材料力学第3章 扭转
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材料力学 第三章 扭转
d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切 应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx
c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系 在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也 只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物 理关系和静力关系三个方面着手。 为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而 变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力 实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相 邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外 力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上 任一点处的切应力t都是相 等的, 而其方向与圆周相切。 横截面上的内力与应力间 的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1
材料力学-3-扭转(包含连接件)
3.5 圆轴扭转时的强度条件
3.5 圆轴扭转时的强度条件
为了让杆件正常工作，要对杆中的最大切应力加以限制
强度条件：
max
M x max [ ] （[ ]——许用切应力） Wp
危险截面在哪儿？
危险点在哪儿？
三类强度计算问题 强度校核 截面尺寸设计 确定许可荷载
M x max max [ ] Wp M x max Wp [ ] M x max Wp [ ]
D 2 d 2
32 D 4 (1 4 ) 32
(D4 d 4 )
(
d ) D
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（4）应力分布
M x IP
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重 量轻，结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
（3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
D 4
32
3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力
对于空心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题3
√
解：
圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者 形成一个整体，同时产生扭转变形。因此，在里、外层交 界处二者具有相同的切应变。 剪切弹性模量（G1＝2G2）
G
3.5 圆轴扭转时的强度条件
例题4
3
如图所示的传动机构中，功率从轮B输入，通过锥形齿轮将一 半传递给铅垂C轴，另一半传递给水平H轴。已知输入功率P1＝ 14kW, 水平轴（E和H）转速n1= n2= 120 r/min；锥齿轮A和D的齿数 分别为z1=36, z3=12；各轴的直径分别为d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm。 求：各轴横截面上的最大切应力。
材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第三章 扭转
B
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
W P t 1000P 60(N m)
外力偶矩Me一分钟做功：
W Me Me 2 n(N m)
令 W W
则：
Me
1000P 60
2 n
9549
P n
(N m)
注意：
主动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向一致
从动轮上外力偶矩的转 向和轴的转向相反
二、扭矩与扭矩图 方法：截面法
Me
Mx 0 T1 M A 0
A
B
C
D
得： T1 M A 1.91kN m
MA 1 MB 2 MC 3 MD
2-2截面
M x 0 T2 M A MB 0
得： T2 M A MB 5.73kN m 3-3截面
A 1 B2 C
MA
T1
MA
M B T2
3D
M x 0 T3 M A MB MC 0
由扭矩图可知： T 5.73kN m
max
在BC和CD段
A
B
C
D
MA
MB
A
B
T / kN m
MC
MD
C
D
5.73
O
x
1.91
5.73
D
B
§3-3 薄壁圆筒的扭转 R0 10
一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形
D
δ
D / 20
实验情形
ab cd
① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相 对转动。
dx
将（a）式代入上式得：
G
G
d
dx
（b）
由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即
切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
材料力学第三章扭转
传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之
间的关系：
Me
=
P ×103 × 60 2πn
=
9.549 ×103
P n
(N • m)
Me2
Me1nMe3Fra bibliotek从动轮
主动轮 从动轮
主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同， 从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反。
12
二、扭矩及扭矩图
圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。
τ dA r0 x
∫ T = τr0 A d A = τr0 A
n δ
A = 2πr0δ
A：平均半径所作圆的面积。
r0
得
τ
=
T r0 A
=
T
2πr02δ
28
思考：竹竿扭转破坏沿纵向还是沿横向开 裂？纵向截面上是否存在应力？
微体互垂面 上切应力的 关系?
