高考数学同步练习：第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析
高考数学 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习
课时提升作业(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是( ) A.k ∈22)B.k ∈(-∞2∪2,+∞)C.k ∈33D.k ∈(-∞3)∪3∞)【解题提示】直线与圆没有公共点等价于直线与圆相离.【解析】选C.由直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点可知,圆心(0,0)到直线y=kx+2的距离大于圆的半径,即221,k 1>+由此解得-3<k<3,因此,直线y=kx+2与圆x2+y2=1没有公共点的充要条件是k ∈332.(2015·合肥模拟)已知圆C:(x-1)2+y2=1与直线l:x-2y+1=0相交于A,B 两点,则|AB|=( )A.255B.55C.35D.35【解析】选A.圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径为1,因为C(1,0)到直线l:x-2y+1=05所以|AB|=425215-=故选A.3.两个圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a ∈R)与C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b ∈R)恰有三条公切线,则a+b 的最小值为( ) A.-6B.-32D.3【解题提示】两圆有三条公切线等价于两圆外离. 【解析】选C.圆C1:(x+a)2+y2=4,C2:x2+(y-b)2=1,所以圆C1的圆心C1(-a,0),半径r1=2,圆C2的圆心C2(0,b),半径r2=1.已知两圆恰有三条公切线,则两圆相外切,圆心距等于两圆半径之和,所以22a b +=3,则()()222a b 2a b +≤+2,所以2≤a+b ≤2,故a+b 的最小值为2.【加固训练】两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是()A.m<1B.1≤m≤121C.m>121D.1<m<121【解析】选B.若两圆有公共点,则两圆的位置关系为相切或相交,将m=1代入验证符合题意.4.(2015·威海模拟)若直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,则k,b的值分别为()A.k=12,b=-4 B.k=-12,b=4C.k=12,b=4 D.k=-12,b=-4【解析】选 A.因为直线y=kx与圆(x-2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称,所以y=kx与直线2x+y+b=0垂直,且2x+y+b=0过圆心,解得k=12,b=-4.【加固训练】若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则12a b+的最小值为()A.1B.5C.42D.3+22【解析】由题意知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上, 所以2a+2b-2=0,整理得a+b=1,所以12a b+=(12a b+)(a+b)b2a b2a332322,a b a b=++≥++=+当且仅当b2a,a b=即b=2-2,a=2-1时,等号成立.所以12a b+的最小值为3+22,故选D.5.(2014·郑州模拟)若直线y=x+t被圆x2+y2=8截得的弦长大于等于42,3则t的取值范围是()A.(-823,23) B.(-∞,823)C.[82,+∞) D.[-82,82]【解析】选 D.由题意知圆心到直线y=x+t 的距离d=t,2设弦长为l,则(2l)2+d2=8,可解得l2=32-2t2≥24232(),39解得-823≤t ≤823.6.(2015·舟山模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x 轴切于A 点,与y 轴切于B 点,设劣弧的中点为M,则过点M 的圆C 的切线方程是( )A.y=x+2-2B.y=x+1-12C.y=x-2+2D.y=x+1-2【解析】选A.由题意,M 为直线y=-x 与圆的一个交点,代入圆的方程可得: (x+1)2+(-x-1)2=1.因为劣弧的中点为M,所以x=22-1,所以y=1-22,因为过点M 的圆C 的切线的斜率为1,所以过点M 的圆C 的切线方程是y-1+22=x-22+1,即y=x+2-2.7.(2015·烟台模拟)如果函数y=|x|-2的图象与曲线C:x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是( )A.{2}∪(4,+∞)B.(2,+∞)C.{2,4}D.(4,+∞)【解析】选A.根据题意画出函数y=|x|-2与曲线C:x2+y2=λ的图象,如图所示,当AB 与圆O 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过O 作OC ⊥AB, 因为OA=OB=2,∠AOB=90°, 所以根据勾股定理得2,所以OC=12AB=2,此时λ=OC2=2;当圆O半径大于2,即λ>4时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,综上,实数λ的取值范围是{2}∪(4,+∞).二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2015·南宁模拟)直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是.【解析】如图,若|MN|=23,则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2=22-(3)2=1.因为直线方程为y=kx+3,所以d=21k+=1,解得k=±3.若|MN|≥23,则-3≤k≤3.答案:[-33,33]9.(2015·南充模拟)已知直线x-y+m=0与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,若圆周上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则实数m的值为.【解析】根据题意画出图形,连接OA,OB,作OD垂直于AB于D点,因为△ABC为等边三角形,所以∠AOB=120°,由余弦定理知:AB2=OA2+OB2-2OA ·OBcos120°=12, 所以AB=23,故BD=3,所以OD=1,所以O(0,0)到直线AB 的距离m2=1,解得m=±2.答案:±210.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O:x2+y2=4,直线l:12x-5y+c=0(其中c 为常数),下列有关直线l 与圆O 的命题:①当c=0时,圆O 上有四个不同的点到直线l 的距离为1; ②若圆O 上有四个不同的点到直线l 的距离为1,则-13<c<13; ③若圆O 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1,则c=13; ④若圆O 上恰有两个不同的点到直线l 的距离为1,则13<c<39;⑤当c=±39时,圆O 上只有一个点到直线l 的距离为1.其中正确命题是 .(填上你认为正确的所有命题序号)【解析】圆心O 到直线l 的距离为c 13,当c13<1,即-13<c<13时,圆O 上有四个不同的点到直线l 的距离为1;当c=±13时,圆O 上恰有三个不同的点到直线l 的距离为1;当1<c13<3,即13<c<39或-39<c<-13时,圆O 上恰有两个不同的点到直线l 的距离为1;当c=±39时,圆O 上只有一个点到直线l 的距离为1.故①②⑤正确. 答案:①②⑤(20分钟 40分)1.(5分)(2015·西城模拟)过点P(4,2)作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为A,B,O 为坐标原点,则△OAB 的外接圆方程是( )A.(x-2)2+(y-1)2=5B.(x-4)2+(y-2)2=20C.(x+2)2+(y+1)2=5D.(x+4)2+(y+2)2=20【解析】选A.由圆x2+y2=4,得到圆心O 坐标为(0,0),所以△OAB 的外接圆为四边形OAPB 的外接圆,又P(4,2),所以外接圆的直径为|OP|=224225,+=半径为5,外接圆的圆心为线段OP 的中点,是(2,1),所以△OAB 的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5.2.(5分)(2015·济南模拟)已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O 是坐标原点,|+|≥||,那么实数m 的取值范围是 .【解析】因为|+|≥||,所以|+|≥|-|,所以|+|2≥|-|2,化简得·≥0,所以,夹角θ满足0°<θ≤90°,所以圆心到直线的距离d=m2∈[1,2)(其中θ=90°时d=1),解得m∈(-2,-]∪[,2).答案:(-2,- 2]∪[2,2)3.(5分)(2014·湖北高考)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b=.(2)λ=.【解析】设M(x,y),因为|MB|=λ|MA|,所以(x-b)2+y2=λ2[(x+2)2+y2],整理得(λ2-1)x2+(λ2-1)y2+(4λ2+2b)x-b2+4λ2=0,因为圆O上的点M都有|MB|=λ|MA|成立,所以22221 42b0,b,2 b411,.12⎧⎧λ+==-⎪⎪⎪⎨⎨-λ=⎪⎪λ=λ-⎩⎪⎩解得答案:(1)-12(2)124.(12分)已知圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3).(1)求直线l1的方程.(2)若直线l2:x+y+b=0与圆C相交,求b的取值范围.(3)是否存在常数b,使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上?若存在,求出b的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)圆C的方程化标准方程为:(x-3)2+(y-2)2=9,于是圆心C(3,2),半径r=3.若设直线l1的斜率为k则:k=PC111k2-=-=-2.所以直线l1的方程为:y-3=-2(x-5),即2x+y-13=0.(2)因为圆的半径r=3,所以要使直线l2与圆C相交,则须有32b2++<3,所以2,于是b的取值范围是22-5.(3)设直线l2被圆C截得的弦的中点为M(x0,y0),则直线l2与CM垂直,于是有:y2x3--=1,整理可得:x0-y0-1=0.又因为点M(x0,y0)在直线l2上,所以x0+y0+b=0.所以由0000x y10,x y b0--=⎧⎨++=⎩解得:x,21by,2=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩代入直线l1的方程得:1-b-1b2+-13=0,于是b=-253∈(-32-5,32-5),故存在满足条件的常数b.5.(13分)(能力挑战题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为23,求直线l的方程.(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.【解析】(1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d,因为直线l被圆C1截得的弦长为23,所以d=()2223-=1.由点到直线的距离公式得d=()21k341k---+,从而k(24k+7)=0,即k=0或k=7,24-所以直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0. (2)设点P(a,b)满足条件,不妨设直线l1的方程为y-b=k(x-a),k≠0,则直线l2的方程为y-b=-1k(x-a).因为圆C1和C2的半径相等,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等,即()()221|54a b|1k3a b k11k1k+------=++整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,从而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)·k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因为k的取值有无穷多个,所以53a ,a ,a b 20,a b 80,22b a 30a b 50,113b b .22⎧⎧==-⎪⎪+-=-+=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨-+=+-=⎩⎩⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩或解得或这样点P 只可能是点P1(52,-12)或点P2（-32,132）,经检验点P1和P2满足题目条件.。
【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 苏教版
