二次根式性质复习课
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初三二次根式复习课件
a
b
ab ( a 0 , b 0 )
a 1 a 2 a 3 ....... a n ( a 1 0 ,a 2 0 ,..... a n 0 )
乘法公式的推广：
a 1 a 2 a 3 ........ a n
a
;
a b
(a 0, b 0)
2. 二次根式的性质
1. a ≥0(a≥0)(双重非负性) 2．( a)2 ＝a(a≥0)； 3.
a (a 0) a ＝|a|＝ ； a (a 0)
2
4. ab＝ a· b(a≥0，b≥0)； 5. a a ＝ (a≥0，b>0)． b b
3.二次根式的运算:
①加减法：先化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式； ② 乘法和积的算术平方根可互相转化:
作业布置：试卷
如图，实数在数轴上的位置， 化简 ：
a
2
a
b
2
(a b )
2
、
b
（2011山东）实数a在数轴上的位置如图所 示，则 ( a 4 ) ( a 1 1) 化简后为
2 2
0
5
a 10
a＋2 [2011· 州 ] 要使式 子 鄂 有意义， 则 a 的 取值范围 为 a _____．
[2011· 乌兰察布]
x＋1＋(y－2011) ＝0，则 x ＝____.
2
y
y
2x 3
3 2 x 1,
2x y
化简:
最简二次根式应满足的条件:
（1）被开方数中不含有能开得尽的因 数或因式． （2）根号内不含分母. （3）分母上没有根号.
湘教版数学八年级上册第5章《二次根式单元复习课》课件
【解析】原式=3 ×
=12 -6
=6 .
×2
3
×2
2
-6
2-6 2.
15.计算:
(1)3 2×
2
3
(2 − 5)2 + 45;
【解析】(1)原式=3 ×
Ʊ =2 +2 +2.
(2)
1 −1
-|-2+
3
3|+( 2-2 024)0-( 2- 3)( 2+ 3).
A.a>0,b>0
B.a<0,b<0
C.a≤0,b≤0
D.a≥0,b≥0
10.(2023·青岛中考)下列计算正确的是( C )
A. 2+ 3= 5
B.2 3- 3=2
C. 2× 3= 6
D. 12÷3=2
11.(2023·聊城中考)计算:( 48-3
1
)÷
3
3
3=_______.
12.(2023·天津中考)计算( 7+ 6)( 7- 6)的结果为_______.
的值.
【解析】(3)当a=1,b=3时,T=t1+t2+t3+…+t50
=S2-S1+S3-S2+S4-S3+…+S51-S50
=S51-S1=(1+50 )2-1
=7 500+100 .
本课结束
A.2
B.4
C. 7
142
=(
2
D.2
A )
D. 2
8.(2023·呼和浩特中考)实数m在数轴上对应点的位置如图所示,化简: ( − 2)2 =
最新人教版初中八年级下册数学【二次根式复习】教学课件
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
8．已知：x 2 3 ，y 2 3 ，求代数式 x2 xy y2的值．
9．已知 a 5 1，求代数式 a2 2a 7 的值．
初中数学 解决问题
7．计算：( 8 2) 1 ． 2
解：原式= (2 2 2) 1 2 1 1．
初中数学 解决问题
1．若 3 m 为二次根式，则 m的取值范围是 m≤3 ．
2．在根式 ① ( y 1)2 ②
x③ 5
27mn ④
是
④
．（填序号）
a2 b 中，最简二次根
式
3．已知 y x 2 2 x 3 ，求 xy 的值．
8
解：∵ x 2 0,
2 x 0.
总结： 二次根式要求被开方数
初中数学 复习运算
乘法： a b = ab （a≥0，b≥0）；
反之： ab= a b（a≥0，b≥0 ）．
乘除运算
除法： a a （a≥0，b＞0 ）； bb
运算
aa 反之： （a≥0，b＞0 ）．
bb
加减运算
步骤：“一化简、二判断、三合并”； 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
（2）∵ x 5 0, 1 x 0.
∴ -5≤x<1.
总结：转化为解不等式组.
