高中数学 知识点总结 新人教A版选修44
数学选修44知识点
数学选修44知识点——从“一步一步思考”开始引言数学作为一门学科，是人类智慧的结晶，也是培养逻辑思维和解决问题能力的重要工具。
在数学选修44知识点中，我们将会学习一些基础的数学概念和方法，为进一步学习数学打下坚实的基础。
本文将以“一步一步思考”为主题，介绍数学选修44知识点的一些重要内容和解题思路。
1. 函数函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种映射关系。
在学习函数的过程中，我们需要理解函数的定义、性质和图像等方面的知识。
定义函数函数的定义是指通过一定的规则，将自变量的值对应到函数值的过程。
例如，我们可以定义一个函数f(x)，表示x的平方。
这样，对于任意给定的x，我们都可以通过计算x的平方来得到对应的函数值。
函数的性质函数有许多重要的性质，例如奇偶性、单调性、周期性等。
这些性质可以帮助我们对函数进行分类和分析，从而更好地理解函数的特点和行为。
函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的几何表示，它可以帮助我们直观地了解函数的变化情况。
通过观察函数的图像，我们可以得到函数的一些重要特征，例如零点、极值点和拐点等。
2. 三角函数三角函数是描述角度和边长之间关系的一类函数。
在学习三角函数时，我们需要熟悉正弦函数、余弦函数和正切函数等基本三角函数的定义和性质。
正弦函数正弦函数描述了一个角度的正弦值与其对边与斜边的比值之间的关系。
正弦函数的图像是一条周期为2π的曲线，可以帮助我们研究周期性现象和波动现象。
余弦函数余弦函数描述了一个角度的余弦值与其邻边与斜边的比值之间的关系。
余弦函数的图像也是一条周期为2π的曲线，它与正弦函数的图像相似，但有一定的相位差。
正切函数正切函数描述了一个角度的正切值与其对边与邻边的比值之间的关系。
正切函数的图像是一条周期为π的曲线，它在某些情况下可以帮助我们求解三角函数的简化形式。
3. 数列与数列极限数列是按照一定规律排列的一串数。
学习数列的概念和性质可以帮助我们更好地理解数学中的无穷概念和极限思想。
新课标人教a版高中数学全部知识点
新课标人教a版高中数学全部知识点新课标人教A版高中数学涵盖了丰富的知识点，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
以下是该版本高中数学的全部知识点概述：1. 集合论- 集合的概念和表示- 集合的运算（交集、并集、补集、差集）- 子集和幂集- 集合恒等式和代数运算2. 函数- 函数的定义和性质- 函数的表示方法（解析式、图象、列表）- 函数的单调性、奇偶性和周期性- 反函数和复合函数- 基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）3. 三角学- 三角函数的定义- 三角函数的图象和性质- 三角恒等式- 解三角形- 三角函数的反函数4. 向量- 向量的基本概念- 向量的运算（加法、减法、数乘、点积、叉积）- 向量的坐标表示- 向量在几何和物理中的应用5. 几何- 平面几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） - 空间几何（立体几何、向量空间）- 几何证明方法- 几何变换（平移、旋转、缩放）6. 概率与统计- 随机事件和概率- 概率的计算- 随机变量及其分布- 统计数据的收集、整理和分析- 统计图表和统计量7. 数列与级数- 数列的概念和性质- 等差数列和等比数列- 数列的求和- 无穷级数的概念和性质8. 微积分- 极限的概念和性质- 导数的概念和运算- 微分的应用- 积分的概念和运算- 积分的应用9. 线性代数- 矩阵的概念和运算- 行列式的概念和性质- 线性方程组的解法- 向量空间和线性变换10. 算法与逻辑- 算法的基本概念- 逻辑运算和逻辑推理- 算法的实现和优化这些知识点构成了高中数学的基础框架，通过系统学习，学生可以掌握数学的基本概念、原理和方法，为进一步的学习和研究打下坚实的基础。
【精编】高中数学选修4-4知识点清单
高中数学选修44坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：2.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x2＋y2，θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y ＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
高中数学知识点总结选修4
高中数学知识点总结选修4一、函数与方程函数是高中数学中的核心概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在选修4中，我们主要学习了以下几种函数：1. 指数函数：形如y=a^x的函数，其中a是正实数且a≠1。
指数函数的图像是单调的，当a>1时，函数是增长的；当0<a<1时，函数是衰减的。
2. 对数函数：形如y=log_a(x)的函数，其中a是正实数且a≠1。
对数函数与指数函数互为反函数，其图像也是单调的，但与指数函数的单调性相反。
3. 三角函数：包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
这些函数在解决与角度和三角形有关的问题时非常重要。
4. 函数的运算：包括函数的四则运算、复合函数、反函数等。
这些运算规则帮助我们理解和变换函数。
方程是数学中另一个重要的概念，它描述了变量之间的相等关系。
在选修4中，我们学习了解一元二次方程、指数方程、对数方程等。
二、数列与数学归纳法数列是由按照一定顺序排列的数构成的，它可以是有限个数，也可以是无限个数。
在选修4中，我们主要学习了等差数列和等比数列。
1. 等差数列：每一项与前一项的差是常数的数列。
等差数列的通项公式和求和公式是解决相关问题的关键。
2. 等比数列：每一项与前一项的比是常数的数列。
等比数列的通项公式和求和公式同样非常重要。
数学归纳法是一种证明方法，它通过证明基础情况和归纳步骤来证明与自然数相关的命题。
数学归纳法在证明数列的性质时非常有用。
三、解析几何解析几何是研究几何图形的代数性质的数学分支。
在选修4中，我们学习了以下几个重要的主题：1. 直线与圆的方程：通过代数方程来描述直线和圆的位置关系，包括相交、相切和平行。
2. 圆锥曲线：包括椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线的方程和性质在解决实际问题时非常有用。
3. 参数方程与极坐标：这些是描述几何图形的另外两种方法，它们在某些情况下比直角坐标系更为方便。
四、概率与统计概率论是研究随机事件的数学分支，而统计学则是收集、分析、解释和呈现数据的科学。
高中数学 第二讲 参数方程章末归纳提升 新人教A版选修44
