7结构位移计算与虚功-能量法简述-1
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虚功原理和位移计算
算的物理意义
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
02
位移计算是确定物体位置和运动轨迹的过程，它涉及到对实际
位移的测量和计算。
虚功原理和位移计算在理论和实践上都有广泛的应用，它们在
03
某些情况下是相互关联的。
虚功原理在位移计算中的应用
在某些情况下，位移计算可以通 过虚功原理进行简化。
例如，当分析一个系统在平衡状 态下的位移时，可以使用虚功原
理来找到作用在系统上的力。
现潜在的安全隐患，并采取相应的措施进行维修和加固。
实例二：建筑结构稳定性分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
建筑结构稳定性分析是虚功原理和位移计算的重要应用之 一，通过分析建筑结构的位移变化，可以评估建筑物的稳 定性和安全性。
在建筑结构稳定性分析中，虚功原理和位移计算被广泛应 用于评估建筑物在不同载荷下的稳定性。通过在建筑物上 设置传感器和测量设备，可以实时监测建筑物的位移变化 ，并将数据传输到计算机进行分析。这些数据可以帮助工 程师评估建筑物的稳定性和安全性，及时发现潜在的安全 隐患，并采取相应的措施进行加固和维护。
通过将虚功原理应用于位移计算 ，可以确定系统在平衡状态下可
能的位移。
位移计算在虚功原理中的应用
01
位移计算的结果可以用来验证虚功原理的正确性。
02
通过测量和计算实际位移，可以验证虚功原理是否 成立。
结构力学教学 虚功原理与结构位移计算
B EA
EA 3
3
Q
AkFQPFQ ds kqR2 1 (1 cos3 )
B GA
GA 3
设h/R=1/3，E/G=8/3，I/A=h2/12
N 1 M 600
90 Q 1 M 375
M
qR4 3EI
N
2qR2 3EA
k qR2 Q 3GA
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-6 试求图(a)所示简支梁两端截面A、B的相对转角△。
桁梁混合结构
MM P ds FN FNPl
EI
EA
MM EI
P
ds
拱
MM P EI
ds
FN FNP EA
ds
§5-4 荷载作用下的位移计算举例
例5-3 试求图(a)所示悬臂梁在A端的竖向位移△，并比 较弯曲变形与剪切变形对位移的影响。梁的截面为矩形。
实际荷载作用下的内力如图(a) 虚设单位荷载作用下的内力如图(b)
为材料的线膨胀系数。
由图(b)，杆件的轴线温度
t0
h1t2
h
h2t1
上下边缘的温差 t t2 t1
t0
d t
ds h
得
FNt0ds
M
tds
h
若t0、△t、h沿每一杆长为常数则
t0
FNds
t
h
M
ds
§5-6 温度作用时的位移计算
例5-11 试求图(a)所示刚架C点的竖向位移△C。各杆截面为矩形，
（3）由虚功方程解出拟求位移 FRKcK
若△为正值，表示位移的实际方向与所设单位荷载方向一致。
§5-2 结构位移计算的一般公式
1. 局部变形时静定结构的位移计算举例 例5-1 图(a)所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角θ。
结构位移计算与虚功-能量法简述
简称
外力功W =内力功Wi
虚功原理的证明见书P185
第5章 虚功原理与结构位移计算
5-1-3 虚功原理适用条件
1 力系平衡条件
F 0 F 0 M 0
x y
d FN p d x 0 d FQ q d x 0 d M FQ d x 0
第5章 虚功原理与结构位移计算
例 B a A
已知：各杆EA相同，求： CH 、 CV
1
FP
2 FP
a
C
B
1
C 1
B
1
2
C
FP
D A FP D A
D
FNP
解
FN1
FN 2
1 2 2 F a EA
P
CH
FP a EA
CV
第5章 虚功原理与结构位移计算
1 B EI
1
2 1 FP l ( 2 FP l l ) 1 2 EI
1 B EI
2 F l 1 P ( l 1) F l 2 P 2 EI
MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。
第5章 虚功原理与结构位移计算
第5章 虚功原理与结构位移计算
（2） 图形的面积和形心(书P146）
ql2/8 a × 3a/8
A 2 ab 3
b
× a
b
a/4
1 A ab 3
图形的形心与面积一定要与荷载对应
第5章 虚功原理与结构位移计算
（3） 图形的分解
