泰勒公式 迈克劳林 拉格朗日余项 课件
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第三节泰勒公式39页PPT
Q
(n n
1
)
(
)
f (n1) ( )
(n 1) !
(在x0与x之间 )
Pn(n1)(x)0,Rn(n1)(x) f(n1)(x)
Rn(x)f(n(n 1)1()!)(xx0)n1
Qn(n1)(x)(n1)!
(在x0与x之间 )
证毕！
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p8(x)比 p2(x)在更大的范围内更接近余弦函数.
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(1) 若f(x)在x0连续 , 则有 xl im x0 f(x)f(x0) 由极限和无穷小量间的关系
f(x)f(x0)
f(x)f(x0)
用常数代替函 数误差太大
(2) 若f(x)在x0可导 , 由微分有
f(x 0 x ) f(x 0 ) f(x 0 ) x
余项 公式
Rn(x)f(n (n 1)1())!(xx0)n1
① 称为 f ( x)的 n 阶泰勒公式
②
（
.
在
x
0与x
之间）
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
证明: Pn(x) R n(x)f(x)P n(x)
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余其项中f ( ：x R ) n (x Pf n)(( xx ) 0 f() n ( n 1f )1( )( x )!0 () x x f x( (0x n )n 0 )n) ( !1 x0f)②(2(（x !x0 )(x 在x0)xn x0与0)R2 xn之(x间①) ）
f(x)coxs
p1(x)
y1
y=1
令：p8(0)f(0),求出a0 1
p8 (0)f(0) a1 0
D3_3泰勒公式(PPT)-文档资料
称为麦克劳林( Maclaurin )公式 . 例1. 求 y ln cos x 在 x 处的带有拉格朗日余项 的2阶 4 泰勒公式. 解: 要求到3阶导数
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1 2 f ln ln 2, 2 4 2
2
f x tan x f 1 4
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
x 的一次多项式
y
y f ( x)
p1 ( x)
特点:
f ( x0 ) f ( x0 )
O
x0 x
x
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结束
为了提高精确度，我们考虑用n次多项式来近似 f ( x)
pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) 2 an ( x x0 ) n f x a0 f ( x0 ), 要求满足
3 5
f
(k )
f 0 1,
f 0 0, f 0 1,
π (0) sin k 2 4 f 0 0,
2 m 1 x x x sin x x (1) m1 R2m ( x) (2m 1) ! 3! 5!
f x sec x f 2, f x 2sec2 x tan x 4 2 1 ln cos x ln 2 x x 4 2 4 3 1 2 sec tan x 3 4
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f (3) ( ) ( x x0 )3 3!
高等数学(第二版)上册课件：泰勒公式
分析
近 1.若在 x0点相交
似 程
Pn (x) f (x0)
度 越
2.若有相同的切线
来
越 好
Pn' (x) f ' (x0)
3.若弯曲方向相同
Pn'' (x) f '' (x0 )
y
y f (x)
0 x0
x
（1） 求 n 次近似多项式
Pn (x0) f (x0)
p'n (x0 )
f
' n
所以
f (x) 8 10(x 1) 9(x 1)2 6(x 1)3 (x 1)4
【例3.3.4】 求 f (x) ex2 的带有佩亚诺余项麦克劳林展开式
解
因为 ex 1 x x2 xn o(xn1)
2!
n!
用 x2代替公式中的 x，即得
ex2 1 x2 x4 x2n o(x2n2 )
2!
n!
【例3.3.1】 求 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式
解 由于 f ' (x) f ''(x) f (n) (x) ex，
所以 f '(0) f ''(0) f (n) (0) 1 ，
取拉格朗日余项，得麦克劳林展开式为
ex 1 x x2 xn e x xn1
则误差 R(x)= f (x) P(x)
设函数 f (x)在含有 x0 的开区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数，P(x) 为
多项式函数
pn(x)
a 1
(x
x0
)
a2
(x
x0
)2
an(x x0)n
数学分析课件5.2泰勒公式1.48MB
0 . 03 12 . 03
100 % 0 . 25 %,
称这样的百分比为相对误差. 显然，轴长精度比键销 长的精度高得多. 一般地，有定义：
7
【数学分析课件】
Def : 若一个量 A 的近似值是 a ，则
叫做绝对误差，而
| A a |
.
a
100 % 叫做相对误差
对于函数 y f ( x )，若由 x 计算 y 时， x 有误差 x ，则
f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x o ( x ),
从而
即一次多项式
一阶近似 .
f ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x .
