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数学竞赛梅涅劳斯定理
梅涅劳斯定理梅涅劳斯〔Menelaus〕定理〔简称梅氏定理〕最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作?球面学?〔Sphaerica〕。
任何一条直线截三角形的各边,都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积,这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。
中文名梅涅劳斯定理外文名Menelaus别称梅氏定理表达式(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA )=1提出者梅涅劳斯提出时间1678年应用学科数学,物理适用领域范围平面几何学适用领域范围射影几何学定理内容定理证明证明一过点A作AG∥DF交BC的延长线于点G.那么证明二过点C作CP∥DF交AB于P,那么两式相乘得证明三连结CF、AD,根据“两个三角形等高时面积之比等于底边之比〞的性质有。
AF:FB =S △ADF:S△BDF…………〔1〕,BD:DC=S△BDF:S△CDF…………〔2〕,CE:EA=S△CDE:S△ADE=S△FEC:S△FEA=〔S△CDE+S△FEC〕:〔S△ADE+S△FEA〕=S△CDF:S△ADF (3)〔1〕×〔2〕×〔3〕得证明四过三顶点作直线DEF的垂线AA‘,BB',CC',如图:充分性证明:△ABC中,BC,CA,AB上的分点分别为D,E,F。
连接DF交CA于E',那么由充分性可得,(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又∵∴有CE/EA=CE'/E'A,两点重合。
所以共线推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N 三点,又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。
于是AL、BM、CN三线交于一点的充要条件是λμν=-1。
〔注意及塞瓦定理相区分,那里是λμν=1〕此外,用该定理可使其容易理解与记忆:第一角元形式的梅涅劳斯定理如图:假设E,F,D三点共线,那么(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积。
北京中考复习——全等三角形(解析版)
北京中考复习——全等三角形一、解答题1、已知:如图,D 是AC 上一点,AB =DA ,DE //AB ,∠B =∠DAE .求证:BC =AE .答案:证明见解答.解答:∵DE //AB ,∴∠CAB =∠ADE ,∵在△ABC 和△DAE 中,CAB ADE AB DAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABC ≌△DAE (ASA ),∴BC =AE .2、如图,点A 、B 、C 、D 在同一条直线上,BE //DF ,∠A =∠F ,AB =FD .求证:AE =FC .答案:证明见解答.解答:∵BE //DF ,∴∠ABE =∠D .在△ABE 和△FDC 中,ABE D AB FD A F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.,∴△ABE ≌△FDC (ASA ).∴AE =FC .3、如图,点B 在线段AD 上,BC //DE ,AB =ED ,BC =DB .求证:∠A =∠E .答案:证明见解答.解答:∵BC //DE ,∴∠ABC =∠EDB .在△ABC 和△EDB 中,AB DE ABC EDB BC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△EDB (SAS ),∴∠A =∠E .4、如图,△ABC 中,AB =AC ,D ,E 两点在BC 边上,且AD =AE .求证:BD =CE .答案:证明见解答.解答:方法一:∵AB =AC ,∴∠B =∠C .∵AD =CE ,∴∠ADE =∠AED ,∴△ABE ≌△ACD .∴BE =CD .∴BD =CE .方法二:如图,作AF ⊥BC 于F ,∵AB =AC ,∴BF =CF .∴DF =EF ,∴BF -DF =CF -EF ,即BD =CE .5、如图,点A ,B ,C ,D 在同一条直线上,CE //DF ,EC =BD ,AC =FD ,求证:AE =FB .答案:证明见解答.解答:∵CE //DF ,∴∠ECA =∠FDB .在△ECA 和△FDB 中,EC BD ECA F AC FD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.∴△ECA ≌△FDB .∴AE =FB .6、已知:如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,点D 在BC 上,且BD =AC ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,过点B 作CB 的垂线,交DE 的延长线于点F .求证:AB =DF .答案:证明见解答.解答:∵BF ⊥BC ,DE ⊥AB ,∠ACB =90°,∴∠DBF =∠BEF =∠ACB =90°.∴∠1+∠2=90°,∠2+∠F =90°在△ABC 和△DFB 中,1F ACB DBF AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△DFB .∴AB =DF .7、已知:如图,E 为BC 上一点,AC //BD ,AC =BE ,BC =BD .求证:AB =DE .答案:证明见解答.解答:∵AC //BD ,∴∠C =∠CBD .在△ACB 和△EBD 中,∵AC BE C CBD BC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACB ≌△EBD .∴AB =DE .8、如图,点C ,D 在线段BF 上,AB //DE ,AB =DF ,∠A =∠F .求证:BC =DE .答案:证明见解答.解答:∵AB //DE ,∴∠B =∠EDF .在△ABC 和△FDE 中,A F AB DF B EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABC ≌△FDE (ASA ),∴BC =DE .9、如图,已知等边三角形ABC ,延长BA 至点D ,延长AC 至点E ,使AD =CE ,连接CD ,BE .求证:△ACD ≌△CBE .答案:证明见解答.解答:∵等边三角形ABC ,∴BC =AC ,∠CAB =∠BCA =60°,∵∠DAC +∠CAB =∠BCA +∠ECB =180°,∴∠DAC =∠ECB ,在△ACD 和△CBE 中,AD CE DAC ECB BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△CBE (SAS ).10、已知:如图,E 是BC 上一点,AB =EC ,AB //CD ,BC =CD .求证:AC =ED .答案:证明见解答.解答:∵AB //CD ,∴∠B =∠DCE .在△ABC 和△ECD 中,AB EC B DCE BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△ECD .∴AC =ED .11、已知:如图,C 为BE 上一点,点A 、D 分别在BE 两侧,AB //ED ,AB =CE ,BC =ED . 求证:AC =CD .答案:证明见解答.解答:∵AB //ED (已知),∴∠B =∠E (两直线平行,内错角相等).在△ABC 和△CED 中,AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△CED (SAS ).∴AC =CD (全等三角形对应边相等).12、如图,∠C =∠E ,∠EAC =∠DAB ,AB =AD .求证:BC =DE .答案:证明见解答.解答:∵∠EAC =∠DAB ,∴∠EAC +∠BAE =∠DAB +∠BAE .即∠BAC =∠DAE .在△ABC 和△ADE 中,C E BAC DAE AB AD ∠∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.,∴△ABC ≌△ADE .∴BC =DE .13、如图,AC 与BD 交于点O ,OA =OC ,OB =OD .求证:DC //AB .答案:证明见解答.解答:在△AOB 和△COD 中,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.,∴△AOB ≌△COD (SAS ),∴∠A =∠C ,∴DC //AB .14、已知:如图,点A ,D ,C 在同一直线上,AB //EC ,AC =CE ,∠B =∠EDC . 求证:BC =DE .答案:证明见解答.解答:∵AB //EC ,∴∠A =∠DCE .在△ABC 和△CDE 中,B EDC A DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△CDE .∴BC =DE .15、已知线段AC 与BD 相交于点O ,连结AB 、DC ,E 为OB 的中点,F 为OC 的中点,连结EF (如图所示).若∠A =∠D ,∠OEF =∠OFE ,求证:AB =DC .答案:证明见解答.解答:∵∠OEF =∠OFE ,∴OE =OF ,∵E 为OB 的中点,F 为OC 的中点,∴OE =12OB ,OF =12OC ,∴OB =OC , 在△ABO 和△DCO 中,A D AOB DOC OB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AOB ≌△DOC (AAS ),∴AB =DC .16、如图,点A ,C ,D 在同一条直线上,BC 与AE 交于点F ,AE =AC ,AD =BC ,F A =FC .求证:∠B =∠D .答案:证明见解答.解答:∵F A =FC ,∴∠F AC =∠FCA .在△ABC 和△EDA 中,BC DA ACB EAD AC EA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△EDA .∴∠B =∠D .17、如图,AB ⊥AD ,AE ⊥AC ,∠E =∠C ,DE =BC .求证:AD =AB .答案:证明见解答.解答:∵AB ⊥AD ,AE ⊥AC ,∴∠EAC =∠DAB =90°,即∠EAD +∠DAC =∠CAB +∠DAC .∴∠EAD =∠CAB .在△ADE 和△ABC 中,E C EAD CAB DE BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADE ≌△ABC .∴AD =AB .18、已知:如图,C 是AE 的中点,∠B =∠D ,BC //DE .求证:AB =CD .答案:证明见解答.解答:∵C 是AE 的中点,∴AC =CE .______∵BC //DE ,∴∠ACB =∠E .在△ABC 和△CDE 中,B D ACB E AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE (AAS ).∴AB =CD .19、如图,点C ,F 在BE 上,BF =CE ,AB =DE ,∠B =∠E .求证:∠ACB =∠DFE .答案:证明见解答.解答:∵BF =CE ,∴BF +CF =CE +CF ,∴BC =EF ,在△ABC 和△DEF 中,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△DEF ,∴∠ACB =∠DFE .20、已知:如图,EC =AC ,∠BCE =∠DCA ,∠A =∠E .求证:BC =DC .答案:证明见解答.解答:∵∠BCE =∠DCA ,∴∠BCE +∠ACE =∠DCA +∠ACE .即∠ACB =∠ECD .在△ABC 和△EDC 中,ACB ECD AC ECA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABC ≌△EDC (ASA ).∴BC =DC .21、已知:如图,C 是AE 上一点,∠B =∠DAE ,BC //DE ,AC =DE ,求证:AB =DA .答案:证明见解答.解答:∵BC //DE ,∴∠ACB =∠DEA .在△ABC 和△DAE 中,B DAE ACB DEA AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△DAE .∴AB =DA .22、如图,点A ,B ,C ,D 在同一条直线上,AB =FC ,∠A =∠F ,∠EBC =∠FCB .求证:BE =CD .答案:证明见解答.解答:∵∠EBC =∠FCB ,∴∠ABE =∠FCD .在△ABE 与△FCD 中,A F AB FC ABF FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△ABE ≌△FCD (ASA ),∴BE =CD .23、如图,AD ⊥BC 于点D ,BE ⊥AC 于点E ,AD 与BE 相交于点F ,且BF =AC . 求证:DF =DC .答案:证明见解答.解答:∵AD ⊥BC 于D ,BE ⊥AC 于E ,∴∠BDF =∠ADC =∠BEC =90°,在Rt △BEC 和Rt △ADC 中,∠C =∠C ,∴∠B =∠A .在△BDF 和△ADC 中,BDF ADC B ABF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BDF ≌△ADC .∴DF =DC .24、已知:如图,B ,C ,E 三点在同一条直线上,AC //DE ,AC =CE ,∠B =∠D . 求证:△ABC ≌△CDE .答案:证明见解答.解答:∵AC //DE ,∴∠ACB =∠E在△ABC 和△CDE 中,ACB E B D AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABC ≌△CDE (AAS ).25、已知:如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC 上的一点,DA 平分∠EDC ,且∠E =∠B .求证:△ADE ≌△ADC .答案:证明见解答.解答:∵DA 平分∠EDC ,∴∠ADE =∠ADC .∵AB =AC ,∴∠B =∠C .又∵∠E =∠B ,∴∠E =∠C .又∵AD =AD ,∴△ADE ≌△ADC .。
三角形全等的判定ppt课件
知4-讲
1. 基本事实:两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
感悟新知
2. 书写格式:如图12 . 2-8, 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中, ∠ B= ∠ B′, BC=B′C′, ∠ C= ∠ C′, ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA).
