2016-2017学年高中数学北师大版必修1学业分层测评22 利用函数性质判定方程解的存在

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高中数学北师大版必修一学业分层测评第四章函数应用(22) Word版含解析

学业分层测评(二十二)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．函数()＝＋的零点所在的一个区间是( )．(－)．(－，－)．()．()【解析】因为函数()的图像是连续不断的一条曲线，又(－)＝－－＜，()＝＞，所以(－)·()＜，故函数零点所在的一个区间是(－)．故选.【答案】．函数()＝－)的零点有( )．个．个．个．个【解析】由()＝－)＝得：＝，∴()＝－)只有一个零点．【答案】．若函数()＝＋＋没有零点，则实数的取值范围是( )．>．<．≥．≤【解析】由题意知，Δ＝－<，∴>.【答案】．(·湖南长沙一中高一期中)函数()＝＋－零点所在大致区间是( )．()．()．()．()【解析】∵()＝＋－，∴()＝＋－＝－<，()＝＋－＝－＜，()＝＋－＝>，()＝＋－＝＋＞，()＝＋－＝＋＞，∴函数()＝＋－零点所在大致区间是()．故选.【答案】．设函数()＝－ (＞)，则＝()( )．在区间，(，)内均有零点．在区间，(，)内均无零点．在区间内无零点，在区间(，)内有零点．在区间内有零点，在区间(，)内无零点【解析】因为＝－＝＋＞，()＝－＝＞，()＝－＝－＜.故函数()在内无零点，在区间(，)内有零点．【答案】二、填空题．(·威海高一检测)函数()＝＋－的一个零点是－，则另一个零点是．【解析】由题意(－)－－＝，解得＝，由＋－＝，解得＝－，＝.故另一个零点为.【答案】．若函数()＝－－(＞且≠)有两个零点，则实数的取值范围是．【解析】函数()的零点的个数就是函数＝与函数＝＋交点的个数，由函数的图像如图所示，可知＞时两函数图像有两个交点，＜＜时两函数图像有唯一交点，故＞.【答案】(，＋∞)．已知函数()＝＋－(＞，且≠)．当＜＜＜＜时，函数()的零点∈(，＋)，∈＋，则＝.【解析】∵＜＜＜＜，当＝时，。

北师版数学必修1：学业分层测评第2章 §1 §2 2.1 函数概念

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1. 已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为()A．0个B．1个C．2个D．0个或多个【解析】∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f(2)与2对应，即函数f(x)的图像与直线x＝2的交点仅有1个．【答案】 B2. 设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是()【解析】A项中函数定义域为[－2,0]，D项中函数值域不是[0,2]，C项中对任一x都有两个y与之对应，不是函数图像．故选B.【答案】 B3. 下列函数完全相同的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝(x)2B．f(x)＝|x|，g(x)＝x2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3 【解析】选项A 、C 、D 中的函数f (x )与g (x )定义域均不同．【答案】 B4. 函数f (x )＝x ＋1|x |－x的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[－1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[－1,0) 【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧x ＋1≥0，|x |－x ≠0，则－1≤x <0，故函数的定义域为[－1,0)．【答案】 D5. 函数y ＝x ＋1的值域为( )A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1] 【解析】由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．【答案】 B二、填空题6. 已知一个区间为[m,2m ＋1]，则m 的取值范围是__________．【解析】由题意m <2m ＋1，解得m >－1.【答案】 (－1，＋∞)7. 下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.【解析】【答案】 {2,3,4,5}8. 若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________.【解析】由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B。

新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（） A ．52B ．1C ．0D ．-13．若函数22,2()13,22x ax x f x a x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．115,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,215⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,152⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．152,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知函数()3221xf x x =-+，且()()20f a f b ++<，则（） A ．0a b +C ．10a b -+>D ．20a b ++<5．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14， 7．已知函数()()1,12,1xmx x f x n x +<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，在R 上单调递增，则mn 的最大值为（） A ．2B ．1C ．94D ．148．某兴趣小组对函数()f x 的性质进行研究，发现函数()f x 是偶函数，在定义域R 上满足(1)(1)(1)f x f x f +=-+，且在区间[1,0]-为减函数.则(3)f -与5()2f -的关系为（）A ．5(3)()2f f -≥- B ．5(3)()2f f ->- C ．5(3)()2f f -≤-D ．5(3)()2f f -<-9．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞10．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3]11．已知函数log ,0(),0a xx x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（） A ．1B ．0C ．-1D ．a12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．设函数()x f x e =()g x mx =，若对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是_________.14．若函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 满足:()()123f x f x x +-=+.设()f x 在[](),2t t t R +∈上的最小值为()g t ，则()g t =____.15．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-，若()113f =- ，则()2019f = _________.16．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式()0xf x <的解集是___________.17．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2x g x f f x =+-的定义域是________.18．已知函数22, 1()+1, 1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，若()f x 在定义域上不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______．19．定义在R 上的函数()f x 满足(3)()1f x f x +=+，且[0,1]x ∈时，()6x f x =，(1,3)x ∈时，(1)()f f x x=，则函数()f x 的零点个数为__________. 20．设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，是a 的取值范围为________________．三、解答题21．已知二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <，()()213g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和最小值；22．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()22f x x x =+．（1）求函数()f x 的解析式；（2）指出函数()f x 在R 上的单调性（不需要证明）；（3）若对任意实数m ，()()20f m f m t +->恒成立，求实数t 的取值范围．23．已知定义在R 上的函数()f x 的单调递增函数，且对∀x ，y ∈R ，都有()()()1f x y f x f y +=++，f (2)=5.（1）求f (0)，f (1)的值；（2）若对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀，都有2()(21)1f kx f x +-<成立，求实数k 的取值范围.24．已知函数()2f x x =，()1g x x =-.（1）若存在x ∈R 使()()f x b g x <⋅，求实数b 的取值范围；（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--，且()F x 在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围.25．已知二次函数()2f x ax bx =+满足()20f =，且方程()f x x =有两个相等实根.（1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数(),m n m n <，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .若存在，求,m n 的值，若不存在，请说明理由.26．已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在区间[],a b D ⊆，使得()[]{}[],,,y y f x x a b a b =∈=，则称区间[],a b 为函数()y f x =的“和谐区间”.（1）请直接写出函数()3f x x =的所有的“和谐区间”；（2）若[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”，求m 的值；（3）求函数()22f x x x =-的所有的“和谐区间”.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】解：对于①：3xy =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3xy =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C. 【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.2．B解析：B 【分析】首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.【详解】设[)1,2x ∈，[)21,0x -∈-，()()()222222323f x x x x x ∴-=----+=-++， ()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2211122311444f x f x x x x ∴=-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.故选：B 【点睛】思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数()f x 的解析式. 3．D解析：D 【分析】若函数()f x 在R 上递减，则必须满足当(],2x ∈-∞时，函数22y x ax =-递减，且()2,x ∈+∞时132y a x=-也递减，且端点处的函数值必须满足条件．【详解】易知函数132y a x=-在(2,)+∞上单调递减，要使函数()f x 在R 上单调递减，则函数22y x ax =-在(,2]-∞上单调递减，所以2a ≥，当2x =时，2244x ax a -=-，113324a a x -=-，要使()f x 在R 上单调递减，还必须14434a a -≥-，即154a ≤，所以1524a ≤≤.故选：D ．【点睛】解答本题时，首先要保证原函数在每一段上都递减，另外，解答时容易忽略掉端点的函数值的大小关系.4．A解析：A 【分析】求得函数的单调性，构造奇函数利用单调性得解【详解】由函数单调性性质得：3y x =，21xy =+在R 上单调递增所以()3221xf x x =-+在R 上单调递增，令函数()()321121x x g x f x x -=+=-+，()()0g x g x +-=则函数()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，故()()20f a f b ++<()()g a g b ⇔<-0a b a b ⇔<-⇔+<．故选:A 【点睛】构造奇函数利用单调性是解题关键.5．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞）故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.6．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-，解之可得24x -，故不等式的解集为[2-，4]．故选：C ．【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.7．D解析：D 【分析】现根据分段函数单调增，列出不等式组，得出011m n m n >⎧⎪<⎨⎪+≤⎩，再根据基本不等式即可求解.【详解】由题意可知，函数在R 上单调递增，则02112m n m n>⎧⎪->⎨⎪+≤-⎩，解得011m n m n >⎧⎪<⎨⎪+≤⎩，则由基本不等式可得2211224m n mn +⎛⎫⎛⎫≤≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当m=n=12时取等号.故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，和基本不等式，属于中档题，解题是应注意分段函数单调递增：左边增，右边增，分界点处左边小于等于右边.8．B解析：B 【分析】对于(1)(1)(1)f x f x f +=-+，令0x =，可推出(1)(1)0f f =-=；令2x =-，推出(3)0f -=；令32x =-，推出51()()22f f -=-，最后结合()f x 的单调性得解．【详解】解：对于(1)(1)(1)f x f x f +=-+，令0x =，则(1)(1)(1)f f f =-+，(1)0f ∴-=，()f x 是偶函数，∴(1)(1)0f f =-=，令2x =-，则(21)(21)(1)f f f -+=--+，即(1)(3)(1)f f f -=-+，(3)0f ∴-=，令32x =-，则33(1)(1)(1)22f f f -+=--+，51()()22f f ∴-=-，()f x 在区间[1-，0]为减函数，51()()(1)0(3)22f f f f ∴-=-<-==-，故选：B ．【点睛】函数的单调性与奇偶性的综合运用，灵活运用赋值法是解题的关键．9．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案．【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e--⎧+-<=⎨⎩的图象如图：(7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立， 22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．11．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】因为log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩，所以11(1)f aa--==，所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.12．C解析：C【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ．由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜．综上可得：53-＜a 34-＜．故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．【分析】首先判断函数的单调性依题意只需再对参数分三种情况讨论即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为在定义域上单调递增又在定义域上单调递减所以根据复合函数的单调性可得在定义域上单调递减所以在定义域上解析：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】首先判断函数()f x 的单调性，依题意只需()()12min min f x g x >，再对参数m 分三种情况讨论，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为xy e =、y =42y x =-在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性可得y =在定义域上单调递减，所以()x f x e =-[]0,1上单调递增，所以()()001min f x f e ===-对于[]10,1x ∀∈，总[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x >恒成立，则只需()()12min min f x g x >因为()g x mx =，[]1,2x ∈，当0m =时()0g x =，而()1min f x =-，不符合题意；当0m >时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递增，则()()min 1g x g m ==，所以1m <-矛盾，舍去；当0m <时，()g x mx =，在[]1,2x ∈上单调递减，则()()min 22g x g m ==，所以210m m <-⎧⎨<⎩解得12m <- 故m 的取值范围为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．