24.4.1弧长和扇形面积公式应用
人教版初三数学上册24.4.1弧长和扇形面积 教学设计
24．4.1弧长和扇形面积教学设计碧华学校林喜斌一、教材分析（一）本课的地位和作用本节教材是人教版九年级下册《24.4.1弧长和扇形面积公式》，是在学生学习了圆的有关概念性质、圆心角圆周角等内容之后，对弧长和扇形面积的计算的学习，研究弧长公式、扇形面积公式的推导过程及其在实际问题中的应用。
本节内容的弧长公式和扇形面积公式是以圆的周长和面积公式为依据，通过特殊圆心角到一般圆心角所对的弧长和扇形面积，探索计算公式，并运用它们来计算和解决实际问题，是圆的有关计算中的一个重要问题。
（二）教学目标1、知识目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题。
2、能力目标：经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力.3、情感与价值目标：经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.（三）教学重点、难点重点：让学生经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题.难点：探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题.二、教法设想在本节课教学中，我从学生思维的起点出发，突出教师为主导、学生为主体的教学原则，在组织教学中，我主要采用了多媒体教学和自主探究法，让学生在老师的引导下提出问题，自主探索、合作交流，收获新知；通过尝试应用，巩固实践，来深化新知，感受收获的喜悦。
三、学法研究教学中重视指导学生掌握一些最基本的学习方法和数学思想。
通过本节课的教学，让学生学会观察分析、自主探索、总结归纳的学习方法，掌握转化思想，培养学生的空间想象能力，充分调动学生自己动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论，鼓励他们尝试自己完成解题过程，大胆展示自我。
24.4.1弧长和扇形面积
24.4.1弧长和扇形的面积（一）麻城集美学校 曹绪鹍教学目标知识与技能：了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．过程与方法： 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．情感态度与价值观：经历探索弧长及扇形面积计算公式，让学生体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性；通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力． 教学重点:探索弧长及扇形面积计算公式,会用公式解决问题．教学难点:弧长及扇形面积计算公式及其应用．教学时数：3课时教学过程第一课时一、课前预习：预习教材P110——113二、创设问题情境，引入新课问题: 在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？[师]在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．三、新课讲解1、复习（1）．圆的周长如何计算？(2)．圆的面积如何计算？(3)．圆的圆心角是多少度？．2、探索弧长的计算公式如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm ．(1)转动轮转一周，传送带上的物品A 被传送多少厘米？(2)转动轮转1°，传送带上的物品A 被传送多少厘米？(3)转动轮转n °，传送带上的物品A 被传送多少厘米？在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为：l ＝180n R π． 下面我们看弧长公式的运用．四、例题讲解例1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道的展直长度，即 AB 的长(结果精确到0.1mm)．分析：要求管道的展直长度，即求 AB 的长，根根弧长公式l ＝180n R π可求得 AB 的长，其中n 为圆心角，R 为半径．解：R ＝40mm ，n ＝110．∴ AB 的长＝180n πR ＝110180×40π≈76.8mm ． 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．探究：在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m 的绳子，绳子的另一端拴着一只狗．(1)这只狗的最大活动区域有多大？(2)如果这只狗只能绕柱子转过n °角，那么它的最大活动区域有多大？如果圆的半径为R ，则圆的面积为πR 2，1°的圆心角对应的扇形面积为2360R π，n °的圆心角对应的扇形面积为n ·22360360R n R ππ=． 因此扇形面积的计算公式为S 扇形＝o 3602R n π，其中R 为扇形的半径，n 为圆心角． 弧长与扇形面积的关系：我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长的计算公式为l ＝180n πR ，n °的圆心角的扇形面积公式为S 扇形＝360n πR 2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n ．半径R 有关系，因此l 和S 之间也有一定的关系，你能猜得出吗？请大家互相交流．∵l ＝180n πR ，S 扇形＝360n πR 2， ∴360n πR 2＝12R ·180n πR ． ∴S 扇形＝12lR ． 