2015年春季新版苏科版九年级数学下学期7.6、用锐角三角函数解决问题同步练习7
苏科版九年级数学下册 第7章 7.6 《用锐角三角函数解决问题》同步测试题
真情提示：题号得分轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向10A.海里A.5.2mB.6.8mC.9.4mD.17.2m二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分，）30∘10011. 已知某人沿着坡角是的斜坡前进了米，则他上升的高度是________米．1:2612. 在坡度为的山坡上种树，如果相邻两树间的水平距离是米，那么斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．AH=6AB i=3:413. 如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高米，背水坡的坡度，则斜坡AB的长为________米．AB C A30∘10D14. 如图河对岸有一古塔，小敏在处测得塔顶的仰角为，向塔前进米到达，D A45∘在处测得的仰角为，则塔高为________米．B C A∠ABC=45∘∠ACB=45∘15. 如图，、是河岸边两点，是对岸岸边一点，测得，，BC=60 m A BC m，则点到对岸的距离是________．20α 1.516. 离旗杆米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为，如果测角仪高为米，那么α旗杆的高为________米（用含的三角函数表示）．A60∘C200B 17. 小明从处出发，要到北偏东方向的处，他先沿正东方向走了米到达处，30∘C B C再沿北偏东方向走恰能到达目的地处．则、两地的距离为________9P30∘18. 如图，一艘轮船向正东方向航行，上午时测得它在灯塔的南偏西方向、距离120M11N灯塔海里的处，上午时到达这座灯塔的正南方向的处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是________海里/小时．P30∘20A19. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正东方P60∘B向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，则此时轮船与灯塔的距BP离为________海里．D C30∘200A20. 如图所示，某人在处测得山顶的仰角为，向前走米来到山脚处，测得山AC i=1:0.5坡的坡度，则山的高度为________米．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）1500m ABCD AE=0.8m 21. 如图，一段长为的水渠，其截面为等腰梯形，渠深，底AB=1.2m45∘，坡角为，那么该水渠最多能蓄水多少立方米？A B C CD122. 一天晚上，小颖由路灯下的处向正东走到处时，测得影子的长为米，当她继D DE E A45∘续向正东走到处时，测得此时影子的一端到路灯的仰角为，已知小颖的身高1.5AB为米，求那么路灯的高度是多少米？（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（精确到。
苏科版九年级数学下册 7.6 用锐角三角函数解决问题 同步测试题
7.6 用锐角三角函数解决问题同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 如图，上午8时一条船从A出发（60海里/时）向正东航行，8时30分到B处，经测小岛M在A北偏东45∘，在B北偏东30∘方向，那么BM的距离为（）A.20(√3+1)海里B.30√2海里C.15(√3+1)海里D.30(√3+1)海里2. 如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A 的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）米 B.30sinα米 C.30tanα米 D.30cosα米A.30tanα3. 如图，某一大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝6米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度i＝1:3，则坝底宽AB是（）米．A.24+8√3B.30C.30+8√3D.30+16√34. 如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.2米，若tan A=3，BC=8.44米，则楼高CD是（）A.6.3米B.7.5米C.8米D.6.5米5. 温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10√7千米的速度向东偏南30∘的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（）A.5B.6C.8D.106. 小宇想测量他所就读学校的高度，他先站在点A处，仰视旗杆的顶端C，此时他的视线的仰角为60∘，他再站在点B处，仰视旗杆的顶端C，此时他的视线的仰角为45∘，如图所示，若小宇的身高为1.5m，旗杆的高度为10.5cm，则AB的距离为（）A.9mB.(9−√3)mC.(9−3√3)mD.3√3m7. 飞机在空中测得地面上某观测目标A的俯角为α，且飞机与目标A相距12千米，那么这时飞机离地面的高度为（）A.12sinαB.12cosαC.12tanαD.12cotα8. 如图，测量河宽AB（假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB=30∘，D点测得∠ADB=60∘，又CD=60m，则河宽AB为（）A.30米B.60米C.30√3米D.60√3米9. 如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30∘方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45∘方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A.(√3−1)小时B.(√3+1)小时C.2小时D.√3小时10. 如图，学校在小明家北偏西30∘方向，且距小明家6千米，那么学校所在位置A点坐标为（）A.(3, 3√3)B.(−3, −3√3)C.(3, −3√3)D.(−3, 3√3)二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 如图，一个山坡的坡长AB＝400米，铅直高度BC＝150米，则坡角∠A的大小为________．（用科学计算器计算，结果精确到1∘）12. 如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30∘和60∘的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）________．13. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为2√2m，则此拦水坝斜坡的坡度为________．14. 如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33∘方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）15. 若地面上的甲看到高山上乙的仰角为20∘，则乙看到甲的俯角为________度．16. 某建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50∘，观察底部B的仰角为45∘，则旗杆的高度AB=________m（精确到0.1m）．17. 如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120∘角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=√3米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为________米．（计算结果保留根号）．18. 如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30∘，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i＝4:3，坡长AB＝8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为________米．（结果保留根号）19. 如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD＝60∘，则AB的长为________米．20. 如图，客轮在海上以30km/ℎ的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80∘，测得C处的方位角为南偏东25∘．航行1ℎ后到达C处，在C处测得灯塔A的方位角为北偏东20∘，则C到A的距离是________km．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知电线杆AB直立于地面，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上．如果CD与地面成45∘，∠A=60∘，CD=4√2米，BC=(4√3−4)米，求电线杆AB的长．22. 如图，甲楼的底端B处与乙楼的底端D处相距50m，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角∠CAE的度数为20∘．从甲楼顶部A处看乙楼底部D处的俯角∠DAE的度数为35．分别求甲楼AB和乙楼CD的高为多少m（精确到1m）．（参考数据：sin20∘≈0.34，cos20∘≈0.94，tan20∘≈0.36，sin35∘≈0.57，cos35∘≈0.82，tan35∘≈0.70）23. 如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以24海里/时的速度由西向东方向航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60∘的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东30∘方向上，如果海轮不改变方向继续前进有没有触礁的危险？24. 如图，道路边有一棵树，身高1.8米的某人站在水平地面的D点处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60∘，树的底部B点的俯角为30∘，求树的高度AB．25. 如图，小芳站在地面上A处放风筝，风筝飞到C处时的线长BC为23米，这时测得∠CBD=58∘，牵引底端B与地面的距离BA为1.6米，求此时风筝离地面的高度CE．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin58∘=0.85，cos58∘=0.53，tan58∘=1.60）26. 如图，小明设计了一个“简易量角器”：在△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，CA=24cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3...P8，使得∠P1CA=10∘，∠P2CA=20∘，∠P3CA=30∘，…∠P8CA=80∘．（1）连接P6C，求∠AP6C的度数；（2）求线段P6P2的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50∘≈0.77，cos50∘≈0.64，tan50∘≈1.20）．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：如图，过点B作BN⊥AM于点N．=30（海里），∠ABM=105∘．由题意得，AB=60×12在直角△ABN中，BN=AB⋅sin45∘=15√2海里．在直角△BNM中，∠MBN=60∘，则∠M=30∘，所以BM=2BN=30√2（海里）．故选B．2.【答案】C【解答】在Rt△ABO中，∵ BO＝30米，∠ABO为α，∵ AO＝BO tanα＝30tanα（米）．3.【答案】C【解答】过D点作DE⊥AB于点E，过C点作CF⊥AB于点F，则四边形CDEF是矩形∵ CD＝FE＝6m，CF＝ED＝8m，在Rt△AED中，AE=√162−82=8√3m，∵ CF:BF＝1:3，∵ BF＝3CF＝24m，即AB＝BF+EF+AE＝24+6+8√3=(30+8√3)米．4.【答案】B【解答】解：如图，∵ 在△AEB中，∠ABE=90∘，BE=1.2米，tan A=34，∵ AB=EBtan A =1.234=1.6（米）．又∵ BC=8.4米，∵ AC=AB+BC=10米．又∵ 在直角△ACD中，∠C=90∘，tan A=34，∵ CD=AC⋅tan A=10×34=7.5（米）故选：B．5.【答案】D【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，由题意得AB=300，∠ABD=30∘，AB=150(km)，则AD=12设台风中心距A点200km处，刚好处在BC上的E，F两点则，在Rt△ADE中，AE=200，AD=150，则DE=√AE2−AD2=50√7，从而可得：EF=2DE=100√7，=10(ℎ)．故A镇受台风严重影响的时间为100√710√7故选D．6.【答案】C【解答】解：如图，CE=10.5−1.5=9m，=9m，在Rt△CEG中，EG=CEtan45∘=3√3m，在Rt△CEF中，EF=CEtan60∘AB=FG=EG−EF=(9−3√3)m．故选：C．7.【答案】A【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在直角三角形ABC中，∠BAC=α，AB=12，则BC=AB⋅sinα=12sinα，故选：A．8.【答案】C【解答】解：∵ ∠ACB=30∘，∠ADB=60∘，∵ ∠CAD=30∘，∵ AD=CD=60m，在Rt△ABD中，AB=AD⋅sin∠ADB=60×√3=30√3(m)．2故选C．9.【答案】B【解答】解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．在Rt△ADM中，∵ ∠MAD=30∘，∵ AD=√3MD，在Rt△BDM中，∵ ∠MBD=45∘，∵ BD=MD，∵ BC=2MD，∵ BC:AB=2MD：(√3−1)MD=2:√3+1．故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为(√3+1)小时．故选B．10.【答案】D【解答】解：∵ 学校在小明家北偏西30∘方向，且距小明家6千米，∵ ∠BOA=30∘，OA=6．∵ ∠ABO=90∘，∵ AB=3，OB=3√3．即A点坐标为(−3, 3√3)．故选D．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】22∘【解答】∵ AB＝400米，BC＝150米，∵ sin∠A=BCAB =150400=0.375．∵ ∠A＝22∘．12.【答案】(2√3+1.6)m 【解答】由题意得：AD＝6m，在Rt△ACD中，tan A=CDAD =√33∵ CD＝2√3，又AB＝1.6m∵ CE＝CD+DE＝CD+AB＝2√3+1.6，所以树的高度为(2√3+1.6)m．13.【答案】45∘【解答】解：如图，作AF⊥CD于F，BE⊥CD于E，AB=6，DC=10，AF=BE=2√2．∵ AF⊥DC，BE⊥DC，ABCD为等腰梯形．∵ DF=EC=2，AB=EF=6．∵ tan C=BEEC =2√22=√2．坡角∠C=45∘．14.【答案】没有【解答】解：已知OA=40，∠O=33∘，则AB=40⋅sin33∘≈21.79>20．所以轮船没有触暗礁的危险．15.【答案】20【解答】解：若地面上的甲看到高山上乙的仰角为20∘，则乙看到甲的俯角为20∘．故答案为：2016.【答案】7.7【解答】解：根据题意：在Rt△BDC中，有BC=CD⋅tan45∘=40．在Rt△ADC中，有AC=DC×tan50∘=47.7．∵ AB=AC−BC=7.7（米）．17.【答案】8√3【解答】解：如图，延长OD，BC交于点P．∵ ∠ODC=∠B=90∘，∠P=30∘，OB=10米，CD=√3米，∵ 在直角△CPD中，DP=DC⋅tan60∘=3米，PC=CD÷sin30∘=2√3（米），∵ ∠P=∠P，∠PDC=∠B=90∘，∵ △PDC∽△PBO，∵ PDPB =CDOB，∵ PB=PD⋅OBCD =√3=10√3（米），∵ BC=PB−PC=10√3−2√3=8√3（米）．故答案为：8√3．18.【答案】8√3−5.5【解答】过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．∵ i=BEAE =43，AB＝8米，∵ BE=325，AE=245．∵ DG＝1.6，BG＝0.7，∵ DH＝DG+GH＝1.6+325=8，AH＝AE+EH=245+0.7＝5.5．在Rt△CDH中，∵ ∠C＝∠FDC＝30∘，DH＝8，tan30∘=DHCH =√33，∵ CH＝8√3．又∵ CH＝CA+5.5，即8√3=CA+5.5，∵ CA＝8√3−5.5（米）．19.【答案】√3【解答】作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．∵ CD＝1，∠ACD＝60∘，．∵ DE＝BF=√32在Rt△AFB中∠A＝30∘，BF=√3，2∵ AB＝2BF=√3（米）．20.【答案】(15√2+5√6)【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D．在Rt△BCD中，∵ ∠BDC=90∘，∠C=25∘+20∘=45∘，BC=30×1=30，BC=15√2，∵ BD=CD=√22在Rt△ABD中，∵ ∠BDA=90∘，∠ABD=30∘，∵ AD=BD⋅tan30∘=5√6，∵ CA=CD+AD=15√2+5√6．即C到A的距离为(15√2+5√6)km．故答案为(15√2+5√6)．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵ 在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∵ CF=DF=4．∵ 在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∵ EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∵ BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵ 在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∵ AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．【解答】解：如图，延长AD交BC的延长线于点E，作DF⊥BE于F．∵ 在Rt△DCF中，∠CFD=90∘，∠DCF=45∘，CD=4√2，∵ CF=DF=4．∵ 在Rt△DEF中，∠EFD=90∘，∠E=30∘，∵ EF=DFtan∠E =4√33=4√3，∵ BE=BC+CF+FE=4√3−4+4+4√3=8√3．∵ 在Rt△ABE中，∠B=90∘，∠E=30∘，∵ AB=BE tan30∘=8√3×√33=8．故电线杆AB的长为8米．22.【答案】甲楼的高约为35m，乙楼的高约为53m．【解答】解：由题意，得DE=AB，BD=AE=50，∠CAE=20∘，∠DAE=35∘，在Rt△ADE中，tan35∘=DEAE，∵ DE=AB≈50×0.70=35，在R t△ACE中，tan20∘=CEAE，∵ CE≈50×0.36=18，∵ CD=AB+CE=53m．23.【答案】AB=24×20=8海里．60∵ ∠PAB=30∘，∠PBD=60∘∵ ∠PAB=∠APB∵ AB=BP=8海里．=4√3海里．在直角△PBD中，PD=BP⋅sin∠PBD=8×√32∵ 4√3>6∵ 海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．【解答】解：过P作PD⊥AB．=8海里．AB=24×2060∵ ∠PAB=30∘，∠PBD=60∘∵ ∠PAB=∠APB∵ AB=BP=8海里．=4√3海里．在直角△PBD中，PD=BP⋅sin∠PBD=8×√32∵ 4√3>6∵ 海轮不改变方向继续前进没有触礁的危险．24.【答案】树的高度AB为7.2m．【解答】∵ CD=1.8m，∠CBD=30∘，∵ CB=3.6m，在Rt△ACB中，∵ ∠CAB=30∘，∵ AB=7.2m，25.【答案】此时风筝离地面的高度CE约为26.15米．【解答】解：在Rt△BDC中，CD=BC×sin∠CBD=23×sin58∘≈19.55（米），CE=CD+DE=CD+AB=19.55米+1.6米=26.15米．26.【答案】解：（1）如下图一所示：∵ 在AB边上有一系列点P1，P2，P3...P8，使得∠P1CA=10∘，∠P2CA=20∘，∠P3CA= 30∘，…∠P8CA=80∘，∵ ∠P6CA=60∘，∵ ∠A=30∘，∵ ∠AP6C=180∘−∠P6CA−∠A=180∘−60∘−30∘=90∘，即∠AP6C的度数是90∘；（2）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，CA=24cm，∠AP6C=90∘，∵ AC=2P6C，∵ P6C=12cm，∵ ∠P2CA=20∘，∠A=30∘，∵ ∠CP2P6=∠P2CA+∠A=50∘，∵ tan∠CP2P6=CP6P6P2，tan50∘≈1.20，∵ P6P2=CP6tan∠CP2P6=121.20=10cm，即线段P6P2的长是10cm．【解答】解：（1）如下图一所示：∵ 在AB边上有一系列点P1，P2，P3...P8，使得∠P1CA=10∘，∠P2CA=20∘，∠P3CA= 30∘，…∠P8CA=80∘，∵ ∠P6CA=60∘，∵ ∠A=30∘，∵ ∠AP6C=180∘−∠P6CA−∠A=180∘−60∘−30∘=90∘，即∠AP6C的度数是90∘；（2）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，CA=24cm，∠AP6C=90∘，∵ AC=2P6C，∵ P6C=12cm，∵ ∠P2CA=20∘，∠A=30∘，∵ ∠CP2P6=∠P2CA+∠A=50∘，∵ tan∠CP2P6=CP6P6P2，tan50∘≈1.20，∵ P6P2=CP6tan∠CP2P6=121.20=10cm，即线段P6P2的长是10cm．。
苏科版九年级数学下册 7.6 锐角三角函数的简单应用同步练习
7.6 锐角三角函数的简单应用（1）1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，AC =22，BC =1， 那么sin ABD 的值是________2、一艘观光游船从港口A 以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C 处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到大事故船C 处所需的大约时间．（温馨提示：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6）3、如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）4、如图，一艘海轮在A 点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B 处，此时灯塔C 在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离（结果精确到0.1）； （2）求海轮在B 处时与灯塔C 的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111）学校 班级 姓 考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------参考答案：1.22 32.解：如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D．在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里，∴CD=AC=40海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°，∴BC=≈=50（海里），∴海警船到大事故船C处所需的时间大约为：50÷40=（小时）．3. 解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．4.解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．7.6 锐角三角函数的简单应用(2)1．如图，小明在M 处用高1米（DM =1米）的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆顶端B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度（取≈1.73，结果保留整数）2．如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯角为30°，已知平台CD 的高度为5m ，则大树的高度为 m （结果保留根号）3．如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A 处自B 点看雕塑头顶D 的仰角为45°，看雕塑底部C 的仰角为30°，求塑像CD 的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）4．如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O ）的墙上，当梯子位于AB 位置时，它与地面所成的角∠ABO =60°；当梯子底端向右滑动1m （即BD =1m ）到达CD 位置时，它与地面所成的角∠CDO =51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin 51°18′≈0.780，cos 51°18′≈0.625，tan 51°18′≈1.248）学校 班级 姓 考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------参考答案：1. 解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．2. 解：作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中，BE=CD=5m，CE==5m，在Rt△ACE中，AE=CE•tan45°=5m，AB=BE+AE=（5+5）m．故答案为：（5+5）．3. 解：在Rt△DEB中，DE=BE•tan45°=2.7米，在Rt△CEB中，CE=BE•tan30°=0.9米，则CD=DE﹣CE=2.7﹣0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米．4. 解：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．7.6 锐角三角函数的简单应用(3)1、已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．2、已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了500m 3到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m ，到达目的地C 点．求 (1)A 、C 两地之间的距离；(2)确定目的地C 在营地A 的什么方向?3、在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上(A 处)，测得湖西岸的山峰太婆尖(C 处)和湖东岸的山峰老君岭(D 处)的仰角都是45°，游船向东航行100米后(B 处)， 测得太婆尖、老君岭的仰角分别为30°、60°. 试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？(3 1.732 ，结果精确到米).4、已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤．大堤高5m ，坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m ，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?学校 班级 姓 考试-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------5、已知：如图，斜坡PQ的坡度i＝1∶3，在坡面上点O处有一根1m高且垂直于水平面的水管OA，顶端A处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M比点A高出1m，且在点A测得点M的仰角为30°，以O点为原点，OA所在直线为y轴，过O点垂直于OA的直线为x轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B，最高点为C．(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．6、如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为多少？参考答案1、答案：山高m )31(50,m )31(25+=+AC2、答案：(1)1000m ； (2)C 点在A 点的北偏东30°方向上．3、答案：137米，237米4、答案：面积增加24m 2，需用240 000m 2土石．5、答案：(1)A (0，1)，;y x =(2).1332312)3(3122++-=+--=x x x y(3)m 15．(4) 6、答案：24m。