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
感悟新知
知识点 1 基本事实“边边边”或“SSS”
知1-讲
1. 基本事实:三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成 “边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们:当三角形的三边确定后, 其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的 依据.
感悟新知
感悟新知
知5-练
例5 如图12.2-11,AB=AE,∠ 1= ∠ 2,∠ C= ∠ D. 求证:△ ABC ≌△ AED.
感悟新知
思路引导:
知5-练
感悟新知
知5-练
技巧点拨:判定两个三角形全等,可采用执果 索因的方法,即根据结论反推需要的条件. 如本 题还缺少∠ BAC= ∠ EAD,需利用已知条件∠ 1= ∠ 2 进行推导.
感悟新知
知2-练
③以点M′为圆心,以MN 长为半径作弧,在∠ BAC 内 部交②中所画的弧于点N′; ④过点N′作射线DN′交BC 于点E. 若∠ B=52°,∠C=83°,则∠ BDE= ___4_5_°__.
感悟新知
知识点 3 基本事实“边角边”或“SAS”
知3-讲
1. 基本事实:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
感悟新知
解:∵∠BAD=∠EAC, ∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD, 即∠BAC=∠EAD.
三角形全等的判定
三角形全等的判定三角形全等的判定类型之一:已知:如图,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE、AC=DF、BE=CF。
求证:△ABC≌△DEF。
类型之二:已知:如图,∠1=∠2,∠ABC=∠DCB。
求证:AB=DC。
ABC证明:类型之三:已知:在△ABC中,AD为BC边上的中线,CE⊥AD,BF⊥AD。
求证:CE=BF类型之四:综合已知:如图,AB=DE,BC=EF,CD=FA,∠A= ∠D。
求证:∠B= ∠E。
证明:1. 已知:如图,AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证:AF=DE。
证明:2. 已知:如图,△ABC中,D是BC的中点,∠1=∠2,求证:AB=AC。
AECDB1.如图两根长度相同的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面的木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?说明你的理由.审好题目相当于做对这道题的一半!所以,实际应用的题目一定要仔细审清题目,找出各个量之间的关系.本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系.“由长度相同的绳子”可知AB=AC,而要求的是木桩B、C与O之间的距离关系,即求证BO=CO.有了明确的已知、求证,剩下的就是纯粹的全等证明了.相等.证明:∵由题意AO⊥BC ∴∠AOB=∠AOC=90°∴Rt△AOB≌Rt△AOC(HL)∴BO=CO2.已知:如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求证:BE⊥AC。
本题考察“HL”公理的应用。
要证BE⊥AC,可∠1=90°,只需证∠2=∠C。
从而转化为证明它们所在的△BDF“HL”公理不难得证。
DCE证∠C+∠1=90°,而∠2+与△ADC全等,而这由证明:∵AD⊥BC∴∠BDA=∠ADC=90°∴∠1+∠2=90°在R t△BDF和Rt△ADC中BF ACFD CD∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)∴∠2=∠C∴∠1+∠C=90°∴∠BEC=90°∴BE⊥AC1. 已知:如图AC=BD,∠CAB=∠DBA。
齿轮公差
2.接触线误差△Fb: ——基圆柱的切平面内,平行于公称接触线
并包容实际接触线的两条直线间的法向距离。
是斜齿轮齿向误差和齿形误差的综合反映。
3.轴向齿距偏差△Fpx: ——在与齿轮基准轴线平行而大约通过齿高 中部的一条直线上,任意两个同侧齿面间的实 际距离与公称距离之差。 用于宽斜齿轮,反映斜齿轮的螺旋角误差。 原因:滚齿机差动链的调整误差、齿坯端面 跳动、进刀导轨的偏斜。
将算出的齿厚上、下偏差分别除以齿距极限 偏差fpt,再按所得的商值从上图中选取适当的齿 厚偏差代号。
国标规定,当计算所得的数值不能正好以14 种偏差代号表示时,允许另行规定,在图样上 直接标注齿厚极限偏差的数值。
当所传递的功率不特别大时(中、轻载), 第Ⅲ公差组一般采用和第Ⅱ公差组相同的精度 等级;
重载齿轮传动则第Ⅲ公差组的精度等级宜高 于第Ⅱ公差组的精度等级。
二、齿轮副侧隙的规定 齿轮副的最小极限侧隙jnmin应根据齿轮工作 时的温度和润滑条件确定,与齿轮的精度等级 无关。 高温工作的传动齿轮,为保证正常润滑,避 免发热卡死,要求有较大的侧隙;而需正反转 或读数机构的齿轮,为避免空程,则要求较小 的侧隙。
直齿轮 斜齿轮 人字齿轮
2、主要参数
齿顶高 齿根高
齿距P
齿顶圆da——通过 齿轮各齿顶的圆。
齿根圆df——通过 齿轮各齿根的圆。
分度圆d——在齿 顶圆与齿根圆之间 的一假想圆,该圆 上齿厚S(弧长)和 齿槽宽e(弧长)相 等。
齿顶高ha :齿顶圆和分度圆的半径之差叫齿顶 高。
齿根高hf :分度圆和齿根圆的半径之差叫齿根 高。
互换性与质量 控制基础
(7)
圆柱齿轮公差与测量
本章内容: 概述 齿轮误差的评定指标和测量 齿轮精度、侧隙的规定及检测
圆柱齿轮的公差及精度等级
4、侧隙 ---指齿侧间隙,工作时非工作齿廓间形成
的间隙。
侧隙作用:
1、储存润滑油;
2、补偿热变形。 防止齿轮工作中 卡死。
return
三、齿轮的精度检测指标、侧隙指标
1、传递运动的准确性△FP ★ 2、传动的平稳性 △fPt ★ △Fa ★ 3、载荷分布的均匀性 △Fb ★
4、侧 隙 △Esn ★ △Ebn ★
端面、齿顶
圆柱面
0.2~0.1 0.4~0.2 0.8~0.4 0.8~0.4 1.6~0.8 3.2~1.6 ≤ 3.2
≤ 3.2
齿轮的三项精度等级不同时,按最高精度等级确定。
return
齿轮中心距极限偏差±f a (GB/T 10095-88) μm
齿轮精度等级 fa 30<a≤50
1~2 0.5IT4
2. 轴线平行度偏差△f b 、△fd
平行度合格条件:
△f b ≤ f b △fd ≤ fd
f b—轴线垂直平面平行度公差 f b= 0.5(L / b)Fb
f d—轴线平面内的平行度公差 f d =2 f b
五、图样上齿轮精度等级的标注 8 – 8 - 7 GB/T 10095.1
载荷分布均匀性精度等级 传动平稳性精度等级 传递运动准确性精度等级
2< mn≤3.5 3.5< mn≤6
2.3 3.2 4.6 6.5 9 13 18 26 36 51 2.5 3.5 5 7 10 14 20 28 40 56
6<mn≤10 2.8 4 5.5 8 11 16 23 32 45 64
齿廓总公差Fα (GB/T10095.1-2001)
分度圆直 法向模数
四、齿轮坯精度、中心距偏差、轴线平行度→★
沪科版八年级上册数学课件(第14章 全等三角形)
所以△ADE≌△AFE,所以∠DAE=∠FAE.
因为∠BAF=56°,∠BAD=90°,所以
∠DAF=90°-∠BAF=90°-56°=34°,
所以∠DAE= 1 ∠DAF= 1 ×34°=17°.
2
2
总结
解决折叠问题的关键是弄清在折叠 过程中发生的是全等变换,即折叠前后 的两个图形(本例是三角形)全等,其折 叠前后的对应边相等,对应角相等.类 似地,还有平移和旋转问题.在此过程 中,往往产生了全等三角形,然后根据 全等三角形的性质解题.
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第1课时 两边及其夹角分别 相等的两个三角形
1 课堂讲解 判定两三角形全等的基本事实:边角边
全等三角形判定“边角边”的简单应用
2 课时流程
逐点 导讲练
知3-讲
解:∵Rt△ABC≌Rt△CDE, ∴∠BAC=∠DCE. 又∵在Rt△ABC中,∠B=90°, ∴∠ACB+∠BAC=90°. ∴∠ACB+∠ECD=90°. ∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠ECD) =180°-90°=90°.
总结
(1)利用全等三角形的性质求角的度数的方法: 利用全等三角形的性质先确定两个三角形中角 的对应关系,由这种关系实现已知角和未知角 之间的转换,从而求出所要求的角的度数.
总结
两种解法的入手点分别是“同底等高、等底 等高的三角形面积相等”,这一结论要结合具体 图形理解.如图,l1∥l2,点A,B,F在l1上, AB =BF,点C,D,E是l2上任取的点,则根据上述 结论,知S△ABC=S△ABD=S△BFE.