2 按图形分解 1 × A1 × A1 × y1 y2 y1 A2
第5章 虚功原理与结构位移计算
结构力学(虚功原理和结构位移计算)
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。
第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
d F q d x 0 Q
得
( a )
d MF Q d x 0
Q 12 Q
[ ( dd F p x ) u ( dd F q x ) ( w w ) ( d M F d x ) ] 0( b )
B AN
将含有“dx”的项合并，得
B 12 Q A N 12 Q
B B A A
() d
将式（d）第一项积分号去掉，得
[ u F ( ww 2 ) F M ] [ F d u F d ( ww 2 ) M d ] d x N 1 Q Q 1 A N
B B A
p u q ( w w ) ] d x d x 0 1 2 Q [ F
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
wB
A
w
dx u u+du
d udx
wq
dw 1 0 dx
0
wq+dwq
w1：由剪切变形引起 的竖向位移
wM
d
wM+dwM w 由弯曲变形引起 2：
的竖向位移
dw 2 dx
6-1-2 变形体虚功原理的证明
由力的平衡方程： d F p d x 0 N
P i i R kk
F F M ) d x N Q0 (
l
6-2 变形体虚功原理的应用
6-2-1 荷载作用时的位移计算 虚功原理的一般公式
F Fc d) x u ( q d) x w (p
P i i R kk l
F F M ) d x N Q0 (
2 q x B C : M 2 M 0M 1 P 1 2 2
虚功原理与结构位移计算
考虑材料非线性时结构位移计算
01
材料非线性本构关系
建立考虑材料非线性的本构关系模型，如弹塑性模型、粘弹性模型等。
02
结构非线性分析方法
采用适当的非线性分析方法，如增量法、迭代法等，对结构进行非线性
分析。
03
材料非线性对结构位移的影响
分析材料非线性对结构变形和位移的影响，包括塑性变形、蠕变等。
06
性。
刚架式结构位移计算
计算模型建立
针对刚架式结构的特点，建立适当的计算模型，如平面刚架、空间刚架等。
荷载作用分析
分析刚架式结构在荷载作用下的内力分布，包括轴力、弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导刚架式结构在荷载作用下的位移计算公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分析结果，验证计算方法的准确性。
有限差分法在结构位移计算中应用
01
差分方程建立
有限差分法通过差分近似微分的 方式，将偏微分方程转化为差分 方程，简化计算过程。
计算效率
02
03
适用范围
有限差分法在处理规则网格时具 有较高的计算效率，适用于大规 模并行计算。
有限差分法在建筑、水利、交通 等工程领域的结构位移计算中发 挥重要作用。
无网格法在结构位移计算中应用
梁式结构位移计算
计算模型建立
根据梁式结构的特点，建立适 当的计算模型，如简支梁、悬
臂梁等。
荷载作用分析
分析荷载作用下的结构内力， 包括弯矩、剪力等。
位移计算公式推导
根据结构力学原理，推导梁式 结构在荷载作用下的位移计算 公式。
实例计算与结果分析
结合具体实例，进行计算并分 析结果，验证计算方法的正确
虚功原理和结构位移
土木工程2010-1班
虚功原理和结构位移计算
虚功原理 结构位移的一般计算
图乘法 温度改变而引起的位移计算
线弹性结构的互等定理
虚功原理（Principle of Virtual Work）
对于具有理想约束的刚体体系，设体系上作用 任意的平衡力系，又假设体系由于某种外界因素发 生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力 在位移上所做的虚功总和W恒等于零。
F P 1，利用分段叠加，
F
N
，如图 ( b )、 )所示。 (cBlຫໍສະໝຸດ 2l/2CB
C 1
1
D FP=1
D FP=1
A l/2 (b)
A (c)
（3）利用在外界因素温度作用下，静定结构位移计算公式得
D
F
N
t0l
2
5 8
t
h
M ds
10 l 15 l l 10
+10°C
解：（1）杆件的轴线温度t0为
B +20° C
C
t0
t1 t 2 2
10 C 20 C 2
15 C
D
杆件上、下边缘的温差∆t为
t t 2 t1 20 C 10 C 10 C
A