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第二讲 参数方程章末归纳提升 新人教A 版选修4-4参数方程—错误!)—圆锥曲线的参数方程—错误!)—直线的参数方程—参数t 的几何意义及应用—渐开线与摆线—错误!)))圆锥曲线的参数方程及应用 对于椭圆的参数方程，要明确a ，b 的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x＋y 的最大值和最小值．【解】 ∵椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)． 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2.当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.直线的参数方程及应用 在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点，(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长．【解】 将直线l 的参数方程代入圆的方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3. (2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上，则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.参数法及应用 参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．(2013·三门峡质检)如图2－1，已知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，直线l和抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图2－1(1)P 、M 两点间的距离|PM |； (2)线段AB 的长|AB |.【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t y ＝45t(t 为参数)．∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0.设这个二次方程的两个根分别为t 1、t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得|PM |＝|t 1＋t 22|＝1516.(2)|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝5873.因此线段AB 的长为5873.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)， 设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得 x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ， 所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由直角坐标与极坐标关系得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆， 因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为 |0－0＋1|12＋－12＝12＝22， 所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22.曲线的参数方程与普通方程的互化 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程 . (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数．【解】 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ.∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ.因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (2)设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A 的任一点，则y －4x＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2，易知A (0,4)也适合此方程．另有一点⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2－164＋k2，(k 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.综合检测(二)第二讲 参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·周口质检)下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0， 因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上，∴⎩⎨⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π，∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)的斜率为( )A ．2B ．－2 C.32 D ．－32【解析】 直线的普通方程为2x ＋y －8＝0，∴斜率k ＝－2. 【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92，∴k OA ＝tan α＝y x＝－3，且0≤α<π，因此α＝23π.【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ.∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144，整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆．【答案】 C6．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74 B.73 C.72 D.75【解析】 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ，的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A. 【答案】 A 7．点P (4,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝4t (t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．4C ．4 2D ．8【解析】 将参数方程化为普通方程y 2＝16x ，则点P (4,0)是其焦点．根据抛物线定义，曲线上任一点到焦点的距离最小的点是顶点(0,0)，故最小距离为4.【答案】 B8．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B.π4或3π4 C.π3或2π3 D ．－π6或－5π6【解析】 直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4sin α|sin 2α＋cos 2α＝2，即|sin α|＝12. ∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A. 【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ.消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意， Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0. 解之得2－2<b <2＋ 2. 【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．2B ．4 C.92 D ．5【解析】 由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3，令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝4. 【答案】 B11．(2013·新乡模拟)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点(－1，12)D ．