14．【分析】根据题意求得ab 的值可得的解析式分别讨论三种情况结合二次函数图像与性质即可求得结果【详解】由题意得：所以所以解得所以为开口向上对称轴为的抛物线当即时在上单调递减所以当即时在上单调递减在上单调解析：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【分析】根据题意，求得a ，b 的值，可得()f x 的解析式，分别讨论3t <-，31t -≤≤-，1t >-三种情况，结合二次函数图像与性质，即可求得结果. 【详解】由题意得：22(1)(1)(1)121f x a x b x ax a ax bx b +=++++=+++++，所以()()222111223ax a ax bx b ax bx ax a f b x x x f +++++---=++=-=++，所以223ax x a b =⎧⎨+=⎩，解得1,2a b ==，所以22()21(1)f x x x x =++=+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线，当21t +<-，即3t <-时，()f x 在[],2t t +上单调递减，所以2()(2)(3)g t f t t =+=+，当12t t ≤-≤+，即31t -≤≤-时，()f x 在[,1)t -上单调递减，在[1,2]t -+上单调递增，所以()(1)0g t f =-=；当1t >-时，()f x 在[],2t t +上单调递增，所以2()()(1)g t f t t ==+，综上：22(3),3()0,31(1),1t t g t t t t ⎧+<-⎪=-≤≤-⎨⎪+>-⎩故答案为：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【点睛】求二次函数在区间[,]a b 上最值时，一般用分类讨论的方法求解，讨论对称轴位于区间的左右两侧，位于区间内，再根据二次函数图像与性质，求解即可，考查分析求解的能力，属中档题.15．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数解析：3 【分析】根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和()1f 的值，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数()f x 对任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-，则()1(4)[(2)2](2)f x f x f x f x +=++=-=+，即函数()f x 是以4为周期的周期函数，又由()113f =-，令1x =-，则1(12)(1)f f -+=--，即1(1)3(1)f f -==，所以()2019(14505)(1)3f f f =-+⨯=-=．【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在-50上的图象这样根据f （x ）在上的图象便可得出xf （x ）<0的解集【详解】奇函数图象关于原点对称作出在的图象如下：由得或由图可知或的解集为【点睛解析：[)(]5,22,5--【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在[-5，0]上的图象，这样根据f （x ）在[]5,5-上的图象便可得出xf （x ）<0的解集．【详解】奇函数图象关于原点对称，作出()f x 在[]5,5-的图象如下：由()0xf x <得()00x f x <⎧⎨>⎩或()00x f x >⎧⎨<⎩，由图可知52x -≤<-或25x <≤，()0xf x ∴<的解集为[)(]5,22,5--.【点睛】本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.17．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的解析：()0,2【分析】根据题意，得到函数()g x 满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即2202x x -<<⎧⎨<<⎩，解得02x <<，即函数()g x 的定义域为()0,2. 故答案为：()0,2. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.18．【分析】结合二次函数的图象与性质按照分类再由分段函数的单调性即可得解【详解】因为函数的图象开口朝下对称轴为且所以当时函数在上不单调符合题意；当时函数在上均单调递增若要使在定义域上不是单调函数则解得故解析：(),1(2,)-∞+∞【分析】结合二次函数的图象与性质，按照1a <、1a ≥分类，再由分段函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数22y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为x a =，且22,?1()+1,?1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，所以当1a <时，函数()f x 在(],1-∞上不单调，符合题意；当1a ≥时，函数()f x 在(],1-∞，()1,+∞上均单调递增，若要使()f x 在定义域上不是单调函数，则2121a a -+>+，解得2a >，故2a >符合题意；综上，实数a 的取值范围是(),1(,)2-∞⋃+∞. 故答案为：(),1(,)2-∞⋃+∞. 【点睛】解决本题的关键是将分段函数不单调转化为两种情况，分类求解.19．【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数可得函数零点的个数【详解】解：由题意可得：（1）时即：结合绘制函数图象如图所示：由图可得函数图象与横轴交点有9 解析：9【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象，结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数，可得函数零点的个数．【详解】解：由题意可得：f （1）166==，∴(1,3)x ∈时，(1)6()f f x x x==，即：6,01()6,13x x f x x x⎧⎪=⎨<<⎪⎩，结合(3)()1f x f x +=+绘制函数图象如图所示：由图可得，函数图象与横轴交点有9个，所以函数()f x 的零点个数为9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查函数的零点，数形结合的数学思想，函数图象的绘制等知识，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点．20．【分析】利用定义可知在上递减在上递增所以当时取得最小值为再根据是的最小值可知且解得结果即可得解【详解】当时任设则当时所以所以当时所以所以所以在上递减在上递增所以当时取得最小值为又因为是的最小值所以且解析：02a ≤≤【分析】利用定义可知1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，再根据(0)f 是()f x 的最小值，可知0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得结果即可得解.【详解】当0x >时，1()f x x a x=++，任设120x x <<，则12121211()()f x f x x a x a x x -=++---12121()(1)x x x x =--，当120x x <<1<时，120x x -<，12110x x -<，所以12121()(1)0x x x x -->，所以12()()f x f x >，当121x x <<时，120x x -<，12110x x ->，所以12121()(1)0x x x x --<，所以12()()f x f x <，所以1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，又因为(0)f 是()f x 的最小值，所以0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得02a ≤≤.故答案为：02a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性，考查了根据函数的最值点求参数的取值范围，考查了分段函数的性质，属于中档题.三、解答题21．（1）()211f x x x =++；（2）见详解.【分析】（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线12x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；（2）先由（1）得到()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值. 【详解】（1）因为二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，所以131b c =++，即12b c +=①；又函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，因此()y f x =关于直线12x =-对称；所以122b -=-，即1b =，代入①式可得11c =，所以()211f x x x =++；（2）由（1）()211f x x x =++，所以()()()22222,0111322,0x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()22g x x x =-在[],2t 上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-；当01t ≤<时，()22g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当10t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []0,2x ∈时，()22g x x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦，所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当1t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以()(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-，所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-+；综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为()2min22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩. 【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.22．（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩；（2）增函数；（3）14t <-.【分析】（1）当0x <时，0x ->，求出()f x -，根据奇函数得到()f x ；（2）由解析式可直接写出；（3）先根据奇函数的性质化不等式为()()2f m f t m>-，利用单调性脱去“f ”,转化为2t m m <+恒成立，求出2m m +的最小值即可.【详解】（1）当0x <时，0x ->，又()f x 是奇函数， ∴()()()22f x x x f x -=--=-∴()()220f x x x x =-+<，∴()222,02,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩（2）由()f x 的解析式以及二次函数、分段函数的性质可知()f x 为R 上的增函数：（3）由()()210f m f m +->和()f x 是奇函数得()()()22f m f m t f t m>--=-，因为()f x 为R 上的增函数， ∴2m t m >-，221124t m m m ⎛⎫<+=+- ⎪⎝⎭，∴14t <-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决．但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法． 23．（1）(0)1f =-；()12f =；（2）4k <. 【分析】（1）令0x y ==可得(0)f ，令1x y ==可得()1f ；（2）转化条件为222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，换元后求得222x x -的最小值即可得解. 【详解】（1）令0x y ==，则(0)(0)(0)1f f f =++，所以(0)1f =-；令1x y ==，则(2)(1)(1)15f f f =++=，所以()12f =；（2）由题意，不等式2()(21)1f kx f x +-<可转化为2()(21)12f kx f x +-+<，所以()()2211f kx x f +-<，因为函数()f x 单调递增，所以2211kx x +-<，所以222k x x <-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，令[]12,3t x =∈，则221122222t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以当2t =即12x =时，222t t -取最小值4，所以4k <. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用函数的单调性转化不等式为222k x x<-对11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∀恒成立，再转化为求222x x -的最小值即可得解.24．（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）[1,0][2,)-⋃+∞.【分析】（1）由题意可得x R ∃∈，20x bx b -+<，所以2()40b b ∆=-->，即可求解；（2）22()1F x x mx m =-+-，然后讨论0∆≤时满足对称轴为02mx =≤，当0∆>时，讨论对称轴与区间的关系，012m <<，显然不成立，所以有212(0)10mF m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩或202(0)10mF m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解不等式，最后求并集即可. 【详解】（1）x R ∃∈，()()f x bg x <，即x R ∃∈，20x bx b -+<，所以判别式2()40b b ∆=-->，解得：0b <或4b >.故实数b 的取值范围为(,0)(4,)-∞+∞.（2）22()1F x x mx m =-+-，对称轴为2m x =， ()F x 在[0,1]上单调递增，当()2241m m∆=--=254m - ①当0∆≤，即m ≤≤时，则有02m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩解得：m 05-≤≤ ②当0∆>，即m <m > 设方程()0F x =的根为1x ，()212x x x <. 若12m ≥，则10x ≤，即212(0)10m F m ⎧≥⎪⎨⎪=-≤⎩解得：2≥m 若02m ≤，则20x ≤，即202(0)10m F m ⎧≤⎪⎨⎪=-≥⎩解得：10m -≤≤ 若012m <<，不符合题意，综上所述，实数m 的取值范围为[1,0][2,)-⋃+∞. 【点睛】结论点睛：一元二次不等式恒成立求参数（1）对于20ax bx c ++≥对于x ∈R 恒成立，等价于00a >⎧⎨∆≤⎩ ，（2）对于20ax bx c ++≤对于x ∈R 恒成立，等价于00a <⎧⎨∆≤⎩ . 25．（1）()212f x x x =-+；（2）存在，4,0m n =-=. 【分析】（1）由()20f =得到,a b 的关系，根据()f x x =有两个相等实根求b ，即可写出()f x 的解析式；（2）将()f x 函数式化为顶点式知16n ≤，进而有[],m n 在1x =的左边，结合二次函数单调性列方程组求解即可知是否存在,m n 值.【详解】（1）由()20f =得：420a b +=①；由()f x x =有等根得：()210ax b x +-=有等根， ∴()210b ∆=-=，得1b =，将1b =代入①得：12a =-， ∴()212f x x x =-+；（2）()()221111222f x x x x =-+=--+， ∴132n ≤，即16n ≤，而()f x 对称轴为1x =，即[],m n 在1x =的左边， ∴由二次函数的性质知：()212f x x x =-+在区间[],m n 上单调递增，则有()3()3m n f m m f n n <⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得4,0m n =-=，故存在实数4,0m n =-=，使()f x 的定义域是[],m n ，值域是[]3,3m n .【点睛】关键点点睛：由有相等实根结合判别式求参数值，根据二次函数的性质：最值判断参数范围，在结合区间相对于对称轴的位置，并由其单调性列方程组求参数值确定存在性. 26．（1）[]1,0-、[]0,1、[]1,1-；（2）2；（2）[]1,0-和[]1,3-.【分析】（1）本题可令3x x =，解得0x =或±1，然后根据函数()3f x x =的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；（2）本题首先可将函数转化为()321,23321,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，然后令312x x -=，解得25x =或2，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果；（3）本题可令22x x x -=，解得0x =或3，然后结合函数图像即可得出结果.【详解】（1）函数()3f x x =是增函数，定义域为R ，令3x x =，解得0x =或±1，故函数()3f x x =的所有“和谐区间”为[]1,0-、[]0,1、[]1,1-. （2）因为()312f x x =-，所以()321,23321,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，因为[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”，所以可令312x x -=，解得25x =或2，如图所示，绘出函数图像：结合“和谐区间”的定义易知，当2x =时满足题意，故m 的值为2.（3）函数()22f x x x =-，定义域为R ，令22x x x -=，解得0x =或3，如图所示，绘出函数图像：结合图像易知，函数()f x 的所有“和谐区间”为[]1,0-和[]1,3-.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.。

