2015高中数学2.4正态分布课标分析新人教A版选修2_3

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高中数学选修2-3教学案：2.4正态分布含解析

_2.4正态分布1．正态曲线正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝12π·σ22e2xμσ()－－，x∈R，其中参数μ为正态分布变量的数学期望，μ∈(－∞，＋∞)；σ为正态分布变量的标准差，σ∈(0，＋∞)．正态变量的概率密度函数(即f(x))的图象叫做正态曲线．期望为μ，标准差为σ的正态分布通常记作N(μ，σ2)，μ＝0，σ＝1的正态分布叫标准正态分布．2．正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”．3．正态分布的3σ原则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%；P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%；P(μ－3σ＜X＜μ＋2σ)＝99.7%.可知正态变量的取值几乎都在距x＝μ三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点去理解、记忆．[对应学生用书P40][例1]析式，求出总体随机变量的期望和方差．[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式．[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2. 于是概率密度函数的解析式是 f (x )＝12π·e x 2204()－－，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. [一点通]利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称，由此性质结合图象求μ. (2)正态曲线在x ＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe x 2108()－－，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10解析：由正态曲线f (x )＝12πσx 22e 2()σ－－μ知，⎩⎪⎨⎪⎧2πσ＝8π，μ＝10，即μ＝10，σ＝2. 答案：B2．如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3. 答案：A[例2] X 在(－1,1)内取值的概率．[思路点拨] 解答本题可先求出X 在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x ＝1对称知，X 在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．[精解详析] 由题意得μ＝1，σ＝2，所以P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于x ＝1对称，所以P (－1<X <1)＝P (1<X <3)＝12P (－1<X <3)＝0.341 3.[一点通]解答此类问题的关键在于充分利用正态曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．3．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.解析：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则其正态密度曲线关于x ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.答案：124．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c ＝________. 解析：∵μ＝2，P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， ∴c ＋1＋c －12＝2，解得c ＝2.答案：25．若X ～N (5,1)，求P (5<X <7)．解：∵X ～N (5,1)，∴μ＝5，σ＝1.因为该正态曲线关于x ＝5对称，所以P (5<X <7)＝12P (3<X <7)＝12×0.954 4＝0.477 2.[例3] 服从正态分布N (174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布的性质可以求解． [精解详析] 因为身高X ～N (174,9)，所以μ＝174，σ＝3，所以μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180，所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4. 又因为μ＝174.所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为0.477 2，故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)． [一点通]解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将所求概率向P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这一特殊性质．6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为________．解析：∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X <70)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 4. 答案：0.954 47．灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X (单位：小时)，已知X ～N (1 000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率约为99.7%，则灯泡的最低寿命应控制在多少小时以上？解：因为灯泡的使用寿命X ～N (1 000,302)，故X 在(1 000－3×30,1 000＋3×30)的概率为99.7%，即X在(910,1 090)内取值的概率约为99.7%，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上．根据正态曲线的对称性求解概率的关键要把握三点：(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．[对应课时跟踪训练(十七)]1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的期望为()A．1B．－1C．0 D．不确定解析：因为X＝μ为其对称轴，所以μ＝0.答案：C2．设X～N(10,0.64)，则D(X)等于()A．0.8 B．0.64C．0.642D．6.4解析：∵X～N(10,0.64)，∴D(X)＝0.64.答案：B3．已知随机变量X～N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：因为随机变量X～N(0，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝0对称．又P(X>2)＝0.023，所以P(X<－2)＝0.023，所以P(－2≤X≤2)＝1－P(X>2)－P(X<－2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C4．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，则P(X>4－c)等于() A．a B．1－aC ．2aD ．1－2a解析：因为X 服从正态分布N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (X >4－c )＝P (X <c )＝1－P (X >c )＝1－a . 答案：B5．己知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x ＝μ对称和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.26．如果随机变量X ～N (μ，σ2)，且E (X )＝3，D (X )＝1，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)＝________.解析：因为X ～N (μ，σ2)，E (X )＝3， D (X )＝1，故μ＝3，σ2＝1.又P (2≤X ≤4)＝P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)＝0.682 6，故P (X ＞4)＝1－0.682 62＝0.158 7.答案：0.158 77．已知一个正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2π.(1)求该正态分布密度曲线对应的函数解析式； (2)求正态总体在(－4,4]上的概率．解：(1)因为该正态分布密度曲线对应的函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0，由14 2π＝12πσ，解得σ＝4，所以该函数的解析式为 f (x )＝14 2πx 2e 32－，x ∈(－∞，＋∞)．(2)P (－4<X ＜4)＝P (0－4<X ＜0＋4)＝P(μ－σ<X＜μ＋σ)＝0.682 6.8．某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22)．一公司从该糖厂进货1 500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量．(1)(100－1.2,100＋1.2)；(2)(100－3×1.2,100＋3×1.2)．解：(1)由正态分布N(100,1.22)，知P(100－1.2＜X≤100＋1.2)＝0.682 6.所以糖包重量在(100－1.2,100＋1.2)内的包数为1 500×0.682 6≈1 024.(2)糖包重量在(100－3×1.2,100＋3×1.2)内的包数为1 500×0.997 4≈1 496.。