抛物线的一部分，且过点(1，12)【解析】 由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋cosπ2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 【答案】 D 12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3【解析】 将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0.【答案】 x ±y ＝014．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ，(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．【解析】 消参数θ得曲线C 1的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，将ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，两圆的圆心距为5，故|AB |的最小值为5－1－1＝3.【答案】 315．(2013·焦作调研)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，且0≤α≤π)，与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.【解析】将参数方程化为普通方程，直线y ＝x ·tan α，圆(x －4)2＋y 2＝4，如右图所示，sin α＝24＝12，则α＝π6或5π6.【答案】 π6或5π616．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】 由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin(θ＋π4)＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c ＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63. 【答案】63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4，∴圆心O (0,0)，半径r ＝2.(2)当θ＝53π时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－ 3.∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围．【解】 (1)由C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝3sin φ，得∴(x4)2＋(y3)2＝1即x 216＋y 29＝1.(2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)，(θ由tan θ＝83确定)．∴2x ＋y ∈[－73，73]．∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16.∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0.设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9. |AB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为2x ′＋2x x ′－x2＝25.21．(本小题满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．22．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)与曲线x 216＋y 212＝1交于A ，B 两点．(1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|PA |·|PB |的最大值．【解】 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)，∴y x －2＝t sin αt cos α＝tan α， ∴直线l 的普通方程为x tan α－y －2tan α＝0. 直线l 通过的定点P 的坐标为(2,0)．(2)∵l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，右焦点坐标为P (2,0)，∴3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0，即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0. ∵直线l 过椭圆的右焦点， ∴直线l 恒与椭圆有两个交点，∴t 1·t 2＝－363＋sin 2α， 由直线参数方程t 的几何意义，∴|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝363＋sin 2α， ∵0≤α<π，且α≠π2，则0≤sin 2α<1，因此|PA |·|PB |的最大值为12.。
高中数学选修四总结知识点
高中数学选修四总结知识点数学作为一门重要的学科，其选修四内容更是深入实用，涉及到了更加广泛的数学领域。
在这门课程中，我们将接触到更加复杂的数学知识，并且需要具备更强的逻辑推理能力和数学分析能力。
一、数列和数学归纳法1. 数列的概念和性质数列是一组按照一定规律排列的数，其中包括等差数列、等比数列等常见的数列形式。
利用数列的性质和通项公式，可以求解数列的前n项和以及无穷项和，从而应用数列解决实际问题。
2. 数学归纳法数学归纳法是证明命题的一种数学思维方法，通过证明第一步成立，然后假设n=k时成立，证明n=k+1时也成立，从而推断出对于任意自然数都成立。
数学归纳法在证明数列的性质和公式时起到了重要的作用。
二、函数与极限1. 函数的概念和性质函数是一种特殊关系，其包括映射的概念、奇函数和偶函数的性质以及反函数的求解等内容。
函数在现实生活中有着广泛的应用，因此我们需要熟练掌握函数的性质和运用。
2. 极限的概念和性质极限是对函数趋近于某点的性质进行研究，通过极限的定义和性质，可以求解函数在某一点的极限值、无穷极限以及夹逼定理等内容，从而求解函数的相关问题并应用到实际中。
三、导数与微分1. 导数的概念和性质导数是函数在某一点的变化率，通过导数的定义和性质，可以求解函数的导数、求解导数函数的最值和使用导数解决实际问题。
2. 微分的概念和性质微分是函数在某一点的线性逼近，通过微分的定义和性质，可以求解函数的微分、求解微分方程以及使用微分解决实际问题。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念和性质不定积分是原函数的求解，通过不定积分的性质和变量替换法，可以求解不定积分的表达式以及应用不定积分解决实际问题。
2. 定积分的概念和性质定积分是对函数在一定区间上的面积求解，通过定积分的定义和性质，可以求解定积分的表达式、定积分的性质和应用定积分解决实际问题。
五、微分方程和数学建模1. 微分方程的概念和性质微分方程是涉及到微分的方程，通过微分方程的分类和解法，可以求解微分方程的特解和通解，并且应用微分方程解决实际问题。
人教版A版高中数学选修4-4渐开线与摆线
3.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开 线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在 实际中应用的实例(例如,最速降线是平摆线,椭圆是特殊 的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割 机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共 汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【解】 (1)C1 是圆,C2 是直线.C1 的普通方程为 x2＋y2＝1,
圆心 C1(0,0),半径 r＝1.