P1 ( x ) f ( 0 ) f ( 0 ) x 是 f ( x ) 在 x 0 点的
P1 ( 0 ) f ( 0 ), P1 ' ( 0 ) f ( 0 ).
3
) 5 . 08
【数学分析课件】 5
2.误差估计
——是估计近似值与精确值的差 例如：设计一根轴长度120毫米，加工后量得120.03毫米， 误差为 | 120 120 . 03 | 0 . 03 毫米. 设计一个键销长度12毫米，加工后量得12.03毫米， 误差为 | 12 12 . 03 | 0 . 03 毫米. 称这种误差为绝对误差，表明了一个量与它的近似值之间 的差值，反映了某种近似程度.
f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x x 0 )
f
(n)
f ( x 0 ) 2!
n
( x x0 )
2
( x0 )
n!
( x x0 )
《泰勒公式》PPT课件
Rn ( x)
M (n 1) !
x x0
n1
二、泰勒定理
f (x)
f (x0 )
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
Hale Waihona Puke f (n)( x0 ) ( x n!
x0 )n
Rn ( x)
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
( (n 1) !
x
x0
)n1
(
)
(n 1)! (n 1)!
在x与x0之间
二、泰勒定理
若 f (x)在包含 x0的某开区间 (a,b) 内具有
直 到 n 1 阶的导数 , 则当 x (a , b) 时, 有
f (x)
f (x0)
f ( x0 )( x
x0)
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f (n)( x0 ) ( x n!
如何确定Pn ( x)？——确定系数a0 , a1 , , an
f (k ) ( x0 ) Pn(k ) ( x0 ) (k 0,1, 2, , n)
设
函
数
f
(
x
)在
含
有
x
的
0
开
区
间(
a
,
b
)内
具
有
1至
(
n
1)阶
导
数
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a0
f ( x0 ) Pn ( x0 ) a1
x0 )n
Rn ( x)
①
其中
Rn ( x)
f (n1) ( )
考研高数总复习泰勒公式(讲义)PPT课件
即，泰勒公式是一阶微分近似式和拉氏公式的 推广
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
2.取 x0 0,
在0 与x 之间,令 x (0 1)
则余项
Rn ( x)
f (n1) (x) x n1
(n 1)!
Foil 10
麦克劳林(Maclaurin)公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x 2 f (n) (0) x n
误差 Rn ( x) f ( x) P:
1.若在 x 0 点相交
近
似 程
Pn ( x0 ) f ( x0 )
度 越
2.若有相同的切线
来 越
Pn( x0 ) f ( x0 )
好 3.若弯曲方向相同
Pn( x0 ) f ( x0 )
y
o
皮亚诺形式的余项
f (x)
n k0
f
(k)( x0 )( x k!
x0 )k
o[( x
x0 )n ]
Foil 9
注意:
1. 当n 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
f ( x) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
(在x
与
0
x之
间)
当 n=1 时，略去余项,得到一阶微分近似式
f (x) f (x0 ) f '(x)(x x0 )
注 意 到 f ( x ) (n1) e x
代入公式,得
e x 1 x x 2 x n e x x n1 (0 1).
2!
n! (n 1)!
Foil 13
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn ( x)
ex x n1 (n 1)!
泰勒公式ppt课件精选全文完整版
令n=2m，于是有
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
sin x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1)
!
R2m
(
x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1 (0 1)
(2m 1) !
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类似地,可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
f (k)( x0 )
n!an f (n) ( x0 ). (k 0,1,2,, n)
代入 Pn ( x)中得
Pn ( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2f(n)( x n!)(x
x0
)n
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三、泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
f (x)
f ( x0 )
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例1:求函数 f (x) ex 的n阶麦克劳林展开式.