高中数学 2.4 正态分布新人教A版选修2-3

2 1
)的密度曲线较N(μ2，
2 2
)的密度曲线“高瘦”，因此σ1
＜σ2.
答案：＜＜
(3)可知正态分布N(1,σ2)的密度曲线关于直线x=1对称.若ξ 在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8. 答案:0.8
【要点探究】知识点正态分布 1.对正态曲线的三点说明 (1)解析式中含有两个常数:π和e,这是两个无理数,其中π是圆周率,e是自然对数的底数,即自然常数. (2)解析式中含有两个参数:μ和σ.其中μ可取任意实数;σ>0. 在不同的正态分布中μ,σ的取值是不同的,这是正态分布的两个特征数.
曲线,简称正态曲线.
(2)正态曲线的性质: ①曲线位于x轴_上__方__,与x轴不相交. ②曲线是单峰的,它关于直线_x_=_μ__对称.
1
③曲线在x=μ处达到峰值___2 _ _ _. ④曲线与x轴之间的面积为_1_. ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着_μ__的变化而沿
x轴平移.
⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“_瘦__高__”, 表示总体的分布越_集__中__;σ越大,曲线越“_矮__胖__”,表示总体的分布越_分__散__.如图所示:
关于x=0对称可知，P(x＜0)的值是整个概率1的一半，由此得
【即时练】 (2014·汕头高二检测)若ξ～N(1,0.04),则P(ξ>1)=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 【解析】选D.因为ξ～N(1,0.04),所以μ=1,由正态分布密度曲线可知曲线关于x=1对称,故P(ξ>1)=0.5.
【题型示范】类型一正态曲线及其性质【典例1】 (1)某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示 (由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是

高中数学人教A版选修2-3课件：2-4 正态分布

1
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
反思求正态总体在某个区间上取值的概率,要充分利用正态曲线的对称性和正态分布的三个常用数据.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练2】设X~N(10,1). (1)求证:P(1<X<2)=P(18<X<19); (2)若P(X≤2)=a,求P(10<X<18). (1)证明:∵X~N(10,1), ∴正态曲线 φμ,σ(x)关于直线 x=10 对称,而区间(1,2)和(18,19)关于直线 x=10 对称,
2 19
∴
1
��, ��(��)d�� =
18
��, ��(��)d��,
即 P(1<X<2)=P(18<X<19). (2)解:∵P(X≤2)+P(2<X≤10)+P(10<X<18)+P(X≥18)=1, μ=10, ∴P(X≤2)=P(X≥18)=a,P(2<X≤10)=P(10<X<18), ∴2a+2P(10<X<18)=1, 即 P(10<X<18)=
1 , 注意该式在解题中的运用. 2π��
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三题型四
【变式训练1】关于正态曲线特点的描述: ①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方; ②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方; ③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态分布密度函数是一个偶函数; ④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低; ⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定; ⑥σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“高瘦”. 说法正确的是( ) A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥

2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)

正态总体的函数表示式
f (x)
1
2
e
(x)2 22
x(,)
（1）当x= μ 时,函数值为最大.
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2
y
μ=0 σ=1
(3) f (x) 的图象关于 x=μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数.
当x∈（μ，+∞）时f ( x)为减函数. 标准正态曲线
一小球,任其自由下落,在下
落过程中小球碰到钉子时,从
左边落下的概率是 p, 从右边
落下的概率是 1-p, 碰到下一
排也是如此.最后落入底板中
的某个格.下面我们来试验一
下:
精品课件
精品课件
知识回放
以格子的编号为横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示.
集中与分散的程度
1
平均数
精品课件
2
产品尺寸
(mm)
如果对于任何实数 a，b (a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝ʃbaφμ,σ(x)dx，则称 X 的分布为正态分布，记
3. 正作态分布 .
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826 ； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