知3-讲
知3-练
1 若△ABC与△DEF全等,点A和点E,点B和点D
知1-讲
等腰直角三角形
11等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:稳定性,两直角边相等直角边夹亦直角锐角45,斜边上中线角平分线垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,那么设内切圆的半径r为1,则外接圆的半径R就为(根号2加1),所以r:R=1:(根号2加1)。
目录1关系2线段3解三角形4勾股定理5证明方法6定理7相关定理8梅涅劳斯9特殊等腰高:顶点到对边垂足的连线。
角平分线;顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
中位线:任意两边中点的连线。
3解三角形在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有(1)正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)(2)余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA cosA=c^2+b^2-a^2/2cbb^2=a^2+c^2-2ac*CosB cosB=a^2+c^2-b^2/2acc^2=a^2+b^2-2ab*CosC cosC=a^2+b^2-c^2/2ab4勾股定理如果直角三角形两直角边分别为A,B,斜边为C,那么 A^2+B^2=C^2;;即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果三角形的三条边A,B,C 满足A^2+B^2=C^2;,还有变形公式:AB=根号(AC^2+BC^2),如:一条直角边是a,另一条直角边是b,如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。
(称勾股定理的逆定理)5证明方法证法1作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED,∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c,∴ AB EG是一个边长为c的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°即∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则a^2+b^2=c^2证法2作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC,交AC于点P.过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N.∵ ∠BCA = 90°,QP∥BC,∴ ∠MPC = 90°,∵ BM⊥PQ,∴ ∠BMP = 90°,∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°,∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,∴ ∠QBM = ∠ABC,又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2证法3作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,∴FI=a,∴G,I,J在同一直线上,∵CJ=CF=a,CB=CD=c,∠CJB = ∠CFD = 90°,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°,∴G,B,I,J在同一直线上,a^2+b^2=c^2证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B 三点在一条直线上,连结BF、CD. 过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵ AF = AC,AB = AD,∠FAB = ∠GAD,∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,∵ ΔFAB的面积等于,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证,矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即a^2+b^2=c^2证法5(欧几里得的证法)《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
中考数学必会几何模型-半角模型
半角模型已知如图:①∠2=12∠AOB;②OA=OB.OABEF123连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE,可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′,∴∠3=∠4,OF=OF′.∴∠2=12∠AOB,∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE是公共边,∴△OEF≌△OEF′.(1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点;(2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系;(3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°.模型实例例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.(1)求证:BM+DN=MN.(2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB.证明:(1)延长ND 到E ,使DE=BM ,∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB . 在△ADE 和△ABM 中, ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD∴△ADE ≌△ABM .∴AE=AM ,∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°. 在△AMN 和△AEN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A∴△AMN ≌△AEN . ∴MN=EN .∴BM+DN=DE+DN=EN=MN .(2)由(1)知,△AMN ≌△AEN . ∴S △AMN =S △AEN .即EN AD 21MN AH 21⋅=⋅.又∵MN=EN , ∴AH=AD . 即AH=AB .例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在线段AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系.(1)如图①,当DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是_______________;(2)如图②,当DM≠DN时,猜想(1)问的结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明.图①图②解答(1)BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN.(2)猜想:BM+NC=MN.证明:如图③,延长AC至E,使CE=BM,连接DE.∵BD=CD,且∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°.又∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∴∠MBD=∠NCD=90°.在△MBD与△ECD中,∵DB=DC,∠DBM=∠DCE=90°,BM=CE,∴△MBD≌△ECD(SAS).∴DM=DE,∠BDM=∠CDE.∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°.在△MDN和△EDN中,∵MD=ED,∠MDN=∠EDN=60°,DN=DN,∴△MDN≌△EDN(SAS).∴MN=NE=NC+CE=NC+BM.图③例3 如图,在四边形ABCD 中,∠B+∠ADC=180°,AB=AD ,E 、F 分别是BC 、CD 延 长线上的点,且∠EAF=21∠BAD .求证:EF=BE-FD .证明:在BE 上截取BG ,使BG=DF ,连接AG . ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADF .在△ABG 和△ADF 中, ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB∴△ABG ≌△ADF (SAS ). ∴∠BAG=∠DAF ,AG=AF . ∴∠GAF=∠BAD .∴∠EAF=21∠BAD=21∠GAF . ∴∠GAE=∠EAF . 在△AEG 和△AEF 中, ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△AEG ≌△AEF (SAS ). ∴EG=EF .∵EG=BE-BG , ∴EF=BE-FD .跟踪练习:1.已知,正方形ABCD ,M 在CB 延长线上,N 在DC 延长线上,∠MAN=45°. 求证:MN=DN-BM .【答案】证明:如图,在DN 上截取DE=MB ,连接AE , ∵四边形ABCD 是正方形, ∴AD=AB ,∠D=∠ABC=90°. 在△ABM 和△ADE 中, ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD∴△ABM ≌△ADE .∴AM=AE , ∠MAB=∠EAD . ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN , ∴∠DAE+∠BAN=45°. ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN . 在△AMN 和△AEN 中, ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN M AN AE AM∴MN=EN.∵DN-DE=EN.∴DN-BM=MN.2.已知,如图①在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°,探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连接E′D使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决以下问题:(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式,并对你的猜想给予证明;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动到线段CB延长线上时,如图②,其他条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.图①图②【答案】解答:(1)猜想:DE2=BD2+EC2.证明:将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,如图①∴△ACE≌△ABE′.∴BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB.在Rt△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∴∠ABC+∠ABE′=90°,即∠E′BD=90°.∴E′B2+BD2=E′D2.又∵∠DAE=45°,∴∠BAD+∠EAC=45°.∴∠E′AB+∠BAD=45°,即∠E′AD=45°.∴DE=D E′.∴DE2=BD2+EC2.图①(2)结论:关系式DE2=BD2+EC2仍然成立.证明:作∠FAD=∠BAD,且截取AF=AB,连接DF,连接FE,如图②∴△AFD≌△ABD.∴FD=DB,∠AFD=∠ABD.又∵AB=AC,∴AF=AC.∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-(∠DAE-∠DAB )=90°-(45°-∠DAB)=45°+∠DAB,∴∠FAE=∠CAE.又∵AE=AE,∴△AFE≌△ACE.∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°.∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°.∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°.在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2.即DE2=BD2+EC2.图②3.已知,在等边△ABC中,点O是边AC、BC的垂直平分线的交点,M、N分别在直线AC、BC上,且∠MON=60°.(1)如图①,当CM=CN时,M、N分别在边AC、BC上时,请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系;(2)如图②,当CM≠CN时,M、N分别在边AC、BC上时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请你加以证明;若不成立,请说明理由;(3)如图③,当点M在边AC上,点N在BC的延长线上时,请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系.图①图②图③【答案】结论:(1)AM=CN+MN;如图①图①(2)成立;证明:如图②,在AC上截取AE=CN,连接OE、OA、OC.∵O是边AC、BC垂直平分线的交点,且△ABC为等边三角形,∴OA=OC,∠OAE=∠OCN=30°,∠AOC=120°.又∵AE=CN,∴△OAE≌△OCN.∴OE=ON,∠AOE=∠CON.∴∠EON=∠AOC=120°.∵∠MON=60°,∴∠MOE=∠MON=60°.∴△MOE≌△MON.∴ME=MN.∴AM=AE+ME=CN+MN.图②(3)如图③,AM=MN-CN.图③4.如图,在四边形ABCD 中,∠B+∠D=180°,AB=AD ,E 、F 分别是线段BC 、CD 上的 点,且BE+FD=EF .求证:∠EAF=21∠BAD .【答案】证明:如图,把△ADF 绕点A 顺时针旋转∠DAB 的度数得到△ABG ,AD 旋转到AB ,AF 旋转到AG ,∴AG=AF ,BG=DF ,∠ABG=∠D ,∠BAG=∠DAF . ∵∠ABC+∠D=180°, ∴∠ABC+∠ABG=180°. ∴点G 、B 、C 共线. ∵BE+FD=EF , ∴BE+BG=GE=EF . 在△AEG 和△AEF 中, ⎪⎩⎪⎨⎧===EF EG AE AE AF AG ∴△AEG ≌△AEF . ∴∠EAG=∠EAF .∴∠EAB+∠BAG=∠EAF . 又∵∠BAG=∠DAF ,∴∠EAB+∠DAF=∠EAF . ∴∠EAF=21∠BAD .5.如图①,已知四边形ABCD ,∠EAF 的两边分别与DC 的延长线交于点F ,与CB 的延长线交于点E ,连接EF . (1)若四边形ABCD 为正方形,当∠EAF =45°时,EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系?(只需直接写出结论)(2)如图②,如果四边形ABCD 中,AB =AD ,∠ABC 与∠ADC 互补,当∠EAF =12∠BAD 时,EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系?请写出结论并证明.(3)在(2)中,若BC =4,DC =7,CF =2,求△CEF 的周长(直接写出结论)解答:(1)EF=DF-BE (2)EF=DF-BE证明:如图,在DF 上截取DM=BE ,连接AM , ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180° ∵D=ABE ∵AD=AB在△ADM 和△ABE 中,DM BE D ABE AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△ABE∴AM=AE ,∠DAM=∠BAE ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=12∠BAD ,11∴∠DAM+∠BAF=12∠BAD ∴∠MAF=12∠BAD ∴∠EAF=∠MAF在△EAF 和△MAF 中AE AM EAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△MAF∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE ,∴EF=DF-BE(3)∵EF=DF-BE∴△CEF 的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15。
专题20 半角模型(解析版)
中考常考几何模型专题20 半角模型倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=21∠AOB ;(2)OA=OB 。
如图②:连接 FB ,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。
模型精练1.(2019秋•九龙坡区校级月考)如图.在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180°,AB =AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =12∠BAD ,求证:EF =BE ﹣FD .2.(2020•锦州模拟)问题情境:已知,在等边△ABC中,∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O,点M、N 分别在直线AC,AB上,且∠MON=60°,猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系.方法感悟:小芳的思考过程是在CM上取一点,构造全等三角形,从而解决问题;小丽的思考过程是在AB取一点,构造全等三角形,从而解决问题;问题解决:(1)如图1,M、N分别在边AC,AB上时,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明;(2)如图2,M在边AC上,点N在BA的延长线上时,请你在图2中补全图形,标出相应字母,探索CM、MN、AN三者之间的数量关系,并证明.3.(2020•章丘区模拟)如图,在正方形ABCD中,M、N分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终∠MAN=45°.(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时,请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系;(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,若CN=CD=6,设BD与AM的延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长.4.(2019•麒麟区模拟)已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N,AH⊥MN于点H.(1)如图①,当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时,请你直接写出AH 与AB 的数量关系: ; (2)如图②,当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时,(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图③,已知∠MAN =45°,AH ⊥MN 于点H ,且MH =2,NH =3,求AH 的长.(可利用(2)得到的结论)5.(2019秋•东台市期末)在等边△ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ,D 为△ABC 外一点,且∠MDN =60°,∠BDC =120°,BD =DC .探究:当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系及△AMN 的周长Q 与等边△ABC 的周长L 的关系.(1)如图1,当点M 、N 边AB 、AC 上,且DM =DN 时,BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ;此时Q L= ;(2)如图2,点M 、N 在边AB 、AC 上,且当DM ≠DN 时,猜想( I )问的两个结论还成立吗?若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由.(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?并给出证明.6.请阅读下列材料:已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE =45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明;(3)已知:如图(3),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数.7.(2019•夏津县二模)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=45度.则有结论EF=BE+FD成立;(1)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC,CD上的点,且∠EAF 是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请说明理由.(2)若将(1)中的条件改为:如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;不成立,请写出它们的数量关系并证明.8.(1)如图1,将∠EAF绕着正方形ABCD的顶点A顺时针旋转,∠EAF的两边交BC于E,交CD于F,连接EF.若∠EAF=45°,BE、DF的长度是方程x2﹣5x+6=0的两根,请直接写出EF的长;(2)如图2,将∠EAF绕着四边形ABCD的顶点A顺时针旋转,∠EAF的两边交CB的延长线于E,交DC的延长线于F,连接EF.若AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,∠EAF=12∠BAD,请直接写出EF与DF、BE之间的数量关系,并证明你的结论;(3)在(2)的前提下,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长.①EF的长为:;②数量关系:.中考常考几何模型专题20 半角模型倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=21∠AOB ;(2)OA=OB 。
中考数学考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之七大模型
2.(2020·台州)如图,已知 AB=AC,AD=AE,BD 和 CE 相交于点 O. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)判断△BOC 的形状,并说明理由.
(1)证明:∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS).
(2)解:△BOC 是等腰三角形, 理由: ∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴ ∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE, ∴∠OBC=∠OCB,∴BO=CO,∴△BOC 是等腰三角形.
7.(2020·徐州)如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE 与 BD 交 于点 F. (1)求证:AE=BD; (2)求∠AFD 的度数.
(1)证明:∵AC⊥BC,DC⊥EC, ∴∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠ACE=∠BCD.
AC=BC, 在△ACE 和△BCD 中,∠ACE=∠BCD,
模型四:三垂直模型(弦图模型) 【模型归纳】 (1)“内弦图”模型及其演变
在正方形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别在边 AB,BC,CD,AD 上,且 HE⊥EF, GF⊥EF, HG⊥FG,BE=CF=DG=AH.
(2)“外弦图”模型及其演变
4.(2020·南充)如图,点 C 在线段 BD 上,且 AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE, BC=DE.求证:AB=CD.
5.( 2021·丹阳市二模)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,点 E 为对角 线 BD 上一点,∠A=∠BEC,且 AD=BE. (1)求证:AD+DE=BC ; (2)若∠BDC=70°,求∠ADB 的度数﹒
(1)证明:∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBE,
∠A=∠BEC,
《直角三角形》PPT课件赏析
(1)作线段CB=a,
(2)过点C,作MC⊥CB.
M A
(3)以B为圆心,c为半径画弧,交CM于点A,
(4)连接AB.
C
B
画法:1.画∠MCN=90 °. 2.在射线CM上取CB=a. 3.以B为圆心,c为半径画弧, 交射线CN于点A.
a
c
N A c
4.连结AB . △ABC就是所要画的直角三角形. M B a C
角三角形.