C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0.因为圆心 C1 到直线 x－y＋
2＝0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只有一个公共点.
x＝cos θ (2)压缩后的参数方程分别为 C1′:y＝12sin θ
(φ 为参数)
的右顶点,则常数 a 的值为________.
解析:直线
x＝t， l:y＝t－a
消去参数 t 后得 y＝x－a.
椭圆
x＝3cos φ， C:y＝2sin φ
消去参数 φ 后得x92＋y42＝1.
又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y＝x－a 得 a＝3. 答案:3
的极坐标方程为 ρ＝2 2sin(θ＋π4). (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
解:(1)消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为
y＝2x－3;
ρ＝2 2sin(θ＋π4),即 ρ＝2(sin θ＋cos θ),两边同乘以 ρ 得 ρ2
的距离 d＝ 2 ＝ 2, 2
【名师点评】 消去参数可得普通方程,在关于正弦余弦 函数时常利用平方和关系消参.
变式训练
5.直线yx＝＝－1＋1－4t 3t (t 为参数)被曲线 ρ＝ 2cos(θ＋π4)所截 的弦长为多少？
人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学选修4-4知识点总结
高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
人教A版高中数学选修4-4笔记
人教A 版高中数学选修4-4极坐标系与参数方程一、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>='>=').0(,),0(,μμλλϕy y x x ：的作用下，点P （x ,y ）对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二、极坐标系1、极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图右图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.其中ρ 称为点M 的极径，θ 称为点M 的极角． 一般地，极坐标(ρ，θ)与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点.特别地，极点O 的坐标为)0(θ，)(R ∈θ.和平面直角坐标系不同，平面内一点的极坐标有无数种表示.如果规定0>ρ，πθ20≤≤，那么，除极点外，平面内的点可以用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的.2、极坐标与直角坐标的互化点M极坐标化直角坐标 直角坐标化极坐标 互化公式 ⎩⎨⎧==.sin ,cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0.(tan ,222x x y y x θρ 二、参数方程1、引入参数方程的背景在求某些曲线方程时，直接确定曲线上点的坐标x ，y 的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x ，y 所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程0),(=y x f .2、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x 和y 都可以表示为某个变数t 的函数⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x ，反过来，对于t 的每个允许值，由方程组⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x 所确定的点),(y x P 都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，联系x 、y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.3、参数方程与普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数（代入消元、1cos sin 22=+θθ、先平方再相减等）而从参数方程得到普通方程．（2）如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧==).