【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 苏教版【A 组】一、填空题1．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是________．解析：由题意得圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离小于1，即d ＝1a 2＋b 2＜1，所以有a 2＋b 2＞1，∴点P 在圆外．答案：在圆外2．(2011·高考某某卷)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为________．解析：设圆心C (x ，y )，由题意得x －02＋y －32＝y ＋1(y ＞0)，化简得x 2＝8y －8.答案：x 2＝8y －83．(2011·高考某某卷)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．解析：由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E (0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD |＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC |＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝10 2.答案：10 24．(2011·高考某某卷)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值X 围是________．解析：整理曲线C 1方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，知直线l 与x 轴相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m1＋1－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 答案：(－33，0)∪(0，33) 5．(2012·高考某某卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．解析：设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分面积之差最大．易求得直线的方程为x ＋y －2＝0. 答案：x ＋y －2＝06．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的方程为________．解析：设所求直线的方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心(a,0)，由题意知：(|a －1|2)2＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，∴a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，而直线x ＋y ＋m ＝0过圆心(3,0)，∴3＋0＋m ＝0， 即m ＝－3，故所求直线的方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．(2012·高考某某卷)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________．解析：如图所示：解Rt △ACO ，|OC |为圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离， |OC |＝|0＋3×0－2|12＋32＝1， |OA |＝r ＝2，|AC |＝|OA |2－|OC |2＝22－12＝3， |AB |＝2|AC |＝2 3 答案：2 3 二、解答题8．圆经过点A (2，－3)和B (－2，－5)．(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程． 解：(1)要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径， 圆心C (0，－4)，半径r ＝12|AB |＝5，所以所求圆的方程为：x 2＋(y ＋4)2＝5. (2)法一：因为k AB ＝12，AB 中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以圆心为(－1，－2)．根据两点间的距离公式，得半径r ＝10， 因此，所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋－3－b 2＝r 2－2－a 2＋－5－b 2＝r 2a －2b －3＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.9．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过定点A (3,0)，且与圆C 相切．(1)求直线l 1的方程；(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点O ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点，并求出定点坐标．解：(1)∵直线l 1过点A (3,0)，且与圆C ：x 2＋y 2＝1相切，设直线l 1的方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d ＝|3k |k 2＋1＝1，解得k ＝±24，∴直线l 1的方程为y＝±24(x －3)． (2)证明：对于圆C 的方程x 2＋y 2＝1，令y ＝0，则x ＝±1，即P (－1,0)，Q (1,0)．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直，∴直线l 2方程为x ＝3.设M (s ，t )，则直线PM 的方程为y＝ts ＋1(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝ts ＋1x ＋1得P ′(3，4ts ＋1)． 同理可得Q ′(3，2ts －1)． ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为(x －3)(x －3)＝(y －4t s ＋1)(y －2t s －1)＝0， 又s 2＋t 2＝1，∴整理得(x 2＋y 2－6x ＋1)＋6s －2ty ＝0，若圆C ′经过定点，只需令y ＝0，从而有x 2－6x ＋1＝0，解得x ＝3±22， ∴圆C ′总经过定点，定点坐标为(3±22，0)．【B 组】一、填空题1．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.解析：方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 相减得2ay ＝2，则y ＝1a.由已知条件22－32＝1a，即a ＝1.答案：12．(2013·某某十校联考)已知圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与y 轴相切，与x 轴相交于点A 、B ，若AB ＝3，则该圆的标准方程是________．解析：根据AB ＝3，可得圆心到x 轴的距离为12，故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值X 围是________．解析：由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d ＝|c |122＋52＝|c |13，∴0≤|c |<13，即c ∈(－13,13)． 答案：(－13,13)4．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点C 为(－2,3)，则直线l 的方程为________．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a .由圆的几何性质可知圆心(－1,2)与点C (－2,3)的连线必垂直于l ，∴k AB ＝－－1＋22－3＝1，∴l 的方程为x －y ＋5＝0. 答案：x －y ＋5＝05．(2013·某某模拟)从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：圆的方程整理为(x －1)2＋(y －1)2＝1，C (1,1)， ∴sin ∠APC ＝15，则cos ∠APB ＝cos2∠APC＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝35. 答案：356．直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OA ⊥OB ，则m 的值为________．解析：当OA ⊥OB 时，圆心(0,0)到直线2x －y ＋m ＝0的距离等于22r ， ∴|m |5＝22· 5. ∴m ＝±5210.答案：±51027．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________．解析：如图所示，设直线上一点P ，切点为Q ， 圆心为M ，则|PQ |即为切线长，MQ 为圆M 的 半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1，要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋－12＝22，∴|PM |的最小值为22， ∴|PQ |＝|PM |2－1≥222－1＝7.答案：7 二、解答题8．(2013·某某模拟)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4和圆外一点A (1,23)，(1)若直线m 经过原点O ，且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1，求直线m 的方程； (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切，切点分别为D ，E ，求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程．解：(1)方法一：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2， 圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1， 则圆心到直线m 的距离恰为1，由于直线m 经过原点，圆心到直线m 的距离最大值为1.所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC 的直线，即y 轴，所以直线方程为x ＝0.方法二：圆C 的圆心为(－1,0)，半径r ＝2，圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1. 则圆心到直线m 的距离恰为1.设直线方程为y ＝kx ，d ＝|－k －0|1＋k 2＝1，k 无解． 直线斜率不存在时，直线方程为x ＝0显然成立． 所以所求直线为x ＝0.(2)设直线方程为y －23＝k (x －1)，d ＝|－2k ＋23|1＋k 2＝2，解得k ＝33， 所求直线为y －23＝33(x －1)， 即3x －3y ＋53＝0，斜率不存在时，直线方程为x ＝1，∴切线l 的方程为x ＝1或3x －3y ＋53＝0，过点C 、D 、E 、A 有一外接圆，x 2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－23y －1＝0， 过切点的直线方程为x ＋3y －1＝0.9．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x －y －6＝0，A 为直线l 上一点．(1)若AM ⊥直线l ，过A 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，求∠PAQ 的大小；(2)若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，求点A 横坐标的取值X 围． 解：(1)圆M 的圆心M (1,1)，半径r ＝2，直线l 的斜率为－1，而AM ⊥l ，∴k AM ＝1. ′∴直线AM 的方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －6＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即A (3,3)． 如图，连结MP ， ∵∠PAM ＝12∠PAQ ，sin ∠PAM ＝PM AM＝23－12＋3－12＝22， ∴∠PAM ＝45°，∴∠PAQ ＝90°.(2)过A (a ，b )作AD ，AE ，分别与圆M 相切于D ，E 两点，因为∠DAE ≥∠BAC ，所以要使圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE ， ∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题，只要12≤sin∠DAM <1，即2a －12＋b －12≥12且a －12＋b －12≥12<1. 又a ＋b －6＝0，解得1≤a ≤5， 即a 的取值X 围是[1,5]．。
广东专用2023版高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系课件
(2021 北京卷)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：y＝kx＋m，当 k 变化时，l 截圆 C
所得弦长的最小值为 2，则 m 的取值为
()
A. ±2
B. ± 2
C. ± 3
D. ±3
解：由题可得圆心为(0，0)，半径为 2，则圆心到直线的距离 d＝
|m| ，则弦长为
k2＋1
2 4－k2m＋2 1，则当 k＝0 时，弦长取得最小值为 2 4－m2＝2，解得 m＝± 3. 故选
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆，圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
1. 直线与圆的位置关系
设圆的半径为 r(r>0)，圆心到直线的距离为 d，则直线与圆的位置关系如下表所示.