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值．
初中数学 综合应用
例2 两个最简二次根式 a b 与 c b 相加得 6 5 ，求 a+b+c的值． 解：∵ a b c b 6 5， ∴ b=5， ∴ a 5 c 5 (a c) 5 6 5. ∴ a+c=6， ∴ a+b+c=11．
二次根式复习课
8、若
a = −a 则a是（ ）数。
2
9、下列等式中一定成立的是（ A. 9 × 16 = 9 + 16 B. C. 9 × 16 = 9×16 D.
）
a 2 − b2 = a − b
( x + y)2 = x + y
计算：
( 7 + 5)
2
1 12 − ( 27 − 2
3 − 3( 12 − 2 18) 2 1 1 3 2 12 ÷ 50 × 48) 2 2 4
2 2
(a − 3) 2 | a − 2 | 若2<x<3，则化简 + a −3 a−2
设 为
5=m
。
，则用含m,n的式子表示 3 = n 则用含 的式子表示
3.75
问题导学： 问题1：阅读课本内容 P4——19，回顾本单元主要知识， 对二次根式的有关知识进行整理 1、形如 叫二次根式，其 中a是 ，叫做 。 2、二次根式的性质 3、最简二次根式。 4、同类二次根式。 5、二次根式的加减运算法则 6、二次根式的乘法法则 二次根式的除法法则 7、二次根式的混合运算的法则 8、分母有理化。
(5 48 − 6 27 + 12) ÷ 3
3− 3 − (3 2 − 2 3)(3 2 + 2 3) 3
( 3 + 2 − 1)( 3 − 2 + 1)
先化简,再求值： 先化简 再求值： 再求值
a − 2ab + b 1 1 ÷ ( − ) a = 2 +1 b = 2 −1 2 2 a −b a b
。 。
合作探究： 合作探究：
1、在下列二次根式中与 3 是同类二次根式的是（ 、 是同类二次根式的是（ B. 24 C. 27 D. 30 2、代数式 x − 2 有定义的条件 有定义的条件( 、 3− x A. 18 3、x<0，y>0，则下列与 、 ， ， A. − x ⋅ x − y C. 4、若 、 5.
a = −a 则a是（ ）数。
2
9、下列等式中一定成立的是（ A. 9 × 16 = 9 + 16 B. C. 9 × 16 = 9×16 D.
）
a 2 − b2 = a − b
( x + y)2 = x + y
计算：
( 7 + 5)
2
1 12 − ( 27 − 2
3 − 3( 12 − 2 18) 2 1 1 3 2 12 ÷ 50 × 48) 2 2 4
2 2
(a − 3) 2 | a − 2 | 若2<x<3，则化简 + a −3 a−2
设 为
5=m
。
，则用含m,n的式子表示 3 = n 则用含 的式子表示
3.75
问题导学： 问题1：阅读课本内容 P4——19，回顾本单元主要知识， 对二次根式的有关知识进行整理 1、形如 叫二次根式，其 中a是 ，叫做 。 2、二次根式的性质 3、最简二次根式。 4、同类二次根式。 5、二次根式的加减运算法则 6、二次根式的乘法法则 二次根式的除法法则 7、二次根式的混合运算的法则 8、分母有理化。
(5 48 − 6 27 + 12) ÷ 3
3− 3 − (3 2 − 2 3)(3 2 + 2 3) 3
( 3 + 2 − 1)( 3 − 2 + 1)
先化简,再求值： 先化简 再求值： 再求值
a − 2ab + b 1 1 ÷ ( − ) a = 2 +1 b = 2 −1 2 2 a −b a b
。 。
合作探究： 合作探究：
1、在下列二次根式中与 3 是同类二次根式的是（ 、 是同类二次根式的是（ B. 24 C. 27 D. 30 2、代数式 x − 2 有定义的条件 有定义的条件( 、 3− x A. 18 3、x<0，y>0，则下列与 、 ， ， A. − x ⋅ x − y C. 4、若 、 5.
第16章 二次根式(单元复习课件)八年级数学上册(沪教版)
＝9＋2－y－3＋y
＝8.
24. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，化简： ( − + )2 ＋ ( − − )2 .