dx
τ1
τ2，
τ1，dy
τ2 dz
x
z
29
二、单元体·切应力互等定理
得 τ′=τ
30
切应力互等定理
y
dz
τ'
dy
z
aτ
b
O τ'
dx
d c
τ
该定理表明：在单元体
相互垂直的两个平面上，剪 应力必然成对出现，且数值 相等，两者都垂直于两平面 的交线，其方向则共同指向 x 或共同背离该交线。
τ =τ′
τ'
a
d
单元体在其两对互相 垂直的平面上只有切应力
τ
而无正应力的状态称为纯
4.78
T 图(kN·m)
材料力学第3章 扭转
第3章 扭转
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
第一节 概 述 扭转是杆件变形的基本形式之一。在日常生活 和工程中，以扭转变形为主的杆件比较常见，如钥 匙、汽车转向轴、螺丝刀、钻头、皮带传动轴或齿 轮传动轴、门洞上方的雨篷梁、主梁等。
1
图3.1
图3.2
2
图3.3
3
第二节 外力偶矩计算 扭矩与扭矩图 一、外力偶矩计算 作用在扭转杆件上的外力偶矩Me，常可以由 外力向杆的轴线简化而得。但是，对于传动轴，通 常知道它所传递的功率P（常用单位为kW）和转 速n（常用单位为r/min）。由理论力学知识
11
图3.9
图3.10
12
三、剪切胡克定律 对于线弹性材料，试验表明，当切应力不超过 材料的剪切比例极限τp时，切应力τ与切应变γ保持 线性关系。如图3.10所示为低碳钢试件测得的τγ图， 可得
13
第四节 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于实心圆轴和空心圆轴（非薄壁圆筒），扭 转时不能再假设切应力沿半径方向为均匀分布。这 时需要从圆轴的变形入手，综合考虑几何、物理、 静力学3个方面，推导圆轴扭转时横截面上切应力 的计算公式。
14
一、扭转试验及假设 取一等截面圆轴，在其表面等间距地画上纵向 线和圆周线，形成大小相同的矩形网格，如图3.11 (a)所示。在两端施加力偶Me后，从试验中观察到 的现象与薄壁圆筒相同。根据这些试验现象，由表 及里，可以推断：横截面上无正应力；横截面上必 有切应力存在，其方向垂直于半径。
15
图3.11
若圆轴的扭矩和抗扭刚度分段为常数，则
27
二、刚度条件 机械工程中某些受力较大的主轴，除了满足扭 转强度条件以外，还需要对其扭转变形加以限制， 这就是扭转刚度条件。工程中常限制轴的单位长度 扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
材料力学 第三章 扭转
为一很小的量，所以
tan 1.0103rad
G
(80 109 Pa)(1.0 103rad) 80 MPa
注意： 虽很小，但 G 很大，切应力 不小
例 3-3 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为，长度为l， 横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角。
解：
T
2πR02
G
T
2πGR02
塑性材料：[] =（0.5~0.6）[s] 脆性材料：[] = （0.8~1.0）[st]
例 3-1 已知 T=1.5 kN . m，[τ] = 50 MPa，试根据强度条 件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径
max [ ]
max
T Wp
T πd 3
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
Tmax ml
[例3-1]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：1、计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
m1
9.55
P1 n
9.55
一、薄壁圆筒扭转时的应力
t
1、试验现象
壁厚
t
1 10
r0（r0：平均半径）
rO
各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动，距离不变。 当变形很小时，各纵向平行线仍然平行，倾斜一定的角度。
由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变γ 。
2、应力公式 微小矩形单元体如图所示：
´
①无正应力
d T
dx GI p
材料力学 第 三 章 扭转
扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状 、大小
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
以及间距不变，半径仍为直线。
定性分析横截面上的应力
（1）∵ε = 0∴σ = 0
（2）∵ γ ≠ 0∴τ ≠ 0
因为同一圆周上切应变相同，所以同 一圆周上切应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
切应变的变化规律：
D’
取楔形体
O1O2ABCD 为 研究对象
γ ≈ tgγ = DD' = Rdϕ
dx dx
微段扭转
变形 dϕ
γ ρ ≈ tgγ ρ = dd′ = ρ ⋅ dϕ
dx dx
γ
ρ
=
ρ
dϕ
dx
dϕ / dx－扭转角变化率
圆轴横截面上任一点的切应变γρ
与该点到圆心的距离ρ成正比。
（二）物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律
弹性范围内 τ max ≤ τ P
τ max
=
T
2π r 2t
=
180 ×103
2π × 0.132× 0.03
= 56.5MPa
(2) 利用精确的扭转理论可求得
τ max
=
π D3
T
(1−α 4 )
16
=
180 ×103
π×
0.293
⎡ ⎢1 −
⎜⎛
230
⎟⎞
4
⎤ ⎥
16 ⎢⎣ ⎝ 290 ⎠ ⎥⎦
= 62.2MPa
思考题
