河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教案新版北师
九年级数学上册第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第1课时用因式分解法解
2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程练习（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程练习（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2．2。
3 因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程知｜识|目|标1．通过回顾因式分解,理解因式分解法解一元二次方程的概念，并识别适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式．2．通过例题的讲解和练习,能用因式分解法解一元二次方程．目标一能识别适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式例 1 教材补充例题下列方程：（1)3x2－12＝0；(2)x2＋4x＝0；(3）x(x－5)＝6x；（4）x2＋x－1＝0；（5）（x＋2)2－9＝0.其中适合用因式分解法求解的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【归纳总结】（1）因式分解法解一元二次方程的实质是降次,通过因式分解将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解；（2）缺少一次项或常数项(即一次项系数或常数项等于0)的一元二次方程都适合用因式分解法求解．目标二用因式分解法解一元二次方程例2 教材例7、例8针对训练用因式分解法解一元二次方程：(1)6y2－3y＝0;（2）2x(5x－1)＝3（1－5x)；（3)9（2a－5）2－16（3a－1）2＝0。
九年级数学上册 22.1一元二次方程 一元二次方程的根素材 新人教版
一元二次方程的根
能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果，再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解，否则就不是原方程的解.
另外，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．。
推荐K12学习河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第
二次备课
（修改人：）
环
节一
复习回顾：
（1）通过课前作业中的两道题进一步夯实用配方法解方程的一般步骤（2）选择了一个没有解的方程，让学生切实感受并不是所有的一元二次方程在实数范围内都有解。
（3）还可以根据上节课作业情况，选学生出错多的题目纠错、练习
课中作业：自主推导求根公式。
提出问题：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
教学反思：
1.要创造性的使用教材
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。
2.要为学生的终身学习奠基
这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生推理技能和逻辑思维能力；进一步发展学生合作交流的意识和能力．帮助学生形成积极主动的求知态度.
3.通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力.
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0
全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算
教学过程
教学环节
学生迅速演算或口算出b2-4ac,从而判断出根的情况。
环
节
三
2、上述方程如果有解，求出方程的解
学生口述，教师板书第（1）题，第（4）题
配套K12河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方
15t-5t2=10
方程两边都除以-5础上，通过例3进一步提高学生分析问题,解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫。
巩固提高：
课本习题2.4问题解决2.
印度古算术中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮。告我总数有多少，两队猴子在一起？大意是说：一群猴子分两队，一队猴子数是猴子总数的八分之一的平方，另一队猴子数是12，那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题。
练习：x2-6x-40=0
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
复习回顾：
将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.
1.x2+2x+________=(x+______)2
2.x2-4x+________=(x-______)2
3.x2+________+36=(x+______)2
3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力.
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
1.回顾配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤。
2.回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1的二次方程的解法打下基础。
用配方法求解一元二次方程
课题
用配方法求解一元二次方程
课时安排
共（2）课时
河南中牟县雁鸣湖镇中学北师版数学九年级上册教案：2.5一元二次方程的根与系数的关系
4.通过具体例题，加深对一元二次方程根与系数关系的理解和应用。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过探索一元二次方程的根与系数关系，理解数学知识之间的内在联系。
2.提高学生的数学建模能力，学会运用根与系数的关系解决实际问题，将数学知识应用于实际情境。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调判别式Δ的计算方法和韦达定理的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过具体的例题和图形分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程根与系数关系相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如通过图形软件模拟抛物线与x轴的交点，直观展示判别式的意义。
举例解释：对于难点内容，可以设计如下例题：已知一元二次方程的一个根为整数，且两根之和为4，求满足条件的方程。通过此类问题，学生需要运用韦达定理，同时考虑到根的整数性质，增加问题的解决难度，从而加深对知识点的理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到两个数，使它们相加和相乘得到特定结果的情况？”（例如，两个数相加得10，相乘得20）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