第7章-专题16用锐角三角函数解决问题-同步学与练(含解析)-数学苏科版九年级下册
专题16用锐角三角函数解决问题（5个知识点4种题型3个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）知识点2．仰角、俯角问题（重点）知识点3．方向角问题知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题题型2．利用锐角三角函数解航线问题题型3．利用锐角三角函数进行方案设计题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题【方法三】仿真实战法考法1．仰角、俯角问题考法2．方向角问题考法3．坡度问题【方法四】成果评定法【学习目标】1．了解坡角、坡度、仰角、俯角、方向角等概念，并能在具体问题中正确运用．2．会用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，从而进一步把形和数结合起来．3．能把实际问题转化为数学问题，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用，增强应用数学的意识和解决问题的能力．【知识导图】【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1．坡度、坡角问题（重点）1．如图，坡面的铅垂高度（A）和水平宽度（B）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作A，即B．坡度通常写成DC的形式，如i=1︰1.5．2．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作B．坡度C与坡角B之间的关系：B．【例1】．（2023秋•盘州市期中）1．某超市利用一个带斜坡的平台装卸货物，其纵断面ACFE如图所示．AE为台面，AC垂∠为43︒，坡长AB为2m．为保障安直于地面，AB表示平台前方的斜坡．斜坡的坡角ABC全，又便于装卸货物，决定减小斜坡AB的坡角，AD是改造后的斜坡（D在直线BC上），∠为31︒．求斜坡AD底端D与平台AC的距离CD．（结果精确到0.1m）【参考数坡角ADC据：sin430.68cos430.73ta430.93，，】︒=︒=︒=n，，；sin310.52cos310.86tan310.60︒=︒=︒=知识点2．仰角、俯角问题（重点）1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线．2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线．3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．【例2】．（2023秋•成都期中）2．如图，一座古塔座落在小山上（塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点C）出发向右上方（与地面成45°，点A，B，C，O在同一平面）的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，∠= ，求小李到古塔的水平距离即BC的长. （结果精确到1m，参考数据：75AOC≈≈）1.73知识点3．方向角问题1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度．若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向．2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角．方位 ．角A的取值范围为0360θ≤<【例3】．（2023秋•九龙坡区校级月考）3．如图，海岸边上有三个观测站,,A B C ，观测站B 在观测站A 的东北方向，观测站C 在观测站B 的正东方向，观测站,B C 之间的距离为30海里．某天，观测站,,A B C 同时收到一艘轮船在D 处发出的求救信号，经分析，D 在观测站C 的南偏东15︒方向，在观测站B 的东南方向，在观测站A 的正东方向．(1)求CD 的长度．（结果精确到个位）(2)目前只有观测站A 与B 配备了搜救艇，搜救艇航速为30海里/时．收到求救信号后，因观测站B 的搜救艇在检修，接到任务后不能马上出发，需30分钟后才能出发，而且必须先去C 处，才能再去D 处（在C 处停留时间可忽略不计）；而观测站A 的搜救艇接到任务后可马上出发，并直接到达D 处．请问哪一个观测站的搜救艇可以更快到达D 处？（参考数据：1.732≈≈）知识点4．解直角三角形的实际应用（重点）【例4】．（2023•秦都区校级模拟）4．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB 的长为8米，更换后的电梯坡面为AD ，点B 延伸至点D ，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin 370.60,cos370.80,tan 37 1.73≈≈≈≈︒︒︒）知识点5．对实际测量问题的设计（难点）【例5】．（2023秋•大东区期末）5．如图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1m =AB ，0.6m BC =，123ABC ∠=︒，该车的高度 1.7m AO =．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C ''处，AB '与水平面的夹角27B AD '∠=︒．(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B '到地面l 的距离；(2)若小明爸爸的身高为1.83m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454︒≈，cos 270.891︒≈，tan 270.510︒≈，1.732)≈【方法二】实例探索法题型1．利用锐角三角函数解决实际生活中的问题（2023秋•长春期末）6．在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB 前有一座高为3m 的观景台DE ，已知30DCE ∠=︒，点E C A 、、在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B 的仰角为45︒，在观景台D 处测得塔顶部B 的仰角为27︒．求塔AB 的高度．【参考数据：tan 27 1.7︒==】．（2023秋•闵行区月考）7．小明想利用建筑CD 玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB 的高度．如图所示，他先在建筑AB 的底部A 处用测角仪测得其顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点E 的仰角为α，然后他沿AC 前进了10米到达点F 处，再用测角仪测得建筑AB 的顶部B 在建筑CD 玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β．已知1tan 3α=，sin 13β=，测角仪置于水平高度1.5米的M 、N 处．求建筑AB 的高度．题型2．利用锐角三角函数解航线问题（2023上·山东东营·九年级统考期中）8．如图，灯塔A 周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A 在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C 处，测得灯塔A 在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin 320.530︒≈，cos320.848︒≈，tan 320.625︒≈，sin 580.848︒≈，cos580.530︒≈，tan 58 1.6︒≈）（2023上·河北保定·九年级校考阶段练习）9．嘉淇看到这样一道题目：如图，某巡逻船在A 处测得一艘敌舰在北偏东31︒的B 处，卫星测得AB 相距6海里，巡逻船静止不动，6分钟后测得该敌舰在巡逻船的北偏东57.6︒的C 处，此时卫星信号突然中断，已知该敌舰的航速为30海里/小时．（结果保留整数，参考数据：tan310.6︒≈，tan 57.6 1.6︒≈，tan 26.60.5≈° 2.236≈）嘉淇过点C 作CD AB ⊥于D ，设CD x =海里，请你帮她接着解决以下问题：(1)BD =______里（用含用x 的代数式表示）；(2)求敌舰在C 处时与巡逻船的距离．题型3．利用锐角三角函数进行方案设计（2023•东台市一模）10．图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关；图2是其俯视图简化示意图，已知轨道120AB cm = ,两扇活页门的宽60OC OB cm == ,点B 固定，当点C 在AB 上左右运动时，OC 与OB 的长度不变(所有结果保留小数点后一位).(1)若50OBC ∠=︒,求AC 的长；(2)当点C 从点A 向右运动60cm 时，求点O 在此过程中运动的路径长.（参考数据：sin50°≈0.77, cos50°≈0.64, tan50°≈1.19, π取3.14）图1 图2（2023•洪泽区二模）11．某班学生到工厂参加劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD 为矩形，点B 、C 分别在EF 、DF 上，90ABC ∠=︒，53BAD ∠=︒，10cm AB =，5cm =BC ．求零件的截面面积．（参考数据：sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈）（2023•滨湖区一模）12．如图，某工程队从A 处沿正北方向铺设了184米轨道到达B 处．某同学在博物馆C 测得A 处在博物馆C 的南偏东27︒方向，B 处在博物馆C 的东南方向．（参考数据：sin 270.45︒≈︒，cos270.90︒≈︒，tan 270.50︒= 2.45=．）(1)请计算博物馆C 到B 处的距离；（结果保留根号）(2)博物馆C 周围若干米内因有绿地不能铺设轨道．某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到B 处时，只需沿北偏东15︒的BE 方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地．请计算博物馆C 周围至少多少米内不能铺设轨道．（结果精确到个位）（2023•苏州）13．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，垂足为H ），在,B C 处与篮板连接（BC 所在直线垂直于MN ），EF 是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F 处的螺栓改变EF 的长度，使得支架BE 绕点A 旋转，从而改变四边形ABCD 的形状，以此调节篮板的高度）．已知,208cm AD BC DH ==，测得60GAE ∠=︒时，点C 离地面的高度为288cm ．调节伸缩臂EF ，将GAE ∠由60︒调节为54︒，判断点C 离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8,cos540.6︒≈︒≈）题型4．利用锐角三角函数解决与圆有关的实际应用问题（2023•建湖县三模）14．水乡建湖小桥多．桥的结构多为弧形的桥拱，弧形桥拱和平静的水面构成了一个美丽的弓形（图①）．我校数学兴趣小组同学研究如何测量圆弧形拱桥中桥拱圆弧所在圆的半径问题，将桥拱记为弧AB ，弦AB 为水平面，设弧AB 所在圆的半径为r ，建立了数学模型，得到了多个方案．(1)如图②，从点A 处测得桥拱上点C 处的仰角为30︒，BC a =，则r = ．（用含a 的代数式表示）(2)如图③，在实地勘测某座拱桥后，同学们记录了下列数据：50B ∠=︒，8.8AC =米，求半径r （结果精确到0.1）．（参考数据：sin 200.34cos 200.94tan 200.36sin 500.77,cos500.64tan 50 1.19︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，）(3)如图④，在弧AB 上任取一点C （不与A B 、重合），作CD AB ⊥于点D ，若2CD =，3BD =，8AD =，求r 的值．【方法三】 仿真实战法考法1．仰角、俯角问题（2023•南通）15．如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒，看这栋楼底部C 的俯角β为60︒，无人机与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（ ）A．B．C．D．（2023•淮安）16．根据以下材料，完成项目任务，项目测量古塔的高度及古塔底面圆的半径测量工具测角仪、皮尺等测量 说明：点Q 为古塔底面圆圆心，测角仪高度15m AB CD ==.，在B D 、处分别测得古塔顶端的仰角为3245,9m BD ︒︒=、，测角仪CD 所在位置与古塔底部边缘距离12.9m DG =．点B D G Q 、、、在同一条直线上．参考数据sin320.530,cos320.848,tan320.625︒≈︒≈︒≈项目任务（1）求出古塔的高度．（2）求出古塔底面圆的半径．（2023•泰州）17．如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45'︒≈，cos 26350.89'︒≈，tan 26350.50'︒≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）考法2．方向角问题（2022•南京）18．如图，灯塔B 位于港口A 的北偏东58︒方向，且A ，B 之间的距离为30km ，灯塔C 位于灯塔B 的正东方向，且B ，C 之间的距离为10km ．一艘轮船从港口A 出发，沿正南方向航行到达D 处，测得灯塔C 在北偏东37︒方向上，这时，D 处距离港口A 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan 58 1.60︒≈，sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）考法3．坡度问题（2023•淄博）19．如图，与斜坡CE 垂直的太阳光线照射立柱AB （与水平地面BF 垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若2BC =米，8.48CD =米，斜坡的坡角32ECF ∠=︒，则立柱AB 的高为 米（结果精确到0.1米）．科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.5300.8480.625（2023•深圳）20．爬坡时坡角与水平面夹角为α，则每爬1m 耗能()1.025cos J α-，若某人爬了1000m ，该坡角为30° 1.732≈ 1.414≈）（ ）A ．58JB ．159JC ．1025JD ．1732J（2023•辽宁）21．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）（2023•大庆）22．某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点A 出发，途经点B 后到达山顶P ，其中400AB =米，200BP =米，且AB 段的运行路线与水平方向的夹角为15︒，BP 段的运行路线与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度PC ．（结果精确到1米，参考数据：sin150.259︒≈，cos150.966︒≈，tan150.268︒≈）【方法四】 成果评定法一、选择题（共5小题）（2023•苏州一模）23．如图，为测楼房BC 的高，在距离楼房30米的A 处测得楼顶的仰角为α，则楼高BC 为（ ）A ．30tan α米B ．30tan α米C ．30sin α米D ．30sin α米（2023秋•沛县校级月考）24．如图，滑雪场有一坡角20︒的滑雪道，滑雪道AC 长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度AB 的长为（ ）米．A ．200cos 20︒B ．200sin 20︒C ．200cos 20︒D ．200sin 20︒（2023秋•淮阴区期中）25．如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC a =米，35PCA ∠=︒，则小河宽PA 等于（ ）A ．sin 35a ⋅︒米B ．sin 55a ⋅︒米C ．tan 35a ⋅︒米D ．tan 55a ⋅︒米（2023•梁溪区校级二模）26．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A 处，花洒AD 的长度为20厘米．已知花洒与墙面所成的角120BAD ∠=︒，当花洒喷射出的水流CD 与花洒AD 成90︒的角时，水流喷射到地面的位置点C 与墙面的距离为（ ）A B ．200厘米C D ．170厘米（2023秋•江阴市月考）27．如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为)1海里．观测站B 到AC 的距离BP 是（ ）AB ．1C ．2D 二、填空题（共5小题）（2023秋•通州区校级月考）28．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知2m BC =， 5.8m CD =，30DCF ∠=o ，则车位所占的宽度EF 为 米． 1.7≈，结果精确到1m)（2023秋•靖江市期中）29．如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为米．（2023•靖江市模拟）30．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB=10米，则旗杆BC的高度为．（2023秋•无锡月考）31．“十一”假期，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为15m，旋转1周需要24min（匀速）．小明乘坐最底部（离地面约1m）的车厢按逆时针方向旋转开始1周的观光，启动10min时，小明离地面的高度是m．（2023秋•海门市校级月考）32．已知B港口位于A观测点北偏东45︒方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75︒方向，则此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长为 km ．三、解答题（共7小题）（2023秋•通州区校级月考）33．2022年举世瞩目的北京冬奥会的成功举办掀起了全民冰雪运动的热潮．图1、图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设G ，E ，D 三点共线且头部到斜坡的距离GD 为1.05m ，上身与大腿夹角53GFE ∠=︒，膝盖与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，30EMD ∠=︒(1)求此滑雪运动员的小腿ED 的长度；(2)求此运动员的身高．（运动员身高由GF EF DE 、、三条线段构成；参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）（2023•灌云县校级模拟）34．如图，建筑物BC 的顶部有一个广告牌AB ，从距离建筑物15米的D 处测得广告牌的顶部A 的仰角为39︒，测得广告牌的底部B 的仰角为30︒，求广告牌AB 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan 390.81︒≈ 1.73≈．（2022秋•高邮市期末）35．如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为n ︒时，箱盖DCE 落在DC E ''的位置（如图2），100cm DC =，20cm CE =，40cm EB =．(1)若72n =，求点C 、C '两点之间的距离；（参考数据：sin360.59︒≈，cos360.81︒≈）(2)若60n =，求E 、E '两点之间的距离．（2023•阜宁县二模）36．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈ ，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos 665︒≈，9tan 664︒≈）（2023秋•泰兴市期中）37．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长．为了方便居民领取快递，小明的爸爸计划在一条笔直的公路l 旁设一个菜鸟驿站点P ，使驿站到公路同侧的A 、B 两个小区的距离相等．(1)如图 1，当A 小区到公路l 的距离300m AC =， B 小区到公路l 的距离400m BD =，且700m CD =时，求驿站点P 到A 小区的距离；(2)如图2，若A 、B 两个小区到公路l 的距离均为a ，CD 的长度为2a ，求APB ∠的度数；(3)爱动脑的小明通过推理发现：当A 小区到公路l 的距离a 与B 小区到公路l 的距离b 之和等于CD 的长度时，APB ∠始终是直角． 请利用图3加以说明．（2023秋•启东市期中）38．如图，上午8时，一条船从A 处测得灯塔C 在北偏西30°，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达B 处，测得灯塔C 在北偏西60°，若船继续向正北方向航行，求轮船何时到达灯塔C 的正东方向D 处?（2023•栖霞区校级三模）39．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O 处，点O 距地面AC 的高度为60m ，此时观测到楼AB 底部点A 处的俯角为70︒，楼CD 上点E 处的俯角为30︒，沿水平方向由点O 飞行24m 到达点F ，测得点E 处俯角为60︒，其中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O 均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB 与CD 之间的距离AC 的长．（结果精确到1m ，参考数据：sin 700.94︒≈，cos 700.34︒≈，tan 70 2.75︒≈ 1.73)≈参考答案：1．2.3m【分析】本题考查了解直角三角形的应用，首先在Rt ABC △中，求出AC 的长，再在Rt ADC ，由tan AC ADC CD ∠=，即可求出CD 的长，解答本题的关键是利用三角函数知识解直角三角形．【详解】解：在Rt ABC △中，sin AC ABC AB∠=，()sin4320.68 1.36m AC AB ∴=⋅︒=⨯=，在Rt ADC 中，tan AC ADC CD ∠=， ∴()1.36 2.3m tan 310.60AC CD ==≈︒，∴斜坡AD 底端D 与平台AC 的距离CD 约为2.3m ．2．21【分析】过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，根据题意可得：40AO =米，20OC =米，OE BD =，OE BD ∥，从而可得45EOC OCD ∠=∠=︒，进而可得30AOE ∠=︒，然后在Rt OCD △中，利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，再在Rt AOE 中，利用锐角三角函数的定义求出OE 的长，从而求出BD 的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点O 作OD BC ⊥，交BC 的延长线于点D ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，由题意得：8540AO =⨯=（米），4520OC =⨯=（米），OE BD =，OE BD∥∴45EOC OCD ∠=∠=︒，∵75AOC ∠=︒，∴30AOE AOC EOC ∠=∠-∠=︒，在Rt OCD △中， cos 4520CD OC =⋅︒==（米），在Rt AOE 中，cos3040OE AO =⋅︒==，∴OE BD ==，∴21BC BD CD =-=-≈（米），∴小李到古塔的水平距离即BC 的长约为21米．3．(1)42（海里）；(2)A 观测站搜救艇可以更快到达D 处．【分析】（1）本题主要考查锐角三角函数的实际应用，解答本题的关键在于找到相应边与角的对应关系，会正确处理15︒是解答本题的重点也是难点，再用已知条件结合勾股定理去求解即可．（2）本题考查运用锐角三角函数解决问题的实际应用，解答本题的关键在于运用小问（1）的信息和结论，求出两观测站的搜救艇所经过的路程，及所用时间即可解答本题．【详解】（1）解：预备知识：如图1，在以90B Ð=°，15C ∠=︒，1AB =的Rt ABC △中，作AD BC =．