(),(t g y t f x ，就是曲线的参数方程． 4、常见曲线的参数方程和普通方程5、直线的参数方程中t 的几何意义及其性质（1）参数t 的几何意义直线上任意一点),(y x M 到定点),(000y x M 的距离为t ，即t M M =0.（2）弦长公式若直线l 和曲线0),(=y x f 相交与A ，B 两点，且A ,B 对应的参数分别为1t ，2t .则弦长21221214)(t t t t t t AB -+=-=.（3）中点的性质① 若直线l 和曲线0),(=y x f 相交与A ，B 两点，且直线上A ，B 对应的参数分别为1t ，2t .则线段AB 的中点M 所对应的参数为221t t t M +=. ② 若直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00ααt y y t x x (t 为参数)，A ，B 是直线上两点，其对应的参数分别为1t ，2t .如果定点0M ),(00y x 是线段AB 的中点，则021=+t t .【补充】韦达定理：若一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a 的两根为21,x x ，则根与系数存在关系a b x x -=+21，a c x x =⋅21.。
人教版高中数学选修四知识点总结
人教版高中数学选修四知识点总结一、平面向量平面向量是数学中的重要概念，具有方向和大小。
在平面向量的研究中，我们需要掌握以下几个知识点：1. 向量的表示方法向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
在坐标表示中，向量的起点是坐标原点，终点是坐标点。
2. 向量的运算向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
加法和减法满足平行四边形法则，数量乘法满足向量的伸缩性。
3. 向量的模与方向角向量的模表示向量的大小，方向角表示向量与某个固定方向的夹角。
4. 两向量的数量积两个向量的数量积等于两个向量模的乘积与夹角的余弦值的乘积。
数量积具有交换律和分配率。
二、三角函数三角函数是三角学中的重要概念，用于描述角的性质和求解各种三角问题。
在三角函数的研究中，我们需要掌握以下几个知识点：1. 弧度制和角度制角度可以用度数表示，也可以用弧度表示。
弧度是角度的一种单位，与角的半径相关。
2. 三角函数的定义正弦、余弦、正切等三角函数可以根据直角三角形的边长定义。
它们可以用于求解角度、边长等问题。
3. 三角函数的性质三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。
通过对这些性质的理解，可以简化三角函数的计算和问题求解。
4. 三角函数的图像和变换三角函数的图像具有特定的规律，可以通过变换方式进行平移、伸缩和反转等操作。
三、解线性方程组的矩阵方法解线性方程组是代数学中的基本内容，矩阵方法是一种常用的解法。
在解线性方程组的矩阵方法的研究中，我们需要掌握以下几个知识点：1. 矩阵的定义和性质矩阵是由数个数按照一定规律排列成的一个矩形阵列。
矩阵具有加法、数量乘法、矩阵乘法等运算。
2. 线性方程组和增广矩阵线性方程组可以用增广矩阵表示，增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并而成。
3. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换包括行交换、行倍乘、行加倍等操作。
矩阵的初等变换不改变线性方程组的解集。
4. 矩阵的逆和逆矩阵法矩阵的逆是指与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
人教版A版高中数学选修4-4：极坐标的概念
E
D
BA
O
X
4 F
3
G 5
3
例2.（2）3B在(4,极34π坐), 标C(系72里, 53标π )出的A位(2置, π6.),
4
B
6
A
O
X
C
5
3
思考：标出下列几个点的位置
D(4, π ), E(4, π 2 ), F (4, π 2 ),G(4, π 4 )
6
6
6
6
3
3
探究总结：
在极坐标下，任意两点P1(1 ，1 ) 、P2 (2 ，2 )
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
练习1： 在极坐标系中，若
A(2
3, ), B(4, 7 )
3
6
（1）求 AB .
（2）求ABO （O为极点）的面积.
O
x
极坐标系内点的极坐标：
对于平面内任意一点M， 极径：极点与点M的距离，用 表示；
极角：以Ox为始边,OM为终边的角，
用 表示；
有序数对（，）就叫做M的极坐标.