位置 关系
图示
公共点 个数
几何 特征
相切，所以|－2k－1＋1|＝ k2＋1
2，解得 k＝±1，因为 k<0，所
以 k＝－1，所以直线 l 的方程为 x＋y－1＝0. 圆心 D(2，0)到直线 l 的距离 d＝|2＋0－1| 2
＝
2 2<
3，所以直线 l 与圆 D 相交. 故选 A.
(2)(2021 广东惠州市高三一模)“a≥－3”是“直线 y＝x＋1 与圆(x－a)2＋y2＝2 有公
C.
【点拨】 ①一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、 圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解；②圆 O 内过点 A 的最长弦即为过该点 的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦；③圆锥曲线的弦长公式为
1＋k2·|x1－x2|，必要时考虑运用这一公式也可解题.
2022届高考数学一轮复习第八章第四节直线与圆圆与圆的位置关系课时作业理含解析北师大版2021070
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第359页[A 组 基础保分练]1．（2021·某某某某模拟）直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定解析：将圆的方程化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －a 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22．因为圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b 2＝a 2＋b 22＝r ，所以直线与圆相切． 答案：B 2．（2021·某某质检）圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析：由（x 2＋y 2－4）－（x 2＋y 2－4x ＋4y －12）＝0得公共弦所在直线的方程为x －y ＋2＝0，它与两坐标轴分别交于（－2，0），（0，2），所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为12×2×2＝2． 答案：B 3．（2021·某某十四校二联）已知直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ） A ．6或－ 6 B ．5或－ 5 C ． 6 D ． 5 解析：因为直线x －2y ＋a ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且△AOB为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋（－2）2＝1，所以a ＝±5． 答案：B 4．（2021·某某市第一次统考）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1．因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 答案：A 5．（2021·某某一中模考）圆C 1：（x ＋1）2＋（y －2）2＝4与圆C 2：（x －3）2＋（y －2）2＝4的公切线的条数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：圆C 1：（x ＋1）2＋（y －2）2＝4的圆心为（－1，2），半径为2，圆C 2：（x －3）2＋（y －2）2＝4的圆心为（3，2），半径为2，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－3）2＋（2－2）2＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆相外切，故公切线的条数为3． 答案：C 6．（2021·某某调研）已知直线l ：x ＋y －5＝0与圆C ：（x －2）2＋（y －1）2＝r 2（r ＞0）相交所得的弦长为22，则圆C 的半径r ＝（ ） A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析：法一：依题意，得圆C 的圆心坐标为（2，1），圆心到直线l 的距离d ＝|2＋1－5|1＋1＝2，因为弦长为22，所以2r 2－d 2＝22，所以r ＝2．法二：联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，（x －2）2＋（y －1）2＝r 2，整理得2x 2－12x ＋20－r 2＝0，设直线l 与圆C 的两交点分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝20－r 22，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝22，所以r ＝2． 答案：B 7．（2021·某某天河模拟）已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k ＝_________．解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得（x －1）2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C （1，0）， 直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点， 当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22， 则有|2－k |1＋k 2＝22，解得k ＝1或7． 答案：1或7 8．（2021·某某六校联考）已知直线y ＝ax 与圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则圆C 的面积为_________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ax －2y ＋2＝0可化为（x －a ）2＋（y －1）2＝a 2－1，因为直线y ＝ax 和圆C 相交，△ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线ax －y ＝0的距离为32·a 2－1，即d ＝|a 2－1|a 2＋1＝3（a 2－1）2，解得a 2＝7，所以圆C 的面积为6π．答案：6π9．已知圆M 过C （1，－1），D （－1，1）两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上． （1）求圆M 的方程；（2）设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．解析：（1）设圆M 的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0），根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2，（－1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为（x －1）2＋（y －1）2＝4．（2）由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12（|AM |·|P A |＋|BM |·|PB |）．又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 所以S ＝2|PM |2－4．因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝25．10．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）与直线3x －4y ＋15＝0相切． （1）若直线l ：y ＝－2x ＋5与圆O 交于M ，N 两点，求|MN |； （2）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为k 1，k 2的直线交圆O 于B ，C 两点，且k 1k 2＝－3，试证明直线BC 恒过一点，并求出该点的坐标．解析：（1）由题意知，圆心O 到直线3x －4y ＋15＝0的距离d ＝159＋16＝3＝r ，所以圆O ：x 2＋y 2＝9．又圆心O 到直线l ：y ＝－2x ＋5的距离d 1＝54＋1＝5，所以|MN |＝29－d 21＝4．（2）证明：易知A （－3，0），设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则直线AB ：y ＝k 1（x ＋3），由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x ＋3），x 2＋y 2＝9，得（k 21＋1）x 2＋6k 21x ＋9k 21－9＝0， 所以－3x 1＝9k 21－9k 21＋1，即x 1＝－3k 21＋3k 21＋1，所以y 1＝k 1（x 1＋3）＝6k 1k 21＋1，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3k 21k 21＋1，6k 1k 21＋1． 同理C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－3k 22k 22＋1，6k 2k 22＋1． 由k 1k 2＝－3得k 2＝－3k 1，将－3k 1代替k 2，可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 21－27k 21＋9，－18k 1k 21＋9． 当3－3k 21k 21＋1≠3k 21－27k 21＋9，即k 1≠±3时，k BC ＝6k 1k 21＋1＋18k 1k 21＋93－3k 21k 21＋1－3k 21－27k 21＋9＝4k 13－k 21，k 1≠±3．从而直线BC ：y －6k 1k 21＋1＝4k 13－k 21⎝⎛⎭⎪⎫x －3－3k 21k 21＋1． 即y ＝4k 13－k 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －3－3k 21k 21＋1＋9－3k 212（k 21＋1）， 化简得y ＝4k 13－k 21⎝⎛⎭⎫x ＋32． 所以直线BC 恒过一点，该点为⎝⎛⎭⎫－32，0． 当k 1＝±3时，k 2＝∓3，此时x B ＝－32＝x C ，所以直线BC 的方程为x ＝－32，过点⎝⎛⎭⎫－32，0． 综上，直线BC 恒过定点⎝⎛⎭⎫－32，0． [B 组 能力提升练]1．（2021·某某马某某模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若圆C ：（x －3）2＋（y －a ）2＝4上存在两点A ，B 满足：∠AOB ＝60°，则实数a 的最大值是（ ） A ．5 B ．3 C ．7 D ．2 3 解析：根据题意，圆C 的圆心为（3，a ），在直线x ＝3上， 分析可得：当圆心距离x 轴的距离越远，∠AOB 越小，如图，当a >0时，圆心C 在x 轴上方，若OA ，OB 为圆的切线且∠AOB ＝60°，此时a 取得最大值，此时∠AOC ＝30°，有|OC |＝2|AC |＝4，即（3－0）2＋（a －0）2＝16，解得a ＝7，故实数a 的最大值是7． 答案：C 2．（2021·某某某某模拟）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点（0，1），（0，3），且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx （k >0）关于y 轴对称，则k 的最小值为（ ）A ．233B ． 3C ．2 3D ．4 3解析：如图，因为圆C 经过点（0，1），（0，3），且与x 轴正半轴相切， 所以圆心的纵坐标为2，半径为2，则圆心的横坐标为22－12＝3，所以圆心坐标为（3，2），设过原点与圆相切的直线方程为y ＝k 1x ，由圆心到直线的距离等于半径，得|3k 1－2|k 21＋1＝2，解得k 1＝0（舍去）或k 1＝－43．所以若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx （k >0）关于y 轴对称，则k 的最小值为43．答案：D 3．（2020·高考全国卷Ⅰ）已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0 解析：⊙M ：（x －1）2＋（y －1）2＝4， 则圆心M （1，1），⊙M 的半径为2． 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形P AMB ＝12|PM |·|AB |＝|P A |·|AM |＝2|P A |，∴|PM |·|AB |＝4|P A |＝4|PM |2－4．当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l ．故直线PM 的方程为y －1＝12（x －1），即x －2y ＋1＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P （－1，0）． 又∵P A 与⊙M 相切，∴直线P A 的方程为x ＝－1（∵在⊙M 中，－1≤x ≤1）， ∴P A ⊥x 轴，P A ⊥MA ，∴A （－1，1）． 又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0，将A （－1，1）的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1． ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0． 答案：D4．已知圆的方程为x 2＋（y －1）2＝4，圆心为C ，若过点P ⎝⎛⎭⎫1，12的直线l 与此圆交于A ，B 两点，则当∠ACB 最小时，直线l 的方程为（ ）A ．4x －2y －3＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋2＝0解析：圆心坐标为（0，1），当弦长|AB |最小时，∠ACB 最小，此时直线AB 与PC 垂直，k l ＝－11－120－1＝2，所以直线l 的方程为y －12＝2（x －1），即4x －2y －3＝0．答案：A5．已知直线l ：x ＋ay －1＝0（a ∈R ）是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A （－4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝_________．解析：由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，所以圆心C （2，1）在直线x ＋ay －1＝0上，所以2＋a －1＝0，所以a ＝－1，所以A （－4，－1）．所以|AC |2＝36＋4＝40．又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36．所以|AB |＝6． 答案：6 6．（2021·某某启东中学检测）已知圆C 1：（x －1）2＋（y ＋1）2＝1，圆C 2：（x －4）2＋（y －5）2＝9，点M ，N 分别是圆C 1，圆C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PN |－|PM |的最大值是_________．解析：圆C 1：（x －1）2＋（y ＋1）2＝1的圆心为C 1（1，－1），半径为1，圆C 2：（x －4）2＋（y －5）2＝9的圆心为C 2（4，5），半径为3．