∵15C DAC ∠=∠=︒∴30ADB C DAC ∠=∠+∠=︒∴在Rt △ABD 中，1AB =，∴由锐角三角函数可得BD =2AD CD ==，∴2BC =+，在Rt ABC △中，tan tan152AB C BC ∠=︒===．如图，过点D 作ED BC ⊥于点E ，由题意可得，45A HBD BDH ∠=∠=∠=︒，15FCD DC ∠=∠E =︒30BC HF ==．设CE x =，则30BE BH ED x ===+，∴在Rt EDC 中，tan tan152CE CDE ED∠=︒==∴(2CE ED =⋅∴(30)(2x x =+1)x =-，∴1)CE =，301)1)ED =+=．由勾股定理得，222CE ED CD +=∴42CD ==≈（海里）．（2）由（1）知，1)BH ED ==，∴从A 观测站行驶距离：21)AD BH ==（海里）时间：11) 2.732t ==≈（小时）；从B 观测站行驶距离1)BC CD +=（海里）时间：20.5 1.5 2.914t ==≈（小时）∵12t t <，∴A 观测站的搜救艇可以更快到达D 处．4．约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC ，根据余弦的定义求出BC ，根据正切的定义求出CD ，结合图形计算，得到答案．【详解】解：在Rt △ABC 中，AB =8米，∠ABC =37°，则AC =AB •sin ∠ABC ≈8×0.60=4.8（米），BC =AB •cos ∠ABC ≈8×0.80=6.40（米），在Rt △ADC 中，∠ADC =30°，则CD= 4.8tan tan 30AC ADC ==∠︒（米），∴BD =CD -BC =8.30-6.40≈1.9（米），答：BD 的长约为1.9米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．(1)车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m(2)没有碰头的危险．理由见解析【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）过点B E AD '⊥于E ，根据正弦的定义求出B E '，进而求出车后盖最高点B '到地面l 的距离；（2）过点C '作C F B E ''⊥于点F ，根据题意求出60C B F ''∠=︒，根据余弦的定义求出B F '，再求出点C '到地面l 的距离，比较大小证明结论．【详解】（1）解：如图2，过点B E AD '⊥于E ，在Rt AB E '△中，1m AB AB '==，27B AD '∠=︒，sin B E B AE AB ''∠='，()sin 1sin 270.454m B E AB B AE '''∴=⋅∠=⨯︒≈，∴点B '到地面l 的距离为：()0.454 1.7 2.154 2.15m +=≈，答：车后盖最高点B '到地面l 的距离约为2.15m ；（2）没有碰头的危险，理由如下：如图2，过点C '作C F B E ''⊥于点F ，在Rt AB E '△中，27B AD '∠=︒，则902763AB E '∠=︒-︒=︒，123AB C ABC '∠=∠=︒ ，60C B F ''∴∠=︒，0.6m B C BC ''== ，()1cos 0.60.3m 2B F BC C B F ∴=⋅∠⨯''=''='，∴点C '到地面l 的距离为：()2.150.3 1.85m -=，1.85 1.83> ，∴没有碰头的危险．6．塔AB 的高度约为11.1m【分析】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角，根据题意可得：DE EC ⊥，然后在Rt DEC △中，利用含30度角的直角三角形的性质得CE ==，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，设m AB h =，根据题意得：()m,3m DF EA h DE FA ====则()3m BF h =-，然后在Rt BDF △中，利用锐角三角函数的定义求出BF 的长，从而列出关于h 的方程，进行计算即可解答，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．【详解】由题意得：DE EC ⊥，在Rt DEC △中，90,30DEC DCE ∠=︒∠=︒，3m DE =，CE ∴==BA EA ⊥ ，在Rt ABC △中，m,45AB h BCA =∠=︒，m tan45AB AC h ∴=︒=()mAE EC AC h ∴=+=+过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，由题意得：()m,3m DF EA h DE FA ==+==，m AB h = ，()3m BF AB AF h ∴=-=-，在Rt BDF △中，27BDF ∠=︒，()tan270.5m BF DF h ∴=⋅︒=()30.5h h ∴-=，解得：611.1h ==11.1m AB ∴=∴塔AB 的高度约为11.1m ．7．31.5+【分析】延长BE BG ，分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =，则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+，然后在Rt MM B ' 和Rt MN B ' 中解直角三角形可得()1·tan 2103BM MM x α==+'、·tan BM MN β'=，由sin 13β=可得tan β=)210BM x =+，据此列方程解得35x =，最后代入即可解答.正确的作出辅助线、灵活应用解直角三角形解实际问题是解题的关键．【详解】解：如图：延长BE BG ．分别交MN 的延长线于M N ''，，MM '于CD 相交于H ，设m NH x =,则()()()10m,210m,220m MH x N M x MM x '=+=+'=+,在Rt MM B ' 中，()1·tan 2103BM MM x α==+'；在Rt MN B ' 中，·tan BM MN β'=，∵sin 13β=，∴cos β=，∴tan β=∴)210BM x =+，∴())12202103x x +=+，解得：35x =，∴()()123520 1.531.5m 3AB ⎡⎤=⨯++=⎣⎦．答：建筑AB 的高度为()31.5m ．8．渔船没有触礁的危险．【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点A 作AD BC ⊥，分别解Rt ADC 和Rt ADB ，求出AD 的长，即可得出结论．【详解】解：过点A 作AD BC ⊥，由题意，得：905832ABC ∠=︒-︒=︒，45ACD ∠=︒，8BC =，设AD x =，在Rt ADC 中，45ACD ∠=︒，∴AD CD x ==，∴8BD x =+，在Rt ADB 中，tan 0.6258AD x ABD BD x ∠==≈+，∴13x ≈，∴13AD ≈，∵1312>，∴渔船没有触礁的危险．9．(1)()62x -；(2)敌舰在C 【分析】(1)在Rt ADC 中运用1tan 2CD CAD AD ∠==，可求出2AD x =，再根据线段的和差即可求解； (2)运用勾股定理求出3CD =或95，再根据勾股定理求出AC 的长即可求解；本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解．【详解】（1）解：根据题意得， 57.63126.6CAB ∠=︒-︒=︒，630360BC =⨯=(海里)， 在Rt ADC 中，CD x =海里，∴1tan 2CD CAD AD ∠==，∴2AD x =，∴()62BD AB AD x =-=-海里，故答案为：()62x -；（2）解：∵CD AB ⊥，∴90ADC BDC ∠=∠=︒，∴222BD CD BC +=，即()222623x x -+=，解得13x =，295x =，∵CD BC <，∴13x =不合，舍去，∴95x =，又222AD CD AC +=，即()2222x x AC +=，∴AC =(负值舍去)，∴AC =海里) ，答：敌舰在C 10．（1）43.2cm. （2）62.8cm.【详解】【分析】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，在Rt △OBH 中， 由cos ∠OBC=BH OB，求得BH 的长，再根据AC=AB －2BH 即可求得AC 的长；（2）由题意可知△OBC 是等边三角形，由此即可求出弧OC 的长，即点O 在此过程中运动的路径长.【详解】（1）如图，作OH ⊥AB 于H ，∵OC=OB=60，∴CH=BH ，在Rt △OBH 中，∵ cos ∠OBC=BH OB，∴BH= OB·cos50°≈60×0.64=38.4，∴AC=AB －2BH≈120－2×38.4=43.2，∴AC 的长约为43.2cm ；（2）∵AC=60，∴BC=60 ，∵OC=OB=60，∴OC=OB=BC=60 ，∴△OBC 是等边三角形，∴ OC 的长=6060180π⨯=20 3.14⨯ =62.8，∴点O 在此过程中运动的路径长约为62.8cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、弧长公式等，结合题意正确画出图形是解题的关键.11．截面的面积为250cm ．【分析】本题主要考查解直角三角形的应用．由矩形的性质解直角三角形求得AE ，BE 的长，再解直角三角形求解BF ，FC 的长，进而可求解四边形EFDA ，ABE ，BCF △的面积，根据截面的面积ABE BCF EFDA S S S =-- 四边形计算可求解．【详解】解： 四边形AEFD 为矩形，53BAD ∠=︒，∴AD EF ∥，90E F ∠=∠=︒，53BAD EBA ∴∠=∠=︒，在Rt ABE △中，90E ∠=︒，10cm AB =，53EBA ∠=︒，sin 0.80AE EBA AB∴∠=≈，cos 0.60BE EBA AB ∠=≈，8AE ∴=，6BE =，90ABC ∠=︒ ，9037FBC EBA ∴∠=︒-∠=︒，9053BCF FBC ∴∠=︒-∠=︒，在Rt BCF 中，90F ∠=︒，6BC cm =，sin 0.80BF BCF BC ∴∠=≈，cos 0.60FC BCF BC∠=≈，4BF ∴=，3=FC ，6410EF ∴=+=，()281080cm EFDA S AE EF ∴=⋅=⨯=四边形，()2118624cm 22ABE S AE BE =⋅=⨯⨯= ，()211436cm 22BCF S BF CF =⋅=⨯⨯= ，∴截面的面积()28024650cm ABE BCF EFDA S S S =--=--= 四边形．答：截面的面积为250cm ．12．(1)博物馆C 到B 处的距离约为(2)博物馆C 周围至少225米内不能铺设轨道【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点C 作CG AB ⊥于点G ，证明BCG 是等腰直角三角形，得到CG BG =，设CG BG x ==，则BC =，再由锐角三角函数定义得2AG x =，再由2184x x =+，问题可解；（2）过点C 作CH BE ⊥于点H ，根据题意得60CBE CBG DBE ∠=∠+∠=︒，利用锐角三角函数的定义求出CH 的长即可．【详解】（1）解：如图1，过点C 作CG AB ⊥于点G ，在Rt BCG 中，45CBG ∠=︒，。
苏科版九年级下册数学 7.6用锐角三角函数解决问题 同步习题
7.6用锐角三角函数解决问题同步习题一．选择题1．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，且测得D、B相距30m，则塔高BC为（）m．A．40B．45C．30+D．302．如图，已知点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将（）A．增大B．减小C．先增大后减小D．先减小后增大3．如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD ＝2CD，设斜坡AC的坡度为i AC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为i AB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（）A．i AC＝2i AB B．∠ACD＝2∠ABD C．2i AC＝i AB D．2∠ACD＝∠ABD 4．如图，小王在山坡上E处，用高1.5米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为25°，DE 平行于地面BC，若DE＝2米，BC＝10米，山坡CD的坡度i＝1：0.75，坡长CD＝5米，则铁塔AB的高度约是（）（参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47 ）A．11.1米B．11.8米C．12.0米D．12.6米5．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m．A．10B．15C．15D．15﹣56．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB ＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下HD长的人行道，问人行道HD的长度是（）米．（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．2.7B．3.4C．2.5D．3.17．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（）A．3米B．3米C．（3﹣2）米D．（3﹣3）米8．为加快5G网络建设，某移动通信公司在一个坡度为2：1的山腰上建了一座5G信号通信塔AB，在距山脚C处水平距离39米的点D测得通信塔底B处的仰角是35°，测得通信塔顶A 处的仰角是49°（如图），则通信塔AB的高度约为（）参考数据：sin35°＝0.57，tan35°＝0.70，sin49°＝0.75，tan49°＝1.15）A．27米B．31米C．48米D．52米9．如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）A．12海里B．6海里C．12海里D．24海里10．“五一”期间，小明和妈妈到某景区游玩，小明想利用所学的数学知识，估测景区里的观景塔DE的高度．他从点D处的观景塔出来走到点A处．沿着斜坡AB从A点走了8米到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟．在B点观察到观景塔顶端的仰角为45°且AB⊥BE，再往前走到C处，观察到观景塔顶端的仰角30°，测得BC之间的水平距离BC＝10米，则观景塔的高度DE约为（）米．（＝1.41，＝1.73）A．14B．15C．19D．20二．填空题11．如图，在坡角为30°的斜坡上有两棵树，它们间的水平距离AC为3m，则这两棵树间的坡面距离AB的长为m．12．如图，在一次测绘活动中，在港口A的位置观测停放于B、C两处的小船，测得船B在港口A北偏东75°方向12海里处，船C在港口A南偏东15°方向9海里处，则船B与船C之间的距离为海里．13．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为米（结果保留根号）．14．水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶．如图所示，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为米．15．2019年，徐州马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅度提升了徐州市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度m．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．三．解答题16．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杄顶端E 的俯角α是45°，旗杄底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是10米，梯坎坡长BC是10米，梯坎坡度i BC＝1：，求大楼AB的高．17．如图，在瞭望塔AB前有一段坡比为1：的斜坡BC，经测量BC＝8米，在海岸上取点D，使CD＝45米，在点D测得瞭望塔顶端A的仰角为40°，求瞭望塔AB的高度约为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.41）18．某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图1所示，CD部分），在起点A处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走16米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图2所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）参考答案一．选择题1．解：过点D作DE⊥BC于点E，∵∠BDE＝30°，BD＝30m，∴BE＝BD＝15m，∵AD＝30m，∴CE＝30m，∴BC＝CE+BE＝30+15＝45m．故选：B．2．解：点C从点B出发，沿射线BD方向运动，运动到点D后停止，则在这个过程中，从A观测点C的俯角将增大，故选：A．3．解：斜坡AC的坡度i AC＝，斜坡AB的坡度i AB＝，∵BD＝2CD，∴i AC＝2i AB，A正确，C错误；∠ACD≠2∠ABD，B错误；2∠ACD≠∠ABD，D错误；故选：A．4．解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，∴GH＝EF＝1.5，HF＝GE＝GD+DE＝GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足为M，得矩形DMBG，∵CD的坡度i＝1：0.75＝4：3，CD＝5，∴DM＝4，CM＝3，∴DG＝BM＝BC+CM＝10+3＝13，BG＝DM＝4，∴HF＝DG+2＝15，在Rt△AFH中，∠AFH＝25°，∴AH＝FH•tan25°≈15×0.47≈7.05，∴AB＝AH+HG+GB≈7.05+1.5+4≈12.6（米）．答：铁塔AB的高度约是12.6米．故选：D．5．解：在Rt△CDE中，∵CD＝10m，DE＝5m，∴sin∠DCE＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝10（m），∴AB＝BC•sin60°＝10×＝15（m）．故选：B．6．解：根据题意可知：∠CBA＝90°，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB＝10，AH＝10，设DH＝x米，则AD＝AH﹣DH＝（10﹣x）米，∴BD＝AD+AB＝（20﹣x）米，在Rt△DCB中，∠CDB＝30°，∴tan30°＝，即＝，解得x≈2.7．所以人行道HD的长度是2.7米．故选：A．7．解：作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，则AH＝AB•sin∠ABH＝6×＝3，∵∠E＝45°，∴AE＝AH＝×3＝3，故选：A．8．解：设CE＝x米，∵斜坡BC的坡度为2：1，∴BE＝2x米，在Rt△BDE中，tan∠BDE＝，则＝0.7，解得，x＝21，∴DE＝39+x＝60，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，则AE＝DE•tan∠ADE＝69，∴AB＝AE﹣BE＝69﹣42＝27（米），故选：A．9．解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，由题意得，AB＝24×＝12，∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ACB＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴BC＝AB＝12，在Rt△CBE中，sin∠CBE＝，∴CE＝BC×sin∠CBE＝12×＝6（海里），故选：B．10．解：作BF⊥DE于F，AH⊥BF于H，∵∠EBF＝45°，∴∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝8×＝4，在Rt△ECF中，tan∠ECF＝，则CF＝EF，在Rt△EBF中，∠EBF＝45°，∴BF＝EF，由题意得，EF﹣EF＝10，解得，EF＝5+5，则DE＝EF+DF＝5+5+4≈19，故选：C．二．填空题11．解：由题意知，在Rt△ABC中，AC＝3m，∠A＝30°，∵cos∠A＝，∴AB＝＝＝6（m），故答案为：6．12．解：根据题意得：∠BAC＝90°，AB＝12海里，AC＝9海里，在Rt△ABC中，BC＝＝15海里，故答案为：15．13．解：在Rt△ADM中，∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4，∵AB＝8，∴MB＝AM+AB＝12，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB tan30°＝4，∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，故答案为：（4﹣4）．14．解：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠P AC＝60°，∠PBC＝30°，在Rt△P AC中，＝tan∠P AC＝tan60°，∴AC＝PC，在Rt△PBC中，＝tan∠PBC＝tan30°，∴BC＝PC，∵AB＝AC+BC＝PC＝10×40＝400，∴PC＝100（米），故答案为：100．15．解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝20，∴CE＝20，在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6m，故答案为：6．三．解答题16．解：如图，过点E作EF⊥AB于点F，作BG⊥CD于点G，∵ED⊥CD，∴四边形DEFG是矩形，∴EF＝DG，ED＝FG，根据题意可知：∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF，∵坡度，∴BG：CG＝3：4，设BG＝3x，CG＝4x，则BC＝5x，∴5x＝10，解得x＝2，∴CG＝8，BG＝6，∴EF＝DG＝CG+CD＝8+10＝18，∴AF＝EF＝18，∵FG＝ED＝15，∴FB＝FG﹣BG＝15﹣6＝9，∴AB＝AF+FB＝18+9＝27（米）．答：大楼AB的高为27米．17．解：如图，延长AB，交直线DC于点F．∵在Rt△BCF中，，∴设BF＝k，则，．又∵，∴k＝8，∴BF＝8，．∵DF＝DC+CF，∴．∵在Rt△ADF中，，∴（米）．∵AB＝AF﹣BF，∴AB＝47.28﹣8≈39.3（米）．答：瞭望塔AB的高度约为39.3米．18．解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝16，∴BE＝x﹣16，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣16），∴2（x﹣16）＝x，解得：x＝32（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝32×＝，∴CD＝CE﹣DE＝32﹣≈14（米），答：大楼部分楼体CD的高度约为14米．。
初中数学九年级下册苏科版7.6用锐角三角函数解决问题说课稿
（二）媒体资源
为了辅助教学，我将使用多媒体课件、实物模型和数学软件等技术工具。多媒体课件能够生动地展示锐角三角函数的图像和性质，帮助学生直观地理解知识点。实物模型和数学软件则可以让学生亲身体验和操作，增强他们的动手能力和解决问题的能力。
3.动手实践：让学生利用实物模型或数学软件进行操作和实践，亲身体验锐角三角函数的应用过程。这样的实践活动能够增强学生的动手能力和解决问题的能力。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我会引导学生进行自我评价，并提供有效的反馈和建议。首先，我会让学生回顾所学知识，总结锐角三角函数的概念和性质。然后，我会鼓励学生分享自己的学习心得和体会，让其他同学和学习成果。最后，我会对学生的表现进行点评，给予肯定和鼓励，并提出改进的建议和指导。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我会逐步呈现锐角三角函数的知识点，引导学生深入理解。首先，我会回顾一下锐角三角函数的定义和性质，为学生提供一个知识框架。然后，我会通过多媒体课件展示锐角三角函数的图像，让学生直观地理解函数的变化规律。接下来，我会通过案例分析法，引导学生分析和解决实际问题，让学生将理论知识运用到实际情境中。在这个过程中，我会鼓励学生积极参与，提出问题和解决问题，从而加深对锐角三角函数的理解。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将注重布局的合理性、内容的精炼性和风格的简洁性。板书将包括本节课的主要知识点，如锐角三角函数的定义、图像和性质，以及解决实际问题的方法。布局上，我会将板书分为几个部分，每个部分都有明确的标题和内容，以便学生能够清晰地理解和把握知识结构。板书在教学过程中的作用是提供一个视觉辅助工具，帮助学生梳理和巩固知识点。为了确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我会尽量使用简洁的文字和图示，并注意字体的清晰度和大小。
九年级数学下册第7章锐角三角函数7.6用锐角三角函数解决问题7.6.1与坡度和坡角有关的问题同步练习2苏科版