新北师大版高中数学必修一第二单元《函数》检测题(有答案解析)

一、选择题1．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（） A ．116B ．132 C ．164D ．11282．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（） A ．16-B ．16C ．8aD ．816a -3．已知函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则函数(13)f x -的定义域是（） A ．21(,)33-B ．11(,)63-C ．(0,3)D ．7(,1)2-4．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（） A ．13x <C ．12x <<D ．1x <或2x >5．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（）A ．4B ．1-C ．23D ．66．设0a >且1a ≠，函数221x x y a a =+-在区间[]1,1-上的最大值是14，则实数a 的值为（） A ．13或2 B ．2或3C ．12或2 D ．13或37．方程2x =所表示的曲线大致形状为（）A ．B ．C ．D ．8．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,49．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，且()2f x +是偶函数，不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[]4,6-B ．[]4,3-C ．(][),46,-∞-+∞ D ．(][),43,-∞-⋃+∞10．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4 B ．3C ．2D ．111．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（）A．34a>-B．53a<-C．5334a-<<-D．5334a-≤≤-12．已知函数()f x是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f=，()()()f xy f x f y=+，则不等式()()23f x f x+-≤（）A．()1,2B．[)1,3C．()2,4D．(]2,4二、填空题13．已知函数()31f x ax bx=-+，若()25f=，则()2f-=______．14．已知()13=f x x，则不等式(21)f x-()230f x++>的解集为_________. 15．若函数()22()42221f x x p x p p=----+在区间[]1,1-上至少存在一个实数c，使()0f c>，则实数p的取值范围为________.16．函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式()cosf xx<0的解集为________．17．若()22f x x ax=-+与()ag xx=在区间[]1,2上都是减函数，则a的取值范围是______．18．若函数2()f x x k=+，若存在区间[,](,0]a b⊆-∞，使得当[,]x a b∈时，()f x的取值范围恰为[,]a b，则实数k的取值范围是________.19．已知函数2262()2x ax xf x axx⎧-+⎪=⎨>⎪⎩，≤，，是R上的减函数，则a的取值范围为______．20．若4183y x x=--y的取值范围是________三、解答题21．已知函数()21f xx=-（1）证明函数()f x在()0,∞+上是减函数．（2）求函数()f x在[)2,x∈+∞时的值域．22．已知函数()221x mf xx+=+，x∈R是奇函数.（1）求实数m 的值；（2）讨论函数()f x 在[]2,3上的单调性，并求函数()f x 在[]2,3上的最大值和最小值. 23．对于区间[,]a b 和函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在[,]a b 上是单调函数；②函数(),[,]y f x x a b =∈的值域还是[,]a b ，则称区间[,]a b 为函数()f x 的“不变”区间.（1）求函数2(0)y x x =≥的所有“不变”区间；（2）函数2(0)y x m x =+≥是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由.24．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：①对任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+；②当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）求()1f ；（2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较1x ，2x 的大小关系，并说明理由；（3）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()()22333310xxxx f f m --⎡⎤+≤+-⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知函数()()20,,f x ax bx c a b c R =++>∈满足1(0)()1f f a==.（1）求()f x 表达式及其单调区间（不出现b ，c ）；（2）设对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围. 26．已知定义在()1,1-上的奇函数2()1ax bf x x +=+，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式；（2）证明：()f x 在0,1上是增函数；（3）解不等式()2(120)f t f t -+<.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由③可得()11f =，1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，然后由②可得111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭，然后结合()f x 在[0,1]上非减函数可得答案. 【详解】由③得(10)1(0)1f f -=-=，111122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由②得()12201111111111323232322n n n n n n f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12231011111111232232232232n n n n n f f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵761113201723<<⨯且61123128f ⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭，7113128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()f x 在[0,1]上非减函数，∴112017128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由条件得到111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭. 2．A解析：A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+，所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，如图所示：当2x a =+时，()()44f x g x a ==--，当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+，因为max ()412g x a =-+，所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+，因为min ()44f x a =--，所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--，所以44,412A a B a =--=-+，所以16A B -=-，故选：A 【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．3．A解析：A 【分析】先求出函数()f x 的定义域(0,3)，再求出函数(13)f x -的定义域. 【详解】函数(2)f x 的定义域为3(0,)2，则302x <<，所以023x << 所以函数()f x 的定义域为(0,3)，则0133x <-<解得2133x -<< 函数(13)f x -的定义域为21(,)33- 故选:A 【点睛】对于抽象函数定义域的求解方法：(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数()()f g x 的定义域为[]a b ，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．4．B解析：B 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()2()244f x x a x x =-+-+，并构造函数()2()244g a x a x x =-+-+，由题意得出()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解此不等式组可得出实数x 的取值范围【详解】对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零设()()2244g a x a x x =-+-+，即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在x 轴上方，即()()2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩ ，解得3x >或1x < 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数()()2244g a x a x x =-+-+，将问题转化为()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立，从而得到()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，属于中档题.5．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；（2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-，所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭；（3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.6．D解析：D 【分析】本题首先可以令x t a =，将函数转化为()212y t =+-并判断出函数的单调性，然后分为01a <<、1a >两种情况进行讨论，根据最大值是14进行计算，即可得出结果. 【详解】令x t a =（0a >、1a ≠），则()222112y t t t =+-=+-，因为0a >，所以0x t a =>，函数()212y t =+-是增函数，当01a <<、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时2max11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15-（舍去）；当1a >、[]1,1x ∈-时，1,t a a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2max 1214y a =+-=，解得3a =或5-（舍去），综上所述，实数a 的值为13或3，故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的最值求参数，能否通过换元法将函数转化为二次函数是解决本题的关键，考查二次函数单调性的判断和应用，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.7．D解析：D 【分析】先利用方程得到图像的对称性，再作0y ≥，0x ≥时的图像，利用对称性即得结果. 【详解】由方程2x y +=可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称.20,44x y y =-≥-≤≤，20,22y x x =-≥-≤≤.当0y ≥，0x ≥时，方程2x y +=转化成()22y x =-，作图如下：再利用对称性即得图像为 D. 故选：D. 【点睛】本题解题关键是利用绝对值的性质得到图像的对称性，就只需要画0y ≥，0x ≥部分图像，即突破问题.8．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-；（2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.9．C解析：C 【分析】根据已知条件可知()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增，由不等式在[]1,0x ∈-恒成立，结合()f x 的单调性、对称性即可求m 的取值范围.【详解】对任意的[)()1212,2,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，知：()f x 在[2,)x ∈+∞上单调递增，()2f x +是偶函数，知：()f x 关于2x =对称，∴()f x 在(,2]-∞上单调递减，在[2,)x ∈+∞上单调递增；∵不等式()()121f m f x +≥-对任意的[]1,0x ∈-恒成立，且3211x -≤-≤-， ∴max (1)(21)(3)f m f x f +≥-=-即可，而根据对称性有(1)(7)f m f +≥， ∴综上知：13m +≤-或17m +≥，解得(][),46,x ∈-∞-+∞，故选：C 【点睛】结论点睛：注意抽象函数单调性、对称性判断对任意的()1212,x x x x ≠：()()21210f x f x x x ->-有()f x 单调递增；()()21210f x f x x x -<-有()f x 单调递减；当()f x n +是偶函数，则()f x 关于x n =对称；思路点睛：对称型函数不等式在一个闭区间上恒成立：在对称轴两边取大于或小于该闭区间最值即可，结合函数区间单调性求解.10．B解析：B 【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的;由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．11．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ．由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1=，x 223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜．综上可得：53-＜a 34-＜．故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值； 12．D解析：D 【分析】根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，83f ，则()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.【详解】根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦，又()()()()422222f f f f =+==，所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28020x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩，解得：24x <≤.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.二、填空题13．【分析】根据题意令从而得到得到为奇函数整理得到将代入求得的值【详解】设则即为奇函数故即即【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题解题方法如下：（1）构造奇函数；（2）利用奇函数的性质得到进解析：3-【分析】根据题意，令()()31g x f x ax bx =-=-，从而得到()()3g x ax bx g x -=-+=-，得到()g x 为奇函数，整理得到()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，将()25f =代入求得()2f -的值.【详解】设()()31g x f x ax bx =-=-，则()()3g x ax bx g x -=-+=-，即()g x 为奇函数，故()()22g g -=-，即()()2121f f --=--⎡⎤⎣⎦，即()()222523f f -=-+=-+=-.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的求解问题，解题方法如下：（1）构造奇函数()()31g x f x ax bx =-=-；（2）利用奇函数的性质得到()()22g g -=-，进而求得()()222f f -=-+，得到结果.14．【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断是R 上单调递增的奇函数再结合奇偶性和单调性解不等式即可【详解】由幂函数性质知时在是增函数故函数在是增函数又定义域是R 而故是R 上的奇函数根据奇函数对称性知在R 上解析：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用幂函数性质和奇函数定义判断()f x 是R 上单调递增的奇函数，再结合奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由幂函数性质知，01α<<时y x α=在[)0,+∞是增函数，故函数()13=f x x 在[)0,+∞是增函数，又()f x 定义域是R ，而()()()1133=f x x x f x =-=---，故()f x 是R 上的奇函数，根据奇函数对称性知，()f x 在R 上单调递增.故不等式(21)f x -() 230f x ++>即(21)f x -()() 2323f x f x >-+=--，故2123x x ->--，即12x >-，故解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.15．【分析】直接计算需分多种情况讨论故先求题干的否定即对于区间上任意一个x 都有只需满足列出不等式组求解即可得答案【详解】函数在区间上至少存在一个实数使的否定为：对于区间上任意一个x 都有则即整理得解得或所解析：3(3,)2-【分析】直接计算，需分多种情况讨论，故先求题干的否定，即对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，只需满足(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，列出不等式组，求解即可得答案.【详解】函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的否定为：对于区间[]1,1-上任意一个x ，都有()0f x ≤，则(1)0(1)0f f ≤⎧⎨-≤⎩，即2242(2)21042(2)210p p p p p p ⎧----+≤⎨+---+≤⎩，整理得222390210p p p p ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得32p ≥或3p ≤-，所以函数()f x 在区间[]1,1-上至少存在一个实数c ，使()0f c >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.故答案为：3(3,)2- 【点睛】本题考查二次方程根的分布与系数的关系，解题的要点在于求解题干的否定，再求得答案，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.16．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题解析：(,1)(1,)22ππ--⋃ 【解析】在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式()0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2π--，所以不等式的解集为(,1)(1,)22ππ--⋃．点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．17．【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可【详解】根据与在区间上都是减函数又的对称轴为所以又在区间上是减函数所以所以即的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题考查了数学解析：(]01，【分析】根据二次函数和分式函数的单调性求解即可. 【详解】根据2()2f x x ax =-+与()ag x x=在区间[1，2]上都是减函数，又()f x 的对称轴为x a =，所以1a ≤，又()ag x x=在区间[1，2]上是减函数，所以0a > 所以01a <≤，即a 的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，【点睛】本题考查了已知函数的单调性求参数问题，考查了数学运算能力.属于中档题.18．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性得出2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，从而有()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，整理得22a k b b k a⎧+=⎨+=⎩，即关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.【详解】∵函数2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，∴当[,]x a b ∈时，()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，即22a k bb k a ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a k b +=得210a a k +++=，由0a b <≤，且(1)b a =-+得112a -≤<-，故关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()10102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()221110111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.19．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键解析：[2，209] 【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求．【详解】解；226,2(),2x ax x f x a x x⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，∴204462a a a a ⎧⎪⎪>⎨⎪⎪-+⎩，解可得，2029a．故答案为：202,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．20．【分析】首先求出的取值范围令将函数转化为三角函数再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为所以解得令则所以因为所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算换元法的应用三角解析：【分析】首先求出x 的取值范围，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦将函数转化为三角函数，再根据三角恒等变换及三角函数的性质计算可得；【详解】解：因为y =所以401830x x -≥⎧⎨-≥⎩解得46x ≤≤，令242sin x t =+，0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则y t t ==3t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以3y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336t πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1sin ,132t π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以y ∈故答案为：【点睛】本题考查函数的值域的计算，换元法的应用，三角函数及三角恒等变换公式的应用，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）(]1,0-. 【分析】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，然后怍差()()()2112122x x f x f x x x --=判断其符号即可. （2）根据（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2x =取得最大值，再由20x>确定值域. 【详解】（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，则有()()()2112121222211x x f x f x x x x x --=--+=，又因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上是减函数．（2）由（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，所以当2x =时()max 0f x =，又因为20x>，所以211x ->-，所以函数()f x 在()0,∞+上的值域为(]1,0-．【点睛】方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．22．（1）0m =；（2）函数()221x f x x =+在[]2,3上单调递减；最大值45，最小值35. 【分析】（1）根据奇函数性质()00f =求解计算即可；（2）用单调性的定义证明函数的单调性，由单调性即可证明函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）∵()22,1x mf x x R x +=∈+是奇函数，所以()00f m ==，检验知，0m =时，()221xf x x =+，x ∈R 是奇函数，所以0m =；（2）[]12,2,3x x ∀∈，且12x x <，有()()()()()()()()()()2212211212121222222212121221212122111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵1223x x ≤<≤，∴12120,1x x x x -<>，即1210x x -<，又()()2212110x x ++>，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()221xf x x =+在[]2,3上单调递减，所以当2x =时，()f x 取得最大值45；当3x =时，()f x 取得最小值35.【点睛】本题主要考查奇函数的性质，以及定义法证明函数单调性，最值的求法，属于中档题. 23．（1）[]0,1；（2）104m ≤<. 【分析】 1）由函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，根据“不变”区间的定义，由22a ab b⎧=⎨=⎩求解；（2）假设函数存在“不变”区间，根据函数2(0)y x m x =+≥单调递增，由22a m ab m b⎧+=⎨+=⎩，消去m ，结合a b <，求得a 的范围，再由2m a a =-+，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）因为函数2yx 在[0,)+∞上是增函数，所以22a a b b⎧=⎨=⎩，解得0a =或1a =，0b =或1b =，因为a b <，所以 0,1a b ==，所以函数的 “不变”区间是[]0,1；（2）假设函数2(0)y x m x =+≥存在“不变”区间，因为函数2(0)y x m x =+≥单调递增，所以22a m a b m b⎧+=⎨+=⎩，消去m 得22a b a b -=-，即()()+10a b a b --=，因为a b <，所以+10a b -=，即1b a =-，所以10a a ->≥，解得102a ≤<，所以221124m a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，所以104m ≤<，所以实数m 的取值范围是104m ≤< 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由a b <，即10a a ->≥求得a 的范围.24．（1）()10f =；（2）12x x >，理由见解析；（3）5m <≤ 【分析】（1）令1x y ==，代入可得(1)f ；（2）记12x kx =，代入已知等式，由12()()f x f x <可得()0f k <，从而有1k >，得结论12x x >；（3）根据函数的性质，不等式变形为()223333100xxx x m --+≥+->恒成立，然后设33x x t -=+后转化为一元二次不等式和一元不次不等式恒成立，再转化为求函数的最值，可求得参数范围．【详解】（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =.（2）12x x >，理由如下：记12x kx =，则()()()122()f x f kx f k f x ==+，由()()12f x f x <可得：()0f k <，则1k >，故12x x >. （3）由（2）得()223333100x xx x m --+≥+->恒成立，令10332,3x xt -⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则222332x x t -+=-，原不等式可化为：22100t mt -≥->，由2210t mt -≥-恒成立可得：min 8m t t ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，8t t +≥=8t t=，即t =时等号成立，所以m ≤. 由100mt ->恒成立可得：max 10m t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2t =时，max 105t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是5m >.综上：实数m的取值范围是5m <≤. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的单调性，考查不等式恒成立问题，在解决不等式恒成立时，利用已求得的结论（函数的单调性），把问题进行转化，再用换元法转化为一元二次不等式和一元一次不等式恒成立，然后又由分离参数法转化为求函数的最值．25．（1）()21f x ax x =-+，减区间为1,2a ⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）50,4⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）由()101a f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭==，整理得()21f x ax x =-+，结合二次函数的性质，即可求解；（2）把“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”转化为()()max min 8f x f x -≤在[]1,3上恒成立，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.【详解】（1）由()101a f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭==，可得()11(0)()f x a x x a -=--，整理得()21f x ax x =-+，因为0a >，则函数()21f x ax x =-+开口向上，对称轴方程为12x a =，所以()f x 单调递减区间为1,2a ⎛-∞⎫ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）因为“对任意[]12,1,3x x ∈，()()128f x f x -≤恒成立”，即()()max min 8f x f x -≤在[]1,3上恒成立，由（1）知函数()21f x ax x =-+，①当12a ≥时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递增可得()()()()max min 31828f x f x f f a -=-=-≤，解得54a ≤，即1524a ≤≤； ②当106a <≤时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递减可得()()()()max min 13288f x f x f f a -=-=-≤，解得34a ≥-，即106a <≤； ③当1162a <<时，函数()f x 在区间11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,32a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，可得()()(){}max max 1,3f x f f =，()min 1124f x f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭则()()112118243113932824f f a a a f f a a a ⎧⎛⎫-=-+≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1162a <<，综上所述：实数a 的取值范围是50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】由恒成立求参数取值范围的思路及关键：一般有两个解题思路：一时分离参数法；二是不分离参数，采用最值法；两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否能分离，两种思路的依据为：()a f x ≥恒成立max ()a f x ⇔≥，()a f x ≤恒成立max ()a f x ⇔≤.26．（1）2()1x f x x =+；（2）证明见解析；（3）102t <<. 【分析】（1）由题意可得(0)0f =，可求出b 的值，再由1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭可求出a 的值，从而可求出函数()f x 的解析式；（2）利用增函数的定义证明即可；（3）由于函数是奇函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，再利用单调性可求解不等式【详解】（1）解：因为()f x 是()1,1-上的奇函数，所以(0)0f =，即01b =，得0b =，因为1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以1221514a =+，解得1a =，所以2()1x f x x =+ （2）证明：1x ∀，2(0,1)x ∈，且12x x <，则()()()()()()122112122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1201x x ，所以2212211210,0,(1)(1)0x x x x x x -<->++>，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在(0,1)上是增函数.（3）解：因为()f x 在(0,1)上是增函数，且()f x 是()1,1-上的奇函数，所以()f x 是(1,1)-上的奇函数且是增函数，所以()2(120)f t f t -+<可化为()2()12f t t f <-，所以2211112121t t t t -<-<⎧⎪-<<⎨⎪<-⎩，解得102t <<. 【点睛】关键点点睛：此题函数的奇偶性和单调性的应用，第（3）问解题的关键是利用奇函数的性质将不等式()2(120)f t f t -+<转化为()2()12f t t f <-，进而利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修一学业分层测评：第二章函数(9) Word版含解析

