33泰勒公式98250

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常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式泰勒公式，泰勒公式[1]真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。

即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。

我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。

最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。

泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。

这也是我自学这么久总结出来的规律。

泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。

所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。

从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。

我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。

否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。

我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。

泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。

泰勒公式的定义我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。

但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。

举个例子：这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δx的减小，点P0 和P 也会越来越接近，这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。

当然，当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。

由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是(x-x0)^n 的高阶无穷小。

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1）近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2）即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式）若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=，称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章预备知识4定理３设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ．证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ．由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1）这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ．根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰．（3.2）证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7）（3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==，（3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η．（3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ．所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο．像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ．利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11）记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ，然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=，所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．（1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ．所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+．（3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ．证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+，（3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--，（3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ．因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ．这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ．当9=n 时，有第3章泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号．（1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号．若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点．若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值．求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值．由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号．（1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式）设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18）令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数；若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题，因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。

泰勒公式的应用

泰勒公式和其应用摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明和其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。

关键词：泰勒公式，最优化理论，应用一、泰勒公式1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和：10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ在和之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。

1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以)(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''=n n a n x p !)(0)(=，所以有!)(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -=于是有0)()()(000=-=x p x f x R n所以有0)()()()(0)(000===''='=x R x R x R x R n n n n n根据柯西中值定理可得：n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ是在和之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得：)1(022*******))(1()()0))(1(()()())(1()(--+''=--+'-'=-+'n n n n n n n x n n R x n x R R x n R ξξξξξξ是在和之间的一个数；连续使用柯西中值定理1+n 次后得到：)!1()()()()1()1(0+=-++n R x x x R n n n n ξ 这里是介于和之间的一个数。

泰勒公式的拉格朗日余项的形式

泰勒公式的拉格朗日余项的形式泰勒公式是数学分析中的一个重要工具，而其中的拉格朗日余项更是有着独特的形式和意义。

咱们先来说说泰勒公式。

泰勒公式简单来讲，就是用多项式来逼近一个复杂的函数。

想象一下，你要画一个很复杂的曲线，但是直接画很难，那咱们就用一段段的小直线来近似，是不是就简单多了？泰勒公式就是这么个道理。

而拉格朗日余项呢，它是用来衡量这个逼近的精度的。

就好像你做一个模型，总得知道它和真实的东西差多少吧，拉格朗日余项就是这个“差多少”的衡量标准。

我记得我之前教过一个学生，这孩子对数学特别感兴趣，但就是卡在泰勒公式这里弄不明白。

有一次，他拿着书来找我，一脸苦恼地说：“老师，这泰勒公式的拉格朗日余项我怎么都搞不明白，感觉脑袋都要炸了。

”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步一步来。

”我先给他举了个简单的例子，比如一个二次函数，我们用泰勒公式展开，然后给他解释拉格朗日余项在其中的作用。

他瞪着大眼睛，听得特别认真。

咱们具体来看拉格朗日余项的形式。

它的表达式是 Rn(x) =f^(n+1)(ξ) * (x - x0)^(n+1) / (n + 1)! 。

这里面的ξ 是在 x 和 x0 之间的某个数。

为了让大家更清楚地理解，咱们来做个小练习。

比如说，我们有函数 f(x) = sin(x) ，在 x0 = 0 处展开。

我们先求出前面的几项，然后再来看拉格朗日余项。

大家想想，如果我们只取到前几项，那在某些区间内，这个近似和原函数的差距是不是可能会比较大？这时候拉格朗日余项就能告诉我们这个差距大概有多大。

再比如说，在实际的科学计算中，我们经常需要用泰勒公式来近似一些复杂的函数，这时候拉格朗日余项就能帮助我们判断这个近似的精度够不够。

如果不够，我们就需要增加展开的项数。

回到最开始提到的那个学生，经过几次这样详细的讲解和练习，他终于恍然大悟，高兴地跟我说：“老师，我终于懂了！”看着他那兴奋的样子，我也特别有成就感。

总之，泰勒公式的拉格朗日余项虽然看起来有点复杂，但只要我们耐心去理解，多做练习，就能掌握它的精髓，让它成为我们解决数学问题的有力工具。

泰勒公式推到范文

泰勒公式推到范文泰勒公式是数学中非常重要的一个公式，它是对函数在其中一点附近进行逼近的一种方法。

该公式的本质是利用函数在其中一点的导数来近似计算函数在该点附近的值。

泰勒公式的推导过程是根据泰勒定理展开的。

泰勒定理是数学中的一项基本定理，它表明任何具有足够多次可导性的函数可以在其中一点的附近用多项式来逼近。

泰勒公式就是通过将泰勒定理展开为多项式形式来进行函数的近似计算。

设函数f(x)在点a处具有n+1阶导数，则泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的一阶导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数，以此类推。