人教版新课标高中数学A版选修2-3课本

人教版新课标高中数学A版选修2-3课本人教版新课标高中数学A版选修2-3课本是为高中阶段的学生设计的，旨在帮助学生深入理解数学知识，培养数学思维能力，并为进一步的学习打下坚实的基础。

本课本涵盖了概率论、统计学、算法初步等重要数学分支，是高中数学学习的重要组成部分。

首先，概率论部分介绍了随机事件及其概率，包括古典概型、几何概型和条件概率等基本概念。

通过学习这些内容，学生能够理解随机现象背后的数学原理，并学会如何计算事件发生的可能性。

此外，课本还介绍了概率的加法和乘法规则，以及独立事件和相互独立事件的概念，这些都是解决概率问题的重要工具。

在统计学部分，课本从数据的收集、整理和描述入手，介绍了数据的图表表示方法，如条形图、折线图和饼图等。

这些图表能够帮助学生直观地理解数据的特点和趋势。

课本还涉及了数据的集中趋势和离散程度的度量，包括平均数、中位数、众数、方差和标准差等统计量。

通过学习这些内容，学生能够对数据进行有效的分析和解释。

算法初步部分则让学生初步了解算法的概念和重要性。

课本介绍了算法的基本特征，包括有限性、确定性和有效性，并展示了如何设计简单的算法来解决实际问题。

此外，课本还探讨了算法的效率问题，包括算法的时间复杂度和空间复杂度，帮助学生理解算法性能的评估方法。

在整本书的学习过程中，课本通过大量的例题和习题来巩固学生的理论知识，并提高他们的解题能力。

每个章节后都配有相应的习题，这些习题从易到难，逐步提升难度，旨在帮助学生逐步掌握数学知识，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

总之，人教版新课标高中数学A版选修2-3课本是高中数学教育的重要资源，它不仅提供了丰富的数学知识，还通过各种练习和应用，帮助学生建立起扎实的数学基础，为他们的未来发展奠定坚实的基础。

高中数学 2.4正态分布教案新人教A版选修2-3

福建省漳州市芗城中学高中数学 2．4正态分布教案新人教A 版选修2-3 课题：第课时总序第个教案课型：新授课编写时时间：年月日执行时间：年月日教学目标：知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N (0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学用具：多媒体、实物投影仪教学方法：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

教学过程：复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．例3. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例4．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例5．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-巩固练习： 1,2,3习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学后记：正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。