[7.6 第1课时 与坡度、坡角有关的问题]一、选择题1．图K －32－1是一水库大坝横断面的一部分，坝高h ＝6 m ，迎水斜坡AB ＝10 m ，斜坡AB 的坡角为α，则tan α的值为( )图K －32－1A.35B.45C.43D.342．2017·温州如图K －32－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cos α＝1213，则小车上升的高度是链接听课例1归纳总结( )图K －32－2A ．5米B ．6米C ．6.5米D ．12米3．如图K －32－3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB 为( )图K －32－3A ．5cos α米 B.5cos α米C ．5sin α米 D.55sin α米4．某水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD ＝6 m ，坝高为24 m ，斜坡AB 的坡角是45°，斜坡CD 的坡比i ＝1∶2，则坝底BC 的长是( )A ．(30＋8 3)mB ．(30＋24 3)mC ．42 mD ．78 m 二、填空题5．如图K －32－4，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他距离地面高度h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝________°图K－32－46．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 5米，则这个坡面的坡度为________．7．2017·天门为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图K－32－5，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12 3米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝3 313，则CE的长为________米.链接听课例2归纳总结图K－32－5三、解答题8．2018·徐州如图K－32－6，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽(精确到0.1 m．9．某学校校园内有一小山坡，如图K－32－7所示，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB的长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即CD与BC 的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.图K－32－710．如图K－32－8，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝6米，坝高3.2米，迎水坡CD的坡度为i＝1∶2.为了提高水坝的拦水能力，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1∶2变成i′＝1∶2.5(有关数据在图上已注明)，求加高后的坝底HD的长．图K－32－811．如图K－32－9，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24)链接听课例1归纳总结图K－32－912．某地的一座天桥如图K－32－10所示，天桥的高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3.(1)求新坡面的坡角α；(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．图K－32－10建模思想2018·泰州日照间距系数反映了房屋日照情况．如图K－32－11①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75(即EH∶FH＝1∶0.75)，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到点E的距离为4 m.(1)求山坡EF的水平宽度FH；(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？图K－32－11详解详析[课堂达标]1．[解析] D 过点A 作AC ⊥BC 于点C ，可求得BC ＝8 m ，所以tan α＝34，故选D .2．[解析] A 如图，设AC ＝13，过点C 作CB ⊥AB 于点B.∵cos α＝1213＝ABAC，∴AB ＝12，∴BC ＝AC 2－AB 2＝132－122＝5， ∴小车上升的高度是5米． 故选A .3．[解析] B 合理选择三角函数是解决问题的关键．4．[解析] D 画出草图，作AF ⊥BC 于点F ，DE ⊥BC 于点E ，由条件分别求出BF ，CE 的长即可．5．[答案] 30[解析] sin A ＝h AB ＝24＝12，所以∠A ＝30°.6．1∶2 7．[答案] 8[解析] 过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点D 作DG ⊥BC 于点G ，AF ＝AB·sin B ＝6 3，∴DG ＝6 3.在Rt △DCG 中，利用勾股定理，得CG ＝18.在Rt △DEG 中，tan E ＝DG GE ＝6 3GE ＝3 313，∴GE ＝26，∴CE ＝GE －CG ＝26－18＝8(米)．8．解：如图，分别过点A ，D 作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，垂足分别为F ，E ，则四边形AFED 是矩形．在Rt △CDE 中，∵sin C ＝DE CD ，cos C ＝CECD，∴DE ＝sin 30°·CD ＝12×14＝7(m )，CE ＝cos 30°·CD ＝32×14＝7 3≈12.124≈12.12(m )． ∵四边形AFED 是矩形，∴EF ＝AD ＝6 m ，AF ＝DE ＝7 m . 在Rt △ABF 中， ∵∠B ＝45°，∴BF ＝AF ＝7 m ，∴BC ＝BF ＋EF ＋CE ≈7＋6＋12.12＝25.12≈25.1(m )． 答：该坝的坝高为7 m ，坝底宽约为25.1 m .9．[解析] 因为AD ＝AC －CD ，故欲求AD ，只需先求AC ，CD.为此可先解Rt △ABC ，求出BC ，再根据坡比即可求出CD.解：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴AC ＝12AB ＝6米，BC ＝AB·cos ∠ABC ＝12×32＝6 3(米)．∵斜坡BD 的坡比是1∶3， ∴CD ＝13BC ＝2 3 米，∴AD ＝AC －CD ＝(6－2 3)米．答：开挖后小山坡下降的高度AD 为(6－2 3)米．10．[解析] 应把所求的HD 进行合理分割，过点E 作EF ⊥HD 于点F ，过点M 作MN ⊥HD 于点N ，HD ＝HN ＋NF ＋FD ，可利用Rt △HMN 和Rt △DEF 来求解．解：过点M 作MN ⊥HD ，过点B 作BG ⊥HD ，过点E 作EF ⊥HD ，垂足分别为N ，G ，F. ∵BG ＝3.2米，∴加高后MN ＝EF ＝5.2米， ME ＝NF ＝BC ＝6米．在Rt △HMN 和Rt △DEF 中，MN HN ＝12.5，EF FD ＝12， ∴HN ＝52MN ＝13米，FD ＝2EF ＝10.4米，∴HD ＝HN ＋NF ＋FD ＝13＋6＋10.4＝29.4(米)．答：加高后的坝底HD 的长为29.4米．11．[解析] 假设点D 移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，过点D′作D′E′⊥AC 于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE ，CE ，CE ′的长，进而可得出结论．解：假设点D 移到D′的位置时，∠α＝39°.如图，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，过点D′作D′E′⊥AC ，交AC 的延长线于点E′.∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°，∴DE ＝CD·sin 60°＝12×32＝6 3(米)，CE ＝CD ·cos 60°＝12×12＝6(米)． ∵DE ⊥AC ，D ′E ′⊥AC ，DD ′∥CE ′， ∴四边形DEE′D′是矩形， ∴D ′E ′＝DE ＝6 3米． ∵∠D ′CE ′＝39°，∴CE ′＝D′E′tan 39°≈6 30.81≈12.8，∴EE ′＝CE′－CE ≈12.8－6＝6.8≈7(米)．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全． 12．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3， ∴tan α＝tan ∠CAB ＝13＝33，∴α＝30°. 答：新坡面的坡角α为30°.(2)文化墙PM 不需要拆除．理由如下： 如图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6.∵坡面BC 的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3， ∴BD ＝CD ＝6，AD ＝6 3， ∴AB ＝AD －BD ＝6 3－6＜8， ∴文化墙PM 不需要拆除．[素养提升]解：(1)∵i EF ＝1∶0.75＝43＝EH FH ，∴可设EH ＝4x m ，FH ＝3x m ，则EF ＝（3x ）2＋（4x ）2＝5x ＝15 m ，∴x ＝3，∴FH ＝9 m ，即山坡EF 的水平宽度FH 为9 m . (2)如图，延长BA ，FH 交于点G ，则AG ＝EH ＝12 m ，GH ＝AE ＝4 m ，∴BG ＝AB ＋AG ＝22.5＋12＝34.5(cm )．设CF ＝y m ，则CG ＝CF ＋FH ＋GH ＝y ＋9＋4＝(y ＋13)m . 由题意知CG ∶(BG －CP)≥1.25，∴y ＋1334.5－0.9≥1.25，解得y ≥29，∴底部C 距F 处至少29 m 远．。
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》解答专项练习题（附答案）1．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留小数点后一位，≈1.7）．3．如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）4．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD 的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）5．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）6．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E 的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．解答过程中可直接选用表格中的数据哟！科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）0.1560.1580.2760.2877．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cosα＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．（1）求C，D两点的高度差；（2）求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）8．位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市的标志性建筑，是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的革命烈士而兴建的，某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B 的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）9．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°条幅底端F到地面的距离FE的长度．≈0.80，tan37°≈0.75）10．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G 基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求坡面CB的坡度；（2）求基站塔AB的高．11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C 在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．12．如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile（nmile 是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）13．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）14．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]15．如图是一矩形广告牌ACGE，AE＝2米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为45°，该同学沿GB方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为37°．若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆PE的高为2.25米，求广告牌的高度（AC或EG的长）．（精确到1米，参考数据：sin37°≈0.6，tan37°≈0.75）16．如图，小谢想测某楼的高度，她站在B点从A处望向三楼的老田（D），测得仰角∠DAG 为30°，接着她向高楼方向前进1m，从E处仰望楼顶F，测得仰角∠FEG为45°，已知小谢身高（AB）1.7m，DF＝6m．（参考数据：≈1.7，≈1.4）（1）求GE的距离（结果保留根号）；（2）求高楼CF的高度（结果保留一位小数）．17．如图，AB为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活•绿色出行”健步走公益活动，小宇在点A处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68°的点C处，观光船到滨海大道的距离CB为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E时，观光船沿北偏西40°的方向航行至点D处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D处的距离．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）18．我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）19．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．（1）求斜坡BC的长；（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）20．如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB＝115°，∠AOM＝160°时，台灯所投射的光线最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，）参考答案1．解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，∴BC＝＝AB，∵BC﹣BD＝CD＝33m，∴AB﹣＝33，∴AB＝≈78（m）．答：主塔AB的高约为78m．2．解：如图，过点C、D分别作BE的平行线交BA的延长线于点M、N，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝BE＝14m，在Rt△ACM中，∠ACM＝60°，CM＝BE＝14m，∴AM＝CM＝14（m），∴AB＝BM﹣AM＝CE﹣AM＝20+14﹣14≈10.2（m），答：AB的长约为10.2m．3．解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．4．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，∴AC＝AB+BC＝104cm，在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．5．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，tanθ＝＝，设DE＝3x米，则CE＝4x米，∵DE2+CE2＝DC2，∴（3x）2+（4x）2＝400，∴x＝4或x＝﹣4（舍去），∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，设BF＝y米，∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，∴DF＝＝＝y（米），∴AE＝DF＝y米，∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：y＝6+8，经检验：y＝6+8是原方程的根，∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），∴建筑物的高度AB约为31.9米．6．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH ＝9°，在Rt△AEG中，tan∠AEG＝，∴tan16°＝，即0.287≈，∴AG＝40×0.287＝11.48（米），∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），∴HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，tan∠CAH＝，∴tan9°＝，即0.158≈，∴CH＝80×0.158＝12.64（米），∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），答：综合楼的高度约是37.00米．7．解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，∵在Rt△DCE中，cosα＝，CD＝15m，∴（m）．∴（m）．答：C，D两点的高度差为9m．（2）过点D作DF⊥AB于F，由题意可得BF＝DE，DF＝BE，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，解得，经检验，是原方程的解且符合题意，∴AB＝++9≈24（m）．答：居民楼的高度AB约为24m．8．解：由题意得，∠BAD＝45°，∠DAC＝61°，在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝10m，∴BD＝AD＝10m，在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，tan61°＝≈1.80，解得CD≈18，∴BC＝BD+CD＝10+18＝28（m）．∴烈士塔的高度约为28m．9．解：设AC与GE相交于点H，由题意得：AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，设CH＝x米，∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，∴FH＝CH•tan45°＝x（米），∵GF＝8米，∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，∴tan37°＝＝≈0.75，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根，∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．10．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，∴CM＝40米，∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，∵∠ACN＝45°，∴∠CAN＝∠ACN＝45°，∴AN＝CN＝（40+4a）米，∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．在Rt△ADF中，∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，∴tan∠ADF＝，∴＝，∴解得a＝，∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），∵BF＝3a＝米，∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．答：基站塔AB的高为米．11．解：过B作BD⊥AC于D，由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），∴BD＝BC sin50°≈20×0.766＝15.32（海里），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．12．解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，由题意得：EF＝BC＝33.2海里，AG∥DC，∴∠GAD＝∠ADC＝53°，在Rt△ABF中，∠ABF＝50°，AB＝40海里，∴AF＝AB•sin50°≈40×0.77＝30.8（海里），∴AE＝AF+EF＝64（海里），在Rt△ADE中，AD＝≈＝80（海里），∴货船与A港口之间的距离约为80海里．13．解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，AB＝5m，∠ABE＝37°，∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，∴＝0.60，＝0.80，∴AE＝3m，BE＝4m，∴CE＝6m，在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，∴FD＝AO＝1m，∴CF＝5m，在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2m．∴OD＝2≈4.5m．14．解：在Rt△BCE中，BC＝80m，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝45°，∴∠BEC＝∠CBE＝45°，∴CE＝BC＝80m．在Rt△BCF中，BC＝80m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan∠BFC＝，∴．∴CF≈133.3．∴EF＝CF﹣CE＝133.3﹣80＝53.3≈53（m）．答：河宽EF的长约为53m．15．解：由题意：DH＝BF＝6米，DB＝HF＝1.7米，PE＝2.25米，如图，设直线DH交EG于M，交AC于N，则EM＝AN．设AN＝x，则PM＝x+2.25，在Rt△AND中，∵∠ADN＝45°，∴AN＝ND＝x，∵AE＝MN＝2，则MH＝6+x+2＝8+x，在Rt△PHM中，∵tan37°＝，∴，解得x≈15，∴AC＝AN+NC＝15+1.7≈17（米），故广告牌的高度为17米．16．解：（1）设GE＝xm，∵∠EGF＝90°，∠FEG＝45°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴FG＝EG＝xm，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AG＝EG+AE＝（x+1）m，∵tan∠DAG＝＝tan30°＝，∴DG＝AG＝（x+1）m，∵FG﹣DG＝DF，∴x﹣（x+1）＝6，解得：x＝，答：GE的距离为m；（2）由（1）得：FG＝GE＝m，∵GC＝AB＝1.7m，∴CF＝FG+GC＝+1.7≈17.2（m），答：高楼CF的高度约为17.2m．17．解：过点C作CF⊥DE于F，由题意得，∠D＝40°，∠ACB＝68°，在Rt△ABC中，∠CBA＝90°，∵tan∠ACB＝，∴AB＝CB×tan68°≈200×2.48＝496（m），∴BE＝AB﹣AE＝496﹣200＝296（m），∵∠CFE＝∠FEB＝∠CBE＝90°，∴四边形FEBC为矩形，∴CF＝BE＝296m，在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∵sin∠D＝，∴CD≈＝462.5（m），答：观光船从C处航行到D处的距离约为462.5m．18．解：过点A作AM⊥EH于M，过点C作CN⊥EH于N，由题意知，AM＝BH，CN＝DH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan∠EAM＝，∴AM＝＝≈＝12米，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD﹣BH＝8米，∴CN＝8米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝，∴EN＝CN•tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），即古槐的高度约为13米．19．解：（1）由题意得：∠CAE＝15°，AB＝30米，∵∠CBE是△ABC的一个外角，∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，∴∠ACB＝∠CAE＝15°，∴AB＝BC＝30米，∴斜坡BC的长为30米；（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，∴CE＝BC＝15（米），BE＝CE＝15（米），在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，∴DE＝BE•tan53°≈15×＝20（米），∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），∴这棵大树CD的高度约为20米．20．解：过点A作AC平行于水平桌面，过点B作BC⊥AC于点C，再延长MO交AC于点D，由题意可知：OD⊥AC，AC＝10cm，OM＝7.5﹣2＝5.5cm，∵∠AOM＝160°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOM＝20°，∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，∴∠OAD＝90°﹣∠AOD＝70°，∵∠OAB＝115°，∴∠BAC＝∠OAB﹣∠OAD＝115°﹣70°＝45°，∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝10cm，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝，∴AB＝，∵AB+AO+OM＝31.64cm，∴AO＝12cm，在Rt△AOD中，cos∠AOD＝，∴OD＝AO•cos∠AOD＝12×cos20°≈11.28cm，∴BC+OD+7.5＝11.28+10+7.5＝28.78cm，∴点B到桌面得距离为28.78cm．。
苏科版九年级下册数学：7.6 用锐角三角函数解决问题(共17张PPT)
4、如图所示正方形网格中，A、B、C
都是小正方形的顶点，经过点A作射线CD，
则sin∠DAB的值等于
.
D A
B
C
泰兴市西城初级中学
探究二 转化角
例3：如图，∠1的正切值为______.
y3Βιβλιοθήκη 211 O 123x
泰兴市西城初级中学
探究二 转化角
例4：在如图的正方形方格纸中，AB
与CD相交于点O，则tan∠AOC的值等
A
C
P
DB
泰兴市西城初级中学
探究三 面积法
C
B A
泰兴市西城初级中学
尝试三 面积法 1、如图，在正方形网格中，点O、A、 B均在格点上，则∠AOB的正弦值是( )
A
B O
泰兴市西城初级中学
尝试三 面积法 2、如图，A、B、C三点在正方形网格 线的交点处，则tan∠BAC的值为( )
A
B
C
泰兴市西城初级中学
是
.
C
B
A
泰兴市西城初级中学
尝试一 构造直角三角形 2、如图，每个小正方形的边长为1， A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的正 弦值为 .
A
B
C 泰兴市西城初级中学
尝试一 构造直角三角形
3、如图，△ABC的三个点顶均在正方
形网格格点上，则tan∠BAC=
.
A
B C
泰兴市西城初级中学
尝试一 构造直角三角形
于
.