其次，在小组讨论环节，有些学生显得不够积极主动。为了提高学生的参与度，我计划在下次课堂上增加一些互动性更强的活动，鼓励学生们发表自己的观点，培养他们的合作意识和沟通能力。
【推荐必做】河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程(第1课时
认识一元二次方程
课 题 认识一元二次方程（第一课时） 课时安排 共（）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现 课程标准 实世界数量关系的有效模型。 1.经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个 有效数学模型。 2.会识别一元二次方程及各部分名称。 目标 1,2 目标 2 支架式教学法，教师引导 希沃白板，课件
四、课堂小结
本节课你学到了什么？ 课中作业
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完成课本习题 2.1 相应试题 课后作业设计： 《全品学练考》作业手册 习题 2.1 （修改人： ）
板书设计： 2.1 一元二次方程 定义：形如：ax +bx+c=0(a 0) 需满足三个特征：必须是整式方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次。
2
课堂合作交流
二次备课 （修改人：
）
活动目的： 根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？旨在培养学生 的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问题
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的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提 供材料。 自主探究问题二 （1）你能找到关于10 、11 、12 、13 、14 这五个数之间的等式 吗？ （2）得到等式10 +11 +12 =13 +14 之后你的猜想是什么？ （3）根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于 后两个数的平方和。 活动目的： 上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生 得到的猜想是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于 后两个数的平方和。 然后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数， 在难以找到的情况下，促使学生想办法归结为方程去解决。 自主探究问题三 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂 直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？ 活动目的： 通过前两个环节的学习， 直接让学生设未知数， 列出适合条件的 方程。 活动的实际效果： 先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关 系就会浮出水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底 端滑动Xm，从而列出方程，问题解决得很顺畅。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数的关系 解析“一元二次方程的根与系数
解析“一元二次方程的根与系数的关系〞中考题一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空、选择、解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成局部。
而且，今后的试题可能将此局部内容融入到代数变形、函数和几何等问题之中。
例1、〔广西南宁〕一元二次方程x 2－2x ＋1=0的两个根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2＋x 1·x 2的值为〔 〕A 、3B 、2C 、－3D 、－2精析：由根与系数的关系，得：x 1＋x 2=2 ，x 1·x 2=1 。
∴x 1＋x 2＋x 1·x 2=2＋1=3 。
答：A例2、〔浙江温州〕x 1、x 2是一元二次方程 x 2－x －3=0的两个根，那么x 12＋x 22 的值是〔 〕A 、1B 、5C 、7D 、449精析：由根与系数的关系，得：x 1＋x 2=1 ，x 1·x 2=－3 。
∴x 12 ＋x 22=〔x 1 ＋x 2 〕2－2 x 1·x 2 =1+6=7。
答：C例3、〔江苏南通〕关于x 的方程x 2－kx ＋k 2＋n=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且〔2x 1 ＋x 2〕2－8〔2x 1 ＋x 2〕＋15=0。
⑴求证：n ﹤0;⑵设用k 的代数式表示x 1;⑶当n=－3时，求k 的值。
精析：⑴Δ﹥0;⑵2x 1 ＋x 2是x 2－8x ＋15=0的根；⑶当n=－3时，x 1是x 2－kx ＋k 2－3=0的一个实数根。
解：⑴∵Δ= k 2－4〔 k 2＋n 〕=－3 k 2－4n ﹥0, ∴ n ﹤－43k 2 .又 －k 2≤0 ，∴ n ﹤0 .⑵由根与系数的关系，得：x 1＋x 2=k.由〔2x1＋x2〕2－8〔2x1＋x2〕＋15=0,解得2x1＋x2=3或2x1＋x2=5。
当2x1＋x2=3即x1＋〔x1＋x2〕=3时，得x1=3－k；当2x1＋x2=5即x1＋〔x1＋x2〕=5时，得x1=5－k。
【推荐必做】河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 1 认识一元二次方程(第2课时
2 2 2 2
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（3）底端滑动的距离可能是 2 m 吗?可能是 3 m 吗?为什么? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 活动目的：在本环节中，使学生充分体验探求方程解的过程，这 既是对上一环节的一个练习巩固，更重要的是在列表求解的过程中， 引导学生先确定解的范围，从而让学生建立两边“夹逼”的思想方法， 进而体会无限逼近的思想，促进学生对方程解的理解，为后面学习掌 握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 同时， 对于近似解的讨论， 一方面可以促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力， 另一方面又为方程精确解的研究做铺垫。需要指出的是，在这一环节 的计算中，应提倡学生使用计算器。 通过这一练习，可要求学生整理用“夹逼”思想解一元二次方程 的做题思路，并可展示课本中小亮的求解过程。
教学重点 教学难点 教学方法 教学准备
目标 1，2 目标 2,3 支架式教学法，教师引导 希沃白板，课件
课前作业
1. 复习回顾一元二次方程的定义.
