一种分析和设计抗混叠滤波器的方法

一种分析和设计抗混叠滤波器的方法
作者：宋军赵明忠
来源：《现代电子技术》2008年第19期
摘要：信号采集通道中，一般采用高阶抗混叠滤波器来消除频率混叠现象，这同时也增加了滤波器设计难度。

为有效降低滤波器设计的难度，在详细分析并讨论了抗混叠滤波器的陡度、阶数与信号抽样频率以及A/D转换器的分辨率之间的内在关系后，提出了抗混叠滤波器、抽样频率和A/D转换器三者之间合理权衡设计的方法。

该分析方法为抗混叠滤波器乃至信号采集通道的设计提供了十分有益的参考。

关键词：滤波器;陡度;抽样频率;频率混叠
中图分类号：TN713文献标识码：B文章编号：1004373X(2008)1906702
Method of Analyzing and Designing Anti-aliasing Filter
SONG Jun,ZHAO Mingzhong
(College of Information Science and Technology,Nanjing Forests
University,Nanjing,210037,China)
Abstract：The high-rank anti-aliasing filter is often used to avoid spectrum aliasing in signal gathering system.In an effortto reduce the difficulty of designing filters,the relations among the anti-aliasing filter′s roll-off rate,rank,sampling frequency and the recognition of analog-to-digital converter are discussed and analysed in detail,then a reasonable method to choose and design these three ones are presented including anti-aliasing filter,sampling frequency and A/D converter.The results provide an effective reference for design of anti-aliasing filter and signal gathering channel.
Keywords：filter;roll-off rate;sampling frequency;spectrum aliasing
1 引言
信号采集中，当信号频率(f)超过1/2采样频率(fS)，即f>12fS时，在时间域上会出现f′=fS －f的拍现象，其最大幅值与输入幅值的关系基本保持不变［1-3］。

在频域上出现频率为f′=fS－f 的假频，这就是折叠效应造成的混频现象，亦称频率混叠现象或频率混淆现象［4-6］。

为此，一般采用高滤波陡度的抗混叠滤波器，以消除频率混叠现象。

但如果单纯依靠提高滤波器的陡度来达到要求，无疑将提高滤波器设计难度和成本。

本文通过分析发现，综合考虑滤波器的陡度、阶数及系统抽样频率和ADC的分辨率可以在消除频率混叠现象的同时，有效降低滤波器设计的难度和成本。

2 滤波器陡度、系统抽样频率及ADC分辨率三者关系
2.1 理论分析
对信号不失真采样，一般需满足奈奎斯特抽样定理(Nyquist Sampling Theorem)［7］：
(1) 被抽样信号为带限信号，即信号最高频率fmax≠∞；
(2) 采样频率至少为被抽样信号最高频率的两倍，即fS≥2fmax。

这就要求信号在进行采样之前，必须进行低通滤波，通常称为抗混叠滤波，也称去混淆滤波。

由于抗混叠滤波器的截至频率fh直接决定被采样信号的最高频率fmax，且通常有fh＝fmax，故采样频率fS与该截至频率fh的关系为：
fS=k·fh(k≥2)
(1)
此外，抗混叠滤波器在高于截频fh部分的陡度R也应满足一定的要求：将被采样信号中高于fS/2的噪音信号衰减到ADC(模数转换器)的量化阶梯q以下。

如图1是一低通滤波器的波特图。

其中，0~fh为有用信号频率范围，与该范围以fS/2为轴对称的频率范围是(fS－fh)~fS，若在这个频段上存在噪音干扰，则采样后这些噪音就会折叠到0~fh的信号频段上，这就是所谓的假频干扰，(fS－fh)对应的虚线也称有效假频线。