解：∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
∴原式＝a－b＋c－（a－b－c）
＝a－b＋c－a＋b＋c＝2c.
分类讨论化简含有字母的二次根式
B.（－ 5）2
C.（－1）0
D ）
D.－32
解析：A.因为｜－2｜＝2＞0，所以此选项不符合题意；
B.因为（－ ）2＝5＞0，所以此选项不符合题意；
C.因为（－1）0＝1＞0，所以此选项不符合题意；
D.因为－32＝－9＜0，所以此选项符合题意.故选D.
1
7
8 [2022·上海浦东新区模拟]计算
＝｜a｜－｜a＋b｜＝－a－[－（a＋b）]＝－a＋a＋b＝b.故选A.
.
根据隐含条件化简含有字母的二次根式
22.（一题多解）化简：（a－1）
1
.
1−a
解：由题意，得−＞0，∴1－a＞0，∴a＜1，
∴原式＝（a－1）
−
−
＝
(−)
−
− ＝－ − .
一题多解
1
1
由题意，得1−＞0，∴a＜1，∴a－1＜0，∴原式＝－ (a − 1)2 · 1−a＝－ 1 − .
4−
4−
C.4
D.5
B ）
3 类 运 算
考点08 二次根式的加减乘除运算
14 [2022·湖北仙桃中考]下列各式计算正确的是（
A. 2＋ 3＝ 5
B.4 3－3 3＝1
C. 2× 3＝ 6
＝8.
24. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，化简： ( − + )2 ＋ ( − − )2 .
解：∵a，b，c分别是△ABC的三边长，
∴a－b＋c＞0，a－b－c＜0.
∴原式＝a－b＋c－（a－b－c）
＝a－b＋c－a＋b＋c＝2c.
分类讨论化简含有字母的二次根式
B.（－ 5）2
C.（－1）0
D ）
D.－32
解析：A.因为｜－2｜＝2＞0，所以此选项不符合题意；
B.因为（－ ）2＝5＞0，所以此选项不符合题意；
C.因为（－1）0＝1＞0，所以此选项不符合题意；
D.因为－32＝－9＜0，所以此选项符合题意.故选D.
1
7
8 [2022·上海浦东新区模拟]计算
＝｜a｜－｜a＋b｜＝－a－[－（a＋b）]＝－a＋a＋b＝b.故选A.
.
根据隐含条件化简含有字母的二次根式
22.（一题多解）化简：（a－1）
1
.
1−a
解：由题意，得−＞0，∴1－a＞0，∴a＜1，
∴原式＝（a－1）
−
−
＝
(−)
−
− ＝－ − .
一题多解
1
1
由题意，得1−＞0，∴a＜1，∴a－1＜0，∴原式＝－ (a − 1)2 · 1−a＝－ 1 − .
4−
4−
C.4
D.5
B ）
3 类 运 算
考点08 二次根式的加减乘除运算
14 [2022·湖北仙桃中考]下列各式计算正确的是（
A. 2＋ 3＝ 5
B.4 3－3 3＝1
C. 2× 3＝ 6
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
数学八年级下《二次根式》复习课件
a
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
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知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
二次根式复习课
二次根式【学情分析】在学习本章前，学生已经学习过平方根、算术平方根及整式的的四则运算，这些知识都为本章的学习奠定了基础。
二次根式的运算是今后解方程、函数及至整个代数计算的基础、【学习目标】1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。
2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。
4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。
【重点】二次根式的计算和化简。
【难点】二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式【导学流程】一、自主复习“回顾与总结”，（百度百科）/view/239906.htm 记住相关知识，完成练习：1．若a ＞0，a 的平方根可表示为___________a 的算术平方根可表示________2．当a______有意义，当a______没有意义。
3________=______=4．_______20125_______;2712=-=+5．________1872_______;4814=÷=⨯二、合作交流，展示反馈1、式子5454--=--x x x x 成立的条件是什么?2、计算： (1) 25341122÷⨯3．2(-三、精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（1）22(0)(0)a a a a =≥=≥与（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0a a 0a 00a a 2 a a （30,0)0,0)a b a b ≥≥≥≥（40,0)0,0)a b a b =≥>=≥> （5）22222()2()()a b a ab b a b a b a b ±=±++-=-与练一练：/Math/Report/Detail/b7dcdd61-d3f8-45cc-94e5-0e376ac67ea6四、拓展延伸1、用三种方法化简66解：第一种方法：直接约分第二种方法：分母有理化第三种方法：二次根式的除法2、分母有理化（百度文库）/view/12e5176aa98271fe910ef9f7.html3、已知m,m 为实数，满足349922-+-+-=n n n m ，求6m-3n 的值。
第1课时：《二次根式》知识点总结复习(学生版)