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是()A．y＝x2B．y＝2x2＋2C．y＝4x2D．y＝2x2－2【解析】将二次函数y＝2x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y＝4x2.【答案】 C2．将二次函数y＝－12x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为()A．y＝－12(x－1)2－1 B．y＝－12(x－1)2＋1C．y＝－12(x＋1)2＋1 D．y＝－12(x＋1)2－1【解析】将二次函数y＝－12x2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x＋1)2－1.【答案】 D3．若一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图像只可能是()【解析】因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a ＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4．二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7B ．f (x )＝4x 2－4x －7C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12， ∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6．二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37．(2016·株洲高一检测)若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________．【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5. 【答案】－28．(2016·菏泽高一检测)若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9．将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10．已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)·(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3，解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2．已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8，∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ，由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2， ∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3. 【答案】 f (x )＝⎩⎨⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？【解】由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k . 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝269，即4－2(3－k)3＝269，解得k＝43.∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋43，即y＝－3x2＋6x－53.。

高中数学北师大版必修一学业分层测评：第二章函数(11) 含解析

学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题1．幂函数f(x)的图像过点(2，m)，且f(m)＝16，则实数m 的值为( ) A ．4或12B ．±2C ．4或14D.14或2 【解析】设f(x)＝x α，则2α＝m ，m α＝(2α)α＝2α2＝16， ∴α2＝4，∴α＝±2，∴m ＝4或14.【答案】 C 2．函数f(x)＝x 2＋x( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．即是奇函数又是偶函数【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，故函数f(x)是非奇非偶函数．【答案】 C3．(2016·济南高一检测)若函数f(x)＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12 B.23C.34D ．1【解析】 f(x)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ≠－12且x ≠a .∵f(x)为奇函数，∴定义域关于原点对称，∴a ＝12.【答案】 A4．设偶函数f(x)的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )A ．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B ．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C ．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D ．f(π)＜f(－2)＜f(－3) 【解析】 ∵f(x)是偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数， ∴f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．【答案】 A5．定义在R 上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－3)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为( )A ．(－3,0)∪(0,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)【解析】 ∵f(x)为奇函数，在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在(－∞，0)上是增函数．当x>0，∵xf(x)<0，∴f(x)<0＝f(3)，∴0<x<3，当x<0，∵xf(x)<0，∴f(x)>0＝f(－3)，∴－3<x<0， ∴不等式的解集为(－3,0)∪(0,3)．【答案】 A 二、填空题6．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f(3)＝0，则使f(x)<0的x 的范围为________．【解析】由已知可得f(－3)＝f(3)＝0，结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图)．由图像可知f(x)<0时，x 的取值范围为(－3,3)．【答案】 (－3,3)7．设f(x)是奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x ＋1，则x ∈(－∞，0)时，f(x)＝________.【解析】令x<0，∴－x>0，∴f(－x)＝2－x ＋1，∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x ＋1，∴f(x)＝－2－x ＋1＝2x －1.【答案】 2x －18．已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________. 【解析】 g(－2)＝f(－2)＋9＝－f(2)＋9＝3，∴f(2)＝6.。

2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评14 Word版含解析

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．函数f (x )＝x 3＋＋cos x ，则f ′(x )等于( )3x A ．3x 2＋x －sin xB ．x 2＋x －sin x-2313-23C ．3x 2＋x ＋sin xD ．3x 2＋x －sin x13-2313-23【解析】　f ′(x )＝3x 2＋x －sin x .13-23【答案】　D2．函数y ＝的导数是( )x 2x ＋3A.B ．x 2＋6x (x ＋3)2x 2＋6x x ＋3C.D ．－2x (x ＋3)23x 2＋6x (x ＋3)2【解析】　y ′＝＝(x 2x ＋3)′ (x 2)′(x ＋3)－x 2·(x ＋3)′(x ＋3)2＝＝.2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2x 2＋6x (x ＋3)2【答案】　A3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 等于( )【导学号：63470070】A.B ．193163C.D ．133103【解析】　f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝.103【答案】　D4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2【解析】　f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)．∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)．即f ′(1)＝－2.∴f ′(0)＝2(－2)＝－4.【答案】　B5．曲线y ＝－在点M 处的切线的斜率为( )sin xsin x ＋cos x 12(π4，0)A ．－B ．1212C ．－D ．2222【解析】　y ′＝＝，cos x (sin x ＋cos x )－(cos x －sin x )sin x(sin x ＋cos x )21(sin x ＋cos x )2故k ＝.即曲线在点M 处切线的斜率为.1212【答案】　B 二、填空题6．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.【导学号：63470071】【解析】　∵y ′＝－5e x ，∴所求切线斜率是k ＝－5e 0＝－5，∴切线方程是：y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.【答案】　5x ＋y ＋2＝07．函数f (x )＝e x cos x ，x ∈0,2π]，且f ′(x )＝0则x ＝________.【解析】　f ′(x )＝(e x cos x )′＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )，由f ′(x )＝0，得e x (cos x －sin x )＝0.∵e x >0，∴cos x －sin x ＝0.∴cos x ＝sin x ，x ∈0,2π]．∴x ＝或π.π454【答案】　或ππ4548．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．【解析】　y ′＝3x 2－10，由3x 2－10＝2，得x ＝±2.又∵P 点在第二象限内，∴x ＝－2，y ＝－8＋20＋3＝15.∴P (－2,15)．【答案】　(－2,15)三、解答题9．求下列函数的导数．(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝.x 42＋log ax 【解】　(1)法一：y ′＝(x ·tan x )′＝(x sin x cos x )′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos2 x＝＝.(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin2 xcos2 xsin x cos x ＋xcos2x法二：y ′＝(x ·tan x )′＝x ′·tan x ＋x ·(tan x )′＝tan x ＋＝.xcos2 x sin x cos x ＋x cos2 x(2)y ′＝4x 3(2＋log a x )－x 4x ln a(2＋log a x )2＝8x 3＋4x 3log a x －x 3ln a(2＋log a x )2＝.(8－1ln a )x 3＋4x 3·log a x(2＋log a x )210．已知函数f (x )＝＋，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为a ln xx ＋1bx x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【解】　(1)f ′(x )＝－.a(x ＋1x－ln x)(x ＋1)2b x 2由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故Error!即Error!解得Error!12所以a ＝1，b ＝1.能力提升]1．设曲线y ＝在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( )x ＋1x －1A ．2B ．12C ．－D ．－212【解析】　∵y ＝＝＝1＋，x ＋1x －1x －1＋2x －12x －1∴y ′＝－.2(x －1)2∴曲线y ＝在点(3,2)处的切线斜率为k ＝－，由题意知，ax ＋y ＋1＝0斜x ＋1x －112率为k ′＝2，∴a ＝－2.【答案】　D2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)【解析】　函数的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2－＝>0，4x 2(x －2)(x ＋1)x解得x >2，故选C.【答案】　C3．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离最小时点P 的坐标为________．【解析】　过点P 作y ＝x －2的平行直线l ，且与曲线f (x )＝x 2－ln x 相切．设P (x 0，x －ln x 0)，则直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0－，∴2x 0－＝1，∴x 0＝1或201x 01x 0x 0＝－(舍去)，∴点P 的坐标为(1,1)．12【答案】　(1,1)4．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．【解】　设l 与C 1相切于点P (x 1，x )，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．21对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为：y －x ＝2x 1(x －x 1)，21即y ＝2x 1x －x .　①21对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为：y ＋(x 2－2)2＝－2(x2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x －4.　②2因为两切线重合，所以由①②，得Error!解得Error!或Error!所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

2016-2017学年高中数学北师大版必修1学业分层测评20

学业分层测评(二十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0.＋∞)【解析】由题意log 12(2x ＋1)>0，则0<2x ＋1<1，解得－12<x <0，故选A. 【答案】 A2．如图3-5-2是三个对数函数的图像，则a 、b 、c 的大小关系是( )图3-5-2A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】令y ＝1，如图所示则b <c <1<a . 故选D.【答案】 D3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c log 54>log 53>log 51＝0， ∴1>a ＝log 54>log 53>b ＝(log 53)2.又∵c ＝log 45>log 44＝1，∴c >a >b ，故选D. 【答案】 D4．(2016·江西南昌二中高一期中)函数y ＝x ·ln|x |的大致图像是( )【解析】函数的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除选项B.又当0<x <1时，f (x )<0，排除选项A 、C.故选D.【答案】 D5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，直线y ＝a 与函数f (x )的图像恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．0<a ≤1B ．0≤a <1C ．0<a <1D ．a <1【解析】作出函数f (x )的图像如图所示，若直线y ＝a 与函数f (x )的图像恒有两个不同的交点，则0<a ≤1.【答案】 A二、填空题 6．已知f (x )＝lg1＋x 1－x，x ∈(－1,1)，若f (a )＝12，则f (－a )＝________. 【解析】 ∵f (－x )＝lg1－x 1＋x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x －1＝－lg 1＋x 1－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即f (－a )＝－f (a )＝－12. 【答案】－127．不等式log 13(5＋x )<log 13(1－x )的解集为________．【解析】因为函数y ＝log 13x 在(0，＋∞)上是减函数，故⎩⎨⎧5＋x >1－x ，1－x >0，解得－2<x <1. 【答案】 (－2,1)8．函数y ＝log 12(1－2x )的单调递增区间为________．【解析】令u ＝1－2x ，函数u ＝1－2x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12内递减，而y ＝log12u 是减函数，故函数y ＝log 12(1－2x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12内递增．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12三、解答题9．比较下列各组中两个数的大小： (1)log 31.9，log 32； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141.【解】 (1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，1.9<2. 故log 31.9<log 32.(2)因为log 23>log 22＝1，log 0.32<log 0.31＝0，故log 23>log 0.32.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，π>3.141，故log a π>log a 3.141；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，π>3.141，故log a π<log a 3.141.10．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0且a ≠1)． (1)求函数的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．【导学号：04100065】【解】 (1)由⎩⎨⎧1－x >0，x ＋3>0得－3<x <1.∴函数的定义域为{x |－3<x <1}， f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]．当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)； (2)由题意及(1)知，当0<a <1时，函数有最小值， ∴log a 4＝－2， ∴a ＝12.[能力提升]1．(2016·河南许昌市四校高一联考)函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤4B ．a ≤2C ．－4<a ≤4D ．－2≤a ≤4【解析】 ∵函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数， ∴y ＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上是增函数且大于零，故有⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，求得－4<a ≤4，故选C.【答案】 C2．已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 【解析】 ∵f (x )＝log a x (x ≥1)是减函数， ∴0＜a ＜1且f (1)＝0.∵f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x ＜1)为减函数， ∴3a －1＜0，∴a ＜13.又∵f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，∴(3a －1)×1＋4a ≥0，∴a ≥17. ∴a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13.【答案】 C3．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．【解析】由题意可知，f (log 4x )<0⇔－12<log 4x <12⇔log 44－12<log 4x <log 4412⇔12<x <2.【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2 4．已知a >0，且a ≠1，f (log a x )＝a a 2－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x . (1)求f (x )；(2)判断f (x )的单调性；(3)对于f (x )，当x ∈(－1,1)时，有f (1－m )＋f (1－m 2)<0，求m 的取值范围．【解】 (1)令t ＝log a x (t ∈R )，则x ＝a t ，且f (t )＝a a 2－1·⎝⎛⎭⎪⎫a t －1a t . ∴f (x )＝aa 2－1·(a x －a －x )(x ∈R )． (2)当a >1时，y ＝a x －a －x 为增函数，又aa 2－1>0，∴f (x )为增函数；当0<a <1时，y ＝a x －a －x 为减函数，又aa 2－1<0，∴f (x )为增函数．∴函数f (x )在R 上为增函数．(3)∵f (1－m )＋f (1－m 2)<0，且f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－m )<f (m 2－1)． ∵f (x )在(－1,1)上为增函数， ∴⎩⎨⎧－1<1－m <1，－1<m 2－1<1，1－m <m 2－1，解得1<m < 2.∴m 的取值范围是(1，2)．。

北京朝阳区2016-2017学年北师大版高二数学选修1-1学业分层测评16 Word版含解析

当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
f′(x)
－
(2，＋ 0 (0,2) 2
∞)
0＋
0
－
f(x)

0
4e－2

由上表可以看出，当 x＝0 时，函数有极小值，且为 f(0)＝0；
当 x＝2 时，函数有极大值，且为 f(2)＝4e－2.
1 10．是否存在实数 a，使函数 f(x)＝3x3＋x2＋ax＋1 在 x＝1 处取极值？若存在，求出 a 的值，并判断 f(1)是极大值还是极小值；若不存在，请说明理由．
3 和(1，＋∞)，单调递减
( )1 ，1 区间为 3 .
( ) 1
1 43
∴当 x＝3时，函数有极大值，且为 f 3 ＝27，
当 x＝1 时，函数有极小值，且为 f(1)＝1，
(2)函数的定义域为 R，
f′(x)＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x，
令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2.
由题意得 f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，
即Error!
解得：a＝1，b＝－6，c＝9，d＝0.
【答案】 B 二、填空题 6．(2016·湛江高二检测)函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝________处取得极小值．
神笛 2005
神笛 2005
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2；由
【答案】 B
5．三次函数当 x＝1 时有极大值 4，当 x＝3 时有极小值 0，则此函数的解析式
是( ) A．y＝x3＋6x2＋9x
B．y＝x3－6x2＋9x