要使|PN |－|PM |最大，需|PN |最大，且|PM |最小，|PN |的最大值为|PC 2|＋3，|PM |的最小值为|PC 1|－1，故|PN |－|PM |的最大值是（|PC 2|＋3）－（|PC 1|－1）＝|PC 2|－|PC 1|＋4，设C 2（4，5）关于x 轴的对称点为C ′2（4，－5），|PC 2|－|PC 1|＝|PC ′2|－|PC 1|≤|C 1C ′2|＝（4－1）2＋（－5＋1）2＝5，故|PC 2|－|PC 1|＋4的最大值为5＋4＝9，即|PN |－|PM |的最大值是9． 答案：97．已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C （2，1）．（1）若线段OC 的垂直平分线交圆O 于A ，B 两点，试判断四边形OACB 的形状，并给出证明；（2）过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程． 解析：（1）四边形OACB 为菱形，证明如下：易得OC 的中点为⎝⎛⎭⎫1，12，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），易得OC 的垂直平分线的方程为y ＝－2x ＋52，代入x 2＋y 2＝9，得5x 2－10x －114＝0，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝－2×1＋52＝12，∴AB 的中点为⎝⎛⎭⎫1，12，则四边形OACB 为平行四边形， 又OC ⊥AB ，∴四边形OACB 为菱形．（2）当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为（2，5），（2，－5），∴S △OPQ ＝12×2×25＝25．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k （x －2）⎝⎛⎭⎫k ≠12， 即kx －y ＋1－2k ＝0⎝⎛⎭⎫k ≠12， 则圆心O 到直线l 的距离d ＝|1－2k |k 2＋1．由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2， ∴S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫9－d 2＋d 222＝92．当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值为92．∵25＜92，∴S △OPQ 的最大值为92，此时，令4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－7或k ＝－1．故直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0．[C 组 创新应用练]1．已知直线l ：x ＋y －1＝0截圆Ω：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）所得的弦长为14，点M ，N 在圆Ω上，且直线l ′：（1＋2m ）x ＋（m －1）y －3m ＝0过定点P ，若PM ⊥PN ，则|MN |的取值X 围为（ ）A ．[2－2，2＋ 3 ]B ．[2－2，2＋ 2 ]C ．[6－2，6＋ 3 ]D ．[6－2，6＋ 2 ]解析：由题意，2r 2－12＝14，解得r ＝2，因为直线l ′：（1＋2m ）x ＋（m －1）y －3m ＝0过定点P ，故P （1，1），设MN 的中点为Q （x ，y ），则OM 2＝OQ 2＋MQ 2＝OQ 2＋PQ 2，即4＝x 2＋y 2＋（x －1）2＋（y －1）2，化简可得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －122＝32，所以点Q 的轨迹是以⎝⎛⎭⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以|PQ |的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，|MN |的取值X 围为[6－2，6＋2]．答案：D2．已知从圆C ：（x ＋1）2＋（y －2）2＝2外一点P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为M ，且有|PM |＝|PO |（O 为坐标原点），则当|PM |取得最小值时点P 的坐标为_________． 解析：如图所示，圆C 的圆心为C （－1，2），半径r ＝2，因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝（x 1＋1）2＋（y 1－2）2，即2x 1－4y 1＋3＝0．要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时点P 即为两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，得⎩⎨⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－310，35．答案：⎝⎛⎭⎫－310，35。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线 l：(2m＋1)x ＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)． (1)证明：无论 m 取何实数，直线 l 与圆恒交于两点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程．
高中数学
8．4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式 Δ＞0⇔① 判别式 Δ＝0⇔② ――→ 2 Δ＝b －4ac Δ＜0⇔③ (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d＜r⇔④______；d＝r⇔⑤______；d＞r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k，由垂直关系知切线斜率为 1 － k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由 图形写出切线方程 x＝x0.
2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时，设为 k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径， 即可得出切 线方程． (2)代数方法 设切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入 圆方程，得一个关于 x 的一元二次方程，由 Δ＝0，求得 k，切 线方程即可求出． 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条， 若在解题过程中， 只解出一个答案，说明另一条直线的斜率不存在．
高考文科数学练习题圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
第二节圆与方程[考纲要求]1．掌握确定圆的几何要素．2．掌握圆的标准方程与一般方程．3．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．4．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．5．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．6．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F2点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内[提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：(1)当F ＝0时，圆过原点.(2)当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上.(3)当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点.(4)当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A 版教材P124A 组T4]圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1，1)和B (1,3)，则圆C 的方程为____________．答案：(x －2)2＋y 2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝0直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化 方程观点Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard .[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. [谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝43，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝|1＋1|2＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝24－2＝2 2.答案：2 2圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提醒]涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).[小题练通]1.[人教A版教材P133A组T9]圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋(－1)2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选A两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.[课时跟踪检测]1．(2019·广西陆川中学期末)圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是()A ．内含B ．外离C ．外切D ．相交解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋4)2＝25，圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝9，两圆的圆心距为(2＋1)2＋(2＋4)2＝35，两圆的半径为r 1＝5，r 2＝3，满足r 1＋r 2＝8＞35＞2＝r 1－r 2，故两圆相交．故选D.2．(2019·闽侯第八中学期末)若圆Ω过点(0，－1)，(0,5)，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，则圆Ω的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝9或(x ＋4)2＋(y －2)2＝25B ．x 2＋(y －2)2＝9或(x －1)2＋(y －2)2＝10C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x ＋4)2＋(y －2)2＝17D ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝25或(x －4)2＋(y －1)2＝16解析：选A 由于圆过点(0，－1)，(0,5)，故圆心在直线y ＝2上，设圆心坐标为(a,2)，由弦长公式得|a －2|2＝a 2＋(5－2)2－7，解得a ＝0或a ＝－4.故圆心为(0,2)，半径为3或圆心为(－4,2)，半径为5，故选A.3．(2019·北京海淀期末)已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为( )A.32B.62 C.32或－32D.62或－62解析：选D 由题意得圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径r ＝1. 因为△OAB 为正三角形，则圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32r ＝32，即d ＝|m |2＝32，解得m ＝62或m ＝－62，故选D. 4．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a ＞0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 6．(2019·西安联考)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)，∴此直线恒过定点P (3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，所截得的最短弦长为222－(2)2＝22，故选C.7．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C 设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C. 8．(2018·唐山二模)圆E 经过A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)三点，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝r 2，a 2＋(0＋1)2＝r 2，a 2＋(0－1)2＝r 2，解得a ＝34，r 2＝2516，则圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516.故选C. 9．(2018·合肥二模)已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100 B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：选C因为圆C的圆心的坐标C(6,8)，所以OC的中点坐标为E(3,4)，所求圆的半径|OE|＝32＋42＝5，故以OC为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C.10．(2018·荆州二模)圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，则k的值是() A．2 B．－2C．1 D．－1解析：选B∵圆(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线y＝kx＋3对称，∴直线y＝kx＋3过圆心(1,1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.故选B.11．(2019·厦门质检)圆C与x轴相切于T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4解析：选A由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.12．(2019·孝义一模)已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有()A．0个B．1个C．2个D．无数个解析：选B连接OM，ON，则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∵圆O的半径为1，∴|OP|＝2，∵原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为2，∴符合条件的点P只有一个，故选B.13．