扇形面积的应用例、扇形AOB 的半径为12cm ，∠AOB ＝120°，求 AB 的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB 的面积(结果精确到0.1cm 2)分析：要求弧长和扇形面积，根据公式需要知道半径R 和圆心角n 即可，本题中这些条件已经告诉了，因此这个问题就解决了．解： AB 的长＝120180π×12≈25.1cm ． S 扇形＝120360π×122≈150.7cm 2． 因此， AB 的长约为25.1cm ，扇形AOB 的面积约为150.7cm 2．五、课时小结本节课学习了如下内容：1．探索弧长的计算公式l ＝180n πR ，并运用公式进行计算； 2．探索扇形的面积公式S ＝360n πR 2，并运用公式进行计算；3．探索弧长l及扇形的面积S之间的关系，并能已知一方求另一方．六、课堂作业：《练习册》P52——55补充：如图，两个同心圆被两条半径截得的 AB的长为6π cm， CD的长为10π cm，又AC＝12cm，求阴影部分ABDC的面积．教学反思：第二课时（练习课）内容：《练习册》P52——55第三课时（讲评课）内容：《练习册》P52——55。
九年级数学人教版(上册)第1课时 弧长和扇形面积
(2)若弦 BC＝2 3 cm，求图中阴影部分的面积．
解：∵BC＝2 3 cm， ∴CE＝12BC＝ 3 cm. ∵∠AOC＝60°，∴∠C＝30°. 设 OE＝x cm，则 OC＝2x cm. ∵OE2＋EC2＝OC2， ∴x2＋( 3)2＝(2x)2，解得 x＝1. ∴∴OS E阴影＝＝1Scm扇形，OBOC－C＝S△2OcBmC＝. 1203×6π0×22－12×2 3×1＝(43π－ 3)cm2.
7．(2021·盘锦)如图，⊙A，⊙B，⊙C 两两不相交，且半径都等 于 2，则图中三个扇形(即阴影部分)的面积之和为 2π (结果保留 π)．
8．如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变 形为以点 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的 扇形 ABD 的面积为 25 ．
第二十四章 圆
24．4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积
知识点 1 弧长公式及其应用
1．(2021·梧州)若扇形的半径为 3，圆心角为 60°，则此扇形的
弧长是(B )
1 A.2π
B．π
3 C.2π
D．2π
【变式】 已知一个扇形的半径为 6，弧长为 4π，则这个扇形 的圆心角为 120° ．
在 Rt△AOF 中，OA＝2 3，∠OAF＝30°，
∴OF＝12OA＝ 3，AF＝3. ∴AB＝2AF＝2×3＝6.∴BD＝2. ∴S 阴影＝S△AOD＋S 扇形 OBC－S△BDO＝2 23×2＋30×π×3（602 3）2－
2× 2
3＝
3＋π.
15．(2020·淄博)如图，放置在直线 l 上的扇形 OAB 由图①滚动(无
10．如图，在菱形 ABCD 中，∠B＝70°，AB＝3，以 AD 为直
42a 24.4.1弧长和扇形面积
24.4.1弧长与扇形面积【学习目标】1、了解扇形的概念，经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程2、理解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题【重点、难点】重点：弧长计算公式及扇形面积计算公式难点：探索弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题【学习过程】一、情境引入［问题］制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图24-4-1所示的管道的展直长度（结果精确到l mm）请同学说出你解决本问题思路?计算中的困难是什么?知识回顾设圆的半径为R,则1.圆的周长C公式是_______________2.圆的面积S公式是_______________3、什么叫弧长？________________________________________________________二、探索新知(一)探索弧长公式请同学们思考完成下题：设圆的半径为R,则1.圆的周长可以看作度的圆心角所对的弧.2.01的圆心角所对的弧长是___________.3.02的圆心角所对的弧长是___________.4.04的圆心角所对的弧长是 ____5. 0n 的圆心角所对的弧长是 __ 根据同学们的解题过程，我们可得到弧长公式： 0n 圆心角所对的弧长公式问题解决： 请你利用公式解决本节开始中的“弯形管道”问题。
(一)探索扇形公式问题（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m 的绳子，绳子的另一端拴着一头狗，如图24-101所示 （1）这条狗能活动的最大活动区域有多大？（2）如果这条狗只能绕柱子转过0n 角，那么它的最大活动区域有多大？如果这条狗只能绕柱子转过0n 角，那么它的最大活动区域应该是0n 圆心角的两个半径和0n 圆心角所对的弧所围成的圆的一部分.定义: 像这样．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．请同学们结合圆的面积S=π2R 的公式，独立完成下题：1.该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积.2.设圆的半径为R. 01的圆心角所对的扇形面积S=3. 设圆的半径为R, 04的圆心角所对的扇形面积S= ……4. 