解:因为 f'x f''x fn x e x ，
所以 f0 f'0 f''0 fn 0 1 .
故
ex
1 x x2
泰勒公式课件(修正)资料
Rn ( x0 x0 )n
) 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与1 之间)
(n
Rn(n)(n ) 1)2(n
Rn(n)( x0 ) x0 ) 0
Rn(n1)( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间),
便可得到麦克劳林（ Maclaurin ）公式：
f (0) f (0)x f (0) x2 2!
f (n)(0) xn n!
由此得近似公式
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
几个初等函数的麦克劳林公式：
(
x
1)n1
,
在 1与x之间.
注 1 泰勒公式的余项估计
用pn( x)代替f ( x)的误差为 Rn( x) f ( x) pn( x)
Rn( x)
f (n1)( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间).
当在 x0 的某邻域内 f (n1)( x) M(常数) 时 , 有
第三节
第三章
泰勒公式
一、泰勒（Taylor）公式 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式
三 、泰勒公式的应用
一、泰勒(Taylor)公式
1. 泰勒公式的建立 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则
x 的一次 多项式
y
y f (x)
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
pn(x) 的确定: pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n,
高中数学(人教版)第6章微分中值定理及其应用泰勒公式课件
Pn( n ) ( x0 ) an . n! 上式表明 Pn(x) 的各项系数是由其在点 x0 的各阶
导数所确定的.
设 f (x) 在 x0 处 n 阶可导. 如果
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n ),
即
f ( x ) Pn ( x ) lim 0, n x x0 ( x x0 )
( 3 ) 式称为 f ( x )在点 x0 处的带有佩亚诺型余项的 n
阶泰勒公式. 注1 即使 f ( x ) 在点 x0 附近满足
f ( x ) Pn ( x ) o(( x x0 )n )
( 4)
也不能说明 Pn ( x ) 一定是 f (x) 的n 阶泰勒多项式.
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有佩亚诺型余项685-1731, 英国 ) 麦克劳林( Maclaurin,C. 1698-1746, 苏格兰 )
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
例1 验证下列公式
2 n x x x 1. e x 1 o( x n ); 1! 2! n!
即 f ( x 0 ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) 2 1! 2! f ( n ) ( x0 ) ( 3) ( x x0 )n o(( x x0 )n ). n! n 证 设 Rn ( x ) f ( x ) Tn ( x ) , Qn ( x ) ( x x0 ) , 故只需证
x
的麦克劳林 由定理 6.8 的注 2, 可知上式就是 e 公式, 由泰勒系数公式可知 x 98和x 99的系数为 1 ( 98) ( 1)49 1 ( 99) f 49 , f ( 0) 0 , 98! 2 49! 99!
高中数学(人教版)泰勒公式课件
若 在 应用 内, 误差
1) 已知x 和误差限 , 确定近似公式的项数n ;
2) 已知近似公式的项数n和x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知近似公式的项数n 和误差限 , 确定公式中x 的适用范围.
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间 上用近似公式
计算
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
拉格朗日中值定理 f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
余项Rn(x)的确定
(k ) (k ) Rn ( x 0 ) pn ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) 0 ( k 0,1,2, , n)
( 1 ) Rn ( x ) Rn Rn ( x ) Rn ( x0 ) 多 n n1 n1 次 ( n 1 )( x ) ( x x ) ( x x0 ) 0 1 0 0 使 用 在x0与x 之间) ( 1 柯 ( 2 ) ( 1 ) Rn ( x0 ) 西 Rn Rn 中 n 1 n ( n 1)( 1 x0 ) 0 ( n 1)n( 2 x0 ) 值 定 在x0与 1之间) ( 2 理 (n) (n) ( n1) Rn ( n ) Rn ( x0 ) Rn ( ) f ( n 1) ( ) ( n 1) 2( n x0 ) 0 ( n 1) ! ( n 1) ! ( 在x0与 xn之间)
A可取多大？
(1)
y x
6
x3 3!
4 2 2 2 4 0
yx
3 5 x x y x 3! 5!