由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的 切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如 图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。 关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、 （C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正 确的。
材料力学 第3章扭转
d 90 ×10 −3 m − 2 × 2.5 × 103 m α= = D 90 × 10 −3 m = 0.944
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
Wt =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
πD 3
16 = 29400 × 10
(1 − α 4 ) =
−9
π ( 90 × 10
16 m3
−3
m )3
(1 − 0 . 944
4
)
2）校核计算：
τ max
T 1500 N ⋅ m = = = 51×106 Pa < [τ ] Wt 29400 ×10 −9 m3
(3.28)
α , ν 由 h b 数值查
3、扭转角公式
ϕ=
Tl Tl = G β hb3 GI t
β 由 h b 数值查
四、横截面上切应力分布的两点规律 • 边缘切应力的方向与截 面边线向切。 •凸角处的切应力为零。 五、矩形截面杆扭转计算
1、切应力分布规律： 切应力分布规律： 切应力公式： 2、切应力公式：
τ m ax
τ 1 = ντ max
T = α hb 2
( 3 .2 6 )
(3.27)
P 96 表 3 . 2
(3.1)
二、扭矩与扭矩图
1.扭矩： 1.扭矩： 扭矩
•横截面分布内力系轴向合力偶矩。 •符号： T。 •正负规定：矢量方向离开截面 为正，指向截面为负。 •计算方法：截面法。
2、扭矩图： 扭矩图：
•表示扭矩沿杆轴线变化情况的 图形。 •扭矩图形式及画法：同轴力图。 •作图应注意的问题：求截面扭 矩时应采用设正法。
2、应力分布推断： 应力分布推断：
•横截面上只有切应力而无正应力。 •横截面上切应力方向与半径正交大小 相等（由于薄壁）。
材料力学第三章扭转
材料力学
中南大学土木工程学院
三、扭 矩
x 扭矩的矢量表示
Me
Me
Me
T
定义：扭转内力偶矩， 1、定义：扭转内力偶矩，用T表示 大小： 2、大小：可用截面法取局部平衡求出 扭矩大小= 截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和 T =ΣMe 正负号： 3、正负号：扭矩矢与截面外法线一致为正 （图中T为正，必须按“设正法”画扭矩） 为正，必须按“设正法”画扭矩） 单位： 4、单位：N·m 或 kN·m
τ =τ′
切应力互等定理
在单元体相互垂直的两个平面上， 在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出 且数值相等，两者都垂直于两平面的交线， 现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方 向则共同指向或共同背离该交线。 向则共同指向或共同背离该交线。
材料力学
中南大学土木工程学院
单元体的四个侧面上只有切应力而无正应 纯剪切应力状态。 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态 力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
O
定义内径与 外径的比值
d α= D
D d
πD πD 4 Ip = (1 − α 4 ) 32
I p π(D 4 − d 4 ) πD 3 Wp = = = (1 − α 4 ) D 16 D 16 2
特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。 特别注意：抗扭截面系数不满足叠加法的计算，括号里的仍是四次方。
材料力学 中南大学土木工程学院
分布如图所示。 横截面上各点处的切应力τ 分布如图所示 取微面积dA，则横截面上的分布 的合成其主矢为零， 力系τ dA的合成其主矢为零，主矩就 是扭矩T。
δ
r0
O
τ
∫
上海电机学院材料力学第三章扭转
D
d
t
M
M
*
解：轴的扭矩等于轴传递的转矩
轴的内，外径之比
由强度条件
由刚度条件
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。
求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
d2＝0.5D2=23 mm
§3.4 圆轴扭转时的应力
*
确定实心轴与空心轴的重量之比
空心轴
D2＝46 mm
*
δ<<R0 ---薄壁圆筒
规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正
m
m
薄壁圆筒的扭转
m
T
1
1
扭矩
切应力
对应
扭转
*
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的切应力
微机控制扭转试验机
*
扭转实验前
平面假设成立
相邻截面绕轴线作相对转动
横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。
纵线
圆周线
扭转实验后
ρ
dρ
O
D
d
ρ
dρ
（2）空心圆截面
其中
*
应力公式
1)横截面上任意点：
2)横截面边缘点：
其中：
d/2
ρ
O
T
抗扭截面模量
D/2
O
T
d/2
空心圆
实心圆
扭转
*
例题2 图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切弹性模量 G=80GPa.
