只经过2个闰年，并且我出生的年份是9的倍数，那么2016年昊昊是岁．【答案】9【分析】根据题意“我到目前只经过2个闰年”可得我的出生年份在2005 2008,这之间只有2007是9的倍数，则昊昊是2007年出生，则2016年昊昊是2016−2007=9岁.2. 若六位数201ab7能被11和13整除，则两位数ab=．【答案】48【分析】由11的整除特征可知：(7+a+0)−(2+1+b)=a+4−b=0或11,若a+4−b=11,a−b=7,只有8−1=9−2=7,六位数201817、201927都不能被13整除．若a+4−b=0,则a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情况，构成的六位数201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，则ab=48．3. 一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为20110101．如果2011年最后一个能被101整除的日子是2011ABCD，那么2011ABCD是多少？【答案】20111221【分析】试除法得出答案：20111231÷101=199121⋯⋯10，31−10=21，所以ABCD=1221．4. 若4b+2c+d=32，试问abcd能否被8整除？请说明理由．【答案】见解析．【分析】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可．bcd=100b+10c+d，有bcd−(4b+2c+d)=96b+8c=8(12b+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8整除，所以abcd能被8整除．。
数的整除认识整除概念
数的整除认识整除概念整数是我们日常生活中经常接触到的一种数，而整除也是我们在学习数学时常常遇到的一个概念。
整除是指一个数能够整除另一个数，也就是说被除数除以除数得到的商是整数，没有余数。
在本文中，我们将详细介绍整除的概念和相关性质。
一、整除的定义在数学中，如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么我们称a是b的倍数，b是a的约数，同时也可以说b整除a，记作b|a。
如果一个整数a不是b的倍数，那么我们称a不能被b整除，记作b∤a。
二、整除的基本性质1. 任何整数a都可以整除自身，即a|a。
2. 对于任何整数a，0都可以整除它，即0|a。
3. 任何整数a都可以整除0，即a|0，但除数不能为0。
4. 如果a|b，且b|c，那么a|c。
即如果a能整除b，b能整除c，那么a一定能整除c。
5. 如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
即如果a能整除b和c，那么a一定能整除它们的线性组合。
三、整除的性质证明对于整除的性质，我们可以通过数学推理和举例来进行证明。
以下是两个具体的例子。
例1：证明：如果a|b，且a|c，那么a|(bx+cy)，其中x和y是任意整数。
解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；a|c表示存在整数m，使得c=am。
那么bx+cy=(ak)x+(am)y=a(kx+my)，其中kx+my也是一个整数。
因此a能整除bx+cy，即a|(bx+cy)。
例2：证明：如果a|b，且b|c，那么a|c。
解：根据整除的定义，a|b表示存在整数k，使得b=ak；b|c表示存在整数m，使得c=bm。
将b代入第二个等式中，得到c=(ak)m=a(km)，其中km也是一个整数。
因此a能整除c，即a|c。
由例子的证明可以看出，整除的相关性质是可以通过严格的数学推理进行证明的，这些性质在解决数学问题和数学推理中起着重要的作用。
四、整除的应用整除的概念在数学中是非常重要的，它在整数的因子和倍数、整数的性质分析以及数的约简等方面都有广泛的应用。
数论第一章--整除
数的整除性定义 设,a b Z ∈，0b ≠，如果存在c Z ∈，使得a bc =成立，则称b 整除a ，记作b a ；不然，则称b 不整除a ，记作|b a /．每个非零整数a 都有约数1，1-，a ，a -，这4个数称为a 的平凡约数，a 的其他的约数称为非平凡约数．性质 （1）a b a b ⇒±±； （2）a b ，b c a c ⇒； （3）1122(1,2,,)i k k b a i k b a x a x a x =⇒+++（其中i x 是任意整数）； （4）b a bc ac ⇒（其中c 是任意的非零整数）； （5）b a ，0a b a ≠⇒≤； （6）b a ，0a b a <⇒=．1.已知,,,,a b c d t Z ∈，且10t a b -，10t c d -．求证：t ad bc -．2.设,a b 是两个给定的非零整数，且有整数,x y ，使得1ax by +=．求证：若a n ，b n ，则ab n ．3.已知,,,a b c d Z ∈，且a c ab cd -+．求证：a c ad bc -+．4.证明：设a 是奇数，若2a n ，则a n ．5.证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，若d b c -，则()()d f b f c -．