(2)
(3)
4
2
4
6
三、泰勒公式的应用
1) 已知x 和误差限 , 确定近似公式的项数n ;
2) 已知近似公式的项数n和x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知近似公式的项数n 和误差限 , 确定公式中x 的适用范围.
例1 计算无理数 的近似值,使其误差不超过
例2 在区间 上用近似公式
计算
当用下列各式计算时,欲使误差小于0.001，
拉格朗日中值定理 f ( x ) f ( x0 ) f ( )( x x0 )
余项Rn(x)的确定
(k ) (k ) Rn ( x 0 ) pn ( x0 ) f ( k ) ( x0 ) 0 ( k 0,1,2, , n)
( 1 ) Rn ( x ) Rn Rn ( x ) Rn ( x0 ) 多 n n1 n1 次 ( n 1 )( x ) ( x x ) ( x x0 ) 0 1 0 0 使 用 在x0与x 之间) ( 1 柯 ( 2 ) ( 1 ) Rn ( x0 ) 西 Rn Rn 中 n 1 n ( n 1)( 1 x0 ) 0 ( n 1)n( 2 x0 ) 值 定 在x0与 1之间) ( 2 理 (n) (n) ( n1) Rn ( n ) Rn ( x0 ) Rn ( ) f ( n 1) ( ) ( n 1) 2( n x0 ) 0 ( n 1) ! ( n 1) ! ( 在x0与 xn之间)
A可取多大？
(1)
y x
6
x3 3!
4 2 2 2 4 0
yx
3 5 x x y x 3! 5!
(2)
(3)
4
2
4
6
三、泰勒公式的应用
泰勒公式与麦克劳林公式推导证明
泰勒公式与麦克劳林公式推导证明(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--泰勒公式及麦克劳林公式推导证明麦克劳林公式是泰勒公式（在x。
=0下）的一种特殊形式。
若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn其中Rn是公式的余项，可以是如下：1.佩亚诺(Peano)余项：Rn(x) = o(x^n)2.尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项：Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^(n+1-p)x^(n+1)/(n!p)[f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]3.拉格朗日(Lagrange)余项：Rn(x) = f(n+1)(θx)x^(n+1)/(n+1)![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]4.柯西(Cauchy)余项：Rn(x) = f(n+1)(θx)(1-θ)^n x^(n+1)/n![f(n+1)是f的n+1阶导数，θ∈(0,1)]5.积分余项：Rn(x) = [f(n+1)(t)(x-t)^n在a到x上的积分]/n![f(n+1)是f的n+1阶导数]泰勒公式在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。
如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式（Taylor's formula）带Peano余项的Taylor公式（Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导，f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0）+f''(x0)/2!*(x-x0)^2,+f'''(x0)/3!*(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
泰勒公式迈克劳林拉格朗日余项课件
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) 1)2(n x0 ) 0
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超
过 解: 已知 的麦克劳林公式为
ex 1 x x2 x3 xn
2! 3!
n!
令x=1,得
11 1 1
e
2!
n ! (n 1) !
由于 0 e e 3, 欲使
(0 1) (0 1)
Rn (1)
(n
3 106
1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
高等数学3(6)泰勒公式课件
)
(
x
x00
)n
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x00
)n1
n阶泰勒公式 (在x0与x之间).
(5)在泰勒公式中, 若x0 0, 则介于0, x之间,故
可表为 x (0 1),这时的泰勒公式,即
按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为: 麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式
f (n1) ( )
(n 1)!
得
Rn ( x)
(x)
Rn(n) (n ) (n) (n )
R(n) n
(
n
(n) (n
) )
R(n) n
(
x0
)
(n)( x0 )
R(n1) n
(
)
(n1) ( )
(在x0与 n之间也在x0与x之间)
注意到
R ( n 1) n
(
x)
f
(n1) (x), (n1) (x) (n 1)!
注意:
Pn(k )( x0 ) f (k )( x0 )
11
泰勒公式
下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式. 定理1 (带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式) 设
1函数f (x)在x0点的某个邻域O x0 内有定义;
2 在此邻域内f (x)有直到n 1阶导数;
3 f n (x0)存在. 称为f ( x)按( x x0 )的幂展开的
应用
理论分析 近似计算
特点(1)易计算函数值;
(2)导数与积分仍为多项式;
(3)多项式由它的系数完全确定, 而其系数
又由它在一点的函数值及导数值确定.