材料力学第3章-扭转
第3章 扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。
2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。
又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。
规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。
3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。
（3）切应变 剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。
γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。
弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。
dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。
则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。
材料力学 第三章-扭转
1.受力特点： 1.受力特点：承受的外力或其合力均是绕轴线转动 受力特点 的外力偶。或外力偶作用平面和杆件横截面平行。 的外力偶。或外力偶作用平面和杆件横截面平行。 2.变形特点 相邻截面绕轴相对转动。 变形特点： 2.变形特点： 相邻截面绕轴相对转动。
Me
A
扭转
Me
ϕ
B
B'
ϕ：相对扭转角 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。
τ
(τdydz)dx= (τ′dxdz)dy
x
τ =τ ′
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
y
τ′
A dy B dx D dz C
τ
x
τ =τ ′
切应力互等定理
单元体上两个互垂面上切 应力的大小相等、 应力的大小相等、方向相 反，共同指向截面交线或 背离截面交线。 背离截面交线。
扭转
三、强度条件Strength condition
Tmax = ≤ [τ ] ，[τ]—许用切应力； 许用切应力； τ 许用切应力 Wp
强度条件： 强度条件：τ max
τ max --最大工作切应力 最大工作切应力
根据强度条件可进行： 根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 强度校核 选择截面 计算许可荷载。 计算许可荷载。
y
τ′
A dy D dz C
τ
怎样才能平衡？ 微元能不能平衡？ 怎样才能平衡？ 微元能不能平衡 哪些力互相平衡？？ 哪些力互相平衡？
x
B dx
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
Me
A
扭转
Me
ϕ
B
B'
ϕ：相对扭转角 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。 工程上称发生扭转变形的杆件称为轴。
τ
(τdydz)dx= (τ′dxdz)dy
x
τ =τ ′
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
y
τ′
A dy B dx D dz C
τ
x
τ =τ ′
切应力互等定理
单元体上两个互垂面上切 应力的大小相等、 应力的大小相等、方向相 反，共同指向截面交线或 背离截面交线。 背离截面交线。
扭转
三、强度条件Strength condition
Tmax = ≤ [τ ] ，[τ]—许用切应力； 许用切应力； τ 许用切应力 Wp
强度条件： 强度条件：τ max
τ max --最大工作切应力 最大工作切应力
根据强度条件可进行： 根据强度条件可进行： 强度校核; 选择截面; 强度校核 选择截面 计算许可荷载。 计算许可荷载。
y
τ′
A dy D dz C
τ
怎样才能平衡？ 微元能不能平衡？ 怎样才能平衡？ 微元能不能平衡 哪些力互相平衡？？ 哪些力互相平衡？
x
B dx
z
4.切应力互等定理 4.切应力互等定理 Reciprocal theorem of shear stresses
材料力学,第三章 扭转
，或有使用要求（如机床主轴）要采用空心轴，否则，制
造空心轴并不总是值得的。
45
§3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
一、扭转时的变形 由公式
d T dx GI p
知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角 为
d
l
0
T dx GI p
Tl (若T 值 不 变 ） GI p
I p A 2 dA 2 2 d
D 2 0
D 4
32
0 .1 D 4
37
d 对于空心圆截面：
I p A 2 dA 2 2 d (
D 2 d 2
d
O
D
d ) D
32 D 4 (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) 32
Torsion
1
第三章
§3–1 概述
扭 转
§3–2 传动轴的外力偶矩 · 扭矩及扭矩图
§3–3 薄壁圆筒的扭转 §3–4 等直圆杆在扭转时的应力 · 强度分析 §3–5 等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件
2
§ 3–1
概 述
工程中以扭转为主要变形的构件，我们一般称之为“轴”。如：
机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。 工程实例
42
Tmax Wt [ ]
Tmax Wt [ ]
[例] 设有一实心圆轴与一内外径比为3/4的空心圆轴，两轴 材料及长度都相同。承受转矩均为m，已知两轴的最大剪应 力相等，试比较两轴的重量。 解.（ 1 ）实心轴直径 d与 空心轴外径D之间的关系
max
Tmax 16m [] 3 Wt d
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m n m
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
• • • • •
本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
Mx 10 103 max1 51MPa 5 9 WP1 1.96 10 10
(b)空心截面
1 1 A1 A2 d 2 ( D 2 d12 ) D 115mm 4 4 D d1 57.5mm 0.5, d 100 d1
材料力学
第3章 扭转
§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 五、切应力互等定理 分析微体各面上的应力情况：
m m
x
dx
轴线
O'
（1）左右面为横截面，作用有切应力 （2）前后面，因外表面上无应力，与 之相距很近的平面上也无应力 （3）上下面若无应力存在，则微体不 能平衡，会发生转动，设切应力为 dx、dy、dz为微量，可认为、 均布. mz =0 ( dydz)dx ( dxdz)dy=0
材料力学
第3章 扭转
§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 一、几何方面 变形现象 平面假设
横线
m
c d
γ
m
变形规律
e O
m
a b
纵线
φ
O
O'
a
γ
dx
c c'
dφ
γρ
c
r ρ
f c' f'
O'
m
a
dφ
dx
dx
矩形网格变形成为平行四边形，其边长 设f 点处的切应变为 未变，只是直角改变了一角度 小变形条件 这种变形称为纯剪切， 称为切应变. 称为单位长度扭转角 d ff ' d tan 同一截面为常量. dx dx dx 该式表明横截面上任一点的切应变随该点在横截面上 的位置ρ的变化规律.