数学人教A版选修2-3教学设计：2.4正态分布 Word版含解析

教学设计2．4正态分布整体设计教材分析正态分布是高中数学新增内容之一，是统计中的重要内容．一方面，它是在学生学习了总体分布后给出的自然界最常见的一种分布，它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据，因此它起着承上启下的桥梁作用；另一方面，正态分布具有许多良好的性质，许多分布都可以用正态分布来近似描述．因此在理论研究中，正态分布占有很重要的地位．课时分配1课时教学目标知识与技能掌握正态分布在实际生活中的意义和作用．结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．归纳正态曲线的性质．过程与方法能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律，引导学生通过观察并探究规律，提高分析问题，解决问题的能力；培养学生数形结合，函数与方程等数学思想方法．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．重点难点教学重点：正态曲线的性质、标准正态曲线N(0,1)．教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．教学过程复习旧知1．回顾曲边梯形的面积S＝b f(x)dx的意义；⎠⎛a2．复习频率分布直方图，频率分布折线图的作法、意义：①在频率分布直方图中，区间(a，b)对应的图形的面积表示____________________．②在频率分布直方图中，所有小矩形的面积的和为_______________________________．设计意图：用学过的知识来探究新问题，驱动学生思维的自觉性和主动性，让学生亲身感受知识的发生过程，既反映了数学的发展规律，又符合学生的思维特征和认知规律．探究新知提出问题：同学们知道高尔顿板试验吗？课本的内容表述了高尔顿板试验，我们将通过小球落入各个小槽中的频率分布情况来认识正态分布．活动设计：教师板书课题，学生阅读课本中关于高尔顿板的内容．提出问题：(1)运用多媒体画出频率分布直方图．(2)当n由1 000增至2 000时，观察频率分布直方图的变化．(3)请问当样本容量n无限增大时，频率分布直方图变化的情况如何？(频率分布就会无限接近一条光滑曲线——总体密度曲线)(4)样本容量越大，总体估计就越精确．活动结果：总体密度曲线：样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)．式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．1．一般地，如果对于任何实数a ，b(a<b)，随机变量X 满足P(a<X≤b)＝⎠⎛ab φμ，σ(x)dx ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X ～N(μ，σ2)．理解新知正态分布密度函数的理解：φμ，σ(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，其中：x 是随机变量的取值；π是圆周率；e 是自然对数的底；参数μ是正态分布的均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去佑计；参数σ是正态分布的标准差，是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．2．早在1733年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．提出问题：下面给出三个正态分布的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ.(1)f(x)＝12πe－x22；(2)f(x)＝122πe－(x－1)28；(3)f(x)＝2πe－2(x＋1)2.答案：(1)μ＝0，σ＝1；(2)μ＝1，σ＝2；(3)μ＝－1，σ＝0.5.设计意图：概念一旦形成，必须及时加以巩固．通过对问题的解答，进一步加深对定义的认识．提出问题：正态分布N(μ，σ2)是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布．通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响．例如令σ＝0.5，μ＝－1,0,1….活动设计：通过几何画板，作出正态曲线，固定其中一个值，利用几何画板的功能直观地观察正态曲线受到均值μ或标准差σ的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．设计意图：通过对两组正态曲线进行分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头低、中间高、左右对称．正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上．讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质．活动结果：(一)正态曲线的性质：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交，曲线与x轴之间的面积为1.(2)曲线关于直线x＝μ对称．(3)当x＝μ时，曲线位于最高点．(4)当x ＜μ时，曲线上升(增函数)；当x ＞μ时，曲线下降(减函数)．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．(5)σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移．(6)μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中．六条性质中前三条学生较易掌握，后三条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学．(二)标准正态曲线：当μ＝0、σ＝1时，正态分布称为标准正态分布，其相应的函数表示式是f(x)＝12πe －x 22(－∞＜x ＜＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线．教师指出：标准正态分布N(0,1)在正态分布的研究中占有重要的地位．任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题．1．N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：①若ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－μσ～N(0,1)，有P(ξ<x 0)＝F(x 0)＝Φ(x 0－μσ)； ②若ξ～N(μ，σ2)，则P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2－μσ)－Φ(x 1－μσ)． 2．在标准正态分布表中相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率，即Φ(x 0)＝P(ξ<x 0)．两个重要公式：①Φ(x 0)＝1－Φ(－x 0)，②P(x 1<ξ<x 2)＝Φ(x 2)－Φ(x 1)．3．3σ原则．进一步，若X ～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－aμ＋a φμ，σ(x)dx 为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大．这说明σ越小，X 落在区间(μ－a ，μ＋a]的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大．特别有：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4，用图表示为：正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．因此在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．运用新知例1已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)等于( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84解析：解法一：∵P(ξ≤4)＝F(4)＝Φ(4－2σ)＝Φ(2σ)＝0.84，∴P(ξ≤0)＝F(0)＝Φ(0－2σ)＝Φ(－2σ)＝1－Φ(2σ)＝0.16. 解法二：因为曲线的对称轴是直线，所以由图知P(ξ≤0)＝P(ξ>4)＝1－P(ξ≤4)＝0.16. 