(2019·北京东城联考)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k ＝1”是“|AB|＝2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离d＝11＋k2，则|AB|＝21－d2＝21－11＋k2＝2k21＋k2，当k＝1时，|AB|＝212＝2，即充分性成立；若|AB |＝2，则2k 21＋k2＝2，即k 2＝1，解得k ＝1或k ＝－1，即必要性不成立，故“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，故选A.14．已知圆C ：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是________________．解析：因为圆C 与两轴相切，且M 是劣弧AB 的中点，所以直线CM 是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过M 的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为2，所以|OM |＝2－1，所以M ⎝⎛⎭⎫22－1，1－22，所以切线方程为y －1＋22＝x －22＋1，整理得x －y ＋2－2＝0.答案：x －y ＋2－2＝015．(2018·枣庄二模)已知圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，且圆心在直线y ＝－x ＋2上，则圆M 的标准方程为________________．解析：∵圆M 的圆心在y ＝－x ＋2上， ∴设圆心为(a,2－a )，∵圆M 与直线x －y ＝0及x －y ＋4＝0都相切，∴圆心到直线x －y ＝0的距离等于圆心到直线x －y ＋4＝0的距离， 即|2a －2|2＝|2a ＋2|2，解得a ＝0， ∴圆心坐标为(0,2)，圆M 的半径为|2a －2|2＝2，∴圆M 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2. 答案：x 2＋(y －2)2＝216．(2019·天津联考)以点(0，b )为圆心的圆与直线y ＝2x ＋1相切于点(1,3)，则该圆的方程为____________________．解析：由题意设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧1＋(3－b )2＝r 2，|－b ＋1|5＝r ，解得⎩⎨⎧b ＝72，r ＝52.∴该圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝54. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －722＝5417．(2019·丹东联考)经过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆的半径是________．解析：易知圆心在线段AC 的垂直平分线y ＝－2上，所以设圆心坐标为(a ，－2)，由(a －1)2＋(－2－3)2＝(a －4)2＋(－2－2)2，得a ＝1，即圆心坐标为(1，－2)，∴半径为r ＝(1－1)2＋(－2－3)2＝5. 答案：518．(2019·镇江联考)已知圆C 与圆x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0相切于原点，且过点A (0，－6)，则圆C 的标准方程为____________________．解析：设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，其圆心为C (a ，b )，半径为r (r ＞0)． ∵x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0可化简为(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50， ∴其圆心为(－5，－5)，半径为5 2.∵两圆相切于原点O ，且圆C 过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝r 2，(a ＋5)2＋(b ＋5)2＝52－r ，(0－a )2＋(－6－b )2＝r 2，解得a ＝－3，b ＝－3，r ＝32， ∴圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18. 答案：(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝18。
2025年高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含答案】
参考答案
1．C [由题意可得
＝2，于是圆心 C 到直线 l 的距离 d＝
＝＝
＝r，所以直线和圆相切． 故选 C.] 2．C [当切线的斜率不存在时，直线 x＝2 是圆的切线． 当切线斜率存在时，设切线方程为 y－3＝k(x－2)， 由(0，0)到切线距离为 d＝ ＝2，得 k＝ ，
此时切线方程为 y－3＝ (x－2)， 即 5x－12y＋26＝0.故选 C.] 3．D [令直线 l 与圆 C 交于点 A，B，依题意，∠ACB＝120°，∠ABC＝30°，而 圆 C 的圆心 C(2，0)，半径 r＝2，
可得
＝
，整理得 x2＋(y＋1)2＝4，则圆(x－a)2＋(y－2a
＋ 4)2 ＝ 1 与 圆 x2 ＋ (y ＋ 1)2 ＝ 4 有 公 共 点 ， 则 2 －
1≤
≤2＋1，
即 1≤5a2－12a＋9≤9，解得 0≤a≤ .故选 D.]
9．AC [直线 l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由
＝， ＝，
解得 k＝ ；当直线 l 过 B 点时，直线 l 的斜率 k＝ ＝1，则直线 l 与半圆有
两个不同的交点时，实数 k 的取值范围为 ， .故选 A.]
5．D [点(－2，－3)关于 y 轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的 直线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为 k，则反射光线所在直线 的方程为 y＋3＝k(x－2)，即 kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，得
＝，
由
消去 y 并化简，得 x2－2x＝0，
＝
解得 x＝0 或 x＝2，所以点 P 的横坐标的取值范围为[0，2].] 14．x＋2y＋1＝0 [⊙C：x2＋y2－2x－2y－2＝0 的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2
2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
由|A2B|2＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝ 10.
6.已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝ ___3_3______，b＝__－__2_3_3____. 解析 如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴 的交点为A(2，0).
由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，
可得直线的斜率 k＝tan 30°＝ 33， 直线方程为 y＝ 33(x－2)＝ 33x－233，因此 b＝－233.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，
2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB| ＝2 r2－d2. (2)代数法：设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将 直线方程代入圆的方程中，消去 y，得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM·xN.
第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2
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考点一 考点二 考点三
2．圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．
方法 几何法：圆心距 d 与 r1， 代数法：两圆方程联立组
l：x0x＋y0y－4＝0的距离d＝ x204＋y20<2，所以直线l：x0x＋y0y＝4与圆C相交．故选C．
(2)由圆的几何性质可知，当点(1，1)为弦AB的中点时，|AB|的值最小，此时|AB|＝
2 r2－d2＝2 9－5＝4.
9
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D．不确定
(2)过点(1，1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为
() A．2 3
B．4
C．2 5
D．5
8
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考点一 考点二 考点三
(3)已知过点P(t，0)(t>0)的直线l被圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0截得弦AB长为4，若直
考点一 考点二 考点三
(3)将圆C的方程化为标准方程(x－1)2＋(y＋2)2＝9， ∴圆心C(1，－2)，半径r＝3.又由题意可知，圆心C到直线l的距离为 32－22＝ 5，∴ 所有满足题意的直线l为圆D：(x－1)2＋(y＋2)2＝5的切线．又∵直线l唯一，∴点P在圆 D上．∴(t－1)2＋4＝5.∴t＝2或t＝0(舍去)．该切线方程为(2－1)(x－1)＋(y＋2)(0＋2) ＝5，即直线l的方程为x＋2y－2＝0.
2021版新高考数学：直线与圆、圆与圆的位置关系含答案
42＋12＝17. ∵3－2<d <3＋2、 ∴两圆相交．]3．圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1、3)处的切线方程为______． x －3y ＋2＝0 [因为点P (1、3)是圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0上的一点、 故在点P 处的切线方程为x －3y ＋2＝0.]4．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．22 [由⎩⎨⎧x2＋y2－4＝0，x2＋y2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.由于x 2＋y 2－4＝0的圆心为(0、0)、半径r ＝2、且圆心(0、0)到直线x －y ＋2＝0的距离d ＝|0－0＋2|2＝2、所以公共弦长为2r2－d2＝24－2＝22.](对应学生用书第148页)考点1 直线与圆的位置关系A ．(－∞、＋∞)B ．(－∞、0)C ．(0、＋∞)D ．(－∞、0)∪(0、＋∞)(3)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(1)A (2)D (3)C [(1)法一：(代数法)由⎩⎨⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋（y －1）2＝5，消去y 、整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0、 因为Δ＝16m 2＋20>0、所以直线l 与圆相交． 法二：(几何法)∵圆心(0、1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5.故直线l 与圆相交．法三：(点与圆的位置关系法)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1、1)、∵点(1、1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部、∴直线l 与圆C 相交．(2)圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心C (1、1)、半径r ＝1.因为直线与圆相交、所以d ＝|1＋m －2－m|1＋m2<r ＝1.解得m >0或m <0.故选D.(3)如图所示、因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2、又因为圆的半径为3、所以直线与圆相交、故圆上到直线的距离为1的点有3个．](1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围、就是利用d＝r、d>r或d<r建立关于参数的等式或不等式求解；(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助数形结合、转化为点到直线的距离求解．1.已知点M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定B[因为M(a、b)在圆O：x2＋y2＝1外、所以a2＋b2＞1、而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1.所以直线与圆相交．]2．若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝1－x2有且只有两个公共点、则m的取值范围是________．[1、2)[画出图象如图、当直线l经过点A、B时、m＝1、此时直线l与曲线y＝1－x2有两个公共点；当直线l与曲线相切时、m＝2、因此当1≤m<2时、直线l：x＋y＝m与曲线y＝1－x2有且只有两个公共点．]考点2圆与圆的位置关系C ．外切D ．相离B [由⎩⎨⎧x2＋y2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0、0)、(－a 、a ). ∵圆M 截直线所得线段长度为22、∴a2＋（－a ）2＝22.又a >0、∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0、即x 2＋(y －2)2＝4、圆心M (0、2)、半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1、圆心N (1、1)、半径r 2＝1、∴|MN |＝（0－1）2＋（2－1）2＝2.∵r 1－r 2＝1、r 1＋r 2＝3、1<|MN |<3、∴两圆相交．]2．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切、则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11C [圆C 1的圆心为C 1(0、0)、半径r 1＝1、因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m 、所以圆C 2的圆心为C 2(3、4)、半径r 2＝25－m (m ＜25).从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2、即1＋25－m ＝5、解得m ＝9、故选C.]