6.已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有多少个？7.已知6a b c ++，求证：3336a b c ++．8.已知n 为大于2的整数，求证：5312054n n n -+．素数与合数定义 若整数0,1a ≠±，并且只有约数1±，a ±，则称a 是素数（或质数）；不然，则称a 为合数．注意：①素数也称为不可约数，它总是指正整数；②由定义知，全体整数可以分为1、素数、合数三大类．定理 （1）任何大于1的整数a 都至少有一个素约数；（2）如果a 是大于1的正整数，则a 的大于1的最小约数必为素数；（3）任何大于1的合数a（4）素数有无穷多个； （5）设12{,,,}k A d d d =是n 的所有约数的集合，则12{,,,}kn nnB d d d =也是n 的所有约数的集合．1.若n 是奇数，则281n -．2.以()d n 表示n 的正约数的个数，例如(1)1d =，(2)(3)2d d ==，(4)3d =等等，问20151()k d k =∑是否为偶数？3.设1(1,2,,)a Z i n ∈=，且120n a a a +++=，12n a a a n =，则4n ．4.求三个素数，使得它们的积为和的5倍．5.若n 是合数，则n 位数111n 个也是合数．6.设a 是自然数，问4239a a -+是素数还是合数？7.设p 是n 的最小素约数，11,1n pn n =>．证明：若p 1n 是素数． 8.证明：存在无穷多个正整数a ，使得4(1,2,)n a n +=对任意正整数n 都是合数．带余除法定理 若,a b 是两个整数，且0b >，则存在两个整数q 及r ，使得(0)r a q b r b =≤<+成立，且q 和r 是唯一的．式子中，q 称为a 被b 除的商，r 称为a 被b 除的余数．1.任给的5个整数中，必有3个数之和能被3整除．2.设01,,,n a a a Z ∈，10()n n f x a x a x a =+++．已知(0)f 与(1)f 都不是3的倍数．证明：若方程()0f x =有整数解，则3(1)f -．3.设223a b +．证明：3a ，且3b ．4.证明：对于任何整数,m n ，等式222(1)2n n m ++=+不可能成立．5.已知n 是整数．证明：3(1)(21)n n n ++．6.证明：形如31n -的数不可能是完全平方数．7.已知2229a b c ++．则229a b -或229b c -或229c a -．8.若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数，,a b 是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则00()ax by +|()ax by +，其中,x y 是任意整数．定义 整数12,,,(2)k a a a k ≥，若整数d 是它们中每一个数的因数，那么d 就叫做12,,,k a a a 的一个公约数．整数12,,,k a a a 的公因数中最大的一个叫做最大公因数（或最大公约数），记作12(,,,)k a a a ．若12(,,,)1k a a a =，就说12,,,k a a a 互质或互素；若诸(,)1i j a a =，即12,,,k a a a 中每两个整数都互素，就说它们两两互素．性质 （1）1212(,,,)(,,,)k k a a a a a a =；（2）(,1)1a =，(,0)a a =，(,)a a a =； （3）(,)(,)a b b a =；（4）若p 是素数，a 是整数，则(,)1a p =或p a ； （5）若a pb r =+，则(,)(,)a b b r =． 定理 设,a b 是任意两个不全为零的整数．（1）若m 是任意一个正整数，则(,)(,)am bm a b m =； （2）若δ是,a b 的任意一个公约数，则(,)(,)a b a b δδδ=．特别地，(,)1(,)(,)a ba b a b =． 1.证明：若*n N ∈，则214143n n ++是既约分数．2.设,a b 是整数，且229a ab b ++，则3(,)a b ．3.证明：2121|212n n ++/，n Z ∈．4.证明：若(,4)(,4)2a b ==，则(,4)4a b +=．5.证明：若(,)1a b =，c a b +，则(,)(,)1c a c b ==．6.证明：从任意5个互素的三位数中，总能选出4个数是互素的．定义 整数12,,,n a a a 的公共倍数称为12,,,n a a a 的公倍数，12,,,n a a a 的正公倍数中最小的一个叫做12,,,n a a a 的最小公倍数，记作12[,,,]n a a a ．性质 （1）[,1]a a =，[,]a a a =； （2）[,][,]a b b a =； （3）1212[,,,][,,,]n n a a a a a a =；（4）若a b ，则[,]a b b =．定理 （1）对任意的正整数,a b ，有[,](,)aba b a b =； （2）设,,m a b 是正整数，则[,][,]ma mb m a b =； （3）若12,,,n a a a 是()2n n ≥个正整数，记122[,]a a m =，233[,]m a m =，…，211[,]n n n m a m ---=，1[,]n n n m a m -=，则12[,,,]n n a a a m =．