O
dy dx
dz
τ
'
切应力互等定理
τ τ
' dx
dy
τ
dz
该式表明：两个相互垂直平面上的切应力
和 数值相等，且共同指向（或背离）
该两平面的交线.
材料力学
第3章 扭转
§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 五、切应力互等定理
τ
'
切应力互等定理
该式表明：两个相互垂直平面上的切应力
材料力学
第3章 扭转
§3-5 受扭圆杆的强度计算和刚度计算 二、刚度计算 一、强度计算 M x max ≤[ ] 1、刚度条件 1、强度条件 max WP
Mx ≤[ ] GI P
[ ] 许用切应力（容许切应力） [ ] 许用（容许）单位长度扭转角
2、三种类型的强度计算 2、三种类型的刚度计算 M x max Mx ≤ [ ] ≤[ ] （1）刚度校核 （1）强度校核 max WP GI P M x max Mx （2）设计截面 I P≥ （2）设计截面 WP≥ G[ ] [ ]
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆
传动轴
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴；（d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
a b
纵线
φ
dφ
m
d M x dx GI P
dx
等值圆杆扭变形的度量，可采用两截面的相对转角来度量. l M Mx 一般计算公式 x d dx d dx l 0 GI GI P P l M M xl x dx （1）杆段l内，Mx、GIP为常量. 0 GI GI P P GIP称为抗扭刚度. GI P , 表示圆杆抵抗扭转变形的能力. M xi li （2）分段为常量 Gi I Pi
W m
1kW 1.36马力 1马力 0.735kW
外力偶矩
P P m 9.55 7.02 (kN m) 1.36n n
材料力学
第3章 扭转
§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
材料力学
第3章 扭转
例题2 一圆轴AC受力如图所示。AB段为实心，直径为50mm； BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。试求C截面 的扭转角。设G＝80GPa。 解： 1、作扭矩图 m2 =200N.m m1 =400N.m 2、分段计算变形
A
1m
B
1m
400
C
BC
M x 2l2 400 400 103 GI P2 80 109 π (504 354 ) 10 12 32
一、几何方面
横线
m
a b
纵线
c d
变形现象
变形现象： m 1、变形后所有的圆周线的大小、形状 φ γ 和间距均未改变，只是绕杆轴线作相对 的转动。 2、所有的纵向线均转过一个角度 ， 因此所有的矩形网格变成为平行四边形. 平面假设
变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，如同刚片一样， 只是绕杆轴线旋转，其形状、大小间距不变. 横截面上的径向线仍为直线.
材料力学
第3章 扭转
§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 四、极惯性矩和扭转截面系数计算 解： 采用极坐标 1、实心圆截面
dρ
2
dA 2 d
3 IP d WP 32 d d 16 d 2 2 D 2 2、空心圆截面 解： 设 = d I P dA d2 2 3d A 2 D 4 4 ρ d D d D4 4 (1 ) ρ 32 32 32 o D4 (1 4 ) 3 IP D 4 32 W (1 ) P d D D 16 D 2 2
二、外力特点与变形特点 外力特点：外力是一对大小相等，转向相反，作用在垂直于杆 轴线平面内的一平衡力偶系。 变形特点：所有的横截面绕杆轴线相对的转动，各横截面之 间产生不同的相对转位移 ，纵向线也转过一角度 .