考点3 直线、圆的综合问题切线问题(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径、从而建立关系解决问题；(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条、若仅求得一条、除了考虑运算过程是否正确外、还要考虑斜率不存在的情况、以防漏解．由直线y＝x＋1上的动点P向圆C：(x－3)2＋y2＝1引切线、则切线长的最小值为()A．1 B．22C．7D．3C[如图、切线长|PM|＝|PC|2－1、显然当|PC|为C到直线y＝x＋1的距离即3＋12＝22时|PM|最小为7、故选C.]D [将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5、圆心坐标为F (2、－1)、半径r ＝5、如图、显然过点E 的最长弦为过点E 的直径、即|AC |＝25、而过点E 的最短弦为垂直于EF的弦、|EF |＝（2－1）2＋（－1－0）2＝2、|BD |＝2r2－|EF|2＝23、∴S 四边形ABCD ＝12|AC |×|BD |＝215.]直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题的求解策略(1)利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)、把它转化为代数问题、通过代数的计算、使问题得到解决．所以当点N 为(4、0)时、能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．本例是探索性问题、求解的关键是把几何问题代数化、即先把条件“x 轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系：k AN ＝－k BN ”、然后借助方程思想求解．[教师备选例题]如图、在平面直角坐标系xOy 中、已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2、4).(1)设圆N 与x 轴相切、与圆M 外切、且圆心N 在直线x ＝6上、求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点、且BC ＝OA 、求直线l 的方程．[解] (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25、圆心M (6、7)、半径r ＝5、由题意、设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0).且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1、∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.,(2)∵k OA ＝2、∴可设l 的方程为y ＝2x ＋m 、即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25．由题意、圆M 的圆心M (6、7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝25－5＝25．。
高考数学 第八章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
3．(2013·高考广东卷)垂直于直线 y＝x＋1 且与圆 x2＋y2＝1
相切于第一象限的直线方程是( A )
A．x＋y－ 2＝0
B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0
D．x＋y＋ 2＝0
4．(2013·高考浙江卷) 直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝ 0所截得的弦长等于__4___5___. 5．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实 数k的 取值范围是__(_－___3_，____3_)___．
1．(2012·高考安徽卷)若直线 x－y＋1＝0 与圆(x－a)2＋y2＝2
有公共点，则实数 a 的取值范围是( C )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】 由题意知，圆心为(a，0)，半径 r＝ 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， 即|a－0＋1|≤ 2，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1.
圆的切线与弦长
(1)(2013·高考山东卷文)过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－
2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为__2___2___．
(2)(2013·高考山东卷理)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1 的两
条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为 ( A )
A．2x＋y－3＝0
位置关系
r2的关系
代数法：两圆方程联 立组成方程组的解的
情况
相离 外切
_d_>_r_1＋__r_2 _ _d_＝__r_1＋__r_2
(word版)高中数学直线与圆的位置关系练习题
高中数学直线与圆的位置关系一、单选题1.已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 42.从点P(m,3)向圆C：(x+2)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 2√6B. √26C. 4+√2D. 53.圆x2+y2−4x+2y+1=0与圆x2+y2+4x−4y−1=0的公切线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条4.过点P(−2,4)作圆O：(x−2)2+(y−1)2=25的切线l，直线m：ax−3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A. 4B. 2C. 85D. 1255.已知圆C:x2−6x+y2+2ay+7+a2=0关于直线3x+y−1=0对称，则a=()A. 4B. 6C. 8D. 106.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7.设O为原点直线y=kx+2与圆x2+y2=4相交于A，B两点，当▵ABO面积最大值时，k=()A. ±√22B. ±1C. ±√2D. ±28.圆C1：(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2：(x−1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离9.直线l：y=x+1上的点到圆C：x2+y2+2x+4y+4=0上的点的最近距离为()A. √2B. 2−√2C. 1D. √2−110.若点P(1,1)为圆C：x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在的直线方程为()A. 2x+y−3=0B. x−2y+1=0C. x+2y−3=0D. 2x−y−1=011. 已知圆C 的圆心为原点O ，且与直线x +y +4√2=0相切．点P 在直线x =8上，过点P 引圆C 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，如图所示，则直线AB 恒过定点的坐标为( )A. (2,0)B. (0,2)C. (1,0)D. (0,1)12. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x −3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A. (x −2)2+(y −1)2=1B. (x −2)2+(y +1)2=1C. (x +2)2+(y −1)2=1D. (x −3)2+(y −1)2=1二、多选题（本大题共2小题，共10.0分） 13. 已知圆M:x 2+y 2−4x −1=0，点P (x,y )是圆M 上的动点，则下列说法正确的有( )A. 圆M 关于直线x +3y −2=0对称B. 直线x +y =0与M 的相交弦长为√3C. t =y x+3的最大值为12D. x 2+y 2的最小值为9−4√514. 已知A (−2,0)，B (2,0)，若圆(x −2a +1)2+(y −2a −2)2=1上存在点M 满足MA →⋅MB →=0，实数a 可以是( ) A. −1 B. −0.5 C. 0D. 1三、单空题15. 已知点P 是直线y =x 上一个动点，过点P 作圆(x +2)2+(y −2)2=1的切线，切点为T ，则线段PT 长度的最小值为 ．16. 若过点P(1,√3)作圆O:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A 和B ，则|AB |= ．17. 与直线y =x +3平行且与圆(x −2)2+(y −3)2=8相切的直线的方程为________________________．18.已知坐标原点为O，过点P(2,6)作直线2mx−(4m+n)y+2n=0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为M，则|OM|的取值范围是______．19.若P(2,1)是圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为．20.已知直线x−√3y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|=6，则r的值为______．21.已知点P在直线x−y+4=0上，由点P向圆x 2+y 2=4作两条切线，切点分别为A，B，则∠APB的最大值为__________．四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）22.已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2−8x+6y+m=0外切，则m=(1)，此时直线l:x+y=0被圆C2所截的弦长为(2)．五、解答题23.已知点M(3,1)，圆O1：(x−1)2+(y−2)2=4．(1)若直线ax−y+4=0与圆O1相交于A，B两点，且弦AB的长为2√3，求a的值；(2)求过点M的圆O1的切线方程．24.已知圆C1：x2+y2−2x=0和圆C2：x2+y2−6x−4y+4=0相交于A,B两点．(1)求公共弦AB的垂直平分线方程．(2)求ΔABC2的面积。
2025年高考数学总复习课件64第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
核心回扣
圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
位置关系
图形
量的关系
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外离
__d_>_r_1_＋__r_2 __
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为 11和 61－m. ①当两圆外切时， 5－1 2+ 6－3 2＝ 11+ 61－m，解得m＝25＋10 11.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
②m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？ 解：(方法一：作差法)
核心考点 提升“四能”
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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应用1 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P 1， 3 处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
C．x－ 3y＋4＝0
√D．x－ 3y＋2＝0
D 解析：圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.因为P 1， 3 在圆Q上，所以所求
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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2．(教材改编题)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 C．外切
√B．相交
D．相离
B 解析：两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝
高考理科复习课件(8.4直线与圆、圆与圆的位置关系)
2.求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤 （1）方法：待定系数法. （2）步骤：①判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一 条切线；若在圆外，则有且只有两条切线； ②设切线方程（一般设点斜式方程）； ③利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值； ④得切线方程. 【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条， 则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.
A，B，则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2.( )
【解析】(1)错误.当k=1时，圆心到直线的距离 d
1
2 2
1 1 2 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 1 r， 2 k 1 解得 2 k 2.所以，“k=1”是“直线x-y + ， 2 12 1 k=0与圆x2+y2=1相交”的充分不必要条件，而非必要不充分条件.
【解析】选B.由题意知圆心（1，-2）到直线2x+y-5=0的距离
22 1 相交但不过圆心. d 2 1 2 5 5 6. 且2〓1+(-2)-5≠0,因此该直线与圆
2.已知圆O1:(x-a)2+(y-b)2=4,O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2 =1
(a,b∈R)，那么两圆的位置关系是( (A)内含 (B)内切 (C)相交 ) (D)外切
(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条
件.( )
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(
)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的
公共弦所在的直线方程.(
)
(4)过圆O：x2+y2=r2外一点P（x0,y0)作圆的两条切线，切点为
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交
√
C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r
+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.