A
D
B
C
观察与思考
在一张半透明的纸上画出Rt△ABC”表示,如图所示;
A
将∠B折叠,使点B与点C重合,
折痕为EF,沿BE画出虚线EF,
E
如图所示;
C
(B)
F
将纸展开,如图所示; BB
A E
C
F
B
我们发现:CE__=__AE__=__EB.即CE是AB的中线且CE=
1 2
AB.
下面我们就来证明这个“发现”.
∴可得到:∠C=90°,△ABC为直角三角形. 直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三
角形.
练一练 1.为已知△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3.那么
这个三角形是__直__角__三__角__形____.
2.四边形ABCD是长方形,连接AC,BD,找出图中所有的直
证明:在△ABC和△A′B′C′中, ∵∠C=90°,∠C′=90°,
A A'
∴BC2=AB2-AC2, B′C′2=A′B′2-A′C′2(勾股定理).
∵AB=A′B′,AC=A′C′,∴BC=B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
B
C C'
(部编版)2020年中考数学试题分项版解析汇编第期专题10四边形含解析0
专题10 四边形一、选择题1.(2017浙江衢州第8题)如图,在直角坐标系中,点A 在函数)0(4>=x xy 的图象上,AB ⊥x 轴于点B ,AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ,与函数)0(4>=x xy 的图象交于点D 。
连结AC ,CB ,BD ,DA ,则四边形ACBD 的面积等于( )A. 2B. 32C. 4D. 34 【答案】C . 【解析】试题解析:设A (a ,4a ),可求出D (2a ,2a), ∵AB ⊥CD , ∴S 四边形ACBD =12AB•CD=12×2a×4a=4, 故选C .考点:反比例函数系数k 的几何意义.2.(2017浙江衢州第9题)如图,矩形纸片ABCD 中,A B=4,BC=6,将△ABC 沿AC 折叠,使点B 落在点E 处,CE 交AD 于点F ,则DF 的长等于( )A.53 B. 35 C. 37 D. 45 【答案】B . 【解析】试题解析: ∵矩形ABCD 沿对角线AC 对折,使△ABC 落在△ACE 的位置, ∴AE=AB ,∠E=∠B=90°, 又∵四边形ABCD 为矩形, ∴AB=CD , ∴AE=DC , 而∠AFE=∠DFC , ∵在△AEF 与△CDF 中,AFE CFD E DAE CD ⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AEF ≌△CDF (AAS ), ∴EF=DF ;∵四边形ABCD 为矩形, ∴AD=BC=6,CD=AB=4, ∵Rt △AEF ≌Rt △CDF , ∴FC=FA ,设FA=x ,则FC=x ,FD=6﹣x ,在Rt △CDF 中,CF 2=CD 2+DF 2,即x 2=42+(6﹣x )2,解得x=133, 则FD=6﹣x=53. 故选B .考点:1.矩形的性质;2.折叠问题.3.(2017山东德州第11题)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD 边长为a ,小正方形CEFG 边长为b(a >b),M 在边BC 上,且BM=b ,连AM ,MF ,MF 交CG 于点P ,将△ABM 绕点A 旋转至△ADN ,将△MEF 绕点F 旋转至△NGF 。
1.3探索三角形全等的条件(6)(分层练习)解析版
1.3 探索三角形全等的条件(6)分层练习1.图中是全等的三角形是()A.甲和乙B.乙和丁C.甲和丙D.甲和丁【答案】B【分析】比较三条边的长度一致的就是全等三角形.【详解】解:比较三角形的三边长度,发现乙和丁的长度完全一样,即为全等三角形,故选:B.2.将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是()A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【答案】A【分析】根据三根木条即为三角形的三边长,利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得.【详解】解:三根木条即为三角形的三边长,即为利用SSS确定三角形,故选:A.3.如图,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE=BE;④BF=BE,可利用的是()A.①或②B.②或③C.①或③D.①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可.【详解】解:∵AE=FB,∴AE+BE=FB+BE,∴AB=FE,在△ABC和△FED中,AC=FDBC=ED,AB=FE∴△ABC≌△FED(SSS),∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE,∴可利用的是①或②,故选:A.4.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,则下列结论中:①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C;③AD平分∠BAC;④AD⊥BC,其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【分析】由D为BC中点可得BD=CD,利用SSS即可证明△ABD≌△ACD,根据全等三角形的性质逐一判断即可.【详解】∵D为BC的中点,∴BD=CD,又∵AB=AC,AD为公共边∴△ABD≌△ACD(SSS),故①正确,∴∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC,∵∠ADB+∠ADC=180°,∴∠ADB=∠ADC=90°,即AD⊥BC,故②③④正确.综上所述:正确的结论有①②③④共4个,故选D.【答案】3【分析】根据已知利用全等三角形的判定方法SSS得出全等三角形即可.【详解】解:全等三角形共有3对,△ACE≅△ADE,△ACB≅△ADB,△ECB≅△EDB,理由:在△ECB和△EDB中EB=EBEC=ED,BC=BD∴△ECB≅△EDB(SSS),在△ACE和△ADE中AC=ADAE=AE,EC=ED∴△ACE≅△ADE(SSS),在△ACB和△ADB中AB=ABAC=AD,BC=BD∴△ACB≅△ADB(SSS).故答案为:3.8.如图,点E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,试说明:点O是AC的中点.请你在横线上补充其推理过程或理由.解:因为BF=DE,所以BF―EF=DE―EF,因为AB=CD,AE=CF,所以_______________(理由:SSS)所以∠B=∠D(理由:_________________)因为∠AOB=∠COD(理由:_________________)所以△ABO≌△CDO所以__________________(理由:全等三角形对应边相等)所以点O是AC中点.【答案】△ABE≌△CDF,全等三角形对应角相等,对顶角相等,AO=CO【分析】由“SSS”可证△ABE≌△CDF,可得∠B=∠D,由“AAS”可证△ABO≌△CDO,可得AO=CO,即可求解.【详解】解:因为BF=DE,所以BF―EF=DE―EF,因为AB=CD,AE=CF,所以△ABE≌△CDF(理由:SSS),所以∠B=∠D(理由:全等三角形对应角相等),因为∠AOB=∠COD(理由:对顶角相等),所以△ABO≌△CDO,所以AO=CO(理由:全等三角形对应边相等),所以点O是AC中点,故答案为:△ABE≌△CDF,全等三角形对应角相等,对顶角相等,AO=CO.9.如图,AB=AD,BC=CD,AC、BD相交于E,由这些条件可以得到若干结论,请你写出其中3个正确结论(不要添加字母和辅助线,并对其中一个给出证明)结论1:结论2:结论3:证明:【答案】结论1:△ABC≌△ADC结论2:∠BCA=∠DCA结论3:AC平分∠BAD证明结论3,见详解【分析】结合题意,得出三个结论;利用“SSS”证明△ABC≌△ADC,由全等三角形的性质即可证明AC平分∠BAD.【详解】结论1:△ABC≌△ADC结论2:∠BCA=∠DCA结论3:AC平分∠BAD证明结论3:在△ABC和△ADC中,AB=ADAC=ACCB=CD,∴△ABC≌△ADC(SSS),∴∠BAC=∠DAC,即AC平分∠BAD.10.如图,AD=CB,E,F是AC上两动点,且有DE=BF(1)若E,F运动如图①所示的位置,且有AF=CE,求证:△ADE≌△CBF;(2)若E,F运动如图②所示的位置,仍有AF=CE,那么△ADE≌△CBF还成立吗?为什么?(3)若E,F不重合,AD和CB平行吗?说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)成立,证明详见解析;(3)AD与CB不一定平行,理由详见解析.【分析】(1)根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF,即AE=CF,利用SSS即可证明△ADE≌△CBF;(2)根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF,即AE=CF,利用SSS即可证明△ADE≌△CBF;(3)根据已知两个条件,不能判定△ADE≌△CBF,不能确定∠A=∠C,即可得AD和CB不一定平行.【详解】(1)∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF,在△ADE和△CBF中AD=CB DE=BF AE=CF,∴△ADE≌△CBF.(2)成立.理由如下:∵AF=CE,∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF,在△ADE和△CBF中AD=CB DE=BF AE=CF,∴△ADE≌△CBF.(3)AD与CB不一定平行,理由如下:∵只给了两组对应相等的边,∴不能判定△ADE≌△CBF,∴不能判定∠A与∠C的大小关系,∴AD与CB不一定平行.11.中国现役的第五代隐形战斗机歼—20的机翼如图,为适应空气动力的要求,两个翼角∠A,∠B必须相等. 制造中,工作人员只需用刻度尺测量PA=PB,CA=CB就能满足要求,说明理由.【分析】连接PC,证明△APC≌△BPC(SSS)即可证明∠A=∠B;【详解】解:如图所示,连接PC,∵PA=PB,PC=PC,AC=BC,∴△APC≌△BPC(SSS),∴∠A=∠B;12.如图,在四边形ABCD中,CB⊥AB于点B,CD⊥AD于点D,点E,F分别在AB,AD上,AE AF=,CE=CF.若AE=8,CD=6,求四边形AECF的面积.【答案】)8【分析】连接AC ,证明△ACE ≌△ACF ,则S △ACE =S △ACF ,根据三角形面积公式求得S △ACF 与S △ACE ,根据S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE 求解即可;【详解】解:连接AC ,如图,在△ACE 和△ACF 中AE =AF CE =CF AC =AC∴△ACE ≌△ACF (SSS ).∴S △ACE =S △ACF ,∠FAC =∠EAC .∵CB ⊥AB ,CD ⊥AD ,∴CD =CB =6.∴S △ACF =S △ACE =12AE ·CB =12×8×6=24.∴S 四边形AECF =S △ACF +S △ACE =24+24=48.(1)【旧题重现】《学习与评价》19P 有这样一道习题:如图①,AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的BC 、B C ¢¢边上的中线,AD A D ¢¢=,AB =A ′B ′,BC =B ′C ′.求证:△ABC≌△A ′B ′C ′.证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格..(2)【深入研究】如图②,AD 、A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的BC 、B C ¢¢边上的中线,AD A D ¢¢=,AB =A ′B ′,AC =A ′C ′.判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否仍然全等.(3)【类比思考】下列命题中是真命题的是 .(填写相应的序号)①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等;②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等;④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等;⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等.【答案】(1)①BD =12BC ;②B ′D ′=12B ′C ′;③AD =A ′D ′;④∠B =∠B ′(2)全等,见解析(3)①②③⑤【分析】(1)根据三角形中线的定义及全等三角形的判定与性质可得出答案;(2)延长AD 至E ,使DE =AD ,连接BE ,延长A ′D ′至E ′,使D ′E ′=A ′D ′,连接B ′E ′.证明△ADC≌△EDB(SAS ).由全等三角形的性质得出AC =EB ,∠DAC =∠E ,同理A ′C ′=E ′B ′,∠D ′A ′C ′=∠E ′.证明△ABE≌△A ′B ′E ′(SSS ).得出∠BAE =∠B ′A ′E ′,∠E =∠E ′.则可证明△ABC≌△A ′B ′C ′(SAS );(3)根据全等三角形的判定方法可得出结论.【详解】(1)证明:∵AD 是△ABC 的中线,∴BD =12BC ,∵A ′D ′分别是△A ′B ′C ′的中线,∴B ′D ′=12B ′C ′,∵BC =B ′C ′,∴BD =B ′D ′,在△ABD 和△A ′B ′D ′中,BD =B ′D ′AD =A ′D ′AB =A ′B ′,∴△ABD≌△A ′B ′D ′(SSS ),∴∠B =∠B ′,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,AB =A ′B ′∠B =∠B ′BC =B ′C ′,∴△ABC≌△A ′B ′C ′(SAS ).故答案为:①BD =12BC ;②B ′D ′=12B ′C ′;③AD =A ′D ′;④∠B =∠B ′;(2)解:△ABC 与△A ′B ′C ′仍然全等,理由如下:延长AD 至E ,使DE =AD ,连接BE ,延长A ′D ′至E ′,使D ′E ′=A ′D ′,连接B ′E ′.