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【例1】下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是 ． 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42、使代数式221x x-+-有意义的x 的取值范围是3、如果代数式m nm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
1.已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12a b ++的值。
2.若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。
3.若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 12+的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 （1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【例4】若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
第二十一章二次根式课件复习
三、二次根式的加减
二次根式的加减法的一般步骤： 最简二次 首先将每个二次根式化为_______根式, 其次找出其中_________ 同类二次根式 同类二次根式 最后合并_________
课后反思及感悟
1.你知道使二次根式有意义的条件吗? 被开方数是非负数,而分母不为0 ________________________
被开方数的取值范围 2.利用二次根式的性质解题需要注意什么? ____________________
3.二次根式的加减运算过程中应注意什么? 不是同类二次根式不能合并 ____________________
第二十一章 二次根式
复习目标： 1.理解二次根式的概念,了解被开方数必 须是非负数 的理由； 2.理解二次根式加减乘除运算法则，会用它们进行 有关实数的简单四则运算； 3.掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字 母的取值问题； 4.能灵活应用二次根式的性质,通过二次根式的计算 提高逻辑思维能力与运算能力。
一、二次根式的概念及性质 • ①形如说 a a ≥0 ）的式子叫做二次根式。 （ • ②当a ≥0时， • ③
二、二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则 a × ②二次根式的除法法则
பைடு நூலகம்a b
b =____ (a≥0,b≥0) ab
ab =____ (a≥0, b＞0)
③我们规定在二次根式运算中，最后结果要符合如下两个特点： 分母 （1）被开方数不含_____； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。
二次根式复习课件
பைடு நூலகம்
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
第1章《二次根式》复习课
(2a+b)(2a-b)=（2 7）（ 6 7）
3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2， ∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
ABΒιβλιοθήκη C3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2，
∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
解：如图所示，过点A作AD⊥BC，
A
垂足为D.
二次根式复习课
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
∵ AB=1，∠ABC=45°
AD⊥BC
∴AD=BD=
2 2
B
D
C
又∵AC= 2 ,∠C=30°,
CD
3AD 6 2
BC BD CD
2 2
6
SABC
1 AD BC 1
2
2
2 2
2 2
6 1 3 4
y
C
4.在平面直角坐标系中，
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2， ∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
ABΒιβλιοθήκη C3.在△ABC中，已知AB=1，AC= 2，
∠C=30°,∠ABC=45°，求△ABC的面积。
解：如图所示，过点A作AD⊥BC，
A
垂足为D.
二次根式复习课
知识点1：二次根式的概念
a 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做
二次根式，事实上 a 表示非负数的算术平方根。
1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
1√ 42
x3 24
√
x2√ 25
56
32
√
二次根式必须具备以下2个条件：
（1）必须有二次根号； （2）被开方数必须保证大于或等于0。
∵ AB=1，∠ABC=45°
AD⊥BC
∴AD=BD=
2 2
B
D
C
又∵AC= 2 ,∠C=30°,
CD
3AD 6 2
BC BD CD
2 2
6
SABC
1 AD BC 1
2
2
2 2
2 2
6 1 3 4
y
C
4.在平面直角坐标系中，
四边形OABC是等腰梯形， BC//OA,OA=10,AB=4,∠COA=45°，
和为7,AD2-CG2=3,求AC与EF的乘积.
E
D
<分析>
本例先设两个正方形的面 G F
积为a,b,则它们的边长分别
可用 a, b 表示.
