2018版高中数学(人教A版)必修5同步教师用书：必修5 第2章 2.1 第1课时 数列的概念与简单表示法

2．1 数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法1．理解数列的概念．(重点)2．掌握数列的通项公式及应用．(重点)3．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1数列的定义及分类阅读教材P28～P29第10行，完成下列问题．1．数列的概念及一般形式2．数列的分类类别含义按项的有穷数列项数有限的数列个数无穷数列项数无限的数列按项的 变化趋 势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,7,0,11，－3，…，－1 000不构成数列．( ) (2){a n }与a n 是一样的，都表示数列．( ) (3)数列1,0,1,0,1,0，…是常数列．( )(4)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．( )【解析】 (1)×.因为只要按一定顺序排成的一列数就是一个数列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一个数列．(2)×.因为{a n }代表一个数列，而a n 只是这个数列中的第n 项，故{a n }与a n 是不一样的．(3)×.因为各项相等的数列为常数列，而1,0,1,0,1,0，…为摆动数列，而非常数列．(4)×.两个数列只有项完全相同，且排列的顺序也完全相同才称为同一个数列，数列1,2,3,4与1,2,4,3虽然所含项相同，但各项排列顺序不同，故不是同一个数列．【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)× 教材整理2 数列与函数的关系阅读教材P 29第11行～P 30倒数第3行，完成下列问题． 1．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表： 定义域 正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })解析式 数列的通项公式值域 自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法1．下列四个数中，哪个是数列{n (n ＋1)}中的一项( ) A ．380 B ．392 C ．321 D ．232【解析】 因为19×20＝380，所以380是数列{n (n ＋1)}中的第19项．应选A. 【答案】 A2．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式是a n ＝( ) A.19(10n －1) B .13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n C.29(10n －1) D .310(10n －1)【解析】 1－1101＝0.9,1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n .应选B. 【答案】 B3．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1, 3， 5， 7，________，11，….【解析】 据规律填写可知通项为a n ＝2n －1，∴a 5＝3. 【答案】 34．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项. 【解析】 令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3. 【答案】 3[小组合作型]数列的概念及分类已知下列数列：①2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016；②1，12，14，…，12n－1，…；③1，－23，35，…，(－1)n－1·n2n－1，…；④1,0，－1，…，sin nπ2，…；⑤2,4,8,16,32，…；⑥－1，－1，－1，－1.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．【精彩点拨】紧扣有穷数列，无穷数列，递增数列，递减数列，常数列及摆动数列的定义求解．【自主解答】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．【答案】①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：(1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；(2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；(4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．[再练一题]1．给出下列数列：(1)2006～2013年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个3构成数列3，3，3，3，….(3)－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．【解析】(1)为有穷数列；(2)(3)是无穷数列，同时(1)也是递增数列；(2)为常数列；(3)为摆动数列．【答案】(1)(2)(3)(1)(2)(3)由数列的前几项求通项公式写出下列数列的一个通项公式：(1)12，2，92，8，252，…；(2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….【精彩点拨】先观察各项的特点，注意前后项间的关系，分子与分母的关系，项与序号的关系，每一项符号的变化规律，然后归纳出通项公式．【自主解答】(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n＝n22(n∈N*)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n＝10n－1(n∈N*)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n－1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n表示，综上，原数列的通项公式为a n＝(n＋1)2－n2n－1(n∈N*)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n＝(－1)n 1n(n＋1)(n∈N*)．1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．[再练一题]2．写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)112，223，334，445，…；(4)1,11,111,1 111，….【解】(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是a n ＝n 2－1(n ∈N *)．(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)(n ∈N *)．(3)此数列的整数部分1,2,3,4，…恰好是序号n ，分数部分与序号n 的关系为n n ＋1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝n ＋nn ＋1＝n 2＋2n n ＋1(n ∈N *)． (4)原数列的各项可变为19×9，19×99，19×999，19×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为a n ＝10n －1，所以原数列的一个通项公式为a n ＝19(10n －1)(n ∈N *)．[探究共研型]数列的通项公式的意义探究1 数列12，34，78，1516，3132，…的通项公式是什么？该数列的第7项是什么？255256是否为该数列中的一项？为什么？【提示】 由数列各项的特点可归纳出其通项公式为a n ＝2n －12n ，当n ＝7时，a 7＝27－127＝127128，若255256为该数列中的一项，则2n －12n ＝255256，解得n ＝8，所以255256是该数列中的第8项．探究2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋2n ＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．【提示】 由数列与函数的关系可知，数列{a n }的图象是分布在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．已知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内．【精彩点拨】 (1)将n ＝10代入数列的通项公式即可．(2)由9n 2－9n ＋29n 2－1＝98101求得n (n ∈N *)是否有正整数解即可．(3)求函数a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1的值域即可．【自主解答】 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n 进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })这一约束条件．[再练一题]3．已知数列的通项公式为a n ＝n 2＋2n －5. (1)写出数列的前三项； (2)判断数列{a n }的单调性.【解】 (1)数列的前三项：a 1＝12＋2×1－5＝－2； a 2＝22＋2×2－5＝3； a 3＝32＋2×3－5＝10. (2)∵a n ＝n 2＋2n －5，∴a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋2(n ＋1)－5－(n 2＋2n －5) ＝n 2＋2n ＋1＋2n ＋2－5－n 2－2n ＋5 ＝2n ＋3. ∵n ∈N *，∴2n ＋3>0，∴a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7，…，2n －1可以表示为1,3,5,7，…B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1kD ．数列0,2,4,6,8，…可记为{2n }【解析】 A 错，数列1,3,5,7，…，2n －1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列；B 错，数的顺序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋kk ＝1＋1k ；D 错，a n ＝2n －2(n ∈N *)．【答案】 C2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【解析】 观察数列可知，从第3项起后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13.【答案】 C3．数列1,2, 7，10，13，…中的第26项为________． 【解析】 ∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4， a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13， ∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219. 【答案】 2194．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n ，那么110是它的第________项．【解析】 令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项．【答案】 45．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由. 【解】 (1)∵a n ＝3n 2－28n ， ∴a 4＝3×42－28×4＝－64， a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)， ∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343. ∵－2∉N *，343∉N *， ∴68不是该数列的项．。