如何确定两船的位 置关系呢？
30º
缉私O 船
A（5，6） x
例1.用点A,B,C,D,E分表示教学楼,体育馆,
图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极
（1）他向东偏北方向走120m后到达什么位置？ 该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置， 他应如何描述？
实验楼 D
C 图书馆
120m
办公楼 E
450
50m
600
A教学楼 60m
高中数学选修4知识点总结(全)
高中数学选修4知识点总结(全)
一、函数的圆心极坐标方程：
1 、双曲线的圆心极坐标方程：
x=acoshu；
y=bsinhu；
其中，a为椭圆的焦距，b为另一维的焦距，u为S的极角；
圆心极坐标系是一种以圆心和极角为坐标的极坐标系统，它是一就用以表示空间各点位置的最主要的坐标系统。
所谓的极坐标系（Polar Coordinate System），指的是以固定的极轴为坐标轴，空间各点的位置由极轴上的极角和到极轴的距离来确定。
由于圆心极坐标以圆心作为极轴，所以，圆心极坐标系又称为圆极坐标系。
圆心极坐标系能够完美地描述双曲线和椭圆，将原来由圆点拟合所得到的复杂函数简单化为一个关于极角u的函数。
圆心极坐标系不仅仅可以描述双曲线和椭圆，它还可以描述球面的极坐标，和其他的几何体的极坐标，这使得它特别的有用。
1、圆的极坐标方程：
r = a
其中，a为曲线的半径；
四、三次曲线：
三次曲线指的是由三个参数确定唯一曲线形状的曲线，即存在常数a，b，c，使曲线y=ax^3+bx^2+cx满足给定函数的条件，这类曲线一般可以在直角坐标系中用抛物线画出。
一般的，三次曲线有神符式的表达形式：
y = ax^3+bx^2+cx+d
其中d为常数。
此外，三次曲线在圆心极坐标系中也有表示方法：
r =a +bsinu +csin^2u
其中a、b、c为常数，u为极角。
六、椭圆圆心极坐标表示：。
数学选修4-4知识点总结
数学选修4-4知识点总结
数学选修4-4主要包括以下几个知识点的学习：
1. 三角函数：学习正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的性质与图像特征。
包括解三角函数的基本方程和性质，以及应用三角函数求解实际问题。
2. 平面向量：研究平面内的向量及其运算。
了解向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和几何意义等内容。
学习解向量的相等、共线、垂直关系，以及应用向量求解实际问题。
3. 解析几何：通过几何方式的代数表示，研究几何问题。
包括直线和圆的方程、直线和圆的性质、两直线的位置关系、两圆的位置关系等内容。
学习应用解析几何解决实际问题。
4. 圆锥曲线：学习圆锥曲线的定义、方程及性质。
包括椭圆、双曲线和抛物线的特点、标准方程及图形性质。
学习应用圆锥曲线解决实际问题。
5. 数学归纳法：学习数学归纳法的基本原理、基本步骤及应用。
了解数学归纳法的证明思路和技巧，并能应用数学归纳法解题。
6. 数列与数学归纳法：学习数列的定义、分类及性质。
了解常用数列的生成规律和求和公式，学习应用数学归纳法解决数列相关问题。
7. 统计与概率：学习统计与概率的相关概念和方法。
包括随机
事件、样本空间、概率等基本概念，以及频率概率和古典概率的计算方法。
学习应用统计与概率解决实际问题。
以上是数学选修4-4的主要知识点总结，通过学习这些知识，可以对三角函数、平面向量、解析几何、圆锥曲线、数学归纳法、数列与数学归纳法、统计与概率等内容有一定的了解和掌握，并能应用于实际问题的解决。
高中数学第1讲坐标系第7课时柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修44
x＝3sinπ6cosπ4＝3×12× 22＝342，
y＝3sinπ6sinπ4＝3×12× 22＝342，
z＝3cosπ6＝3×
23＝3
3 2.