1.设,,a b c 是正整数，则[,,](,,)abca b c ab bc ca =．2.设,a b 是正整数，则[,]()[,]a b a b a b a b +=+．3.设,a b 是正整数，证明：[,](,)a b a b a b =⇔=．4.证明：[,,](,)(,)(,)1a b c abc a b b c c a =⇔===．5.证明：设(,)1m a =，则(,)(,)m ab m b =．6.证明：若0a >，(,)1b c =，则(,)(,)(,)a bc a b a c =．辗转相除法定义 设a 和b 是整数，0b >，依次做带余除法：111(0)a bq r r b =+<<， 12221(0)b rq r r r =+<<，……211(0)n n n n n n r r q r r r ---=+<<， 1111(0)n n n n n r r q r r -+++=+=，且12110n n n b r r r r r -+>>>>>>=，则 111(,)(,)(,)(,)(0,)n n n n n n a b r b r r r r r r -+======，这一组带余除法叫做辗转相除法．定理 （1）若a 和b 是任意两个非零整数，则存在整数,x y ，使得(,)ax by a b +=成立；（2）若a 和b 是任意两个非零整数，则a 与b 互素⇔存在整数,x y ，使得1ax by +=成立．1.求(12345,678)，(169,121)，(1859,1573)-，(221,391,136)．2.求(125,17)，以及,x y 使得12517(125,17)x y +=．算术基本定理定理 （1）设a 是任意一个大于1的整数，则a 的除1以外最小正因数q 是一个素数，并且当a 是合数时，q ≤（2）若p 是一素数，a 是任一整数，则a 能被p 整除或p 与a 互质； （3）设12,,,n a a a 是n 个整数，p 是素数，若12n p a a a ，则p 一定能整除某一个i a ；（4）任何大于1的正整数a 可以写成素数之积，即12n a p p p =，其中诸ip 皆为素数；（5）算术基本定理：任何大于1的正整数a 可以唯一地表示成1212n n a p p p ααα=，其中诸i p 皆为素数，12n p p p <<<，诸i α皆为正整数．我们称1212n n a p p p ααα=是a 的标准分解式．由此可知a 的不同的正约数个数等于12(1)(1)(1)n ααα+++．推论1：设a 是一个大于1的整数，且1212n n a p p p ααα=，(1,2,,)i i n α=是正整数，则a 的正因数d 可以表示成1212n n d p p p βββ=（,1,2,,i i i n αβ≥=）的形式。
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第三十三讲数论(1)
整除
知识点汇总：
例题练习：
1、如果(a＋2b)是7的倍数，求证：(3a－b)也是7的倍数。
(a、b都是自然数)
【举一反三】
A和275B相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A和B。
两个四位数275
2、用1、2、
3、4(每个数恰用一次)组成的四位数中，其中共有多少个能被11整除？
【举一反三】
六位数2009W W能被99整除，它的最后两位数是多少？
3、图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数
填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A的末尾共有多少个0？Array
4、黑板上写着一个形如777…77的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘以3，然后再
加上刚才擦掉的数字。
对所得的新数继续这样操作下去，证明：最后必获得数7。
5、0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个是______。
【本讲重要内容回顾】
小试牛刀
1．牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上。
但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“678 ”，其中方框表示被烧出的洞。
牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。
请问：这45名工人的总工资有( )种可能？
2．如果87654321W W 能被36整除，那么这个数末尾两位数字和最小是多少？
3．右图中依次排列的5个数是13、12、15、25、20。
它们每相邻的两个数相乘得4个数。
这4个数每相邻的两个数相乘得3个数。
这3个数每相邻的两个数相乘得2个数。
这两个数相乘得1个数A 。
请问：最后这个数从个位起向左数，可以连续地数出几个零？
4．一个4位数，把它的个位数字移到最左端构成一个新的4位数。
已知这两个4位数的和是以下4个数的一个，这两个4位数的和到底是多少？
5．如果2008
2008200820080202n L 144424443
个能被11整除，那么n 的最小值是多少？。