用怎样的多项式去逼近给定的函数
泰勒公式ppt(1) 下载
近似表示f (x)且当 x x0 时，f x Pn x 是比 x x0 n
高阶的无穷小.
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一、问题的提出
1.设 f ( x)在 x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x) 在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
一、泰勒公式 二、几个函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式
当一个函数f (x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0 附近的函数值或描绘曲线f (x)在一点P(x0,f(x0))附近
的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 函数 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (
x)
其中 Rn ( x)
f (n1) ( )0
与x
之间).
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Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
高阶的无穷小.
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一、问题的提出
1.设 f ( x)在 x0处连续,则有
f (x) f (x0 )
[ f (x) f (x0 ) ]
2.设 f ( x) 在x0 处可导,则有
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
第三节
第三章
泰勒 ( Taylor )公式
一、泰勒公式 二、几个函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式
当一个函数f (x)相当复杂时,为了计算它在一点x=x0 附近的函数值或描绘曲线f (x)在一点P(x0,f(x0))附近
的形状时,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式 函数 Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (
x)
其中 Rn ( x)
f (n1) ( )0
与x
之间).
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Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1!
(
x
x0 )n1
(在x0与x之间)
拉格朗日形式的余项
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x) 在含有 x0 的某个开区间(a, b) 内具有直到(n 1) 阶的导数,则
当 x在(a,b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个 n次多项式与一个余项Rn ( x)之和:
第十二讲 麦克劳林公式的例
=
1−x2 2+ Nhomakorabeax4 22 ⋅ 2!
+
+
(−1)n
x2n 2n ⋅ n!
+
o(
x2n
).
由定理
6.9
的注
2,
可知上式就是
e−
x2 2
的麦克劳林
公式, 由泰勒系数公式可知 x98和x99的系数为
1 98!
f
(98) (0)
=
(−1)49 249 ⋅ 49! ,
1 f (99) (0) = 0 , 99!
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§3 泰勒公式
带有佩亚诺型余项的泰勒公式
带有拉格朗日型余 项的泰勒公式
在近似计 算中的应用
验证 6
设 g(x) =
1, 1− x
则
g′( x)
=
1! (1 − x)2
,
g′′( x)
=
2! (1 − x)3
, ,
g(n)( x)
=
(1
n! − x)n+1
于是 ex 的 n 阶麦克劳林公式为
ex = 1 + x + x2 + + xn + o( xn ). 1! 2! n!
1. ex =1 + x + x2 + + xn + o( xn ); 1! 2! n!
f ( x)= f (0) + f ′(0) x + + f (n) (0) xn + o( xn ) 1! n!
高等教育出版社
1− x
Taylor公式.ppt
f ( x1 x2 ) ， f ( x1 ) f ( x2 ) 关系如何？试证明．
2
2
f (t)
f ( x0 )
f ( x0 )(t x0 )
f
(
2!
)
(t
x0
)
例 20 设 x [0, 2]时， f ( x) 1, f ( x) 1 ．证： 在[0, 2]上， f ( x) 2 ．
Rn( x)
f (n1)()( (n1) !
x
x)n1
,
介于 x 与 x0 间
⑥
或
Rn( x)
f
(n1)
( x( x (n1) !
x))(
x
x)n1
，
0 1
―― Lagrange 型余项
Taylor Thm
设
f
(
x)
Cn [a,
b]
且
f
(
x)
C n1 (a, b)
，则
对 x, x0 [a, f ( x) f ( x0 )
2!
n!
(n 1)!
0 1
―― f ( x) 带 Lagrange 余项的 n 阶 Maclaurin 公式
(3) 若 f (n1)( x) 在 (a, b) 内有界，则当 f ( x) Pn( x) 时，
其误差的估计式为
Rn( x)
f
( n1) () ( (n1)!
x
x)n1
M (n1)!
x
f ( x) 在 x 0处 3 阶可导，且
lim
x0
xf
( x) x3
sin
x
0，
求 f (0), f (0), f (0) ．
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)
n
Rn
(
x)
①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f
例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超
过 解: 已知 的麦克劳林公式为
ex 1 x x2 x3 xn
2! 3!
n!