B.
C.2
)
D.
√
解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,
解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0
√
D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(二)(知识梳理)
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系(二)复习目标学法指导1.直线与圆的位置关系(1)判断直线与圆的位置关系.(2)在已知直线与圆的位置关系的条件下,求直线或圆的方程.2.圆与圆的位置关系(1)判断圆与圆的位置关系.(2)会利用圆与圆的位置关系判断切线情况.3.直线与圆的方程的应用(1)利用坐标法解直线与圆的方程.(2)直线与圆方程的综合应用.4.通过研究圆上任意两1.直线与圆的位置关系是圆的重点内容.由于圆的特殊性,解答直线与圆的位置关系问题的方法多种多样,繁简不一.要注意方法的选择.对于求参数的取值范围问题,一般将直线与圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题,然后根据距离公式列出方程(不等式组),解方程(不等式(组)),得解.2.根据两圆位置关系求参数的值或取值范围时,一般将两圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题,利用距离公式,列出方程(组)或不等式(组),解出所求结果.点之间距离的最值问题,体会数形结合、化归的思想方法;通过两圆关于直线对称问题的研究,进一步体会解析法思想.一、直线与圆的位置关系已知直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法:设圆心到直线的距离d=22||Aa Bb CA B+++d<r d=r d>r 代数法:由()()2220,,Ax By Cx a y b r++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0 Δ=0 Δ<01.概念理解过定点A作已知圆的切线,可得到的有关切线的条数: (1)当点A在圆内时,无切线;(2)当点A在圆上时,有且只有一条切线;(3)当点A在圆外时,有两条切线.2.与直线与圆位置关系相关的结论(1)当直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交时,经过它们交点的圆都可以用方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示,称这个方程是过直线和圆交点的圆系方程.(2)过圆上一点的切线方程①与圆x2+y2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是x1x+y1y=r2,②与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2.二、圆与圆的位置关系1.几何法:设圆C1:(x-a)2+(y-b)2=22r,圆C2:(x-m)2+(y-n)2=22r(r1>0,r2>0),圆心距用d表示,则两圆的位置关系如下:位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r2-r1|d<|r2-r1|2.代数法:联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切 外离或内含1.概念理解两圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切和内含,判断两圆的位置关系一般用几何法,因代数法判断时,有时得不到确切的位置关系,如两圆组成的方程组仅有一解时有内切和外切两种关系,具体是哪一种,用代数法是无法判断的. 2.相关结论(1)两圆相切时常用的性质有:①设两圆的圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,则两圆相切12121212||||||.O O r r O O r r ⇔=-⎧⎪⎨⇔=+⎪⎩内切，外切 ②两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦).在解题过程中应用这些性质,能大大简化运算.(2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交,只要使x 2,y 2的系数对应相等,两圆方程作差即得到公共弦所在的直线方程.(3)一般地,过圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0交点的圆的方程可设为:λ1(x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1)+λ2(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0,λ1+λ2≠0.(4)直线与圆的方程的应用涉及两方面①实际应用问题,多通过建系利用坐标法来解决.②与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数形结合求解,一般地:a.形如u=y bx a--形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; b.形如t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; c.形如t=(x-m)2+(y-n)2的最值问题,可转化为动点(x,y)与定点(m,n)距离平方的最值问题.1.直线3x+4y=5与圆x 2+y 2=16的位置关系是( A ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相切或相交 解析:圆心到直线的距离2234+所以相交.故选A.2.圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=03的点共有(C )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:因为圆x 2+2x+y 2+4y-3=0的圆心为(-1,-2),半径为2圆心到22因此圆上到直线x+y+1=03共有2个.故选C.3.半径为1的圆C 与(x+1)2+(y-2)2=9相切,则圆C 的圆心轨迹为( A )(A)两个圆 (B)一个圆 (C)两个点 (D)一个点解析:若两圆外切,则C 与(-1,2)的距离为4,在一个圆上;若两圆内切,则C 与(-1,2)的距离为2,在一个圆上. 故选A.4.若直线y=mx+1与圆C:x 2+y 2+2x+2y=0相交于A,B 两点,且AC ⊥BC,则m 等于( A ) (A)34(B)-1 (C)-12(D)32解析:圆C:(x+1)2+(y+1)2=2,因为AC ⊥BC,所以圆心C 到直线的距离为1, 则221m m -+=1,解得m=34.故选A. 5.如果圆C:x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆O:x 2+y 2=4总相交,那么实数a 的取值范围是 .解析:圆C 的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2. 依题意得0<22a a +<2+2,所以0<|a|<22.所以a ∈(-22,0)∪(0,22).答案:(-22,0)∪(0,22)考点一 直线与圆的位置关系[例1] 已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2则圆C 的标准方程为 .解析:由题意,设圆心坐标为(a,0),则由直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为22,得(|1|2a -)2+2=(a-1)2,解得a=3或-1.又因为圆心在x 轴的正半轴上,a>0, 所以a=3,故圆心坐标为(3,0),又已知圆C 过点(1,0),所以所求圆的半径为2, 故圆C 的标准方程为(x-3)2+y 2=4. 答案:(x-3)2+y 2=4(1)用几何法求圆的弦长:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则(2l )2=r 2-d 2.(2)求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无切线;若点在圆上,有一条切线;若点在圆外,有两条切线.在平面直角坐标系xOy 中,若直线3)上存在一点P,圆x 2+(y-1)2=1上存在一点Q,满足OP u u u r=3OQ u u u r,则实数k 的最小值为 .解析:设P(x,y),所以Q(3x ,3y ),所以(3x )2+(3y -1)2=1,x 2+(y-3)2=9,23331k k --+3,所以3≤k ≤0,即实数k 的最小值为3.答案3考点二 圆与圆的位置关系[例2] 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA u u r+TP u u r=TQ u u u r,求实数t 的取值范围.解:圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0).因为圆N 与x 轴相切、与圆M 外切,所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0,从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1. 因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. 解:(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4020--=2. 设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.则圆心M 到直线l 的距离 d=5=5.因为BC=OA=2224+=25,而MC 2=d 2+(2BC )2, 所以25=()255m ++5,解得m=5或m=-15, 故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. 解:(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 因为A(2,4),T(t,0),TA u u r +TP u u r =TQ u u u r,所以21212,4,xx t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上, 所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤()()224637t ⎡+-⎤+-⎣⎦≤5+5,解得2-221≤t ≤2+221.因此,实数t 的取值范围是[2-221,2+221].判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2,y 2项得到.已知圆O:x 2+y 2=4与圆B:(x+2)2+(y-2)2=4.(1)求两圆的公共弦长;(2)过平面上一点Q(x 0,y 0)向圆O 和圆B 各引一条切线,切点分别为C,D,设QD QC=2,求证:平面上存在一定点M 使得Q 到M 的距离为定值,并求出该定值.(1)解:由2224440,4,x y x y x y ⎧++-+=⎪⎨+=⎪⎩相减得两圆的公共弦所在直线方程为l:x-y+2=0, 设(0,0)到l 的距离为d,则所以公共弦长为2所以公共弦长为(2)证明:=2,化简得:20x +20y -43x 0+43y 0-203=0配方得2023x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y 0+23)2=689. 所以存在定点M(23,-23)使得Q 到M 的距离为定值,. 考点三 利用圆系的方程解题[例3] 已知圆C 1:x 2+y 2+2x+2y-8=0与圆C 2:x 2+y 2-2x+10y-24=0相交于A,B 两点,(1)求公共弦AB 所在的直线方程;(2)求圆心在直线y=-x 上,且经过A,B 两点的圆的方程. 解:(1)由题圆C 1,圆C 2相交,由22222280,210240,x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+-+-=⎪⎩两式作差可得直线AB 的方程为x-2y+4=0.解:(2)设所求圆的方程为x 2+y 2+2x+2y-8+λ(x 2+y 2-2x+10y-24)=0,即x 2+y 2+221λλ-+x+2101λλ++y-8241λλ++=0, 圆心坐标为(11λλ-+,-151λλ++),其在直线y=-x 上, 所以11λλ-+-151λλ++=0,解得λ=-12, 代入可得所求圆的方程为x 2+y 2+6x-6y+8=0.具有某种共同性质的圆的集合,称为圆系.(1)同心圆系的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2,x 0,y 0为常数,r 为参数. (2)过两个已知圆f i (x,y)=x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0, 即f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0(λ≠-1). (3)过直线与圆交点的圆系方程.设直线l:Ax+By+C=0与圆C:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程.已知直线l:4x-3y+1=0与圆C:x 2+y 2-3x+3y+2=0,求过l 与C 的交点且圆心在直线x-2y+3=0上的圆的方程.解:设所求圆的方程为x 2+y 2-3x+3y+2+t(4x-3y+1)=0, 即x 2+y 2+(4t-3)x+3(1-t)y+2+t=0,则其圆心为(342t -,332t -)在直线x-2y+3=0上, 所以342t --2×332t -+3=0,得t=32, 所以所求圆的方程为2x 2+2y 2+6x-3y+7=0.考点四易错辨析[例4] 求半径为4,与圆A:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.解:由题意,设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=16,因为圆C与直线y=0相切,且半径为4,故b=±4,所以圆心坐标为C(a,4)或C(a,-4).又已知圆A的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=9,圆心坐标为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.(1)当取C(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72解得a=2±210,或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),此时圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16.(2)当取C(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72解得a=2±26,或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),此时圆的方程为(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.综上,所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.本例的一种常见错误是由于思维定势,想当然地认为两圆外切只考虑|CA|=4+3=7,遗漏了|CA|=4-3=1的情况,本例另一种常见错误是忽略圆心在x轴下方的情况从而导致所求方程个数丢失一半. 防范措施:(1)涉及两圆相切的情况,要分清是内切还是外切,切莫将外切等同于相切,以免出现知识性错误.(2)可通过作图观察有哪些情况,以避免遗漏某些情形.。
【三维设计】届高考数学(理)总复习课件：第八章 第4讲 直线与圆_圆与圆的位置关系(共34张PPT)
教师备选题（给有能力的学生加餐）
1．两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2： x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有
()
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：由题知 C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，则圆心 C1(－1， －1)，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心 C2(2,1)，两圆半径 均为 2，又|C1C2|＝ 2＋12＋1＋12＝ 13＜4，则两圆相 交⇒只有两条外公切线．
直线l的方程为
()
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
பைடு நூலகம்
[尝试解题] 过点(－4,0)的直线若垂直于 x 轴，经验证 符合条件，即方程为 x＋4＝0 满足题意；若存在斜率，设 其直线方程为 y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为 8，可得圆 心(－1，2)到直线 y＝k(x＋4)的距离为 3，即|3k1－＋2k|2＝3， 解得 k＝－152，此时直线方程为 5x＋12y＋20＝0，综上直 线方程为 5x＋12y＋20＝0 或 x＋4＝0.