答案：A例2设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，已知Φ(－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)等于( )A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975解析：解法一∵ξ～N(0,1)，∴P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝Φ(1.96)－Φ(－1.96)＝1－2Φ(－1.96)＝0.950.解法二：∵曲线的对称轴是直线x＝0，∴由图知P(ξ>1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝Φ(－1.96)＝0.025，∴P(|ξ|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950.故答案为C.答案：C例3设X～N(4,1)，求P(5＜x＜6)．分析：确定μ，σ的值，由正态曲线的对称性及P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)的概率计算．解：由已知得，μ＝4，σ＝1，P(3＜X＜5)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(2＜X＜6)＝P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(2＜X＜3)＋P(5＜X＜6)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由对称性得，P(2＜X＜3)＝P(5＜X＜6)＝0.135 9.【变练演编】1．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.答案：0.52．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2解析：正态分布函数的图象关于x ＝μ对称，σ的大小表示变量的集中程度，σ越大，数据分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，数据分布越集中，曲线越“瘦高”．答案：A3．以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ(1－μσ) D ．2Φ(μ＋σ) 解析：考查N(μ，σ2)与N(0,1)的关系：若ξ～N(μ，σ2)，则P(|ξ－μ|<σ)＝P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝Φ(μ＋σ－μσ)－Φ(μ－σ－μσ)＝Φ(1)－Φ(－1)．答案为B. 答案：B【达标检测】1．若随机变量X ～N(μ，σ2)，a 为一个实数，证明P(X ＝a)＝0.证明：对于任意实数a 和自然数n 有{a －1n <X≤a}＝{X ＝a}∪{a －1n<X<a}．因为事件{X ＝a}与事件{a －1n<X<a}互斥，由概率加法公式得 P(a －1n <X≤a)＝P(X ＝a)＋P(a －1n<X<a)≥P(X ＝a)．因为X ～N(μ，σ2)，所以0≤P(X ＝a)≤P(a －1n <X≤a)＝⎠⎛a a －1n φμ，σ(x)dx ≤1σ2π⎠⎛a a －1n dx ＝1n σ2π，n ＝1,2，…，故P(X ＝a)＝0. 点评：本题涉及知识范围较广，是一道综合性较强的题目．2．若X ～N(5,1)，求P(6＜X ＜7)．解：由X ～N(5,1)知，μ＝5，σ＝1.因为正态密度曲线关于x ＝5对称，所以P(5＜X ＜7)＝12·P(3＜X ＜7)≈12·0.954 4＝0.477 2； P(5＜X ＜6)＝12·P(4＜X ＜6)≈12·0.682 6＝0.341 3； P(6＜X ＜7)＝P(5＜X ＜7)－P(5＜X ＜6)≈0.135 9.3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为12π，求总体落入区间(－1.2,0.2)之间的概率．解：正态分布的概率密度函数是f(x)＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)的最大值为f(μ)＝12πσ，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布． P(－1.2<x<0.2)＝Φ(0.2)－Φ(－1.2)＝Φ(0.2)－[1－Φ(1.2)]＝Φ(0.2)＋Φ(1.2)－1.课堂小结1．正态分布．2．正态分布密度曲线及其特点．3．标准正态曲线．4．了解3σ原则．补充练习【基础练习】1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x ＝μ对称，整条曲线在x 轴的上方；(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；(3)曲线在x ＝μ处处于最高点，由这一点向左右两侧延伸时，曲线逐渐降低；(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”．上述叙述中，正确的有__________．答案：(1)(3)(4)2．设某长度变量X ～N(1,1)，则下列结论正确的是( )A ．E(X)＝D(X)＝D(X)B ．D(X)＝D(X)C ．E(X)＝D(X)D ．E(X)＝D(X)答案：A3．把一个正态曲线a 沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b.下列说法中不正确的是( )A ．曲线b 仍然是正态曲线B ．曲线a 和曲线b 的最高点的纵坐标相等C ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的均值比以曲线a 为概率密度曲线的总体的均值大2D ．以曲线b 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a 为概率密度曲线的总体的方差大2答案：D【拓展练习】1．设X ～N(0,1)．①P(－ε＜X ＜0)＝P(0＜X ＜ε)；②P(X ＜0)＝0.5；③已知P(│X│＜1)＝0.682 6，则P(X ＜－1)＝0.158 7；④若P(│X│＜2)＝0.954 4，则P(X ＜2)＝0.977 2；⑤若P(│X│＜3)＝0.997 4，则P(X ＜3)＝0.998 7；其中正确的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：D2．已知X ～N(0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率等于( )A ．0.022 8B ．0.045 6C ．0.977 2D ．0.954 4答案：A3．设随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ＞C)＝p ，那么p 的值为( )A ．0 B.12C ．1D ．不确定，与σ有关答案：A4．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ξ～N(200,18)，则取得的这件材料的强度不低于180的概率为( )A ．0.997 3B ．0.866 5C ．0.841 3D ．0.815 9答案：A设计说明本节课的教学设计力求体现教师主导，学生主体的原则，体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教学思想，突出以下几点：1．注重目标控制，面向全体学生，启发式教学．2．学生通过自主探究参与知识的形成过程，让学生真正地学会学习，也就是让学生主动建构式的学习，真正掌握学习方法．备课资料备选例题：1．若X ～N(μ，σ2)，问X 位于区域(μ，μ＋σ)内的概率是多少？解：P(μ<X<μ＋σ)＝12P(μ－σ<X<μ＋σ)≈12×0.682 6＝0.341 3. 2．某年级的一次信息技术测验成绩近似地服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？解：(1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N(70,102)，其中μ＝70，σ＝10，在60到80之间的学生占的比例为P(70－10<X<70＋10)≈0.683＝68.3%，所以不及格的学生占的比例为0.5×(1－0.683)≈0.159＝15.9%；(2)成绩在80到90之间的学生占的比例为0．5×[P(70－2×10<X<70＋2×10)－P(70－10<X<70＋10)]≈0.5×(0.954－0.683)≈0.136＝13.6%.(设计者：刘鹏)。