A B O A
O B
m
m
材料力学
第3章 扭转
§3-2 扭矩及扭矩图 一、扭矩计算
τ τ
和 数值相等，且共同指向（或背离）
该两平面的交线.
' dx
dy
τ
dz
适用条件：适用于某一点的无限小的微体上.
τ
'
τ
τ
"
m Mx
材料力学
第3章 扭转
§3-4 等值圆杆扭转时的应力变形 一、扭转变形计算公式
横线
m
c d
γ
m
m
O O'
单位长度扭转角
a γ c c'
m
2m
解： 1、分段求扭矩
M x M（ ）的关系图线，即为扭矩图。 x x Mx
m
x
0
M x1 m 0 M x1 m
M x 2 2m M x 3 m
正的画在x轴 的上侧，
任一截面上的扭矩数值上等于截面任一 侧外力偶矩的代数和，正负号由右手螺 旋法则确定. 四要素： 2、绘制内力图
a
e
γρ
c
r ρ
f c' f'
O'
dφ
二、物理方面
dx
dx
切应变发生在垂直于半径的平面内，因此 与之相对应的切应力的方向也垂直于半径 . 剪切胡克定律 G G为切变模量 d 切应力分布规律 G G =G
dx
τρ
O
d dx
τ
求图示轴n-n截面内力
解： 截面法
1、截开 取左段杆 2、代替 3、平衡
x
n
m
x
0 Mx T 0 Mx m
m
Mx
扭矩
同样取右段杆，可得： M x m
m
Mx x
左段与右段求出的扭矩等值、共线，但反向。
符合作用力与反作用力定律.
扭矩正负号的规定：
按右手螺旋法则，视Mx为矢量，若矢量的方向与横截面外法线 方向一致， Mx为正，反之为负.
材料力学
第3章 扭转
第三章 扭转
材料力学
第3章 扭转
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本章主要内容 扭矩及扭矩图 等值圆杆扭转时横截面上的应力 等值圆杆扭转时的变形 矩形截面杆的扭转
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴； （d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
IP
D4
(1- 4 )
3、薄壁圆环截面
δ
R
0
R0≥10
2 2 3 I P 2 dA R0 dA=R0 d A =2 R 0 A A A
3 I P 2 R0 2 WP 2 R0 R0 R0
Mx 2 2 R0
较小，可认为切应力沿厚度方向均布.
D
解： (a)实心截面
WP1
d1
d3
16
1003
16
1.96 105 mm3
d
D
Mx 10 103 max1 51MPa 5 9 WP1 1.96 10 10
(b)空心截面
1 1 A1 A2 d 2 ( D 2 d12 ) D 115mm 4 4 D d1 57.5mm 0.5, d 100 d1
材料力学
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§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 五、切应力互等定理 分析微体各面上的应力情况：
m m
x
dx
轴线
O'
（1）左右面为横截面，作用有切应力 （2）前后面，因外表面上无应力，与 之相距很近的平面上也无应力 （3）上下面若无应力存在，则微体不 能平衡，会发生转动，设切应力为 dx、dy、dz为微量，可认为、 均布. mz =0 ( dydz)dx ( dxdz)dy=0
材料力学
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§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 一、几何方面 变形现象 平面假设
横线
m
c d
γ
m
变形规律
e O
m
a b
纵线
φ
O
O'
a
γ
dx
c c'
dφ
γρ
c
r ρ
f c' f'
O'
m
a
dφ
dx
dx
矩形网格变形成为平行四边形，其边长 设f 点处的切应变为 未变，只是直角改变了一角度 小变形条件 这种变形称为纯剪切， 称为切应变. 称为单位长度扭转角 d ff ' d tan 同一截面为常量. dx dx dx 该式表明横截面上任一点的切应变随该点在横截面上 的位置ρ的变化规律.
O
dy dx
dz
τ
'
切应力互等定理
τ τ
' dx
dy
τ
dz
该式表明：两个相互垂直平面上的切应力
和 数值相等，且共同指向（或背离）
该两平面的交线.