C
B
O
A
D
泰兴市西城初级中学
尝试二 转化角
1、如图，A、B、C三点在正方形网 格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时 针旋转得到△AC'B'，则 tanB'的值为（ ）
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步练习（附答案）一．选择题1．某人沿着斜坡前进，当他前进30米时上升的高度为15米，则斜坡的坡度i等于（）A．1：2B．1：C．1：D．2：12．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm3．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是10km/h，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，3h后到达小岛A，乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，4h到达小岛B．则A，B 两岛的距离为（）km．A．30B．40C．50D．604．如图，某飞机于空中A处（探测的目标C的正上方），此时飞机的飞行高度AC＝1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角∠DAB＝30°．则飞机A与指挥台B的距离是（）A．1200米B．1200米C．2400米D．1200米5．如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB＝30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC＝60°，热气球与高楼的水平距离为AD＝15米，则这栋高楼的高BC 为（）米．A．45B．60C．75D．906．如图，为了测量河岸A，B两地的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么A，B两地的距离等于（）A．B．a•tanαC．a•sinαD．a•cosα7．如图，一个小球由坡底沿着坡度为1：2的坡面前进了10米，此时小球在竖直方向上上升了（）A．4米B．米C．5米D．米8．如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向然后向西走80米到达C点，测得点B在点C 的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）A．80（）米B．40（）米C．（120﹣40）米D．40（）米二．填空题9．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为3米，主臂伸展角α的范围是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范围是：45°≤β≤135°．当α＝45°时（如图3），伸展臂PQ恰好垂直并接触地面．（1）伸展臂PQ长为米；（2）挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行，则灯塔P到航线AB的距离是海里（结果保留根号）；航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．11．小明用一块含有60°角（∠DAE＝60°）的直角三角尺测量校园内某棵树的高度，示意图如图所示．若小明的眼睛与地面之间的垂直高度AB为1.60m，小明与树之间的水平距离BC为4m，则这棵树的高度约为m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.70）12．为了疫情防控工作的需要，枣庄某学校在学校门口的大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A时测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是．（结果保留根号）13．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，根据图中的数据，求得的坡角a和坝底宽AD分别为．14．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD 为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）15．如图1是一种手机平板支架，图2是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．如图2，若量得支撑板长CD＝8cm，∠CDE＝60°，则点C到底座DE的距离为cm．（结果保留根号）16．如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为i＝1：2.4，它把物品从地面A送到离地面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为米．三．解答题17．一艘渔船以每小时40km的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向；继续航行1h到达B处，测得灯塔C在北偏东30°方向．已知灯塔C的四周30km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？18．如图，为了测量某建筑物AB的高度，小颖采用了如下的方法：先从建筑物底端B点出发，沿斜坡BC行走26米至坡顶C处，在C点测得该建筑物顶端A的仰角为60°，斜坡BC的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物AB的高度（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）．19．如图①是某市地铁站的一组智能通道闸机，当行人通过智能闸机时会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会自动收回到机箱内，行人即可通行．图②是一个智能通道闸机的截面图，已知∠ABC＝∠DEF＝28°，AB＝DE＝60cm，点A、D在同一水平线上，且A、D之间的距离是10cm．（1）试求闸机通道的宽度（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（2）实验数据表明，一个智能闸机通道平均每分钟检票通过的人数是一个人工检票口通过的人数的2倍．若有240人的团队通过同一个人工检票口比通过同一个智能闸机检票口多用4分钟，求一个人工检票口和一个智能闸机通道平均每分钟检票各通过多少人？20．为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，，，，）21．如图所示，电视塔由信号发射塔AB和主楼BC两部分组成．某校九年级数学社团利用元旦假期进行校外实践活动，他们选定点D为观测点，测得DC＝147m，信号发射塔顶A的仰角为45°，发射塔底B的仰角为33°．请你帮他们求出信号发射塔AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.83，tan33°≈0.65）．22．如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和宝塔B，我区某镇准备开发桑葚基地C，经测量C位于A北偏东60°，B的北偏东30°上，且AB＝20km．（1）求宝塔B到桑葚基地C的距离．（2）为了方便游客到桑葚基地C采摘桑葚，镇里决定由C向公路l修建一条距离最短的公路，不考虑其他因数，求出这条最短公路的长．23．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处．这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）求点A，B之间的距离；（精确到0.1米）（2）请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：由题意得：某人在斜坡上走了30米，上升的高度为15米，则某人走的水平距离s＝＝15（米），∴坡度i＝15：15＝1：．故选：C．2．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tan A＝，则＝，解得：AC＝75，则斜坡的水平距离AC为75cm，故选：A．3．解：如图，由题意得，∠AOD＝30°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∵OA＝3×10＝30km，OB＝4×10＝40km，∴AB＝＝50km．故选：C．4．解：由题意可知：∠B＝30°，在Rt△ABC中，sin B＝，∴AB＝＝＝2400（m），答：飞机A与指挥台B的距离约为2400m，故选：C．5．解：∵AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝15m，∴BD＝AD•tan30°＝15×＝15（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝15m，∴CD＝AD•tan60°＝15×＝45（m），∴BC＝15+45＝60（m）．故选：B．6．解：在Rt△ABC中，tanα＝，∴AB＝＝，故选：A．7．解：∵AB的坡度为1：2，∴＝．∴设BC＝x米，AC＝2x米，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝100米．即100＝x2+4x2，解得：x＝2，∴BC＝2米．故选：B．8．解：过点B作BD⊥CA交CA的延长线于D，如图：设BD＝x米，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则x﹣x＝80，解得x＝＝40（+1），答：这段河的宽度为40（+1）米．故选：B．二．填空题9．解：（1）过点M作MH⊥PQ，垂足为Q，则HQ＝MN＝0.5米，在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝32米，∴PH＝PM•sin45°＝32×＝（米），∴PQ＝PH+HQ＝（16+0.50）米，∴伸展臂PQ长为（16+0.5）米，故答案为：（16+0.5）；（2）当∠QPM＝135°时，过点Q作QA⊥PM，交MP的延长线于点A，连接QM，∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，在Rt△APQ中，PQ＝（16+0.5）米，∴AQ＝PQ•sin45°＝（16+0.5）×＝（16+）（米），∵PM＝3米，∴AM＝AP+PM＝16（米），在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），∴挖掘机能挖的最远处距点N的距离为米，故答案为：．10．解：由题意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴AC＝P A＝25海里，∴PC＝AC＝25海里，在Rt△PCB中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝25海里，∴BP＝PC＝25海里，故答案为：25，25．11．解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是矩形，∵BC＝4m，AB＝1.60m，∴AD＝BC＝4m，DC＝AB＝1.60m，在Rt△AED中，∵∠DAE＝60°，AD＝4m，∴ED＝AD•tan60°＝4×＝4（m），∴CE＝ED+DC＝4+1.60≈8.4（m）答：这棵树的高度约为8.4m．故答案为：8.4．12．解：根据题意可知：四边形EFCA和ABDC是矩形，ME＝7.5米，∴CA＝EF＝BD＝1.5米，CD＝AB，设FC＝x，在Rt△MFC中，∵∠MCF＝60°，∴∠FMC＝30°，∴MC＝2FC＝2x，MF＝x，∵∠MDC＝30°，∴∠CMD＝60°﹣30°＝30°，∴CD＝CM＝2x，∵ME＝MF+EF，∴x+1.5＝7.5，解得：x＝2，∴MC＝2x＝4（米），答：体温监测有效识别区域AB的长为4米．故答案为：4米．13．解：过点B作BF⊥AD于F，则四边形BFEC为矩形，∴EF＝BC＝4.5m，BF＝CE＝4m，∵斜坡CD的坡度i＝1：，∴tanα＝＝，∴α＝30°，在Rt△ABF中，AB＝5m，BF＝4m，由勾股定理得：AF＝＝3（m），∴AD＝AF+EF+DE＝（+4）m，故答案为：30°、（+4）m．14．解：∵DE的坡度为i1＝1：，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝30°，∴DC＝DE＝5（m），∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5m，∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，∴BF＝4AB＝20（m），在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），∴斜坡AF的长度约为20.62米，故答案为：20.62．15．解：作CH⊥DE于H，∵CD＝8cm，∠CDE＝60°，∴CH＝CD•sin∠CDE＝8×sin60°＝4（cm），故答案为：4．16．解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得，AC＝12米，由勾股定理得，AB＝＝＝13（米），故答案为：13．三．解答题17．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：根据题意可知∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，∴∠BAC＝30°＝∠ACB，∴BC＝AB＝40×1＝40（km），在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°，sin∠DBC＝，∴CD＝40×sin60°＝40×＝20（km）＞30km，∴这艘船继续向东航行安全．18．解：如图，过C作CE⊥BD于点E，作CF⊥AB于点F，则四边形BECF是矩形，∴BF＝CE，CF＝BE，∵斜坡BC的坡度i＝＝1：2.4＝，∴设CE＝5x米，则BE＝12x米，在Rt△BCE中，BC＝26米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝262，解得：x＝2，∴CE＝10米，BE＝24米，∴BF＝CE＝10米，CF＝BE＝24米，在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，tan∠ACF＝＝tan60°＝，∴AF＝CF＝24米，∴AB＝AF+BF＝24+10≈51.6（米），答：建筑物AB的高度约为51.6米．19．解：（1）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF于点N，如图：在Rt△AMB中，AB＝60cm，∠ABM＝28°，∴sin28°＝，∴AM＝AB×sin28°＝0.47×60＝28.2（cm），同理DN＝28.2cm，∴闸机通道的宽度BE＝AM+AD+DN＝28.2×2+10＝66.4（cm）；答：闸机通道的宽度是66.4cm；（2）解：设一个人工检票口每分钟检票通过的人数为x人，则一个智能闸机检票口每分钟通过的人数为2x人，由题意得：﹣＝4，解得：x＝30，经检验：x＝30是原方程的解，∴2x＝2×30＝60（人），答：一个人工检票口每分钟检票通过30人，一个智能闸机检票口每分钟通过60人．20．解：如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，∵i＝1：＝＝tan∠BAM，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝6（米），在Rt△ABM中，∴NE＝BM＝AB＝6（米），AM＝AB＝6（米），∴ME＝AM+AE＝（6+24）米，∵∠CBN＝45°，∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米，∴CE＝CN+NE＝（6+30）米，在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，∴DE＝AE•tan53°≈24×＝32（米），∴CD＝CE﹣DE＝6+30﹣32＝6﹣2≈8.4（米）答：广告牌CD的高约8.4米．21．解：在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠ADC＝45°，∴AC＝CD＝147（m），在Rt△BDC中，，∴BC＝CD•tan33°≈147×0.65＝95.55（m），∴AB＝AC﹣BC＝147﹣95.55＝51.45≈51.5（m），所以，信号发射塔AB的高度约为51.5m．22．解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝20km，即宝塔B到桑葚基地C的距离为20km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC＝20km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，CE＝BC＝10（km），答：这条最短公路的长为10km．23．解：（1）在Rt△BOP中，∠BOP＝90°，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝120米，在Rt△AOP中，∠AOP＝90°，∠APO＝60°，则AO＝OP•tan∠APO＝120（米），∴AB＝AO﹣BO＝120﹣120≈87.8（米），答：点A，B之间的距离约为87.8米；（2）超过了，理由如下：此车的速度为：≈63.2（千米/小时），∵63.2＞60，∴此车超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度．。
2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步测试(附答案)
2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．河堤的横断面如图，堤高BC是5m，迎水斜坡AB的长是10m，那么斜坡AB的坡度是（）A．1：2B．1：C．1：1.5D．1：32．如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B，取∠ABD＝148°，已知BD＝600米，∠D＝58°，点A，C，E在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是（）A．600sin58°米B．600cos58°米C．600tan58°米D．米3．如图，城关镇某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为m米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．m cosαB．C．m sinαD．4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（）A．60B．100C．50D．205．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝（）A．7海里B．14海里C．3.5海里D．4海里6．小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆P A的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到PB'的位置，测得∠PB'C＝α（B'C为水平线），测角仪B'D的高度为1米，则旗杆P A的高度为（）A．米B．米C．米D．米7．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝6km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（）A．3km B．3km C．4 km D．（3﹣3）km 8．如图，为了测量某栋大楼的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得大楼顶端A 的仰角为30°，向大楼方向前进100米到达F处，又测得大楼顶端A的仰角为60°，则这栋大楼的高度AB（单位：米）为（）A．B．C．51D．1019．如图航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为（）A．100m B．120m C．100m D．120m10．如图，飞机飞行高度BC为1500m，飞行员看地平面指挥塔A的俯角为α，则飞机与指挥塔A的距离为（）m．A．B．1500sinαC．1500cosαD．二．填空题（共9小题，满分36分）11．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到1m，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）12．如图是拦水坝的横断面．斜坡AB的坡度为1：2，BC⊥AE，垂足为点C，AC长为12米，则斜坡AB的长为米．13．如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，BC是建筑物底端的一个平台，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：0.75，坡长为10米，DE为地平面（A，B，C，D，E均在同一平面内），则平台距地面的高度为．14．如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为cm．（用根式表示）15．如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B 到点C上升的高度h是m．16．如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B 在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为海里．17．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．18．如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，则小山岗的高AB＝（结果取整数：参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）．19．如图，点B在点A的北偏西30°方向，且AB＝8km，点C在点B的北偏东60°方向，且BC＝15km，则A到C的距离为km．三．解答题（共5小题，满分44分）20．如图1是放置在水平面上的台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略），其中灯臂AC＝20cm，灯臂CD＝58cm，灯臂与底座构成∠CAB＝127°，灯臂AC与灯臂CD构成的∠DCA＝113°，求灯臂与灯罩连接处点D与桌面AB的距离？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，≈1.73）．21．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小李在距离大楼底部15米的山坡坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走10米到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，求：1）点B距水平面AE的高度BH．2）求广告牌CD的高度测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.414，≈1.732．22．如图（1）是超市的手推车，图（2）为其侧面简化示意图．已知前后车轮直径均为10cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC，CD所在直线与地面的夹角分别为30°，70°，AC＝60cm，CD＝50cm．求扶手前端D到地面的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73）23．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CF是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈3.16）24．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB＝25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：在Rt△ABC中，AC＝＝5；斜坡AB的坡比i＝BC：AC＝5：5＝1：，故选：B．2．解：∵∠DBE＝180°﹣∠ABD＝180°﹣148°＝32°，∴∠E＝180°﹣32°﹣58°＝90°，∴△BDE是直角三角形，∵BD＝600米，∴开挖点E离点D的距离DE＝600cos58°米．故选：B．3．解：由题意可得：cosα＝，则AB＝．故选：B．4．解：Rt△ABC中，BC＝20，tan A＝1：3；∴AC＝BC÷tan A＝60，∴AB＝＝20．故选：D．5．解：过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°且∠PBD＝∠P AB+∠APB，∠P AB＝90﹣75＝15°∴∠P AB＝∠APB，∴BP＝AB＝7（海里）．解法二：由题意，∠P AB＝90°﹣75°＝15°，∠ABP＝150°，∴∠APB＝180°﹣15°﹣150°＝15°，∴∠P AB＝∠APB，∴BP＝AB＝7（海里）．故选：A．6．解：设旗杆P A的高度为x米，则PB′＝x米，在Rt△PB′C中，sinα＝，则x﹣1＝x•sinα，解得，x＝，故选：C．7．解：作AC⊥OB于点C，如右图所示，由已知可得，∠COA＝30°，OA＝6km，∵AC⊥OB，∴∠OCA＝∠BCA＝90°，∴OA＝2AC，∠OAC＝60°，∴AC＝3km，∠CAD＝30°，∵∠DAB＝15°，∴∠CAB＝45°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∴BC＝AC，∴AB＝，故选：A．8．解：设AG＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x，在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x，∴x﹣x＝100，解得：x＝50．则AB＝50+1（米）．故选：A．9．解：由题意可得：tan30°＝＝＝，解得：BD＝30，tan60°＝＝＝，解得：DC＝90，故该建筑物的高度为：BC＝BD+DC＝120（m），故选：D．10．解：由题意得：Rt△ABC中，∠A＝∠α，∠C＝90°，BC＝1500m，∴sin A＝sinα＝，∴AB＝＝m．故选：A．二．填空题（共9小题，满分36分）11．解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．12．解：∵斜坡AB的坡度为1：2，∴＝，又AC＝12，∴BC＝6，∴AB＝＝6，故答案为：6．13．解：如图，延长AB交ED的延长线于F，过C作CG⊥EF于G，则BF＝CG，在Rt△CDG中，i＝＝1：0.75＝，CD＝10米，设CG＝4x米，则DG＝3x米，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝102，解得：x＝2，∴CG＝8（米），GD＝6（米），∴BF＝CG＝8米，即平台距地面的高度为8米，故答案为：8米．14．解：如图，过P作PM⊥AB于M．在Rt△ABP中，PB＝AB•cos30°＝8×＝4；在Rt△BPM中，PM＝PB•sin30°＝4×＝2．故此时水杯中的水深为10﹣2cm．故答案为：10﹣2．15．解：过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，已知∠ABC＝135°，∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝45°，∴CE＝BC•sin∠CBE＝5•sin45°＝5•＝5．所以h＝5，故答案为：5．16．解：由题意得，AC＝60×0.5＝30海里，∵CD∥BF，∴∠CBF＝∠DCB＝60°，又∠ABF＝15°，∴∠ABC＝45°，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠FBA＝15°，又∠EAC＝75°，∴∠CAB＝90°，∴BC＝AC＝30海里，故答案为：30．17．解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE＝CD＝10m，CE＝AD＝1m，∵在Rt△BAE中，∠BAE＝60°，∴BE＝AE•tan60°＝10（m），∴BC＝CE+BE＝10+1（m）．∴旗杆高BC为10+1m．故答案为：(10+1)．18．解：∵tanα＝，∴设AB＝3a，则BC＝4a，∵tan26.6°＝，解得，a＝100，∴AB＝3a＝300，故答案为：300米．19．解：根据点B在点A的北偏西30°方向，点C在点B的北偏东60°方向，得到∠CBA＝90°．在直角△ACB中，根据勾股定理得AC＝＝17（km）．三．解答题（共5小题，满分44分）20．解：如图2，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CF⊥DH于F，过点A作AG⊥CF于G，∵∠AGF＝∠GFH＝∠AHF＝90°，∴四边形AEFG是矩形，∴∠HAG＝90°，∴HF＝AG，∵∠CAB＝127°，∴∠CAG＝∠CAB﹣∠HAG＝37°，在Rt△CAG中，AG＝AC•cos∠CAG＝20×cos37°≈16（cm），∴HF≈16（cm），∵∠ACG＝90°﹣∠CAG＝53°，∴∠DCF＝∠ACD﹣∠ACG＝113°﹣53°＝60°，在Rt△DCF中，DF＝CD sin∠DCF＝58×sin60°≈50.17（cm），∴HD＝DF+HF≈50.17+16≈66.2（cm）．故灯臂与灯罩连接处点D与桌面AB的距离约为66.2cm．21．解：1）在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝i＝，∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝10＝5（米）；2）在Rt△ABH中，AH＝AB•cos∠BAH＝10×cos30°＝10×（米），在Rt△DAE中，tan∠DAE＝，∴DE＝AE•tan∠DAE＝15×＝15米），过点B作BG⊥CE于G，则BG＝AH+AE＝（5+15 ）米，∴DG＝DE﹣EG＝（15﹣5 ）米，∵CG＝BG＝（5+15 ）米，∴CD＝CG﹣DG＝5+15﹣15﹣5 ）＝20﹣10≈2.7（米），故广告牌CD的高度改为2.7米．22．解：如图，分别过点C，D作CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为点M，N．过点C作CP ⊥DN，垂足为点P．易知四边形PCMN为矩形，∴CM＝PN，在Rt△CAM中，∠CAM＝30°，AC＝60cm，∴CM＝30cm，即PN＝30cm．∵CD所在直线与地面的夹角分别为70°，∴∠DCP＝70°，在Rt△DCP中，∠DCP＝70°，CD＝50cm，∴DP＝CD•sin70°≈50×0.94＝47（cm），∴DN＝DP+PN＝47+30＝77（cm），又∵前后车轮直径均为10cm，即AB到地面的距离为5cm，∴77+5＝82（cm），故扶手前端D到地面的距离约为82cm．23．解：据题意得tan B＝，∵MN∥AD，∴∠A＝∠B，∴tan A＝，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tan A＝，∵AD＝9，∴DE＝3，又∵DC＝0.5，∴CE＝2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠2＝90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF＝90°，∴∠A＝∠FCE，∴tan∠FCE＝在Rt△CEF中，CE2＝EF2+CF2设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，代入得（）2＝x2+（3x）2解得x＝（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x＝±，舍负”），∴CF＝3x＝≈2.3，∴该停车库限高2.3米．故答案为2.3．24．解：在Rt△BOE中，∠BOE＝55°，tan55°＝，∴OE＝，在Rt△BDE中，∠BDE＝25°，tan25°＝，∴DE＝，∴DO＝30，∴DO＝DE+OE＝+＝30，解得，BE≈10.6，在Rt△BDE中，∠BDE＝25°，sin25°＝，∴BD＝≈25，答：滑动支架BD的长大约为25cm．。