∵AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的BC 和B ′C ′边上的中线,∴BD =CD ,B ′D ′=C ′D ′.在△ADC 和△EDB 中,AD =DE ∠ADC =∠BDE BD =CD,∴△ADC≌△EDB(SAS ).∴AC=EB,∠DAC=∠E,同理A′C′=E′B′,∠D′A′C′=∠E′.∵AC=A′C′,∴EB=E′B′.∵AD=A′D′,AD=DE,A′D′=D′E′,∴AE=A′E′.∵AB=A′B′,∴△ABE≌△A′B′E′(SSS).∴∠BAE=∠B′A′E′,∠E=∠E′.∴∠DAC=∠D′A′C′.∴∠BAC=∠B′A′C′,又AB=A′B′,AC=A′C′,∴△ABC≌△A′B′C′(SAS),(3)①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等,正确,符合题意;②一边和这条边上的中线以及高分别相等的两个三角形全等,正确,符合题意;③斜边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等,正确,符合题意;④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等,说法错误,如图,在△ABC与△AB C′中,AB=AB,AC=A C′,高AD相同,但是△ABC与△AB C′不全等.故④不符合题意;⑤底边和一腰上的中线分别相等的两个等腰三角形全等,正确,符合题意.故答案为:①②③⑤.(初步探索)(1)如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是:延长FD 到点G,使DG=BE.连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是___________;(灵活运用)(2)如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC、CD上的点,且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.【答案】(1)∠BAE+∠FAD=∠EAF,证明见解析(2)成立,理由见解析【分析】(1)如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,得到∠BAE=∠DAG,AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,得到∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF 即可;(2)同(1)证明即可.【详解】(1)解:∠BAE+∠FAD=∠EAF.理由如下:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B=∠ADC=90°,∴∠ADG=∠B=90°,∵DG=BE,AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD,DG=BE,∴EF=DG+FD=GF,又∵AE=AG,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF.故答案为:∠BAE+∠FAD=∠EAF;(2)解:如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,又∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SSS),∴∠EAF=∠GAF =∠DAG+∠DAF =∠BAE+∠DAF.。
故障录波识图基础及典故故障波形分析方法
故障录波识图基础及典故故障波形分析方法一、故障录波识图基础知识析录波图的基本方法大体分为下面四个步骤:1、当我们拿到一张录波图后,首先要通过电力系统复合序网所学的知识(查看公众号好干货分享C3文章学习电力系统故障分析基础知识)大致判断系统发生了什么故障,故障持续了多长时间。
2、以某一相电压或电流的过零点为相位基准,查看故障前电流电压相位关系是否正确,是否为正相序?负荷角为多少度?3、以故障相电压或电流的过零点为相位基准,确定故障态各相电流电压的相位关系。
(注意选取相位基准时应躲开故障初始及故障结束部分,因为这两个区间一是非周期分量较大,二是电压电流夹角由负荷角转换为线路阻抗角跳跃较大,容易造成错误分析)4、绘制向量图,进行分析。
下面我们来给大家讲一讲如何查看打印版的故障录波波形(当然用录波分析软件CAAP2008X【关注公众号可留言索取录波分析软件及详细使用说明书】分析电子档波形文件更为方便)A、读取事件发生的准确时间(看如下波形)故障持续时间: 故障持续时间为从电流开始变大或电压开始减低开始到故障电流消失或电压恢复正常的时间,如图所示的A 段,故障持续时间为60ms。
保护动作时间: 保护动作时间是从故障开始到保护出口的时间,即从电流开始变大或电压开始降低,到保护输出触点闭合的时间,如图所示的B 段,保护动作最快时间为15ms。
断路器跳闸时间: 断路器跳闸时间是从保护输出触点闭合到故障电流消失的时间。
如图所示C 段,断路器跳闸时间为45ms。
一般不用断路器位置触点闭合或返回信号。
保护返回时间: 保护返回时间是指故障电流消失时刻到保护输出触点断开的时间,如图所示D 段,保护返回时间为30ms。
重合闸装置出口动作时间: 重合闸装置出口动作时间是从故障消失开始计时到发出重合命令( 重合闸触点闭合) 的时间,如图所示E 段。
图中重合闸动作时间为862ms。
断路器合闸动作时间: 断路器合闸时间是从重合闸输出触点闭合到再次出现负荷电流的时间。
三角形中“飞镖”模型-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(人教版)(解析版)
重难点:三角形中“飞镖”模型【知识梳理】飞镖模型三角形三个内角的和等于180°三角形的外角等子与它不相邻的两个内角的和.【考点剖析】一.选择题(共4小题)1.(2022春•龙岗区校级期中)如图,△ABC内有一点D,且DA=DB=DC,若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC的大小是()A.100°B.80°C.70°D.50°【分析】如果延长BD交AC于E,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得∠BDC=∠DEC+∠ECD,∠DEC=∠ABE+∠BAE,所以∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD,又DA=DB=DC,根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE=∠DAB=20°,∠ECD=∠DAC=30°,进而得出结果.【解答】解:延长BD交AC于E.∵DA=DB=DC,∴∠ABE=∠DAB=20°,∠ECD=∠DAC=30°.又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°,∠BDC=∠DEC+∠ECD,∠DEC=∠ABE+∠BAE,∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°.故选:A.【点评】本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质,解答的关键是沟通外角和内角的关系.2.(2021春•盐湖区校级期末)如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠A=37°,∠B的度数是()A.33°B.23°C.27°D.37°【分析】延长CD交AB于E,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠1,再利用【解答】解:如图,延长CD交AB于E,∵∠C=38°,∠A=37°,∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°,∵∠BDC=98°,∴∠B=∠BDC﹣∠1=98°﹣75°=23°.故选:B.【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质是解题的关键.3.(2021秋•藁城区校级月考)如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠B=23°,∠A的度数是()A.61°B.60°C.37°D.39°【分析】作直线AD,根据三角形的外角性质可得:∠3=∠B+∠1,∠4=∠C+∠2,从而推出∠BAC=∠1+∠2=∠3+∠4﹣∠B﹣∠D=37°.【解答】解:作直线AD,∴∠3=∠B+∠1﹣﹣﹣(1)∴∠4=∠C+∠2﹣﹣﹣(2)由(1)、(2)得:∠3+∠4=∠B+∠C+∠1+∠2,即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC,∵∠BDC=98°,∠C=38°,∠B=23°∴∠BAC=98°﹣38°﹣23°=37°.故选:C.【点评】解答此题的关键是构造三角形,应用三角形内角与外角的关系解答.4.(2020春•沙坪坝区校级期中)如图,△ABC中,∠A=30°,D为CB延长线上的一点,DE⊥AB于点E,∠D=40°,则∠C为()A.20°B.15°C.30°D.25°【分析】由DE⊥AB于点E,∠D=40°,由三角形内角和定理可求出∠ABD=50°,再由三角形外角定理可得∠C=∠ABD﹣∠A=50°﹣30°=20°.【解答】解:∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∵∠D=40°,∴∠ABD=180°﹣∠D﹣∠DEB=50°,∵∠ABD=∠A+∠C,∠A=30°,∴∠C=∠ABD﹣∠A=50°﹣30°=20°.故选:A.【点评】这道题考查的是三角形内角和定理及三角形的外角定理,一定要熟记定理.二.填空题(共1小题)5.(2022秋•富阳区期中)如图,作CE⊥AF于点E,CE与BF相交于点D,若∠F=45°,∠C=30°,则∠A=°,∠DBC=°.【分析】首先利用垂直的定义和三角形的内角和定理可以求出∠A,然后利用三角形的外角和内角的关系可以求出∠DBC.【解答】解:∵CE⊥AF,∴∠AEC=∠FEC=90°,∵∠C=30°,∴∠A=90°﹣30°=60°,又∠DBC=∠F+∠A,∠F=45°∴∠DBC=60°+45°=105°故答案为:60;105.【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质,三角形的内角和定理,熟记性质并准确识图是解题的关键.三.解答题(共11小题)6.(2022春•衡山县期末)Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=α.(1)若点P在线段AB上,如图(1)所示,且∠α=60°,则∠1+∠2=;(2)若点P在线段AB上运动,如图(2)所示,则∠α、∠1、∠2之间的关系为;(3)若点P运动到边AB的延长线上,如图(3)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由;(4)若点P运动到△ABC形外,如图(4)所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系?猜想并说明理由.【分析】(1)由平角的定义得出,∠CDP=180﹣∠1,∠CEP=180﹣∠2,最后用四边形CDPE的内角和是360°即可求得∠1+∠2.(2)同(1)的方法.(3)利用三角形的外角的性质即可得出结论.(4)利用外角的性质和对顶角相等即可得出结论.【解答】解:(1)由平角的定义知,∠1+∠CDP=180°,∠2+∠CEP=180°,在四边形CDPE中,∠CDP+∠α+∠PEC+∠C=360°,即(180°﹣∠1)+∠α+(180°﹣∠2)+∠C=360°,180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°=360°,∴∠1+∠2=90°+α.当α=60°时,∠1+∠2=150°.故答案为:150°.(2)由(1)知,∠1+∠2=90°+α.故答案为:90°+α.(3)∠1=90°+∠2+∠α.理由如下:由三角形的外角的性质知,∠DMC=∠2+∠α,∠1=∠C+∠DMC,∴∠1=∠C+(∠2+∠α),即∠1=90°+∠2+∠α.(4)∠2=90°+∠1﹣∠α.理由如下:由三角形的外角的性质知,∠2=∠CFE+∠C,∠1=∠PFD+∠α,∵∠CFE=∠PFD,∴∠2﹣∠C=∠1﹣∠α,∴∠2=∠C+∠1﹣∠α,即∠2=90°+∠1﹣∠α.【点评】主要考查了三角形的内角和、四边形的内角和、三角形的外角的性质、平角的定义,解本题的关键是把∠1,∠2,∠a 转化到一个三角形或四边形中.7.(2022春•乐平市期末)在△ABC中,两条高BD、CE所在的直线相交于点O.(1)当∠BAC为锐角时,如图1,求证:∠BOC+∠BAC=180°.(2)当∠BAC为钝角时,如图2,请在图2中画出相应的图形(用三角尺),并回答(1)中结论是否成立?不需证明.【分析】(1)利用直角三角形的两个余角相等、同角的余角相等,得出∠BAC=∠BOE,把∠BOC+∠BAC转化为平角∠COE.(2)根据题意,分别作出AB、AC边上的高,根据(1)的证明思路得出(1)的结论在∠BAC为钝角时依旧成立.【解答】解:(1)证明:∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠ADB=∠CEB=90°∴∠BAC+∠ABD=90°,∠BOE+∠ABD=90°,∴∠BAC=∠BOE(同角的余角相等),∴∠BOC+∠BAC=∠BOC+∠BOE(等量代换),∵∠BOC+∠BOE=180°(平角的定义),∴∠BOC+∠BAC=180°.(2)成立.理由:∵BD、CE是△ABC的两条高,∴∠OEB=∠BDC=90°∴∠BOC+∠OBE=90°,∠DAB+∠OBE=90°∴∠BOC=∠DAB(同角的余角相等),∴∠BOC+∠BAC=∠DAB+∠BAC(等量代换),∵∠DAB+∠BAC=180°(平角的定义),∴∠BOC+∠BAC=180°.【点评】本题考查了三角形内角和定理,综合运用了直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、平角的定义.8.(2022•雁塔区模拟)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E为对角线BD上一点,且BE=BC,∠F =∠ABD,EF交BC的延长线于点F.求证:FB=DB.【分析】要证明FB=DB,转化证明△BCD≌△BEF便可.【解答】证明:∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∵∠F=∠ABD,∴∠CDB=∠F,在△BCD和△BEF中,,∴△BCD≌△BEF(AAS),∴FB=DB.【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定.