Rn(x)为余项，表示泰勒多项式与原函数之间的差别。

为了推导泰勒公式，首先需要利用泰勒定理将函数展开为无穷阶的泰勒级数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中c是介于a和x之间的一个数，这个数的选取可以根据具体情况来确定。

接下来，我们对上述泰勒级数形式进行截断，只保留n项，得到n阶泰勒多项式：Tn(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!这个多项式就是泰勒公式的主体部分。

它是函数在点a处进行n阶近似时的表达式。

最后，我们将余项Rn(x)推导出来。

它表示泰勒多项式与原函数之间的误差。

根据泰勒公式，余项为：Rn(x)=f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)!其中c是介于a和x之间的一个数。

余项的具体形式可以通过对函数进行多次求导来确定。

泰勒公式欧拉公式

泰勒公式欧拉公式嘿，咱们今天来聊聊泰勒公式和欧拉公式这两个数学里的“大明星”！先来说说泰勒公式吧。

这玩意儿就像是一个超级厉害的魔法棒，可以把复杂的函数变成一堆简单的多项式相加。

想象一下，你面前有一个超级难搞的函数曲线，弯弯曲曲，让你摸不着头脑。

但是泰勒公式一出手，嘿，它就能把这条曲线变成一系列的直线段拼凑起来的样子，是不是很神奇？我记得有一次给学生讲泰勒公式的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这泰勒公式到底有啥用啊？难道就是为了把简单的事情搞复杂？”我笑着跟他说：“你可别小瞧它！比如说，你要计算一个复杂函数在某个点的值，直接算可能难如登天，但是用泰勒公式展开，就能近似地算出来，而且精度还能控制呢！”就像我们在生活中，有时候要解决一个大难题，一下子找不到头绪。

但是如果把它分解成一个个小步骤，一个个小问题，是不是就感觉容易多啦？泰勒公式就是这样，把复杂的函数拆解成我们熟悉的多项式，让我们能够更好地理解和处理它。

再讲讲欧拉公式。

这欧拉公式啊，就像是数学世界里的一颗璀璨明珠。

e^ix = cos(x) + i*sin(x)，看起来简单，却蕴含着无穷的奥秘。

有一回，我在课堂上给学生们演示欧拉公式的神奇之处。

我在黑板上画出一个单位圆，然后用欧拉公式来解释圆上的点的坐标。

学生们一开始还一脸迷茫，但是当他们看到那些看似毫不相干的数学符号和图形竟然完美地结合在一起时，眼睛里都闪烁着兴奋的光芒。

泰勒公式和欧拉公式虽然看起来很高深，但其实它们就在我们的生活中默默发挥着作用。

比如说，在物理学中，研究振动、波动的时候，这两个公式就能大显身手；在工程学里，设计电路、分析信号，也离不开它们。

总之，泰勒公式和欧拉公式就像是数学王国里的两位大侠，身怀绝技，帮助我们在探索知识的道路上披荆斩棘。

虽然学习它们的过程可能会有点头疼，但当你真正理解并掌握了它们，那种成就感可是无与伦比的！希望大家都能在数学的海洋里畅游，发现更多像泰勒公式和欧拉公式这样的宝藏！。

33泰勒公式98260

1.n次多项式系数的确定
猜想
近 1.若在 x0 点相交
y
似程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 2.若有相同的切线
越
来 Pn( x0 ) f ( x0 )
越好
3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 ) o
x0
y f (x)
x
假设 Pn(k)( x0 ) f (k)( x0 ) k 0,1,2,, n
)2
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
n阶泰勒公式
(在x0与x之间).
注 1.当n 0时, 泰勒公式就是拉格朗日中值公式.
2. 在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故可表为 x (0 1), 这时的泰勒公式, 即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:
同理 2!a2 f ( x0 ) , n!an f (n)( x0 )
得
ak
1 k!
f
(k)(
x0 )
(k 0,1,2,,n) 代入 Pn( x)中得
Pn( x)
f ( x0 ) f ( x0 )( x
x0 )
f
( x0 ) 2!
(
x
x0
)2
f (n)( x0 ) ( x
n!
x0 )n
若取n 8, 可算出e 2.718279, 其误差
R8
3 9!
例求f ( x) sin x的n阶麦克劳林公式.
解因为 f (n)( x) sin x n (n 0,1,2,),

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！引言在我们解决一些数学问题中，泰勒公式是一个极为有用的公式。