AB
C
这样利用图形的性质就得到以a,b为未知数的
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
二次根式全章复习
①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
一般地，形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
1.判断下列各式是否是二次根式.
5 ( × ) a (a 0)( × ) 3 8 ( × ) a (a 0)( √ )
2. 下列各式一定是二次根式的是（ C ）.
A. x +1 B. x2 1
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
1
a +1
2 1
1 2a
3 a 32
解：（1）由题意得：
a +1 0 a 1
即当 a 1 时， a +1 有意义.
（2）a 1 2
a (3) 为任意实数
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
B
② 设DP=a,请用含a的代数式表
示AP，BP。则AP=___a_2_+_4____，
D
PC
B③P=当__a_(=_31__a时)_2_+，_1_则。PA+PB=__2__5__,当a=3,则PA+PB=_1_+__1_3_
二次根式复习初中数学原创课件
典题突破
10、式子 (a 1)2 a 1 成立的条件
是（ D ）
A.a 1
B.a 1
பைடு நூலகம்
C.a 1 D.a 1
典题突破
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 a c ，那么 c a (a c b)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
典题突破
12、 x2 16 x 4 x 4 成立的条
知识点梳理
知识点五：同类二次根式的定义
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
知识点梳理
判断几个二次根式是否为同类 二次根式的方法：
1、先化简：把各个二次根式 都化为最简二次根式。
2、再观察：化简后的二次根 式的被开方数是否相同。
知识点梳理
知识点六：二次根式加减法则
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb 0 √
5 a 2a 2 √
6 a b a b
73 5m2 8 x2 1 √
典题突破
2、x取何值时，下列二次根式有意义？
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3)
4 x2 x为 全 体 实 数(4)
1
x0
x
(5) x3
x0
(6) 1 x2
x0
典题突破
3、当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数。 x为任何实数。
初中数学沪科版八年级下册第16章二次根式复习课课件
解：(1)原式= 1 1 2 2 1
2 2 1 3 2
（2）原式= 10 7 3 7
70 21
四、典型例题
例4.计算：
2018
2019
（3） 1 2 1 2 ；
2018
(3)原式=
1
2
1
2
1 2
1 2018 1 2
1 2
2
（4） 5 3
【当堂检测】
3.在 2 3， 3 2 , 5 ,3 ，四个数中，最小的数是( D )
A. 2 3
B. 3 2
C.3
D. 5
提示：以3为分界点，逐个与3比较大小，比3小的数据在 进行比较得出最终结果
四、典型例题
例4.计算：
（1） 1 101 30
2
2
1 2 2；
（2） 10 3 7
乘法： a b ab a 0,b 0
除法： a a a 0,b 0 bb
三、知识梳理
3.二次根式的运算
（3）二次根式的混合运算： 与实数、整式和分式的混合运算一样,二次根式的运算满足分配律；满足
多项式乘法法则和乘法公式. 二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样,先算乘方，再算乘除，
最简二次根式
同类二次根式
2
a a a 0
a2
a
a a 0
a
a
0
ab a b a 0,b 0
a a a 0,b 0
bb
加、减、乘、除
三、知识梳理
1.二次根式 （1）一般地,我们把形如 a的式子叫做二次根式，其中a≥0.“ ”称为二次根号.
（2）符合 ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫最简二次根式. 一般地,二次根式运算结果中的根式应化成最简二次根式.
人教版八年级下册数学《二次根式的混合运算》二次根式说课教学复习课件
）
随堂练习
3．已知＝ − ， 则代数式(＋ ) ＋ ＋ ＋ 的值是（C
．
A．
4．已知＝
－
， ＝
．＋
＋
． −
，则 ＋ ＋＝_______．
）
随堂练习
5．计算:
（1） (1＋ )(2－ )；
解： (1＋ )(2－ )
问卷调查，统计如下表所示：
颜色
学生人数
黄色 绿色 白色 紫色 红色
100
180
220
80
750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是( C )
A. 平均数
C. 众数
B. 中位数
D. 方差
课堂检测
基 础 巩 固 题
2.学习了《数据的分析》后，某同学对学习小组内甲、乙、丙、
丁四名同学的数学月考成绩进行了统计，发现他们的平均成绩
这些平均数受这个人的影响，而中位数是210件，众数
是210件，因此我们认为以210件为规定量比较科学.