关键是将线段相等转化为证明三角形全等.9.(2023•太原二模)如图,在凹四边形ABCD中,∠A=45°,∠B=55°,∠D=20°,求∠BCD的度数.下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法:方法一:作射线AC;方法二:延长BC交AD于点E;方法三:连接BD.请选择上述一种方法,求∠BCD的度数.【分析】通过延长BC交AD于点E,运用三角形的外角等于和它不相邻两内角的和进行求解.【解答】解:延长BC交AD于点E,∴∠CED=∠A+∠B,∠BCD=∠CED+∠D,∴∠BCD=∠A+∠B+∠D=45°+55°+20°=120°,即∠BCD的度数是120°.【点评】此题考查了三角形外角定理的运用能力,关键是能准确作辅助线构造三角形的外角进行求解.10.(2023•兴庆区校级模拟)问题提出(1)如图①,已知∠AOB,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C,画射线OC,连接CM,CN,MN,则图①中与△OMC全等的是;问题探究(2)如图②,在△ABC中,AD BAC,过点D作DM⊥AB于点M,连接CD,BD,若AB+AC=2AM,求证:∠ACD+∠ABD=180°;问题解决(3)如图③,工人刘师傅有一块三角形铁板ABC,∠B=60°,他需要利用铁板的边角裁出一个四边形BEFD,并要求∠EFD=120°,EF=DF.刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图,再用尺规作出∠BAC的平分线AD交BC于点D,作∠BCA的平分线CE交AB于点E,AD,CE交于点F,得到四边形BEFD.请问,若按上述作法,裁得的四边形BEFD是否符合要求?请证明你的结论.【分析】(1)由题意可得,OM=ON,CM=CN,以此即可通过SSS证明△OMC≌△ONC,即可求解;(2)过点D作DN⊥AC交AC的延长线于点N,根据角平分线的性质可得DN=DM,则可通过HL证明Rt△ADN≌Rt△ADM,得到AN=AM,于是AM+BM+AN﹣CN=2AM,即CN=BM,再利用SAS证明△CDN≌△BDM,得到∠DCN=∠ABD,以此即可证明;(3)过点F分别作FG⊥AB于点G,作FH⊥BC于点H,作FK⊥AC于点K,由角平分线的性质可得∠FAC=,∠FCA=,FG=FK=FH,根据四边形内角和定理可得∠GFH=120°,根据三角形内角和定理可得∠FAC+∠FCA=60°,∠AFC=120°,于是∠EFD=∠AFC=120°=∠GFH,根据同角加等角相等得∠EFG=∠DFH,因此可通过ASA证明△EFG≌△DFH,得到EF=DF,以此即可证明结论.【解答】(1)解:由题意可得,OM=ON,CM=CN,在△OMC和△ONC中,,∴△OMC≌△ONC(SSS);故答案为:△ONC;(2)证明:过点D作DN⊥AC交AC的延长线于点N,如图,∵AD平分∠BAC,DN⊥AC,DM⊥AB,∴DN=DM,在Rt△ADN和Rt△ADM中,,∴Rt△ADN≌Rt△ADM(HL),∴AN=AM,∵AB+AC=2AM,∴AM+BM+AN﹣CN=2AM,即CN=BM,在△CDN和△BDM中,,∴△CDN≌△BDM(SAS),∴∠DCN=∠DBM,即∠DCN=∠ABD,∴∠ACD+∠ABD=∠ACD+∠DCN=180°;(3)符合要求,证明如下:过点F分别作FG⊥AB于点G,作FH⊥BC于点H,作FK⊥AC于点K,∵AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,∴∠FAC=,∠FCA=,FG=FK=FH,∵∠B=60°,∴在四边形BGFH中,∠GFH=360°﹣60°﹣90°×2=120°,∴∠FAC+∠FCA=+=(∠BAC+∠ACB)=(180°﹣∠B)==60°,在△AFC中,∠AFC=180°﹣(∠FAC+∠FCA)=180°﹣60°=120°,∴∠EFD=∠AFC=120°=∠GFH,∵∠EFG+∠GFD=∠GFD+∠DFH,∴∠EFG=∠DFH,在△EFG和△DFH中,,∴△EFG≌△DFH(ASA),∴EF=DF,∴裁得的四边形BEFD符合要求.【点评】本题主要考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理,熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题关键.11.(2020秋•金州区校级期末)如图,BD,CE是△ABC的高,若AE=3,AD=4,CD=1.求EB的长.【分析】利用相似三角形的判定与性质解答即可.【解答】解:∵BD,CE是△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90°,∵∠A=∠A,∴△AEC∽△ADB,∴,∵AE=3,AD=4,CD=1,∴,∴AB=,∴BE=AB﹣AE=﹣3=.【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.12.(2021秋•安宁市校级期中)如图,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C.【分析】作射线AD,根据三角形的外角性质得到∠3=∠B+∠1,∠4=∠C+∠2,两式相加即可得到结论;【解答】证明:作射线AD,如图,∵∠3=∠B+∠1,∠4=∠C+∠2,∴∠3+∠4=∠B+∠C+∠1+∠2,∴∠BDC=∠B+∠C+∠A.【点评】本题考查了三角形的外角性质:三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和.也考查了三角形内角和定理.13.(2020春•如东县期末)探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的学习用品﹣﹣圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,(1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,∠A=54°,则∠ABX+∠ACX=°;②如图3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=α,∠DBE=β,请直接写出∠DCE的度数(用含α和β的式子表示);③如图4,∠ABD,∠ACD的12等分线相交于点G1、G2…、G11,若∠BDC=115°,∠BG1C=60°,求∠A的度数.【分析】(1)结论:∠BDC=∠A+∠B+∠C.连接AD并延长到点E,利用三角形的外角的性质求解即可.(2)①利用(1)中结论计算即可.②图3中,设∠ADC=∠CDB=x,∠AEC=∠CEB=y,构建方程组解决问题即可.③设∠ABD=x°,∠ACD=y°,构建方程组解决问题即可.【解答】解:(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C.理由:连接AD并延长到点E.∵∠BDE=∠BAD+∠B,∠CDE=∠CAD+∠C,∴∠BDE+∠CDE=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.(2)①∵∠BXC=∠ABX+∠ACX+∠A=90°,∠A=54°,∴∠ABX+∠ACX=36°.故答案为36.②如图3中,设∠ADC=∠CDB=x,∠AEC=∠CEB=y,则有∠DCE=x+y+α,β=2x+2y+α,∴∠DCE=.故答案为.③设∠ABD=x°,∠ACD=y°.由题意可得,解得∠A=55°.【点评】本题考查三角形的外角的性质,解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题,属于中考常考题型.14.(2021秋•东源县校级期末)如图1所示的图形,像我们常见的学习用品﹣﹣圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,请发挥你的聪明才智,解决以下问题:(1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=50°,直接写出∠ABX+∠ACX的结果;②如图3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数;③如图4,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9,若∠BDC=140°,∠BG1C=77°,求∠A的度数.【分析】(1)根据题意观察图形连接AD并延长至点F,由外角定理可知,一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,则容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF;(2)①由(1)的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后把∠A=50°,∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值.②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,代入∠DAE=50°,∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值,再利用上面得出的结论可知∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠A,易得答案.③由(2)的方法,进而可得答案【解答】解:(1)连接AD并延长至点F,由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD;且∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD;相加可得∠BDC=∠A+∠B+∠C;(2)①由(1)的结论易得:∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,又∵∠A=50°,∠BXC=90°,∴∠ABX+∠ACX=90°﹣50°=40°;②由(1)的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB,易得∠ADB+∠AEB=80°;而∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠A,代入∠DAE=50°,∠DBE=130°,易得∠DCE=90°;③∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,∵∠BG1C=77°,∴设∠A为x°,∵∠ABD+∠ACD=140°﹣x°∴(140﹣x)+x=77,14﹣x+x=77,x=70∴∠A为70°.【点评】本题考查三角形外角的性质,三角形的内角和定理的应用,能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键,注意:三角形的内角和等于180°,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.15.(2022秋•盐湖区期末)探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的学习用品﹣﹣圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,(1)观察“规形图”与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,∠A=40°,则∠ABX+∠ACX=°;②如图3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数;③如图4,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9,若∠BDC=133°,∠BG1C=70°,求∠A的度数.【分析】(1)首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质,即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C.(2)①由(1)可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,然后根据∠A=40°,∠BXC=90°,求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可.②由(1)可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,再根据∠DAE=40°,∠DBE=130°,求出∠ADB+∠AEB的值是多少;然后根据∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE,求出∠DCE的度数是多少即可.③根据∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,∠BG1C=70°,设∠A为x°,可得∠ABD+∠ACD=133°﹣x°,解方程,求出x的值,即可判断出∠A的度数是多少.【解答】解:(1)如图(1),连接AD并延长至点F,,根据外角的性质,可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD,又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD,∴∠BDC=∠A+∠B+∠C;(2)①由(1),可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,∵∠A=40°,∠BXC=90°,∴∠ABX+∠ACX=90°﹣40°=50°,故答案为:50.②由(1),可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB,∴∠ADB+∠AEB=∠DBE﹣∠DAE=130°﹣40°=90°,∴(∠ADB+∠AEB)=90°÷2=45°,∴∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE=45°+40°=85°;③∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A,∵∠BG1C=70°,∴设∠A为x°,∵∠ABD+∠ACD=133°﹣x°∴(133﹣x)+x=70,∴13.3﹣x+x=70,解得x=63,即∠A的度数为63°.【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理,利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键.16.(2023春•黑山县期中)如图:直线CD是经过∠ACB顶点C的一条直线,AC=CB,E、F分别是直线CD上两点,且∠AEC=∠CFB=∠α.