设圆的半径为R, 0n 的圆心角所对的扇形面积S= 因此，在半径为R 的圆中，0n 的圆心角所对的扇形面积公式三、学以致用【例2】 扇形面积为300π，圆心角为30°，求扇形半径．【例3】 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCDE ，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）．能力拓展1、 如图，在半径为3的⊙O 和半径为1的⊙O ′中，它们外切于B ，∠AOB=40°．AO ∥CO ′，求曲线ABC 的长．2、 如图，等腰直角三角形ABC 的斜边AB=4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两直角边相切于点D 、E ，求图中阴影部分的面积．四、归纳小结 本节课应该掌握： 1、0n 的圆心角所对的弧长 l=180Rn π. 2、扇形的概念3、扇形面积 3602R n S π=4、运用以上内容解决具体问题五、课堂小测 诊断检测一1.一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于_____度.2.如图，有一弓形钢板ACB ，的度数为120°，弧长为l ，现要用它剪出一个最大的圆形板料，则这一圆形板料的周长为_____.第2题图3.如图，两个半圆中，长为6的弦CD 与直径AB 平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于_____.4.如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为 A.4－πB.8－πC.2(4－π)D.4－2π5.如果弧所对的圆心角的度数增加1°，弧的半径为R ，则它的弧长增加 A.360R π B.Rπ180C.Rπ360D.180Rπ 6.设三个同心圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，且r 1>r 2>r 3，如果大圆的面积被两个小圆分成面积相等的三部分，那么r 1∶r 2∶r 3为A.3∶2∶1B.9∶4∶1C.2∶3∶1D.3∶2∶17.如图，一块边长为8 cm 的正三角形木板ABC ，在水平桌面上绕点B 按顺时针方向旋转至 A ′BC ′的位置时，顶点C 从开始到结束所经过的路径长为(点A 、B 、C ′在同一直线上)A.16πB.38π C .364π D.316π诊断检测一答案：1.120 2.l 433.29π4.A5.D6.D7.D第2题图第4题图第3题图诊断检测二1.在半径为R 的圆中，一条弧长为l 的弧所对的圆心角为（ ） A.lR180π度 B.R l π180度 C.180Rlπ度 D.Rlπ180度 2.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 、AC 的夹角为120°，AB 长为30 cm ，贴纸部分BD 长为20 cm ，贴纸部分的面积为A.800π cm 2B.500π cm 2C.3800π cm 2D.3500π cm 23.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中、A 、B 、C 循环，它们依次相连接，如果AB =1，那么曲线CDEF 的长是（）A.8πB.6πC.4πD.2π4.已知如图，两同心圆中大圆的半径OA 、OB 交小圆于C 、D ，OC ∶CA =3∶2，则和的长度比为（ ）A.1∶1 B .3∶2 C.3∶5 D.9∶25 5.如图，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ）A.(1)(2)(3)B.(2)(3)(4)C.(1)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)DEEF第4题图第3题图第2题图6.已知：如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ，若PA =2 cm ，PC =1 cm ，怎样求出图中阴影部分的面积S ？写出你的探求过程.诊断检测二答案：1.B2.C3.C4.C5.C6.解：∵PA 为切线，连接AC , ∴△PAC ∽△PBA . ∴PA 2=PC ·PB . ∴PB =4.∴AB =3222=-PA PB . ∴OA =3. ∴∠B =30°. 连接O C . ∴∠AOC =60°,S 扇形OAC =23603602ππ=⋅⋅, S △OBC =.43323321=⨯⨯ ∴S 阴=S △APB －S 扇OAC －S △OBC =)2345(π- cm 2.六、布置作业 课本P122 练习 第1、2题第6题图。
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1
人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。
本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。
3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。
4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。
5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上一段弧的长度，而扇形面积则是圆心角所对的区域。这些概念在工程、地理和日常生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们要计算一个半径为10米的半圆的弧长，我们将学习如何使用弧长公式来求解。