2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步达标训练(附答案)
2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步达标训练（附答案）1．已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（）A．10海里B．5海里C．5海里D．海里2．如图，一艘船从A处向北偏东30°的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离（）A．15千米B．10千米C．10千米D．5千米3．如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A处小丽的仰角是（）A．35°B．45°C．55°D．65°4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）A．10米B．24米C．25米D．26米5．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC的长度为（）A．B．C．D．6．直升飞机在离地面2000米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（）A．2000米B．米C．4000米D．米7．如图，下列角中为俯角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠48．如果从货船A测得小岛b在货船A的北偏东30°方向500米处，那么从小岛B看货船A 的位置，此时货船A在小岛B的（）A．南偏西30°方向500米处B．南偏西60°方向500米处C．南偏西30°方向250米处D．南偏西60°方向250米处9．如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为（）A．5 米B．5米C．2米D．4米10．我们约定：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，那么就称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线为“闪亮对角线，”相关两边为“闪亮边”．例如：图1中的四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，则AC2＝AB•AD，所以四边形ABCD是闪亮四边形，AC是闪亮对角线，AB、AD是对应的闪亮边．如图2，已知闪亮四边形ABCD中，AC是闪亮对角线，AD、CD是对应的闪亮边，且∠ABC＝90°，∠D＝60°，AB＝4，BC＝2，那么线段AD的长为．11．一段公路路面的坡度为i＝1：2.4，如果某人沿着这段公路向上行走了130米，那么此人升高了米．12．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是海里．13．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高4米，背水坡AB 和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，那么坝底宽BC是米．14．如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是米（保留根号）．15．为了测量某建筑物BE的高度（如图），小明在离建筑物15米（即DE＝15米）的A处，用测角仪测得建筑物顶部B的仰角为45°，已知测角仪高AD＝1.8米，则BE＝米．16．如图，一辆小汽车在公路l上由东向西行驶，已知测速探头M到公路l的距离MN为9米，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为0.6秒，并测得点A的俯角为30o，点B 的俯角为60o．那么此车从A到B的平均速度为米/秒．（结果保留三个有效数字，参考数据：≈1.732，≈1.414）17．图1是某地摩天轮的图片，图2是示意图．已知线段BC经过圆心D且垂直于地面，垂足为点C，当座舱在点A时，测得摩天轮顶端点B的仰角为15°，同时测得点C的俯角为76°，又知摩天轮的半径为10米，求摩天轮顶端B与地面的距离．（精确到1米）参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.96，tan15°≈0.27，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01．18．如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2），窗户打开的角∠AOB的度数为37°．（1）求钩AB的长度（精确到1cm）；（2）现需要将窗户打开的角∠AOB的度数调整到45°时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1cm）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.4）19．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）20．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）21．如图是某地下停车库入口的设计示意图，已知坡道AB的坡比i＝1：2.4，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．22．如图，某小区A栋楼在B栋楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为MN．春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为DM；冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为30°，A栋楼在B栋楼墙面上的影高为CM．已知CD ＝44.5m．（1）求楼间距MN；（2）若B号楼共30层，每层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：tan30°≈0.58，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）23．如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B 的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝0.92，tan22.8°＝0.42】24．如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．25．在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度，在点B处测得楼顶A的仰角为22°，他正对着城楼前进21米到达C处，再登上3米高的楼台D处，并测得此时楼顶A的仰角为45°．（1）求城门大楼的高度；（2）每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之间所挂彩旗的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）参考答案1．解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，∴AC＝BC•tan60°＝5（海里），即海监船C与货轮A的距离是5海里，故选：B．2．解：如图，∵BC⊥AE，∴∠AEB＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝10千米，∴BE＝5米，AE＝5千米，∴CE＝BC﹣BE＝20﹣5＝15（千米），∴AC＝（千米），故选：C．3．解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．故选：A．4．解：作AB⊥CB于B，由题意得，AB＝10米，∵斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得，BC＝24，由勾股定理得，AC＝＝＝26（米），故选：D．5．解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，在Rt△BCD中，∵cos∠BCD＝，∴BC＝＝，故选：B．6．解：根据题意：直升飞机与上海东方明珠底部之间距离是＝＝4000米．故选：C．7．解：根据俯角的定义，首先确定水平线，水平线以下与视线的夹角，即是俯角．故选：C．8．解：如图所示：∵小岛B在货船A的北偏东30°方向500米处，∴货船A在小岛B的南偏西30°方向500米处，故选：A．9．解：作BC⊥地面于点C，设BC＝x米，∵传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴AC＝2x米，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2x）2+x2＝102，解得，x＝2，即BC＝2米，故选：C．10．解，如图，作CH⊥AD于H．∵AC2＝DA•DC时∵DH＝CD•cos∠D，CH＝CD•sin∠D，AH＝AD﹣CD•cos∠D，∴AC2＝AH2+CH2＝（AD﹣CD•cos∠D）2+（CD•sin∠D）2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠D＝AD2+CD2﹣AD•CD，∵AC2＝AD•CD，∴AD2﹣2AD•CD+CD2＝0，∴（AD﹣CD）2＝0，∴AD＝CD，∵∠D＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝＝＝2．故答案为：2．11．解：设此人升高了x米，∵坡比为1：2.4，∴他行走的水平宽度为2.4x米，由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302，解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米，故答案为：50．12．解：如图所示：由题意可得，∠P AB＝30°，∠DBP＝30°，故∠PBE＝60°，则∠P＝∠P AB＝30°，可得：AB＝BP＝40海里．故答案为：40．13．解：过点A作AE⊥BC，DF⊥BC，由题意可得：AD＝EF＝6m，AE＝DF＝4m，∵背水坡AB和迎水坡CD的坡度都是1：0.5，∴BE＝FC＝2m，∴BC＝BE+FC+EF＝6+2+2＝10（m）．故答案为：10．14．解：作CD⊥AB于点D．∴∠BDC＝90°，∵∠DBC＝45°，∴BD＝CD，∵∠DAC＝30°，∴tan30°＝＝＝＝，解得CD＝BD＝500+500（米）．答：该飞机与地面的高度是（500+500）米．故答案为：（500+500）．15．解：过A作AC⊥BE于C，则AC＝DE＝15，根据题意：在Rt△ABC中，有BC＝AC×tan45°＝15，则BE＝BC+CE＝16.8（米），故答案为：16.8．16．解：在Rt△AMN中，AN＝MN×tan∠AMN＝MN×tan60°＝9×＝9．在Rt△BMN中，BN＝MN×tan∠BMN＝MN×tan30°＝9×＝3．∴AB＝AN﹣BN＝9﹣3＝6．则A到B的平均速度为：＝＝10≈17.3（米/秒）．故答案为：17.3．17．解：连接AB、AD、AC，过点A作AE⊥BC于E，则∠AEB＝∠AEC＝90°，由题意得：点A、B在圆D上，∴DB＝DA，在Rt△ABE中，∠BAE＝15°，∴∠DBA＝∠DAB＝75°，∠DAE＝60°，∵DA＝10米，∴AE＝5（米），∴BE＝AE×tan15°≈5×0.27＝1.35（米），∵∠EAC＝76°，∴CE＝AE×tan76°≈5×4.01＝20.05（米），∴BC＝BE+CE＝1.35+20.05≈21（米），答：摩天轮顶端B与地面的距离约为21米．18．解：（1）如图2，过点A作AH⊥OF于H，∵sin O＝＝0.6，∴AH＝20×0.6＝12（cm），∴OH＝＝＝16（cm），∴BH＝16﹣7＝9（cm），∴AB＝＝＝15（cm）；（2）∵∠AOB＝45°，AH⊥OF，∴AH＝OH＝10（cm），∴BH＝＝＝5（cm），∴OB＝OH﹣BH＝14﹣5＝9（cm），答：时窗钩端点B与点O之间的距离为9cm．19．解：过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，∵tan∠ABM＝，∴设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，∵BD＝2，CD＝3.4，∴HN＝2，CH＝3.4﹣2x，∴AH＝5x+2，∵∠ACD＝45°，∴AH＝CH，∴3.4﹣2x＝5x+2，解得：x＝0.2，∴PB＝1，AP＝0.4，∴AB＝＝＝（米），答：显示屏的宽AB的长为米．20．解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．21．解：如图，延长CD交AB于E，∵i＝1：2.4，∴，∴，∵AC＝7.2，∴CE＝3，∵CD＝0.4，∴DE＝2.6，过点D作DH⊥AB于H，∴∠EDH＝∠CAB，∵，∴，，答：该车库入口的限高数值为2.4米．22．解：（1）过点P作PE∥MN，交B栋楼与点E，则四边形PEMN为矩形．∴EP＝MN由题意知：∠EPD＝55.7°∠EPC＝30°．在Rt△ECP中，EC＝tan∠EPC×EP＝tan30°×EP＝EP≈0.58EP，在Rt△EDP中，ED＝tan∠EPD×EP＝tan55.7°×EP≈1.47EP，∵CD＝ED﹣EC，∴1.47EP﹣0.58EP＝44.5∴EP＝MN＝50（m）答：楼间距MN为50m．（2）∵EC＝0.58EP＝0.58×50＝29（m）∴CM＝90﹣29＝61（m）∵61÷3≈20.3≈21（层）答：点C位于第21层．23．解：∵AH⊥直线l，∴∠AHD＝90°，在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，∴DH＝＝，在Rt△BDH中，tan∠BDH＝，∴DH＝＝，∴＝，解得：AB≈5.3m，答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．24．解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin70°＝20×0.94＝18.8，∴AH＝20.8．答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得，解得，x1＝60，x2＝﹣40，经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．25．解：（1）作AF⊥BC交BC于点F，交DE于点E，如右图所示，由题意可得，CD＝EF＝3米，∠B＝22°，∠ADE＝45°，BC＝21米，DE＝CF，∵∠AED＝∠AFB＝90°，∴∠DAE＝45°，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE，设AF＝a米，则AE＝（a﹣3）米，∵tan∠B＝，∴tan22°＝，即，解得，a＝12，答：城门大楼的高度是12米；（2）∵∠B＝22°，AF＝12米，sin∠B＝，∴sin22°＝，∴AB＝32，即A，B之间所挂彩旗的长度是32米．。
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习题(附答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 2．数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B 在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m3．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，迎水坡AB的坡角∠ABC＝45°，背水坡CD的坡比为1：，斜坡AB长8m，则背水坡CD的长为（）A．m B．m C．m D．m4．某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个轴对称图形（如图所示）．若渠底宽BC为2m，渠道深BH为3m，渠壁CD的倾角为α，则渠口宽AD为（）A．（2+3•tanα）m B．（2+6•tanα）mC．（2+）m D．（2+）m5．同学甲为了测量教学楼ABCD的高度CD，在水平地面点F处，观察点D的仰角为32°，再向点C处前行了15米到达点E，即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则教学楼的高CD用三角函数表示为（）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°6．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度为（）（参考数据：≈1.73，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，结果保留整数）A．232m B．246m C．254m D．310m7．如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C，此时测得点B在点C的北偏西55°方向上，则河宽AB的长为（）A．a tan55°米B．米C．米D．米8．从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C 海岛，则C海岛到观测点A的距离是（）A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里二．填空题9．数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离．如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池（AB⊥BD，CD⊥BD），一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°．另一同学在C点测得E点的俯角为45°（点B，E，D在同一直线上），两个同学在学校资料室查出楼高AB＝15m，CD＝20m，则两幢教学楼之间的距离BD约为m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）10．如图，因疫情防控工作的需要，在学校大门上方安装了一个人体体外测温摄像头，学校大门高ME＝7.5米，学生身高BD＝1.5米，当学生准备进入识别区域时，在点B处测得摄像头M的仰角为30°，当学生刚好离开识别区域时，在点A处测得摄像头M的仰角为60°，则体温监测有效识别区域AB的长是米（≈1.73，结果精确到0.1米）．11．一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为海里．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）12．如图，一辆小车沿着坡度为i＝1：的斜坡向上行驶了90米，则此时该小车离水平面的垂直高度为米．13．如图，防洪大堤（横断面为梯形ABCD）长150米，高7米，背水坡的坡角为45°．现准备加固大堤，沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比为i＝1：，则完成这项工程需要土石立方米．（结果保留根号）14．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，旗杆的高度为m．结果保留小数点后一位，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）15．如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α＝60°，观测者眼睛与地面距离CD＝1.7m，BD＝11m，则旗杆AB的高度约为m．（结果取整数，≈1.7）16．国家的发展离不开科技的支持与创新．小明同学是一个航天迷，在一次航空博览会中，我国第五代战机歼﹣31作飞行展示，如图，该飞机到达A点时，测得观礼台C在飞机前下方，俯角为53°，此时飞行路线改为沿仰角为30°方向的直线AB飞行，飞机飞行了6千米到B处时，而居民区D恰好在飞机的正下方，现在的飞行高度为5千米．则观礼台C和居民区D的距离是千米．（sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，结果可保留根号）三．解答题（共8小题）17．2021年底中国高铁运营里程数已达4万公里，中国高铁发展速度之快、质量之高令全世界惊叹，是当之无愧的“国家名片”．如图所示某条高铁路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶BC宽10米，斜坡AB长为15米，斜坡AB的坡角α是32°，斜坡CD 的坡度i＝1：2.5，求路基底AD的长．（结果精确到1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）18．长沙为打造宜游环境，对某旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B 到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，步行道BD的坡度为1：，在D处测得山顶A的仰角为45°．（1）求∠DBC的大小；（2）求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．19．新田“青云塔”始建于清咸丰九年，李白诗云：“脚著谢公屐，身登青云梯，半壁见海日，空中闻天鸡”．云梯学校教学实践活动小组为测量“青云塔”CE的高度，在楼前的平地上A外，观测到楼顶C处的仰角为30°，在平地上B处观测到楼顶C处的仰角为45°，并测得A、B两处相距22m．其中测量仪器AG＝BF＝DE＝1.5米．求“青云塔”CE的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）．20．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡比为且CD＝4米，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度．（结果保留根号）21．宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）22．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在河北岸C处测得对岸A处一棵树位于南偏东50°方向，B处一棵树位于南偏东57°方向，已知两树AB相距6米，求此段河面的宽度．（结果取整数．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin57°≈0.839，cos57°≈0.545，tan57°≈1.540）23．小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C 点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参考数据≈1.732）24．如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）参考答案一．选择题1．解：设AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，经检验：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，故选：A．2．解：由题意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tan C≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：该建筑物AB的高度约为37m．故选：C．3．解：过点A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵AD∥BC，在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，AB＝8m，∴AF＝AB•sin45°＝8×＝4（m），∴AF＝DE＝4m，在Rt△DEC中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，∴CD＝2DE＝8（m），故选：D．4．解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，则BH＝CE＝3m，BC＝HE＝2m，∵四边形ABCD是一个轴对称图形，∴AH＝DE，∵AD∥BC，∴∠ADC＝α，在Rt△DEC中，DE＝＝（m），∴AH＝DE＝m，∴AD＝AH+DE+HE＝2+×2＝（2+）m，故选：D．5．解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，sin∠CED＝，∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°，故选：C．6．解：如图，由题意可知：AD⊥BC，AD＝100m，∠BAD＝36°，∠DAC＝60°，∴BD＝AD•tan36°≈100×0.73＝73（m），CD＝AD•tan60°＝100×＝100≈173（m），∴BC＝BD+CD＝73+173＝246（m），故选：B．7．解：连接AB，BC，由题意得，∠BAC＝90°，∠ABC＝55°，AC＝a米，∴tan∠ABC＝tan55°＝，∴AB＝＝，故选：D．8．解：如图，由题意可得，∠DAB＝60°，∠DAC＝80°，∠CBF＝40°，BC＝40×2＝80（海里），∴∠BAC＝∠DAC﹣∠DAB＝20°．∵AD∥EF，∴∠ABF＝∠DAB＝60°，∴∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝80海里．答：C海岛到观测点A的距离是80海里．故选：D．二．填空题9．解：由题意可得∠AEB＝42°，∠CED＝45°，在Rt△ABE中，tan42°＝≈0.90，解得BE≈16.7，在Rt△CDE中，∠CED＝45°，∴CD＝DE＝20m，∴BD＝BE+DE≈36.7m．故答案为：36.7．10．解：由题意得EF＝BD＝1.5米，∵ME＝7.5米，∴FM＝6米，在Rt△CFM中，∠FCM＝60°，tan60°＝，解得CF＝2，在Rt△DFM中，∠MDF＝30°，tan30°＝，解得DF＝6，∴CD＝DF﹣CF＝6﹣2≈6.9（米），∴AB＝CD＝6.9米．故答案为：6.9．11．