【数学思考】(1)若直线CD是经过∠ACB的内部,且E、F在射线CD上.请解决下面两个问题:①如图1,∠ACB=90°,∠α=90°,则AE CF(填>,<或=),猜测线段EF与线段AE、BF的数量关系,并证明你的猜想;②如图2,若0°<∠ACB<90°,当∠ACB与∠α之间满足时,能够使得①中的结论仍然成立,并证明两个结论.【问题拓展】(2)如图3.若直线CD经过∠ACB的外部,∠ACB=∠α,请直接写出EF、AE、BF三条线段的数量关系.【分析】(1)①证明△ACE≌△CBF(AAS),然后推论出边的数量关系;②证明全等后以上结论仍然成立;(2)同上证明△ACE≌△CBF(AAS)即可推论出边的数量关系.【解答】解:(1)①∵∠ACB=90°,∴∠ACF+∠BCF=90°,∵∠AEC=∠CFB=∠α=90°,∴∠BCF+∠CBF=90°,∴∠ACF=∠CBF,在△ACE和△CBF中,,∴△ACE≌△CBF(AAS),∴AE=CF,BF=CE,∵EF=CF﹣CE,∴EF=AE﹣BF,故答案为:=;②∠ACB+∠α=180°.证明:∵∠AEC=∠CFB=∠α,∠ACB+∠α=180°,∠AEC+∠AEF=180°,∠AEC=∠CFB=∠α,∴∠ACB=∠AEF,∵∠AEF=180°﹣∠α,∠CAE+∠ACF=180°﹣∠α,∴∠AEF=∠CAE+∠ACF,∴∠ACB=∠ACF+∠BCF,∴∠CAE+∠ACF=∠ACF+∠BCF,∴∠CAE=∠BCF,在△ACE和△CBF中,,∴△ACE≌△CBF(AAS),∴AE=CF,BF=CE,∵EF=CF﹣CE,∴EF=AE﹣BF,故答案为:∠ACB+∠α=180°;(2)EF=AE+BF.证明:与(2)同理可得,△ACE≌△CBF(AAS),∴AE=CF,BF=CE,∵EF=CF+CE,∴EF=AE+BF.【点评】此题考查全等三角形,解题关键是全等三角形对应的边相等,即可推论出边的数量关系.【过关检测】一.选择题1.如图,∠BDC=98°,∠C=38°,∠A=37°,∠B的度数是()A.33°B.23°C.27°D.37°【解答】解:如图,延长CD交AB于E,∵∠C=38°,∠A=37°,∴∠1=∠C+∠A=38°+37°=75°,∵∠BDC=98°,∴∠B=∠BDC﹣∠1=98°﹣75°=23°.故选:B.2.(2022秋·八年级课时练习)如图所示,∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的结果为( )A .90°B .360°C .180°D .无法确定【答案】C 【详解】如图,连接BC ,∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°,∠DOE=∠BOC ,∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB ,又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°,∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°.故选:C .3.(2022秋·八年级课时练习)如图,已知在ABC 中,40A ∠=︒,现将一块直角三角板放在ABC 上,使三角板的两条直角边分别经过点,B C ,直角顶点D 落在ABC 的内部,则ABD ACD +=∠∠( ).A .90︒B .60︒C .50︒D .40︒【答案】C 【详解】解:∵在△ABC 中,∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°∵在△DBC 中,∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°∴ABD ACD +=∠∠40°-90°=50°故选C . 4.(2023春·江苏镇江·七年级统考期中)在社会实践手工课上,小茗同学设计了一个形状如图所示的零件,如果52,25A B ︒︒∠=∠=,30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=,那么F ∠的度数是( ).A .72︒B .70︒C .65︒D .60︒【答案】B 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ,连接AO ,如图,∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒∴180,AOB B OAB ∠=︒−∠−∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒−∠−∠∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒∴360BOC AOB AOC ∠=︒−∠−∠360(180)(180)B OAB OAC C =︒−︒−∠−∠−︒−∠−∠107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∵72,BED ∠=︒∴180108,DEO BED ∠=︒−∠=︒∴360DFO D DEO EOF ∠=︒−∠−∠−∠36035108107110,=︒−︒−︒−︒=︒∴180********DFC DFO ∠=︒−∠=︒−︒=︒,故选:B . 5.(2022秋·八年级课时练习)如图,已知BE ,CF 分别为△ABC 的两条高,BE 和CF 相交于点H ,若∠BAC=50°,则∠BHC 为( )A .115°B .120°C .125°D .130°【答案】D 【详解】∵BE 为△ABC 的高,∠BAC=50°,∴∠ABE=90°-50°=40°,∵CF 为△ABC 的高,∴∠BFC=90°,∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°.故选D .6.(2022秋·全国·八年级专题练习)如图,在三角形纸片ABC 中,∠A =60°,∠B =70°,将纸片的一角折叠,使点C 落在△ABC 外,若∠2=18°,则∠1的度数为( )A .50°B .118°C .100°D .90°【答案】B【详解】解:在△ABC中,∠A=60°,∠B=70°,∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=50°.由折叠,可知:∠CDE=∠C′DE,∠CED=∠C′ED,∴∠CED=18022︒+∠=99°,∴∠CDE=180°﹣∠CED﹣∠C=31°,∴∠1=180°﹣∠CDE﹣∠C′DE=180°﹣2∠CDE=118°.故选:B.二、填空题7.(2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习)如图,A B C D E∠+∠+∠+∠+∠=______°.【答案】180【详解】解:如图,∵∠1=∠B+∠2,∠2=∠D+∠E,∠A+∠1+∠C=180°,∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180°,故答案为:180.8.(2022秋·青海西宁·八年级青海师大附中校考阶段练习)如图,A B C D E∠+∠+∠+∠+∠的度数为_______.【答案】180︒【详解】解:如图,∵ANB ∠是ADN △的外角,BMC ∠是CEM 的外角,∴ANB A D ∠=∠+∠,BMC C E ∠=∠+∠,又∵180ANB BMC B ∠+∠+∠=︒,∴180A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠=︒.故答案为:180︒.9.(2023·全国·八年级假期作业)如图,若115EOC ∠=︒,则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____________.【答案】230°【详解】解:如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°,∠2=∠D+∠C , ∴∠E+∠D+∠C=115°,∵∠EOC=∠1+∠F=115°,∠1=∠A+∠B ,∴∠A+∠B+∠F=115°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°,故答案为:230°.10.如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.【解答】解:如图,根据三角形的外角性质,∠1=∠A+∠C,∠2=∠B+∠D,∵∠BOF=120°,∴∠3=180°﹣120°=60°,根据三角形内角和定理,∠E+∠1=180°﹣60°=120°,∠F+∠2=180°﹣60°=120°,所以,∠1+∠2+∠E+∠F=120°+120°=240°,即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°.故答案为:240°.三.解答题11.一个零件的形状如图,按要求∠A=90°,∠B=32°,∠C=21°,检验工人量得∠CDB=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由.【解答】解:如图,延长CD交AB于E,∵∠A=90°,∠C=21°,∴∠1=∠A+∠C=90°+21°=111°,∵∠B=32°,∴∠BDC=∠B+∠1=32°+111°=143°.又∵∠BDC=148°,∴这个零件不合格.12.如图:(1)求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C;(2)如果点D与点A分别在线段BC的两侧,猜想∠BDC、∠A、∠B、∠C这4个角之间有怎样的关系,并证明你的结论.【解答】(1)证明:延长BD交AC于点E,∵∠BEC是△ABE的外角,∴∠BEC=∠A+∠B,∵∠BDC是△CED的外角,∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B;(2)猜想:∠BDC+∠C+∠A+∠B=360°.证明:∠BDC+∠C+∠A+∠B=∠3+∠2+∠6+∠5+∠4+∠1=(∠3+∠2+∠1)+(∠6+∠5+∠4)=180°+180°=360°.13.已知:如图,求证:∠BDC=∠B+∠C+∠BAC.【解答】证明:延长AD到E,则∵∠1=∠B+∠BAD,∠2=∠C+∠CAD,(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)∴∠1+∠2=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC.14.(2022秋·八年级课时练习)如图,ABC ∆中,(1)若ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ,请用A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠;(2)若ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次从下到上),请用A ∠表示1BO C ∠,1n BO C −∠.【答案】(1)111203BO C A ∠=︒+∠,22603BO C A ∠=︒+∠,(2)()118011n BO C A n n ︒−∠=+∠,11801n n BO C A n n −︒−∠=+∠【详解】(1)解:∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒,∴180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠,∵ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ,∴111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒−∠∴11111180()180(180)12033BO C O BC O CB A A ∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=︒+∠,22222180()(180)6033BO C O BC O CB A A ∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=︒+∠;(2)解:∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒,∴180ABC ACB A ∠+∠=︒−∠,∵ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O −⋅⋅⋅⋅⋅⋅,∴111(180),O BC O CB A n ∠+∠=︒−∠111(180),n n n O BC O CB A n −−−∠+∠=︒−∠∴()()111180111180180(180)n BO C O BC O CB A A n n n ︒−∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=+∠,()11111801180180(180)n n n n n BO C O BC O CB A A n n n −−−−︒−∠=︒−∠+∠=︒−︒−∠=+∠.15.(2023·全国·八年级假期作业)如图,已知DE 分别交ABC ∆的边AB 、AC 于D 、E ,交BC 的延长线于F ,62B ∠=︒,76ACB ∠=︒,93ADE ∠=︒,求DEC ∠的度数.【答案】135DEC ∠=︒.【详解】解:在ABC 中,=180--∠︒∠∠A B ACB =180︒-62︒-7642︒=︒,∴∠DEC=9342135A ADE ∠+∠=︒+︒=︒16.(2022秋·八年级课时练习)如图,BG 是ABD ∠的平分线,CH 是ACD ∠的平分线,BG 与CH 交于点O ,若150BDC =∠︒,110BOC ∠=°,求A ∠的度数.【答案】70A ∠=︒.【详解】解:由燕尾角的基本图形与结论可得,BDC BOC OBD OCD ∠=∠+∠+∠①BOC A ABO ACO ∠=∠+∠+∠②BG 是ABD ∠的平分线,GH 是ACD ∠的平分线ABO OBD ∴∠=∠,ACO OCD ∠=∠.①-②得,270A BOC BDC ∠=∠−∠=︒.17.(2023·全国·八年级假期作业)模型规律:如图1,延长CO 交AB 于点D ,则1BOC B A C B ∠=∠+∠=∠+∠+∠.因为凹四边形ABOC 形似箭头,其四角具有“BOC A B C ∠=∠+∠+∠”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.模型应用(1)直接应用:①如图2,60,20,30A B C ∠=︒∠=︒∠=︒,则BOC ∠=__________︒;②如图3,A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒;(2)拓展应用:①如图4,ABO ∠、ACO ∠的2等分线(即角平分线)1BO 、1CO 交于点1O ,已知120BOC ∠=︒,50BAC ∠=︒,则1BO C ∠=__________︒;②如图5,BO 、CO 分别为ABO ∠、ACO ∠的10等分线1,2,3,,(,)89i =⋯.