然而，我也注意到在小组讨论环节，有些小组的参与度并不高，可能是因为问题设置不够贴近学生的实际经验，或者是我没有给予足够的引导。在未来的教学中，我需要针对这一点进行改进，设计更具启发性和参与性的讨论主题。
实践活动虽然增加了学生对知识的直观感受，但在时间分配上似乎有些紧张。有些小组没有足够的时间完成讨论和实验操作，导致成果展示不够充分。我考虑在下次课中，适当延长实践活动的时间，确保每个小组都有足够的机会来展示他们的成果。
（3）教学难点中的弧度与角度转换，学生需要记住π弧度等于180°，因此在计算中如遇到角度制，需要先转换为弧度制。例如，一个圆心角为60°的扇形，其对应的弧度为π/3（60° × π/180）。
（4）在实际应用中，学生需要将问题描述转化为数学表达式。例如，如果一个公园的圆形喷泉半径是3米，需要清洁的部分占整个圆的1/6，学生需要计算出这部分扇形的面积（A = 1/2 × 3² × π/3）。这个过程中，学生需要识别出圆心角是π/3弧度，这是解决问题的关键。
人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册第24.4节，本节课将重点探讨以下内容：
1.弧长的概念及其计算公式；
2.弧度的概念及其与角度的转换；
3.扇形的定义及扇形面积的计算公式；
4.应用实例：计算给定圆的半径或弧长，求解扇形面积。
24.4 第1课时 弧长和扇形面积 初中数学人教版九年级上册教学课件
解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，
垂足为＝0.3 m， ∴ OD＝OC- DC＝0.3 m. ∴ OD＝DC. 又 AD ⊥DC，
O.
AD
B
C (3)
∴AD是线段OC的垂直平分线.
∴AC＝AO＝OC.
∴ ∠AOD＝60˚，∠AOB=120˚.
弧 圆心角 O
A
B
扇形 O
A
判一判 下列图形是扇形吗？
×
×
√
× √
合作探究
问题1 半径为r的圆,面积是多少？
r
S πr2
O
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几， 具体是多少呢?
r
180°
O
r 90°
O
r 45°
O
n°
r
O
圆心角占 周角的比例
180 360 90 360
45 360
n 360
知识要点
弧长公式
l n 2πR nπR
360
180
注意 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义：n表 示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4， 则弧长为_43__π_.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.
扇形面积占 圆面积的比例
180 360
＝
1 2
90 360
＝
1 4
45 360
＝1
8
n
360
扇形的 面积
1 πr 2 2
1 πr 2 4 1 πr2 8
n πr2 360
知识要点 扇形面积公式 半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》优秀教学案例
1.设计一系列问题，引导学生从已知知识出发，逐步探索和发现弧长和扇形面积的计算方法。
2.通过提问、答疑等方式，引导学生深入思考，激发学生的思维活力。
3.鼓励学生提出问题，培养学生的质疑精神和批判性思维。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组合作，让学生在讨论和交流中共同解决问题，提高学生的团队合作能力。
人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》优秀教学案例
一、案例背景
本节课为人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》，是在学生掌握了角的概念、圆周率以及圆的方程等知识的基础上进行学习的。通过学习弧长和扇形面积，使学生能够进一步理解圆的相关概念，提高解决实际问题的能力。
九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于圆的相关知识也有一定的了解。但是，学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识，对于弧长和扇形面积的计算方法容易混淆。因此，在教学过程中，我将以生活实际为出发点，引导学生通过观察、思考、交流、探究等方式，理解和掌握弧长和扇形面积的计算方法，提高学生的数学素养。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些日常生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、地球等，引导学生观察和思考这些物体与弧长和扇形面积的关系。
2.提出问题：“你们知道硬币的弧长是多少吗？圆桌的面积又是多少呢？”激发学生的求知欲。
3.总结：今天我们将学习弧长和扇形面积的计算方法，帮助大家解决这些问题。
（一）情景创设
1.生活情境：以日常生活中常见的圆形物体为例，如硬币、圆桌、地球等，引导学生观察和思考这些物体与弧长和扇形面积的关系。
2.问题情境：设计一些与弧长和扇形面积相关的问题，如计算硬币的弧长、计算扇形的面积等，激发学生的求知欲。
+24.4.1弧长和扇形面积+课件++2024-2025学年人教版数学九年级上册+-
·自我检测 当堂反馈·
1.一个扇形的圆心角为90o，半径为2，则弧长为
，
扇形面积π为
.
π
2. 一个扇形的弧长为20πcm，面积是240πcm2，则该扇 形的圆心角为 150o .