l (a)
( 2 )在 D 点虚设水平单位力 作弯矩图 M 和轴力图
体系虚功原理
虚设力系——计算位移
例：如图所示三铰刚架右边支座的竖向位移为 ∆By=0.06m（向下），水平位移为∆Bx=0.04m（向右）， 已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角φA。
C
C
h
解：虚拟状态如左图所示，
虚功原理和结构位移计算
虚功原理 结构位移的一般计算
图乘法 温度改变而引起的位移计算
线弹性结构的互等定理
虚功原理（Principle of Virtual Work）
对于具有理想约束的刚体体系，设体系上作用 任意的平衡力系，又假设体系由于某种外界因素发 生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力 在位移上所做的虚功总和W恒等于零。
F P 1，利用分段叠加，
F
N
，如图 ( b )、 )所示。 (cBlຫໍສະໝຸດ 2l/2CB
C 1
1
D FP=1
D FP=1
A l/2 (b)
A (c)
（3）利用在外界因素温度作用下，静定结构位移计算公式得
D
F
N
t0l
2
5 8
t
h
M ds
10 l 15 l l 10
+10°C
解：（1）杆件的轴线温度t0为
B +20° C
C
t0
t1 t 2 2
10 C 20 C 2
15 C
D
杆件上、下边缘的温差∆t为
t t 2 t1 20 C 10 C 10 C
A
l (a)
( 2 )在 D 点虚设水平单位力 作弯矩图 M 和轴力图
体系虚功原理
虚设力系——计算位移
例：如图所示三铰刚架右边支座的竖向位移为 ∆By=0.06m（向下），水平位移为∆Bx=0.04m（向右）， 已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角φA。
C
C
h
解：虚拟状态如左图所示，
第六章结构位移计算与虚功——能量法简述
局部变形时静定结构的位移计算举例 局部变形时的位移公式 结构位移计算的一般公式 位移计算的一般步骤 广义位移和虚设状态
Page10
局部变形时静 定结构的位移计算举例
例6－1 图6－5a所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角 θ。求A点的竖向位移 ∆ 解：图6－5a中的实际位移 状态改用图6－5b来表示。 在B处加铰，把实际位移状 态明确的表示为刚体体系 的位移状态。 虚设力系如图6－5c所示， 在A点沿拟求位移方向虚设 单位荷载，在铰B处还必须 虚设一对弯矩 M 。
d ∆ = M dθ + Nd λ + Qdη = ( M κ + Nε + Qγ 0 )ds
Page16
结构位移计算的一般公式
一般公式 ∆ = ∑ ( M κ + Nε + Qγ 0 )ds − ∑ FRK cK ∫ 这里的积分号表示沿杆件长度积分，总和号表示对结构 中各杆求和。其中最后一项表示给定支座位移Ck的影响。 结构位移计算的一般公式还可用变形体的虚功原理导出： 由外虚功＝内虚功，即： W = Wi 得：
Page30
桁架的位移计算
例6－4 图6－11a为一屋架，屋架的上弦杆和其它压杆采用钢 筋混凝土杆，下弦杆和其它拉杆采用钢杆。计算简图如6－ 11b所示。设屋架承受均布荷载q作用。试求顶点C的位移。 解 （1）求Np 先将均布荷载q化为节 点荷载F＝ql/4。求节 点荷载作用下的Np。 为了简便计算，节点 荷载取为单位值（图6 －12），图中给出的 内力数值乘以F后，即 为轴力Np。
Page11
局部变形时静 定结构的位移计算举例
根据平衡条件可求出 的数值： = 1 ⋅ a M 图6－5c中的平衡力系在图6－5b中的实际位移上作功， 得虚功方程如下：
Page10
局部变形时静 定结构的位移计算举例
例6－1 图6－5a所示悬臂梁在B处两个相邻截面有相对转角 θ。求A点的竖向位移 ∆ 解：图6－5a中的实际位移 状态改用图6－5b来表示。 在B处加铰，把实际位移状 态明确的表示为刚体体系 的位移状态。 虚设力系如图6－5c所示， 在A点沿拟求位移方向虚设 单位荷载，在铰B处还必须 虚设一对弯矩 M 。
d ∆ = M dθ + Nd λ + Qdη = ( M κ + Nε + Qγ 0 )ds
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结构位移计算的一般公式
一般公式 ∆ = ∑ ( M κ + Nε + Qγ 0 )ds − ∑ FRK cK ∫ 这里的积分号表示沿杆件长度积分，总和号表示对结构 中各杆求和。其中最后一项表示给定支座位移Ck的影响。 结构位移计算的一般公式还可用变形体的虚功原理导出： 由外虚功＝内虚功，即： W = Wi 得：