当解决某些比较复杂的函数时，泰勒公式可以把这些复杂的函数近似的表示为一种简单的多项式函数，这会使我们减少了许多不必要的麻烦，起到事半功倍的作用。

泰勒公式是我们解决一些代数和数值计算发挥了决定性的作用。

本文通过对其定义及其展开式、常见的展开式和余项进行介绍，总结泰勒公式在解决许多数学问题中常见的应用，即求函数的极限、在等式与不等式方面、在近似计算上、在证明中值公式中、判断级数及积分收敛中、求函数高阶导、判断函数的极值点中、在界的估计方面、求行列式的值方面的应用[2-16]，并通过例题对其应用进行解释说明。

第一章泰勒公式泰勒公式的背景及意义英国著名的数学家布鲁克•泰勒，是十八世纪早期英国牛顿学派的杰出代表人物之一，1685年出生于米德尔赛克斯的埃德蒙，泰勒公式得名于他。

泰勒一生中有许多著作，其中主要的著作是《正和得增量方法》，书中描述了他在1712年7月给他的老师梅钦（数学家，天文学家）信中首先提出的著作定理——泰勒公式[1]。

在数学分析中，对于我们解决某些问题，比如我们常常会碰到一些比较复杂的函数，为了解决此类问题，可以利用泰勒公式将复杂的问题变成简单的作用，将这些复杂的函数转化为常见的、简单的多项式，这样我们就能够更简便的解决出问题。

可以看出这对某些函数值的计算和函数形态的研究都具有极为重要的意义。

泰勒公式的意义是：一个多项式，它是函数关于的n次多项式，用它与函数作差后所得的是比高阶的无穷小，并给出其误差，这样就为研究和计算一些比较复杂的函数和估计误差提供了有效的方法。

泰勒公式是由关于的n次多项式以及余项组成的，下面来探讨一下：当时，有是的曲线在点处的切线（方程），称为曲线在点的一次密切[2]。

泰勒定理推导过程

泰勒定理推导过程嘿，朋友！你有没有想过，一个复杂的函数就像一座神秘的城堡，我们很难一眼看清它内部的构造。

不过呀，泰勒定理就像是一把神奇的钥匙，能帮我们把这个城堡一点一点拆开来看个明白呢。

我记得我刚开始学泰勒定理的时候，那简直是一头雾水啊。

老师在黑板上写着那些密密麻麻的式子，我就想，这都是啥呀？这就好像突然把我丢进了一个迷宫，完全不知道出口在哪。

那我们就来好好探究一下这个泰勒定理的推导过程吧。

想象一下，我们有一个函数$f(x)$，这个函数就像一个调皮的小精灵，它在数轴上蹦来蹦去，我们想抓住它的规律。

我们先从一个比较简单的情况开始想。

假如这个函数$f(x)$在某一点$x = a$附近是非常“乖巧”的，就是说它是平滑变化的。

那我们可以试着用一个多项式来近似这个函数。

为啥是多项式呢？多项式就像是一个个小积木，我们可以通过调整这些小积木的系数，来尽量拼成和这个函数相似的形状。

我们先假设这个近似的多项式是$P(x) = c_0 + c_1(x - a)+c_2(x - a)^2 + c_3(x - a)^3+\cdots + c_n(x - a)^n$。

这里的$c_0,c_1,\cdots,c_n$就是我们要找的那些小积木的系数啦。

那怎么找到这些系数呢？我们就想啊，如果这个多项式$P(x)$真的能很好地近似$f(x)$，那在$x = a$这一点，它们应该是相等的吧。

所以我们先让$x = a$，这时候$P(a)=c_0$，而$f(a)$是函数在$a$点的值呀，那很自然地，$c_0 = f(a)$。

哇，找到第一个系数了，是不是感觉还挺有意思的呢？那接下来找$c_1$呢？我们就想啊，既然要近似得好，那在$a$点附近，它们的变化率应该也差不多吧。

函数的变化率是啥呢？就是导数呀。

那我们对$P(x)$求导，$P^{\prime}(x)=c_1 + 2c_2(x - a)+3c_3(x - a)^2+\cdots + nc_n(x - a)^{n - 1}$。

常用泰勒公式

简介在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。

如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。

当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。

为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。

上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。

如果a= 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。

第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。

第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。

例如，分段函数f(x) = exp(−1/x²) 当x ≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x= 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x= 0 处为零。

而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时exp(−1/z²) 并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。