巩固练习
1.甲、乙两位同学在几次数学测验中，各自的平均分都
是88分，甲的方差为0.61，乙的方差为0.72，则（ A
A、甲的成绩比乙的成绩稳定
B、乙的成绩比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样好
D、甲、乙两人的成绩无法比较
＝( )²＋2× ×1＋1²
＝5－2
＝3＋2 ＋1
＝3．
＝4＋2 ．
典例精析
例3
计算下列各式：
（1）
；
−
解：
−
+
＝
( −)( +)
+
浙教版数学八年级下册第1章二次根式二次根式的性质复习课件
2
——————————————
比较左右两边的等式,你发现了什么?
一般地,二次根式有下面的性质:
ab a b(a 0,b 0) a a (a 0,b 0) bb
文字表达：
1、积的算术平方根等于算术平方根的积 2、商的算术平方根等于算术平方根的商
辨一辨
1 4 9 4 9
2 132 122 132 122 13 12 1
（1） 2
25
解：
（1）
2 25 =
（2） 3 5
2
2
=
25 ； 5
（2）
3 5=
35 = 55
二次根式化简的要求：
15 1 = 15
25 5
1.根号内不再含有开得尽方的因式
2.根号内不再含有分母．
例3、化简
1 18 24
2 1 1
49
3 0.0010.5
合理应用二次根式的性质,可以简化实数的运算!
3
3
3 3 __34__6 _, 3 3 __34__6_;
8
8
4 4 _185__15__, 4 4 _185__1_5 _;
15
15
5 5 _15_2 _3_0_, 5 5 _15_2 _3_0_;
24
25
你发现了什么规律?请用字母表示你所发现的规
律,并与同伴交流.
n
n n2 1
2 2 27
34
3 32 42
125
1.二次根式的性质: 2.运用性质化简:
ab a b(a 0,b 0) a a (a 0,b 0) bb
(1)根号内不再含有分母．
(2)根号内不再含有开得尽方的因式.
化简下列两组式
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课前准备 教材、导学案、笔、纸
课前准备
复习目标
加深理解二次根式的有关概念； 熟练掌握二次根式有意义的条件；
掌握二次根式的性质，并能利用其进行有关的计算。
理解并掌握二次根式的乘法运算（重点）
请你凭着自己已有的知识,说说 什么是二次根式，以及对二次 根式 a 的认识！
?
本章知识
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
题型2:二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 2x y 0 ,求 解得
x y
的值.
解：由题意，得 x 4 0且2 x y 0
x 4, y 8
x y 4 (8) 4 8 12
2.(2013.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
3、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且
ac
，那么 c a
( a c b)
2
等于（ A、2a-b
D） B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
二次根式的乘法
ab a b (a 0, b 0)
a b aba 0, b 0
例5 : 计算 1 、 3 5 1 2、 3 27
例6.化简：
2 3
（ 1 ） 16 81；（2） 4a b ;
想一想？
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab
( 4) ( 9) 36 6
非 负 数
a b
(a 0, b 0)
练习：
1.化简：
1
2 5 xy 1 x
2 4
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0,
a ≥0
( 双重非负性)
5.既可指开方运算,也可指运算的结果.