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桁架的位移计算
例6－4 图6－11a为一屋架，屋架的上弦杆和其它压杆采用钢 筋混凝土杆，下弦杆和其它拉杆采用钢杆。计算简图如6－ 11b所示。设屋架承受均布荷载q作用。试求顶点C的位移。 解 （1）求Np 先将均布荷载q化为节 点荷载F＝ql/4。求节 点荷载作用下的Np。 为了简便计算，节点 荷载取为单位值（图6 －12），图中给出的 内力数值乘以F后，即 为轴力Np。
Page11
局部变形时静 定结构的位移计算举例
根据平衡条件可求出 的数值： = 1 ⋅ a M 图6－5c中的平衡力系在图6－5b中的实际位移上作功， 得虚功方程如下：
《结构力学》第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
1 2
ql 2 2
l
2 3
l
1 3
ql 2 2
l
3 4
l
7ql4 24EI
6-2 变形体虚功原理的应用
MP图按叠加法分解
ql2 ql2
MP图
+ ql2/8
l M图
1
BV
1 EI
l
FPl 2 2EI
MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。
6-2 变形体虚功原理的应用
已知：EI=常数。求B点的转角。
a
4EI
EI EI
A
B FP
a
FPa MP图
1
1
M图
解
B
1 4EI
FPa a
1 2
1 EI
1 2
FPa
a
AB :
MP
qa2 2
M1 x1
M 2 1
BC :
MP
qx22 2
M1 0
M 2 1
6-2 变形体虚功原理的应用
AB :
MP
qa2 2
BC :
MP
qx22 2
M1 x1 M 2 1 M1 0 M 2 1
CH
1 EI
AB
M P M1
d
x1
将含有“dx”的项合并，得
B
A [ud FN (w1 w2 )d FQ d M ] [ pu q(w1 w2 ) FQ ]d x 0 (c)
结构力学-虚功原理和结构的位移计算
30 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第四节 图乘法及其应用
受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：
∑ ∫ ΔiP =
MMP ds EI
称莫尔积分
在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方 便。下面寻求一种简单的计算位移的法。
利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘
31 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
6 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀
缩、③支座移动和制造误差。
7 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第一节 位移计算概述 4 体系特征假定
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12 = FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。11 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第二节 变形体虚功原理
注意：
外力虚功
∑ We = 1 ⋅ Δk + FRi ⋅ ci
内力虚功
Wi = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη
由虚功方程 We = Wi
Δk = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη − ∑ FRici
虚功原理与结构位移计算
第五章 虚功原理与结构位移计算概 述1．结构的位移（1）结构的位移结构在外因的影响下将产生变形，由于变形使结构上各截面的位置将发生变化，这种位置的变化称为位移。
（2）位移的分类及表示位移可分为线位移Δ及角位移φ，为计算方便常把线位移分解为水平及竖直两个方向，分别用ΔC x (或ΔCH )、ΔC y (或ΔCV )表示，如图5-1所示。
角位移用φC (或θC )表示如图5-2所示。