3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为8cm,则这个扇形的面 积S扇形 =_8_c_m__2 ．
·归纳总结 反思提高·
（1）本节课我们研究的内容是什么？ 弧长和扇形面积公式
（2）小明觉得上面的扇形可近似看成曲边△AOB，其中 可 看作是三角形的底，半径可作为三角形的高，所以他猜测该 扇形面积还可以用三角形的面积公式求得.请你通过计算判断 小明的猜想是否合理，并说明理由.
·活用公式 解决问题·
活动2 推导公式
·活用公式 解决问题·
变式练习 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 3dm，其中水面高度为1.5dm，求截面上有水部分的面积.
（2）我们是怎么研究的？ 从整体到部分 从特殊到一般 类比迁移
（3）本节课你有哪些收获？
·布置作业 分层训练·
基础作业
1.120°的圆心角所对的弧长为
,则此弧所在的圆的半径是
2.如左图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B为圆心，BC长为半径
画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的面积为
链接中考 如右图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交
180°
90°
1°
占整圆的 几分之几
弧长 扇形面积
“数”与“式”
从整体到部分
n°
从特殊到一般
类比思想
·活用公式 解决问题·
趁热打铁 如图，若扇形的半径R是3，∠AOB=120°， （1）求 的长和扇形AOB的面积.
弧长与扇形面积
弧长与扇形面积在几何学中，我们经常使用弧长和扇形面积这两个概念来描述和计算圆的部分。
弧长是指圆上的一段弧的长度，而扇形面积则是由圆心、弧上两点和两条半径所围成的图形的面积。
这两个概念在日常生活和工程应用中都有广泛的应用。
现在，让我们来深入探讨一下弧长和扇形面积的计算方法和应用。
一、弧长的计算假设我们有一个圆，半径为r，圆心角为θ，我们想要计算这个圆的弧长s。
根据圆的性质，我们可以得出以下公式：s = r × θ其中s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的大小。
这个公式的推导过程非常简单。
我们知道一个圆的周长是2πr，而一个圆的圆心角θ占据的比例就是θ/360°，所以弧长s占据的比例就是(s/2πr) = (θ/360°)。
解这个比例我们可以得到上述的公式。
例如，如果一个圆的半径为10cm，圆心角为60°，那么这个圆的弧长可以计算为：s = 10cm × 60°/360° = 16.7cm通过这个公式，我们可以根据圆心角的大小和半径的长度来计算出圆的弧长。
二、扇形面积的计算扇形面积是由圆心、弧上两点和两条半径所围成的图形的面积。
我们可以使用下面的公式来计算扇形面积：A = (θ/360°) × πr²其中A表示扇形的面积，r表示半径，θ表示圆心角的大小。
例如，如果一个圆的半径为5cm，圆心角为90°，那么这个扇形的面积可以计算为：A = (90°/360°) × π × 5cm² = 3.93cm²通过这个公式，我们可以根据圆心角的大小和半径的长度来计算出扇形的面积。
三、弧长与扇形面积的应用弧长和扇形面积的概念在现实生活中有很多应用。
例如，在建筑设计中，弧长可以用来计算拱顶或者圆柱的宽度；扇形面积可以用来计算圆形广场或者圆形花坛的面积。
弧长与扇形面积
弧长与扇形面积弧长和扇形面积是圆的重要性质，在数学和几何学中被广泛应用。
它们不仅在日常生活中有实际应用，而且在科学和工程领域也发挥着重要作用。
本文将以一种简明易懂的方式介绍弧长和扇形面积，包括定义、公式以及应用。
首先，让我们从弧长开始讨论。
弧长是圆周任意一部分的长度，它对应于圆周上的弧。
设圆的半径为r，弧长为s，圆心角为Θ（单位为弧度），则弧长与半径和圆心角的关系可以用下列公式表示：s = rΘ在这个公式中，半径和圆心角分别是s的直接因素。
因此，当半径或圆心角发生变化时，弧长也会相应地发生变化。
接下来，我们来讨论扇形面积。
扇形是圆的一部分，它由圆心和两个半径围成，形如一个尖锐的楔形或扇形。
设圆的半径为r，圆心角为Θ，扇形面积为A，则扇形面积与半径和圆心角的关系可以用下列公式表示：A = (1/2) r²Θ在这个公式中，半径和圆心角同样是A的直接因素。
因此，当半径或圆心角发生变化时，扇形面积也会相应地发生变化。
弧长和扇形面积的应用非常广泛。
在生活中，我们经常要根据轮胎的直径和车速来计算车轮的速度，这个速度实际上就是车轮的弧长。