材料力学
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§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 五、切应力互等定理
τ
'
切应力互等定理
该式表明：两个相互垂直平面上的切应力
材料力学
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§3-5 受扭圆杆的强度计算和刚度计算 二、刚度计算 一、强度计算 M x max ≤[ ] 1、刚度条件 1、强度条件 max WP
Mx ≤[ ] GI P
[ ] 许用切应力（容许切应力） [ ] 许用（容许）单位长度扭转角
2、三种类型的强度计算 2、三种类型的刚度计算 M x max Mx ≤ [ ] ≤[ ] （1）刚度校核 （1）强度校核 max WP GI P M x max Mx （2）设计截面 I P≥ （2）设计截面 WP≥ G[ ] [ ]
材料力学
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§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆
传动轴
材料力学
第3章 扭转
§3-1 概述 一、工程实际中的受扭杆 等值杆承受作用在垂直于杆轴线的平面内力偶时，杆件将发生 扭转变形，以扭转为主要变形的杆件称为轴。 （a）机械中传动轴； （b）石油钻机、灌注桩等钻杆； （c）水能发电机的主轴；（d）桥梁、厂房空间结构中的某些结构
a b
纵线
φ
dφ
m
d M x dx GI P
dx
等值圆杆扭变形的度量，可采用两截面的相对转角来度量. l M Mx 一般计算公式 x d dx d dx l 0 GI GI P P l M M xl x dx （1）杆段l内，Mx、GIP为常量. 0 GI GI P P GIP称为抗扭刚度. GI P , 表示圆杆抵抗扭转变形的能力. M xi li （2）分段为常量 Gi I Pi
W m
1kW 1.36马力 1马力 0.735kW
外力偶矩
P P m 9.55 7.02 (kN m) 1.36n n
材料力学
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§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
材料力学
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例题2 一圆轴AC受力如图所示。AB段为实心，直径为50mm； BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。试求C截面 的扭转角。设G＝80GPa。 解： 1、作扭矩图 m2 =200N.m m1 =400N.m 2、分段计算变形
A
1m
B
1m
400
C
BC
M x 2l2 400 400 103 GI P2 80 109 π (504 354 ) 10 12 32
一、几何方面
横线
m
a b
纵线
c d
变形现象
变形现象： m 1、变形后所有的圆周线的大小、形状 φ γ 和间距均未改变，只是绕杆轴线作相对 的转动。 2、所有的纵向线均转过一个角度 ， 因此所有的矩形网格变成为平行四边形. 平面假设
变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，如同刚片一样， 只是绕杆轴线旋转，其形状、大小间距不变. 横截面上的径向线仍为直线.
材料力学
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§3-3 等值圆杆扭转时横截面上的应力 四、极惯性矩和扭转截面系数计算 解： 采用极坐标 1、实心圆截面
dρ
2
dA 2 d
3 IP d WP 32 d d 16 d 2 2 D 2 2、空心圆截面 解： 设 = d I P dA d2 2 3d A 2 D 4 4 ρ d D d D4 4 (1 ) ρ 32 32 32 o D4 (1 4 ) 3 IP D 4 32 W (1 ) P d D D 16 D 2 2
二、外力特点与变形特点 外力特点：外力是一对大小相等，转向相反，作用在垂直于杆 轴线平面内的一平衡力偶系。 变形特点：所有的横截面绕杆轴线相对的转动，各横截面之 间产生不同的相对转位移 ，纵向线也转过一角度 .
A B O A
O B
m
m
材料力学
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§3-2 扭矩及扭矩图 一、扭矩计算
τ τ
和 数值相等，且共同指向（或背离）
该两平面的交线.
' dx
dy
τ
dz
适用条件：适用于某一点的无限小的微体上.
τ
'
τ
τ
"
m Mx
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§3-4 等值圆杆扭转时的应力变形 一、扭转变形计算公式
横线
m
c d
γ
m
m
O O'
单位长度扭转角
a γ c c'
m
2m
解： 1、分段求扭矩
M x M（ ）的关系图线，即为扭矩图。 x x Mx
m
x
0
M x1 m 0 M x1 m
M x 2 2m M x 3 m
正的画在x轴 的上侧，
任一截面上的扭矩数值上等于截面任一 侧外力偶矩的代数和，正负号由右手螺 旋法则确定. 四要素： 2、绘制内力图
a
e
γρ
c
r ρ
f c' f'
O'
dφ
二、物理方面
dx
dx
切应变发生在垂直于半径的平面内，因此 与之相对应的切应力的方向也垂直于半径 . 剪切胡克定律 G G为切变模量 d 切应力分布规律 G G =G
dx
τρ
O
d dx
τ