位移的表示符号右下方有两个脚标，其物理意义为：第一个脚标表示发生位移的截面，第二个脚标表示位移的方向(或引起位移的原因)。
位移又可分为绝对位移（如图5-1所示）及相对位移，如图5-2中C 、D 两截面的水平线位移ΔC x 、ΔD x 之和ΔCD =ΔC x +ΔD x 表示C 、D 两截面在水平方向上的相对线位移，又如φAB =φA +φB 表示A 、B 两截面的相对转角。
无论是绝对位移或相对位移，今后统称为广义位移，可用Δ表示。
图5-1 图5-22．计算结构位移的目的 （1）验算结构的刚度结构在外因影响下如果变形太大，同样会影响结构的正常使用，为此在各种结构的设计规范中，对结构的刚度都有一定的要求。
（2）结构在施工过程中需要计算位移结构在施工过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，而这种变形与结构正常使用时完全不同。
如图5-3为悬臂拼装架梁的示意图。
在正常使用时，该简支梁的最大挠度在跨中，而在施工时悬臂端B 处的挠度最大，该挠度值也成为在结构设计时的控制因素之一。
（3）为超静定结构的计算打基础(b)(a)在超静定结构的计算中，除考虑平衡条件外，还必须考虑变形协调条件，因此计算结构的位移是解超静定结构的一个重要手段。
图5-3（4）结构的动力计算和稳定计算中也需要计算结构的位移。
3．计算位移时的有关假定（1）结构的材料服从虎克定理。
即应力与应变呈线性关系。
（2）结构的变形很小，可以认为结构变形前后的几何尺寸相同，称为弹性小变形问题。
第五章位移计算与虚功原理—能量法简述
现分别使图中的两种虚设力系，得出虚功方程如下:
1 1 C c A 0 3 1 1 cA 0 2l 1 C c A 3 1 cA 2l
其中支座 A 的反力作负功(因为反力与位移 CA 的方向相反),支座 B 和 D 求得的位 移都是正值,表明位移的实际方向与所设单位荷载的方向一致。 由此看出,所求位移与支座移动的位移成正比 ,它们之间的比例系数正好就是虚 设单位荷载在支座引起的反力。
为此,对图中的位移状态应用虚功原理。这里,位移状态是给定的,力系则可根据 我们的意图来虚设。 我们的意图是:为了便于求出△,希望在虚功方程中除了拟求的未知位移△外,不 再包含别的未知位移。因此,在选择虚力系时应当只在拟求位移△的方向设置单位荷 载,而在其他处不再设置荷载。这个单位荷载与相应的支座反力组成一个虚设的平衡 力系,根据平衡条件,可求出支座 A 的反力
结构各点产生位移时,结构内部是否也同时产生应变呢?这里有两种情况:
在图中,如果静定多跨梁的支座 A 有给定的位移 CA,那么杆 AC 将绕 B 点转动,杆 CD 绕 D 点转动。这时,各杆只发生刚体运动,而应变却等于零。
又在图中,简支梁在荷载 q 作用下,各点产生线位移(挠度' )； 同时,梁内由于承 受弯矩 M 而产生曲率κ (曲率半径 R 的倒数)和应变ε (一边纤维拉伸,一边纤维压缩)。 在上面两个例子中,前一个是刚体体系的位移问题(有位移,但无应变)； 后一个是 变形体体系的位移问题(有位移,也有应变)。 计算位移的问题原是一个几何问题,因此可采用几何方法求解。但是位移计算虽 然是一个几何问题,但最好的解法并不是几何法,而是虚功原理(这里虚功原理的应用 形式称为虚力法)。 3.虚功原理的另一种应用形式—虚力原理(虚设力系,求位移) 在第四章,讨论了虚功原理及其在静定结构内力计算中的应用,并且强调指出:位移与 力系是独立无关的。既然位移与力系无关,因此,不仅可以把位移看作虚设的,而且也 可以把力系看作虚设的,这里正是利用虚功原理的这一应用形式,求刚体体系的位移。 例如图中的静定梁,支座 A 向上移动一个已知距离 C1,现在拟求 B 点的竖向位移
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FPl
MP图
1 l l 5FP l 2 2 2 6 5FP l 3 = ↓ 48EI
( )
l/2
FP =1
CV
M图 图
1 l 1 2 FP l l 3 2 FP l 3 = ↓ 12 EI 1 = EI
( )
取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。 取面积的范围内，另外一个图形必须是直线。
+
y2
积分= A y1 + A2 y2 1
积分= A y1 + A2 y2 1
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
3 ×A1 ×A2 M1 y1 y2 ×A1 M2 按荷载分解 M1 M2 M2
积 = A y1 A y2 分 1 2
＋
M1 A2 ×
＋
× A3 y3 y1
积 = A y1 A y2 A y3 分 1 2 3