此外，在建筑和测绘中，测量圆周和圆心角可以用来确定建筑物或地区的面积，而测量扇形的圆心角可以用来计算地表覆盖的广度。
在科学和工程领域，弧长和扇形面积的应用更为丰富。
在物理学中，我们可以用弧长和半径来计算弧的速度，这在动力学中非常有用。
同时，扇形面积可以用来计算物体的表面积和体积，并应用于物体的热力学和流体力学模型中。
总结一下，弧长和扇形面积是圆的重要特性，可以通过简单的公式计算。
它们是数学、几何学以及科学和工程学中的重要工具。
通过应用这些概念，我们可以解决各种实际问题，从而更好地理解和利用圆的性质。
九年级上册数学24.4.1--弧长和扇形面积优质课教学设计
教学过程设计1）圆面积S=πR 2；（2）圆心角为1°的扇形的面积： （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n 倍；（4）圆心角为n°的扇形的面积 = ． 归纳：若设⊙O 半径为R ，圆心角为n°的扇形的面积S 扇形，则扇形面积公式 S 扇形=2应用： 已知扇形的圆心角为120°,半径为2，则这个扇形的面积为多少？⑴已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积，S 扇 ； ⑵已知扇形面积为 ，圆心角为120°，则这个扇形的半径R=____ （3）已知半径为2cm 的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，S 扇= （4）⊙A, ⊙B, ⊙C 两两不相交,且半径都是1cm,则图中的三个扇形的面积之和为多少?弧长的和为多少? 如图2，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m ，其中水面高0.3m ，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m ）（三）弧长公式与扇形面积公式的关系问题：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？得到三、自主探究1、如图，⊙A 、 ⊙B 、 ⊙C 、 ⊙D 两两不相交，且半径都是2cm ，求图中阴影部分的面积？ ABCD落实性，以便发现问题和及时解决问题。
教师引导学生类比弧长公式的推导方法尝试探究扇形面积公式学生独立思考，尝试解题，之后师生交流思路和解法，进一步加深对扇形面积公式的认识.学生比较两个公式，找它们的联系，明确知识之间的联系，在解题时，根据条件，选择适当的公式．教师组织学生进行练习，教师巡回检查，集体交流评价，教师指导学生写出解答过程，体会方法，总结规律.让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总 学生类比推导扇形面积公积公式通过分析，引导学生将复杂问题转化为简单的问题，体现化归思想，同时，理解数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识．运用所学公式迅速、正确解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度和综合运用知识解题的能力． 归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯巩固深化提高lR S 21 扇形2、如图几7-4-3，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于O ABC四、小结归纳1弧长公式2扇形面积公式3弧长公式与扇形面积公式的关系五、作业设计教材124--125页，习题24.4第3、7题补充：如图，从P点引⊙O的两切线PA、PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为板书设计课题弧长公式应用扇形面积公式关系定理应用应用弧长公式与扇形面积公式的关系归纳教学反思补充题。
24.4.1弧长和扇形面积
O
A
4 、已知正三角形 ABC 的边长为 a ，分别 以A、B、C为圆心，以a/2为半径的圆相 切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积 S.
5.一块等边三角形的木板,边长为1,现将 木板沿水平线翻滚(如图),那么B点从开 始至B2结束所走过的路径长度________. (07年湖北)
B1 B2
B B1 F'
B
●
U A C B D E F B2
如图， 矩形ABCD是一厚土墙截面，墙长15 米，宽1米。在距D点5米处有一木桩E，木 桩上拴一根绳子，绳子长7米，另一端拴着 一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多 少？ B
A
.