但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。

例如，f(x) = exp(−1/x²) 就可以被展开为一个洛朗级数。

Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。

这个定理是对Picard iteration一个推广。

[编辑]泰勒级数列表下面我们给出了几个重要的泰勒级数。

它们对于复参数x依然成立。

指数函数和自然对数:几何级数:二项式定理:三角函数:双曲函数:Lambert's W function:tan(x) 和tanh(x) 展开式中的B k是Bernoulli numbers。

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* 可以证明:
f(x)在x点 0有直 n阶到的导数
④ 式成立
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主讲人：苏本堂
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
特例: f (nn)(!x0)(xx0)nf((nn1)1()!)(x(x在 0)nx 10与 x之)间
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
(在 x0与 xn之)间
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R n (x ) f(x ) p n (x )
Rn (x) (x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
(在 x0与 x之)间
pn (n1)(x)0, R n (n 1 )(x ) f(n 1 )(x )
Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 (在 x0与 x之)间
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第三节泰勒公式
一、泰勒公式的建立二、几个初等函数的麦克劳林公式三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
1.问题的提出
根据函数的微分, 有
f(x)=f(x0)+f (x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时), 略掉o(x-x0), 得到求f(x)的近似公式
当x0在的某f(邻 n 1 )(x)域 M 时内 Rn(x)(nM 1)!xx0n1
R n ( x ) o (x ( x 0 ) n )( x x 0 )
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泰勒中值定理 :
若 f(x)在包 x0的含某(a ,开 b )内区具间有直到 n1阶的导数 , 则当 x(a,b)时, 有
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在泰勒公式中若取 x 0 0 , x ( 0 1 ) ,则有
f (x) f (0) f(0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
f (n1)( x)xn1
(n1)!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
由此得近似公式
若在f (公xf)(式x)成f(立xf0(的)0 )区f间(fx 上0 (0))x xf( (nx 10 f)() 2x(!0)) fx22M (x !0, )则(x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f (x)f (x0) f()x (x0) (在 x0与 x之)间
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f f
(x) (x)
f f
(x0) (x0)
f(x 0 )x ( x 0) f(x 0 )x ( x 0)
f2(!()(在 xx0 x0与 )2x之)间
误差 R1(x)f2(!)(xx0)2 (在 x0与 x之)间 df
则 pn(x)
a1 2a2(xx0) n a n (x x 0 )n 1
pn(x)
pn(n)(x)
2!a2 n ( n 1 ) a n ( x x 0 ) n 2 n!an
a0pn(x0)f(x0),
a1pn (x0)f(x0),
a221!pn(x0)21 ! f(x0),, ann1!pn(n)(x0)n1 ! f(n)(x0)
设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n1)阶导数, 我们希望找出一个关于(xx0)的n次多项式
Pn(x)a0a1(xx0)a2(xx0)2 an(xx0)n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n1)阶导数)相等:
f(x0)Pn(x0), f (x0)Pn(x0), ,
f (nn)(!x0R)n((xx)x0)(nnM f1()(nn!间
故 pn(x) f ( x0 ) f(x 0 )x ( x 0 )21 ! f(x0)x (x0)2
n1 ! f(n )(x 0 )x ( x 0 )n
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3. 余项估计
令 R n (x ) f(x ) p n (x )(称为余项) , 则有
Rn(x0) Rn(x0)R n (n)(x0)0 Rn (x) (x x0 )n1
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注意到 R n(x)o [x (x0)n]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2 f (nn)(!x0)(xx0)n o[(xx0)n] ④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f (x) f (x0) f(x 0 )x ( x 0)f2(x!0)(xx0)2
f (nn)(!x0)(xx0)nRn(x)
①
其中 Rn(x)f((nn 1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x0与 x之)间 ②
公式 ① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
f(x)f(x0)+f (x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时), 其误差为
R(x)=f(x)-f(x0)-f (x0)(x-x0). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计.
为了达到一定的精确度要求, 可考虑用n次多项式
Pn(x)来近似表达f(x).
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2.系数的确定
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R(xn(xx)0)nRn1(x00)(n1R)n((11)x0)n (1在 x0与 x之)间
(nRn(1)1()1Rxn0()xn0)0 (n1)R n(n(22)x0)n1
(2 在 x0 与 1 之间)
Rn(n)(n)Rn(n)(x0) (n1)2(nx0)0
Rn(n1) ( )
(n 1) !
f (n)(x0)Pn(n)(x0).
f (x0)=Pn(x0), f (x0)Pn(x0),
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p n (x 0 )f(x 0 ),p n (x 0 )f(x 0 ), ,p n (n )(x 0 ) f(n )(x 0 ) 令 pn(x)a 0 a 1 ( x x 0 ) a 2 ( x x 0 ) 2 a n ( x x 0 ) n