理论力学习题1

v0cos ek t
tg
整理得：
ekt 2v0ksin g
g
所需时间为：
t
1 k
ln1
2v0ksin
g
1.22 如向互相垂直的匀强电磁场E、H中发射一电子，并设电 子的初速度V与E及H垂直，试求电子的运动规律。已知此电子 所受的力为e(E v B) ，B为磁感应强度，e为电子所带的电荷， v为任一瞬时电子运动的速度。
解：受力分析如图所示。
建立坐标系 O xy 质点运动微分方程为：
mx my
mkx mky
mg
yR v0
O
mg
x
利用初始条件：
t 0 x v0cos y v0sin
对上式积分得：
x
v0
cos
e
k
t
y
1 k
v0 ksin
g edt
g
根据题意有：
1
y k x
v0ksin gek t g
v0 ky
y 2
2c
2c
k d
v0 d y
dy tg u ud
dx
v0 2cy
y ydy
x ud dx
0
0 2c
船的轨迹为： x c y2
ud
v0 c
d
d
v
2 u v0
(0 y d ) 2
d yd 2
2c v0 k(d y) d (d y)
dy u ud dx v0 2c(d y)
x a(2 sin 2 ) y a(1 cos2 )
证：受力分析如图所示，质点运动
微分方程为： m
dv dt
mg
sin
(1)
m
v
2
N
mg cos
(2)
（1）式积分：v vdv
y
gdy
0
0
v2 2gy 2ag )2 ( dy )2 4a cosθ (4) dθ dθ dθ
dt
( dv 0) dt
所以：
v a vi v2 j 0
va
证毕。
1.10 一质点沿着抛物线 y2 2 px 运动，其切向加速度的量 值为法向加速度的 2k 倍，如此质点从正焦弦（ p , p ）的一 端以速度 u出发，试求其达到正焦弦另一端时的速2率。
解：
tg dy p
dx y
将初始条件： t 0
g b
sin
xc
gt
b
x 0
0
代入得：
A
c
0 0
x ccos
gt b
故任一时刻离上端o的距离为： a b ccos g t
b
证毕。
又解：选o2 为坐标原点，建立坐 标 o2 x ，质点运动微分方程为：
mx mg kx
即：
x k x g m
t 0 x b c x 0
（由 y2 2 px 得）
u
始点：
（p , p ） 2
tg0 1
0
4
5
4
终点： ( p , p)
2
tg 1 2 7
v
44
根据题意： 所以：
a andv
2k a
2kv d
dv dt
dt
dt
an
v2
v2
d
ds
v
ds dt
d
ds
v
d
dt
dv 2kd
v
积分： 故：
v dv 2k
z0
(4)
利用初始条件：t 0 y 0 x，V 对（1）式积分得：
x eB y V
(5)
m 将（5）代入（2）式得：
my eE eB(eB y V )
m
整理得： 特征方程为：
y
e2B2 m2
y
eE m
eBV m
r2 e2B2 0
r i eB
(6)
m2
m
（6）式齐次方程的通解为：
y1
落至投掷点：
x 0 x v1
(1 k 2 x2 )(1 k 2v02 ) 1
落至投掷点的速度为：
v1
v0 1 k 2v02
证毕。
1.21将一质点以初速 v0抛出，v0与水平线所成之角为 ，此质点所受到
的空气阻力为其速度 mk 的倍， m 为质点的质量， k 为比例常数。试求当
此质点的速度与水平线所成之角又为 时所需的时间。
1.3 曲柄 OA r ，以匀角速 绕定点O转动，此曲柄借连 杆AB使滑块B沿直线ox运动，求连杆上C点的轨迹方程及速度。 设。 AC CB a AOB ABO
解：如图所示建立坐标系o—xy，C点的坐标为：
x r cos a cos
(1)
y
a
sin
(2)
在三角形AOB中 r sin 2asin
1 k 2x2 (1 k 2v02 )e2k2gx
x 0
x
1 2k 2g