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
例 FP r r FNP MP FP B FQP r θ
M P = FP r sin θ FQP = FP cos θ FNP = FP sin θ M P = r sin θ FQ = cos θ FN = sin θ
BV
FP r 2 sin 2 θ kFP cos 2 θ FP sin 2 θ )d s =∫ ( + + 0 EI GA EA
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
6-1-2 虚功原理
虚功原理：变形体的一组平衡(虚)外力在其协调的 真实 虚功原理：变形体的一组平衡 虚 外力在其协调的 真实) 外力在其协调的(真实 虚功原理 虚位移上所做的虚功W=这组 虚 外力产生的内力在 真实) 外力产生的内力在(真实 虚位移上所做的虚功 这组(虚)外力产生的内力在 真实 这组 虚变形上所做的虚功之和Wi。 虚变形上所做的虚功之和
M=1
FP l 2 1 1 θB = ( FP l l 1) = EI 2 2 EI
MP、M图均为直线，纵坐标可从任意图形中选。 图均为直线， 图均为直线 纵坐标可从任意图形中选。
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
已知： 常数。 点的转角。 已知：EI=常数。求B点的转角。 常数 点的转角 1
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
6-2 虚功原理的应用 6-2-1 荷载作用时的位移计算
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
位移状态 虚设： 虚设：力状态
1
△
d u d w1 d θ FNP FQP MP
FN
FQ
M
外力虚功： 外力虚功：
W = 1 =
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
6-1 虚功原理 6-1-1 虚位移
△
虚力
虚功
FP
虚位移：与对应的力无关的位移， 虚位移：与对应的力无关的位移，△→ FP 与对应的位移无关的力， 虚 力：与对应的位移无关的力， FP → △ 彼此无关的位移与力的乘积， 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP ×△
= ∑∫
N NP
l
EA
dx+
P
EI
dx
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
例 B a A 已知：各杆 相同 相同， 已知：各杆EA相同，求： CH、 CV
1
F P
2F F P P
C
B
1 C 1
B
1
2
C
D a A FP
D A
D
FNP
解
FN1
FN2
CH
FPa = ( →) EA
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
已知： 常数。 已知：EI=常数。 常数 求:△BV △ ql/2 q A l B 解： MP图按荷载分解： 图按荷载分解： ql2/2
ql2/2
+
ql2 MP图 BV 1 = EI 1 ql 2 2 1 ql 2 3 l l + l l 3 3 2 4 2 2 7 ql 4 = 24 EI
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
各类结构的计算公式简化 刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移 刚架、 刚架
MMP = ∑∫ dx l EI
对于桁架：只有轴力 对于桁架： 对于桁架
FNFNP FNFNPl = ∑∫ d x =∑ l EA EA
对于拱：通常只有弯曲一项。当拱轴与压力曲线相 对于拱：通常只有弯曲一项。 对于拱 近 时，需考虑弯曲和轴向变形两项。 需考虑弯曲和轴向变形两项。 FF MM
y2
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
折线要分段
A1 ×
× A2 y1
y2
积 = A y1 + A y2 分 1 2
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
已知： 常数。 已知：EI=常数。求△CV 常数 C l/2 l/2 FP B 解：
A
CV
1 = EI
简称
外力功W 内力功 内力功W 外力功 =内力功 i