•11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/132021/9/132021/9/13Sep-2113-Sep-21
•12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/132021/9/132021/9/13Monday, September 13, 2021
[知识能否忆起]
一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆 的半径为r)
届数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系教师文档教案文
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第158页［基础梳理］1．直线与圆的位置关系与判断方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系．①d〈r⇔直线与圆相交；②d＝r⇔直线与圆相切；③d〉r⇔直线与圆相离．(2)代数法：联立方程，消去x（或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac.①Δ〉0⇔直线与圆相交；②Δ＝0⇔直线与圆相切；③Δ〈0⇔直线与圆相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1）2＋(y－b1)2＝r错误!(r1〉0)，圆O2＋（y－b2＝r2方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d〉r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解续表相交｜r1－r2｜〈d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2）一组实数解内含0≤d〈|r1－r2|(r1≠r2）无解位置关系内含内切相交外切外离公切线条数01234圆的方程两种设法技巧：（1）经过直线l：Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的交点的圆的方程表示为（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ(Ax＋By＋C）＝0.（2）经过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的两个交点的圆的方程表示为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0。
[四基自测]1．（基础点:直线与圆的位置关系）直线y＝x＋6与圆x2＋y2－2y－4＝0的位置关系为（)A．相离B．相切C．相交且不过圆心 D.相交过圆心答案：A2．(基础点：圆与圆的位置关系）两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切 D.内含答案：B3．（基础点：圆的弦长)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点,则｜AB｜＝________．答案：104．（易错点:求圆的切线方程)已知直线l：y＝k(x＋错误!）和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．答案：0或3授课提示：对应学生用书第158页考点一直线与圆的位置关系挖掘1直线与圆位置关系的判断/ 自主练透[例1](1）直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D。
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课时作业A 组——基础对点练1．圆心为(4,0)且与直线3x －y ＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －4)2＋y 2＝1B ．(x －4)2＋y 2＝12C ．(x －4)2＋y 2＝6D ．(x ＋4)2＋y 2＝9解析：由题意，知圆的半径为圆心到直线3x －y ＝0的距离，即r ＝|3×4－0|3＋1＝23，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x －4)2＋y 2＝12，故选B.答案：B2．(2018·石家庄质检)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34 解析：因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝2 4－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )1＋2b 2≤122·12·[(22a )2＋(1＋2b 2)2]＝142[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 24a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D. 答案：D3．(2018·惠州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( ) A ．2 2B. 2 C ．－2或 2 D ．－22或2 2解析：因为圆上到直线l 的距离等于1的点恰好有3个，所以圆心到直线l 的距离d ＝1，即d ＝|－a |2＝1，解得a ＝±2.故选C. 答案：C4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：已知圆的圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355， 所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎫3552＝2555. 答案：25555．已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2，两边平方并整理得，m ＋n ＋1＝mn ≤(m ＋n 2)2，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)6．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b 2＝(a 29＋4b 29)(1a 2＋1b 2)＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2 a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a 2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b2的最小值为1. 答案：17．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上．(1)求矩形ABCD 的外接圆方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0 (k ∈R)，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1，∴k AD ＝1，∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1，即y ＝x ＋2.解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)． 矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心，|AP |＝22为半径的圆，方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可整理为(x ＋y －5)＋k (y －2x ＋4)＝0，k ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y －2x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2， ∴直线l 过定点M (3,2)．又∵点M (3,2)在圆内，∴直线l 与圆相交．∵圆心P 与定点M 的距离d ＝5，最短弦长为28－5＝2 3.8．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切；(2)圆C 1与圆C 2内含．解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，经配方后得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9；C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4.(1)如果圆C 1与圆C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2，(m ＋1)2＋(－2－m )2＝25，m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2.所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2外切．(2)如果圆C 1与圆C 2内含，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2<3－2.(m ＋1)2＋(－2－m )2<1，m 2＋3m ＋2<0，解得－2<m <－1，所以当－2<m <－1时，圆C 1与圆C 2内含．B 组——能力提升练1．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：欲使直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径2即可，即|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，化简得|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.答案：C2．已知⊙M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则⊙M 的方程是( )A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝0解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0>0)，则|x 0|＝y 0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M 的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A.答案：A3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2 a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交． 答案：B4．直线ax ＋by ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则a ＋b ＋ab 的最大值为( )A ．1B ．－1 C.2＋12 D.2＋1解析：∵直线ax ＋by ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，∴圆心O (0,0)到直线ax ＋by ＋1＝0的距离等于半径，即1a 2＋b2＝1⇒a 2＋b 2＝1，易知a ＋b ＋ab 的最大值一定在a >0，b >0时取得，∴a ＋b ＋ab ＝(a ＋b )2＋ab ＝1＋2ab ＋ab .令1＋2ab ＝t ，则ab ＝t 2－12. ∵ab ≤a 2＋b 22＝12(当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”)且ab >0，∴1<t ≤2，∴a ＋b ＋ab ＝1＋2ab ＋ab ＝12t 2＋t －12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝2时，(a ＋b ＋ab )max ＝2＋12.故选C. 答案：C5．(2018·云南五市联考)设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为d .当d 最小时，圆C 的面积为________．解析：设圆C 的圆心为C (a ，b )，半径为r ，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题设知圆C 截x 轴所得劣弧所对的圆心角为90°，知圆C 截x 轴所得的弦长为2r ，故r 2＝2b 2，又圆C 截y 轴所得的弦长为2，所以r 2＝a 2＋1，从而得2b 2－a 2＝1.又点C (a ，b )到直线x －2y ＝0的距离d ＝|a －2b |5，所以5d 2＝(a －2b )2＝a 2＋4b 2－4ab ≥a 2＋4b 2－2(a 2＋b 2)＝2b 2－a 2＝1，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2b 2－a 2＝1，即a 2＝b 2＝1时等号成立，此时d 取得最小值，此时r 2＝2，圆C 的面积为2π.答案：2π6．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y ；将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5. ∵OM ⊥ON ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0， 即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85. (3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455， ∴所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －452＋⎝⎛⎭⎫y －852＝165. 7．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.解析：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)，由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0， 解得x 1,2＝－4±627. 所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.。