高中数学第二章函数学业分层测评(5)函数概念北师大版必修1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章函数学业分层测评（5）函数概念北师大版必修1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·青海平安县一中高一月考)已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,3)，则在同一坐标系中，函数f(x)的图像与直线x＝2的交点个数为( )A．0个B．1个C．2个D．0个或多个【解析】∵2∈(－1,3)，∴有唯一的函数值f(2)与2对应，即函数f(x)的图像与直线x＝2的交点仅有1个．【答案】 B2．(2016·南安市高一期末)设M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函数f(x)的定义域为M，值域为N，则f(x)的图像可以是( )【解析】A项中函数定义域为[－2,0]，D项中函数值域不是[0,2]，C项中对任一x 都有两个y与之对应，不是函数图像．故选B.【答案】 B3．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3【解析】选项A 、C 、D 中的函数f (x )与g (x )定义域均不同．【答案】 B4．函数f (x )＝x ＋1|x |－x的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．[－1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[－1,0)【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，|x |－x ≠0，则－1≤x <0，故函数的定义域为[－1,0)．【答案】 D5．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0]D ．(－∞，－1]【解析】由于x ＋1≥0，所以函数y ＝x ＋1的值域为[0，＋∞)．【答案】 B 二、填空题6．已知一个区间为[m,2m ＋1]，则m 的取值范围是__________．【解析】由题意m <2m ＋1，解得m >－1. 【答案】 m >－17．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是________.【答案】 {2,3,4,5}8．若A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，则A ∩B ＝________.【解析】由A ＝{x |y ＝x ＋1}，B ＝{y |y ＝x 2＋1}，得A ＝[－1，＋∞)，B ＝[1，＋∞)，∴A ∩B ＝[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞)三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋x －1.(1)求f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x； (2)若f (x )＝5，求x 的值．【解】 (1)f (2)＝22＋2－1＝5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1x－1＝1＋x －x 2x 2.(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5， ∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或x ＝－3. 10．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝xx 2－x －2；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4.【解】 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－x －2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ≠－1，且x ≠2，所以x ≥0，且x ≠2.故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠2}．(2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，解得13≤x ≤12.故函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12.[能力提升]1．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正实数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2【解析】 f (－1)＝a －1，∴f (f (－1))＝a (a －1)2－1＝－1，∴a (a －1)2＝0，∵a >0，∴a ＝1.【答案】 A2．下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) 【导学号：04100017】A ．f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2B ．f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x x ＋C ．f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1 D ．f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)．【解析】 A 中f (x )的定义域中不含有元素2，而g (x )定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．B 中f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．C 中尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．D 中f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此不是同一函数．【答案】 C3．已知g (x )＝2－3x ，f (g (x ))＝3x x 2－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________. 【解析】令g (x )＝2－3x ＝12，解得x ＝12，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×1214－1＝32－34＝－2.【答案】－24．如图221，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)图221(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图像．【解】 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋＋2h h2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0＜h ＜1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0＜h ＜1.8)求得．由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图像可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A ＜6.84.故值域为{A |0＜A ＜6.84}．(3)由于A ＝(h ＋1)2－1，对称轴为直线h ＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图像过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h ＜1.8，∴A ＝h 2＋2h 的图像仅是抛物线的一部分，如图所示．。

2016-2017学年北师大版高中数学必修1检测：模块质量评

模块质量评估(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示错误的是( ) A ．{a }∈{a ，b } B ．{a ，b }⊆{b ，a } C ．{－1，1}⊆{－1，0，1}D ．∅⊆{－1，1}解析： A 中两个集合之间不能用“∈”表示，B ，C ，D 都正确．答案： A2．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析： A ＝{y |y >0}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ⊆B . 答案： A3．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：易知log 23>1，log 32，log 52∈(0，1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝log 5x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 52. 答案： D4．函数y ＝ax 2＋bx ＋3在(－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞)上是减函数，则( ) A ．b >0且a <0 B ．b ＝2a <0 C ．b ＝2a >0D ．a ，b 的符号不定解析：由题知a <0，－b2a ＝－1，∴b ＝2a <0.答案： B5．要得到y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图像( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度解析：由y ＝3×⎝⎛⎭⎫13x ＝⎝⎛⎭⎫13－1×⎝⎛⎭⎫13x＝⎝⎛⎭⎫13x －1知，D 正确．答案： D6．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a的图像可能是如图中的( )解析： ∵a <0，∴y ＝ax ＋1a 的图像不过第一象限．还可知函数y ＝x a (a <0)和y ＝ax ＋1a 在各自定义域内均为减函数．答案： B7．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c 1，∴b <a <c . 答案： D8．若函数f (x )＝ax 2＋2x ＋1至多有一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．1B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．以上都不对解析：当f (x )有一个零点时，若a ＝0，符合题意，若a ≠0，则Δ＝4－4a ＝0得a ＝1，当f (x )无零点时，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 综上所述，a ≥1或a ＝0. 答案： D9．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3) C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，f (1)<f (2)<f (3)．又函数为f (x )＝log a |x |为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，所以f (1)<f (－2)<f (3)．答案： B10．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增加的，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( ) A ．{x |x <－3，或0<x <3} B ．{x |－3<x <0，或x >3} C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析： ∵f (x )是奇函数， ∴f (3)＝－f (－3)＝0. ∵f (x )在(0，＋∞)是增加的， ∴f (x )在(－∞，0)上是增加的．结合函数图像x ·f (x )<0的解为0<x <3或－3<x <0. 答案： D11．一个商人有一批货，如果月初售出可获利1 000元，再将收益都存入银行，已知银行月息为2.4%；如果月末售出可获利1 200元，但要付50元货物保管费．这个商人若要获得最大收益，则这批货( )A ．月初售出好B ．月末售出好C ．月初或月末一样D ．由成本费的大小确定出售时机解析：设这批货成本为a 元，月初售出可收益y 1＝(a ＋1 000)×(1＋2.4%)(元)，月末售出可收益y 2＝a ＋1 200－50＝a ＋1 150(元)．则y 1－y 2＝(a ＋1 000)×1.024－a －1 150 ＝0.024a －126.当a >1260.024>5 250时，月初售出好；当a <5 250时，月末售出好；当a ＝5 250时，月初、月末收益相等，但月末售出还要保管一个月，应选择月初售出．答案： D12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：计算出函数在区间端点处的函数值并判断符号，再利用零点的存在条件说明零点的位置．∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )， ∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )， f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a 0，f (b )<0，f (c )>0，∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝________．解析： ∵g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝eln 12＝12. 答案： 1214．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________．解析： A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )．若A ⊆B ，则a >4，即a 的取值范围为(4，＋∞)，∴c ＝4. 答案： 415．函数y ＝22－2x －3x 2的递减区间是________．解析：令u ＝2－2x －3x 2，y ＝2u ，由u ＝－3x 2－2x ＋2知，u 在⎝⎛⎭⎫－13，＋∞上为减函数，而y ＝2u 为增函数，所以函数的递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，＋∞. 答案： ⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ 16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1，x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像有________个交点．解析：作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．答案： 3三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ； (2)求(∁R A )∩B ；(3)若A ⊆C ，求a 的取值范围．解析： (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2<x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，所以∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．因为B ＝{x |2<x <10}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(3)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ⊆C ，所以a 需满足a ≥7.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在直角坐标系内画出f (x )的图像； (2)写出f (x )的单调递增区间．解析： (1)函数f (x )的图像如下图所示：(2)函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]和[2，5]． 19．(本小题满分12分)计算下列各式的值： (1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫82723＋⎝⎛⎭⎫32－2. (2)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72. 解析： (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫233×23＋⎝⎛⎭⎫32－2 ＝⎝⎛⎭⎫322×12－1－⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.20．(本小题满分12分)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解析： (1)由f (0)＝1得，c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1，又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．21．(本小题满分13分)定义在[－1，1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[0，1]时的解析式为f (x )＝－22x ＋a 2x (a ∈R )．(1)求f (x )在[－1，0]上的解析式． (2)求f (x )在[0，1]上的最大值h (a )．解析： (1)设x ∈[－1，0]，则－x ∈[0，1]，f (－x )＝－2－2x＋a 2－x ，又∵函数f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )， ∴f (x )＝－2－2x＋a 2－x ，x ∈[－1，0]．(2)∵f (x )＝－22x ＋a 2x ，x ∈[0，1]，令t ＝2x ，t ∈[1，2]． ∴g (t )＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a 24. 当a2≤1，即a ≤2时，h (a )＝g (1)＝a －1；当1<a2<2，即2<a <4时，h (a )＝g ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24；当a2≥2，即a ≥4时，h (a )＝g (2)＝2a －4. 综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1， a ≤2，a24， 2<a <4，2a －4， a ≥4.22．(本小题满分13分)通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力(f (x )的值越大，表示接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：分)，可以有以下公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43，（0<x ≤10）59，（10<x ≤16）－3x ＋107，（16<x ≤30）(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？ (2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析： (1)当0<x ≤10时， f (x )＝－0.1x 2＋2.6x ＋43 ＝－0.1(x －13)2＋59.9，故f (x )在0<x ≤10时递增，最大值为f (10)＝－0.1×(10－13)2＋59.9＝59. 当10<x ≤16时，f (x )＝59.当x >16时，f (x )为减函数，且f (x )<59.因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力(为59)，能维持6分钟时间． (2)f (5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5， f (20)＝－3×20＋107＝47<53.5，故开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些． (3)当0<x ≤10时，令f (x )＝55，解得x ＝6或x ＝20(舍)，当x >16时，令f (x )＝55，解得x ＝1713.因此学生达到(含超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113<13，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．。

2016-2017学年高中数学人教B版必修一学业分层测评22

学业分层测评(二十二) 指数函数与对数函数的关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.设f (x )＝3x ＋9，则f －1(x )的定义域是( ) A.(0，＋∞) B.(9，＋∞) C.(10，＋∞)D.(－∞，＋∞)【解析】 ∵f (x )＝3x ＋9>9，∴反函数的定义域为(9，＋∞)，故选B. 【答案】 B2.设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1，c ＝log 23x ，若x >1，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a 1，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝23，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －1>⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴0<a 0) C.f (2x )＝2e x (x ∈R ) D.f (2x )＝ln x ＋ln 2(x >0)【解析】由y ＝e x 得f (x )＝ln x ， ∴f (2x )＝ln 2x ＝ln 2＋ln x (x >0).【答案】 D4.函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为()A.x＝2－yB.x＝y－2C.y＝2－x(x∈R)D.y＝x－2(x∈R)【解析】由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(x∈R).互换x，y，得y＝x－2(x∈R).【答案】 D5.已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是()A.y＝3－3x(x≥0)B.y＝3＋3x(x≤1)C.y＝3＋3x(x≥0)D.y＝3－3x(x≤1)【解析】由y＝log3(3－x)，得3－x＝3y，∴x＝3－3y，∴有f －1(x)＝3－3x，排除B、C，∵原函数中0≤x<3，∴0<3－x≤3，∴y＝log3(3－x)≤1，所以f －1(x)的定义域为x≤1，故选D.【答案】 D二、填空题6.若函数f (x)的反函数为f －1(x)＝x2(x>0)，则f (4)＝________. 【导学号：60210091】【解析】设f (4)＝b，则4＝f －1(b)＝b2且b>0，∴b＝2.【答案】 27.已知函数y＝a x＋b的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a＝________，b＝________.【解析】由函数y＝a x＋b的图象过点(1,4)，得a＋b＝4.由反函数的图象过点(2,0)，则原函数图象必过点(0,2)，得a0＋b＝2，因此a ＝3，b＝1.【答案】3 18.设函数g(x)的图象与f (x)＝2x＋14x＋3⎝⎛⎭⎪⎫x∈R，且x≠－34的图象关于直线y＝x对称，则g(2)的值等于________.【解析】∵g(x)的图象与f (x)＝2x＋14x＋3的图象关于直线y＝x对称，∴g(x)与f (x)互为反函数，由2x＋14x＋3＝2，解得x＝－56，∴g(2)＝－5 6.【答案】－5 6三、解答题9.求函数y＝2x＋1(x<0)的反函数.【解】因为y＝2x＋1,0<2x<1，所以1<2x＋1<2. 所以1<y<2.由2x＝y－1，得x＝log2(y－1).所以f －1(x)＝log2(x－1)(1<x<2).10.已知f (x)＝log a(a x－1)(a>0，且a≠1).(1)求f (x)的定义域；(2)讨论f (x)的单调性；(3)解方程f (2x)＝f －1(x).【解】(1)要使函数有意义，必须a x－1>0，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0.∴当a>1时，f (x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f (x)的定义域为(－∞，0).(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f (x1)<f (x2).故当a>1时，f (x)在(0，＋∞)上是增函数；类似地，当0<a<1时，f (x)在(－∞，0)上为增函数.(3)令y＝log a(a x－1)，则a y＝a x－1，∴x ＝log a (a y ＋1). ∴f －1(x )＝log a (a x ＋1).由f (2x )＝f －1(x )，得log a (a 2x －1)＝log a (a x ＋1)， ∴a 2x －1＝a x ＋1，解得a x ＝2或a x ＝－1(舍去)，∴x ＝log a 2.[能力提升]1.设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜c ＜a C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a【解析】 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b .又c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a .综上知c ＜a ＜b .【答案】 C2.设函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0，且a ≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a ＋b 等于( )A.3B.4C.5D.6【解析】 f (x )＝log a (x ＋b )的反函数为f －1(x )＝a x － b ，又f (x )过点(2,1)，∴f －1(x )过点(1,2)， ∴⎩⎨⎧a －b ＝2，a 2－b ＝8，解得⎩⎨⎧ b ＝1，a ＝3或⎩⎨⎧b ＝－4，a ＝－2，又a >0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴a ＋b ＝4. 【答案】 B3.函数y ＝⎩⎨⎧x ＋1，x <0，e x ，x ≥0的反函数是________.【导学号：60210092】【解析】当x <0时，y ＝x ＋1的反函数是y ＝x －1，x <1；当x ≥0时，y ＝e x 的反函数是y ＝ln x ，x ≥1. 故原函数的反函数为y ＝⎩⎨⎧x －1，x <1，ln x ，x ≥1.【答案】 y ＝⎩⎨⎧x －1，x <1，ln x ，x ≥14.设a >0，且a ≠1，函数y ＝ax 2－2x ＋3有最大值，求函数f (x )＝log a (3－2x )的单调区间.【解】设t ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2. 当x ∈R 时，t 有最小值，为2. ∵y ＝ax 2－2x ＋3有最大值，∴0<a <1. 由f (x )＝log a (3－2x )，得其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32.设u (x )＝3－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，则f (x )＝log a u (x ).∵u (x )＝3－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是减函数，0<a <1，∴f (x )＝log a u (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上是增函数. ∴f (x )＝log a (3－2x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，无单调减区间.。