教学过程 教学 环节 复习回顾 在上一节课中，我们得到了如下的两个一元二次方程： 环 节 一 （8-2x）(5-2x)=18，即 2x -13x+11=0 (x+6) +7 =10 ，即 x +12x-15=0 发现一元二次方程在现实生活中具有同样广泛的应用。 上一节课 的两个问题是否已经得以完全解决？你能求出各方程中的 x 吗？ 活动目的：上述两个问题是承上一节课的现实问题，通过对这两
2 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
课中作业 观察所列出的三个整式方程，将他们化简后，这三个方程有什么共同 特征呢? 做一做 活动内容：上节课我们通过设未知数得到满足条件的方程，即梯 环 节 二 子底端滑动的距离 x(m)满足方程(x+6) +7 =10 ，把这个方程化为一般 形式为 x +12x-15=0 （1）你能猜出滑动距离 x(m)的大致范围吗? （2）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗?为什么?
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程(第2课时)教案(新版)
课后作业设计：
1.课本45页习题2.10 1题、2、3、4题
2.《全品学练考》作业手册习题2.10
（修改人：）
板书设计：
2.6应用一元二次方程（第二课时）
1.打x折，售价*0.1x
2.单件利润*销售量=总利润
教学反思：
当然，解题思路不应拘泥于这一种，再利用上述方法解完此题后，可以鼓励学生自主探索，找寻其他解题的思路和方法。如求定价为多少？直接设每台冰箱的定价应为x元，应如何解决？
分组讨论：
①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少。
设未知数(未知量成了已知量)，带着未知量去“翻译”题目申的有关信息，然后将这些含有的量表示成等量关系，就是应用题的解题策略。
无论是例题的分析还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
分析：本例中涉及的数量关系较多，学生在思考时可能会有一定的难度。所以，教学时我采用列表的形式分析其中的数量关系：
本题的主要等量关系：每台冰箱的销售利润×平均每天销售冰箱的数量=5000元
如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为元。
每天的销售量/台
每台的销售利润/元
总销售利润/元
降价前
降价后
填完上表后，就可以列出一个方程，进而解决问题了。
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 3 用公式法求解一元二次方程(第2课
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？
怎样用配方法解一元二次方程？
怎样用公式法解一元二次方程？
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
问题引入：
在一块长为１６m，宽为１２m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半。你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
用公式法求解一元二次方程
课题
用公式法求解一元二次方程
课时安排
共（2）课时
课程标准
课标P28能用公式法解数字系数的一元二次方程。
学习目标
通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义;
增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；
通过设计方案培养学生创新思维能力.