它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O .已知120BOC ∠=︒,50BAC ∠=︒,则7BO C ∠=__________︒;③如图6,ABO ∠、BAC ∠的角平分线BD 、AD 交于点D ,已知120,44BOC C ∠=︒∠=︒,则ADB =∠__________︒;④如图7,BAC ∠、BOC ∠的角平分线AD 、OD 交于点D ,则B ∠、C ∠、D ∠之间的数量关系为__________.【答案】(1)①110;②260;(2)①85;②99;③142;④∠B-∠C+2∠D=0【详解】解:(1)①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°;②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°;(2)①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-12(∠ABO+∠ACO ) =∠BOC-12(∠BOC-∠A ) =∠BOC-12(120°-50°)=120°-35°=85°;②∠BO7C=∠BOC-310(∠BOC-∠A ) =120°-310(120°-50°)=120°-21°=99°;③∠ADB=180°-(∠ABD+∠BAD ) =180°-310(∠BOC-∠C ) =180°-12(120°-44°)=142°;④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠BAC ,∠BOC=∠B+∠C+∠BAC ,联立得:∠B-∠C+2∠D=0.18.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图1,若AB∥CD,点P在AB、CD外部,则有∠B=∠BOD,又因∠BOD是△POD的外角,故∠BOD=∠BPD+∠D.得∠BPD=∠B﹣∠D.将点P移到AB、CD内部,如图2,以上结论是否成立?若成立,说明理由;若不成立,则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系?请证明你的结论;(2)在如图2中,将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q,如图3,则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系?(不需证明);(3)根据(2)的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.【解答】解:(1)不成立,结论是∠BPD=∠B+∠D.延长BP交CD于点E,∵AB∥CD,∴∠B=∠BED,又∵∠BPD=∠BED+∠D,∴∠BPD=∠B+∠D;(2)结论:∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.连接QP并延长,∵∠BPE是△BPQ的外角,∠DPE是△PDQ的外角,∴∠BPE=∠B+∠BQE,∠DPE=∠D+∠DQP,∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠D+∠BQE+∠DQP,即∠BPD=∠BQD+∠B+∠D;(3)由(2)的结论得:∠AFG=∠B+∠E.∠AGF=∠C+∠D.又∵∠A+∠AFG+∠AGF=180°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.(或由(2)的结论得:∠AGB=∠A+∠B+∠E且∠AGB=∠CGD,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.19.探究与发现:如图1所示的图形,像我们常见的学习用品﹣﹣圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的聪明才智,解决以下问题:(1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=40°;②如图3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数;③如图4,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9,若∠BDC=140°,∠BG1C=77°,求∠A的度数.【解答】解:(1)连接AD并延长至点F,由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD;且∠BDC=∠BDF+∠CDF及∠BAC=∠BAD+∠CAD;相加可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C;(2)①由(1)的结论易得:∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC,又因为∠A=50°,∠BXC=90°,所以∠ABX+∠ACX=90°﹣50°=40°;故答案为:40°。
三角形的高线定理解析
三角形的高线定理解析三角形是初中数学中的重要内容,其有关定理也是必须掌握的基础知识之一。
其中,三角形的高线定理是三角形的基本定理之一,本文将对其进行详细解析。
一、三角形的基本概念在开始解析三角形的高线定理之前,我们先了解一些与三角形相关的基本概念。
三角形是由三条线段组成的图形,其中每两条线段之间连接的点称为顶点,连接线段的线段称为边。
同时,连接顶点与与其不在同一直线上的另外两个点的线段称为高线。
二、三角形的高线定理三角形的高线定理是指:三角形的三条高线交于一点,且该点与三个顶点的连线正交。
三、三角形的高线定理的证明下面我将证明三角形的高线定理。
证明:假设三角形ABC中,AD、BE和CF分别是三边BC、AC和AB的高线,且交于点O。
现在来证明AO ⊥ BC、BO ⊥ AC、CO ⊥AB。
首先,连接AO和BC,如果AO ⊥ BC不成立,即AO与BC不垂直,那么我们可以假设AO与BC的交点为D',而D'不在线段BD和CD上。
此时,我们可以发现△ADB和△ADC中,AD是共边,∠ADB和∠ADC是正角,且∠A不是直角。
由于∠AD'BC是钝角,所以∠ADB和∠ADC都小于∠AD'BC,根据夹角定理,我们可以得到∠ADB和∠ADC的和小于∠AD'BC的度数,即∠ADB+∠ADC<∠AD'BC。
而∠ADB+∠ADC+∠AD'BC=180°,所以我们得到了一个矛盾。
因此,可以得出AO ⊥ BC。
同理,可以使用类似的思路证明BO ⊥ AC和CO ⊥ AB。
综上所述,我们得出了结论:三角形的高线交于一点,且该点与三个顶点的连线正交。
四、三角形的高线定理的作用三角形的高线定理不仅仅是一种几何性质,更是数学问题解决中的重要利器。
它在解决各类与三角形相关的问题时起着重要的作用,比如求三角形的面积、判断三角形的形状、计算三角形内角的大小等。
五、三角形高线定理的应用举例为了更好地理解三角形的高线定理及其应用,我们来看一些具体的应用举例。
△的公式与求根公式例题 -回复
△的公式与求根公式例题 -回复很高兴能为您撰写关于△的公式与求根公式例题的文章。
我将按照您的要求,以深度和广度兼具的方式来探讨这一主题,并在文章中多次提及△的公式与求根公式例题。
在文章中,我会共享我个人的观点和理解,以及总结性的内容,以便您能全面、深刻和灵活地理解这一主题。
一、△的公式1.1 △的定义在代数中,△通常指的是一个等于b^2-4ac的表达式。
这个表达式在一元二次方程ax^2+bx+c=0中扮演着非常重要的角色,它被称为判别式。
1.2 △的意义△的值可以帮助我们判断一元二次方程的根的情况。
如果△>0,那么方程有两个不相等的实根;如果△=0,方程有两个相等的实根;如果△<0,方程没有实根,但有两个共轭复数根。
1.3 △的公式推导推导△的公式是代数学习的重要内容之一。
我们可以通过完成平方来推导△的公式,或者通过配方法、公式法等方式来得出△的表达式。
这一部分的学习对于理解△的公式有着重要的帮助。
二、求根公式例题2.1 求根公式的定义一元二次方程ax^2+bx+c=0的根可以通过求根公式来得到。
求根公式是指x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}的形式,通过这个公式我们可以得到方程的根的数值。
2.2 求根公式的应用求根公式在解决一元二次方程的问题时有着广泛的应用。
通过求根公式,我们可以快速地计算方程的根,从而解决实际生活中的问题。
2.3 求根公式的实际例题我将介绍一些实际生活中运用求根公式解决问题的例题,帮助您更好地理解求根公式的应用。
个人观点和理解△的公式与求根公式是代数学中非常重要的内容,它们在解决实际问题时有着广泛的应用。
通过深入学习△的公式和求根公式,我们可以更好地理解代数学的基本原理,从而为日后的数学学习打下扎实的基础。
总结和回顾通过本文的介绍,您对△的公式与求根公式应该有了更深入的理解。
我们从△的定义和意义入手,了解了△的公式推导方式,以及求根公式的定义、应用和实际例题。
专题02 单中点与双中点模型(老师版)
【变式训练 2】如图①,点 O 为线段 MN 的中点,PQ 与 MN 相交于点 O,且 PM∥NQ,可证△PMO≌△ QNO.根据上述结论完成下列探究活动:
在△BAG 和△EAC 中,
,∴△BAG≌△EAC(SAS),∴BG=CE.
∵BE、BC、CG 的中点 M、Q、N,∴MQ= CE,QN= BG,
∵BG=CE,∴QN=MQ. 【变式训练 2】如图,在平面直角坐标系中, OAB 的顶点 B 在 x 轴正半轴上,顶点 A 和边 AB 的中点 C 均
在函数 y 2 x 0 的图象上,则 OAB 的面积为( )
【答案】见解析 【详解】(1)AB=AF+CF.如图 2,分别延长 DC、AE,交于 G 点, 根据图①得△ABE≌△GCE,∴AB=CG, 又 AB∥DC,∴∠BAE=∠G 而∠BAE=∠EAF,∴∠G=∠EAF,∴AF=GF, ∴AB=CG=GF+CF=AF+CF;
(2)如图 3,分别延长 CF、AE,交于 G 点, 根据 CF∥AB 得△ABE∽△GCE,∴AB:CG=BE:CE, 而 BE:EC=1:2,AB=4,∴CG=8, 又 AB∥FC,∴∠BAE=∠G, 而∠BAE=∠EDF,∴∠G=∠EDF,∴DF=GF, 而 CF=2,∴DF=CG﹣CF=8﹣2=6.
专题 02 单中点与双中点模型
有关中点的知识点归纳:①三角形中线平分三角形面积;②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ③等腰三角形“三线合一”的性质;④三角形中位线平行且等于第三边的一半.
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券商Rosenblatt Securities的分析师马丁·普科宁(Martin Pyykkonen)表示,“只要不过分高估,Facebook股价还将会继续上涨。目前这一情况还没有反映在Facebook股价上。”
股ok股价在过去的12个月中已累计上涨了173%,成为标准普尔500指数中涨幅最高的股票。Facebook的市值在周四超越IBM,成为仅次于谷歌、苹果和微软的第四大市值科技公司。Jefferies和Topeka Capital Markets的分析师周四均把Facebook的目标股价,从此前的80美元至85美元,上调至100美元。
Facebook业绩的飙升,反映出自2012年进行首次公开招股以来,在公司首席执行官马克·扎克伯格(Mark Zuckerberg)的带领下,Facebook已取得了出色的进步。上市之后,由于投资人担心Facebook缺少移动业务营收,导致公司股价曾被腰折。如今,扎克伯格已经让移动广告成为Facebook的核心业务。
为捕捉到这一趋势,Facebook一直在不断打造自己的广告服务。出去大规模推广视频广告之外,Facebook在本月还同意收购视频广告公司LiveRail,将目光放到了自身平台以外的广告市场。
Facebook还通过大型并购交易来多元化公司业务。今年2月份,Facebook同意以约190亿美元的价格收购移动即时通讯应用WhatsApp。本周,Facebook完成对虚拟现实技术公司Oculus的收购交易。扎克伯格此前已表示,Oculus的虚拟现实头盔将是自手机之后的又一个重要的通讯设备。
FB股价一年涨了173%
2014-07-30 10:09:22
腾讯科技讯 7月25日,受第二季度业绩超市场预期的推动,Facebook股价周四盘中一度大涨7.6%,创出76.74美元的上市以来新高。按照周四74.98美元的收盘价计算,Facebook市值已达到1924.2亿美元,逼近2000亿美元大关。
更多的服务
扎克伯格在电话会议中表示,该公司将会推出更多的服务,如通过即时通讯应用Messenger推出支付服务。他说,Facebook将继续对新技术进行投资。
Facebook表示,该公司目前已拥有13.2亿月活跃访问用户,高于截至3月31日的12.8亿。其中,有6.54亿用户使用手机登录Facebook的服务。Facebook的每用户平均营收为2.24美元,高于上一季度的2美元,高于上年同期的1.60美元。
推动Facebook股价大涨的关键,是这家公司的业绩再一次表明,移动广告已经成为该公司营收和净利润的主要推动力。Facebook周三发布的财报显示,该公司第二季度净营收达到29.1亿美元,同比激增61%,超过市场分析师平均预计的28.1亿美元。其中,移动广告占据了Facebook广告营收的62%,高于上一季度的59%。Facebook第二季度净利润同比增长一倍以上,达到7.91亿美元。不按照美国通用会计准则,Facebook第二季度每股收益达到0.42美元,超过市场分析师预计的0.32美元。
Facebook股票目前是交易最为活跃的标准普尔500指数成份股之一。彭博社的统计数据显示,Facebook股票在过去30天的日均成交量为4200万股,仅落后于美洲银行和苹果。
与Facebook股价飙升形成鲜明对比的是,其它科技公司的股票还没有从今年3月开始的道琼斯互联网指数19%的大跌中复苏。今年以来,Twitter和Groupon的股价累计跌幅均超过了40%。
蚕食份额
Facebook和谷歌目前正在蚕食雅虎等互联网公司的网络广告市场份额。雅虎上周发布的财报显示,该公司第二季度营收同比出现下滑,且未达市场预期。
市场调研公司eMarketer此前发布报告称,Facebook在2013年占据了全球数字广告营收5.8%的份额,高于2012年的4.1%。预计今年全球数字广告支出将较上年增长14.8%,达到1200亿美元。
Edward Jones & Co.的分析师约什·奥尔森(Josh Olson)表示,“Facebook的广告模式已非常清晰。Facebook一直在小心翼翼的推出广告业务,以避免惹恼公司用户。”