北师版数学必修1：学业分层测评第2章 §4 4.2 二次函数的性质

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝3＋2x －x 2(0≤x ≤3)的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3D ．4【解析】 y ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4，∵0≤x ≤3， ∴当x ＝3时，y min ＝3＋6－9＝0. 【答案】 B2. 若抛物线y ＝x 2－(m －2)x ＋m ＋3的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－2 D ．2【解析】由题意知其对称轴为x ＝－－(m －2)2＝m －22＝0，即m ＝2.【答案】 D3. 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．[－1,0]【解析】g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.如图所示，其递减区间是[0,1)．故选B.【答案】 B4. 若f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，则( ) A ．f (4)＜f (1)＜f (2) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1)D ．f (4)＜f (2)＜f (1)【解析】 f (x )的对称轴为x ＝2，所以f (2)最小．又x ＝4比x ＝1距对称轴远，故f (4)＞f (1)，即f (2)＜f (1)＜f (4)．【答案】 B5. 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0,1]C ．(0,2]D ．[1，＋∞)【解析】 f (x )＝(x －1)2＋3，f (x )的对称轴为x ＝1，f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．当x ＝1时，f (x )取到最小值3，当x ＝0或2时，f (x )取到最大值4，所以m ∈[1,2]．【答案】 A 二、填空题6. 函数y ＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1的图像与x 轴只有一个交点，则实数m 的取值集合为________．【解析】当m ＝1时，f (x )＝4x －1，其图像和x 轴只有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，当m ≠1时，依题意，有Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0，。

高中数学北师大版必修一学业分层测评第二章函数(6) Word版含解析

学业分层测评(六)
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题.已知函数()的图像如图--所示，则此函数的定义域、值域分别是( )
图--
．(－)，(－)
．[－]，[－]
．[－]，[－]
．(－)，(－)
【解析】由图可知自变量－≤≤，函数值－≤≤.
故定义域为[－]，值域为[－]．
【答案】．(·沈阳高一月考)设()＝(\\(－，(≥(，[(＋(]，(＜(，))则()的值为( )
．
．
．．
【解析】由题意易知，()＝[()]＝()＝[()]＝()＝.故选.
【答案】
．函数＝＋的图像是( )
【解析】＝＋＝(\\(＋，>，－，<，))如图：
【答案】
．设()＝＋，(＋)＝()，则()等于( )
．－
．－＋
．＋
．－
【解析】由()＝＋，知()＝(＋)＝(＋)＋＝＋.
【答案】．根据统计，一名工人组装第件某产品所用的时间(单位：分钟)为()＝
(\\((,())，<，,(,())，≥，))
(，为常数)．已知工人组装第件产品用时分钟，组装第件产品用时分钟，那么
和的值分别是( )
．
．
．
．
【解析】由题意知<，故＝，∴＝.
又＝，∴＝.故选.
【答案】
二、填空题
．已知函数()，()分别由下表给出：
则[()]的值为；当[()]＝时，＝.
【解析】由数表可知()＝，故[()]＝()＝.
当[()]＝时，()＝，此时＝.
【答案】。

高中数学北师大版必修一学业分层测评第二章函数(8) Word版含解析

学业分层测评(八)(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．下列函数在区间(－∞，)上为增函数的是( )．()＝．()＝－．()＝－．()＝－－【解析】中()为减函数，中()在(－∞，)上是减函数，中()在(－∞，]上是减函数，中由()图像可知，在(－∞，)上是增函数．【答案】．如果函数()＝＋(－)＋在[，＋∞)上是增加的，那么实数的取值范围是()．≥－．≤．≥．≤【解析】函数()的对称轴为＝－＝－，则－≤，即≥－.【答案】．下列说法中正确的是( )①若对任意，∈，当<时，()<()，则＝()在上是增函数；②函数＝在上是增函数；③函数＝－在定义域上是增函数；④＝的单调区间是(－∞，)∪(，＋∞)．．个．个．个．个【解析】由函数单调性的定义知①正确，②中＝在上不具有单调性，③中＝－在(－∞，)，(，＋∞)上是增函数，④中＝的单调性区间为(－∞，)，(，＋∞)，故正确的只有①.【答案】．已知函数＝和＝－在(，＋∞)上都是减函数，则函数()＝＋在上是( )．减函数且()<．增函数且()<．增函数且()>．减函数且()>【解析】由题意<，<，故()是减少的，()＝<.【答案】．设函数()在(－∞，＋∞)上是减函数，则( )．(＋)<()．()>()．()<()．(＋)<()【解析】∵＋－＝＋>，∴＋>.∵函数()在(－∞，＋∞)上是减函数，∴(＋)<()，故选.【答案】二、填空题．已知()＝(\\((－(，≥，＋，<，))则()的单调增区间是．【解析】画出分段函数()的图像，如图所示：由图像知，()在(－∞，]和[，＋∞)上是增加的．【答案】(－∞，]和[，＋∞)．函数＝＋在区间[]上的最大值为，则＝.【解析】当>时，由＋＝，＝；当<时，由＋＝，＝(舍去)．【答案】．已知函数()为区间[－]上的减函数，则满足()<的实数的取值范围是．【解析】由题意(\\(－≤≤，>()，))所以<≤.【答案】<≤三、解答题．求函数()＝＋，∈(]的最小值．【解】∵()＝＋，∈(]，设＜＜≤，∴()－()＝(－)＋＝(－).∵＜＜≤，。

北师大版高中数学必修一第二单元《函数》测试(有答案解析)(1)