令x=1,得
11 1 1
e
2!
n ! (n 1) !
由于 0 e e 3, 欲使
(0 1) (0 1)
Rn (1)
(n
3 106
1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
pn(x)
pn(n) (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0) f (x0),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f
(x0), , an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
矛盾 ! 故 e 为无理数 .
其中余项
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
o((x x0 )n )
( 在 x0 与x 之间)
当 x0 0 时为麦克劳林公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
f (x0 )
f (x0)(x x0)
1 2!
f
( x0
)(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
Rn(n1) ( )
(n 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
(0 1)
三、泰勒公式的应用
1. 在近似计算中的应用
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
误差
Rn (x)
M (n 1) !
x
n1
M 为 f (n1) (x) 在包含 0 , x 的某区间上的上界.
需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.
第三节 泰勒 ( Taylor )公式
理论分析
用多项式近似表示函数 — 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
y f (x)
特点:
x 的一次多项式
(3) 其他应用
求极限 , 证明不等式 等.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
cos x 1 x2 x4 o(x5) 2! 4!
ex2 2cos x 3 ( 1 2 1 )x4 o(x4 ) 2! 4!
原式
lim
x0
7 12
x4
o(x4 ) x4
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
(n
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) 1)2(n x0 ) 0
f (x0 ) f (x0 )
p1(x)
o x0 x
x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
n!
xn Rn (x)
其中
Rn (x)
(
1)(
(n 1) !
n) (1
x) n1 xn1
(0 1)
已知
f
(k) (x)
(1)k
1
(k 1)! (1 x)k
(k 1,2,)
类似可得
ln(1
x)
x
x2 2
x3 3
(1)n1
xn n
Rn (x)
其中
Rn (x)
(1)n xn1
n 1 (1 x)n1
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
二、几个初等函数的麦克劳林公式
f (k) (x) ex , f (k) (0) 1 (k 1, 2,)
ex
1
x
x2 2!
x3 3!
xn n!
Rn (x)
其中
f (k) (x) sin(x k )
2
f
(k)
(0)
sin
k
2
x2
o(x
2
)
原式 (xlim(01n)112)(!196
nx)2(1o(
x2
xx)2)n1x3n921
(0 1)
3. 利用泰勒公式证明不等式
例4. 证明
证:
1
1 x (1 x)2
1 x 1 1 (1 1)x2 2 2! 2 2
1
1 (1
1)( 1
2)(1
x)
5 2
x3
3! 2 2 2
e 11 1 1 2.718281
2! 9!
说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 11 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7 0.5106, 总误差为 7 0.5106 106 5106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
7 12
2. 证明 e 为无理数 .
证: e 11 1 1 e (0 1)
2!
n ! (n 1) !
两边同乘 n !
n!e = 整数 + e (0 1)
n 1 假设 e 为有理数 p ( p , q 为正整数) ,
q 则当 n q 时, 等式左边为整数;
当n 2 时, 等式右边不可能为整数.
0, (1)m1
,
k 2m (m 1,2,) k 2m 1
sin
x
x
x3 3!
x5 5!
(1)m1 x2m1 (2m 1) !
R2m (x)
其中 R2m (x)
s(in1()mxcos2(m2x1) ) x2m1
(2m 1) !
(0 1)
类似可得
cos x
1 x2 2!
x4 4!
(1)m
因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
例2. 用近似公式
计算 cos x 的近似值,
使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.
解: 近似公式的误差
R3(x)
x4 cos( x)
4!
x4 24
令
x 4 0.005
24
解得
x 0.588
即当 x 0.588 时, 由给定的近似公式计算的结果
1
x
x2
1
(1
x)
5 2
x3
2 8 16
(0 1)
( 11)x (1nx) (1x2 x)(xn10x)n1 (n 1) ! 2 8
(0 1)
内容小结
1. 泰勒公式
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(