说一说:
例1、下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (m≤0), (5) xy (x,y 异号) (4) m ， (6) a 1 ,
x 1 3( y 2) 0 ,则
2
x y 的值为( D )
D.-1
A.3
B.-3
C.1
二次根式的性质
（1） 非负性 ：
2
a0(a )
a(a 0) 0(a 0) a(a 0)
a (2) a ) (a 0)
2 2
2
(2) m 16m 64(m 8) (3) a b (a 0, b 0)
2 2
变式应用
1.式子
( a 1) a 1 成立的条件是（ D ）
2
A.a 1
2、 化简
B.a 1
C .a 1
D.a 1
1- 3
2
解： 1 - 3
2
1- 3 3 1
练习
1.求下列二次根式中字母的取值范围
解：
x 5 0 3 x 0
1 x5 3 x
① ②
解得
5 x 3
说明：二次根式被开方 数大于等于0，所以求二 次根式中字母的取值范 围常转化为不等式(组)
2、已知
y x 7 7 x 9
求 ( xy 64) 2 算术平方根。
2
(7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
题型1:二次根式有意义的条件
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2 x 3
(2) ( x 5)
2
(3)
2 1 x
(4) x 1
2
3 (5) 2x 1
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
(3)0; 若 a2 a 则 a 0;
2
例3、计算
22 (1)( ) 3
1 ( 2)( 6 )2 2
2 2
计算： ( 10) (3 3)
例4、化简：
(1) 8
( 2 ) ( 5) 2
化简下列各式:
(1) (5) ( 5 )
3 12 1 288 72
3 2
2.化简:
（ 1） （ 3）
49 121 4y
（2） 225 （4） 1 6a b2 c 3
3.已知一个矩形的长和宽分别 是 10cm和2 2cm ，求这 个矩形的面积。
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！
课前准备
复习目标
加深理解二次根式的有关概念； 熟练掌握二次根式有意义的条件；
掌握二次根式的性质，并能利用其进行有关的计算。
理解并掌握二次根式的乘法运算（重点）
请你凭着自己已有的知识,说说 什么是二次根式，以及对二次 根式 a 的认识！
?
本章知识
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
题型2:二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 2x y 0 ,求 解得
x y
的值.
解：由题意，得 x 4 0且2 x y 0
x 4, y 8
x y 4 (8) 4 8 12
2.(2013.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
3、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且
ac
，那么 c a
( a c b)
2
等于（ A、2a-b
D） B、2c-b
C、b-2a
D、b-2C
二次根式的乘法
ab a b (a 0, b 0)
a b aba 0, b 0
例5 : 计算 1 、 3 5 1 2、 3 27
例6.化简：
2 3
（ 1 ） 16 81；（2） 4a b ;
想一想？
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab
( 4) ( 9) 36 6
非 负 数
a b
(a 0, b 0)
练习：
1.化简：
1
2 5 xy 1 x
2 4
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0,
a ≥0
( 双重非负性)
5.既可指开方运算,也可指运算的结果.
说一说:
例1、下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (m≤0), (5) xy (x,y 异号) (4) m ， (6) a 1 ,
x 1 3( y 2) 0 ,则
2
x y 的值为( D )
D.-1
A.3
B.-3
C.1
二次根式的性质
（1） 非负性 ：
2
a0(a )
a(a 0) 0(a 0) a(a 0)
a (2) a ) (a 0)
2 2
2
(2) m 16m 64(m 8) (3) a b (a 0, b 0)
2 2
变式应用
1.式子
( a 1) a 1 成立的条件是（ D ）
2
A.a 1
2、 化简
B.a 1
C .a 1
D.a 1
1- 3
2
解： 1 - 3
2
1- 3 3 1
练习
1.求下列二次根式中字母的取值范围
解：
x 5 0 3 x 0
1 x5 3 x
① ②
解得
5 x 3
说明：二次根式被开方 数大于等于0，所以求二 次根式中字母的取值范 围常转化为不等式(组)
2、已知
y x 7 7 x 9
求 ( xy 64) 2 算术平方根。
2
(7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
题型1:二次根式有意义的条件
例2、x为何值时，下列各式在实数范围内有 意义。
(1) 2 x 3
(2) ( x 5)
2
(3)
2 1 x
(4) x 1
2
3 (5) 2x 1
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
(3)0; 若 a2 a 则 a 0;
2
例3、计算
22 (1)( ) 3
1 ( 2)( 6 )2 2
2 2
计算： ( 10) (3 3)
例4、化简：
(1) 8
( 2 ) ( 5) 2
化简下列各式:
(1) (5) ( 5 )
3 12 1 288 72
3 2
2.化简:
（ 1） （ 3）
49 121 4y
（2） 225 （4） 1 6a b2 c 3
3.已知一个矩形的长和宽分别 是 10cm和2 2cm ，求这 个矩形的面积。
通过这节课的学习， 谈谈你的收获。
祝你成功！