解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP＝∠EP A＝60°，∠CAB＝30°，P A＝30海里，∴∠P AB＝90°，∠APB＝180°﹣67°﹣60°＝53°，∴∠B＝180°﹣90°﹣53°＝37°，在Rt△P AB中，sin37°＝≈，解得PB≈50，∴此时与灯塔P的距离约为50海里．故答案为：50．12．解：如图，设斜坡底部为点A，小车位于点B，过点B作水平面的垂线，垂足为点C，由题意得，，设BC＝x米，则AC＝米，由勾股定理得，AB＝＝2x（米），∴2x＝90，解得x＝45，∴此时该小车离水平面的垂直高度为45米．故答案为：45．13．解：过点D作DH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AB于点G．则DE＝GH，EG＝DH＝7米，在Rt△ADH中，∠DAH＝45°，∴△ADH为等腰直角三角形，∴AH＝DH＝7米，在Rt△EFG中，i＝＝，解得FG＝7，由题意知DE＝GH＝3米，∴AF＝FG+GH﹣AH＝7+3﹣7＝7﹣4（米），∴梯形EDAF的面积为＝（平方米），∴完成这项工程需要土石×150＝（3675﹣525）立方米．故答案为：3675﹣525．14．解：在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，CD＝40m，∴BC＝CD＝40m，在Rt△ACD中，∠ADC＝50°，CD＝40m，tan50°＝≈1.192，解得AC＝47.68，∴AB＝AC﹣BC≈7.7（m）．故答案为：7.7．15．解：由题意可得∠COD＝∠AOB＝60°，在Rt△COD中，CD＝1.7m，tan60°＝＝，解得DO≈1，∴BO＝BD﹣DO＝11﹣1＝10（m），在Rt△AOB中，tan60°＝＝，解得AB≈17，∴旗杆AB的高度约为17m．故答案为：17．16．解：如图，过A作AF⊥BD于F，过C作CE⊥AF于E，则四边形CDFE是矩形，∴CE＝DF，在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝6千米，∴BF＝AB＝3（千米），∴AF＝＝＝3（千米），∵BD＝5千米，∴CE＝DF＝BD﹣BF＝2（千米），在Rt△ACE中，∠CAE＝53°，∴tan∠CAE＝，∴AE＝≈＝（千米），∴EF＝AF﹣AE≈3﹣≈3.7（km），∴CD≈3.7（千米），即两个观礼台C与D之间的距离约为3.7千米，故答案为：3.7．三．解答题17．解：过点B作BE⊥AD于E，过点C作CF⊥AD于F，则四边形BEFC为矩形，∴EF＝BC＝10，CF＝BE，在Rt△BAE中，sinα＝，cosα＝，则BE＝AB•sinα≈15×0.53≈8.0，AE＝AB•cosα≈15×0.85≈12.8，则CF＝BE＝8，∵斜坡CD的坡度i＝1：2.5，∴DF＝2.5×8＝20，∴AD＝12.8+10+20≈43（米），答：路基底AD的长约为43米．18．解：（1）如图，作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，∵步行道BD的坡度为1：，∴tan∠DBC＝＝＝，∴∠DBC＝30°；（2）∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，∴四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．19．解：设CD为xm，由题意得：∠ADC＝90°，∠CBD＝45°，∠CAD＝30°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴BD＝CD＝xm，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan30°＝，∴AD＝CD＝xm，∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝22，解得：x＝11（+1）≈30.03，∴CE＝CD+DE≈30.03+1.5≈31.5（m），答：“青云塔”CH的高度约为31.5m．20．解：（1）∵斜坡CD的坡比为，∴＝＝，∴∠DCE＝30°，在Rt△DCE中，DC＝4米，∴DE＝DC＝2（米），∴斜坡CD的高度DE为2米；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DF＝AE，DE＝AF＝2米，在Rt△DCE中，DC＝4米，∠DCE＝30°，∴CE＝DC•cos30°＝4×＝2（米），设BF＝x米，∴AB＝AF+BF＝（x+2）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝45°，∴DF＝＝x（米），∴AE＝DF＝x米，∴AC＝AE﹣EC＝（x﹣2）米，在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，∴tan60°＝＝＝，解得：x＝4+4，经检验：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝4+4+2＝（4+6）米，∴大楼AB的高度为（4+6）米．21．解：由已知可得，tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，设BF＝7a米，AF＝24a米，∴（7a）2+（24a）2＝252，解得a＝1，∴AF＝24米，BF＝7米，∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∴AC＝DC，设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，∵tan∠DBE＝＝，∴tan60°＝，解得x≈41，答：东楼的高度DE约为41米．22．解：如图，作CD⊥AB于D．由题意可知：∠ACD＝50°，∠BCD＝57°，在Rt△ACD中，AD＝CD•tan50°≈1.192CD，在Rt△BCD中，DB＝CD•tan57°≈1.54CD，∵AB相距6米，∴DB﹣AD＝0.35CD＝6（米），∴CD＝17米，答：此段河面的宽度约为17米．23．解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠BDC＝67.5°，∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴BD＝BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，∴AC＝≈2.3km．24．解：（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△AFD中，AF＝AD sin53°＝3.5×0.8＝2.8米，答：点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作AG⊥EC，垂足为G，则AF＝GC，AG＝CF，在Rt△AFD中，DF＝AD cos53°＝3.5×0.6＝2.1米，设CF为x米，则CD为（2.1+x）米，在Rt△BCD中，BC＝CD tan45°＝（2.1+x）米，∴GB＝GC﹣BC＝2.8﹣（2.1+x）＝（0.7﹣x）米，在Rt△AGB中，tan76°＝，∴tan76°＝，∴，解得：x≈0.56，∴CF＝AG＝0.56米，∴AB＝＝≈0.6米．。
初中数学苏科版九年级下册7.6用锐角三角函数解决问题(第2课时)
教学目标
1．知识与技能：
（1）认清俯角、仰角和方位角；
（2）能把实际问题转化为数学问题，能借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明；
2．过程与方法：经历探索实际问题的求解过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的作用；
3．情感态度与价值观：通过对问题情境的讨论，培养学生的问题意识，体验经历运用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想．
学生讨论交流后，回答问题．
思考：（1）如何利用“tanα＝0.15987，tanβ＝0.15847”
这个条件？
（2）如何做辅助线？
通过学生相互讨论，培养学生善于思考的良好习惯．
小结与作业
通过这节课的学习，你有什么感受呢？你对自已这节课的表现有什么评价？你对同学这节课的表现有什么评价？说出来告诉大家．
（2）设哪条线段为未知数计算最简单？
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
例题讲解
怎样测量停留在空中的气球高度呢？明明设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了这样一个方案：
先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°．若明明的眼睛离地面1.6m，如何计算气球的高度呢？（右图）
先自己积极思考并进行回答和交流，如果有困惑可以小组
之间进行讨论和交流．
给学生展现一个轻松活泼的问题情境，激发学生学习兴趣．
探索活动
活动一：如图，飞机在距地面9km高空上飞行，先在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°，飞行一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为60°．求飞机的飞行距离．
教师帮助学生一起画出草图，把实际问题抽象为几何问题，通过图形反映问题中的已知与未知以及已知和未知之间的关系．
2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7-6用锐角三角函数解决问题》同步练习(附答案)
2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.6用锐角三角函数解决问题》同步练习（附答案）1．如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（）A．2千米B．2千米C．2千米D．千米2．如图，大楼AB的右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上）．已知AB＝80m，DE＝10m，求障碍物B，C两点间的距离是（）（结果保留根号）A．50B．70﹣10C．70+10D．70﹣3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（）A．1：2B．1：3C．1：D．：14．如图，点P在点A的北偏东60°方向上，点B在点A正东方向，点P在点B的北偏东30°方向上，若AB＝50米，则点P到直线AB的距离为（）A．50米B．25米C．50米D．25米5．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m6．如图，某同学在山坡坡脚A处时，测得一座楼房的楼顶B处的仰角为60°，沿山坡往上走到C处时，测得这座楼房的楼顶B处的仰角为45°．已知AC＝20m，且AO⊥BO，点O、A、C、B在同一平面内，若此山坡的坡度为1：2，则这座楼房的高BO的值是（）A．（90+30）m B．（90﹣30）m C．（30﹣30）m D．（30+30）m 7．如图，在高度是90米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD是（）（结果可以保留根号）A．30（3+）米B．45（2+）米C．30（1+3）米D．45（1+）米8．如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离（即BC的长）为（）A．40海里B．（20+10）海里C．40海里D．（10+10）海里9．如图，一渔船以32海里/时的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处时，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离（）A．16海里B．18海里C．8海里D．8海里10．如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．A．4B．4C．2D．611．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为米（结果保留根号）．12．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）13．如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A的仰角为45°，那么大厦AB的高度为米（保留根号）．14．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知乙楼的高CD＝20m，则甲楼的高AB的高度是m．（结果保留根号）15．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°方向已34海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行海里．（结果保留根号）16．某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面6米高的地方，那么物体所经过的路程为米．17．如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，则山高BC＝米（结果保留根号）．18．如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD＝BE＝15cm，深DE＝30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i＝1：9，则AC的长为cm．19．如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60°方向上，继续向东航行10海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15°方向上，此时轮船与小岛C的距离为海里．（结果保留根号）20．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为m．（结果保留根号）21．位于成都东郊游乐园旁边的四川电视塔是我国西部地区最高的电视塔．为了培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，某校九年级在电视塔旁边的游乐园空地上开展了测量电视塔高度的实践活动．九年级（一）班第1小组在游乐园空地A处用高为1m的测角仪测得电视塔的顶点A的仰角为45°，然后面向电视塔的方向前进了140m到达B处，在B处测得顶点A的仰角为60°，则该小组测得的四川电视塔的高度为（m）（结果保留根号）22．如图所示，在山脚C处测得山顶A仰角为30°，沿着水平地面向前300米到达点D，在D点测得山顶A的仰角为60°，则山高AB为米（结果保留根号）．23．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为m．24．图1是某种路灯的实物图．图2是该路灯的平面示意图．MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于点A．B，灯臂AC与支架BC交于点C．（1）已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°．AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm；参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（2）某小区第一次用8000元购进一批该型号的路灯．第二次正好赶上商家搞活动．所有商品一律八折销售．该小区仍然用8000元购进第二批该型号的路灯，但所购数量比第一次多8个，求该小区两次共购进该型号的路灯多少个．25．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．（1）求学校到红色文化基地A的距离？（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．参考答案1．解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠CDB＝90°，由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝4千米，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝2（千米），即该建筑物离地面的高度为2千米，故选：A．2．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE＝BF＝CH＝10m，在直角△ADF中，∵AF＝80m﹣10m＝70m，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70m．在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，∴CE＝＝＝10（m），∴BC＝BE﹣CE＝（70﹣10）m．故选：B．3．解：水平距离＝＝4，则坡度为：2：4＝1：2．故选：A．4．解：作PC⊥AB交AB的延长线于点C，由题意得，∠P AC＝30°，∠PBC＝60°，在Rt△ACP中，tan∠P AC＝，∴AC＝＝PC，在Rt△BCP中，tan∠PBC＝，∴BC＝＝PC，由题意得，PC﹣PC＝50，解得，PC＝25，即点P到直线AB的距离为25米，故选：D．5．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20m，∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故选：A．6．解：∵山坡的坡度为1：2，∴CF：AF＝1：2，作CE⊥OB于E，CF⊥OD于F，则四边形EOFC为矩形，∴CE＝OF，CF＝OE，设CF＝xm，则AF＝2xm，∴AC＝xm，∵AC＝20m，∴20＝x，解得x＝20，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝，则OB＝OA•tan∠BAO，在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE，即OB﹣OE＝OA+AF，∴OB﹣20＝OA+40，∴OA＝OB﹣60，∴OB＝（OB﹣60）×解得，OB＝（90+30）m．故选：A．7．解：作AE⊥CD于点E．在直角△ABD中，∠ADB＝45°，∴DE＝AE＝BD＝AB＝90（米），在直角△AEC中，CE＝AE•tan∠CAE＝90×＝30（米）．则CD＝（90+30）米．故选：A．8．解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，AB＝20海里，∴AD＝AB＝10（海里），BD＝AD＝AB＝10（海里），∵∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠BAC＝90°+15°＝105°，∴∠C＝180°﹣105°﹣30°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD＝10（海里），∴BC＝BD+CD＝（10+10）海里，故选：D．9．解：由题意得，AB＝32×＝16（海里），∠ACS＝90°，∵∠A＝30°，∠CBS＝60°，∴∠ASB＝∠CBS﹣∠A＝30°，∴∠ASB＝∠A，∴BS＝AB＝16（海里），在Rt△CBS中，sin∠CBS＝，∴CS＝BS•sin∠CBS＝16×＝8（海里），故选：D．10．解：由题意知，∠P AB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠P AB＝60°﹣30°＝30°，∴∠P AB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△P AC中，∵AP＝6千米，∴PC＝P A＝3千米，在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，∴PB＝＝＝6千米．故选：D．11．解：由题意可得，∠ADB＝60°，∠ACB＝45°，AB＝30m，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝45°，∴AB＝BC，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝60°，∴BD＝AB＝10（m），∴CD＝BC﹣BD＝（30﹣10）m，故答案为：（30﹣10）．12．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．13．解：设AB＝x，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∵∠C＝30°，∠ADB＝45°，CD＝40，∴DB＝x，AC＝2x，∴BC＝＝x，∴∵CD＝BC﹣BD＝40，x﹣x＝40，∴x＝20（+1），故答案为：20+20．14．解：在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，CD＝20m，∴AD＝（m），在Rt△ABD中，∵∠BDA＝45°，∴AB＝AD＝20（m），故答案为：20．15．解：作PC⊥AB于点C，∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以34海里/小时的速度出发，∴∠P AC＝30°，AP＝34×2＝68，∴PC＝AP×sin30°＝68×＝34．∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷＝34，∴乙货船每小时航行34÷2＝17海里/小时，答：乙货船每小时航行17海里．故答案为17．16．解：如图，过A作AB⊥CB于B，由题意得，AB＝6米，∵斜坡的坡度i＝1：2.4，∴＝，即＝，解得：BC＝14.4（米），由勾股定理得，AC＝＝＝15.6（米），故答案为：15.6．17．解：作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD•sin∠BDE＝200×＝100（米），∴BC＝BE+EC＝100+100（米）；故答案为：（100+100）．18．解：过B作BF⊥AC，由题可知BF＝30cm，AF＝30cm．∵tan∠BCA＝＝，∴CF＝270cm，∴AC＝CF﹣AF＝270﹣30＝240（cm）．故答案为：240．19．解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵AB＝10海里，∠BAH＝30°，∴∠ABH＝60°，BH＝AB＝5（海里），在Rt△BCH中，∵∠CBH＝∠C＝45°，BH＝5（海里），∴BH＝CH＝5海里，∴CB＝5（海里）．故答案为5．20．解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝30+30（m）答：该建筑物的高度BC约为（30+30）米．故答案为：（30+30）．21．解：在直角三角形AMN中，∵∠MAN＝45°，∴AN＝MN设MN＝x米，在直角三角形BMN中，∵∠MBN＝60°，∴BN＝＝∵AB＝140m∴x＝140+解得：x＝210+70故答案为：210+7022．解：∵∠C＝30°，∠ADB＝60°，CD＝300米，∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝30°，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴AD＝CD＝300米．∵在Rt△ABD中，∠B＝90°，∠ADB＝60°，∴AB＝AD•sin∠ADB＝300×＝150（米），故答案为：．23．解：由在Rt△ABC中，cos∠ACB＝＝，设BC＝4x，AC＝5x，则AB＝3x，则sin∠ACB＝＝；又∵AB＝6m，∴AC＝10m．故答案为：10．24．解：（1）过点C作CD⊥MN于点D，则∠CDB＝90°，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝40cm，∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×（cm），∵∠ACB＝15°，∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝45°，在Rt△BCD中，BC＝CD＝20≈49（cm），答：支架BC的长约为49cm；（2）设该小区第一次购进该型号的路灯x个，根据题意，得：，解得：x＝32，经检验，x＝32是原方程的解，且符合题意，∴32+32+8＝72（个），答：该小区两次共购进该型号的路灯72个．25．解：（1）作BD⊥AC于D．依题意得，∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ACB＝45°．在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，∴∠CBD＝45°，∴∠CBD＝∠DCB，∴BD＝CD，设BD＝xkm，则CD＝xkm，在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，∴＝，∴AD＝x，在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，∴sin∠DCB＝＝，∴BC＝x，∵CD+AD＝30+30，∴x+x＝30+30，∴x＝30，∴AB＝2x＝60（km）；（2）第二组先到达目的地，理由：∵BD＝30km，∴BC＝x＝30km，第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），∵＜1.5，∴第二组先到达目的地，答：第二组先到达目的地．。
苏科版九年级下册数学7.6用锐角三角函数解决问题同步练习(含解析)