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学效果：
由于时间关系，分组解答图（5）和（6），部分同学忽视了验证解的合理性，这也是难免的，在学生发生这些问题时，适时提醒即可。
课中作业
组内检查过关，规范格式
环
节
三
学以致用
活动内容：在一幅长90cm、宽60cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？
学生先自己设计，画出草图，然后到黑板上展示、交流自己的作品。
课中作业：
小组讨论、交流展示
环
节
二
如何设未知数？怎样列方程？
分组解答图（5）、（6）所列的方程。
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系
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一元二次方程根与系数的关系的５种应用一元二次方程根与系数的关系的应用是初中数学的重点内容,也是中考必考的热门内容．与“一元二次方程根与系数的关系”有关的题型形式灵活多样，常见的形式有下面５种,要求同学们要熟练掌握．一,已知两根求作新方程例1，求一个一元二次方程，使它的两根为1x 、2x ，且满足221210x x +=,123x x =． 答案:x 2＋４ｘ＋3=0或x 2－４x+3=0解析：由221210x x +=，可得102)(21221=-+x x x x ,又因为123x x =，所以16)(221=+x x ,421±=+x x ，所以此方程为：x ２+4x+３＝0或x 2－4x ＋3=0二,已知关于两根关系式的值,求系数.例2,如果关于x 的方程x 2+mx ＋1=0的两个根的差为1,那么ｍ等于（ ) Ａ.±2 Ｂ.±3 C.± 5 Ｄ．± 6答案：Ｃ解析:根据题意,方程的两根1x 、2x ，满足1x -2x ＝1（设1x >2x ),所以（1x －2x )2＝１2，得14)(21221=-+x x x x ．又因为,根据根与系数的关系, m x x -=+21，121=•x x ，所以114)(2=•--m ，所以m=±5三，已知一元二次方程,求两根关系式的值例3，已知1x 、2x 是方程,032=--x x 的两个根，那么2221x x +的值是( ) A.1 B ．5 Ｃ．7 D ．449答案:C解析:根据根与系数的关系, 121=+x x ,321-=•x x ,又因为2212x x +=212212)(x x x x -+,所以2212x x +=7．四，已知一根，求另一根及系数例４,已知关于ｘ的一元二次方程x２-(ｋ+１) x-6=0的一个根是2,求方程的另一根和k的值.解析：设方程的另一根为x1,由根与系数的关系：2 x1=-6，解得x1=－3.由根与系数的关系:-3+2= k+1,所以ｋ＝-2。
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇九年级数学上册 第二章 一元二次方程 2 用配方法求解一元二次方程(第1课时)教
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2,3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
1.如果一个数的平方等于a，则这个数是，若一个数的平方等于7，则这个数是。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
2.用字母表示因式分解的完全平方公式。
用配方法求解一元二次方程
课题
用配方法求解一元二次方程
课时安排
共（2）课时
课程标准
课标P28理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程。
学习目标
１.会用开方法解形如(x+m)2=n的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；
２.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；
解方程：x2+8x-9=0
环
节
三
巩固练习
（1）解方程：x2+8x-9=0.（师生共同解决）
解:可以把常数项移到方程的右边，得
x2+8x＝9
两边都加上（一次项系数8的一半的平方），得
x2+8x＋42=9＋42.
（x+4）2=25
开平方，得x+4=±5,
即x+4=5,或x+4=-5.
所以x1=1, x2=-9.
活动目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。
河南省郑州市九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程(第1课时)教案(新版)北师大版
（1）要求DE的长，需要如何设未知数？
（2）怎样建立含DE未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？
（3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？
（4）选定后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF分别是多少？
学生在问题串的引导下，逐层分析，在分组讨论后找出题目中的等量关系即：
速度等量：V军舰=2×V补给船
时间等量：t军舰=t补给船
三边数量关系：
弄清图形中线段长表示的量：已知AB=BC=200海里，DE表示补给船的路程，AB＋BE表示军舰的路程。
学生在此基础上选准未知数，用未知数表示出线段：DE、EF的长，根据勾股定理列方程求解，并判断解的合理性。
课中作业
完善解题过程
环
节
课中作业：
检查解题过程是否规范完整
环
节
二
探究新知
见课本P53页例1：
如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头。小岛F位于BC中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。
三
巩固练习
1.一个直角三角形的斜边长为7cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，那么这个直角三角的面积是多少？
2.如图：在Rt△ACB中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半？
3.在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570平方米，问道路应为多宽？
九年级数学上册 第二章 一元二次方程 5 一元二次方程的根与系数课件上册数学课件
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类型之三 利用根与系数的关系解决已知一根求另一根的问题 已知关于 x 的方程 x2＋mx－6＝0 的一个根为 2，求这个方程的另一
个根． 解： (方法一)∵方程 x2＋mx－6＝0 的一个根为 2，设另一个根为 x1， ∴2x1＝－6，解得 x1＝－3， ∴方程的另一个根是－3. (方法二)把 x＝2 代入原方程，得 22＋2m－6＝0，解得 m＝1， 把 m＝1 代入原方程，得 x2＋x－6＝0， 解得 x1＝2，x2＝－3. ∴方程的另一个根是－3.