虚功原理的证明见书P272 虚功原理的证明见书
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
6-1-3虚功原理适用条件 1力系平衡条件 力系平衡条件 页图6-31 图270页图 页图
∑F = 0 ∑F = 0 ∑M = 0
x y
d FN + p d x = 0 d FQ + q d x = 0 d M + FQ d x = 0
4EI
a
EI
EI
FPa FP MP图 M图 图 M=1
A a 解：
B
“-”说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反 说明实际的转角方向与所设的单位力方向相反
1 1 1 1 θAB = FPa a 1 FPa a EI 2 2 4EI 5 = FPa2 ( ) 8EI
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
s
FP r 2 sin2 θ kFP cos2 θ FP sin2 θ = ∫2( + + )r dθ 0 EI GA EA FP r FP r π FP r 3 = +k + = M + N + Q 4 EI GA EA
π
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
讨论
图形的面积和形心( P259） （2） 图形的面积和形心(书P259）
ql2/8 a × 3a/8
2 A = ab 3
b
× a
b
a/4
1 A = ab 3
图形的形心与面积一定要与荷载对应 图形的形心与面积一定要与荷载对应 荷载
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
（3） 图形的分解 2 按图形分解 1 × A2 A1 × A1 × y1 y2 y1 ×A2
位移公式变成： 位移公式变成：
FN FNP kFQ FQ P MM P )d x = ∑∫ ( + + l EA GA EI
△的物理意义： 单位力在位移△上所做的虚功， 的物理意义： 单位力在位移△上所做的虚功， 在数值上等于位移。 在数值上等于位移。 (1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； 表达式; (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .FN .FQ 表达式 (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
(1)
分布荷载与截面内力之间的关系
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
2变形平衡条件 变形平衡条件 u wA
θA
uB
θ
w
uA
θB
变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、 变形与位移协调:位移连续、杆件变形后不断开、 不重叠。 不重叠。 位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于 位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于 约束位移。 约束位移。
l
1 θA = EI
1 2 ql 4 ∫0 2 qx 1d x = 6EI (
)
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
已知：各杆 为常数 为常数。 已知：各杆EI为常数。求： CH、θC q qa2/2 B C a A a MP图
1
1
M1图 M2图
a 解：
AB : M P = qx 2 2 M 1 = 0 M 2 = 1
wB
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
dx
FNP
u
FNP u+du
F QP
γ0
du = ε d x
d w1 = γ 0 d x
w1：由剪切变形引起 ： 的竖向位移
F QP w1
w1+dw1
MP
w2
θ
MP
θ + dθ
w2+dw2
d w2 = θ d x
w2：由弯曲变形引起 ： 的竖向位移
CV
(1+ 2 2) F a(↓) = EA
P
结构位移计算与虚功第6章 结构位移计算与虚功-能量法简述
θ 已知： 常数。 已知：EI=常数。求： AV、 A 常数
q A l x 解：
1 2 MP = qx M1 = x 2
1 = EI 1 = EI
M2 =1
1
AV
∫M
0 l
l
P