数学：2.4《正态分布》课件(新人教A版选修2-3)

S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
m
x2 x1
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 x 服从一个 x ~N(90,100). 正态分布，即（1）试求考试成绩 x 位于区间(70,110)上的概率是多少？ 0.9544
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
练习
1 解： P 5 X 7 P 3 X 7 0.4772 2 1 P 5 X 6 P 4 X 6 0.3413 2 P 6 X 7 P 5 X 7 P 5 X 6 0.1359
1、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格，求：
（1）成绩不及格的人数占多少？
15.87%
（2）成绩在80~90内的学生占多少？ 13.59%
μa μ μa
上述结果可用图 2.4 7表示
68.26% 95.44%
图2.4 6
99.74%
μ
2σ
4σ
μ
6σ
μ
图2.4 7
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
m
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
b a
x
即由正态曲线 ,过点a,0和点b,0的两条 x 轴的垂线 , 及x轴所围成的平面图形的面积(图2.4 4中阴影部 a,b的概率的近似值分的面积), 就是X落在区间 .

高三数学a版教材教材分析课件人教版选修2-3

• 例如，教科书在删减计数难题的同时，增加了计算机程序设计中程序模块命名、字符编码、程序测试路径，以及核糖核酸分子、汽车牌照号码等计数问题。这些问题可以让学生感受到计数问题的时代性，增强应用意识。
四、对教学的几个建议
1．准确把握教学要求 • 与“大纲”比较，“课标”不要求掌握
“组合数的两个性质”(组合数恒等式题用二项式证)。 • “课标”对本章内容的定位是:用计数原理、排列与组合概念解决“简单的实际问题”。所以，教学中一定要把握好这种定位，避免在技巧和难度上做文章(排列组合的求值化简证明题难度要控制,要重点做应用题)。
(如第10页.教材更实际实用了贴近高考要求) 5.组合数性质要求有变化 . 6.文科不学本章内容.
计数原理的课程设置意图
必修3概率计数原理选修2-3概率
1.必修3强调概率思想，避免复杂的组合计算干扰学生对概率思想的领悟
2.本章为进一步研究概率做准备 3.本章学习,提供思想和工具
计数问题是数学中的重要研究对象之一，计数原理为解决很多实际问题提供思想和工具(分类分步思想不仅仅是解计数问题)
本章内容涉及分类、化归、从特殊到一般、多元联系表示等众多数学思想方法。 3．强调对基本概念的本质的理解。
4．加强用两个计数原理解决问题的基本思想方法
案例1：二项式定理的猜想与证明过程
（1）在“探究”中提出如何利用两个计数原理得出 n =2，3，4的展开式的问题；
（2）详细写出用多项式乘法法则得到n=2展开式的过程，并从两个计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项数以及项的形式；
二、课时安排及说明
1．本章有三节内容，共14课时
具体分配如下（供参考）：
1．1 两个计数原理

高中数学_2.4正态分布教学设计学情分析教材分析课后反思

2.4正态分布的教学设计本节课是普通高中课程标准实验教科书数学人教A版选修2-3中的内容，共一课时。

【教学重点、难点】教学重点：正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义.教学难点：正态分布密度曲线所表示的意义一、情境引入——高尔顿板试验二、建立概念——钟形曲线——正态曲线——正态分布（一）钟形曲线（二）正态曲线（三）正态分布三、探究曲线特点正态曲线一方面是函数的图象，另一方面正态曲线是刻画随机变量的概率分布规律，因此我们可以从函数概率两个方面探究正态曲线的特点.正态曲线特点（1）曲线位于轴上方，与轴不相交（2）曲线是单峰的，它关于直线对称（3）曲线在处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为1当一定时曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移当一定时曲线形状由确定，越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散四、归纳小结为了进一步培养学生的概括和语言表达能力，课堂小结设置了2个问题：（1）本节课我们学习的知识有哪些？（2）在正态曲线、正态分布概念的得出和正态曲线特点的探究上，我们用了哪些研究问题的方法，体现了哪些数学思想？五、布置作业课本P75 A组1，2；2.4正态分布的学情分析所带班级的学生能够应用图形计算器解决简单的数学问题，在年级中属于中上游的学生。