一、选择题1．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-，则12017f ⎛⎫⎪⎝⎭等于（） A ．116B ．132 C ．164D ．11282．下列各函数中，表示相等函数的是（） A ．lg y x =与21lg 2y x =B ．211x y x -=-与1y x =+C．1y =与1y x =-D ．y x =与log xa y a =(0a >且1a ≠)3．已知函数(1)f x +为偶函数，当0x >时，23()f x x x =+，则(2)f -=（） A ．4- B ．12C ．36D ．804．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解集为（） A ．{|22}x x -<或1}x <- C ．{|04}x x <<D ．{|4x x >或0}x <5．已知函数()31,03,0x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()232f x f x ->的解集为（）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()3,1-C ．()(),13,-∞-+∞ D ．()1,3-6．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x )=2f (x +2)，且当x ∈[2-，0) 时，19()4f x x x =++，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有1()3f x ≤，则m 的取值范围为（） A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ D ．11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7．函数sin y x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．8．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．某兴趣小组对函数()f x 的性质进行研究，发现函数()f x 是偶函数，在定义域R 上满足(1)(1)(1)f x f x f +=-+，且在区间[1,0]-为减函数.则(3)f -与5()2f -的关系为（）A ．5(3)()2f f -≥- B ．5(3)()2f f ->- C ．5(3)()2f f -≤-D ．5(3)()2f f -<-10．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数，下列判断正确的是（） A ．①正确②正确B ．①错误②错误C ．①正确②错误D ．①错误②正确11．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃12．函数2log xy x x=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若函数()y f x =的定义域是[]0,4，则函数()21f x f x x =-的定义域是__________.14．已知函数()2f x x =，()1g x a x =-，a 为常数，若对于任意1x ，[]20,2x ∈，且12x x <，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-则实数a 的取值范围为________.15．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()14f x f x +=，当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则()2019f =_____．16．已知函数()()14f x a ax =-⋅-在区间[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.17．如图，是某个函数的图象，则该函数的解析式y =__________；18．已知()()21353m f x m m x+=++是幂函数，对12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，若,a b ∈R ，0a b +<，0ab <，则()()f a f b +________0（填>，<）.19．已知函数2()2f x x x a =-++，21()7log g x x=+，若对任意1[0,3]x ∈，总存在22,4x ⎡⎤∈⎣⎦，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 20．设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，是a 的取值范围为________________．三、解答题21．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．22．（1）已知()()43f x x a =-+时，当实数a 为何值时，()f x 是偶函数？（2）已知()g x 是偶函数，且()g x 在[)0,+∞是增函数，如果当[]1,2x ∈时()()6g x a g x +≤-恒成立，求实数a 的取值范围.23．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ； 24．定义在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上的函数()f x 满足：对任意的11,,22x y ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭都有()()()1()()f x f y f x y f x f y ，且当102x <<时，()0f x >．（1）判断()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性并证明；（2）求实数t 的取值集合，使得关于x 的不等式1()02f t x f x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立．25．已知函数2()21,[1,3]f x ax bx x =++∈（,a b ∈R 且,a b 为常数）（1）若1a =，求()f x 的最大值；（2）若0a >，1b =-，且()f x 的最小值为4-，求a 的值. 26．已知函数()y f x =的定义域为D ，若存在区间[],a b D ⊆，使得()[]{}[],,,y y f x x a b a b =∈=，则称区间[],a b 为函数()y f x =的“和谐区间”.（1）请直接写出函数()3f x x =的所有的“和谐区间”；（2）若[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”，求m 的值；（3）求函数()22f x x x =-的所有的“和谐区间”.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】由③可得()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后由②可得111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭，然后结合()f x 在[0,1]上非减函数可得答案. 【详解】由③得(10)1(0)1f f -=-=，111122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11f =，1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由②得()12201111111111323232322n n n n n n f f f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫======⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12231011111111232232232232n n n n nf f f f ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∵761113201723<<⨯且61123128f ⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭，7113128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又()f x 在[0,1]上非减函数，∴112017128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由条件得到111113232n n n f f -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111232n n f -⎛⎫= ⎪⋅⎝⎭. 2．D解析：D 【分析】本题可依次判断四个选项中函数的定义域、对应关系、值域是否相同，即可得出结果. 【详解】A 项：函数lg y x =定义域为()0,∞+，函数21lg 2y x =定义域为{}0x x ≠，A 错误； B 项：函数211x y x -=-定义域为{}1x x ≠，函数1y x =+定义域为R ，B 错误；C 项：函数1y =值域为[)1,-+∞，函数1y x =-值域为R ，C 错误；D 项：函数y x =与函数log xa y a =(0a >且1a ≠)定义域相同，对应关系相同，D 正确.故选：D 【点睛】方法点睛：判断两个函数是否相同，首先可以判断函数的定义域是否相同，然后判断两个函数的对应关系以及值域是否相同即可，考查函数定义域和值域的求法，是中档题.3．D解析：D 【分析】首先根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+，所以有(2)(4)f f -=，结合题中所给的函数解析式，代入求得结果. 【详解】∵函数(1)f x +为偶函数，所以图象关于y 轴对称，即(1)(1)f x f x +=-+，构造(2)(31)(31)(4)f f f f -=-+=+=，而40>，所以23(4)4+4=16(14)80f =⨯+=. 故选：D. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（1）根据函数(1)f x +为偶函数，得到(1)(1)f x f x +=-+；（2）根据(1)(1)f x f x +=-+，得到(2)(4)f f -=；（3）结合当0x >时，23()f x x x =+，将4x =代入求得结果.4．B解析：B 【分析】根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论．【详解】2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数，所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-，在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->，解得1x <-或5x >，故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >．故选：B 【点睛】思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.5．B解析：B 【分析】先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】因为313y x =在R 上单调递增，所以313y x =在(),0-∞上单调递增，又因为xy e =在R 上单调递增，所以xy e =在[)0,+∞上单调递增，且0311003e =>=⋅，所以()f x 在R 上单调递增，又因为()()232f x f x ->，所以232xx ->，解得()3,1x ∈-，故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.6．D解析：D 【分析】求出[2,0)x ∈-时，()f x 的值域，满足1()3f x ≤，根据函数的定义，[0,2)x ∈时，满足1()3f x ≤，同时可得0x ≥时均满足1()3f x ≤，然后求得[4,2)x ∈--时的解析式，解不等式1()3f x ≤得解集，分析后可得m 的范围．【详解】[2,0)x ∈-时，19()4f x x x =++在[]2,1--上递增，在[1,)-+∞上递减，1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，满足1()3f x ≤，当[0,2)x ∈时，2[2,0)x -∈-，11()(2)[,)28f x f x =-∈-∞，满足满足1()3f x ≤，按此规律，2x ≥时，()f x 均满足1()3f x ≤，当[4,2)x ∈--时，29()2(2)2(2)22f x f x x x =+=++++，由2912(2)223x x +++≤+，解得1043x -≤≤-或1124x -≤<-，当101134x -<<-时，1()3f x >．因此当114x ≥-时，都有1()3f x ≤，所以114m ≥-．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键是依照周期函数的性质，根据函数的定义求出()f x 在[2,22)k k +（k ∈N ）满足1()3f x ≤，在[2,0)-上直接判断，求出[4,2)--上的解析式，确定1()3f x ≤的范围，此时有不满足1()3f x ≤的x 出现，于是可得结论m 的范围．7．A解析：A 【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．D解析：D 【分析】根据复合含定义域的求法，令121log 2x ≤≤，求函数的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2，12log y f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭的定义域，令121log 2x ≤≤，解得：1142x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.9．B解析：B 【分析】对于(1)(1)(1)f x f x f +=-+，令0x =，可推出(1)(1)0f f =-=；令2x =-，推出(3)0f -=；令32x =-，推出51()()22f f -=-，最后结合()f x 的单调性得解．【详解】解：对于(1)(1)(1)f x f x f +=-+，令0x =，则(1)(1)(1)f f f =-+，(1)0f ∴-=，()f x 是偶函数，∴(1)(1)0f f =-=，令2x =-，则(21)(21)(1)f f f -+=--+，即(1)(3)(1)f f f -=-+，(3)0f ∴-=，令32x =-，则33(1)(1)(1)22f f f -+=--+，51()()22f f ∴-=-，()f x 在区间[1-，0]为减函数，51()()(1)0(3)22f f f f ∴-=-<-==-，故选：B ．【点睛】函数的单调性与奇偶性的综合运用，灵活运用赋值法是解题的关键．10．D解析：D 【分析】可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案．【详解】①错误，可举反例：21()31xx f x x x ⎧=⎨-+>⎩， 230()30121x x g x x x x x +⎧⎪=-+<⎨⎪>⎩，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数；故①错误； ②()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；()f x ∴为奇函数；同理，()g x ，()h x 均是奇函数；故②正确．故选：D ．【点睛】本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．11．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0，则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）；故选A ．【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．12．D解析：D 【解析】()222log ,0log log ,0x x x y x x x x >⎧==⎨--<⎩，所以当0x >时，函数22log log x y x x x ==为增函数，当0x <时，函数()22log log xy x x x==--也为增函数，故选D. 【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.二、填空题13．【分析】求出抽象函数定义域与联立求解答可得【详解】因为函数的定义域是所以又所以故答案为：【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数的定义域为则复合函数的定义域由不等式求出；(2)若已知函数的定解析：](1,2【分析】求出抽象函数()2f x 定义域与10x ->联立求解答可得【详解】因为函数()y f x =的定义域是[]0,4，所以02402x x ≤≤⇒≤≤，又10x -> 所以12x <≤ 故答案为：](1,2 【点睛】对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数()f x 的定义域为[]a b ，，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出；(2)若已知函数(())f g x 的定义域为[]a b ，，，则()f x 的定义域为()g x 在[]x a b ∈，上的值域．14．02【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x1x2∈02且x1＜x2都有f （x1）﹣f （x2）＜g （x1）﹣g （x2）即f （x1）﹣g （x1）＜f解析：[0，2] 【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f（x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可，当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点，当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ，当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ，要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x ＝12a≤，即a ≤2，当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x ＝02a-≤，即a ≥0，故a ∈[0，2]，故答案为：[0，2] 【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．15．【分析】根据条件判断函数的周期性利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化求解即可【详解】得即函数是周期为8的周期函数故答案为【点睛】本题主要考查函数值的计算结合条件求出函数的周期是解决本题的关键形如或的解析：12【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化求解即可．【详解】()()14f x f x +=得()()()184f x f x f x +==+，即函数()f x 是周期为8的周期函数，()()()()()()111201925283314112f f f f f f =⨯+==-+===-，故答案为12．【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合条件求出函数的周期是解决本题的关键．形如()()f a x f a x +=-，或()()2f x f x a -=+的条件，说明的都是函数()f x 图像关于x a =对称.形如()()f x a f x a +=-，或()()f x a f x +=-的条件，说明的是函数()f x 是周期为2a 的周期函数.16．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取解析：012a a <<≤或【分析】根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围．【详解】∵f （x ）定义在[0，2]上；∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0； ∴a≤2；①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0；∵[0，2]上是减函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠0；⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；[0，2]上是增函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或．故答案为012a a <<≤或．【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．17．【分析】根据分段函数图象用待定系数法求解即可【详解】当时设函数为当时解得；当时设函数为当时时解得所以故答案为：【点睛】本题考查利用函数图象求解析式考查待定系数法是基础题解析：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【分析】根据分段函数图象，用待定系数法求解即可. 【详解】当01x ≤<时，设函数为y kx =，当1x =时2y =，解得2k =；当13x ≤≤时，设函数为y ax b =+，当1x =时3y =，3x =时0y =，解得32a =-，92b =. 所以2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. 故答案为：2,0139,1322x x y x x ≤<⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 【点睛】本题考查利用函数图象求解析式，考查待定系数法，是基础题.18．【分析】先根据是幂函数求出的值再根据且有得出为增函数进而得到函数解析式再根据函数的奇偶性即可求解【详解】解：是幂函数解得：或当时当时又对且时都有在上单调递增易知的定义域为且为上的奇函数且在上单调递增解析：<【分析】先根据()()21353m f x m m x+=++是幂函数，求出m 的值，再根据12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠有()()12120f x f x x x ->-，得出()f x 为增函数，进而得到函数解析式，再根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】解：()()21353m f x m m x +=++是幂函数，23531m m +∴+=，解得：23m =-或1m =-，当23m =-时，()13f x x =，当1m =-时，()01f x x ==，又对12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，()13f x x∴=，易知()f x 的定义域为R ，且()()()1133f x x x f x -=-=-=-，()f x ∴为R 上的奇函数，且在R 上单调递增， 0a b <+， a b ∴<-，()()()f a f b f b ∴<-=-，()()0f a f b ∴+<.故答案为：<. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用幂函数以及单调性得出函数的解析式.19．【分析】由和的单调性求得它们的最大值由题意可得解不等式可得所求范围【详解】在递增递减可得在递减可得由对任意总存在使得成立可得则解得所以的取值范围是故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与解析：13,15⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】由()f x 和()g x 的单调性求得它们的最大值，由题意可得()()max max f x g x ≤，解不等式可得所求范围. 【详解】2()2f x x x a =-++在[0]1，递增，[1]3，递减，可得()()11max f x f a ==+， 21()7log g x x=+在⎤⎦递减，可得()max 215g x g ===，由对任意1[0,3]x ∈，总存在24x ⎤∈⎦，使得12()()f x g x ≤成立，可得()()max max f x g x ≤，则2115a +≤，解得1315a ≤-，所以a 的取值范围是13,15⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，故答案为：13,15⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集.20．【分析】利用定义可知在上递减在上递增所以当时取得最小值为再根据是的最小值可知且解得结果即可得解【详解】当时任设则当时所以所以当时所以所以所以在上递减在上递增所以当时取得最小值为又因为是的最小值所以且解析：02a ≤≤【分析】利用定义可知1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，再根据(0)f 是()f x 的最小值，可知0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得结果即可得解.【详解】当0x >时，1()f x x a x=++，任设120x x <<，则12121211()()f x f x x a x a x x -=++---12121()(1)x x x x =--，当120x x <<1<时，120x x -<，12110x x -<，所以12121()(1)0x x x x -->，所以12()()f x f x >，当121x x <<时，120x x -<，12110x x ->，所以12121()(1)0x x x x --<，所以12()()f x f x <，所以1()f x x a x=++在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以当1x =时，1()f x x a x=++取得最小值为2a +，又因为(0)f 是()f x 的最小值，所以0a ≥且2(0)2a a -≤+，解得02a ≤≤.故答案为：02a ≤≤. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性，考查了根据函数的最值点求参数的取值范围，考查了分段函数的性质，属于中档题.三、解答题21．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k=-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围；（3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n=⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值. 【详解】（1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a bb a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+（2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k=- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意当12k >时，1012k<-恒成立综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =-4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围. 22．（1）0a =；（2）62a -≤≤. 【分析】（1）当0a =时，由()43f x x =+判断，当0a ≠时，由()(),f a f a -的关系判断；（2）根据()g x 是偶函数，将()()6g x a g x +≤-，转化为 ()()6g x a g x +≤-，再根据()g x 在[)0,+∞是增函数，转化为[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立求解. 【详解】（1）当0a =时，()43f x x =+是偶函数，当0a ≠时，a a ≠-，而()()()420f a f a a --=≠，()f x 不可能是偶函数，所以当0a =时，()f x 是偶函数；（2）由()g x 是偶函数知()()g x a g x a +=+，()()66g x g x -=-，且x a +，60x -≥，因为()g x 在[)0,+∞是增函数，及()()6g x a g x +≤-，所以当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立，即当[]1,2x ∈时，6x a x +≤-恒成立，即当[]1,2x ∈时，66x x a x -≤+≤-恒成立，即当[]1,2x ∈时，662a x -≤≤-恒成立，所以62a -≤≤.【点睛】方法点睛：函数奇偶性与单调性求参数问题，当涉及到偶函数时，要利用()()()f x f x f x -==转化为求解.23．（1）[4,)-+∞；（2）226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【分析】（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得122m -≤，计算即可. （2）分类讨论112m -≤-，1112m -<-<，112m -≥，分别计算即可. 【详解】（1）由题可知，函数2()7f x x mx m =++-()m R ∈开口向上，对称轴的方程为2mx =-，若使得函数()f x 在[2,4]上单调递增，则满足122m -≤，解得4m ≥-，即实数m 的取值范围[4,)-+∞. （2）①当112m -≤-即2m ≥时，函数()y f x =在区间[1,1]-单调递增，所以函数()y f x =的最小值为()(1)6g m f =-=-； ②当1112m -<-<，即22m -<<时，函数()y f x =在区间11,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间1,12m ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()y f x =的最小值为21()724m g m f m m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭； ③当112m -≥即2m ≤-时，函数()y f x =在区间[1,1]-单调递减，所以函数()y f x =的最小值为()(1)26g m g m ==-，综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2m m m m g m m m -≤-⎧⎪+-⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 24．（1）单调递增；证明见解析；（2）14⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）首先判断()00f =，再令y x =-，判断函数的奇偶性，再设任意1210,2x x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，利用已知条件列式()()()()()()()()()121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---==-⋅-+⋅，判断符号，证明函数的单调性；（2）不等式转化为1()()2f t x f x f x ⎛⎫->-=- ⎪⎝⎭，再利用函数的单调性，去掉“f ”后，求t 的取值范围. 【详解】解：（1）令0x y ==，则22(0)(0)1(0)f f f =-，得(0)0f =，再令y x =-，则()()(0)01()()f x f x f f x f x +-==-⋅-，∴()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数，对任意1210,2x x ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，令1x x =，2y x =-，则()()()()()()()()()121212121211f x f x f x f x f x x f x f x f x f x +---==-⋅-+⋅，∵当102x <<时，()0f x >， ∴()120f x x ->，()()1210f x f x +>，从而()()120f x f x ->， ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递增. （2）∵()f x 为奇函数，∴1()()2f t x f x f x ⎛⎫->-=- ⎪⎝⎭， ∵()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调递增，且(0)0f =， ∴()f x 在11,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，由题意得：111222t x -<-<及12t x x ->-在11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立， ∴max min11112222x t x ⎛⎫⎛⎫-≤≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1144t -≤≤①； max 12t x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得14t ≥②，由①②可知，t 的取值集合是14⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数证明单调性和奇偶性，以及不等式恒成立求参数的取值范围，一般抽象函数证明单调性和奇偶性时，采用赋值法，利用定义证明，本题不等式恒成立求参数，采用参变分离的方法，转化为求函数的最值.25．（1）答案见解析；（2）19. 【分析】（1）讨论2b -<和2b -≥两种情况根据二次函数性质求解；（2）讨论11a ≤，113a<<和13a ≥三种情况结合二次函数的单调性求解. 【详解】（1）1a =时，2()21f x x bx =++，对称轴为x b =-，二次函数()f x 的图象开口向上，当2b -<，即2b >-时，max ()(3)106f x f b ==+;当2b -≥，即2b ≤-时，max ()(1)22f x f b ==+.（2）2()21f x ax x =-+，对称轴为1x a=，二次函数()f x 的图象开口向上，当11a≤，即1a ≥时，()f x 在[]1,3单调递增，()()min 114f x f a ==-=-，解得3a =-，不符合；当113a <<，即113a <<时，2min 112()14f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫==⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得15a =，不符合；当13a ≥，即103a <≤时，()f x 在[]1,3单调递减，()()min 3954f x f a ==-=-，解得19a =，符合，综上，19a =.【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间[],a b 的最值的思路；（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和2a b +的大小求解；（2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在(]()[),,,,,a a b b -∞+∞三个区间的范围求解.26．（1）[]1,0-、[]0,1、[]1,1-；（2）2；（2）[]1,0-和[]1,3-.【分析】（1）本题可令3x x =，解得0x =或±1，然后根据函数()3f x x =的单调性以及“和谐区间”定义即可得出结果；（2）本题首先可将函数转化为()321,23321,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，然后令312x x -=，解得25x =或2，最后绘出函数图像，结合函数图像即可得出结果；（3）本题可令22x x x -=，解得0x =或3，然后结合函数图像即可得出结果.【详解】（1）函数()3f x x =是增函数，定义域为R ，令3x x =，解得0x =或±1，故函数()3f x x =的所有“和谐区间”为[]1,0-、[]0,1、[]1,1-. （2）因为()312f x x =-，所以()321,23321,23x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩，因为[]()0,0m m >为函数()312f x x =-的一个“和谐区间”，所以可令312x x -=，解得25x =或2，如图所示，绘出函数图像：结合“和谐区间”的定义易知，当2x =时满足题意，故m 的值为2.（3）函数()22f x x x =-，定义域为R ，令22x x x -=，解得0x =或3，如图所示，绘出函数图像：结合图像易知，函数()f x 的所有“和谐区间”为[]1,0-和[]1,3-.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，能否结合题意明确函数新定义的含义是解决本题的关键，在解决函数类的问题时，合理利用函数图像可以给解题带来很大帮助，考查数形结合思想，是中档题.。