D E
C
再 见
O
例 1 、制造弯形管道时，要先按中心线计算 “展直长度”，再下料，试计算图所示管道 的展直长度L(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
l 100 900 500 1570（mm）
180
（mm） 因此所要求的展直长度 L 2 700 1570 2970 答：管道的展直长度为2970mm．
如图：在△AOC中，∠AOC=900， ∠C=150，以O为圆心，AO为半径的圆交 AC与B点，若OA=6，求弧AB的长。
C
B
O
A
由组成圆心角的两条半径和圆心角 所对的弧所围成的图形叫扇形．
A O
B
n° o
（1）半径为R的圆,面积是多少？ S=π R2 （2）圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的 扇形？ （3）1°圆心角所对扇形面积是多少？
例2：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截 面半径是0.6cm，其中水面高0.3cm，求截面 上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。
人教版数学九年级上册24.4.1《弧长和扇形面积》说课稿
人教版数学九年级上册24.4.1《弧长和扇形面积》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24章《弧长和扇形面积》是本章的最后一节内容，本节课的主要内容是引导学生探究弧长和扇形面积的计算方法，进一步加深学生对圆的相关知识的理解。
教材通过生活中的实例，让学生感受弧长和扇形面积的实际应用，从而激发学生的学习兴趣。
接下来，我将结合教材内容，分析本节课的教学内容。
二. 学情分析在进入九年级上册的学习之前，学生已经掌握了圆的基本知识，如圆的周长、直径、半径等，他们对圆的知识有一定的了解。
然而，弧长和扇形面积的概念对于学生来说可能较为抽象，需要通过具体实例和实际操作来进一步理解。
此外，学生可能对计算弧长和扇形面积的公式记忆不牢，需要老师在课堂上进行引导和巩固。
三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我设定了以下教学目标：1.让学生理解弧长和扇形面积的概念，掌握计算弧长和扇形面积的方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的合作交流能力，培养他们积极参与课堂活动的习惯。
四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.重点：让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.难点：让学生理解弧长和扇形面积的概念，以及如何将这些抽象的概念运用到实际问题中。
五. 说教学方法与手段为了达到教学目标，突破重难点，我计划采用以下教学方法与手段：1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流来解决问题。
2.利用多媒体课件，展示实例和操作过程，帮助学生直观地理解弧长和扇形面积的概念。
3.运用练习题和实际问题，让学生在实践中运用所学知识，巩固学习成果。
六. 说教学过程接下来，我将详细阐述教学过程。
1.导入：以生活中的实例引入弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解弧长和扇形面积的计算方法，引导学生通过自主探究、合作交流来理解这些方法。
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一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 1 2 s r 或s lr 360 2
练一练
从 练习 中 悟 方 法
nR l 180
1.有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角 是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）.
交弧 AB 于点C．
A
O
D B
C
例题讲解
∵OC＝0.6，DC＝0.3, ∴OD＝OC－DC＝0.3.
在Rt△OAD中，OA＝0.6，利用勾股定理可得，
A
1 OD OA 2
O D C
AD 0.3 3
在Rt△AOD中， ∴∠OAD＝30° ∴ ∠AOD＝60 °，∠AOB＝120°
B
S S扇形OAB S
有水部分的面积
1 0.12 0.6 3 0.3 0.22 m 2 . 2
120 1 2 OAB 360 0.6 2 AB OD
变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的 截面半径是0面积 = S扇+ S △
A D E 0
B
C
规律提升
0
0
S弓形=S扇形-S三角形 S弓形=S扇形+S三角形
弓形的面积是扇形的面积与三角形 面积的和或差
练一练
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为
a 圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴 2
影部分的面积．
A F
E
解：连接AD，则
AD BC
垂足为D
2
B
D
C
根据勾股定理，得
AD
a AB BD a 2
2 2
2
3a . 2
练一练
SABC
1 2 S扇形BDF = a . 24
1 1 3a 3a BC AD a . 2 2 2 4
A
F E B D C
2
又知，S扇形BDF=S扇形CDE=S扇形AEF,
B A
D
C
解：由弧长公式： 得：
180l R n
180l 180 12 R 8.5m. n 81 3.14
答：这段圆弧的半径R为8.5m.
例题讲解
从 练习 中 悟 方 法
例1 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径 是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的 面积（精确到0.01m2）. 解：如图，连接OA、OB，作弦 AB的垂直平分线，垂足为D，
S阴影 =SABC 3S扇形
2 2
3a a 2 3 2 3 a 4 24 8
试
金
石
探究题：如图，PA切圆O于A，OP交圆O 于B，且PB=1，PA= 3，则阴影部分的面积 S=____________．
图2
试
金
石
探究题：如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2cm，求 图中阴影部分的面积。