为了滤除假频干扰，就必须将(fS－fh)~fS 频段上的噪声衰减到ADC的可量化电平q以下。

从最坏情况考虑，假设有用信号的最大幅度(为VS)分量出现在频率f=fh处，干扰噪声中幅度最大(Vn)的频率分量出现在f=fS－fh处。

抗混叠滤波器的幅频特性为k(f)，通带内理想，设：
图1 典型低通滤波器波特图
当f=fh时:
k(f)=kS=1(2)
当f=fS－fh时:
k(f)=kn
(3)
为了使抗混叠滤波后信号的最大幅度分量不超出ADC的最大量化电平E，噪音干扰的最大分量低于ADC的量化阶梯q，要求：
VS·kS=VS=E
(4)
Vn·kn=q
(5)
由式(4)和式(5)可得：
－20lg kn=20lgEq－20lgVSVn
(6)
若ADC量化的位数为m，则E=2m·q，并令B=－20lg kn代入式(6)得：
B=－20lg kn=6m－20lgVSVn
(7)
设0~(fS－fh)之间有fh的L个十倍频程(decade)，即：
fS－fhfh=10L
(8)
由式(1)和式(8)可得：
L=lg(k－1)
(9)
这样，抗混叠滤波器的陡度R：
R=BL=Blg(k－1)
=6m－20lgVSVn·1lg(k－1)
(10)
2.2 三者关系讨论
由式(10)可见，抗混叠滤波器的陡度R与ADC的量化位数m、采样频率fS=k·fh以及信号噪声幅度比VS/Vn有密切关系：
(1) 当采样频率和ADC位数一定，即k和m固定时，信号噪声幅度比越大，对滤波器的陡度要求越小；
(2) 当采样频率和信号噪声幅度比一定，即k和VS/Vn一定时，ADC位数越少，对滤波器的陡度要求越小；
(3) 当信号噪声幅度比和ADC位数一定，即m和VS/Vn一定时，采样频率越高，对滤波器的陡度要求越小。

2.3 实际滤波器陡度设计分析
以最常见的模拟巴特沃斯(Butterworth)低通滤波器为例，分析如何针对不同分辨率的ADC 选取抗混叠滤波器的阶数、陡度及采样频率。

N阶巴特沃斯低通滤波器的幅频特性为：
k(f)=11+ff02n
(11)
f0为滤波器的截频，陡度为：
R=20n dB/dec
(12)
综合式(10)和式(12)可得：
n=0.3m－lgVSVn·1lg(k－1)
(13)
显然，信号噪声幅度比、采样频率和ADC的分辨率都直接影响巴特沃斯低通滤波器阶数的选取。

(1) 当lgVS/Vn≥0.3m时，则可以不必设置抗混叠滤波器。

例如，一个系统的ADC位数m=12，则需要信号噪声幅度比VS/Vn≥4×103才可以省略抗混叠滤波器，这在现实中一般很难保证。

(2) 当VS=Vn时，即噪声幅度和信号幅度相当，则有：
n=0.3m·1lg(k－1)
(14)
此时，若系统的采样ADC位数m=12，采样频率fS＝4·fmax，即采样频率为信号最高频率的4倍(k=4)，则根据式(14)有滤波器的阶数n至少为8才能满足要求；
而若ADC位数不变(m=12)，提高采样频率到信号最高频率的5倍，即fS＝5·fmax，则滤波器的阶数n为6就可以满足要求。

(3) 当k=2，即采样频率为信号最高频率的2倍时，只要信号噪声幅度比不满足上述讨论
的条件(1)，就不能避免频谱的混叠。

3 结语
由于滤波器的阶数越高，成本和复杂程度也越高，而且信号通过滤波器的延时也越长，给系统的稳定性带来威胁，更给信号的后期数字滤波和处理带来不确定性。

因此在选择和设计系统前置抗混叠滤波器时，尤其需要综合考虑了采样频率、ADC的分辨率和噪声等因素对滤波器设计的影响。

只有权衡分析、选择抗混叠滤波器的阶数、系统采样频率以及ADC的分辨率，才能使系统达到最优化的设计。

参考文献
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［7］赵传伟.数据采集的基本原理［J］.大众科学,2007(16):57-58.
作者简介宋军男，1979年出生，江苏徐州人，硕士，讲师。

研究方向为信号处理和嵌入式系统。

赵明忠男，1964年出生，山东兖州人，硕士，副教授。

研究方向为单片机与数字信号处理。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。