认知基础方面：学生学习了统计与概率的相关知识，大部分学生能够画出所给数据的频率分布直方图和频率分布折线图，并根据频率分布直方图和频率分布折线图初步分析数据的分布规律，具有一定的统计思想.大部分学生会用数形结合思想方法研究一些简单的数学问题，能够收集、整理和分析一些简单的统计问题.但是，本节课需要学生由离散型随机变量到连续型随机变量，由离散型随机变量的分布列得到连续型随机变量的分布密度函数，这对学生来说是一个挑战，如何认识正态曲线的特点及其表示的意义也是学生学习的难点.正态曲线的特点和意义学生可通过高尔顿板试验、画频率分布直方图和频率分布折线图以及图形计算器的探究活动来学习，正态分布密度函数的得出需要教师给予适度的指导.2.4正态分布·效果分析通过对学生的随机调查，本节课的教学效果很好。

高中数学 2.4正态分布课件新人教A版选修23(1)

• 5．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布 N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________.
• [答案] 10
[解析] 由 ξ～N(100,102)知，μ＝100，σ＝10，又 P(90≤ξ≤100)＝0.3， ∴P(ξ>110)＝P(ξ<90)＝1－P90≤2 ξ≤110 ＝1－2P902≤ξ≤100＝1－22×0.3＝0.2. ∴该班学生成绩在 110 分以上的人数为 0.2×50＝10 人．
正态分布
新知导学
1．称函数
φμ，σ(x)＝
1 2πσ
e－x－2σμ2 2，x∈(－∞，＋∞)的
图象为__正__态__分__布__密__度__曲__线__，简称_正__态__曲__线___，其中 μ 和 σ(σ>0)
为参数．
2．一般地，如果对于任意实数 a<b，随机变量 X 满足
bφμ，σ(x)dx P(a<xLeabharlann b)＝__a ________，则称
[解析] ∵ξ～N(1，14)，∴E(ξ)＝1， ∴E(η)＝6E(ξ)＝6.
3．(2015·潍坊市五县高二期中)设随机变量 ξ 服从正态分布
N(4,5)，若 P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则 a 的值等于( )
A．73
B．53
C．5
D．3
• [答案] D
[解析] 已知 ξ～N(4,5)，所以 μ＝4，又因为 P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以2a－32＋a＋2＝4，解得 a＝3.
B．0.1587
• C．0.1586
D．0.1585

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.4 正态分布

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递减当 x＞0 时，f(x)单调____________ ；
递增．当 x＜0 时，f(x)单调__________
基础梳理
(μ－3σ，μ＋ 3σ) 4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间___________ 之
内，而在此区间以外取值的概率只有________ ，通常认为 0.002 6 这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
第二章
随机变量及其分布
2．4 正态分布
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1．利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线
的特点及曲线所表示的意义． 2．了解变量落在区间(μ－s，μ＋s]，(μ－2s，μ＋ 2s]，(μ－3s，μ＋3s]的概率大小． 3．会用正态分布去解决实际问题．
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基础梳理
μ σ 总体的平均数和标准差，即 E(ξ)＝________ ，D(ξ)＝______.
2
(2)其函数图象称为正态曲线．
基础梳理
例如：如果随机变量 ξ 的概率密度函数为：φμ，σ(x)＝ 1 e 2π
标准正态分布．， x∈(－∞，＋∞)，则称 ξ 服从______________ 此
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)
解析：因为随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4)，因为 P(ξ<2a－3)＝p(ξ>a＋2)，所以 2a－3 与 a＋2 关于 x＝3 7 对称，所以 2a－3＋a＋2＝6，所以 3a＝7，所以 a＝ . 3 故选 A. 答案：A
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题型一正态分布的相关概念用
例1 把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个
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A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线 C1、C2 分别与 x 轴所夹的面积相等

高中数学人教A版选修2-3教学课件：2.4正态分布

• 1．当样本容量无限增大时，它的频率分无限接近于布直方图一条总体密度曲线，在总体所在系统相对稳定的情况下，总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：
正态曲线 •正态分布密度曲线其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称 φμ，σ(x)的图象为，简称．
1 • (4)曲线与x轴之间的面积为；平移 x 轴 • (5) 当 σ 一定时，曲线随 μ 的变化而沿；
• [ 解析 ] 由已知得 P(4<X≤6) ＝ 0.6826 ， P(3<X≤7) ＝ 0.9544 ，所以 P(3<X≤4) ＋ P(6<X≤7)＝0.9544－0.6826＝0.2718，由对称性得 P(3<X≤4) ＝ P(6<X≤7) ，所以 P(6<X≤7)＝＝0.1359. • [ 点评 ] 解此类题首先由题意求出 μ 及 σ 的值，然后根据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点 ( 如对称性，与 x 轴围成的面积是1等)进行求解．
• [答案] C • [ 解析 ] 由正态曲线的性质知正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称，所有正态曲线都在 x 轴上方，且呈两头低中间高的形状，A中μ＝ 0，D中μ＝0，故A，B，D正确，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它才服从或近似服从正态分布，故C错误，答案选C.
• P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝
0.9974
；
• P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝
.
[答案] B
[解析]
(x－μ)2 2σ2
1 仔细对照正态分布密度函数： f(x)＝ e－ 2πσ
(x∈R)，注意指数 σ 和系数的分母上的 σ 要一致，以及