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修一学业分层测评：第二章函数(7) Word版含解析

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．给出如图2-2-8所示的对应：图2-2-8其中构成从A到B的映射的个数为()A．3B．4C．5D．6【解析】由映射的定义可知，构成从A到B的映射有①②③.【答案】 A2．(2016·西安高一检测)设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则图2-2-9中，能表示P到Q的映射的是()图2-2-9A．(1)(2)(3)(4) B．(1)(3)(4)C．(1)(4) D．(3)【解析】如图(1)，对于P 中的每个元素x 在Q 中都有唯一的像，所以它是P 到Q 的映射；在图(2)中，当P 中元素x 取(0,1]的值时，在Q 中对应的元素不唯一，所以(2)不是映射；在图(3)中，当P 的元素取(1,2]的值时，Q 中没有元素与它对应，所以(3)不是P 到Q 的映射；与(1)相同，(4)也是P 到Q 的映射．【答案】 C3．下列对应法则中，能建立从集合A ＝{1,2,3,4,5}到集合B ＝{0,3,8,15,24}的映射的是( )A ．f ：x →x 2－xB ．f ：x →x ＋(x －1)2C ．f ：x →x 2＋1D ．f ：x →x 2－1【解析】因为12－1＝0,22－1＝3,32－1＝8,42－1＝15,52－1＝24. 故从集合A 到集合B 的映射的对应关系为f ：x →x 2－1. 【答案】 D4．已知A ＝B ＝R ，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b 是从A 到B 的映射，若1和8的原像分别是3和10，则5在f 下的像是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋b ＝1，10a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.∴f ：x →y ＝x －2， ∴5在f 下的像是5－2＝3. 【答案】 A5．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中的元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】对应关系是f：a→|a|.因此，3和－3对应的像是3；－2和2对应的像是2；1和－1对应的像是1；4对应的像是4.所以B＝{1,2,3,4}．故选A.【答案】 A二、填空题6．设M＝N＝R，f：x→－x2＋2x是M到N的映射，若对于N中元素p，在M中恰有一个原像，则p的值为________．【解析】由题意知，关于x的方程－x2＋2x＝p有两相等实根，∴Δ＝4－4p＝0，p＝1.【答案】 17．下列对应f是从集合A到集合B的函数的是________．①A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；②A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；③A＝{高一一班的男生}，B＝{男生的身高}，对应关系f；每个男生对应自己的身高．【解析】对于①，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B 中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B 的函数．同理，对于②，对应f也是集合A到集合B的函数．对于③，集合A，B不是数集，不是函数关系．【答案】①②8．已知集合A＝B＝R，映射f：x→x2＋2x－4，若a在B中且在A中没有原像，则a的取值范围是________．【解析】∵x2＋2x－4＝(x＋1)2－5≥－5.∵a在B中且在A中没有原像，则a<－5.【答案】(－∞，－5)三、解答题9．设集合P ＝Q ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，从集合P 到集合Q 的映射为f ：(x ，y )→(x ＋y ，xy )，求(1)集合Q 中与集合P 中元素(3,2)对应的元素； (2)集合P 中与集合Q 中元素(3,2)对应的元素．【解】 (1)由3＋2＝5,3×2＝6，故与集合P 中元素对应的元素为(5,6)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.故与集合Q 中元素(3,2)对应的元素为(1,2)或(2,1)． 10．下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}， f ：a →b ＝(a －1)2.(3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．【解】 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在； ∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数．(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数．(4)是映射，但不是函数，因为A 、B 不是数集．[能力提升]1．设集合A 与集合B 都是自然数集N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中为元素n 2＋n ，则在映射f 下，像20的原像是( )A ．2B ．3C ．4D ．4或－5【解析】令n 2＋n ＝20，即n 2＋n －20＝0，解得n ＝－5或4. ∵n ∈N ，∴n ＝4. 【答案】 C2．集合A ＝{a ，b }，B ＝{－1,0,1}，从A 到B 的映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝0，那么这样的映射f ：A →B 的个数有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．8个【解析】由f (a )，f (b )∈{－1,0,1}，且f (a )＋f (b )＝0知，这样的映射有：共3个．【答案】 B3．给定映射f (x ，y )→(x ，x ＋y )，在对应关系f 下像(2,3)的原像是(a ，b )，则函数y ＝ax 2＋bx 的顶点坐标是________．【解析】由题意a ＝4，b ＝－1，则y ＝4x 2－x 的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－116.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－1164．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是A 到B 的一个映射，并满足f ：(x ，y )→(－xy ，x －y )．(1)求B 中元素(3，－4)在A 中的原像； (2)试探索B 中哪些元素在A 中存在原像；(3) 求B 中元素(a ，b )在A 中有且只有一个原像时，a ，b 所满足的关系式.【导学号：04100023】【解】 (1)设(x ，y )是B 中元素(3，－4)在A 中的原像，于是⎩⎪⎨⎪⎧－xy ＝3，x －y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1.所以(3，－4)在A 中的原像有两个，即(－1,3)和(－3,1)．(2)设任意(a ，b )∈B ，则它在A 中的原像(x ，y )应满足，⎩⎪⎨⎪⎧ －xy ＝a ，x －y ＝b ，①②由②式得y ＝x －b ，将它代入①式，并化简得x 2－bx ＋a ＝0.③当且仅当Δ＝b 2－4a ≥0时，方程③有实数根，因此只有当B 中元素(a ，b )满足b 2－4a ≥0时，在A 中才有原像．(3)由以上(2)的解题过程可知，当B 中元素(a ，b )满足b 2＝4a 时，它在A 中有且只有一个原像．。

高中数学第二章函数学业分层测评(6)函数的表示法北师大版必修1

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章函数学业分层测评（6）函数的表示法北师大版必修1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知函数f (x )的图像如图225所示，则此函数的定义域、值域分别是( )图225A ．(－3,3)，(－2,2)B ．[－3,3]，[－2,2]C ．[－2,2]，[－3,3]D ．(－2,2)，(－3,3)【解析】由图可知自变量－3≤x ≤3，函数值－2≤y ≤2. 故定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．【答案】 B2．(2016·沈阳高一月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x，f [f x ＋，x ＜，则f (5)的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意易知，f (5)＝f [f (11)]＝f (8)＝f [f (14)]＝f (11)＝8.故选A. 【答案】 A3．函数y ＝x ＋|x |x的图像是( )【解析】 y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，如图：【答案】 C4．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7【解析】由g (x )＝2x ＋3，知f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7. 【答案】 D5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cx ，x <A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【解析】由题意知4<A ，故c4＝30，∴c ＝60.又60A＝15，∴A ＝16.故选D.【答案】 D 二、填空题6．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为__________；当g [f (x )]＝2时，x ＝________.【解析】由数表可知g (1)＝3，故f [g (1)]＝f (3)＝1. 当g [f (x )]＝2时，f (x )＝2，此时x ＝1. 【答案】 1 17．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________．【解析】 ∵f (2x ＋1)＝3x －2＝32(2x ＋1)－72，∴f (x )＝32x －72，∵f (a )＝4，即32a －72＝4，∴a ＝5. 【答案】 58．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．【导学号：04100020】【解析】由题意设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x，则⎩⎪⎨⎪⎧13k 1＋3k 2＝16，k 1＋k 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，k 2＝5，故F (x )＝3x ＋5x.【答案】 F (x )＝3x ＋5x三、解答题9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x ，x <0，的图像并写出函数的值域．【解】作函数f (x )的图像如图所示：由图像可知值域为[－1，＋∞)．10．已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．【解】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . 整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式性质知上式中对应项系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.[能力提升]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ，π，x ＝，π2＋1，x ，则f (f (f (－1)))的值等于( )A ．π2－1 B ．π2＋1 C ．πD ．0【解析】 f (－1)＝π2＋1，f (π2＋1)＝0，f (0)＝π 故f (f (f (－1)))＝f (f (π2＋1))＝f (0)＝π. 【答案】 C2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x <2，f x －，x ≥2，则f (2)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【解析】 f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1. 【答案】 A3．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程数x (千米)之间的函数关系式是________．【解析】当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ，10＋0.4x ，x ，x【答案】 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，x ≤，10＋0.4x ，x4．(2016·广东珠海四中高一月考)如图226，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当一条垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x .试写出左边部分的面积y 与x的函数解析式．图226【解】过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H .因为ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22cm ，所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm ，又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm.(1)当点F 在BG 上时，即x ∈(0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝2＋(x －2)·2＝2x －2 (3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7)时，y ＝－12(x －7)2＋10.所以，函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2， x ∈，2]，2x －2， x ∈，5]，－12x －2＋10， x ∈，。

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学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】因为函数f(x)的图像是连续不断的一条曲线，又f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝1＞0，所以f(－1)·f(0)＜0，故函数零点所在的一个区间是(－1,0)．故选B.
【答案】 B
2．函数f(x)＝(x－1)ln x
x－3
的零点有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】由f(x)＝(x－1)ln x
x－3
＝0得：x＝1，
∴f(x)＝(x－1)ln x
x－3
只有一个零点．
【答案】 B
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
【解析】由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
【答案】 B
4．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝log3x＋x－3零点所在大致区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
【解析】∵f(x)＝log3x＋x－3，
∴f (1)＝log 31＋1－3＝－2<0， f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1＜0， f (3)＝log 33＋3－3＝1>0， f (4)＝log 34＋4－3＝log 34＋1＞0， f (5)＝log 35＋5－3＝log 35＋2＞0，
∴函数f (x )＝log 3x ＋x －3零点所在大致区间是(2,3)．故选B. 【答案】 B
5．设函数f (x )＝1
3x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( ) A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，1，(1，e)内均有零点
B ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，1，(1，e)内均无零点
C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点
【解析】因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1
3e －ln 1e ＝13e ＋1＞0，
f (1)＝13－ln 1＝1
3＞0， f (e)＝13e －ln e ＝1
3e －1＜0.
故函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．
【答案】 C 二、填空题
6．(2015·威海高一检测)函数f (x )＝x 2＋mx －6的一个零点是－6，则另一个零点是________．
【解析】由题意(－6)2－6m －6＝0，解得m ＝5，由x 2＋5x －6＝0，解得x 1＝－6，x 2＝1.故另一个零点为1. 【答案】 1
7．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a x与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图像如图所示，可知a＞1时两函数图像有两个交点，0＜a＜1时两函数图像有唯一交点，故a＞1.
【答案】(1，＋∞)
8．已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.
【解析】∵2＜a＜3＜b＜4，当x＝2时，
f(2)＝log a2＋2－b＜0；
当x＝3时，f(3)＝log a3＋3－b＞0，
∴f(x)的零点x0在区间(2,3)内，∴n＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．求函数y＝ax2－(2a＋1)x＋2(a∈R)的零点．
【导学号：04100074】
【解】令y＝0并化为：(ax－1)(x－2)＝0.
当a＝0时，函数为y＝－x＋2，则其零点为x＝2.
当a＝1
2时，则由⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2x－1(x－2)＝0，
解得x1＝x2＝2，则其零点为x＝2.
当a≠0且a≠1
2时，则由(ax－1)(x－2)＝0，
解得x＝1
a或x＝2，则其零点为x＝
1
a或x＝2.
10．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围．
【解】令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得⎩⎨⎧
m >0，f (4)<0，或⎩⎨⎧
m <0，f (4)>0，
即⎩⎨⎧
m >0，26m ＋38<0，或⎩⎨⎧
m <0，26m ＋38>0，解得－19
13<m <0. 故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1913，0.
[能力提升]
1．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－14，0 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，14 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，34 【解析】 ∵g (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上是增函数，h (x )＝4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝e x ＋4x －3在(－∞，＋∞)上是增函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－14＝e －14－
4＜0，
f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 1
4－2＜0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 【答案】 C
2．函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋2x －3，x ≤0，
－2＋ln x ，x ＞0
零点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】作出函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋2x －3， x ≤0，
－2＋ln x ， x ＞0
的图像如图所示：
则f (x )的零点个数为2. 【答案】 B
3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ≤0，
x 2－x ，x ＞0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点，
则实数m 的取值范围为________．
【解析】令g (x )＝f (x )－m ＝0，得f (x )＝m . 由题意函数f (x )与y ＝m 的图像有三个不同的交点．由图可知
故当－1
4＜m ＜0时，两函数有三个不同的交点，故函数的取值范围为－1
4＜m ＜0. 【答案】－1
4＜m ＜0
4．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .
(1)若a ＞b ＞c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点；
(2)设x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2，且f (x 1)≠f (x 2)，若方程f (x )＝1
2[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．
【证明】 (1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 又∵a ＞b ＞c ，∴a ＞0，c ＜0，即ac ＜0. ∴Δ＝b 2－4ac ≥－4ac ＞0.
∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根， ∴f (x )必有两个零点．
(2)令g (x )＝f (x )－1
2[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－1
2[f (x 1)＋f (x 2)]
＝1
2[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－1
2[f(x1)＋f(x2)]
＝1
2[f(x2)－f(x1)]．
∵g(x1)·g(x2)＝－1
4[f(x1)－f(x2)]
2，
且f(x1)≠f(x2)，∴g(x1)g(x2)＜0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根．。

2016-2017学年高中数学北师大版必修1学业分层测评22 利用函数性质判定方程解的存在

高中数学北师大版必修一学业分层测评第四章 函数应用(22) Word版含解析

北师版数学必修1：学业分层测评 第2章 §1 §2 2.1 函数概念

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