ln(1
k
2v02
)
2）下落：受力分析如图所示，运动微分方程为：
mx mg mk 2 gx2
xdx g(1 k 2x2 ) dx
利用初始条件： x 0
x
1 2k 2g
ln(1
k 2v02 )
积分得：
ln[(1 k 2x2 )(1 k 2v02 )] 2k 2gx
度平方成正比，即 R mk 2 gv2 ，如上掷时的速度为 v0，试证此质点
又落至投掷点时的速度为：
v1
v0 1 k 2v02
证：1）上抛，选取坐标系，受力分析如图所示。
运动微分方程为：
mx mg mk 2 gx2
利用初始条件：
xdx g(1 k 2x2 ) dx
x 0 x v0
积分得：
到达最高点：
对（1）（2）两式取微商得：
x rsin asin
(6)
y
acos
(7)
对（3）式取微商得： rcos 2acos
rcos 2a cos
(8)
将（8）代入（6）（7）得： C点的速度为
x
rsin
rsin cos 2 cos
y
1 2
rcos
v x2 y2 (rsin rsin cos )2 (1 rcos)2
证：研究对象为质点 m ，其受力分析如图所
b
示。设坐标原点 o1在 a b处，向下为正，
建立坐标轴 o1x。 质点平衡时 : kb mg k mg
质点运动微分方程为
mx
mg
kb
x
b
kx
x k x 0
m
初始条件：
t 0 x c x 0
其解为：
x Acost 0 Acos
g b
t
0
x A
d
uv
0
v uek
ln v k
u
1.11 质点沿着半径为r的圆周运动，其加速度矢量与 速度矢量间的夹角 保持不变。求质点的速度随时间而变 化的规律。已知初速度为 v0 。
解：按题意画图，如图所示。
a i沿切向与 v 同向，a 与a i 间夹 角 ，即 a 与v 间夹角为 ，为
常数。则 :
a ctg
(3)
由（1）（2）两式消去 得： a 2 y 2 (x r cos )2
即：
x r cos a2 y2
由（2）（3）两式消去 得： 2y r sin
(4)
(5)
由（4）（5）两式消去 得： r 2 4y2 (x a2 y2 )2
上式化简得轨道方程为： 4x2 (a 2 y 2 ) (x2 3y 2 a 2 r 2 )2
d θ
x
v
dr dt
d
sec 2
i
x2
d2 d
O
i 式中用到：sec 2
小环的速度的量值为： v x2 d 2
1
cos 2
x2 d 2
d2
a dv d
d d sec 2 i
dt dt
2d 2 sec 2 tg i tg x
2 2 x x 2 d 2 i
d
小环的加速度的量值为：
S
x
2 A
y
2 B
v t 2 t 1.52
ds v 2t 2t 1.5 0 dt 2 t 2 t 1.52
则:
2t 2t 1.5 0 t 0.75小时 （即午后45分钟）
将值代入表达式得： Smin 15 0.752 0.75 1.52 15.9（千米）
答：在正午后45分钟两船相距最近，其最近距离为15.9千米。
x m (V E )sin eB t E t
(10)
eB B m B
（4）（8）（10）为电子的运动方程。
1.26 一弹性绳上端固定，下端悬有m及 m两质点。设a为绳的固有长 度,b为加 m 后的伸长，c为加 m后的伸长。今将 m 任其脱离而下坠，试
证质点 m 在任一瞬时离上端o的距离为： a b ccos g t
解：选择： 研究对象——雨点
动系——轮船 静系——岸边
雨对地的速度（绝对速度）为 v
雨对船的速度（相对速度）为 v
前A
v
v
4
3
2
B
C
v0
后
v
船对地的速度（牵连速度）为 v0
方向如图所示。由相对运动速度公式有： v v0 v
由图形知： ABC 与速度三角形相似，则：
v 8m / s
v AB 32 42 1 v0 BC 3 2
（3）（4）代入（2）得：
N m v2 mg cos 2mg cos