∴P 点的直角坐标为34 2，342，323．
同理 Q 点的直角坐标为－34 2，342，32 3． ∴PQ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝3 2 2．
坐标为1＋2 1，1－2 3，1＋2 4，即1，1－2 3，52．
直角坐标系与柱、球坐标系的互化
【例 1】 (1)空间一点 M 的直角坐标为(1,1,3)，求其在相应 的柱坐标系中的坐标；
(2) 空间一点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，求其在相应的球 坐标系中的坐标．
【解题探究】 由柱坐标、球坐标化为直角坐标，给出了 具体的公式，将直角坐标化为柱坐标、球坐标，要会将公式逆 运用．
柱坐标系中的几何问题
【例 3】 如图，在柱坐标系中， 长方体的两个顶点坐标为 A1(4,0,5)， C1 6，π2，5 ， 求 长 方 体 的 外 接 球 的 体 积．
【解题探究】 根据顶点的柱坐标求出长方体的三边长， 其外接球的直径恰为长方体的对角线的长．
【解析】由柱坐标的定义可得 OA＝4，OC＝6，OO1＝5， 则对角线的长为 42＋52＋62＝ 77． 则外接球的体积为43×π× 2773＝77 677π．
B．2，π4，54π
C．2，54π，π4
D．2，34π，π4
【答案】B
x＝
2cos54π，
【解析】设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，则y＝ 2sin54π，
z＝ 2，
即xy＝ ＝－ －11， ， z＝ 2，
∴M 的直角坐标为 M(－1，－1， 2)．
最新高中数学选修4-4知识点(最全版)-精选.pdf
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2x＝x1＋x22y＝y1＋y222.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λｘ（λ>0）y′＝μｙ（μ>0）的作用下，点P(x，y)对应到点P′（x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标x＝ρcos θ，y＝ρsin θＷ.(2)直角坐标化极坐标ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π) 圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2) 圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C(ρ0，θ0)，半径为r ，M(ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(22022r 3．直线的极坐标方程(1)特殊情形如下表：直线位置极坐标方程图形过极点，倾斜角为α(1)θ＝α(ρ∈R ) 或θ＝α＋π(ρ∈R ) (2)θ＝α(ρ≥0) 和θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，且与极轴垂直ρcos_θ＝a －π2<θ<π2过点a ，π2，且与极轴平行ρsin_θ＝a (0<θ<π)过点(a ，0)倾斜角为αρsin(α－θ)＝asin α(0<θ<π）(2)一般情形，设直线l 过点P(ρ0，θ0)，倾斜角为α，M(ρ，θ)为直线l 上的动点，则在△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ，z）(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R．(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为x＝ρcos θy＝ρsin θz＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)，叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为x＝r sin φcos θy＝r sin φsin θz＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：x＝f（t）y＝g（t）①，并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F(x，y)＝0，直接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有x，y两个变量；参数方程x＝f（t）y＝g（t）(t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有三个变量t，x，y，其中x和y都是参数t的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t的一个值，就可以求出唯一对应的x，y的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程如图圆O与x轴正半轴交点M0(r，0)．(1)设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数方程是x＝r cos θy＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是OM0绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度．(2)设动点M在圆上从M0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM0经过时间t转过的角θ＝ωｔ，则以t为参数的圆O的参数方程为x＝rcos ωty＝rsin ωt(t为参数)．其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐标平移得到，所以其参数方程为x＝a＋r cos θ，y＝b＋r sin θ(θ为参数)．3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则x＝f（t）y＝g（t）(t为参数)就是曲线的参数方程．(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的参数方程是x＝acos φy＝bsin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的参数方程是x＝bcos φy＝asin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h，k)的椭圆普通方程为（x－h）2a2＋（y－k）2b2＝1，则其参数方程为x＝h＋acos φy＝k＋bsin φ(φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程是x＝asec φy＝btan φ(φ为参数)，规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b2＝1的参数方程是x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数)．2．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px 的参数方程为x ＝2pt 2y ＝2pt(t 为参数)．(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为x ＝x 0＋tcos αy ＝y 0＋tsin α(t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M 得到的参数方程x ＝x 0＋tcos αy ＝y 0＋tsin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)的直线，参数方程为x ＝x 0＋aty ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y)，则有x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为x＝r（φ－sin φ），(φ是参数)．y＝r（1－cos φ）。
新课标人教A版高中数学选修4-4知识点
高中数学选修44坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P2.微信公众号：学设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcos θ，＝ρsin θＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x 2＋y 2，θ＝yx（x ≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：微信公众号：学圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．微信公众号：学四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．微信公众号：学第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数微信公众号：学其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．微信公众号：学(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px(2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线lt 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．微信公众号：学(2)半径为r 的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．微信公众号：学。
高中数学选修4知识点总结(全)
平行线等分线段定理平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
平分线分线段成比例定理平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
相似三角形的判定及性质相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。
由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
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高中数学选修4-4知识点总结
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系：
① 理解坐标系的作用.
② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.
② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、知识归纳总结：
1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩
⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .
极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：
6。
圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；
在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；
在极坐标系中，以 )2
,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .
8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩
⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
9．圆2
22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.
sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .
椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x
.
抛物线px y 22
=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.
经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.
sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.
10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.。