7.6用锐角三角函数解决问题同步练习一．选择题1．如图，一艘渔船从点A出发，沿正南方向航行了半小时到达点B，再沿南偏西60°方向航行了半小时到达点C，此时测得码头D在C的正东方向，该渔船的速度为60海里/时，则B，D 两点间的距离为（）A．10海里B．15海里C．30海里D．90海里2．如图，嘉琪在一座桥的附近试飞一架小型无人机，为了测量无人机飞行的高度AD，嘉琪通过操控装置测得无人机俯视桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°和∠EAC＝30°，且D、B、C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，则无人机的飞行高度AD＝（）A．15米B．15米C．（15﹣15）米D．（15+15）米3．数学兴趣小组的同学们要测量某大桥主架顶端离水面的高CD．在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为45°，测得与大桥主架的水平距离AB为100米．则大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．（100+100•sinα）米B．（100+100•tanα）米C．（100+）米D．（100+）米4．某兴趣小组想测量一座大楼AB的高度，如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i＝1：．在离C点40米的D处，用测量仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高度为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（）（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）A．39.3B．37.8C．33.3D．25.75．如图，这是某市政道路的交通指示牌，BD的距离为5m，从D点测得指示牌顶端A点和底端C点的仰角分别是60°和45°，则指示牌的高度，即AC的长度是（）m．A．5B．5C．5﹣5D．5﹣56．崇州的网红建筑“竹里”，以数学符号“∞”表达融合与无限，以高低不平的屋顶表达曲折与变换，小小布与父母一起去竹里感受当地特有的竹编民宿．当 1.6米的小小布站在自己的竹屋旁的点D时，惊喜地发现平视前方刚刚看见屋顶最低点C．此时他抬头看屋顶的最高点A 时，仰角为30°；小小布沿水平方向直线行走一段长度到达竹屋另一侧的点E，抬头看点A 的仰角为53°；A、C、D、E在同一平面内，若点A到地面的垂直高度为7.2米，则小小布水平行走了（）（sin53°≈，tan53°≈，≈1.7，结果保留一位小数）A．7.0米B．10.0米C．13.7米D．17.6米7．如图，重庆八中某校区足球场有一根旗杆DE，小杰从篮球场的点A处观察到旗杆顶端的仰角是15°，往前走50米到点B处，再沿着坡度为i＝1：0.75的阶梯BC走到足球场的C点，BC＝25米，测得CD之间的水平距离CD＝70米，则旗杆的高度DE为（）米（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）A．37.8米B．42.8米C．52.8米D．56.5 米8．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A．60m B．40m C．30m D．60m9．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．tan55°＝B．tan55°＝C．sin55°＝D．cos55°＝10．为积极参与全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为64°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为27°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为54°，则宣传牌的高度AB高是（）米（参考数据：sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05，sin27°＝0.45，cos27°＝0.89；tan27°＝，sin54°＝0.80，cos54°＝0.59，tan54°＝1.38，结果精确到0.1米）．A．4.4B．5.2C．4.9D．5.1二．填空题11．某斜坡坡角α的正弦值sinα＝，则该斜坡的坡比为．12．如图，一根竖直的木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成37°角，则木杆折断之前高度约为m．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）13．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．14．如图，为了测量矗立在高速公路上水平地面上的交通警示牌的高度CD，在与M相距4米的A处，测得警示牌下端D的仰角为45°，再笔直往前走8米到达B处，在B处测得警示牌上端C的仰角为30°，则警示牌CD的高度为米（结果保留根号）．15．人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若AB，AC的长都为2m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是m．（结果精确到0.1m，参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）三．解答题16．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）17．如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树AB，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部B恰好落在山坡上的点D处，已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）18．因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览．当船在A处时，船上游客发现岸上M处的临皋亭和N处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．（1）求A处到临皋亭M处的距离．（2）求临皋亭M处与遗爱亭N处之间的距离（计算结果保留根号）．参考答案一．选择题1．解：由题意可得，AB＝BC＝60×＝30（海里），在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠CBD＝60°，∴∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝15（海里），即点B、D之间的距离为15海里，故选：B．2．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•tan∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15（米）．答：无人机的飞行高度AD为15米．故选：B．3．解：在Rt△ABC中，，∴BC＝AB•tanα，在Rt△ABD中，tan45°＝，∴BD＝AB•tan45°＝AB，∴CD＝a＝BC+BD＝AB•tanα+AB＝（100+100•tanα）米，故选：B．4．解：如图，延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：，∴设BF＝k，则CF＝k，∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝6，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+6在Rt△AEH中，tan∠AEH＝，∴AH＝tan37°×（40+6）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大楼AB的高度约为33.3米．故选：C．5．解：由题意可得：∠CDB＝∠DCB＝45°，∴BD＝BC＝5，设AC＝xm，则AB＝（x+5）m，在Rt△ABD中，tan60°＝，则＝，解得：x＝5﹣5，即AC的长度是（5﹣5）m；故选：D．6．解：如图，作AH⊥DE于H，交BF于G，则AH⊥BF，由题意得：DE＝BF，GH＝DF＝1.6，AH＝7.2，∴AG＝AH﹣GH＝7.2﹣1.6＝5.6，在Rt△ABG中，tan∠ABG＝，∴BG＝≈＝4.2，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，∴FG＝AG≈1.7×5.6＝9.52，∴DE＝BF＝BG+FG＝4.2+9.52≈13.7（米），即小小布水平行走了13.7米；故选：C．7．解：延长AB交DE于K，过点C作CF⊥BK于F．∵∠CFK＝∠CDK＝∠FKD＝90°，∴四边形CDKF是矩形，∴DK＝CF，CD＝FK＝70（米），在Rt△CFB中，∵∠CFB＝90°，BC＝25米，CF：FB＝1：0.75，∴CF＝20（米），BF＝15（米），∴DK＝CF＝20（米），∴AK＝KF+BF+AB＝70+15+50＝135（米），在Rt△AEK中，EK＝AK•tan15°≈135×0.27≈36.45（米），∴DE＝DK+EK＝20+36.45≈56.5（米），故选：D．8．解：过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m，∴BD＝AD•tan30°＝30×＝10（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m，∴CD＝AD•tan60°＝30×＝30（m），∴BC＝BD+CD＝10+30＝40（m），即这栋高楼高度是40m．故选：B．9．解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，∴sin55°＝，cos55°＝，tan55°＝，故选：B．10．解：过点F作FH⊥CE于H．∵FD∥CE，∵FH∥DE，DF∥HE，∠FHE＝90°，∴四边形FHED是矩形，则FH＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE＝6×tan27°＝3（米），∴FH＝DE＝3（米）．∵CF的坡度为1：1.5，∴在Rt△FCH中，CH＝1.5FH＝4.5（米），∴EH＝DF＝10.5（米），在Rt△ADF中，AD＝DF•tan∠AFD＝10.5×1.38＝14.49，在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan64°≈12.3（米），∴AB＝AD+DE﹣BE＝14.49+3﹣12.3≈5.2（米），答：宣传牌AB的高度约为5.2米，故选：B．二．填空题11．解；如图，设BC＝x，在Rt△ABC中，sin A＝＝，则AB＝2x，由勾股定理得，AC＝＝x，∴斜坡的坡比＝＝＝1：，故答案为：1：．12．解：如图：AC＝3m，∠B＝37°，∴AB＝≈＝5，∴木杆折断之前高度＝AC+AB＝3+5＝8（m）．故答案为8．13．解：由题意可得：tan14°＝＝≈0.25，解得：l＝19.2，故答案为：19.2．14．解：在Rt△ADM中，∵AM＝4，∠MAD＝45°，∴DM＝AM＝4，∵AB＝8，∴MB＝AM+AB＝12，在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，∴MC＝MB tan30°＝4，∴DC＝MC﹣DM＝（4﹣4）（米）答：警示牌的高度CD为（4﹣4）米，故答案为：（4﹣4）．15．解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC•sin50°＝2×0.77≈1.5（m），故答案为1.5．三．解答题16．解：∵AB＝20m，∴DE＝DG+EG＝20m，在Rt△CEG中，∵∠CEG＝45°，∴EG＝CG，在Rt△CDG中，∵∠CDG＝30°，∠DCG＝60°，∴DG＝CG•tan60°，则DE＝CG•tan60°+CG＝20m．即DE＝CG+CG＝20．∴CG＝10﹣10．由题意知：GF＝1.5m．∴CF＝CG+GF＝10﹣10+1.5＝（10﹣8.5）（米），答：塑像CF的高为（）米．17．解：（1）延长BA交EF于点G，在Rt△AGE中，∵∠E＝23°，∴∠GAE＝67°．又∵∠BAC＝38°，∴∠CAE＝180°﹣67°﹣38°＝75°．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ADH中，∵∠ADC＝60°，AD＝4m，∴DH＝AD•cos∠ADC＝6cos60°＝2m，AH＝AD•sin∠ADC＝4•sin60°＝2（m）．在Rt△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝2（m），∴AC＝＝＝2（m），∴AB＝AC+CD＝2+2+2≈10（m）．答：这棵大树折断前高约10m．18．解：（1）过M作MD⊥AC于D，设MD＝x，在Rt△MAD中，∵∠MAB＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AD＝MD＝x，在Rt△MCD中，∠MCA＝90°﹣60°＝30°，∴DC＝MD＝x，∵AC＝600+400＝1000，∴x+x＝1000，解得：x＝500（﹣1），∴MD＝500（﹣1）m，∴AM＝MD＝500（﹣）（m），即A处到临摹亭M处的距离为（500﹣500）m；（2）过B作BE⊥AN于E，∵∠MAB＝45°，∠BA＝75°，∴∠ANB＝60°，在Rt△ABE中，∵∠MAB＝45°，AB＝600，∴BE＝AE＝AB＝300，∴ME＝AM﹣AE＝500（﹣）﹣300＝500﹣800，在Rt△NBE中，∵∠ANB＝60°，∴NE＝BE＝×300＝100，∴MN＝100﹣（500﹣800）＝（800﹣400）m，即临摹亭M处与遗爱亭N处之间的距离是（800﹣400）m．。
九年级数学下册 第7章 锐角三角函数 专题训练(五)应用锐角三角函数解决问题归类同步练习 (新版)苏科版
(五) 应用锐角三角函数解决问题归类► 类型之一 解直角三角形在斜三角形中的应用1．2018·内江如图5－ZT －1是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A ＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝34.求灯杆AB 的长度．图5－ZT －1► 类型之二 解直角三角形在正方形中的应用2．如图5－ZT －2，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G.(1)求证：△DCF ≌△ADG ；(2)若E 是AB 的中点，设∠DCF ＝α，求sin α的值．图5－ZT －2► 类型之三 解直角三角形在测量物体高度中的应用3．2018·达州在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．如图5－ZT －3，用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C 的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B 处，测得雕塑顶端点C 的仰角为45°.该雕塑有多高？(测角仪的高度忽略不计，结果不取近似值)图5－ZT －34．数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度，如图5－ZT －4(示意图)，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i FC ＝1∶10(即EF ∶CE ＝1∶10)，学生小明站在离升旗台水平距离为35 m (即CE ＝35 m )处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α＝37，升旗台高AF ＝1 m ，小明身高CD ＝1.6 m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度．图5－ZT －4► 类型之四 解直角三角形在测量距离中的应用5．2017·邵阳如图5－ZT －5所示，运载火箭从地面 L 处垂直向上发射，当火箭到达点A 时，从位于地面 R 处的雷达测得 AR ＝ 40 km ，仰角是 30° .n 秒后，火箭到达点B ，此时仰角是 45°， 则火箭在这 n 秒中上升的高度为________km .图5－ZT －5► 类型之五 解直角三角形在航海问题中的应用6．如图5－ZT －6，禁渔期间，我渔政船在A 处发现正北方向B 处有一艘可疑船只，测得A ，B 两处之间的距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C 处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度．(结果保留根号)图5－ZT－67．2018·利州区一模如图5－ZT－7，在航线l的两侧分别有观测点A和B，点B到航线l的距离BD为4 km，点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20 km处．现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C处，沿航线l自东向西航行至观测点A的正南方向的E处．求这艘轮船的航行路程CE的长度．(结果精确到0.1 km，参考数据：3≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49)图5－ZT－7►类型之六解直角三角形在坡度、坡角问题中的应用8．如图5－ZT－8，建筑物AB后有一座假山，其坡度i＝1∶3，山坡上点E处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物的水平距离BC＝25米，与凉亭的距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得点E的俯角为45°，求建筑物AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)图5－ZT－8详解详析1．解：如图，过点B 作BH ⊥DE ，垂足为H ，过点A 作AG ⊥BH ，垂足为G. ∵BH ⊥DE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°.在Rt △BHD 中，tan α＝BH DH ＝6，∴BH ＝6DH.在Rt △BHE 中，tan β＝BH EH ＝34，∴BH ＝34EH ，∴8DH ＝EH.∵DE ＝18，DE ＝DH ＋EH ， ∴9DH ＝18， ∴DH ＝2， ∴BH ＝12.∵∠BHD ＝∠AGH ＝∠ACH ＝90°， ∴四边形ACHG 为矩形，∴GH ＝AC ＝11，∠CAG ＝90°， ∴BG ＝BH －GH ＝12－11＝1.∵∠BAC ＝120°，∠CAG ＝90°，∴∠BAG ＝∠BAC －∠CAG ＝120°－90°＝30°， ∴在Rt △AGB 中，AB ＝2BG ＝2. 答：灯杆AB 的长度为2米．2．[解析] (1)利用正方形的性质得两三角形的斜边相等，再根据同角的余角相等得到∠1＝∠3.运用AAS 证明Rt △DCF 与Rt △ADG 全等；(2)中的锐角三角函数可利用全等三角形对应角相等，将α转化成与之相等的∠ADE ，然后放在Rt △ADE 中应用边角关系求出正确结果．解：(1)证明：如图．∵CF ⊥DE ，∴∠DFC ＝∠CFG ＝90°. ∵AG ∥CF ，∴∠AGD ＝∠CFG ＝90°， ∴∠2＋∠3＝90°.在正方形ABCD 中，∠ADC ＝90°， ∴∠2＋∠1＝90°， ∴∠1＝∠3.又∵DC ＝AD ，∠DFC ＝∠AGD ＝90°， ∴△DCF ≌△ADG.(2)∵E 是AB 的中点，∴AD ＝AB ＝2AE.在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2， ∴DE ＝5AE.∵△DCF ≌△ADG ，∴∠2＝∠DCF ＝α， ∴sin α＝AE DE ＝15＝55.3．解：设雕塑的高CD 为x 米． 在Rt △ACD 中，AD ＝xtan 30°＝3x.在Rt △BCD 中，BD ＝xtan 45°＝x.根据题意，得AD －BD ＝4，即3x －x ＝4. 解得x ＝2 3＋2.答：雕塑的高CD 为(2 3＋2)米．4．解：如图，过点D 作DG ⊥AE 于点G ， 则∠BDG ＝α，易知四边形DCEG 为矩形，∴DG ＝CE ＝35 m ，EG ＝CD ＝1.6 m .在Rt △BDG 中，BG ＝DG·tan α＝35×37＝15(m )，∴BE ＝15＋1.6＝16.6(m )．∵斜坡FC 的坡比i FC ＝1∶10，CE ＝35 m ， ∴EF ＝35×110＝3.5(m )．∵AF ＝1 m ，∴AE ＝AF ＋EF ＝1＋3.5＝4.5(m )， ∴AB ＝BE －AE ＝16.6－4.5＝12.1(m )． 答：旗杆AB 的高度为12.1 m .5．[答案] (20 3－20) [解析] 在Rt △ALR 中，根据AR ＝40 km ，∠ARL ＝30°，求出AL ＝20 km ，LR ＝20 3 km .在Rt △BLR 中，求出BL ＝LR ＝20 3 km ，所以火箭在这 n 秒中上升的高度AB ＝BL －AL ＝(20 3－20)km .6．解：如图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则△BCH 是等腰直角三角形．设CH＝x海里，则BH＝x海里，AH＝CH÷tan∠CAH＝3x海里．∵AB＝200海里，∴x＋3x＝200，∴x＝2003＋1＝100(3－1)，∴BC＝2x＝100(6－2)．∵两船均行驶4小时相遇，∴可疑船只航行的平均速度为100(6－2)÷4＝25(6－2)海里/时．答：可疑船只航行的平均速度是25(6－2)海里/时．7．解：在Rt△BDF中，∵∠DBF＝60°，BD＝4 km，∴BF＝BDcos60°＝8 km.∵AB＝20 km，∴AF＝20－8＝12 (km)．∵∠AEF＝∠BDF，∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF，∴AEBD＝AFBF，即AE4＝128.解得AE＝6.在Rt△AEC中，CE＝AE·tan74°≈20.9 km.故这艘轮船的航行路程CE的长度约是20.9 km.8．解：如图，过点E分别作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，EN⊥AB于点N，则四边形BFEN为矩形，∴NE＝BF，BN＝EF.∵建筑物AB后有一座假山，其坡度i＝1∶3，∴设EF＝x米，则FC＝3x米．在Rt△CEF中，∵EF2＋FC2＝CE2，∴x2＋(3x)2＝400，解得x＝10，(负值已舍去)则FC＝10 3米．∵BC＝25米，∴NE＝BF＝(25＋10 3)米．在Rt△ANE中，由题意知，∠AEN＝45°，∴AN＝NE，∴AB＝AN＋BN＝NE＋EF＝25＋10 3＋10＝(35＋10 3)米．答：建筑物AB的高为(35＋10 3)米．。
苏科版九年级数学下册第7章：锐角三角函数 同步训练(含答案)
（苏科版)九年级数学第二学期锐角三角函数同步达标训练☆选择题（请在下面的四个选项中将正确的答案选在括号里）1．如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．A ．12B ．2C ．2D ．32．如图，在Rt ABC V 中，90B ∠=︒，5AB =，12BC =，将ABC V 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，使得点D 落在AC 上，则tan ECD ∠的值为（ ）A ．23B ．32C ．137D ．573．tan 60︒的值等于（ ）AB C D ．124．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ∠BAC 的值为（ ）A ．34B ．25C ．35D ．455．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，则cos ∠DBE 的值是（ ）A ．12B C D 6．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边，（OC OB ^，点A 、B 、C 、D 、O 在同一平面内），已知AB a =，AD b =，DCFx ?.则点A 到OC 的距离等于（ ）A ．sin sin a x b x +B ．cos cos a x b x +C ．sin cos a x b x +D ．cos sin a x b x +7．在Rt ABC V 中，C Rt ∠=∠，若30A ∠=o ，则cos sin A B +等于（ ）A B ．1C D ．128．小华和妈妈到大足北山游玩，身高1.5米的小华站在坡度为1:2i =的山坡上的B 点观看风景，恰好看到对面的多宝塔，测得眼睛A 看到塔顶C 的仰角为30°，接着小华又向下走了B '，这时看到塔顶C 的仰角为45︒，则多宝塔的高度CD 约为（ ）．（精确到0.1米， 1.732≈）A ．51.0米B ．52.5米C ．27.3米D ．28.8米9．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（ ）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米10．如图，在边长为1的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，连接AB ，BC ，CD ，AE ，线段AE 的延长线交BC 于点F ，则tan ∠AFB 的值（ ）．A ．12B C ．49D ．1411．如图坐标系中，O （0，0），A （3，），B （6，0），将△OAB 沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处，若OE ＝65，则AC ：AD 的值是（ ）A ．1：2B ．2：3C ．6：7D ．7：812．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 互相垂直（A 、D 、B 在同一条直线上），设∠CAB＝α，那么拉线BC 的长度为（ ）A ．sin h αB ．cos hαC ．tan hαD ．cot hα☆填空题13．若∠A 是锐角，且sin A ＝cos A ，则∠A 的度数是______．14tan 45︒=_____． 15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC ＝4，sin ∠DBC ＝23，那么线段AB 的长是_____．16．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中sin ∠BAC 的值是_____．17．在ABC V 中，若C 90∠=o ，AB 10=，2sinA 5=，则BC =______ 18．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45︒，测得底部C 的俯角为60︒，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为120m ，那么该建筑物的高度BC 约为_____m （结果保留整数，1.732≈）．19tan 0B -=，那么△ABC 的形状是___． 20．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB 2BC 3=，那么tan ∠DCF 的值是____．☆解答题21．（1）计算（﹣2）3+213-⎛⎫ ⎪⎝⎭+|10﹣4sin60°（2）化简代数式22321124-+⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭a a a a ，再从﹣2≤a≤2中选一个恰当的整数作为a 的值，代入求值．22．如图，在直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10，0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin ∠BOA ＝35．求：(1)点B 的坐标；(2)cos ∠BAO 的值．23．夏季是垂钓的好季节．一天甲、乙两人到松花江的B处钓鱼，突然发现在A处有一人不慎落入江中呼喊救命．如图，在B处测得A处在B的北偏东60︒方向，紧急关头，甲、乙二人准备马上救人，只见甲马上从B处跳水游向A处救人；此时乙从B沿岸边往正东方向奔跑40米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A处在C的北偏东30°方向上，且甲、乙二人在水中游进的速度均为1米/秒，乙在岸边上奔跑的速度为8米/秒．（注：水速忽略不计）（1）求AB、AC的长．≈）（2）试问甲、乙二人谁能先救到人，请通过计算说明理由． 1.724．如图1，△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，过点C作CF//BD,交AB于点E，交AD于点F．（1）求证:△AEF≌△BEC；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，如图2，求sin∠ACH的值．25．某公园有一座古塔，古塔前有一个斜坡,CD 坡角42DCE ∠=︒，斜坡高 1.8DE =米，DQ 平行于水平地面BC 的一个平台．小华想利用所学知识测量古塔的高度,AB 她在平台的点G 处水平放置--平面镜，并沿着DG 方向移动，当移动到点N 时，刚好在镜面中看到古塔顶端点A 的像，这时，测得小华眼睛与地面的距离 1.5MN =米，2GN =米，16BC =米，8DG =米，已知,,AB BC MN DQ ⊥⊥请你根据题中提供的相关信息，求出古塔的高度AB .(参考数据：420.67,420.74,sin cos ︒≈︒≈420.90tan ︒≈)26．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：CD 2＝AD•DB ；（2）如图2，若AC ＝BC ，EF ⊥CD 于H ，EF 与BC 交于E ，与AC 交于F ，且FH HE ＝49，求ADBD 的值；（3）如图3，若AC ＝BC ，点H 在CD 上，且∠AHD ＝45°，CH ＝3DH ，直接写出tan ∠ACH 的值为 ．27．已知抛物线的顶点(1,4)A --，经过点(2,3)B --，与x 轴分别交于C ，D 两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，点M 是抛物线上的一个动点，且在直线OB 的下方，过点M 作x 轴的平行线与直线OB 交于点N ，当MN 取最大值时，求点M 的坐标；（3）如图2，AE y P 轴交x 轴于点E ，点P 是抛物线上A ，D 之间的一个动点，直线PC ，PD 与AE 分别交于F ，G ，当点P 运动时． ①直接写出EF EG +的值；②直接写出tan tan ECF EDG ∠+∠的值．参考答案1．A2．B3．A4．C5．C6．C7．C8．B9．A10．A11．B12．B 13．45° 141 15．16． 17．4 18．328 19．等边三角形 20．2． 21．（1）2﹣（2）21a a --，当a ＝0时，原式＝2；当a ＝﹣1时，原式＝32． 22．（1）(43)，；（2． 23．（1）AB =40AC =米，（2）乙先到达救人地点． 24．(1)略；(2)1725．古塔的高度AB 为21.3米． 26．（1）略；（2）23；（327．（1）223y x x =+-；（2）155,416⎛⎫--⎪⎝⎭（3）①8；②4。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7.6 锐角三角函数的简单应用⑵
进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决 与仰角、 俯角有关的实际问题， 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 重点：进一步用解直角三角形的知识解决与方位角有关的实际问题. 难点：灵活运用三角函数解决实际问题. 教学过程 个案
【知识要点】 认清俯角与仰角
1、当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为仰角. 2、当从高处观测低处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为俯角. 【典型例题】 如图，AB 和 CD 是同一地面上的两座相距 36 米的楼房，在楼 AB 的楼顶 A 点 测得楼 CD 的楼顶 C 的仰角为 45°，楼底 D 的俯角为 30°．求楼 CD 的高。 若已知楼 CD 高为 30 米，其他条件不变，你能求出两楼之间的距离 BD 吗？
教学反思
2．如图,飞机在距地面 9km 高空上飞行,先在 A 处测得正前方某小岛 C 的俯角 为 30°,飞行一段距离后， 在 B 处测得该小岛的俯角为 60°.求飞机的飞行距离。
【数学活动室】 教学书中问题 2 怎样测量停留在空中的气球高度呢？明明设计了这样一个方案： 先站在地面上某点处观测气球 , 测得仰角为 27 ° , 然后他向气球方向前进了 50m,此时观测气球,测得仰角为 40°.若明明的眼睛离地面 1.6m, 如何 计算气 球的高度呢？
C
A B
D
【基础演练】 1、 为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的倾斜角由 60°调整为 45 °.已知调整 后的楼梯比原来多占地 4 米,求楼梯旗时,某同学站在离旗杆底部 24m 处行注目礼,当国旗升至旗杆顶端时, 该同学视线的仰角恰为 30°,若双眼离地面 1.5m,求旗杆的高度.