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3．若关于 x 的方程 x2＋3x＋a＝0 有一个根为－1，则另一个根为( A ) A．－2 B．2 C．4 D．－3 4．已知实数 x1，x2 满足 x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以 x1，x2 为根的一元二次 方程是( A ) A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
第二章 一元二次方程
5 一元二次方程的根与系数(xìshù)的关系
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
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学习指南
★教学目标★ 1．会用根与系数的关系求方程两根的和与积， 2．会用根与系数的关系解决相关问题．
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★情景问题引入★ 解下列方程，观察各方程两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？ (1)2x2－5x－12＝0；(2)x2＋2x＋1＝0；(3)x2＋2x－1＝0.
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7．[2017·金堂县期末]若 x1，x2 是关于 x 的方程 x2－2x－5＝0 的两根，则代 数式 x12－3x1－x2－6 的值是_－__3_．
【解析】 ∵x1，x2 是关于 x 的方程 x2－2x－5＝0 的两根，∴x12－2x1＝5， x1＋x2＝2，
【推荐精选】2018-2019学年九年级数学上册 第二章 一元二次方程《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -== ⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x>，120x x+<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x<时，两根异号．当△＞0且120x x<，120x x+>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x<，120x x+<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a+a a，b为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1. 已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：1+x1= -21∙x1=a-2解得：a= ﹣1，x1= ﹣3则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【变式】若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0.则k的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，∴ m 的取值范围是54m ≤且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m≠1．举一反三：【变式】已知：关于x 的方程2(1)04k kxk x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3.关于x 的一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【思路点拨】 （1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出222121212()2x x x x x x +=+-，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【答案与解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜21． ∴m 的取值范围为m ＜21． （2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x+2m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，∴222121212()2x x x x x x +=+-=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．举一反三：【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134； （2）3．4.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225x x +=-，1235x x =-． 设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-， 从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-， 12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。
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3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。
归纳结论：对于一元二次方程 ，
当 时，
课中作业：
根据根与系数的关系，快速写出下列方程的两根之和与两根之积
一元二次方程的根与系数的关系
课题
一元二次方程的根与系数的关系
课时安排
共（1）课时
课程标准
课标P28选学内容，不作为中考的考查范围
学习目标
1.能独立推导出一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。
2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。
（方程两根为x1，x2、k是常数）
（1）2x2-3x-1=0 x1+x2= ________ x1x2= ________
（2）3x2+5x=0 x1+x2= ________ x1x2= ________
（3）x2+7x=-6 x1+x2= _________ x1x2= _________
（4）5x2+kx-6=0 x1+x2= _________ x1x2= _________
（1）x2+3x+4=0（2）6x2+x-2=0（3）2x2-3x +1=0
目的：通过游戏入手，激发学生学习兴趣。
探究新知
内容：计算填表（验证第一环节游戏的结果）
方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
x2+3x+4=0
6x2+x-2=0
2x2-3x +1=0
1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？
3.会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。（提升层次）
教学重点
目标1，2
教学难点
目标2, 3
教学方法
支架式教学法，教师引导
教学准备
希沃白板，课件
课前作业
1、一元二次方程的一般形式？ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？(△=b2-4ac≥0)
3、当△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？
环
节
二
巩固练习
1.利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的
（1）平方和（2）倒数和（3）差
2.已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。
课中作业
课本P50 3题，P51 3题
环
节
三
拓展提高：
1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。
对于一元二次方程 ，
当 时，
教学反思：
本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。让学生多实践，从实践中反思过程，经历韦达定理的发生发展过程，并从中体验成功的乐趣。引导学生发现问题，师生共同解决问题。指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将应用问题和规律归类。
课堂结:
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？
变式训练：
已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？
课后作业设计：
1.课本45页习题2.7 1题、2、3、4题
2.《全品学练考》作业手册习题2.7
（修改人：）
板书设计：
2.5一元二次方程的根与系数的关系
4、一元二次方程的求根公式是什么？
目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
情景引入
同学们，我们来做一个游戏，看谁能更快速的说出下列一元二次方程的两根和与两根积？