高二年级下学期新课标A版高中数学选修2-3 第二章随机变量及其分布

数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，
且 f(x)＝φμ，σ(x)＝ 18πe－x－8102，则这个正态总体的均值与标
准差分别是( )
A．10 与 8
B．10 与 2
C．8 与 10
D．2 与 10
解析：由正态密度函数的定义可知，总体的均值μ＝
数学选修2-3
10，方差σ2＝4，即σ＝2.
答案： B
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
2．设 X～N－2，14，则 X 落在(－3.5，－0.5)内的概率是
()
A．95.44%
B．99.74%
C．4.56%
D．0.26%
解析：由 X～N－2，14知，μ＝－2，σ＝12，则 P(－3.5<X≤ －0.5)＝P－2－3×12<X≤－2＋3×12＝0.997 4.
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
200个产品尺寸的频率分布直方图
数学选修2-3
第二章随机变量及其分布
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为总体密度曲线．
解析： (1)根据正态曲线的特点，由 P(2≤X≤4)＝0.682 6， P(X<2)＋P(2≤X≤4)＋P(X>4)＝1， ∴P(X>4)＝P(X<2)＝1－P2≤ 2 X≤4＝0.158 7.

高中数学_2.4 正态分布教学设计学情分析教材分析课后反思

正态分布教学设计-------人教B版选修2-3一、【教学目标】一、知识与技能1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质．二、过程与方法讲授法与引导发现法．通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法，体会数学知识的形成．三、情感态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．二、【教学重点与难点】重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义．三、【教学方法】讲授法与引导发现法，小组合作法。

四、【教学过程】一、情境引入引导学生思考回顾，教师通过课件演示作图过程．在这里引导学生回忆得到，此处的纵坐标为频率除以组距．教师提出问题：这里每个长方形的面积的含义是什么？学生经过回忆，易得：长方形面积代表相应区间内数据的频率．师生互动通过把与新内容有关的旧知识抽出来作为新知识的“生长点”，为引入新知搭桥铺路，形成正迁移．通过这里的思考回忆，加深对频率分布直方图的理解．二、建立概念——正态曲线——正态分布（一）画频率分布直方图预设学生活动：教师引导学生调用在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布折线图，并思考下面问题.组内讨论交流后，以小组选派的代表的方式请1-2名学生展示.预设学生活动：随着试验次数增加或组距不断缩小，频率分布折线图的形状也越来越光滑.【设计意图】为引入新知搭桥铺路，为了让学生由特殊到一般归纳正态曲线的概念做铺垫，同时也说明了正态分布在概率统计理论和实际应用中都占有重要的地位.（二）正态曲线教师借助几何画板演示，引导学生思考当试验次数增加或组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？预设学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线.【设计意图】这个步骤实现了由离散型随机变量到连续型随机变量的过渡，突破学生由离散到连续认知上的障碍.通过几何画板让学生直观形象地感受正态曲线的形成过程.正态曲线就是函数的图象，其中和（）为参数，我们. 【设计意图】对高中生学生来说，正态分布密度函数的推导是十分困难的，因此，从数学史的角度介绍正态分布密度曲线的解析式，既使学生易与接受又渗透了数学文化.（三）正态分布引导学生认识是一个随机变量，这样计算小球落在某个区间的概率，就是求.引导学生回忆频率分布直方图是用面积来表示概率的，这样学生能够结合定积分和概率的知识，想到用曲边梯形的面积计算概率。

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2015高中数学 2.4正态分布课标分析新人教A版选修2-3 课标对这一节的要求是：通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

课标要求通过实际问题，借助直观，所以我借助高尔顿板进行引入，在给学生带来乐趣的同时，又向学生展示了问题，从而形象的得到频率分布直方图，借助几何画板，生动形象的让学生感受逐步逼近的数学思想，从而得出正太曲线。

课标要求学生认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，所以我把其定为本节课的重点让学生在探索中发现特点，并再次借助几何直观让学生充分感受参数对正态曲线的影响。

并让学生了解正态曲线在现实生活中的作用，能并学以致用，充分利用其曲线特点来解决一些简单的问题。

1。